2.4.3 闭环系统的结构图和传递函数
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自动控制理论结构图和信号流图
R1C2 s
ui ( s )
-
-
1
R1
1
C1sห้องสมุดไป่ตู้
u (s)
1 R2C2 s 1
uo ( s )
② 16
结构图等效变换例子||例2-11
R1C2 s
ui ( s ) -
1
R1
1
C1s
u (s)
1 R2C2 s 1
uo ( s )
③
R1C2 s
uo ( s )
④
ui ( s ) -
1 R1C1 s 1
[注意]： 相临的信号相加点位置可以互换；见下例
X 1 ( s) X 2 ( s)
Y ( s)
X 1 ( s)
X 3 (s)
Y ( s)
X 3 (s)
X 2 ( s)
13
比较点和分支点的移动和互换
同一信号的分支点位置可以互换：见下例
X 1 ( s)
X 2 ( s)
X ( s)
Y ( s ) G (s)
u (s) I ( s) 1 C1s
-
1
R1
I1 ( s )
I 2 ( s)
1 u ( s) C1s 1 [u ( s) uo ( s)] I 2 ( s) R2 I (s) 1 I 2 ( s) uo ( s ) C2 s
u (s)
1 R2
uo ( s )
1 C2 s
I 2 ( s)
[例2-11]利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。 R1 R2
ui
i1
i, u
C1
i2
3.2 闭环系统的传递函数
G0 (s ) = G (s )
p
0 .2 3s + 1.25
q y
4 G0 (s ) = s + 1.25
v
e
4 s + 1.25
§3.2 闭环系统的传递函数
2.关系：闭环传函的分母 = 开环传函+1
练习：系统结构图如图，试求Wyr (s ) 和 Wyf (s )
G (s ) 消去E(s )得： Y (s ) Y (s ) G (s ) Wyx (s ) = = X ( s ) 1 + G ( s )H ( s )
1 消去Y(s )得： E (s ) = X (s ) 1 + G (s )H (s ) E (s ) 1 = ∴ Wex (s ) = X (s ) 1 + G (s )H (s )
§3.2 闭环系统的传递函数
一、闭环系统的传函
X (s ) E (s ) G (s ) H (s )
1、基本概念： 1）前向通道：从偏差（e）到输出（y）的通道 2）反馈通道: 从输出（y）到偏差（e）的通道 2、闭环系统的传函W(s)
Y (s ) X (s ) E (s )
G (s )
Y (s )
Y (s ) X (s ) = 0，Wyp (s ) = = 1 + Gc (s )G p (s )F (s ) P(s )
Y2 (s ) = W yp (s ) × P(s )
G p (s )
∴Y (s ) = Y1 (s ) + Y2 (s )
= W yx (s ) ⋅ X (s ) + Wyp (s ) ⋅ P(s )
= 1 +G c (s )G p (s )F (s ) G c (s )G p (s ) ⋅ X (s ) + 1 +G c (s )G p (s )F (s ) G p (s ) ⋅ P(s )
2.3闭环控制系统的 动态结构图
(4)结构图与代数方程等价。 (4)结构图与代数方程等价。 结构图与代数方程等价 (5)能更直观更形象地表示系统中各环节的功能和相 (5)能更直观更形象地表示系统中各环节的功能和相 互关系，以及信号的流向和每个环节对系统性能的影响。 互关系，以及信号的流向和每个环节对系统性能的影响。 更直观、更形象是针对系统的微分方程而言的。 更直观、更形象是针对系统的微分方程而言的。 (6)方框图的流向是单向不可逆的。 (6)方框图的流向是单向不可逆的。 方框图的流向是单向不可逆的 (7)方框图不唯一。由于研究角度不一样， (7)方框图不唯一。由于研究角度不一样，传递函数 方框图不唯一 列写出来就不一样，方框图也就不一样。 列写出来就不一样，方框图也就不一样。 (8)研究方便。 (8)研究方便。对于一个复杂的系统可以画出它的方 研究方便 框图，通过方框图简化，不难求得系统的输入、 框图，通过方框图简化，不难求得系统的输入、输出关 在此基础上，无论是研究整个系统的性能， 系，在此基础上，无论是研究整个系统的性能，还是评 价每一个环节的作用都是很方便的。 价每一个环节的作用都是很方便的。
干扰 给定量 控制装置 （输入量） 输入量） 被控对象 （输出量） 输出量） 测量元件 被控量
-
信号线：带有箭头的直线， 信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的 流向， 流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函 数。 u(t),U(s) 引出点（或测量点）：表示信号引出或测 引出点（或测量点） 量的位置， 量的位置，从同一位置引出的信号在数值 和性质方面完全相同。 和性质方面完全相同。 u(t),U(s)
UR2
1/R2
IR2
IR2 1/C2s
Uo
将各基本环节按照信号流通的方向连结起来就可以 得到系统的方块图: 得到系统的方块图: 块图
自动控制原理第四次课—传递函数及结构图简化
并联校正装置
可以提高系统的增益，减小系统的稳态误差，但会对系统的动态性能产生一定影响。
复合校正装置
结合串联和并联两种形式，既可以提高系统的增益，减小系统的稳态误差，又可以调整系统的各项性能指标。
校正装置的类型与特点
串联校正装置
通常位于系统的前端，用于调整系统的输入信号，以满足系统的性能要求。
校正装置的位置选择
并联校正装置
通常位于系统的执行器之后，用于调整系统的输出信号，以满足系统的性能要求。
复合校正装置
通常位于系统的重要部位，用于调整系统的关键性能指标，以满足系统的性能要求。
根据系统的性能要求确定校正装置的形式和参数，通过计算或仿真确定校正装置的具体设计方法。
对于并联校正装置，通常采用补偿器进行设计，通过增加放大器或调整原有放大器的参数来实现对系统性能的改善。
定义
系统的稳态误差越小，说明系统的精度越高。
稳态误差
根据不同的精度要求，控制系统分为不同的精度等级，如0.1级、0.2级等。
精度等级
系统的响应速度越快，说明系统对于输入信号的反应越迅速。
响应速度
控制系统的校正
04
串联校正装置
包括比例、积分和微分三个基本形式，具有简单、灵活和易于调整的特点，可以独立调整系统的各项性能指标。
稳定性分析
使用MATLAB的Control System Toolbox，可以进行控制系统的稳定性分析，通过计算系统的极点、零点等特性来判断系统的稳定性。
MATLAB可以用来评估控制系统的性能，包括响应时间、超调量、稳态误差等指标，从而对系统性能进行全面的评估。
MATLAB还可以用来优化控制系统设计，通过遗传算法、模拟退火算法等优化算法，来优化控制系统的性能。
可以提高系统的增益，减小系统的稳态误差，但会对系统的动态性能产生一定影响。
复合校正装置
结合串联和并联两种形式，既可以提高系统的增益，减小系统的稳态误差，又可以调整系统的各项性能指标。
校正装置的类型与特点
串联校正装置
通常位于系统的前端，用于调整系统的输入信号，以满足系统的性能要求。
校正装置的位置选择
并联校正装置
通常位于系统的执行器之后，用于调整系统的输出信号，以满足系统的性能要求。
复合校正装置
通常位于系统的重要部位，用于调整系统的关键性能指标，以满足系统的性能要求。
根据系统的性能要求确定校正装置的形式和参数，通过计算或仿真确定校正装置的具体设计方法。
对于并联校正装置，通常采用补偿器进行设计，通过增加放大器或调整原有放大器的参数来实现对系统性能的改善。
定义
系统的稳态误差越小，说明系统的精度越高。
稳态误差
根据不同的精度要求，控制系统分为不同的精度等级，如0.1级、0.2级等。
精度等级
系统的响应速度越快，说明系统对于输入信号的反应越迅速。
响应速度
控制系统的校正
04
串联校正装置
包括比例、积分和微分三个基本形式，具有简单、灵活和易于调整的特点，可以独立调整系统的各项性能指标。
稳定性分析
使用MATLAB的Control System Toolbox，可以进行控制系统的稳定性分析，通过计算系统的极点、零点等特性来判断系统的稳定性。
MATLAB可以用来评估控制系统的性能，包括响应时间、超调量、稳态误差等指标，从而对系统性能进行全面的评估。
MATLAB还可以用来优化控制系统设计，通过遗传算法、模拟退火算法等优化算法，来优化控制系统的性能。
自动控制原理第四次课—传递函数及结构图简化
典型传递函数
二阶系统
二阶系统的传递函数为G(s) = K / (Ts + 1)(Td + 1)，其中K为系统增益，T为系统时间常数，d为阻尼比。
高阶系统
高阶系统的传递函数为G(s) = N(s) / D(s)，其中N(s)和D(s)是多项式函数，通过求解高阶微分方程得到。
结构图
02
结构图是指用方框和箭头来表示系统或控制器动态行为的一种图形表示方法。
结构图的简化
结构图的应用
系统分析
通过结构图可以方便地对系统进行分析，例如系统的稳定性和响应时间等。
控制系统
03
控制系统是一种通过反馈机制实现特定输出与特定输入之间关系的系统。
它由传感器、控制器、执行器、被控对象等组成，通过信息交换实现系统的控制。
控制系统的定义
控制系统的分类
闭环控制系统
具有反馈环节，将输出信号反馈到输入端进行比较，调整控制信号，提高控制精度和稳定性。
系统达到稳定状态后的误差大小，即实际输出与期望输出的差距。
01
03
02
分析方法
04
频率分析法的基本思想
频率分析法的优点
频率分析法的局限性
频率分析法
根轨迹法
根轨迹法的基本思想
将控制系统传递函数表示成根的形式，然后根据根的分布情况进行分析。
根轨迹法的优点
可以直观地反映系统的性能指标，如稳定性、响应速度、超调量等。
根轨迹法的局限性
对于高阶系统进行分析时比较复杂，需要绘制多个根轨迹图。
01
02
03
极点配置法的基本思想
通过选择控制器的参数，使得系统的极点配置在期望的位置上，从而达到预期的系统性能。
机械工程控制基础(2)
2.3 系统的传递函数方框图及其简化
三、 传递函数方框图简化的一般步骤 (1)确定系统的输入量和输出量，如果作用在系统的输入量有多个，则必须分别 对每一个输入量，逐个进行方框图的简化，求得各自的传递函数。对于具有多 个输出量的情况，也要分别进行变换，求取各自的传递函数。 (2) 若方框图中仅有多个无交叉回路，则按照先里后外的原则，逐个简化，直至 简化成一个方框的形式。若方框图中有交叉的连接，用如下的方法。 方法一：若系统的传递函数方框图同时满足以下两个条件 条件1，整个系统方框图中只有一条前向通道； 条件2，各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。 则可以直接用下列公式 求解：
2.2 系统的传递函数
三、典型环节的传递函数 系统是由若干典型环节组成的。常见典型环节及其传递函数的一般表达式分 别为：
以上各式中：K为比例系数；T为时间常数；ξ为阻尼比；ωn为无阻尼固有频率； г为延迟时间。
2.2 系统的传递函数
2.2 系统的传递函数
2.2 系统的传递函数
2.2 系统的传递函数
开环传递函数可以理解为；封闭回路在相加点断开以后，以E(s)作为输入， 经G(s)、H(s)而产生输出B(s)，此输出与输入的比值B(s)／E(s)，可以认为 是一个无反馈的开环系统的传递函数。由于B(s)与E(s)在相加点的量纲相同， 因此，开环传递函数无量纲，而且H(s)的量纲是G(s)的量纲的倒数。
递函数环节之中。从根本上讲，这取决于组成系统的各物理的元件(物理的
环节或子系统)之间有无负载效应。 (2)不要把表示系统结构情况的物理框图与分析系统的传递函数的框图混 淆起来. (3)同一个物理的元件(物理的环节或子系统)在不同系统中的作用不同时， 其传递函数也可不同，因为传递函数同所选择的输入、输出物理量的种类 有关，并不是不可变的。
第五节 闭环控制系统的传递函数
H(s)
+
C(s)
G (s) 2
B(s)
图2-37 闭环控制系统典型结构
N(s)
−
G (s) 2 G (s) 1
CN (s)
H(s)
图2-39 n(t)作用下系统的结构图
N(s)
−
G (s) 2
CN (s)
G (s) 1
H(s)
图2-39 n(t)作用下系统的结构图
CN (s) φn (s) = N(s) G2 (s) = 1+ G (s)G2 (s)H(s) 1
1θcr i
=0时系统结构图 图2-41(a) ML=0时系统结构图
θcr (s) Ka KsCm / iRa φr (s) = = 2 θr (s) Js + ( f + CmKe / Ra )s + Ka KsCm / iRa
(2)ML作用下系统的闭环传递函数θcM (s)
L
ML (s)
。
ML
slcmlms?13令r??m0lmsker?skak1armc21jsfs?i1c?e?suaum?aidmbe图240la0的位置随动系统结构图图241bqr0时系统结构图skelskak1armc21jsfs?i1lcm?1421slcmlmeaasmasimsjsfckrskkcir????????lm图241bqr0时系统结构图skelmskak1armc21jsfs?i1lcm?3系统总输出ssssmslcrrml??????ssslccrcm?????15三闭环系统的误差传递函数trtbt???esrsbs??或bs1gsscsrsesh?2gsns?图237闭环控制系统典型结构在图237中代表被控量ct的测量装置的输出bt和给定输入rt之差为系统的偏差即
+
C(s)
G (s) 2
B(s)
图2-37 闭环控制系统典型结构
N(s)
−
G (s) 2 G (s) 1
CN (s)
H(s)
图2-39 n(t)作用下系统的结构图
N(s)
−
G (s) 2
CN (s)
G (s) 1
H(s)
图2-39 n(t)作用下系统的结构图
CN (s) φn (s) = N(s) G2 (s) = 1+ G (s)G2 (s)H(s) 1
1θcr i
=0时系统结构图 图2-41(a) ML=0时系统结构图
θcr (s) Ka KsCm / iRa φr (s) = = 2 θr (s) Js + ( f + CmKe / Ra )s + Ka KsCm / iRa
(2)ML作用下系统的闭环传递函数θcM (s)
L
ML (s)
。
ML
slcmlms?13令r??m0lmsker?skak1armc21jsfs?i1c?e?suaum?aidmbe图240la0的位置随动系统结构图图241bqr0时系统结构图skelskak1armc21jsfs?i1lcm?1421slcmlmeaasmasimsjsfckrskkcir????????lm图241bqr0时系统结构图skelmskak1armc21jsfs?i1lcm?3系统总输出ssssmslcrrml??????ssslccrcm?????15三闭环系统的误差传递函数trtbt???esrsbs??或bs1gsscsrsesh?2gsns?图237闭环控制系统典型结构在图237中代表被控量ct的测量装置的输出bt和给定输入rt之差为系统的偏差即
现代控制2-3 系统方框图
7
【例2.3.1】画出下列RLC电路的方块图。 R L 解：利用基尔霍夫电压定律 ui (t ) 及元件特性可得
di (t ) + uo (t ) ui (t ) = Ri (t ) + L dt
1 u o (t ) = ∫ i ( t ) dt C
i (t )
C
uo (t )
拉氏变换得
⎧U i ( s ) = I ( s ) ⋅ R + Ls ⋅ I ( s ) + U o ( s ) ⎨ Uo ( s ) = I ( s ) / Cs ⎩
9
⎧U i ( s ) = I ( s ) ⋅ R + Ls ⋅ I ( s ) + U o ( s ) ⎨ Uo ( s ) = I ( s ) / Cs ⎩
U i ( s) − U o ( s) ⎧ ⎪I (s) = R + Ls ⎨ I ( s) ⎪U o ( s ) = Cs ⎩
10
U i (s) − U o ( s) I ( s) = R + Ls
（b）第2级运放（RC比例微分放大电路）
du1 u2 = K 2 ⋅ (τ + u1 ), K 2 = R2 / R1 , τ = R1C dt U 2 (s) = τ s + K2 G2 ( s ) = U1 ( s )
20
（c）功率放大器
ua = K 3 ⋅ u2
U a (s) G2 ( s ) = = K3 U 2 (s)
G3
R(s)
a
G1
b
G2 H1
c
C(s)
41
b点后移到c点之后
G3
R(s)
G2
b
现代控制2-3 系统方框图
C(s) G(s) = = G1 (s) + G2 (s) + G3 (s) R(s)
n为相并联的环节数， 为相并联的环节数， 为相并联的环节数 G(s) = Gi (s) 当然还有“ 的情况 当然还有“-”的情况 i =1
∑
n
结论： 结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环 节传递函数的代数和 节传递函数的代数和
U i (s) － U o (s) （d）
10
1 R+ Ls
I ( s)
1 Cs
Uo (s)
如例2.1.4 试列写速度控制系统的微分方程 如例
R
2
R R1 C
+ 功放 -
ui
R1 R1
K1 +
+K2
ωm
ua SM
减ω 负 速 载
uf
测速机
ui uf
ue
1级运放 级运放
u1
2级运放 级运放
u2
功放
ua
R(s)
G(s)
C(s)
(2)方框 环节)：表示输入到 方框(环节 ： 方框 环节 输出单向传输间的函数关系
信号线
方框
3
(3)引出点 引出点（分支点、测量点） 引出点 表示信号测量或引出的位置
R(s)
G1(s)
P(s)
G2 (s)
C(s)
P(s)
注意： 注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样
4
27
（6）负号的移动 负号的移动
负号可以在回路中任意移动， 负号可以在回路中任意移动，但不能越过 任何一个引出点或比较点。 任何一个引出点或比较点。 R(s)
m
E(s)
G(s) H(s)
n为相并联的环节数， 为相并联的环节数， 为相并联的环节数 G(s) = Gi (s) 当然还有“ 的情况 当然还有“-”的情况 i =1
∑
n
结论： 结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环 节传递函数的代数和 节传递函数的代数和
U i (s) － U o (s) （d）
10
1 R+ Ls
I ( s)
1 Cs
Uo (s)
如例2.1.4 试列写速度控制系统的微分方程 如例
R
2
R R1 C
+ 功放 -
ui
R1 R1
K1 +
+K2
ωm
ua SM
减ω 负 速 载
uf
测速机
ui uf
ue
1级运放 级运放
u1
2级运放 级运放
u2
功放
ua
R(s)
G(s)
C(s)
(2)方框 环节)：表示输入到 方框(环节 ： 方框 环节 输出单向传输间的函数关系
信号线
方框
3
(3)引出点 引出点（分支点、测量点） 引出点 表示信号测量或引出的位置
R(s)
G1(s)
P(s)
G2 (s)
C(s)
P(s)
注意： 注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样
4
27
（6）负号的移动 负号的移动
负号可以在回路中任意移动， 负号可以在回路中任意移动，但不能越过 任何一个引出点或比较点。 任何一个引出点或比较点。 R(s)
m
E(s)
G(s) H(s)
§25闭环传递函数§26 梅逊公式
P G GG 1 1 2 3
P G G 2 1 4
1 1
2 1
G G G G G 1 2 3 1 4 ( s ) G G H G G H G G G G H G G 1 2 1 2 3 2 1 2 3 4 2 1 4
Mason 公式（3）
例 3 求传递函数 C(s)/R(s)
例1
求C(s)/R(s)
( G G H )( G G H ) 1 [ G G H G3G4 H4 G G G G G G H G5 H ] 2 3 2 4 5 3 2 3 2 G 1 2 3 4 5 6 1 4 3
1 G G H G G H G G H G G G G G G H G G G G H H 2 3 2 4 5 3 3 4 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 2 3
§2.5 控制系统的传递函数
<2、扰动输入作用下的误差传递函数 令R(s) =0，可求出误差对扰动作用的闭环传递函数，简称扰动误差传递函数，即
N(s)
<3、控制输入和扰动同时作用下系统的总误差 利用叠加原理可求出系统在控制输入和扰动输入同时作用下系统的总误差为
不难发现，四种闭环传递函数 Φ(s)、Φn(s)、 Φe(s)、Φen(s) 具有相同的分母即 =1+ G(s)H(s)。这正是闭环控制系统的本质特征。通常把这 个分母多项式称为闭环系统的特征多项式。1+ G(s)H(s) 称为闭环系统的特征方 程。特征方程的根称为闭环系统的根或极点。
（1）结构图 信号流图
（2）结构图 信号流图
§2.6.2 梅逊（Mason）增益公式
G(s) PΔ Δ
k k 1
4第四节PID控制.
E (s)
kp Ti s
U ( s)
-
控制对象
Y ( s)
k pTd s
Saturday, December 15, 2018
5
PID控制器每一部分对控制系统的作用： 比例部分：增加比例系数可加快系统的响应速度，减小稳态 误差；但比例系数太大会影响系统的稳定性。 积分部分：积分时间常数越小，积分作用越强。积分控制作 用可以消除系统的稳态误差；但积分作用太大，会使系统的稳 定性下降。 微分部分：微分时间常数越大，微分作用越强。微分作用能 够反映反映误差信号的变化速度。变化速度越大，微分作用越 强，从而有助于减小震荡，增加系统的稳定性。但是。微分作 用对高频误差信号（不管幅值大小）很敏感。如果系统存在高 频小幅值的噪音，则它形成的微分作用可能会很大，这是不希 望出现的。 6
Saturday, December 15, 2018
11
用Matlab讨论PID控制器的效果
Saturday, December 15, 2018
12
[例8-4-4]考虑我们熟悉的质量-弹簧-阻尼系统。其中外力F为输 入，位移x为输出。参数为：1M=1kg，b=10N.s/m，k=20N/m， F=1。试设计不同的P、PD、PI、PID控制器，使应曲线满足： 位移稳态值为1； 较快的上升时间和过度过程时间；
Saturday, December 15, 2018
PID控制器参数与系统时域性能指标间的关系 参数名称 上升时间 超调量 调整时间 稳态误差
Kp
Ki(1/Ti) Kd(Td)
减小
减小 微小变化
增大
增大 减小
微小变化
增大 减小
减小
消除 微小变化
kp Ti s
U ( s)
-
控制对象
Y ( s)
k pTd s
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5
PID控制器每一部分对控制系统的作用： 比例部分：增加比例系数可加快系统的响应速度，减小稳态 误差；但比例系数太大会影响系统的稳定性。 积分部分：积分时间常数越小，积分作用越强。积分控制作 用可以消除系统的稳态误差；但积分作用太大，会使系统的稳 定性下降。 微分部分：微分时间常数越大，微分作用越强。微分作用能 够反映反映误差信号的变化速度。变化速度越大，微分作用越 强，从而有助于减小震荡，增加系统的稳定性。但是。微分作 用对高频误差信号（不管幅值大小）很敏感。如果系统存在高 频小幅值的噪音，则它形成的微分作用可能会很大，这是不希 望出现的。 6
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11
用Matlab讨论PID控制器的效果
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12
[例8-4-4]考虑我们熟悉的质量-弹簧-阻尼系统。其中外力F为输 入，位移x为输出。参数为：1M=1kg，b=10N.s/m，k=20N/m， F=1。试设计不同的P、PD、PI、PID控制器，使应曲线满足： 位移稳态值为1； 较快的上升时间和过度过程时间；
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PID控制器参数与系统时域性能指标间的关系 参数名称 上升时间 超调量 调整时间 稳态误差
Kp
Ki(1/Ti) Kd(Td)
减小
减小 微小变化
增大
增大 减小
微小变化
增大 减小
减小
消除 微小变化
第二章 (2.3,2,4)动态结构图、反馈系统的传递函数
研究控制系统的性能，主要的传 递函数为： 一、系统的开环传递函数 一、系统的开环传递函数 二、系统的闭环传递函数 二、系统的闭环传递函数 三、系统的误差传递函数 三、系统的误差传递函数
一、系统的开环传递函数
D(s)
闭环控制 系统的典型 结构：
R(s)
E(s) E(s)
_
B(s)
G1(s)
+
C(s) G2(s)
Y2(s)
(3) 反馈
R(s)
G(s) H(s)
C(s)
R(s)
C(s) G( s) ( s) 1 H ( s)G ( s)
C ( s ) E ( s ) G( s ) [ R( s) C ( s) H ( s)]G ( s)
C ( s) G( s) ( s) R( s) 1 H ( s)G ( s)
H2 G1 G2 H1
1 G4
G3 a G4 H3
b
例2：综合点移动
综合点与引出 点互换位置了
G 33 G G 11 G
G2
G 22 G H 11 H
错！ 向同类移动
1并联
G3 G1
3串联
2反馈
G2 H1
G1
G4 G1 H1 输入 G1 H1 H1
两个
例3 作用分解
G2
a b
两个 输出
G3 H3
4
绘制双T网络结构图
R1
U1(s)
R2
urr(t) U (s)
I1(s)
sc1
I2(s)
1 C 1
I2(s)
sc2
1 C 2
ucc(t) U (s)
Ur(s)
一、系统的开环传递函数
D(s)
闭环控制 系统的典型 结构：
R(s)
E(s) E(s)
_
B(s)
G1(s)
+
C(s) G2(s)
Y2(s)
(3) 反馈
R(s)
G(s) H(s)
C(s)
R(s)
C(s) G( s) ( s) 1 H ( s)G ( s)
C ( s ) E ( s ) G( s ) [ R( s) C ( s) H ( s)]G ( s)
C ( s) G( s) ( s) R( s) 1 H ( s)G ( s)
H2 G1 G2 H1
1 G4
G3 a G4 H3
b
例2：综合点移动
综合点与引出 点互换位置了
G 33 G G 11 G
G2
G 22 G H 11 H
错！ 向同类移动
1并联
G3 G1
3串联
2反馈
G2 H1
G1
G4 G1 H1 输入 G1 H1 H1
两个
例3 作用分解
G2
a b
两个 输出
G3 H3
4
绘制双T网络结构图
R1
U1(s)
R2
urr(t) U (s)
I1(s)
sc1
I2(s)
1 C 1
I2(s)
sc2
1 C 2
ucc(t) U (s)
Ur(s)
控制工程基础第2章答案
第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-u )tfC)+-+-f)(a )(b )(c )(d R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
自动控制理论第二章2
一、结构图的基本概念 把方块图和传递函数结合起来，就称为动态结构图。 是描述系统各组成元件之间信号传递关系的一种数学图形。 两种图形研究方法：方框图和信号流程图方法。
参考输入
r(t)
系统或环节
输出 C(t)
R(s)
G (s )
C(s)
结构图给出了信息传递的方向又给出了输入输出的定量关 系。即C(s)=R(s)G(s)。
C u(t) i R y(t)
R RCs Y ( s) U ( s) 1 sC R RCs 1
G( s) Y ( s) s U (s) s 1
τ＝RC
—时间常数
实际的比例微分电路
C R1 ui(t) R2 uo(t)
R2 U o ( s) U i ( s) R R2 1 R1 R1 Cs R 1 R1Cs 1 R1 Cs
B
A
1 G2
+ -
G2
G1
B
三、方框图的运算规则 1、串联运算规则
几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传 递函数的乘积。
例：隔离放大器串联的RC电路
并联运算规则
同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递 函数之和。
反馈运算规则
四、方框图的等效变换
常用的方框图等效变换方法有二：
一是环节的合并，二是信号分支点或相加点的移动。
传递函数：
C ( s) K G( s) R( s ) s
R( s ) 1 s
单位阶跃响应：
r (t ) 1(t ) K 1 C ( s ) G ( s ) R( s ) s s c(t ) Kt
常见物理系统：电机拖动系统 设以电动机的转速为n转/分为输入量，以减速齿轮带 动负载运动的轴角位移θ（单位为rad)为输出量，则
2-4 控制系统的结构图与信号流图
其中r(t),n(t)为系统的输入，c(t)为系统的输出， K0,K1,T,τ均为常数，要求： 1.绘制系统的结构图 C ( s) 2.求传递函数
(t ) K1n(t ) x1 (t ) r (t ) c
( s)
R( s)
2005年1月10日
用梅逊公式求下图所示系统在R(s) 和 N(s) 同时作用下的输出C(s)
R( s)
G1 ( s ) G2 ( s )
N (s) C (s)
G1G2 G2 (1 G1 ) 1 G1 G2 G1G2 C ( s) R( s ) N ( s) 1 G1 G2 2G1G2 1 G1 G2 2G1G2
2.4.3 闭环控制系统的传递函数 N(s)
1 1
2 1 G2G3 H 2
P2 H4
例2.4.2 已知系统结构图如图，试求传递函数
H4(s) R(s) H1(s) + C(s)
G1(s) +
G2(s) H2(s) H3(s)
G3(s)
C (s) P 11 P 22 R( s)
G1G2G3 H 4 (1 G2G3 H 2 ) 1 H 3 H 4 G1G2G3 H 3 G2G3 H 2 G1H1 G2G3 H 2 H 3 H 4 G1G2G3 H1H 2
当H(s)=1时，为单位反馈系统，此时
Gc (s)G p (s) C ( s) ( s ) R(s) 1 Gc (s)G p (s)
R(s)+
N(s) Gc(s) 控制器 +
－
对扰动输入的传递函数
D ( s) G p ( s) 1 Gc (s)G p (s) H (s)
(t ) K1n(t ) x1 (t ) r (t ) c
( s)
R( s)
2005年1月10日
用梅逊公式求下图所示系统在R(s) 和 N(s) 同时作用下的输出C(s)
R( s)
G1 ( s ) G2 ( s )
N (s) C (s)
G1G2 G2 (1 G1 ) 1 G1 G2 G1G2 C ( s) R( s ) N ( s) 1 G1 G2 2G1G2 1 G1 G2 2G1G2
2.4.3 闭环控制系统的传递函数 N(s)
1 1
2 1 G2G3 H 2
P2 H4
例2.4.2 已知系统结构图如图，试求传递函数
H4(s) R(s) H1(s) + C(s)
G1(s) +
G2(s) H2(s) H3(s)
G3(s)
C (s) P 11 P 22 R( s)
G1G2G3 H 4 (1 G2G3 H 2 ) 1 H 3 H 4 G1G2G3 H 3 G2G3 H 2 G1H1 G2G3 H 2 H 3 H 4 G1G2G3 H1H 2
当H(s)=1时，为单位反馈系统，此时
Gc (s)G p (s) C ( s) ( s ) R(s) 1 Gc (s)G p (s)
R(s)+
N(s) Gc(s) 控制器 +
－
对扰动输入的传递函数
D ( s) G p ( s) 1 Gc (s)G p (s) H (s)
闭环控制系统的结构图
串联结构的等效变换 两个串联的方框可以合并为一个方框，合 并后方框的传递函数等于两个方框传递函 数的乘积。
R(s)
U(s) G1(s)
G2(s) R(s)
C(s)
G1(s) • G2(s)
C(s)
(2)并联结构的等效变换
等效变换证明推导(1)
G1(s)
C1(s)
R(s)
G2(s)
C(s)
2.典型环节的传递函数 (1) 比例环节
(2) 惯性环节
极点：
(3) 积分环节 传递函数为： Ti 积分时间常数
(4) 微分环节 微分环节的输出和其输入量的导数成比例
微分时间常数
(5) 延时环节 Pade近似 泰勒近似
(6) 振荡环节
阻尼比 自然振荡频率
时具有一对共轭复极点：
例 电枢控制式直流电动机的方框图表示
(3) 反馈结构的等效变换
C(s) = ?
R(s) B(s)
E(s)
G(s) H(s)
C(s)
R(s)
G( s ) C(s) 1 H ( s)G( s)
反馈结构传递函数=
前向通道传递函数 1-/+开环传递函数
C2(s)
并联结构的等效变换
R(s)
G1(s)
C1(s)
C(s)
G2(s)
C2(s)
并联结构的等效变换图
R(s)
G1(s)
G2(s)
两个并联的 C(s) 方框可以合并 为一个方框， 合并后方框的 传递函数等于 C2(s) 两个方框传递 函数的代数和 C1(s)
C(s)
R(s)
G1(s) G2(s)
自动控制理论第二章传递函数_图文
解：前向通路4条 独立回路3个
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
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2.4.3
•
闭环系统的结构图和传递函数
控制系统常采用反馈结构，又称闭环控制系统。通常，控制系统 会受到两类外作用信号的影响。一类是有用信号，或称为输入信 号、给定值、参考输入等，常用r(t)表示；另一类则是扰动，或 称为干扰、噪声等，常用n(t)表示。 通过对反馈控制系统建立微分方程模型，直接在零初始条件下进 行拉氏变换，可求取反馈控制系统的传函。 通过对反馈控制系统结构图简化也能求传函。
N ( s)
R(s)
E ( s)
பைடு நூலகம்
G1 ( s )
G2 ( s )
C ( s)
B( s )
H ( s)
图2.18 反馈控制系统
系统的开环传递函数 上图中将反馈的输出通路断开，反馈信号 对于参考输入信号的传递函数称为开环 传递函数。这时前向通路传递函数与反 馈通路传递函数的乘积为该系统的开环 传递函数。
• •
N ( s)
R(s)
E ( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C ( s)
B( s )
H ( s)
图2.18 反馈控制系统
N ( s)
R(s)
E ( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C ( s)
B( s )
H ( s)
图2.18 反馈控制系统
前向通道传递函数 前向通道是指从输入端 到输出端的通道
闭环系统的特征方程
• 上面导出闭环传递函数及误差传递函数虽然各不相同，但是他们 的分母却是一样的。均为：1 G1 s G2 s H s
这是闭环控制系统各种传递函数都具有的的规律性，称其为特征多项式
令
D s 1 G1 s G2 s H s 0 并称其为闭环特征方程。 将 其改写为如下形式：
G( s) B( s)
E( s)
G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
系统总输出
根据线性系统的叠加原理，系统的总输出应为各外作用 引起输出的综合因而得到系统总输出为：
C ( s ) ( s ) R( s ) n ( s ) N ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) G2 ( s ) R( s ) N ( s) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) 1 [G1 ( s )G2 ( s ) R( s ) G2 ( s ) N ( s )] 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
对输入而言： Pr ( s ) C ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) R( s ) 对扰动而言： Pn ( s ) C ( s ) G2 ( s ) N ( s)
反馈通道传递函数
从输出端反送到参考输入 端的信号通道，称为反 馈通道
对输入而言： r ( s) B( s) H (s) C (s)
c ( s) K a K s K m / iRa 2 r (s) Js ( B K m K e / Ra )s K a K s K m / iRa
（2）求ML作用下系统的闭环传递函数
c (s) M L (s)
令θr(t) =0，系统以ML为输入的方块图如图(a)所示。
(a)
经方块图变换后 如图(b)所示可求 得：
(b)
n ( s)
c(s)
M L(s)
1/ i J 2 s ( B K m K e / Ra ) s K a K s K m / iRa
（3）系统在给定值θr(t)作用及在负载力矩ML作用下的总输出 为两部分迭加，即
C(s) (s) r (s) n (s)M L (s)
s n an1s n1 a1s a0 0 (s p1 )(s p2 )(s pn ) 0
p1、p2、 pn 可以是实数或共轭复数，称为特征方程的根，或称为闭环系
统的极点
•
• •
对给定的系统而言，特征多项式是唯一的，即闭环极点的分布是 唯一的。 闭环系统的极点与控制系统的瞬态响应和系统的稳定性密切相关 特征多项式与开环传函相关，因此其动态特性可用开环传函分析
例2.11 如图所示位置随动系统的方块图，求系统在给定值 θr(t)作用下的闭环传递函数及在负载力矩ML作用下的闭 环传递函数，并求两信号同时作用下，系统总输出c(t) 的拉氏变换式。
解
（1）求
作用下系统的闭环传递函数
令ML=0，运用串联及反馈法则，可求得：
( s )
c (s) r (s)
•
闭环系统的结构图和传递函数
控制系统常采用反馈结构，又称闭环控制系统。通常，控制系统 会受到两类外作用信号的影响。一类是有用信号，或称为输入信 号、给定值、参考输入等，常用r(t)表示；另一类则是扰动，或 称为干扰、噪声等，常用n(t)表示。 通过对反馈控制系统建立微分方程模型，直接在零初始条件下进 行拉氏变换，可求取反馈控制系统的传函。 通过对反馈控制系统结构图简化也能求传函。
N ( s)
R(s)
E ( s)
பைடு நூலகம்
G1 ( s )
G2 ( s )
C ( s)
B( s )
H ( s)
图2.18 反馈控制系统
系统的开环传递函数 上图中将反馈的输出通路断开，反馈信号 对于参考输入信号的传递函数称为开环 传递函数。这时前向通路传递函数与反 馈通路传递函数的乘积为该系统的开环 传递函数。
• •
N ( s)
R(s)
E ( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C ( s)
B( s )
H ( s)
图2.18 反馈控制系统
N ( s)
R(s)
E ( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C ( s)
B( s )
H ( s)
图2.18 反馈控制系统
前向通道传递函数 前向通道是指从输入端 到输出端的通道
闭环系统的特征方程
• 上面导出闭环传递函数及误差传递函数虽然各不相同，但是他们 的分母却是一样的。均为：1 G1 s G2 s H s
这是闭环控制系统各种传递函数都具有的的规律性，称其为特征多项式
令
D s 1 G1 s G2 s H s 0 并称其为闭环特征方程。 将 其改写为如下形式：
G( s) B( s)
E( s)
G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
系统总输出
根据线性系统的叠加原理，系统的总输出应为各外作用 引起输出的综合因而得到系统总输出为：
C ( s ) ( s ) R( s ) n ( s ) N ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) G2 ( s ) R( s ) N ( s) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) 1 [G1 ( s )G2 ( s ) R( s ) G2 ( s ) N ( s )] 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
对输入而言： Pr ( s ) C ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) R( s ) 对扰动而言： Pn ( s ) C ( s ) G2 ( s ) N ( s)
反馈通道传递函数
从输出端反送到参考输入 端的信号通道，称为反 馈通道
对输入而言： r ( s) B( s) H (s) C (s)
c ( s) K a K s K m / iRa 2 r (s) Js ( B K m K e / Ra )s K a K s K m / iRa
（2）求ML作用下系统的闭环传递函数
c (s) M L (s)
令θr(t) =0，系统以ML为输入的方块图如图(a)所示。
(a)
经方块图变换后 如图(b)所示可求 得：
(b)
n ( s)
c(s)
M L(s)
1/ i J 2 s ( B K m K e / Ra ) s K a K s K m / iRa
（3）系统在给定值θr(t)作用及在负载力矩ML作用下的总输出 为两部分迭加，即
C(s) (s) r (s) n (s)M L (s)
s n an1s n1 a1s a0 0 (s p1 )(s p2 )(s pn ) 0
p1、p2、 pn 可以是实数或共轭复数，称为特征方程的根，或称为闭环系
统的极点
•
• •
对给定的系统而言，特征多项式是唯一的，即闭环极点的分布是 唯一的。 闭环系统的极点与控制系统的瞬态响应和系统的稳定性密切相关 特征多项式与开环传函相关，因此其动态特性可用开环传函分析
例2.11 如图所示位置随动系统的方块图，求系统在给定值 θr(t)作用下的闭环传递函数及在负载力矩ML作用下的闭 环传递函数，并求两信号同时作用下，系统总输出c(t) 的拉氏变换式。
解
（1）求
作用下系统的闭环传递函数
令ML=0，运用串联及反馈法则，可求得：
( s )
c (s) r (s)