【区级联考】浙江省杭州市西湖区2021届九年级(上)期末数学试题

2020-2021学年杭州市七县区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若二次函数y=a2x2−bx−c的图象，过不同的六点A(−1,n)、B(5,n−1)、C(6,n+1)、D(4,y1)、E(√2,y2)、F(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y1<y3<y2C. y3<y2<y1D. y2<y1<y32.下列事件是必然事件的是()A. 人掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面朝上B. 从一副扑克牌中抽出一张恰好是黑桃C. 任意一个三角形的内角和等于180°D. 打开电视，正在播广告3.已知3x=4y(x≠0)，则下列比例式成立的是()A. x3=y4B. 3y=4xC. 3y=x4D. xy=344.等腰三角形的两边长分别是5cm和10cm，则它的周长是()A. 15cmB. 20cmC. 25cmD. 20cm或25cm5.如图，在平行四边形中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，下列结论：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=12DH；④S△ABE=3S△AGE.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.下列关于二次函数y=x2−3的图象与性质的描述，不正确的是()A. 该函数图象的开口向上B. 函数值y随着自变量x的值的增大而增大C. 该函数图象关于y轴对称D. 该函数图象可由函数y=x2的图象平移得到7.下列说法错误的是()A. 无理数的相反数还是无理数B. 无限小数都是无理数C. 有理数和无理数统称为实数D. 实数与数轴上的点一一对应8.在△ABC中，(√3tanA−3)2+|2cosB−√3|=0，则△ABC为()A. 等腰直角三角形B. 有60°角的直角三角形C. 等边三角形D. 顶角为120°的等腰三角形9.如图，矩形ABCD中，AB=4，以顶点A为圆心，AD的长为半径作弧交AB于点E，以AB为直径作半圆恰好与DC相切，则图中阴影部分的面积为()A. 23π−√3B. 23π+√3C. 23π+√32D. 2π−√310.已知二次函数y=mx2+x+m(m−3)的图象经过原点，则m的值为()A. 0或3B. 0C. 3D. 无法确定二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.在△ABC中，若|sinA−√32|+|cosB−12|=0，则∠C=______．12.在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，每次从袋子中随即摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.6附近，则袋子中的红球约有______个．13.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经过C、D两点的⊙O分别交AC、BC于点E、F，AD=√3，∠ADC=60°，则劣弧CD⏜的长为______．14.已知AB是⊙O的弦，P为AB的中点，连接OA，OP，将△OPA绕点O旋转到△OQB，设⊙O的半径为1，∠AOQ=135°，则AQ的长为______．15.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,2)和B(−3,0)，则关于x的一元一次方程kx+b=0的解为______ ．16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC，则∠1的度数是______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.文具店有三种品牌的6个笔记本，价格是4，5，7(单位：元)三种，从中随机拿出一个本，已知P(．一次拿到7元本)=23(1)求这6个本价格的众数．(2)若琪琪已拿走一个7元本，嘉嘉准备从剩余5个本中随机拿一个本．①所剩的5个本价格的中位数与原来6个本价格的中位数是否相同？并简要说明理由；②嘉嘉先随机拿出一个本后不放回，之后又随机从剩余的本中拿一个本，用列表法求嘉嘉两次都拿到7元本的概率．18.如图，▱ABCD的边AB与经过A、C、D三点的⊙O相切．(1)求证：AC=AD；(2)如图2，延长BC交⊙O于点E，连接DE.若sin∠ADE=24，求tan∠DCE25的值．19.图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去(如图2)，它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形(点B、C在⊙O上)，其中BC//EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．(1)已知⊙O的半径为2.6cm，BC=2cm，AB=3.02cm，EF=3.12cm，求香水瓶的高度ℎ．(2)用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为S MNPQ=9cm2的有盖盒子(接缝处忽略不计).请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．20.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求：(1)该种药品平均每次降价的百分率．(2)若按(1)中的百分率再降一次，则每瓶的售价将为多少元？21.如图，已知正方形OABC的两个顶点坐标分别是A(2,0)，B(2,2).抛物线y=12x2−mx+12m2(m≠0)的对称轴交x轴于点P，交反比例函数y=kx(k>0)图象于点Q，连接OQ．(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的代数式表示)；(2)当m=12k=2时，求证：△OPQ为等腰直角三角形；(3)设反比例函数y=kx(k>0)图象交正方形OABC的边BC、BA于M、N两点，连接AQ、BQ，有S△ABQ= 4S△APQ．①当M为BC边的中点时，抛物线能经过点B吗？为什么？②连接OM、ON、MN，试分析△OMN有可能为等边三角形吗？若可能，试求m+2k的值；若不可能，请说明理由．22.已知，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，且AB=4，顶点P(3,−4)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M在抛物线上，且△MAB的面积为24，求M点的坐标．23.如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．(1)求证：DP是⊙O的切线；(2)若tan∠PDC=1，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的2长．参考答案及解析1.答案：C解析：解：由二次函数y=a2x2−bx−c可知，抛物线开口向上，∵A(−1,n)、B(5,n−1)、C(6,n+1)、∴A点关于对称轴的对称点在5与6之间，∴对称轴的取值范围为2<x<2.5，∴y1>y3，∵点E到对称轴的距离小于2−√2，点D到对称轴的距离大于4−2.5=1.5，∴y3<y2<y1，故选：C．由解析式可知抛物线开口向上，点A(−1,n)、B(5,n−1)、C(6,n+1)求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．2.答案：C解析：解：A、人掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面朝上是随机事件；B、从一副扑克牌中抽出一张恰好是黑桃是随机事件；C、任意一个三角形的内角和等于180°是必然事件；D、打开电视，正在播广告是随机事件；故选：C．根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.答案：B解析：解：A、由x3=y4得4x=3y，故本选项错误；B、由3y =4x得3x=4y，故本选项正确；C、由3y =x4得xy=12，故本选项错误；D、由xy =34得4x=3y，故本选项错误；故选：B．根据两內项之积等于两外项之积对各选项进行计算，然后利用排除法求解．本题考查了比例的性质，熟记两內项之积等于两外项之积是解题的关键．4.答案：C解析：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，注意分类讨论思想的应用．分两种情况讨论：5cm为腰或底，再根据三角形的三边关系定理即可得出答案．解：当5cm为腰长时，三角形的三边为5cm，5cm，10cm，则不能构成三角形；当5cm为底边时，三角形的三边为5cm，10cm，10cm，则能构成三角形，三角形的周长为5+10+10=25cm．故选：C．5.答案：D解析：解：如右图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//BC，BE=DF，选项①正确；∵E、F是AD、BC中点，∴DE=12AD，BF=12BC，∴DE=BF，∵DE//BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE//DF，BE=DF，∴∠AEG=∠ADH，∠AGE=∠AHD，∴△AEG∽△ADH，又AE：AD=1：2，∴AG：AH=1：2，即G为AH中点，∴EG为△ADH的中位线，∴EG=12DH，选项③正确；同理H为CG的中点，HF也为△BCG的中位线，∴AG=GH=CH，选项②正确；又AD//BC，∴∠EAG=∠BCG，∠AEG=∠GBC，∴△AEG∽△BCG，又AE：BC=1：2，∴EG：GB=1：2，∵△AEG和△AGB分别以EG和GB为底边时，高相同，∴两三角形的面积之比也等于1：2，即2S△ABG=S△AGB，∴S△ABE=3S△AGE，选项④正确，则正确的结论有4个．故选：D．由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质对边平行且相等，得到AD与BC平行且相等，又E和F 分别为AD与BC的中点，利用等量代换得到ED与BF相等，且平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到DEFB为平行四边形，从而得到对边DF与BE相等，选项①正确；由DF与EB平行得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AEG与三角形ADH相似，且相似比为1：2，故得到G为AH中点，同理得到H为CG中点，即可得到AG=GH=HC，选项②正确；从而得到EG为三角形ADH的中位线，根据中位线性质得到EG等于DH的一半，选项③正确；由AD与BC平行得到两对内错角相等，从而得到三角形AEG与三角形GCB相似，且相似比为1：2，得到EG与GB之比为1：2，根据三角形AEG与三角形AGB底边分别为EG与GB时，高相同，故两三角形面积之比为1：2，从而得到S△ABE=3S△AGE.故选项④正确，从而得到正确选项的个数为4个．此题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，本题属于结论开放型题，由已知一定的条件，需探求问题的结论，解题的方法也多样化，解决此类问题往往采用执因索果，逐步推理的方法．6.答案：B解析：解：A、由a=1>0知抛物线开口向上，此选项描述正确；B、∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x>0时，y随x的增大而证得，故此选项描述错误；由y=−x2+2x=−(x−1)2+1知抛物线的顶点坐标为(1,1)，此选项错误；C、∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确；D、该函数图象可由函数y=x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确；故选：B．根据二次函数的性质逐一判断即可得．本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象平移的规律逐一分析四个选项的正误是解题的关键．7.答案：B解析：解：A、无理数的相反数还是无理数是正确的，如√2的相反数是−√2也是无理数，π的相反数−π，也是无理数等，不符合题意；B、无理数就是无限不循环小数，原来的说法是错误的，符合题意；C、有理数和无理数统称为实数是正确的，不符合题意；D、实数与数轴上的点一一对应是正确的，不符合题意．故选：B．A、根据无理数的定义和相反数的定义即可判断；B、根据无理数的定义进行判断；C、根据实数的分类进行判断；D、根据实数与数轴的关系进行判断．本题考查了实数，无理数是指无限不循环小数，a的相反数是−a，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．8.答案：B解析：解：因为(√3tanA−3)2+|2cosB−√3|=0，所以√3tanA−3=0，2cosB−√3=0，，所以tanA=√3，cosB=√32所以A=60°，B=30°，则△ABC为有60°角的直角三角形．故选：B．根据非负数的性质和特殊角的三角函数值即可进行判断．本题考查了等腰直角三角形、非负数的性质、等边三角形的判定、特殊角的三角函数值，解决本题的关键是综合运用以上知识．9.答案：B解析：如图，连接AG、EG、由题意易知△AEG是等边三角形，根据S阴=S半圆−S扇形AEG−S弓形AMG计算即可解决问题．本题考查切线的性质、等边三角形的判定和性质、扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．解：如图，连接AG 、EG ．由题意易知△AEG 是等边三角形，S 阴=S 半圆−S 扇形AEG −S 弓形AMG=2π−60π⋅22360−(60π⋅22360−√34⋅22) =√3+23π. 故选：B ．10.答案：C解析：本题考查了点与函数的关系，解题时注意分析，理解题意．根据题意得：m(m −3)=0，∴m =0或m =3，∵二次函数的二次项系数不为零，∴m =3．故选C ．11.答案：60°解析：解：根据题意得：{sinA −√32=0…①cosB −12=0…②， 则sinA =√32，cosB =12， 则∠A =60°，∠B =60°，∠C =180°−∠A −∠B =60°．故答案是：60°．根据非负数的性质，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0，以及特殊角的三角函数值求得∠A和∠B的度数，然后利用三角形的内角和定理求解．本题考查非负数的性质以及特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．12.答案：2解析：解：设袋中红球有x个，=0.6，根据题意，得：33+x解得：x=2，经检验：x=2是分式方程的解，所以袋中红球有2个，故答案为：2．根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用白在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键．π13.答案：43解析：解：连接DF，OD，∵CF是⊙O的直径，∴∠CDF=90°，∵∠ADC=60°，∠A=90°，∴∠ACD=30°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCF=30°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=30°，∴∠COD=120°，在Rt△CAD中，CD=2AD=2√3，在Rt△FCD中，CF=CDcos30∘=2√3√32=4，∴⊙O的半径为2，∴劣弧CD⏜的长=120π×2180=43π，故答案为43π.连接DF，OD，根据圆周角定理得到∠CDF=90°，根据三角形的内角和得到∠COD=120°，根据三角函数的定义得到CF=CDcos∠DCF=4，根据弧长的计算公式即可得到结论．本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．14.答案：√102解析：解：如图，∵OA=OB，P为AB的中点，∴OP⊥AB，∠AOP=∠BOP，∵将△OPA绕点O旋转到△OQB，∴∠BOQ=∠AOP，QB=AP，∴∠AOP=∠BOP=∠BOQ，∵∠AOQ=135°，∴∠AOP=∠BOP=∠BOQ=45°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AP=OP=BQ=12AB，∠OAP=∠ABO=∠OBQ=45°，∴∠ABQ=90°，∵OA=OB=1，∴AB=√2，∴BQ=√22，∴AQ=√AB2+BQ2=√102，故答案为：√10．2根据等腰三角形的性质得到OP⊥AB，∠AOP=∠BOP，根据旋转的性质得到∠BOQ=∠AOP，QB= AP，推出△AOB是等腰直角三角形，求得∠ABQ=90°，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了旋转的性质，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．15.答案：x=−3解析：此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k,b为常数，k≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．所求方程的解，即为函数y=kx+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．解：方程kx+b=0的解，即为函数y=kx+b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y=kx+b过B(−3,0)，∴方程kx+b=0的解是x=−3．故答案为x=−3．16.答案：72°解析：解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=(180°−36°)÷2=72°，又∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=36°，∴∠1=72°，故答案为：72°．由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解．本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的性质；综合运用各种知识是解答本题的关键．=4本，因此单价为7元有4本，17.答案：解：(1)6×23这6本的价格为4元、5元、7元、7元、7元、7元，因此这6个本价格的众数是7元．(2)①相同；原来6本价格为：4元、5元、7元、7元、7元、7元，价格的中位数是7+72=7元，后来5本价格为：4元、5元、7元、7元、7元，价格的中位数是7元，因此相同；②用列表法列举出所有等可能出现的情况如下：共有20种等可能的情况，其中两次都是7的有6种，∴P(两次都为7)=620=310．解析：本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．(1)根据6个笔记本，价格是4，5，7(单位：元)三种，从中随机拿出一个本，P(一次拿到7元本)=23.可求出单价为7元的笔记本的本数，进而得出众数；(2)①求出原来6本价格、后来5本价格的中位数，进行判断即可；②用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．18.答案：(1)证明：连接AO并延长交CD于F，如图，∵AB为切线，∴AF⊥AB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB//CD，∴AF⊥CD，∴CF=DF，即AF垂直平分CD，∴AC=AD；(2)解：过A点作AH⊥BC，如图，∵∠ACB+∠ACE=180°，∠ADE+∠ACE=180°，∴∠ACB=∠ADE，∴sin∠ACB=sin∠ADE=2425，在Rt△ACH中，∵sin∠ACH=AHAC =2425，∴设AH=24x，AC=25x，∴CH=√(25x)2−(24x)2=7x，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD，AB//CD，而AD=AC，∴BC=AC=25x，∴BH=CB−CH=25x−7x=18x，在Rt△ABH中，tanB=AHBH =24x18x=43，∵AB//CD，∴∠DCE=∠B，∴tan∠DCE=43．解析：(1)连接AO并延长交CD于F，如图，根据切线的性质得到AF⊥AB，再利用平行四边形的性质得到AB//CD，所以AF⊥CD，根据垂径定理可判断AF垂直平分CD，从而得到结论；(2)过A点作AH⊥BC，如图，先根据圆内接四边形的性质得到∠ACB=∠ADE，在Rt△ACH中利用正弦的定义得到sin∠ACH=AHAC =2425，则可设AH=24x，AC=25x，所以CH=7x，所以BC=AD=AC=25x，BH=18x，接着根据正切定义得到tanB=43，然后证明∠DCE=∠B，从而得到tan∠DCE 的值．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和解直角三角形．19.答案：解：(1)作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．∵EF//BC，∴OH⊥EF，∴BG=12BC，EH=12EF∴GO=√2．62−12=2.4；OH=√2．62−1.562=2.08，∴ℎ=2.4+2.08+3.02=7.5cm．(2)设盒子的高为xcm．由题意：(22−2x)⋅19−2x2=9解得x=8或12.5(舍弃)，∴MQ=6，MN=1.5∵2.6×2=5.2<6；1.3<1.5；7.5<8，∴能装入盒子．解析：(1)作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO.解直角三角形分别求出OG，OH即可解决问题；(2)设盒子的高为xcm.根据S MNPQ=9，构建方程即可解决问题；本题考查垂径定理，勾股定理，翻折变换，一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．20.答案：解：(1)设该种药品平均每次降价的百分率是x，依题意得：200(1−x)2=98解得：x1=0.3，x2=1.7(不合题意舍去)∴取x=0.3=30%．答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．(2)98(1−30%)=68.6(元)答：若按(1)中的百分率再降一次，则每瓶的售价将为68.6元．解析：(1)设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200(1−x)2，据此列出方程求解即可；(2)用连续两次降价后的价格继续下降30%后即可求得答案．此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．21.答案：解：(1)∵y=12x2−mx+12m2=12(x2−2mx)+12m2=12(x−m)2，∴顶点为(m,0)；(2)∵m=12k=2，∴k=4，∴y=12x2−2x+2；y=4x，如图1，抛物线对称轴为x=2，∴点P(2,0).∴Q(2,2)，连结OQ，∵OP=PQ=2，∴△OPQ是等腰直角三角形；(3)①如图2，∵正方形OABC，顶点A(2,0)，B(2,2)，∴OA=AB=BC=2．∵M为BC中点，∴CM=1，M(1,2)．∴y=2 x∵S△ABQ=4S△APQ∴12AB ⋅AP =4×12AP ⋅PQ ，即AB =4PQ ，∴PQ =14AB =14×2=12， ∴点Q 的纵坐标为12或−12(负值舍去)，∴P(4,0)，代入y =12x 2−mx +12m 2解得：m =4，∴抛物线解析式为y =12x 2−4x +8．将B(2,2)代入y =12x 2−4x +8，成立．∴当M 为BC 边的中点时，抛物线能经过点B ，(其它方法可酌情给分)②有可能如图3所示，当△OMN 为等边三角形时，∠MON =60°，OM =ON ，在Rt △COM 和Rt △AON 中{MO =ON CO =OA， ∴Rt △COM≌Rt △AON ，∴∠COM =∠AON ，又∵∠COA =90°，∴∠COM +∠AON =30°，∴∠COM =∠AON =15°．作线段ON 的垂直平分线，交x 轴于点D ，连结DN ，则DO =DN ．∴∠DNO =∠DON =15°，∠DNA =30°．设N(2,t)，则DO =DN =2t ，AD =√3t.∴OA =DO +DA =2t +√3t =2，解得：t =4−2√3，∴N(2,4−2√3)，∴k =2(4−2√3)=8−4√3，∴反比例函数解析式为y =8−4√3x ， 由①知，点Q 的纵坐标为12或−12．当y =12时，如图4，8−4√3x =12， 解得：x =16−8√3，即m =16−8√3，∴m +2k =16−8√3+2(8−4√3)=32−16√3，当y =−12时，如图5，8−4√3x =−12， 解得：x =−16+8√3，即m =−16+8√3，∴m +2k =−16+8√3+2(8−4√3)=0．解析：本题主要考查二次函数的综合题，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．(1)利用配方法求出顶点坐标即可；(2)利用m =12k =2得出k 的值，进而得出P ，Q 点坐标，即可得出△OPQ 是等腰直角三角形；(3)①根据S△ABQ=4S△APQ得出12AB⋅AP=4×12AP⋅PQ，即AB=4PQ，进而得出点Q的纵坐标为12或−12(负值舍去)，再求出m的值，将B点代入即可；②首先判断得出Rt△COM≌Rt△AON，进而得出∠DNO=∠DON=15°，∠DNA=30°，求出N点坐标，得出反比例函数解析式，进而得出m的值．22.答案：解：(1)∵顶点P(3,−4)，故函数的对称轴为直线x=3，又∵抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，∴点A、B到对称轴的距离均为2，故点A、B的坐标分别为：(1,0)、(5,0)，设抛物线的表达式为：y=a(x−3)2−4，将点B的坐标代入上式得：0=a(5−3)2−4，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=(x−3)2−4=x2−6x+5；(2)设点M的坐标为：(m,m2−6m+5)，△MAB的面积=12×AB×|y M|12×4×|m2−6m+5|=24，解得：x=7或−1(不合题意的值已舍去)，故点M的坐标为：(−1,12)或(7,12)．解析：(1)由对称轴为直线x=3，求出点A、B的坐标即可求解；(2)设点M的坐标为：(m,m2−6m+5)，则△MAB的面积=12×AB×|y M|=12×4×|m2−6m+5|=24，即可求解．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．23.答案：(1)证明：连接OD，∵正方形ABCD中，CD=BC，CP=CP，∠DCP=∠BCP=45°，∴△CDP≌△CBP(SAS)，∴∠CDP=∠CBP，∵∠BCD=90°，∴∠CBP+∠BEC=90°，∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∠OED=∠BEC，∴∠BEC=∠OED=∠ODE，∴∠CDP+∠ODE=90°，∴∠ODP=90°，∴DP是⊙O的切线；(2)解：∵∠CDP=∠CBE，∴tan∠CBE=tan∠CDP=CEBC =12，∴CE=12×4=2，∴DE=2，∵∠EDF=90°，∴EF是⊙O的直径，∴∠F+∠DEF=90°，∴∠F=∠CDP，在Rt△DEF中，DEDF =12，∴DF=4，∴EF=√DE2+DF2=√42+22=2√5，∴OE=√5，∵∠F=∠PDE，∠DPE=∠FPD，∴△DPE∽△FPD，∴PEPD =PDPF=DEDF，设PE=x，则PD=2x，∴x(x+2√5)=(2x)2，解得x=23√5，∴OP=OE+EP=√5+2√53=5√53．解析：本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用；熟练掌握切线的判定与性质并结合锐角三角函数进行计算是解决问题的关键．(1)连接OD，可证△CDP≌△CBP，可得∠CDP=∠CBP，由∠CBP+∠BEC=90°，∠BEC=∠OED=∠ODE，可证出∠ODP=90°，则DP是⊙O的切线；(2)先求出CE长，在Rt△DEF中可求出EF长，证明△DPE∽△FPD，由比例线段可求出EP长，则OP 可求出．。

2020-2021杭州市九年级数学上期末试卷附答案一、选择题1．若二次函数y =ax 2+1的图象经过点（-2，0），则关于x 的方程a （x -2）2+1=0的实数根为（ ） A ．1x 0=，2x 4= B ．1x 2=-，2x 6= C ．13x 2=，25x 2= D ．1x 4=-，2x 0=2．关于x 的方程（m ﹣3）x 2﹣4x ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值花围是（ ） A ．m≥1B ．m ＞1C ．m≥1且m≠3D ．m ＞1且m≠33．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．44．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x+k=0的两个根，则k 的值是（ ） A ．27B ．36C ．27或36D ．185．已知m 、n 是方程2210x x --=的两根，且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于A ．5-B ．5C ．9-D ．96．若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是A ．点A 在圆外B ．点A 在圆上C ．点A 在圆内D ．不能确定7．五粮液集团2018年净利润为400亿元，计划2020年净利润为640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为x ，则可列方程是（ ） A ．400(1)640x +=B ．2400(1)640x +=C ．2400(1)400(1)640x x +++=D ．2400400(1)400(1)640x x ++++=8．关于下列二次函数图象之间的变换，叙述错误的是（ ） A ．将y ＝﹣2x 2+1的图象向下平移3个单位得到y ＝﹣2x 2﹣2的图象 B ．将y ＝﹣2（x ﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y ＝﹣2（x+2）2的图象 C ．将y ＝﹣2x 2的图象沿x 轴翻折得到y ＝2x 2的图象D ．将y ＝﹣2（x ﹣1）2+1的图象沿y 轴翻折得到y ＝﹣2（x+1）2﹣1的图象9．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是（ ）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞410．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为280m的矩形花圃（墙长为12m），围栏总长度为28m，则与墙垂直的边x为（）A．4m或10m B．4m C．10m D．8m11．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6y ﹣1.59﹣1.16﹣0.71﹣0.240.250.76则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件( )A．1.2＜x＜1.3B．1.3＜x＜1.4C．1.4＜x＜1.5D．1.5＜x＜1.612．二次函数y=3(x–2)2–5与y轴交点坐标为( )A．(0，2)B．(0，–5)C．(0，7)D．(0，3)二、填空题13．一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是27，则袋中红球约为________个．14．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____．15．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为．16．四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝125°，则∠C 的度数为_____°．17．关于x 的一元二次方程2ax x 10+-=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______．18．两块大小相同，含有30°角的三角板如图水平放置，将△CDE 绕点C 按逆时针方向旋转，当点E 的对应点E′恰好落在AB 上时，△CDE 旋转的角度是______度．19．一元二次方程22x 20-=的解是______．20．若一元二次方程x 2+px ﹣2＝0的一个根为2，则p ＝_____，另一个根是_____．三、解答题21．一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果； （2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．22．为了创建国家级卫生城区，某社区在九月份购买了甲、乙两种绿色植物共1100盆，共花费了27000元．已知甲种绿色植物每盆20元，乙种绿色植物每盆30元． （1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物各多少盆？（2）十月份，该社区决定再次购买甲、两种绿色植物．已知十月份甲种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠5a元()0a >，十月份乙种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠2%5a ．因创卫需要，该社区十月份购买甲种绿色植物的数量比九月份的数量增加了1%2a ，十为份购买乙种绿色植物的数量比九月份的数量增加了%a ．若该社区十月份的总花费与九月份的总花费恰好相同，求a 的值．23．某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据：转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”的次数m68111136345546701落在“铅笔”的频率m n（结果保留小数点后两位）0.680.740.680.690.680.70（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_______；（结果保留小数点后一位）（2）铅笔每只0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用；（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度．24．如图7，某中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆，设矩形的宽为x，面积为y．（1）求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；（2）生物园的面积能否达到210平方米，说明理由．25．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张．(1)请用树状图或列表法等方法列出各种可能出现的结果；(2)求两次抽到的卡片上的数字之和等于5的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A【解析】 【分析】二次函数y=ax 2+1的图象经过点（-2，0），得到4a+1=0，求得a=-，代入方程a （x-2）2+1=0即可得到结论．【详解】解：∵二次函数y=ax 2+1的图象经过点（-2，0）， ∴4a+1=0， ∴a=-14， ∴方程a （x-2）2+1=0为：方程-（x-2）2+1=0，解得：x 1=0，x 2=4， 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．2．D解析：D 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式列出关于m 的一元一次不等式组，然后方程组即可. 【详解】解：∵（m-3）x 2-4x-2=0是关于x 的方程有两个不相等的实数根，∴230(4)4(3)(2)0m m -≠⎧⎨∆=---⨯->⎩ 解得：m>1且m ≠3. 故答案为D. 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，正确运用一元二次方程的定义和根的判别式解题是解答本题的关键.3．B解析：B 【解析】 【分析】取EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，设OF=x ，则OM=4-x ，MF=2，然后在Rt △MOF 中利用勾股定理求得OF 的长即可． 【详解】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选B．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．B解析：B【解析】试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（1）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（2）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可．试题解析：分两种情况：（1）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，得：32-12×3+k=0解得:k=27将k=27代入原方程，得：x2-12x+27=0解得x=3或93，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去；（2）当3为底时，则其他两边相等，即△=0，此时：144-4k=0解得：k=36将k=36代入原方程，得：x2-12x+36=0解得：x=63，6，6能够组成三角形，符合题意．故k的值为36．故选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．一元二次方程的解．5．C解析：C【解析】试题解析：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8∴（7+a）×（﹣4）=8∴a=﹣9．故选C．6．C解析：C【解析】【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选C．7．B解析：B【解析】【分析】根据平均年增长率即可解题.【详解】解：设这两年的年净利润平均增长率为x，依题意得：()2+=4001640x故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,熟悉平均年增长率概念是解题关键.8．D解析：D【解析】【分析】根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A选项,将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象,故A选项不符合题意;B选项,将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象,故B选项不符合题意;C选项,将y＝﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y＝2x2的图象,故C选项不符合题意;D选项,将y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象沿y轴翻折得到y＝﹣2（x+1）2+1的图象,故D选项符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的关键.9．B解析：B【解析】【分析】【详解】当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．故选B．10．C解析：C【解析】【分析】设与墙相对的边长为（28-2x）m，根据题意列出方程x（28-2x）=80，求解即可.【详解】设与墙相对的边长为（28-2x）m，则0＜28-2x≤12，解得8≤x＜14，根据题意列出方程x（28-2x）=80，解得x1=4，x2=10因为8≤x＜14∴与墙垂直的边x为10m故答案为C.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并求解是解题的关键，注意题中限制条件，选取适合的x 值.11．C解析：C 【解析】 【分析】仔细看表，可发现y 的值-0.24和0.25最接近0，再看对应的x 的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax 2+bx+c=0的一个根．ax 2+bx+c=0的一个解x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5． 故选C ． 【点睛】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意使x=0,求出相应的y 的值即可求解. 【详解】∵y=3（x ﹣2）2﹣5, ∴当x=0时，y=7, ∴二次函数y=3（x ﹣2）2﹣5与y 轴交点坐标为(0,7). 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式.二、填空题13．25【解析】【分析】【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷=35个所以袋中红球约为35-10=25个考点：简单事件的频率解析：25 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷27=35个，所以袋中红球约为35-10=25个.考点：简单事件的频率.14．12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程再利用三角形三边关系得出各边长进而得出答案【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0解得：x1＝2x2＝5故等腰三角形的腰长只能为55底边长解析：12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质. 15．【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过ABC三点的外接圆从而得出答案如图分别作ABBC的中垂线两直线的交点为O以O为圆心OA为半径作圆则⊙O即为过ABC三点的外接圆由图可知⊙O还经过点DEFGH这5解析：【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为5．考点：圆的有关性质.16．【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质进行计算即可【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠A+∠C＝180°∵∠A＝125°∴∠C＝55°故答案为：55【点睛】本题考查了圆内接四边形的性解析：【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质进行计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A +∠C ＝180°，∵∠A ＝125°，∴∠C ＝55°，故答案为：55．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，理解圆内接四边形的对角互补的性质是解答本题的关键.17．且【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根即可得判别式继而可求得a 的范围【详解】关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得：方程是一元二次方程的范围是：且故答案为：且【点睛】本题 解析：1a 4>-且a 0≠ 【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程2ax x 10++=有两个不相等的实数根，即可得判别式0>，继而可求得a 的范围．【详解】关于x 的一元二次方程2ax x 10+-=有两个不相等的实数根， ()22b 4ac 14a 114a 0∴=-=-⨯⨯-=+>，解得：1a 4>-， 方程2ax 2x 10-+=是一元二次方程，a 0∴≠，a ∴的范围是：1a 4>-且a 0≠， 故答案为：1a 4>-且a 0≠． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式以及一元二次方程的定义，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根． 18．30【解析】【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质可知CE′是△ACB 的中线可得△E′CB 是等边三角形从而得出∠ACE′的度数和CE′的长从而得出△CDE 旋转的度数【详解】解：∵三角板是两块大小解析：30【解析】【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质可知CE′是△ACB的中线，可得△E′CB是等边三角形，从而得出∠ACE′的度数和CE′的长，从而得出△CDE旋转的度数．【详解】解：∵三角板是两块大小一样且含有30°的角，∴CE′是△ACB的中线，∴CE′＝BC＝BE′，∴△E′CB是等边三角形，∴∠BCE′＝60°，∴∠ACE′＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30．【点睛】本题考查了含有30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，本题关键是得到CE´是△ABC的中线．19．x1＝1x2＝－1【解析】分析：方程整理后利用平方根定义开方即可求出解详解：方程整理得：x2=1开方得：x=±1解得：x1=1x2=﹣1故答案为x1=1x2=﹣1点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接解析：x1＝1，x2＝－1【解析】分析：方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．详解：方程整理得：x2=1，开方得：x=±1，解得：x1=1，x2=﹣1．故答案为x1=1，x2=﹣1．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解答本题的关键．20．-1-1【解析】【分析】设方程的另一根为t根据根与系数的关系得到2+t=-p2t=-2然后先求出t再求出p【详解】解：设方程的另一根为t根据题意得2+t＝﹣p2t＝﹣2所以t＝﹣1p＝﹣1故答案为：解析：-1-1【解析】【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t=-p，2t=-2，然后先求出t，再求出p．【详解】解：设方程的另一根为t，根据题意得2+t＝﹣p，2t＝﹣2，所以t＝﹣1，p＝﹣1．故答案为：﹣1，﹣1．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 三、解答题21．(1)见解析;(2)13. 【解析】【分析】（1）画树状图列举出所有情况；（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．【点睛】本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键.22．（1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为600，500盆；（2）a 的值为25【解析】【分析】（1）设该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为x ，y 盆，根据甲、乙两种绿色植物共1100盆和共花费了27000元列二元一次方程组即可；（2）结合（1）根据题意列出关于a 的方程，用换元法，设%t a =，化简方程， 求解即可．【详解】 解：（1）设该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为x ，y 盆，由题意知，1100203027000x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得，600500x y =⎧⎨=⎩， 答：该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为600，500盆；（2）由题意知，12(20)600(1%)30(1%)500(1%)27000525aa a a -⨯++-⨯+=， 令%t a =，原式可化为240t t -=，解得，10t =（舍去），20.25t =，∴25a =，∴a 的值为25．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程在实际问题中的应用，根据题意正确列式是解题的关键．23．（1）0.7；（2）该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元；（3）36【解析】【分析】（1）利用频率估计概率求解；（2）利用（1）得到获得铅笔的概率为0.7和获得饮料的概率为0.3，然后计算4000×0.5×0.7+4000×3×0.3即可；（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n 度，则4000×3×360n +4000×0.5（1-360n ）=3000，然后解方程即可． 【详解】（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7；故答案为 0.7（2）4000×0.5×0.7+4000×3×0.3＝5000， 所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元；（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n 度，则4000×3×360n +4000×0.5（1﹣360n ）＝3000，解得n ＝36， 所以转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为36度．故答案为36．【点睛】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了扇形统计图．24．（1）y= -2x 2+40x ；0＜x≤403；（2）不能，理由见解析． 【解析】【分析】（1）设矩形的宽为x ，则长为40-2x ，根据矩形面积公式“面积=长×宽”列出函数的关系式；（2）令y=210，看函数方程有没有解．【详解】解：（1）设矩形的宽为x，则长为40-2x，y=x（40-2x）=-2x2+40x又要围成矩形，则40-2x≥x，x≤40 3x的取值范围：0＜x≤40 3（2）令y=210，则-2x2+40x=210变形得：2x2-40x+210=0，即x2-20x+105=0，又∵△=b2-4ac=（-20）2-4×1×105＜0，∴方程无实数解，∴生物园的面积达不到210平方米．【点睛】本题考查的是函数关系式的求法及最值的求法，同学们应该掌握．25．（1）见解析；（2）1 4【解析】【分析】(1)直接用树状图或列表法等方法列出各种可能出现的结果；(2)由(1)可知所有16种等可能的结果数，再找出两次抽到的卡片上的数字之和等于5的结果数。

2020-2021学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，sin A＝（）A．B．2C．D．2．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2DB，DE＝2，则BC＝（）A．6B．5C．4D．33．（3分）对称轴为y轴的二次函数是（）A．y＝（x+1）2B．y＝2（x﹣1）2C．y＝2x2+1D．y＝﹣（x﹣1）2 4．（3分）随机从二男一女三名学生的学号中抽取两个人的学号，被抽中的两人性别不同的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知OE＝6，DO＝10，则CD的长为（）A．8B．12C．16D．206．（3分）以下点可能成为二次函数y＝﹣x2+2mx顶点的是（）A．（﹣2，4）B．（1，2）C．（﹣1，﹣1）D．（2，﹣4）7．（3分）如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上（E不与B、D重合），若AD＝3，则的长为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，点B，C，D在⊙A上，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．78°C．88°D．98°9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴没有交点，且过点A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y1＞y3B．y3＞y2＞y1C．y1＞y3＞y2D．y1＞y2＞y3 10．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，下列结论：①∠GOP＝∠BCP，②BC＝BP，③BG：PG＝+1，④DP＝PO．正确的是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.11．（4分）已知a＝3，b＝27，则a，b的比例中项为．12．（4分）如图，若△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则△DEF与△ABC的周长比为．13．（4分）把只有颜色不同的1个白球和2个红球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地摸出1个球后放回搅匀，再次随机地摸出1个球，两次都摸到红球的概率为．14．（4分）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式为．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，△A′B′C≌△ABC．点B′正好落在AB上，A′B′与AC相交于点D，那么＝．16．（4分）设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有m个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有n个交点，则所有可能的数对（m，n）是．三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥MN，点C在线段AB上，OC＝AC＝2，BC＝4，求⊙O的半径．18．（8分）小明想利用所学的知识来求出树的高度．如图，他观察到小树AB在路灯C的照射下形成投影BE．若根据灯杆的指示牌，已知路灯的高度CD＝6米，测得树影BE＝3.6米，树与路灯的水平距离BD＝4米，则树高AB为多少？19．（8分）一个袋中有3张形状大小完全相同的卡片，编号为1、2、3，先任取一张，再从剩下的两张中任取一张．请你用列举法（画树状图或列表的方法）求取出的两张卡片上的数字之和为5的概率．20．（10分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+h．（1）若函数图象经过点A（0，4），B（2，m），求m的值；（2）当a＜0，h＞0时，求证：函数图象与x轴有两个交点．21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，AC＝3．连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求EF：FD的值．22．（12分）已知二次函数y＝（x+1）（x+3k）．（1）若当x＝2时，该函数有最小值，求k的值．（2）若二次函数图象向上平移4个单位后与x轴只有一个交点，求k的值．（3）已知k≥1，当x≥m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．23．（12分）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE＝AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．（1）求FG：AE的值．（2）若AB：AC＝：2，①求证：∠AEF＝∠ACB．②求证：DF2＝DG•DA．2020-2021学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，∴sin A＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2．【分析】由DE∥BC可得出△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可得出＝，即可求出结论．【解答】解：∵AD＝2DB，∴．∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即，∴BC＝3．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，求出BC的长是解题的关键．3．【分析】对称轴是y轴，即直线x＝＝0，所以b＝0，只要抛物线的解析式中缺少一次项即可．【解答】解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x＝0，只要解析式一般式缺少一次项即可，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，），对称轴是直线x＝﹣．4．【分析】画出树状图得出所有等情况数和被抽中的两人性别不同的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：画树状图如图：共有6种等情况数，其中被抽中的两人性别不同的有4种，∴被抽中的两人性别不同的概率为＝，故选：C．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．【分析】先由垂径定理得CE＝DE＝CD，再由勾股定理求出DE＝8，即可得出答案．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE＝CD，∠OED＝90°，∴DE＝＝＝8，∴CD＝2DE＝16，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．6．【分析】化成顶点式求得顶点坐标为（m，m2），即可得出横坐标和纵坐标的关系，然后就能确定可能的顶点．【解答】解：∵y＝﹣x2+2mx＝﹣（x﹣m）2+m2，∴顶点坐标为（m，m2），∴可能成为函数顶点的是（﹣2，4），故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，求得顶点坐标是解题的关键．7．【分析】连接AC，AF，根据正方形的性质得出∠DAC＝45°，AD＝DC＝3，∠ADC ＝90°，求出A、D、F三点共线，A、E、C三点共线，求出∠FAC＝45°，再根据弧长公式求出答案即可．【解答】解：连接AC，AF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，AD＝DC＝3，∠ADC＝90°，由勾股定理得：AC＝＝＝3，∵将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上，∴A、D、F三点共线，A、E、C三点共线，∴∠FAC＝45°，∴的长是＝，故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长公式等知识点，能求出AC长和旋转角的度数是解此题的关键，注意：一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是．8．【分析】根据圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC＝22°，则∠CBD＝44°，然后再用圆周角定理得到∠CAD的度数．【解答】解：∵∠BDC＝∠BAC＝×44°＝22°，∴∠CBD＝2∠BDC＝2×22°＝44°，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CAD＝2×44°＝88°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．【分析】由二次函数y＝ax2+bx+1知c＝1，即二次函数和y轴交于点（0，1），而函数图象与x轴没有交点，故抛物线开口向上，点B、C的纵坐标相同，则二次函数函数的对称轴为直线x＝（﹣3+1）＝﹣1，再根据点离二次函数对称轴的距离的大小情况，即可求解．【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+1知c＝1，即二次函数和y轴交于点（0，1），而二次函数图象与x轴没有交点，故抛物线开口向上，点B、C的纵坐标相同，则二次函数的对称轴为直线x＝（﹣3+1）＝﹣1，而点离函数对称轴的距离从大到小的顺序是D、B（C）、A，故y3＞y2＞y1，故选：B．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．10．【分析】求得∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∠BCP＝67.5°即可判断①；根据等角对等边即可判断②；设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，即可得到BG＝x+x，即可得到BG：PG＝+1，即可判断③；由即可判断④．【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC＝22.5°，∵∠BGC＝90°，∴∠BCP＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠GOP＝∠BCP，故①正确；∵∠GOP＝∠BCP，∴BC＝BP，故②正确；设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝DH＝x，∴BG＝x+x，∴BG：PG＝+1，故③正确；∵BG：PG＝+1，∴BG：DH＝+1，∵DE∥BG，∴△PDH∽△PBG，∴，∵OB＝OD，∴DP≠PO，故④错误，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.11．【分析】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决．【解答】解：设a、b的比例中项为x，∵a＝3，b＝27，∴，即x2＝81，∴x＝±9，∴a，b的比例中项为±9，故答案为：±9．【点评】本题主要考查了比例线段．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b＝b：c，即b2＝ac，那么b叫做a与c的比例中项．12．【分析】如图，设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD、△ABC的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF∽△BAC，即可解决问题．【解答】解：设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE2＝22+22，EF2＝22+42，∴DE＝2，EF＝2；同理可求：AC＝，BC＝，∵DF＝2，AB＝2，∴＝＝＝，∴△EDF∽△BAC，∴△DEF与△ABC的周长比为：：1．故答案为：：1．【点评】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质定理的应用问题；应牢固掌握有关定理，这是灵活运用解题的关键；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．13．【分析】画树状图，共有9种等可能情况，两次都摸到红球的有4种情况，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图所示：共有9种等可能情况，两次都摸到红球的有4种情况，∴两次都摸到红球的概率为，故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．【分析】首先分别表示出二月、三月的产值，然后再列出函数解析式即可．【解答】解：由题意得：y＝200+200（1+x）+200（1+x）2＝200x2+600x+600（x＞0），故答案为：y＝200x2+600x+600（x＞0）．【点评】此题主要考查了根据实际问题列出二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．15．【分析】作辅助线；首先求出BM的长度，进而求出AC、BB′的长度；证明△A′DC ∽△ADB′，得，即可解决问题．【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，∴；设BC＝3λ，则AB＝5λ，由勾股定理得AC＝4λ，由射影定理得：BC2＝BM•AB，∴BM＝λ．由△A′B′C≌△ABC得：CB＝CB′，A′C＝AC＝4λ，∠A′＝∠A；而CM⊥BB′，∴B′M＝BM，AB′＝5λ﹣λ＝λ，∵∠A′＝∠A，∠A′DC＝∠ADB′，∴△A′DC∽△ADB′，∴，故答案为：．【点评】此题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．16．【分析】分m＝1和m＝2两种情况，利用函数和x轴交点情况，分别求解即可．【解答】解：（1）当m＝1时，则a＝b，当ab≠0时，则y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1＝a2x2+2ax+1，则△＝4a2﹣4a2＝0，故n＝1，当ab＝0时，同理函数的表达式为y＝1，则n＝0；（2）当m＝2时，则a≠b，当ab≠0时，则y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，则△＝（a+b）2﹣4ab＝（a ﹣b）2＞0，故n＝2，当ab＝0时，同理函数的表达式为y＝（a+b）x+1，则n＝1；故答案为：（1，1）、（1，0）、（2，2）、（2，1）．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【分析】连接OB，先由垂径定理得AD＝BD＝AB＝3，则CD＝AD﹣AC＝1，再由勾股定理求出OD＝，然后由勾股定理求出OB即可．【解答】解：连接OB，设AB与MN交于点D，如图所示：∵AC＝2，BC＝4，∴AB＝AC+BC＝6，∵AB⊥MN，∴AD＝BD＝AB＝3，∠ODC＝∠ODB＝90°，∴CD＝AD﹣AC＝1，∴OD＝＝＝，∴OB＝＝＝2，即⊙O的半径为2．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．18．【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△CED∽△AEB，∴＝，∴＝，∴AB＝（m），答：树高AB为米．【点评】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．【分析】列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为5的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：依题意画出树状图如下＝＝．共6种情况，数字之和为5的情况数有2种，P（数字之和为5）【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．【分析】（1）把两个已知点的坐标代入可求出m的值；（2）利用抛物线开口向下，顶点在x轴上方进行证明．【解答】（1）解：根据题意得，∴m＝4；（2）证明：抛物线y＝a（x﹣1）2+h的顶点坐标为（1，h），∵a＜0，∴图象开口向下，∵h＞0，∴抛物线的顶点（1，h）在x轴上方，∴函数图象与x轴有2个交点．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．21．【分析】（1）证明：OC为半径，E为AD中点，则OC⊥AD，AC＝CD，即可求解；（2）求出sin∠CBA＝＝，得到AE＝＝＝ED、AF＝＝，进而求解．【解答】（1）证明：∵OC为半径，E为AD中点．∴OC⊥AD，AC＝CD，∴∠ABC＝∠CAD；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC＝4，∴sin∠CBA＝＝，∴sin∠CAD＝，则CE＝，则AE＝＝＝ED，∵cos∠CBA＝，则cos∠CAD＝，则AF＝＝，∴EF＝AF﹣AE＝﹣＝，则FD＝AD﹣AF＝﹣＝，∴EF：FD＝9：7．备注：也可以利用三角形相似的解答方式如下：∵AB＝5，AC＝3，则BC＝4，∵∠CAD＝∠CBA，∠ACB＝∠ACF，∴△CAF∽△CBA，∴，即，解得CF＝，则BF＝BC﹣CF＝4﹣＝；同理可得：△CEF∽△BDF，∴＝．【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理等，涉及到解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．22．【分析】（1）先二次函数的解析式化为一般式，写出抛物线的对称轴方程，利用二次函数的性质得到﹣＝2，然后解方程即可；（2）写出平移后的抛物线解析式，再利用判别式的意义得到△＝（3k+1）2﹣4（3k+4）＝0，然后解关于k的方程；（3）利用k≥1和二次函数的性质得到当x≥﹣2时，y随着x的增大而增大，从而得到m≥﹣2．【解答】解：（1）y＝x2+（3k+1）x+3k，∵a＝1＞0，∴当x＝﹣时，y有最小值，即﹣＝2，解得k＝﹣；（2）二次函数图象向上平移4个单位所得抛物线解析式为y＝x2+（3k+1）x+3k+4，根据题意得△＝（3k+1）2﹣4（3k+4）＝0，解得k1＝﹣1，k2＝，∴k的值为﹣1或；（3）抛物线y＝x2+（3k+1）x+3k的对称轴为直线x＝﹣，∵k≥1，∴抛物线的对称轴在直线x＝﹣2的左侧（或对称轴为直线x＝﹣2），∵抛物线开口向上，∴当x≥﹣2时，y随着x的增大而增大，∴m可以取0．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．23．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，证明△AFE∽△CFD，根据相似三角形的性质得到＝，再根据△DFG∽△DEA列式计算即可；（2）①设AC＝2a，根据题意用a表示出AE、AF，证明△EAF∽△CAB，根据相似三角形的对应角相等证明即可；②证明△DFG∽△DAF，根据相似三角形的性质列式计算即可证明结论．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝AB，∵AB∥CD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝，∴＝，∵FG∥AB，∴△DFG∽△DEA，∴＝＝；（2）证明：①设AC＝2a，则AB＝a，∴AE＝a，由（1）可知，△AFE∽△CFD，∴＝＝，∴AF＝a，∴＝＝，∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴AEF＝∠ACB；②∵GF∥AB，∴∠DFG＝∠DEA，∵∠AEF＝∠ACB，∴∠DFG＝∠ACB，∵AD∥AC，∴∠ACB＝∠FAD，∴∠DFG＝∠FAD，∵∠FDG＝∠ADF，∴△DFG∽△DAF，∴DF2＝DG•DA．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理的和性质定理是解题的关键,。

浙江省杭州市2021年九年级上学期数学期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（）A . （-4，-5）B . （-5，-4）C . （-3，-4）D . （-4，-3）2. （2分） (2015九上·宜昌期中) 点P（1，2）关于原点的对称点P′的坐标为（）A . （2，1）B . （﹣1，﹣2）C . （1，﹣2）D . （﹣2，﹣1）3. （2分） (2017九上·铁岭期末) 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD 相交于点F，DE：EC=2：3，则S△DEF：S△ABF等于（）A . 4:25B . 4:9C . 9:25D . 2:34. （2分）(2019·洞头模拟) 如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝8米，cos∠P CA＝，则PA等于（）A . 5米B . 6米C . 7.5米D . 8米5. （2分）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y=的图象过点A，则k的值是（）A . 2B . ﹣2C . 4D . ﹣46. （2分）(2018·南宁模拟) 如图，⊙O的半径为6，四边形内接于⊙O，连结OA，OC，若∠AOC=∠ABC，则劣弧AC的长为（）A .B . 2πC . 4πD . 6π7. （2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是（）A . 1B .C . 2D . 48. （2分）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2018九上·阜宁期末) 甲、乙、丙3名学生随机排成一排拍照，其中甲排在中间的概率是________.10. （1分） (2017九上·满洲里期末) 有一半径为1m的圆形铁片，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，用来围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是________．11. （1分）如图，已知函数y=与y=ax2+bx+c（a＞0，b＞0）的图象相交于点P，且点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+=0的解是________12. （1分）(2017·静安模拟) 如果△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，那么△ABC与△DEF的面积比为________．13. （1分） (2020九上·大丰期末) 如图，⊙O的弦AB=8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为________．14. （1分） (2016·慈溪模拟) 如图，0为原点，A（4，0），E（0，3），四边形OABC，四边形OCDE都为平行四边形，OC=5，函数y= （x＞0）的图象经过AB的中点F和DE的中点G，则k的值为________．三、解答题 (共13题；共112分)15. （10分）(2017·盘锦模拟) 计算：（1）先化简，再求值：（﹣）• ，其中x= ﹣2．（2）计算：|﹣4|+（）﹣2﹣（﹣1）0﹣cos45°．16. （5分） (2019九上·灌阳期中) 求证：相似三角形对应中线的比等于相似比。

2021-2022学年浙江省杭州市第一学期九年级数学期末常考题精选4考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试试卷120分钟。

2．答题前，必须在答题卡上填写校名，班级，姓名，座位号。

3．不允许使用计算器进行计算，凡题目中没有要求取近似值的，结果应保留根号或π一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．(本题3分)（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）已知⊙O 的半径为2，点P 到圆心O P 在（ ）A ．圆内B ．圆上C ．圆外D ．不能确定【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系即可得．【详解】解：O Qe 的半径为2，点P 到圆心O 2<，\点P 在圆内，故选：A ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．2．(本题3分)（2021·河南·许昌市第一中学九年级期中）抛物线y ＝（x ＋1）2＋3的顶点坐标是（ ）A ．（1，﹣3）B ．（1，3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣1，﹣3）【答案】C 【分析】根据函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：抛物线y ＝2（x ＋1）2＋3的顶点坐标是（﹣1，3）．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．3．(本题3分)（2021·浙江杭州·九年级期末）在下列四个命题中：①所有等腰直角三角形都相似；②四边形都有外接圆；③所有菱形都相似；④长度相等的弧是等弧；⑤90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径；其中真命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C 【分析】按照相似三角形的判定方法:①两个角对应相等；②两组对应边的比相等，且夹角相等；③三组对应边的比相等，相似多边形的判定：对应角相等、对应边的比相等的两个多边形是相似多边形.【详解】①中，所有的等腰直角三角形的三角相似，故正确；②中，凸四边形没有外接圆，故错误；③中，所有菱形的四个角不一定相等，因此不都相似，故错误；④中，要在同圆和等圆中，长度相等的弧是等弧，故错误；⑤ 中，90° 的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故正确；故正确的个数有2个，故选：C.【点睛】本题考查了相似三角形，相似多边形的判定方法，熟悉相似三角形的判定方法式解题的关键．4．(本题3分)（2021·浙江杭州·九年级期末）如图，在O e 中，弦//BC 半径OA ，AC 与OB 相交于M ，20C Ð=°，则AMB Ð的度数为（）A ．30°B ．60°C ．50°D ．40°【答案】B 【分析】由圆周角定理得到∠AOC ，再由平行得∠A ，最后利用三角形的外角性质求出∠AMB ．【详解】解：∵∠C =20°，∴∠AOB =40°，又∵弦BC ∥半径OA ，∴∠OAC =∠C =20°，∵∠AMB是△AOM的外角，∴∠AMB=∠OAC+∠AOB=60°．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质和三角形的外角定理，掌握定理并熟练运用是解题的关键．5．(本题3分)（2021·浙江杭州·模拟预测）从一盒写有“鲜肉3只、蛋黄2只、豆沙2只、排骨3只”的端午粽子（所有粽子的形状大小都一样）礼盒中，随机取出一只粽子，正好是蛋黄粽子的概率是（）A．45B．35C．25D．15【答案】D【分析】蛋黄2只，一共10只，根据概率公式计算即可．【详解】一共有3+2+2+3=10只，蛋黄有2只，所以随机取出一只粽子，正好是蛋黄粽子的概率是2÷10=15，故选：D．【点睛】本题考查概率计算的公式，正确理解题意，筛选信息是关键．6．(本题3分)（2021·浙江杭州·九年级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图像如图所示，下列结论①a﹣b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＜1；④2a+b＞0；⑤a+c+1＞0．正确的是（ ）A．①②④⑤B．①②③④C．②③④⑤D．①②③⑤【答案】A【分析】根据二次函数的图象与性质，逐项分析即可，根据函数图像经过(1,2)--，即可判断①，根据二次函数的图像判断,,a b c的符号，进而判断①，根据二次函数与x轴的交点情况可判断②，根据图像可知，当1x =时，0y >，结合①的结论2a b c -+=-可判断③，根据对称轴可以判断④，根据①③的分析，可判断⑤【详解】Q 二次函数2y ax bx c =++的开口朝下，故0a <，由图像可知，当0x =时，0y <即0c <，Q 二次函数2y ax bx c =++经过点(1,2)--20a b c \-+=-<故①正确；由2y ax bx c =++，令0y =即20ax bx c ++=根据图像可知，二次函数与x 轴的有2个不同的交点\ b 2﹣4ac ＞0，故②正确；由图像可知，当1x =时，0y >，即0a b c ++>2a b c -+=-Q 2a c b \+=-20b b \-+>解得1b >故③不正确，Q 二次函数2y ax bx c =++的开口朝下，故0a <，Q 12b x a=->0a <Q \2b a-<即20a b +>故④正确2a b c -+=-Q 1211a c b b \++=-+=-由③可知1b >10b ->∴即10a c ++>故⑤正确综上所述，正确的有①②④⑤，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，从图像上获取信息是解题的关键．7．(本题3分)（2021·浙江杭州·九年级期末）圆P 的半径为10，A 、B 是圆上任意两点，且12AB =，以AB 为边向外作正三角形ABC （点C 、P 在直线AB 的两侧），若AB 边绕点P 旋转一周，则点C 经过的路线长为（ ）A ．0B ．36pC ．16p +D ．40p【答案】C 【分析】连接PC ，与AB 交于点Q ，首先判断出点C 的运动路径，根据垂径定理求出PQ ，根据等边三角形的性质求出CQ ，得到PC ，利用圆的周长公式计算．【详解】解：如图，连接PC ，与AB 交于点Q ，∵△ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，又圆P 半径相等，∴PC 垂直平分AB ，则若AB 绕圆P 一周，点C 也绕圆P 一周，经过的路线为以P 为圆心，PC 长为半径的圆，∵PA =10，AB =12，∴AQ =6，∴PQ ，在等边三角形ABC 中，CQ ，∴PC =PQ +CQ =8+∴点C 的经过的路线长为16p +，故选C ．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合AB 边的旋转，找出C 点旋转过程中的运动路径是关键．8．(本题3分)（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为O e 的八等分点，AD 与BH 的交点为I ．若O e HI 的长等于（ ）A ．B 2+C ．2D 【答案】B 【分析】如图，连接AB 、OH ，作OM AD ^于M ，ON BH ^于N ，在IH 上截取一点K ，使得ON NK =，连接OK ．首先证明22.5H KOH Ð=Ð=°，推出OK KN ==，在Rt ONH △中，22()4a a +=+，求出a 即可解决问题；【详解】解：如图，连接AB 、OH ，作OM AD ^于M ，ON BH ^于N ，在IH 上截取一点K ，使得ON NK =，连接OK ．Q 点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为O e 的八等分点，45A B \=Ð=°∠，22.5H Ð=°，90AIB \Ð=°，90MIN OMI ONI \Ð=Ð=Ð=°，\四边形OMIN 是矩形，Q AD BH=，AD BH \=，OM ON \=，\四边形OMIN 是正方形，设OM a =，ON NK =Q ，45OKN \Ð=°，OKN H KOH Ð=Ð+ÐQ ，22.5H KOH \Ð=Ð=°，OK KN \==，在Rt ONH △中，22()4a a +=+1a \=，（负根舍去）(22IH a \==+故选：B ．【点睛】本题考查正多边形与圆、解直角三角形、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9．(本题3分)（2021·浙江杭州·二模）已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 是常数）的图象与x 轴的交点坐标是()1,0x ，()2,0x ，121m x x m <<<+，当x m =时，y p =，当1x m =+时，y q =，则（）（ ）A ．p ，q 至少有一个小于14B ．p ，q 都小于14C ．p ，q 至少有一个大于14D ．p ，q 都大于14【答案】A 【分析】根据题意易得m 、1m +到1x 和2x 的距离至少有一个小于12，进而利用二次函数的性质可进行求解．【详解】解：∵二次函数2y x bx c =++（b ，c 是常数）的图象与x 轴的交点坐标是()1,0x ，()2,0x ，且121m x x m <<<+，∴2110x bx c ++=，2220x bx c ++=，∴1122m m +-=，∴m 、1m +到1x 和2x 的距离至少有一个小于12，不妨设112m x -<，则有：214m bm c ++<，即14p <，∴p ，q 至少有一个小于14；故选A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．10．(本题3分)（2021·浙江·杭州外国语学校九年级期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，连接AE 、DE ，分别交BD 、AC 于点P 、Q ，过点P 作PF AE ^交CB 的延长线于F ，下列结论正确的有：（ ）①AP FP =；②AE AO =；③若四边形OPEQ 的面积为4，则该正方形ABCD 的面积为36；④CE EF EQ DE ×=×．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】连接OE 、AF ，①利用四点共圆证明∠AFP ＝∠ABP ＝45°即可；②设BE ＝EC ＝a ，求出AE ，OA 即可解决问题；③利用相似三角形的性质计算求得正方形ABCD 的面积为48；④利用相似三角形的性质证明即可．【详解】解：如图，连接OE 、AF∵四边形ABCD 是正方形，∴===AC BD OA OC OB OD ^，，∴=90BOC а，∵PF AE ^，∴==90APF ABF Ðа，∴A P B F ，，，四点共圆，∴==45AFP ABP Ðа，∴==45PAF PFA Ðа，∴=PA PF ，故①正确，设==BE EC a ，则由勾股定理可得：AE =，OA OC OB OD ====，∴AE AO ==AE AO =，故②正确，根据对称性可知，OPE OQE V V ≌，∴122OEQ OPEQS S ==V 四边形，∵OB OD BE EC ==，，∴2//CD OE OE CD =，，∴OEQ CDQ V V ∽∴12EQ OE DQ CD ==，2DQ EQ =∴2448ODQ OEQ CDQ OEQ S S S S ====V V V V ，，∴12CDO S =V ，∴448CDO ABCD S S ==V 正方形，故③错误，∵90EPF DCE PEF DEC ÐÐ=°Ð=Ð=，，∴EPF ECD V V ∽，∴EF PEED EC=，∵=EQ PE ，∴••CE EF EQ DE ＝，故④正确，故选B 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，并灵活运用所学知识解决问题．二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）11．(本题4分)（2019·浙江杭州·九年级期末）若事件“对于二次函数221y x mx =--+，当1x >时，y 随着x 的增大而减小．”是必然事件，则实数m 的取值范围是______．【答案】1m ³-【分析】先根据必然事件的定义得出事件一定成立，再根据二次函数的性质（增减性）求解即可．【详解】由题意得：二次函数221y x mx =--+，当1x >时，y 随着x 的增大而减小22221()1y x mx x m m =--+=-+++由二次函数的性质得：当x m £-时，y 随x 的增大而增大；当x m >-时，y 随x 的增大而减小则1m -£解得1m ³-故答案为：1m ³-．【点睛】本题考查了必然事件的定义、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题关键．12．(本题4分)（2020·浙江杭州·模拟预测）一个不透明的纸箱中，装有5个只有颜色不同的球，其中3个白球，2个红球，若往纸箱中再加入x 个红球，随后随机抽取一个红球的概率是23，则x 的值为__________．【答案】4【分析】先根据概率公式得到2+253x x =+，解得x =4．【详解】解：根据题意得2+253x x =+，解得x =4，故答案为：4．【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．13．(本题4分)（2020·浙江杭州·九年级期末）已知关于x 的二次函数2273y ax ax a =+++在25x -££上的函数值始终是正的，则a 的取值范围______．【答案】1014a -<<或0a >【分析】按照a ＞0和a ＜0两种情况讨论：当a ＞0时，图象开口向上，只要顶点纵坐标为正即可；当a ＜0时，抛物线对称轴为x =-1，根据对称性，只要x =5时，y ＞0即可．【详解】解：当0a >时，图象开口向上，顶点纵坐标为24(7+3)46+34a a a a a-=，当6+30a >，即0a >时，0y >；当0a <时，抛物线对称轴为1x =-，根据对称性，只要5x =时，0y >即可，此时25107+30y a a a =++>，解得1014a -<<．故答案为：1014a -<<或0a >．【点睛】本题考查了二次函数开口方向，顶点坐标，对称轴在实际问题中的运用，还考查了分类讨论的数学思想．14．(本题4分)（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，已知AB 是半径为10的O e 的弦，E ，F 点为AB 的两个三等分点，连接OE ，OF ，并延长OF 交O e 于点D ，若120AOB Ð=°，则阴影部分的面积为____________．（结果保留根号和p ）【答案】25p 【分析】过O 作OC ⊥AB 于点C ，根据垂径定理以及勾股定理求出AC ，BC 和AB ，根据三等分点求出AE ，EF 和BF ，从而得到AF ，EC ，CF ，根据勾股定理求出OE 和OF ，证明△OEF 是等边三角形，再根据求出S 阴影=S 扇形AOD -S △AOF 阴影面积．【详解】解：过O 作OC ⊥AB 于点C ，∴∠OCA =90°，AC =BC =12AB ，∵∠AOB =120°，OA =OB ，∴∠OBA =∠OAB =30°，在Rt △OCA 中，OA =10，∠OAC =30°，∴OC =5，∴AC ，∴AB =2AC =，BC =AC =，∵E 、F 是三等分点，∴AE =EF =FB =13AB∴AF =AE +EFEC =AC -AECF =BC -BF∴OE ,OF ,∴OE =OF =EF ，∴△OEF 是等边三角形，∴∠EOF =∠OEF =60°，∴∠AOE =∠OEF -∠OAB =30°，∴∠AOD =∠AOE +∠EOF =90°，∴S 扇形AOD =29010360p ×=25π，S △AOF =12OC ·AF =152´∴S 阴影=S 扇形AOD -S △AOF =25p故答案为：25p【点睛】本题考查的是垂径定理，涉及到等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质及扇形的面积等知识，难度适中．15．(本题4分)（2019·浙江杭州·九年级期末）如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且//OD BC ，OD 与AC 交于点E ，若E 是OD 中点，，则CAD Ð=______．【答案】30°【分析】先判定AC 垂直平分OD ，进而可判定△OAD 是等边三角形，再由三线合一即可求出∠CAD 的度数．【详解】∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB=90°．∵//OD BC ，∴∠AED=90°．∵E 是OD 中点，∴AC 垂直平分OD ，∴AD=OA ，∵OA=OD ，∴△OAD 是等边三角形，∴∠OAD=60°，∴∠CAD=30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，线段垂直平分线的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理、线段垂直平分线的判定与性质是解答本题的关键．16．(本题4分)（2021·浙江杭州·九年级期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，12AC =，24BC =，点D 在边BC 上，点E 在线段AD 上，EF AC ^于点F ，EG EF ^交AB 于点G ．若EF EG =，则CD 的长为________．【答案】8【分析】根据题意和相似三角形的判定和性质，作DH ∥EG 交AB 于点H ，可以证出△AEF ∽△ADC ，则AE EG EF AD DH CD==，由EF=EG 得CD=DH ，设DH=CD=x ，证出△BDH ∽△BCA ，从而DH BD AC BC=，用含x 的式子表示出BD ，再代入便可求出x ，即CD 的长度．【详解】作DH ∥EG 交AB 于点H ，则△AEG ∽△ADH ，∴AE EG AD DH=，∵EF ⊥AC ，∠C=90°，∴EF//DC ，∴△AEF ∽△ADC ，∴AE EF AD CD=，∴EG EF DH CD=，∵EF=EG，∴CD=DH，设DH=CD=x，∵BC=24，AC=12，∴BD=24-x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH//EG，∴EG//AC//DH，∴△BDH∽△BCA，∴DH BDAC BC=，即241224x x-=，解得x=8，∴CD=8，故答案是：8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，明确题意、正确作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本题6分)（2021·浙江·杭州市公益中学九年级期中）（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．【答案】（1）3c=±；（2）2【分析】（1）由c是a，b的比例中项，可得29==，由此求解即可；c ab（2）根据黄金分割点的定义进行求解即可．【详解】解：（1）∵a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，∴29==，c abc=±；∴3（2）∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴2AC AB==．【点睛】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键．18．(本题8分)（2019·浙江省杭州第二中学模拟预测）如图是97´的正方形点阵，其水平方向和竖直方向相邻的两格点间的长度都是1个单位，以这些点为顶点的三角形称为网格三角形．请通过画图分析、探究回答下列问题：D）；（1）请在图中画出以AB为边且面积为3的一个网格三角形（记为ABC（2）将你所画的三角形绕着点A沿逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图形（记为D¢¢）．AB C【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据三角形面积求法得出符合要求的图形；（2）根据旋转三角形的三个顶点即可得出符合要求的图形．【详解】解：开放性试题，答案如下图，答案不唯一．()1所画ABCD1符合要求；()2所画1AB C D ¢¢符合要求【点睛】此题主要考查了图形的旋转以及三角形的面积，旋转一个图形主要是旋转三角形的顶点是解决问题的关键．19．(本题8分)（2019·浙江杭州·九年级期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以边BC 为直径的⊙O 与边AB 交于点D ，与边AC 交于点E ，连结OD ，OE ．（1）求证：BD ＝CE ．（2）若∠C ＝55°，BC ＝10，求扇形DOE 的面积．【答案】（1）见解析；（2）25π9【解析】【分析】（1）欲证明BD ＝CE ，只要证明BD =CE 即可．（2）求出∠DOE ，利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴CD =BE ，∴BD=CE，∴EC＝BD．（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝55°，∵OB＝OD，OC＝OE，∴∠B＝∠ODB＝55°，∠C＝∠OEC＝55°，∴∠BOD＝∠EOC＝70°，∴∠DOE＝40°，∴S扇形ODE ＝40∙π∙52360=25π9.【点睛】本题考查扇形的面积，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．(本题10分)（2020·浙江杭州·模拟预测）小张同学家所在小区实行垃圾分类处理，垃圾桶有绿，黄，红三种颜色，绿色投放可回收垃圾，黄色投放不可回收垃圾，红包我放有毒垃圾在漆黑晚上，小张下楼要把家中的三袋垃圾分别投到三个垃圾桶中，其中一袋是可回收的垃圾，一袋是不可回收的垃圾，一袋是有毒垃圾，小明随手投放如果把可回收垃圾记为A，不可回收垃圾记为B，有毒垃圾记为C，请画出树状图或列表分析，求出三袋都放错的概率．【答案】画图见解析，1 3【分析】画出树状图求得所有等可能的结果与垃圾投放错误的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，三袋都放错的有2种，∴三袋都放错的概率为21 =63．【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．(本题10分)（2020·浙江·杭州市保俶塔实验学校九年级月考）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙（墙长15m）的矩形菜园ABCD．设垂直于墙的一边AD 长为x（单位∶m）．（1）求菜园的面积y（单位：m2）与x的函数表达式；（2）求出自变量x的取值范围．【答案】（1）y=x（30-2x）；（2）152≤x＜15【分析】（1）根据矩形的面积=长×宽，计算即可．（2）根据墙的长度可得不等式组，解之即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=x，AB=30-2x，∴y=x（30-2x）；（2）∵墙长15m，则0＜30-2x≤15，∴152≤x＜15．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元一次不等式组，矩形的面积公式、解题的关键是掌握矩形面积的算法，列出表达式，属于中考常考题型．22．(本题12分)（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）如图，在△ABC中，BA＝BC．以AB为直径作⊙O分别交BC、AC于D、F两点，点E为AC延长线上一点，连结AD、BE，若∠E＝∠DAC．（1）求证：△ADC∽△EBA；（2）求证：AF＝CF；（3）若CE＝CF，BD＝1，求⊙O半径．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）⊙O半径为3 2【分析】（1）由题意易得∠BAC＝∠ACB，然后问题可求证；（2）连接BF，由题意易得∠AFB＝90°，然后根据等腰三角形的三线合一可求证；（3）由（2）知，AF＝CF，则有AE＝AF+CF+CE＝3AF，然后可得23ACAE=，由（1）知，△ADC∽△EBA，则有123ABAB-=，进而问题可求解．【详解】证明：（1）∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∵∠E＝∠CAD，∴△ADC∽△EBA，（2）如图，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，又∵AB＝BC，∴AF＝CF；（3）由（2）知，AF＝CF，∵CE ＝CF ，∴AE ＝AF +CF +CE ＝3AF ，∵AB ＝BC ，∠AFB ＝90°，∴AC ＝2AF ，∴23AC AE =，由（1）知，△ADC ∽△EBA ，∴23DC AC AB AE ==，∵BD ＝1，AB ＝BC ，∴123AB AB -=，∴AB ＝3，∴⊙O 半径为12AB ＝32．【点睛】本题主要考查圆周角定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键．23．(本题12分)（2021·浙江浙江·九年级期末）在二次函数的复习课中，关于x 的二次函数()14y x mx m m æö=--ç÷èø（0m >），师生共同探讨得到以下4条结论：（1）这个二次函数与x 轴必有2个交点；（2）二次函数的图象向左平移2个单位后经过()1,0-点，则1m =；（3）当2x £时，y 随x 的增大而减小；（4）当03x ££时，a y b ££，则1a =，4b =；请判断上述结论是否正确，并说明理由．【答案】（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）错误．【分析】（1）根据二次函数的判别式进行分析判断即可得到答案；（2）根据平移的性质先求出平移后的解析式，在把点（-1，0）代入解析式中求解即可；（3）根据抛物线图像的性质，从而判断函数的增减性；（4）令抛物线对称轴落在x 的取值范围内，求出最小值，从而进行判断即可．【详解】解：（1）∵()14y x mx m m æö=--ç÷èø∴()2414y mx m x =-++△=()()2222244116168116168141b ac m m m m m m m m -=+-=-+-=++=-故14m =时，△=0，方程只有一个根即此时抛物线与x 轴只有一个交点，故（1）说法错误；（2）抛物线的解析式为：()14y x mx m m æö=--ç÷èø向左平移2个单位后的解析式为()1224y x m x m m æö=+-+-éùç÷ëûèø，即()122y m x x m æö=+--ç÷èø把（-1，0）代入上式中得()101212m m æö=-+---ç÷èø即1031m m æö=--ç÷èø，解得01m m ==或，由于0m >，1m =故此说法正确；（3）∵()14y x mx m m æö=--ç÷èø∴()2414y mx m x =-++，∴二次函数的对称轴：()4112222m b x a m m -+=-=-=+又∵0m >∴二次函数的对称轴()41122222m b x a m m-+=-=-=+>且二次函数开口向上∴二次函数在对称轴左边递减，∴当2x £，y 随x 的增大而减小，此说法正确；（4）∵()14y x mx m m æö=--ç÷èø∴()2414y mx m x =-++∴222222411681168181442444m m m m m m y m x m m m m ++++++æö=-+-³-=-ç÷èø即当122x m=+， 2814m y m +=-∵03x ££时，若10232x m £=+£，即12m ³时函数有最小值即2814m y m +=-最小值又∵0m >∴281014m y m +=-<<最小值故当03x ££时，a y b ££，则1a =，4b =这种说法不正确；综上所述：（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）错误．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合性质和平移性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点．。

2022-2023学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷1. 若均不为，则a：b的值是( )A. 2B. 3C. 2：3D. 3：22. 已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长可能是( )A. 4B. 5C. 6D. 73. 在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为( )A. B. C. D.4. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是( )A. B. C. D.5. 如图，能使∽成立的条件是( )A.B.C.D.6. 若点P是线段AB的黄金分割点，，则AP的长为( )A. B. C. D.7. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为旋转中心，将点按逆时针方向旋转到点B，点B在y轴上，则扇形AOB的面积为( )A.B.C.D.8. 已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…0123…y…188202…则当时，x的取值范围是( )A. B. C. 或 D. 或9. 如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，已知，若，，则EF：GH为( )A. 3：2B. 2：3C. 4：9D. 9：410. 设函数，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则11. 二次函数图象与x轴的交点坐标为______ .12. 在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球m个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则m的值为______ .13. 如图，AB为的直径，点C在上，点P在线段OB上运动不与O，B重合，若，设为，则的取值范围是______ .14. 如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动砝码上升假设绳索足够长且粗细不计，与滑轮之间无滑动，若滑轮旋转了，则砝码上升了______ 结果保留15. 对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示其中a、b 均不为0，，根据二次函数图象的相关性质可知：______ ，______ .x1cn nm16. 如图，线段AB是的直径，弦于点H，点M是弧BC上任意一点不与B，C重合，，延长线段BM交DC的延长线于点E，直线MH交于点N，连结BN交CE于点F，则__________ ，__________ .17. 已知，请写出一个二次函数同时满足以下两个条件：①与函数图象开口大小、方向相同；②当时，y随x的增大而增大.18. 一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为；活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为请你猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．19.如图，在中，于点D，点E在AB上不与点A，B重合，连接CE 交AD于点F，求证：∽若，，，求DF的长.20. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点求的值.若二次函数的顶点为，求的最大值.21. 如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点求的度数.已知，求DF的长.22. 在直角坐标系中，设函数且m，n为实数，求函数图象的对称轴.若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点.已知当，3，4时，对应的函数值分别为p，q，r，若，求证：23. 如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接DB，DC，DB交AC于点求证：是等腰三角形.若①求证：②若的半径为5，，求的值.答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，，故选：依据比例的性质内项积等于外项积即可得出结论．本题考查比例的性质，掌握内项积等于外项积是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：圆的半径为2，圆的直径为4，是半径为2的圆的一条弦，，故选：求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可．此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，正确理解是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：设剩下部分的面积为y，则：，故选：根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键．4.【答案】C【解析】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，则甲被选中的概率为故选：画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．本题考查了树状图法求概率以及概率公式，解题的关键是画出树状图．5.【答案】C【解析】解：由题意得，，若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判断∽，故本选项符合题意；A、B、D均不能判定∽，故不符合题意；故选：根据相似三角形的判定求解即可．本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：由于P为线段的黄金分割点，且AP是较长线段；则故选：根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则，代入数据即可得出AP的长．理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的7.【答案】B【解析】解：过点A作轴于C，，，是等腰直角三角形，，，，，故选：过点A作轴于C，由，则，则是等腰直角三角形，则，，从而求得，然后根据扇形面积公式计算即可．本题考查扇形的面积，坐标与图形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：表格数据得出抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，，当时，，当时，x的取值范围是或，故选：根据表格数据得出抛物线开口向上，对称轴为直线，进而得出时，，据此即可求解．本题考查了二次函数图象与性质，得出抛物线的对称轴与开口方向是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：过点H作，垂足为M，过点F作，垂足为N，设HM，FE交于点O，则，，，，，又，，∽，：：：：故选：过点H 作，垂足为M ，过点F 作，垂足为N ，设HM ，FE 交于点O ，再证明∽，根据相似三角形的性质即可求解．此题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．10.【答案】C【解析】解：直线的图象与函数，的图象分别交于点，，A .若，如图所示，则B .若，如图所示，则则，故B选项不合题意，C.若，如图所示，，故C选项正确，D选项不正确；故选：根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．11.【答案】，【解析】解：令，得，解得：，，二次函数图象与x轴的交点坐标为，，故答案为：，令，解方程即可求解．本题考查了求二次函数图象与x轴的交点，根据题意解方程是解题的关键．12.【答案】10【解析】解：根据题意得，解得：，经检验，是原方程的解，也符合题意．故答案为：利用概率公式得到方程，解方程即可．本题考查的是概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题的关键．13.【答案】【解析】解：当点P位于O点时，，则，此时的值最小；当点P位于B点时，根据直径所对的角是可得，此时的值最大；由于点P不与O，B重合，于是故答案为：由于P为动点，由图可知，当点P位于O点时取得最小值，当点P位于B点时取得最大值．此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．14.【答案】【解析】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为所对应的弧长，即，故答案为：根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为的弧长即可．本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．15.【答案】【解析】解：和对称轴都为y轴，可将表格中的数表示为坐标，，，，，两点纵坐标相等，且，，，横坐标关于y轴对称，，故答案为：；先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可．此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是纵坐标相同的不同点关于对称轴对称．16.【答案】4【解析】解：连接，，设，则，在中，，，，即；连接是直径，，，，，，，∽，，，易证∽，，，故答案为：；连接OC，设，在中，利用勾股定理求出OC；由∽，推出，推出，又，推出，由此即可解决问题．本题考查圆综合题、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．17.【答案】解：当时，y随x的增大而增大，可设对称轴为直线，该函数的开口大小、形状均与函数的图象相同，二次项系数为2，满足条件二次函数表达式可为答案不唯一【解析】利用二次函数的性质可设对称轴为直线，二次项系数为2，据此即可写出满足条件一个二次函数表达式．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．18.【答案】解：猜想，理由如下：活动1，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球都是红球的结果有2种，；活动2，画树状图如下：共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，，，【解析】分别画树状图，由概率公式求出，的大小，即可得出结论．本题考查了树状图法求概率；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；正确画出树状图是解题的关键．19.【答案】证明：，，∽；解：，，，，，，由得∽，，，【解析】根据两角相等两个三角形相似证明即可；利用勾股定理先求解CE，再由相似三角形的性质求解即可．本题考查的是四边形的内角和定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的判定和性质是解本题的关键．20.【答案】解：二次函数的图象经过点，，；二次函数的顶点为，，，，的最大值为【解析】把点代入二次函数的解析式，即可求解；利用二次函数的顶点公式求得，再求得，利用二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数的性质，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．21.【答案】解：五边形ABCDE是正五边形，，，，，，四边形ABCF是菱形，，同理可求：，；四边形ABCF是菱形，，同理，∽，，即，设，则，，即，解得舍去负值的长是【解析】根据五边形ABCDE是正五边形，判断出，，，，，即可得到；证明∽，推出，设，则，列出方程，解方程即可求出DF的长．本题考查了正多边形和圆，根据正五边形的性质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．22.【答案】解：函数且m，n为实数，函数图象的对称轴为；证明：令，则，即，，n异号，，一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；证明：由题可知，，，，【解析】把代入函数关系式，再利用解方程组求出a，b即可解题；令，则有，由m，n异号，可知一元二次方程有两个实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；把，3，4代入表示出p，q，r，再利用，解题即可．本题考查二次函数解析式，顶点坐标，一元二次方程根的情况，整式的加减，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．23.【答案】证明：四边形ABCD内接于，，，，，平分，，，，是等腰三角形；①证明：，，，∽，，，，∽，，，，；②解：连接DO交BC于G，，，、O都在中垂线上，即D、O、G共线，且，，在中，，，在中，，∽，，，解得：，，，，，∽，，【解析】由题意易得，则有，进而可得，则，然后问题可求证；①由题意易证∽，则有，进而可得，再由相似三角形的判定得出∽，利用其性质即可证明；②连接DO交BC于G，由题意易得D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，进而可得且，则有，由①得，根据相似三角形的性质得出，再由相似三角形的判定得出∽，利用其性质即可求解．本题主要考查圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质，垂径定理及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．。

浙江省杭州市2021年九年级上学期期末数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2012·宿迁) 在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称点的坐标是（）A . （3，2）B . （﹣3，﹣2）C . （﹣3，2）D . （3，﹣2）2. （2分）下列说法中正确的是（）A . 能重合的图形一定是成轴对称图形B . 成中心对称的图形一定是重合的图形C . 两个成中心对称的图形的对称点连线不一定过对称中心D . 两个会重合的三角形一定关于某一点成中心对称3. （2分）在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）A . 1B .C .D .4. （2分）(2018·黑龙江模拟) 二次函数y＝2(x－3)2－1的顶点坐标是（）．A . (3，1)B . (3，－1)C . (－3，1)D . (－3，－1)5. （2分）(2018·吴中模拟) 点A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）都在反比例函数y= （k＞0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A . y1＞y2B . y1＜y2C . y1=y2D . 无法确定6. （2分）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·平川模拟) 如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S、S1、S2 ，若S=2，则S1+S2=（）A . 4B . 6C . 8D . 不能确定8. （2分） (2018九上·邗江期中) 下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个9. （2分）(2018·赣州模拟) 已知抛物线与反比例函数的图像在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数的图像可能是（）A .B .C .D .10. （2分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A . a＞0B . 当x＞1时，y随x的增大而增大C . c＜0D . 3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根二、填空题 (共10题；共10分)11. （1分）(2019·宝山模拟) 我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于________．12. （1分）已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3，此二次函数的解析式为________13. （1分）(2017·辽阳) 如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y= （x＜0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为________．14. （1分）(2016·怀化) 已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm2 ，则该扇形的弧长等于________cm．15. （1分）(2020·上海模拟) 将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得的抛物线解析式是________。

2020-2021学年浙教版九年级数学第一学期期末测试卷班级___________ 姓名____________ 得分____________一、选择题（每题3分，共30分）1.抛物线y = - 1 2 x 2 + 1的顶点坐标是（ ）A .（0，1）B .（ 1 2 ，1）C .（ - 1 2 ， - 1）D .（2， - 1）2.已知在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 4，AC = 1，则∠B 的余弦值为（ ）A .415B .41C .1515 D.17174 3.下列选项中，不是如图所示的几何体的三视图之一的为（ ）4.如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C = 16°，则∠BOC 的度数为（ ）A .74°B .48°C .32°D .16°5.如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且∠AED = ∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE 和△BDF 相似的是（ ）A .BF ED BD EA =B .BD ED BF EA =C .BF AE BD AD = D .BCBA BF BD = 6.如图所示，直线PB 切⊙O 于点B ，PO 交⊙O 于点C ，若PB = 23，PC = 2，则∠BAC 的度数为（ ）A .20°B .30°C .40°D .60°7.已知二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则下列代数式:ab ，ac ，a + b + c ，a - b + c ，2a + b ，2a - b 中，值为正数的式子有（ ）A .2个B .3个C .4个D .5个8.如图所示，线段AB ，CD 相交于点E ，AD ∥EF ∥BC ，若AE :EB = 1:3，则S △ADE :S △DEF 于等于（ ）A .2B .23C .45D .349.如图所示，OA ⊥OB ，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD = 45°，将△CDE 绕点C 逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则CD OC 的值为（ ） A .21 B .31 C .22 D .33 10.已知关于x 的二次函数y = （2sina ）x 2 - （4sina + 1 2 ）x - sina + 1 2 ，其中a 为锐角，有下列结论:①当a 为30°时，函数有最小值 - 25 16 ；②函数图象与坐标轴必有三个交点；③当a < 60°时，函数在x > 1时，y 随x 的增大而增大；④无论锐角a 怎么变化，函数图象必过定点.其中正确的有（ ）A .①③④B .①④C .②③D .①②④二、填空题（每题4分，共24分）11.已知线段a = 2，b = 4，则线段a ，b 的比例中项为 _________ .12.袋中装有6个黑球和n 个白球（球除颜色外，其余均相同），经过若干次试验，发现“若从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的概率为 3 4 ”，则这个袋中白球大约有 _________ 个.13.如图所示，在△ABC 中，∠A = 60°，⊙O 为△ABC 的外接圆.如果BC = 23，那么⊙O 的半径为 _________ .14.中，点E 为AB 边的中点，点F 在直线AD 上，且AF = 3DF ，连结EF ，与对角线AC 相交于点M ，则ME :MF 的值为 _________ .15.二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则 b a 的值是 _________ ， c a 的取值范围是_________ .16.如图所示，在△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 8，AC = 6，以点C为圆心、4为半径的圆上有一动点D，连结AD，BD，CD，则 12 BD + AD的最小值是 _________ .三、解答题（共66分）17.（6分）如图所示，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD= ∠ABC，若AC= 3，AD=1，求DB的长.18.（8分）在学习圆与正多边形时，小露、小骏两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法:①如图所示，作直径AD；②作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；③连结AB，AC，BC，那么△ABC为所求的三角形.（1）请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC.（2）请你判断两位同学的作法是否正确.如果正确，证明△ABC是正三角形；如果不正确，请说明理由.19.（8分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数- 1，- 2，- 3，- 4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.先由小强从盒子里随机取出一个小球，记下数为x，放回盒子中摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数为y.（1）用树状图或列表法表示出（x，y）的所有可能出现的结果.（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（x ，y ）落在一次函数y = x - 1图象上的概率.20.（10分）如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为点E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE ，连结OC .（1）求证:DE 是⊙O 的切线.（2）若⊙O 的半径为4，∠D = 30°，求图中阴影部分的面积.（结果用含π和根号的式子表示）21.（10分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，横坐标x 表示科技馆从8:30开门后经过的时间（分），纵坐标y 表示到达科技馆的总人数（人），图中曲线对应的函数表达式为y= ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤),9030()90(),300(22x n x b x ax 10:00之后来的游客较少可忽略不计. （1）请写出图中曲线对应的函数表达式.（2）为了保证科技馆内游客的游玩质量，规定馆内人数不超过684人，后来的人需在馆外休息区等待.从10:30开始至12:00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入.馆外游客最多等待多少分钟?22.（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，AB = 4，AD = 2，点P 是边AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），点Q 在边AD 上，将△CBP 和△QAP 分别沿PC ，PQ 折叠，使点B 与点E 重合，点A 与点F 重合，且P ，E ，F 三点共线.（1）若点E 平分线段PF ，求此时AQ 的长.（2）若线段CE 与线段QF 所在的平行直线之间的距离为2，求此时AP 的长.（3）在“线段CE ”“线段QF ”“点A ”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况?若存在，求出此时AP 的长；若不存在，请说明理由.23.（12分）已知抛物线y = 3ax 2 + 2bx + c （a ≠0）.（1）若a = b = 1，c = - 1，求该抛物线与x 轴的交点坐标.（2）若a = 31，c - b = 2，且抛物线在 - 2≤x ≤2时的最小值是 - 3，求b 的值. （3）若a + b + c = 1，是否存在实数x ，使得y = 1，请说明理由.答案1、三人行，必有我师。

浙江省杭州市2021版九年级上学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）方程的两根是菱形两条对角线的长，则这个菱形的周长是A . 40B . 30C . 28D . 202. （2分） (2016九上·温州期末) 若抛物线y=ax2经过A（1，﹣3），则下列各点中，在此抛物线上的是（）A . （﹣3，1）B . （1，3）C . （﹣1，3）D . （﹣1，﹣3）3. （2分）(2017·南山模拟) 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个4. （2分）(2020·茂名模拟) 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的抛物线解析式为（）A .B .C .D .6. （2分）正三角形的边心距、半径和高的比是（）A . 1:2:3B . 1: :C . 1: :3D . 1:2:7. （2分） (2019九上·东城期中) 若抛物线y＝ax2+2x﹣10的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为（）A . 3B . 2C . 1D . 0.58. （2分）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=3，过点A作AE⊥BC于E，且AE=3，连结DE，若F为线段DE 上一点，满足∠AFE=∠B，则AF=（）A . 2B .C . 6D . 2二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2018七下·来宾期末) 某中学七年级下册期中测试，小明的语文、数学、英语、政治、历史五科均为百分制，且分数分别为90、85、75、90、95.若把该五科成绩转化成中考赋分模式，语文总分120分、数学总分120分、英语总分120分，政治总分60分、历史总分60分，则他转化后的五科总分为________.10. （1分）(2012·无锡) 若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为________11. （1分） (2019八上·浦东月考) 若关于的一元二次方程，其根的判别式值为1，则m=________12. （1分）(2018·覃塘模拟) 如图，在扇形AOB中，∠AOB=150°，以点A为圆心，OA的长为半径作OC交AB于点C，若OA=2，则图中阴影部分的面积为________．13. （1分）(2017·徐州模拟) 用半经为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是________．14. （1分） (2019八上·扬州月考) 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为________。

浙江省杭州市2021届九年级上学期数学期末考试试卷一、单选题1. 一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同.搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为（）A .B .C .D .2. AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（）3. 设y＝y﹣y， y与x成正比例，y与x成正比例，则y与x的函数关系是（）4. 函数y=﹣2x先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A . y=﹣2（x﹣1）+2B . y=﹣2（x﹣1）﹣2C . y=﹣2（x+1）+2D . y=﹣2（x+1）﹣25. 若，则的值为（）6. 如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径.若∠DBC＝33°，则∠A等于（）7. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A . 图象的开口向上B . 图象的顶点坐标是C . 当时，y随x的增大而增大D . 图象与x轴有唯一交点8. 用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是（）A . 种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”B . 种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”C . 种植1 0n棵幼树，恰好有“n棵幼树不成活”D . 种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.99. 如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，D、E是BC上的两点，且BD＝CE，过D、E作DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，交于点F，连接AD、AE.其中①四边形AMFN是正方形；②△ABE≌△ACD；③CE+BD＝DE；④当∠DAE＝45°时，AD＝DE•CD.正确结论有（）10. 如图，直线l：y=x+1与直线相交于点P（﹣1，0）.直线l与y轴交于点A.一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l上的点B处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l上的点A处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l上的点B处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l上的点A处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B， A， B， A， B，A， …，B， A， …则当动点C到达A处时，运动的总路径的长为（）二、填空题11. 两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们对应中线的比为________．12. 如图，AB是半圆的直径，O是圆心，，则∠ABC＝________°.1212222222222 2112111221211223320142014201413. 如图，已知点A （2，1），B （0，2），将线段AB 绕点M 逆时针旋转到A B ， 点A 与A 是对应点，则点M 的坐标是________.14. 如图，点G 是△ABC 的重心，过点G 作GE//BC ，交AC 于点E ，连结GC. 若△ABC 的面积为1，则△GEC 的面积为________.15. 如图，抛物线y ＝﹣x +2x+m+1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.①抛物线y ＝﹣x +2x+m+1与直线y ＝m+2有且只有一个交点；②若点M （﹣2，y ）、点N （，y ）、点P （2，y ）在该函数图象上，则y ＜y ＜y ；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y ＝﹣（x+1）+m ；④点A 关于直线x ＝1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝1时，四边形BCDE 周长的最小值为.其中正确判断的序号是________.三、解答题16.已知 ，求的值.17. 已知二次函数y =ax ＋bx －3的图象经过点A （2，-3），B （-1，0），与y 轴交于点C ，与x 轴另一交点交于点D.（1） 求二次函数的解析式；（2） 求点C 、点D 的坐标；（3） 若一条直线y 经过C 、D 两点，请直接写出y ＞y 时，x 的取值范围.111221231232122 ， 1218. 在一次数学活动课上，小芳到操场上测量旗杆的高度，她的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，利用她所测数据，求旗杆的高.19. 把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张．（1）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．20. 在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：△ABC是⊙O的内接三角形.求作：△ABC中∠BAC的平分线.小明的作法如下：（1）作BC边的垂直平分线DE，交BC于点D，交弧BC于点E；（2）连接AE，交BC边于点F；则线段AF为所求△ABC中∠BAC的平分线.根据小明设计的尺规作图过程，①在图中补全图形（尺规作图，保留作图痕迹）；②完成下面的证明.证明：∵OB＝OC，DE是线段BC的垂直平分线∴圆心O在直线DE上（）.∵DE⊥BC，∴（）.∴∠BAE＝∠CAE（），∴线段AF为所求△ABC中∠BAC的平分线.21. 某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间 x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）在前50天销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元给顾客，且要求售价不低于80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5850元，求出a的值.22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（6，0），点B（0，6），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点.（1）圆心M的坐标为________；（2）抛物线经过点B，且以圆心M为顶点，求抛物线的解析式；（3）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（4）若（2）中的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交（3）中的直线AD于点E.若以PE为半径的⊙P与直线A D相交于另一点F.求EF的最小值.参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.16.17.18.19.20.21.22.。

2021-2022学年浙江省杭州市第一学期九年级数学期末常考题精选1考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试试卷120分钟。

2．答题前，必须在答题卡上填写校名，班级，姓名，座位号。

3．不允许使用计算器进行计算，凡题目中没有要求取近似值的，结果应保留根号或π一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．(本题3分)（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）抛物线y ＝2x 2﹣1的对称轴是（ ）A ．直线x ＝﹣1B ．直线14x =C ．x 轴D ．y 轴2．(本题3分)（2021·浙江杭州·九年级期末）一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．从布袋里摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（）A ．12B ．13C ．49D ．593．(本题3分)（2021·浙江杭州·九年级月考）把抛物线y ＝2(x ﹣1)2+3先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）A ．y ＝2(x +2)2+4B ．y ＝2(x ﹣4)2+4C ．y ＝2(x +2)2+2D ．y ＝2(x ﹣4)2+24．(本题3分)（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）若P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞BP ，若AP ＝4，则线段AB 的长为（）A ．2B ．4C ．6D ．85．(本题3分)（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为3p ；从上述4个命题中任取一个，是真命题的概率是（）A ．1B ．34C ．12D ．146．(本题3分)（2021·浙江杭州·九年级期末）如图，AB 为O e 的弦，半径OC 交AB 于点D ，AD DB =，5OC =，1CD =，则AB 长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．87．(本题3分)（2020·浙江杭州·九年级）如图，42´的正方形网格中，在,,,A B C D 四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．348．(本题3分)（2021·浙江杭州·九年级期末）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 为AD 上两点，且1AE DF ==．点P 为线段EF 上一动点，分别以AP ，DP 为边在正方形ABCD 内部作正方形AMNP 和正方形PQRD ，点G ，H 分别为MN 和QR 的中点，连接GH ，并取GH 的中点O ，则A 、O 两点间距离的最大值为（ ）A．B ．5CD．9．(本题3分)（2021·浙江杭州·一模）如图，在ABC V 中，90,ACB BC AC Ð=°>，CD 是ABC V 的角平分线，过点D 作DE CD ^交BC 于点E ．ACD △和BDE V 的面积分别为1S 和2S ，若23AD BD =，则12S S 的值为（ ）．A ．3B ．165C ．103D ．7210．(本题3分)（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，圆O 的半径为R ，正ABC V内接于圆O ，将ABC V 按逆时针方向旋转90°后得到A B C ¢¢¢V ，它的两边与AB 相交于点D 、E ，则以下说法正确的个数是（ ）①AD A D ¢=；②3B E A E ¢¢=；③30ADC ¢Ð=°；④R =A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）11．(本题4分)（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级开学考试）设1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是抛物线22y x x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为 __（用“<”连接）12．(本题4分)（2021·江苏·常熟市实验中学八年级月考）已知线段a ＝4，b ＝16，则a ，b 的比例中项线段的长是_______．13．(本题4分)（2021·浙江杭州·九年级月考）一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有颜色不同，其中一个无盖，突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是___．14．(本题4分)（2021·浙江杭州·九年级期末）在等腰ABC V 中，,40=Ð=°AB AC A ，以BC 边的中点O 为圆心，12BC 长为半径画圆，该圆分别交AB ，AC 边于点D ，E ，P 是圆上一动点（与点D ，E 不重合），连结PD ，PE ，则DPE Ð=__________．15．(本题4分)（2019·浙江杭州·九年级）如图，正方形OABC 和正方形CDEF 在平面直角坐标系中，点O ，C ，F 在y 上，点O 为坐标原点． 点M 为OC 的中点，抛物线2y ax b =+经过M ，B ，E 三点，则FE CB的值为________．16．(本题4分)（2021·浙江杭州·九年级期末）如图，矩形ABCD 中，AB =6，点P 为对角线AC 上一点，3AP CP=，过点P 作直线EF 分别交边AD ，BC 于点F ，点E ．现过点P 作PQ EF ^交矩形ABCD 一边于点Q ，若2BQ =，且点Q 恰好落在AFP Ð的角平分线上，则BC 的长为____．三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本题6分)（2020·浙江浙江·九年级期末）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，墙的最大可用长度为9米．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．（1）求S 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）求花圃面积S 的最大值．18．(本题8分)（2020·浙江杭州·九年级期末）甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9，从这三个口袋中各随机的取出一个小球，(1)求取出的三个小球的标号全是偶数的概率是多少？(2)已取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这三条线段能构成三角形的概率.19．(本题8分)（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．（1）求证：V ADE∽V DBE；（2）若DE＝cm，AE＝8cm，求DC的长．20．(本题10分)（2021·浙江·诸暨市滨江初级中学九年级期中）如图，一圆弧过方格的-，，格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(32)（1）画出平面直角坐标系．（2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心并直接写出圆心的坐标．（不写作法，保留作图痕迹）21．(本题10分)（2021·浙江·杭州外国语学校九年级期中）如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，过点A 作AG BD ^分别交BD 、BC 于点G 、E ．（1）求证：2EB EG EA =×；（2）连接CG ，若BE CE =．求证：CGE DBC Ð=Ð．22．(本题12分)（2021·浙江·杭州市公益中学九年级期中）已知二次函数y 1＝ax 2﹣bx ＋c ，y 2＝cx 2﹣bx ＋a ，这里a 、b 、c 为常数，且a ＞0，c ＜0，a ＋c ≠0（1）若b ＝0，令y ＝y 1＋y 2，求y 的函数图象与x 轴的交点数；（2）若x ＝x 0时，y 1＝p ，y 2＝q ，若p ＞q ，求x 0的取值范围；（3）已知二次函数y 1＝ax 2﹣bx ＋c 的顶点是（﹣1，﹣4a ），且（m ﹣1）a ﹣b ＋c ≤0，m 为正整数，求m 的值．23．(本题12分)（2020·浙江杭州·九年级期末）已知点D 为ABC V 所在平面上的任意一点，根据下列条件解决问题：（1）如右图当ACB Ð为锐角时，2ADB ACB DA DB Ð=Ð=，．这样的点D 有______个；（2）若1//2ADB ACB CD AB AD DC AB BD Ð=Ð==，，，交AC 于点P ； ①求ACB Ð的度数．②设AB x =，△PDC 面积为y ．求y 关于x 的函数关系式．。

杭州市2021版九年级上学期期末数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共14题；共22分)1. （1分） (2016九上·绵阳期中) 若点P的坐标为（x+1，y﹣1），其关于原点对称的点P′的坐标为（﹣3，﹣5），则（x，y）为________．2. （1分） (2019九上·伊通期末) 一元二次方程的解是________．3. （1分） (2019九上·北京月考) 如图，在矩形中，，，矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形，若点的对应点落在边上，则的长为________.4. （1分）(2019·西岗模拟) 如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O于点C，且CD ＝4cm，弦AB的长为________cm.5. （1分）(2019·哈尔滨模拟) 从1、2、3中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是________6. （1分） (2019八上·兰州期中) 一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口1小时后相距________km.7. （2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （2分） (2016九上·衢州期末) 一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A . 至少有1个球是黑球B . 至少有1个球是白球C . 至少有2个球是黑球D . 至少有2个球是白球9. （2分） (2020九上·淅川期末) 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A .B .C . 且D . 且10. （2分）已知，二次函数y=ax2+bx+a2+b（a≠0）的图象为下列图象之一，则a的值为（）A . -1B . 1C . -3D . -411. （2分） (2019九上·慈溪月考) 如图，下列正确的是（）A .B .C .D .12. （2分）某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x，则下面列出的方程中正确的是（）．A . 1185X2=580B . 1185(1-X)2=580C . 1185(1-X2)=580D . 580(1+X)2=118513. （2分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（8，y3）都在二次函数y=ax2（a＜0）的图象上，则下列结论正确的是（）A . y1＜y2＜y3B . y2＜y1＜y3C . y3＜y1＜y2D . y1＜y3＜y214. （2分） (2019八上·交城期中) 如图，ΔABC中，∠C=90º，∠A =30º，点D在线段AB的垂直平分线上，若AD=6，则CD的长为（）A . 6B . 4C . 3D . 2二、解答题： (共9题；共85分)15. （10分） (2020八下·杭州月考) 已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长16. （5分）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．17. （10分） (2019八上·西安月考) 如图，正方形 ABCD，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且DE=CF，AF 与 BE 相交于点G.（1）求证：AF⊥BE；（2）若 AB=6，DE=2，AG的长18. （15分）(2018·武汉模拟) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：E为AC中点；（2）求证：AD=CD；（3）若AB=10，cos∠ABC= ，求tan∠DBC的值．19. （10分）“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？20. （10分） (2018九上·丽水期中) 一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）（2）随机摸出一个球后，不放回，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）21. （5分）已知关于的方程x2+ax+b=0（）与x2+cx+d=0都有实数根,若这两个方程有且只有一个公共根,且ab=cd,则称它们互为“同根轮换方程”．如x2-x-6=0与x2-2x-3=0互为“同根轮换方程”．（1）若关于(x的方程x2+4x+m=0与x2-6x+n=0互为“同根轮换方程”,求m的值；（2）若p是关于x的方程x2+ax+b=0（）的实数根,q是关于x的方程x2+2ax+b=0的实数根,当p,q 分别取何值时,方程x2+ax+b=0（）与x2+2ax+b=0互为“同根轮换方程”,请说明理由．22. （10分）(2019·电白模拟) 如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E.（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）.23. （10分）(2020·贵港模拟) 如图，在平面直角坐标系中，，点的坐标为，抛物线经过两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线上方抛物线上的一点，过点作轴于点，交线段于点，使.①求点的坐标和的面积；②在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题： (共14题；共22分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题： (共9题；共85分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、。

2022-2023浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案..1．二次函数y=3x2﹣1图象的顶点坐标是（）A．（0，﹣1）B．（1，0） C．（﹣1，0）D．（0，1）2．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且AB=4，BC=3，∠ABC=90°，则⊙O的直径为（）A．5 B．6 C．8 D．103．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB=2：3，则下列结论中正确的（）A．=B．=C．=D．=4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是（）A．B．C．D．5．从2种不同款式的衬衣和2种不同款式的裙子中分别取一件衬衣和一条裙子搭配，有（）种可能．A．1 B．2 C．3 D．46．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，则旗杆AB的髙度是（）m．A．8+24 B．8+8 C．24+8D．8+87．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与A、C重合），DE与AB 相交于点F，则图中有（）对相似三角形．A．2 B．3 C．4 D．58．若抛物线y=ax2+2ax+4（a＜0）上有A（﹣，y1），B（﹣，y2），C（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y19．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥AB，若AB=8，则DE的长为（）A． +1 B．2﹣2 C．2﹣2 D． +110．在△ABC中，已知AC=5，且+﹣=0，则BC+AB=（）A．6 B．7 C．8 D．9二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．任意写出一个偶数和一个奇数，两数之和是奇数的概率是，两数之和是偶数的概率是．12．两个数4+与4﹣的比例中项是．13．若二次函数的图象经过点（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，那么这个二次函数图象顶点的横坐标为．14．如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m，CD长为20m，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为m．15．在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且cosB=，则sinC=．16．己知抛物线y=x2+2mx﹣n与x轴没有交点，则m+n的取值范围是．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.17．平面上有3个点的坐标：A（0，﹣3），B（3，0），C（﹣1，﹣4）．（1）在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线y1=x﹣3上又在抛物线上y2=x2﹣2x﹣3上的概率是多少？（2）从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线y2=x2﹣2x﹣3上的概率．18．如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，己知AC=15，⊙O的半径为30，求的长．19．如图，⊙P的圆心为P（﹣2，1），半径为2，直线MN过点M（2，3），N（4，1）．（1）请你在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′（不要求写作法）；（2）请判断（1）中⊙P′与直线MN的位置关系，并说明理由．20．如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE=BF=CG=DH=xcm，四边形EFGH的面积为ycm2，（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；（2）求四边形EFGH的面积为3cm2时的x值；（3）四边形EFGH的面积可以为1.5cm2吗？请说明理由．21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．（1）试求sin∠MCH的值；（2）问△MCH与△MBC是否相似？请说明理由；（3）连结AH，求证：∠AHM=45°．22．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=，CH=5．（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；（3）在（2）的条件下，求EF的长．23．已知二次函数y=x2+2（m+l）x﹣m+1．以下四个结论：①不论m取何值，图象始终过点（，2）；②当﹣3＜m＜0时，抛物线与x轴没有交点：③当x＞﹣m﹣2时，y随x的增大而增大；④当m=﹣时，抛物线的顶点达到最高位置．请你分别判断四个结论的真假，并给出理由．2022-2023浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案..1．二次函数y=3x2﹣1图象的顶点坐标是（）A．（0，﹣1）B．（1，0） C．（﹣1，0）D．（0，1）【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：二次函数y=3x2﹣1的图象的顶点坐标是（0，﹣1）．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．2．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且AB=4，BC=3，∠ABC=90°，则⊙O的直径为（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】圆周角定理；勾股定理．【分析】由点A，B，C是⊙O上的三点，∠ABC=90°，根据90°的圆周角对的弦是直径，可得AC 是直径，然后由勾股定理求得答案．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴AC是直径，∵AB=4，BC=3，∴AC==5，即⊙O的直径为5．故选A．【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意得到AC是直径是解此题的关键．3．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB=2：3，则下列结论中正确的（）A．=B．=C．=D．=【考点】平行线分线段成比例．【分析】运用平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵AD：DB=2：3，∴=，∵DE∥BC，∴==，A错误，B正确；==，C错误；==，D错误．故选：B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，则斜边AB=2CD=4，则即可求得sinB的值．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，∴AB=2CD=4．∴sinB=．故选C．【点评】本题主要运用了直角三角形的性质（斜边上的中线等于斜边的一半），并考查了正弦函数的定义．5．从2种不同款式的衬衣和2种不同款式的裙子中分别取一件衬衣和一条裙子搭配，有（）种可能．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】用2种不同款式的衬衣用A、B表示，2种不同款式的裙子用a、b表示，然后画树状图可展示所有4种等可能的结果数．【解答】解：用2种不同款式的衬衣用A、B表示，2种不同款式的裙子用a、b表示，画树状图为：共有4种等可能的结果数．故选D．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．6．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，则旗杆AB的髙度是（）m．A．8+24 B．8+8 C．24+8D．8+8【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】利用∠ECA的正切值可求得AE；利用∠ECB的正切值可求得BE，有AB=AE+BE．【解答】解：在△EBC中，有BE=EC×tan45°=8m，在△AEC中，有AE=EC×tan30°=8m，∴AB=8+8（m）．故选D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣俯角、仰角问题，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．7．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与A、C重合），DE与AB 相交于点F，则图中有（）对相似三角形．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】相似三角形的判定；等边三角形的性质．【分析】只要求写出相似的三角形，不必写出求证过程，根据相似三角形的判定定理，两个等边三角形的三个角分别相等，可推出△ABC∽△EDB，根据对应角相等推出△BDC∽△EFB∽△AFD．【解答】解：图中的相似三角形是△ABC∽△EDB，△BDC∽△EFB，△BDC∽△AFD，△BDC∽△AFD．故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用，关键在于根据图中两个等边三角形，找出相关的相等关系，然后结合已知条件，证明结论．8．若抛物线y=ax2+2ax+4（a＜0）上有A（﹣，y1），B（﹣，y2），C（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】探究型．【分析】根据抛物线y=ax2+2ax+4（a＜0）可知该抛物线开口向下，可以求得抛物线的对称轴，又因为抛物线具有对称性，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y=ax2+2ax+4（a＜0），∴对称轴为：x=，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∵A（﹣，y1），B（﹣，y2），C（，y3）在抛物线上，，∴y3＜y1＜y2，故选C．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数具有对称性，在对称轴的两侧它的单调性不一样．9．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥AB，若AB=8，则DE的长为（）A． +1 B．2﹣2 C．2﹣2 D． +1【考点】垂径定理；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．【分析】由相交弦定理可得ED•DF=BD•DC=16，EG•FG=AG•GC=16，DG=，由此可得结果．【解答】解：∵△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥AB，AB=8，由相交弦定理可得ED•DF=BD•DC=16，EG•FG=AG•GC=16，DG=，∴DE•（4+FG）=16，FG•（4+DE）=16，∴DE=FG=2﹣2，故选B．【点评】本题考查了线段长的求法，利用相交弦定理是解答此题的关键．10．在△ABC中，已知AC=5，且+﹣=0，则BC+AB=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】解直角三角形．【分析】做出三角形的三个内角的平分线，相交于O，过O作三边的垂线，最后用三角函数即可．【解答】解：如图：作∠ABC，∠BCA，∠CAB的平分线相交于点O，过O作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，设AF=m，BF=n，OD=OE=OF=r，∴AE=m．BD=n，∵AC=5，∴CE=CD=5﹣m，在RT△AOF中，tan∠BAO=，∴，同理：，，∵+﹣=0，∴，∴n=1，∴AB+BC=m+n+n+5﹣m=2n+5=7，故选B【点评】此题是解直角三角形，主要考查了三角形的角平分线的意义，三角函数，解本题的关键是构造直角三角形．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．任意写出一个偶数和一个奇数，两数之和是奇数的概率是1，两数之和是偶数的概率是0．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】利用不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1求解．【解答】解：一个奇数与一个偶数的和为奇数，所以任意写出一个偶数和一个奇数，两数之和是奇数的概率是1，两数之和是偶数的概率为0．故答案为1，0．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了确定事件的概率．12．两个数4+与4﹣的比例中项是±．【考点】比例线段．【分析】设它们的比例中项是x，根据比例的基本性质得出x2=（4+）（4﹣），再进行计算即可．【解答】解：设它们的比例中项是x，则x2=（4+）（4﹣），解得x=±．故答案为±．【点评】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算．13．若二次函数的图象经过点（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，那么这个二次函数图象顶点的横坐标为﹣4或0．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】数形结合．【分析】由于二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，则可确定二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣6，0）或（2，0），然后根据抛物线与x 轴的两交点关于抛物线的对称轴对称，则可得到抛物线的对称轴方程，从而得到这个二次函数图象顶点的横坐标．【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣6，0）或（2，0），当二次函数的图象与x轴的两个交点为（﹣6，0）和（﹣2，0），则二次函数图象的对称轴为直线x=﹣4，当二次函数的图象与x轴的两个交点为（﹣2，0）和（2，0），则二次函数图象的对称轴为直线x=0，即这个二次函数图象顶点的横坐标为﹣4或0．故答案为﹣4或0．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：由二次函数的交点式y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c 是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．14．如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m，CD长为20m，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为130m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，根据坡度的概念分别求出AE、DF，结合图形计算即可．【解答】解：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，∵斜坡CD的坡比为1：2，即=，∴DF=2CF，又CD=20m，∴CF=20m，DF=40m，由题意得，四边形BEFC是矩形，∴BE=CF=20m，EF=BC=30m，∵斜坡AB的坡比为1：3，∴=，即AE=3BE=60m，∴AD=AE+EF+DF=130m，故答案为：130m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键，掌握矩形的判定和性质的应用．15．在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且cosB=，则sinC=．【考点】解直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】作AD⊥BC于点D，根据在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且cosB=，可以求得BD、AD、CD、AC的值，从而可以求得sinC的值．【解答】解：如下图所示：作AD⊥BC于点D，∵在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且cosB=，cosB=，∴BD=4，∴CD=BC﹣BD=6﹣4=2，AD=，∴AC=，∴sinC==，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件．16．己知抛物线y=x2+2mx﹣n与x轴没有交点，则m+n的取值范围是＜．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】计算题．【分析】由抛物线y=x2+2mx﹣n与x轴没有交点，得到a=1＞0，推出函数值y＞0，得到n＜0，求出抛物线的对称轴x=﹣=﹣，于是得到y=x2+2mx﹣n=﹣m﹣n=﹣（m+n）＞0，即可得到结论．【解答】解：∵抛物线y=x2+2mx﹣n与x轴没有交点，∵a=1＞0，∴函数值y＞0，∴﹣n＞0，∴n＜0，∵抛物线的对称轴x=﹣=﹣，∴y=x2+2mx﹣n=﹣m﹣n=﹣（m+n）＞0，∴m+n＜．故答案为：＜．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：当抛物线y=ax2+bx+c与轴有两个交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根即△＞0；当抛物线y=ax2+bx+c与轴有一个交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根即△=0；当抛物线y=ax2+bx+c与轴无交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根即△＜0．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.17．平面上有3个点的坐标：A（0，﹣3），B（3，0），C（﹣1，﹣4）．（1）在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线y1=x﹣3上又在抛物线上y2=x2﹣2x﹣3上的概率是多少？（2）从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线y2=x2﹣2x﹣3上的概率．【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；概率公式．【专题】计算题．【分析】（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征可判断A、B、C都在直线上，A、B两点在抛物线上，C点不在抛物线上，然后根据概率公式求解；（2）先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两点都落在抛物线y2=x2﹣2x﹣3上的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）当x=0时，y1=x﹣3=﹣3，y2=x2﹣2x﹣3=﹣3，则A点在直线和抛物线上；当x=3时，y1=x﹣3=0，y2=x2﹣2x﹣3=0，则B点在直线和抛物线上；当x=﹣1时，y1=x﹣3=﹣4，y2=x2﹣2x﹣3=0，则C点在直线上，不在抛物线上，所以在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线y1=x﹣3上又在抛物线上y2=x2﹣2x﹣3上的概率=；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中两点都落在抛物线y2=x2﹣2x﹣3上的结果数为2，所以两点都落在抛物线y2=x2﹣2x﹣3上的概率==．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征．18．如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，己知AC=15，⊙O的半径为30，求的长．【考点】弧长的计算；含30度角的直角三角形；矩形的性质．【分析】利用矩形的性质以及锐角三角形函数关系，得出cos∠EOD的值进而求出∠EOD的度数，再利用弧长公式求出即可．【解答】解：连接OD，BD，延长DC交BM于点E，∵BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上一点，DC⊥AN，∴DE⊥BO，∵AC=15cm，∴BE=EO=15cm，∵DO=30cm，∴cos∠EOD==，∴∠EOD=60°，∴=（cm）．【点评】本题考查了直角三角形的性质，弧长的计算、矩形的性质等知识，熟练掌握基本知识得出∠EOD的度数是解题关键．19．如图，⊙P的圆心为P（﹣2，1），半径为2，直线MN过点M（2，3），N（4，1）．（1）请你在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′（不要求写作法）；（2）请判断（1）中⊙P′与直线MN的位置关系，并说明理由．【考点】作图—复杂作图；直线与圆的位置关系．【分析】（1）结合圆的半径利用P点关于y轴对称得出P′的坐标，进而得出答案；（2）根据M，N，P′的坐标得出P′到直线MN的距离，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：⊙P′即为所求；（2）直线MN与⊙P′相交，理由：过点P′作P′B⊥MN于点B，∵M（2，3），N（4，1），P′（2，1），∴P′M=P′N=2，∴△MP′N是等腰直角三角形，∴P′B=1，∵⊙P′的半径为2，∴直线MN与⊙P′相交．【点评】此题主要考查了复杂作图以及直线与圆的位置关系，正确得出⊙P′的位置是解题关键．20．如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE=BF=CG=DH=xcm，四边形EFGH的面积为ycm2，（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；（2）求四边形EFGH的面积为3cm2时的x值；（3）四边形EFGH的面积可以为1.5cm2吗？请说明理由．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】（1）先证出四边形EFGH为正方形，用未知数x表示其任一边长，根据正方形面积公式即可解决问题；（2）代入y值，解一元二次方程即可；（3）将面积y=2x2﹣4x+4改写成完全平方的形式，可得知y≥2，故不能为cm2．【解答】解：（1）∵在正方形纸上剪去4个全等的直角三角形，∴∠AHE=∠DGH，∠DGH+∠DHG=90°，HG=HE，∵∠EHG=180°﹣∠AHE﹣∠DHG，∴∠EHG=90°，四边形EFGH为正方形，在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB﹣AE=2﹣x，∠A=90°，∴HE2=AE2+AH2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4，正方形EFGH的面积y=HE2=2x2﹣4x+4，∵AE，AH不能为负，∴0≤x≤2，故y关于x的函数表达式为：y=2x2﹣4x+4，自变量x的取值范围[0，2]．（2）将y=3代入y=2x2﹣4x+4中，整理得：2x2﹣4x+1=0，解得：x1=1+，x2=1﹣，故四边形EFGH的面积为3cm2时的x的值为1+或1﹣．（3）四边形EFGH的面积为：y=2x2﹣4x+4=2（x﹣1）2+2，（0≤x≤2），∵（x﹣1）2≥0，∴y≥2，四边形EFGH的面积不能为1.5cm2．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是找准数量关系，对于第三问，只要将关系式转化成完全平方的形式，即可看出结论．21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．（1）试求sin∠MCH的值；（2）问△MCH与△MBC是否相似？请说明理由；（3）连结AH，求证：∠AHM=45°．【考点】相似形综合题．【分析】（1）设AC=BC=2a，由M是边AC的中点得出CM=AM=a，根据勾股定理求出BM的长，再由∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°可得出∠MCH=∠MBC，进而可得出结论；（2）根据CH⊥BM于H，∠ACB=90°可得出∠MCB=∠MHC=90°，由∠BMC是公共角即可得出结论；（3）由（2）可知，△MCH∽△MBC，故=，再由CM=AM可知=，根据∠AMH为公共角可得出△AMH∽△BMA，故可得出结论．【解答】（1）解：设AC=BC=2a，∵M是边AC的中点，∴CM=AM=a，∴BM===a．∵∠ACB=90°，CH⊥BM于H，∴∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°，∴∠MCH=∠MBC，∴sin∠MCH=sin∠MBC===；（2）解：△MCH∽△MBC．理由：∵CH⊥BM于H，∴∠MHC=90°．∵∠ACB=90°，∴∠MCB=∠MHC=90°．∵∠BMC是公共角，∴△MCH∽△MBC；（3）证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAM=45°．∵由（2）知，△MCH∽△MBC，∴=．∵M是边AC的中点，∴CM=AM，∴=．∵∠AMH为公共角，∴△AMH∽△BMA，∴∠AHM=∠BAM=45°．【点评】本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，在解答此题时要注意等腰直角三角形两个锐角是45°，此题难度适中．22．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=，CH=5．（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；（3）在（2）的条件下，求EF的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接AC．由AB⊥BC可知AC是圆O的直径，由同弧所对的圆周角相等可知∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=40，从而可得到AC2+AH2=CH2，由勾股定理的逆定理可知AC⊥AH，故此可知AH是圆O的切线；（2）连接DE、BE．由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是的中点，可证明∠CED=∠EBD，由同弧所对的圆周角相等可知∠ABE=∠ADE，结合三角形的外角的性质可证明：∠HAF=∠AFH，故此AH=HF；（3）由切割线定理可求得EH=，由（2）可知AF=FH=，从而得到EF=FH﹣EH=．【解答】解：（1）如图1所示：连接AC．∵AB⊥CB，∴AC是圆O的直径．∵∠C=∠D，∴tanC=3．∴AB=3BC=3×2=6．在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40．又∵AH2=10，CH2=50，∴AC2+AH2=CH2．∴△ACH为直角三角形．∴AC⊥AH．∴AH是圆O的切线．（2）如图2所示：连接DE、BE．∵AH是圆O的切线，∴∠ABD=∠HAD．∵D是的中点，∴．∴∠CED=∠EBD．又∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED．∴∠ABD=∠AFE．∴∠HAF=∠AFH．∴AH=HF．（3）由切割线定理可知：AH2=EH•CH，即（）2=5EH．解得：EH=．∵由（2）可知AF=FH=．∴EF=FH﹣EH=．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切割线定理、圆周角定理以及勾股定理和勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．23．已知二次函数y=x2+2（m+l）x﹣m+1．以下四个结论：①不论m取何值，图象始终过点（，2）；②当﹣3＜m＜0时，抛物线与x轴没有交点：③当x＞﹣m﹣2时，y随x的增大而增大；④当m=﹣时，抛物线的顶点达到最高位置．请你分别判断四个结论的真假，并给出理由．【考点】二次函数的性质．【分析】①把二次函数y=x2+2（m+l）x﹣m+1转化成y═（x+1）2﹣（2x﹣1）m，令x=，y=，判断出①；②令y=x2+2（m+l）x﹣m+1=0，求出根的判别式△在﹣3＜m＜0时小于0，判断②；③求出抛物线的对称轴，即可判断③；④根据顶点坐标式求出抛物线的顶点，然后根据顶点纵坐标判断④．【解答】解：①二次函数y=x2+2（m+l）x﹣m+1=（x+1）2﹣（2x﹣1）m，当x=时，y=，故可知抛物线总经过点（，2），故①正确，②令y=x2+2（m+l）x﹣m+1=0，求△=4（m+1）2+4m﹣4=4m2+12m，当﹣3＜m＜0时，4m2+12m＜0，抛物线与x轴没有交点，故②正确，③抛物线开口向上，对称轴x=﹣=﹣m﹣1，所以当x＞﹣m﹣1时，y随x的增大而增大，故③错误，④y=x2+2（m+l）x﹣m+1=（x+m+1）2﹣m2﹣3m，抛物线的顶点坐标为（﹣m﹣1，﹣m2﹣3m），因为顶点的纵坐标y=﹣m2﹣3m=﹣（m+）2+，所以当m=﹣时，抛物线的顶点达到最高位置．故④正确，正确的结论有①②④．【点评】本题主要考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握抛物线的图象以及二次函数的性质，此题难度一般．。

浙江省杭州市西湖区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（）A．a＝1，b＝0，c＝﹣2B．a＝2，b＝6，c＝0C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣22．已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA可能为（）A．1B．2C．3D．43．若点M在抛物线2(3)4y x=+-的对称轴上，则点M的坐标可能是（）A．（3，-4）B．（-3，0）C．（3，0）D．（0，-4）4．一个布袋里装有1个红球，4个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为（）A．13B．110C．25D．5105．若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（）A．2B．4C．2πD．4π6．如图．在⊙ABC中，DE⊙BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝2：1，DE＝4，则BC为（）A．6B．7C．8D．97．如图，在平面直角坐标系中．⊙MNP绕原点逆时针旋转90°得到⊙M1N1P1，若M （1，﹣2）．则点M1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（1，2）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）8．若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（）A．y≤3B．y≤6C．y≥-3D．y≥69．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若⊙ABD＝45°，则⊙ADC＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°10．二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0二、填空题11．若2y﹣x＝0，则x：y＝_____．12．将二次函数y＝﹣x2＋2图象向下平移3个单位，得到的函数图象顶点坐标为_____．13．在一个不透明的袋子里装有红球4个，黄球若干个，这些球除颜色外其它都相同，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.5左右，则袋子中黄球个数可能是_____个．14．∆ABC的三边长分别为6,8,10，则∆ABC的外接圆的半径为_______ .15．当x≥m时，两个函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2和y2＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为_____．16．如图，在⊙ABC中，AD平分⊙BAC，BE⊙AD于点E．若AB＝5，AC＝7，则BD CD＝_____，AEED＝_____．三、解答题17．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）．(1)求a的值．(2)求二次函数图象与x轴的交点坐标．18．如图，AD与BC交于点O，⊙A＝⊙C，AO＝4，CO＝2，AB＝6，求CD的长．19．将6个球分别放入标有1，2，3，4，5，6这6个号码的盒子中．如图，将一个圆形转盘平均分成3份，分别标上数字1，2，3，现转动转盘两次，两次转得的数字之和是几，从几号盘子中摸出一个球（如：第一次转得数字为2，第二次转得数字为3，则和为5，就从5号盒子中摸球）．(1)求从6号盒子中摸球的概率；(2)通过计算，判断从几号盒子中摸球的概率最大？20．已知二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标．(2)点C（m，n）在该二次函数图象上．⊙若m＝﹣1，求n的值．⊙若当m≤x≤3时，n的最大值为5，最小值为1，请结合图象直接写出满足条件的一个m的值．21．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，连结AE，BF，AE⊙BF且AE＝BF．(1)求证：AB＝AD．(2)连结EF，BE，线段FD是线段AD与AF的比例中项．⊙若AD＝4，求线段FD的长．⊙求证：⊙DEF⊙⊙CEB．22．已知二次函数y＝x2＋2x．(1)写出该二次函数图象的对称轴．(2)已知该函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点．⊙当x1＝3n＋4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，求n的值．⊙当x1＞﹣1，x2＞﹣1时，求证：（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞023．如图，⊙ABC为⊙O的内接三角形，AD⊙BC，垂足为D，直径AE平分⊙BAD，交BC于点F，连结BE．(1)求证：⊙AEB＝⊙AFD．(2)若AB＝10，BF＝5，求AD的长．(3)若点G为AB中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．参考答案：1．A【解析】【分析】根据二次函数的平移性质得出a 不发生变化，即可判断a =1．【详解】解：⊙二次函数y =a （x +b ）2+c 的图形，经过平移后可与y =（x +3）2的图形完全叠合， ⊙a =1．故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a 的值不变是解题关键． 2．D【解析】【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．【详解】解：⊙点A 为⊙O 外的一点，且⊙O 的半径为3，⊙线段OA 的长度＞3．故选：D ．【点睛】此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．3．B【解析】【详解】试题解析:22(3)4y x =+-，⊙对称轴为x =-3，⊙点M 在对称轴上,⊙M点的横坐标为-3，故选B.4．C【解析】【分析】用黄色小球的个数除以总个数可得．【详解】解：搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为4145++=25．故选：C．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．5．A【解析】【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案．【详解】解：由题意可得：290360rππ⨯=，⊙扇形的半径为2，故选：A．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．6．A【解析】【分析】根据DE⊙BC易证⊙ADE⊙⊙ABC，根据对应边相似比相等即可求得BC的值．【详解】解：⊙DE⊙BC，⊙⊙ADE⊙⊙ABC，⊙AD DE AB BC =， ⊙2AD BD =， ⊙23AD AB =，又DE =4， ⊙423AD AB BC ==， ⊙BC =6，故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．7．C【解析】【分析】连接OM ，OM 1，分别过M 和M 1作y 轴的垂线，垂足为A ，B ，证明⊙OAM 1⊙⊙MBO ，得到OA =BM =1，AM 1=OB =2，从而可得M 1坐标．【详解】解：如图，连接OM ，OM 1，分别过M 和M 1作y 轴的垂线，垂足为A ，B ，由旋转可知：⊙MOM 1=90°，OM =OM 1，则⊙AOM 1+⊙BOM =90°，又⊙AOM 1+⊙AM 1O =90°，⊙⊙AM 1O =⊙BOM ，又⊙⊙OAM 1=⊙OBM =90°，OM =OM 1，⊙⊙OAM 1⊙⊙MBO （AAS ），⊙OA =BM =1，AM 1=OB =2，⊙M 1（2，1），故选C ．【点睛】本题考查了坐标与图形—旋转，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用旋转的性质得到全等三角形的条件．8．C【解析】【分析】根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．【详解】解：⊙二次函数y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），⊙16164193a b ca b ca b c=-+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得：122abc=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，⊙函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，⊙函数的最小值为()()2412241⨯⨯---⨯=3-，即y≥-3，故选C．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．9．B【分析】设BD交OC于E，连接OD，OA，求出OE=12OD，求出⊙ODE=30°，求出⊙ODC=60°，根据圆周角定理求出⊙AOD，求出⊙ADO=⊙OAD=45°，再求出答案即可．【详解】解：设BD交OC于E，连接OD，OA，⊙BD垂直平分OC，⊙OE=12OC=12OD，⊙OED=90°，⊙⊙ODE=30°，⊙⊙DOC=90°-30°=60°，⊙OC=OD，⊙⊙OCD是等边三角形，⊙⊙ODC=60°，⊙⊙ABD=45°，⊙⊙AOD=2⊙ABD=90°，⊙OA=OD，⊙⊙ADO=⊙OAD=12（180°-⊙AOD）=45°，⊙⊙ADC=⊙ADO+⊙ODC=45°+60°=105°，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义，圆周角定理等知识点，能求出⊙AOD和⊙ODC的度数是解此题的关键．10．C【分析】根据函数表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而得到y3＜y2＜y4＜y1，再结合题目一一判断即可．【详解】解：由函数表达式可知：函数图像开口向上，对称轴为直线x=42aa--=2，⊙-2＜0＜2＜3＜5，⊙y3＜y2＜y4＜y1，若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．11．2【解析】【分析】先将已知等式变形，再利用等式的性质得到结果．【详解】解：⊙2y﹣x＝0，⊙2y＝x，⊙x：y＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等式的性质，比较简单．12．（0，-1）【解析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将二次函数y ＝-x 2+2图象向下平移3个单位，得到y ＝-x 2+2-3=-x 2-1，顶点坐标为（0，-1），故答案为：（0，-1）．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．13．4【解析】【分析】设袋子中黄球的个数可能有x 个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．【详解】解：设袋子中黄球的个数可有x 个，根据题意得：40.54x=+， 解得：x =4，经检验x =4是原方程的解，⊙袋子中黄球的个数可能是4个．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．5【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理可判断出∆ABC 是直角三角形，再根据直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点即可求出半径.解：⊙62＋82=102⊙∆ABC 是直角三角形，⊙∆ABC 的外接圆的半径=12斜边=5 故答案为5.【点睛】此题考查的是直角三角形的外接圆的半径，掌握勾股定理的逆定理、直角三角形的外心位置和半径等于斜边的一半是解决此题的关键.15．4【解析】【分析】先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x 的取值范围，从而得到m 的最小值．【详解】解：函数y 1＝﹣（x ﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x =4，函数y 2＝﹣（x ﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x =3，当函数值都随着x 的增大而减小，则x ≥4，即m 的最小值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．16．57 6 【解析】【分析】如图：延长BE 交AC 于F ，过C 作BE 的垂线CG ，垂足为G ，先证明⊙AEB ⊙⊙AEF 可得AF =AB =5，进而求得FC ,然后再说明⊙AFE ⊙⊙CFG ,进而得到52EF AE AF FG CG FC ===，然后根据线段的和差可得512BE FE BG BE EF FG ==++；再说明⊙BED ⊙⊙BGC 可得512BD ED BE BC CG BG ===，再结合52AE CG =可得AE =52CG , 512ED CG =，最后代入计算即可．解：延长BE交AC于F，过C作BE的垂线CG，垂足为G ⊙AD平分⊙BAC, BE⊙AD于点E⊙⊙BAE=⊙CAE, ⊙AEB=⊙AEF⊙AE=AE⊙⊙AEB⊙⊙AEF（ASA）⊙AF=AB=5，⊙G=⊙AEF=90°⊙FC=AC-AF=2⊙⊙CFG=⊙AFE⊙⊙AFE⊙⊙CFG⊙52 EF AE AF FG CG FC===⊙512 BE FEBG BE EF FG==++⊙BE⊙CG, BE⊙AD ⊙BE//CG⊙⊙BED⊙⊙BGC⊙512 BD ED BEBC CG BG===⊙57 BD BDCD BC BD==-⊙52AECG=，512EDCG=⊙AE=52CG,512ED CG=⊙526512CGAEED CG==．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及等比例线段等知识点，灵活应用相似三角形的判定与性质成为解答本题的关键．17．(1)3(2)（2，0）和（0，0）【解析】【分析】（1）将（2，0）代入函数表达式，求出a值即可；（2）根据所得函数表达式，令y=0，求出x值，可得坐标．(1)解：⊙二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0），⊙0＝a（2-1）2-3，解得：a=3；(2)由（1）可知：二次函数的表达式为y＝3（x-1）2-3，令y=0，则3（x-1）2-3=0，解得：x=2或x=0，⊙二次函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（0，0）．【点睛】本题考查了二次函数的表达式，与x轴的交点问题，解题的关键是求出函数表达式．18．3【解析】【分析】由⊙A=⊙C，⊙AOB=⊙COD可得出⊙AOB⊙⊙COD，利用相似三角形的性质可得出AB AOCD CO=，代入AO=4，CO=2，AB=6即可求出CD的长．【详解】解：⊙⊙A=⊙C，⊙AOB=⊙COD，⊙⊙AOB⊙⊙COD，⊙AB AO CD CO=，即624 CD=，⊙CD=3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．19．(1)1 9(2)4号【解析】【分析】（1）先利用树状图展示所有9种等可能的结果，再找出符合条件的情况数，最后利用概率公式计算；（2）分别计算出从各个盒子中摸球的概率，再比较即可．(1)解：如图，共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球所标注数字之和为6的结果数为1，⊙从6号盒子中摸球的概率为19；(2)由树状图可知：从1号盒子中摸球的概率为：09=，从2号盒子中摸球的概率为：19，从3号盒子中摸球的概率为：29，从4号盒子中摸球的概率为：31 93 =，从5号盒子中摸球的概率为：29，从6号盒子中摸球的概率为：19，⊙从4号盒子中摸球的概率最大．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率． 20．(1)224y x x =-++，（1，5）(2)⊙1；⊙0（答案不唯一）【解析】【分析】（1）将A ，B 坐标代入函数表达式，求出b ，c ，得到函数表达式，再利用顶点坐标公式求出顶点坐标；（2）⊙将点C 坐标代入所求函数表达式，再将m =-1代入即可求出n 值；⊙画出函数图像，根据函数最大值和最小值，结合图像找到m 的范围，从而确定m 值．(1)解：将A （3，1），点B （0，4）代入y ＝﹣x 2＋bx ＋c 中，得：1934b c c =-++⎧⎨=⎩， 解得：24b c =⎧⎨=⎩， ⊙二次函数的表达式为：224y x x =-++，顶点坐标为（()221-⨯-，()()2414241⨯-⨯-⨯-），即（1，5）； (2)⊙⊙点C （m ，n ）在该二次函数图象上，⊙224n m m =-++，当m ＝-1时， ()()212141n =--+⨯-+=；⊙令y =1，则2241x x -++=，解得：x =-1或x =3，当x =1时，y =5，⊙当m≤x≤3时，n的最大值为5，最小值为1，则-1≤m≤1，⊙满足条件的m值可以为0．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，有一定综合性，解题的关键是要理解题意，同时注意结合函数图像解决问题．21．(1)见解析(2)⊙2；⊙见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到⊙BAD=⊙ADE=90°，进而证明⊙ABF=⊙DAE，得到⊙ABF⊙⊙DAE，根据全等三角形的性质得到AB=AD，根据正方形的判定定理证明结论；（2）⊙根据比例中项的定义得到FD2=AD·AF，设FD=x，得到方程，解之即可；⊙由全等三角形的性质得到AF=DE，则DF=CE，再根据比例中项得到DF DEBC EC=，最后利用相似三角形的判定方法得到结果．(1)解：⊙四边形ABCD是矩形，⊙⊙BAD=⊙ADE=90°，⊙⊙ABF+⊙AFB=90°，⊙AE⊙BF，⊙⊙DAE +⊙AFB =90°，⊙⊙ABF =⊙DAE ，在⊙ABF 和⊙DAE 中，ABF DAE BAF ADE BF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙ABF ⊙⊙DAE （AAS ），⊙AB =AD ；(2)⊙⊙线段FD 是线段AD 与AF 的比例中项⊙FD 2=AD ·AF ，⊙AD =4，设FD =x ，则AF =4-x ，⊙x 2=4（4-x ），解得：x=2或2-（舍），⊙FD=2；⊙由（1）可知，⊙ABF ⊙⊙DAE ，⊙AF =DE ，⊙DF =CE ，⊙线段DF 是线段AF 与AD 的比例中项，⊙DF 2=AF •AD ， ⊙DF DE BC EC=， ⊙⊙FDE =⊙BCE =90°，⊙⊙FDE ⊙⊙BCE ．【点睛】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．(1)直线x =-1(2)⊙-1；⊙见解析【解析】【分析】（1）直接根据对称轴公式求解；（2）⊙将x1和x2代入函数表达式，根据y1＝y2得到方程，解之即可；⊙将（x1﹣x2）（y1﹣y2）变形为（x1﹣x2）2（x1＋x2+2），再根据x1＞﹣1，x2＞﹣1判断出结果的符号，即可证明．(1)解：二次函数y＝x2＋2x中，对称轴为直线x=221-⨯=-1；(2)⊙当x1＝3n＋4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，y1＝（3n＋4）2＋2（3n＋4）＝9n2+30n+24，y2＝（2n﹣1）2＋2（2n﹣1）＝4n2-1，则9n2+30n+24＝4n2-1，解得：n=-5或n=-1；当5n=-时，12,x x不符合题意，舍去，所以1n=-⊙（x1﹣x2）（y1﹣y2）=（x1﹣x2）[（x12＋2x1）﹣（x22＋2x2）]=（x1﹣x2）（x12＋2x1﹣x22﹣2x2）=（x1﹣x2）2（x1＋x2+2）⊙x1＞﹣1，x2＞﹣1，⊙x1＋x2+2＞-1-1+2=0，又⊙A（x1，y1），B（x2，y2）是两个不同的点，⊙x1≠x2，⊙（x1﹣x2）2＞0，⊙（x1﹣x2）2（x1＋x2+2）＞0，即（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，解一元二次方程，因式分解的应用，解题的关键是要灵活运用因式分解将式子变形．23．(1)证明见解析(2)6：2【解析】【分析】（1）根据AE 是直径可得⊙ABE =90°，由AE 是角平分线可得⊙BAE =⊙DAE ，根据直角三角形两锐角互余可得答案；（2）根据（1）中结论可得⊙BFE =⊙BEF ，可得BE =BF ，根据⊙BAE =⊙DAF ，⊙ABE =⊙ADF 可证明⊙ABE ⊙⊙ADF ，根据相似三角形的性质可得12DF AD =，设DF =x ，则AD =2x ，在Rt ⊙ABD 中，利用勾股定理列方程求出x 的值即可得答案；（3）由点G 为AB 中点，点O 在DG 上可证明OG 是⊙ABE 的中位线，根据中位线的性质可得OG //BE ，OG =12BE ，即可得出DG ⊙AB ，⊙AOG =⊙AEB =⊙AFD ，可得OD =DF ，⊙ABD 是等腰直角三角形，根据圆周角定理可得⊙AEB =⊙ACB ，可得⊙ACB =⊙AFC ，可得AC =AF ，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得DF =CD ，设BF =a ，DF =b ，根据等腰直角三角形的性质可得11222BE OD a b DG BD BF DF a b ++===++，可得a =，进而可得答案． (1)⊙直径AE 平分⊙BAD ，⊙⊙BAE =⊙DAE ，⊙ABE =90°，⊙⊙BAE +⊙AEB =90°，⊙AD ⊙BC ，⊙⊙DAE +⊙AFD =90°，⊙⊙AEB ＝⊙AFD ．(2)⊙⊙AEB ＝⊙AFD ，⊙AFD =⊙BFE ，⊙⊙BFE =⊙BEF ，⊙BE =BF ，⊙⊙BAE =⊙DAF ，⊙ABE =⊙ADF ，⊙⊙ABE ⊙⊙ADF ，⊙AB =10，BF =5， ⊙BE AB =BF AB =51=102DF AD =， 设DF =x ，则AD =2x ，⊙在Rt ⊙ABD 中，AB 2=BD 2+AD 2，即102=（5+x ）2+（2x ）2，解得：x =3，（负值舍去）⊙AD =2x =6．(3)⊙点G 为AB 中点，点O 在DG 上，⊙OG 是⊙ABE 的中位线，⊙OG //BE ，OG =12BE ，⊙⊙ABE =90°，⊙DG ⊙AB ，⊙AOG =⊙AEB =⊙AFD ，⊙OD =DF ，⊙ABD 是等腰直角三角形，⊙⊙AEB 和⊙ACB 是AB 所对的圆周角，⊙⊙AEB =⊙ACB ，⊙⊙ACB =⊙AFC ，⊙AC =AF ，⊙AD ⊙CF ，⊙DF =CD ，设BF =a ，DF =b ，⊙1122BE OD a b DG BD BF DF a b ++===++，⊙a ，⊙BF ：FC =a ：2b2．【点睛】本题考查圆周角定理相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及等腰直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；有两组对应角分别相等的两个三角形相似；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．。

【区级联考】浙江省杭州市西湖区2018届九年级（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3x=2y （xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）A ．23x y =B ．23x y =C ．32x y =D ．32x y = 2．正五边形需要旋转（ ）后才能与自身重合．A ．36°B ．45°C ．60°D ．72°3．已知圆O 的面积为25π，若PO=5.5，则点P 在（ ）A ．圆O 外B ．圆O 上C ．圆O 内D ．圆O 上或圆O 内4．如图，在边长为1的格点图形中，与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．从2种不同款式的衬衣和2种不同款式的裙子中分别取一件衬衣和一条裙子搭配，有（ ）种可能．A ．1B ．2C ．3D ．46．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，则有（ ）A ．AB 2=AP•PBB ．AP 2=BP•ABC ．BP 2=AP•ABD ．AP•AB=PB•AP7．如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D 是BAC 的中点，连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．50°D ．70°8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA=5，AB=2，则AC 长是（ ）A B C D ．29．已知，平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A (0，4)，B (0，-6)，点C 是x 轴正半轴上的一点，且满足∠ACB =45°，则（ ）A ．△ABC 的外接圆的圆心在OC 上B ．∠ABC =60° C ．△A BC 的外接圆的半径等于5D ．OC =1210．已知一次函数y ＝ax+b 过一，二，四象限，且过(6，0)，则关于二次函数y ＝ax 2+bx+1的以下说法：①图象与x 轴有两个交点；②a ＜0，b ＞0；③当x ＝3时函数有最小值；④若存在一个实数m ，当x≤m 时，y 随x 的增大而增大，则m≤3．其中正确的是( ) A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．②③④二、填空题11．比较sin30°、sin45°的大小，并用“＜”连接为_____．12．已知：432a b c ==，则2a b c a b-++=_____． 13．已知扇形的半径为5cm ，弧长为6πcm ，那么扇形的面积为_____．14．一个不透明的布袋里装有2个红球，4个白球和a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出1个球是黄球的概率为0.4，则a=_____．15．如图，已知扇形OAB 的半径为6，C 是弧AB 上的任一点（不与A ，B 重合），CM ⊥OA ，垂足为M ，CN ⊥OB ，垂足为N ，连接MN ，若∠AOB=45°，则tan ∠AOB=_____，MN=_____．16．已知关于x的二次函数y=ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0），若3＜m＜4，则a的取值范围是_____．三、解答题17．如图，ABCD与ACED都是平行四边形，点R在DE上，BR分别交AC，CD于点P、Q．（1）请直接写出图中全部的相似三角形（相似比为1除外，不另加辅助线或字母）；（2）若点R是DE的中点，求CQ的值．AB18．某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在四等分的转盘上依次标有“°0元”，“10元”，“30元”，“50元”字样，购物每满300元可以转动转盘2次，转盘停下后，顾客可以获得指针所指区域相应金额的购物券（指针落在分界线上不计次数，可重新转动一次），一个顾客刚好消费300元，并参加促销活动，转了2次转盘．（1）求出该顾客可能落得购物券的最高金额和最低金额；（2）请用列表法或画树状图法求出该顾客获购物金额不低于50元的概率．19．已知：如图，在菱形ABCD中AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=1，2求（1）边AB的长；（2）cos∠BAE的值．20．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，求OD与AD的长．21．如图，已知点A、B、C、M在一条直线上，P为直线AB外一点，连结PA、PB、PC、PM，若PA2：PC2=AB：BC，则称PB为AC边上的“平方比线”．（1）当AB=6，AC=8，PA=2√15，PC=2√5时，试说明PB为AC边上的“平方比线”；（2）当AB=6，AC=8，CM=4，PM=4√3时，①若∠A=25°，求∠CPM的度数；②求证：PB为AC边上的“平方比线”．22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y1=x2﹣4x+4的顶点D，直线y2=kx﹣2k（k≠0）；（1）点D是否在直线y2=kx﹣2k上？请说明理由；（2）过x轴上一点M（t，0）（0≤t≤2）作x轴上的垂线，分别交为y1、y2于点P、点Q．小明同学借助图象性质探究，当k满足什么条件时，存在实数t使得PQ=3，他发现以下结论：①当k＞0时，存在满足条件的t；②当﹣2＜k＜﹣0.5时，不存在满足条件的t．你认为小明的判断是否正确？请说明理由．参考答案1．A【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【详解】A ．由23x y =得：3x =2y ，故本选项比例式成立； B ．由23x y=得：xy =6，故本选项比例式不成立； C ．由32x y =得：2x =3y ，故本选项比例式不成立； D ．由32x y =得：2x =3y ，故本选项比例式不成立． 故选A ．【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．2．D【解析】【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】解：根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，即正五边形需要旋转72°后才能与自身重合，故选：D ．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 3．A【分析】先根据圆的面积公式计算出圆的半径为5，然后根据点与圆的位置关系进行判断．【详解】解：设圆的半径为R，根据题意得2πR2=25π，解得R=5，∵PO=5.5，∴PO＞R，∴点P在⊙O外．故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．4．A【解析】【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．【详解】解：已知给出的三角形的各边分别为√2、2、√10，所以△ABC的三边之比为√2：2：√10=1：√2：√5，A、三角形的三边分别为1，√2，√5，三边之比为1：√2：√5，故A选项正确；B、三角形的三边分别为√2，√5，3，三边之比为√2：√5：3，故B选项错误；C、三角形的三边分别为1，√5，2√2，三边之比为1：√5：2√2，故C选项错误；D、三角形的三边分别为：2，√5，√13，三边之比为2：√5：√13，故D选项错误．故选：A．【点睛】题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．5．D【分析】根据题意画树状图即可求出所有可能的结果，即可求出答案.【详解】用2种不同款式的衬衣用A、B表示，2种不同款式的裙子用a、b表示，画树状图为：共有4种等可能的结果，故选D.【点睛】本题考查了用列树状图的方法解决问题，根据题意画出树状图是解题关键.6．B【分析】由AP＞BP知PA是较长线段，根据黄金分割点的定义，则AP2=BP•AB．【详解】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP•AB．故选B．【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可．7．C【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理得到∠A=80°，根据圆周角定理得到∠D=∠A=80°，∵D 是BAC的中点，∴BD CD=，∴BD=CD，根据等腰三角形的内角和．∴∠DBC=∠DCB=1802D-∠=50°，故选C．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．8．A【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=5AB=2，由此可求得BC的长，再由勾股定理即可求得AC的长.【详解】∵∠C=90°，AB=2，∴BC=AB×由勾股定理得：=．故选A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=A∠的对边斜边，cosA=A∠的邻边斜边，tanA=AA∠∠的对边的邻边．9．D【分析】构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与x轴的交点即为所求的点C．根据△PBA为等腰直角三角形，可得OF=PE=5，根据勾股定理得：CF=7，进而得出OC．【详解】解：设线段BA的中点为E．∵点A（0，4），B（0，﹣6），∴AB=10，E（0，﹣1）．如图所示，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP=12AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BP A=90°，P A=PB=以点P为圆心，P A（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C．∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA=12∠BP A=45°，即则点C即为所求．过点P作PF⊥x轴于点F，则OF=PE=5，PF=OE=1，在Rt△PFC中，PF=1，PC=由勾股定理得：CF，∴OC=OF+CF=5+7=12．∵OC=12，OB=6，∴tan∠ABC=1226OCOB==，∴∠ABC＞60°．故选D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质、圆周角定理、勾股定理等知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造圆周角以及直角三角形，由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口．10．C【解析】【分析】根据题意可以判断a 、b 的正负，从而可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：∵一次函数y=ax+b 过一，二，四象限，且过（6，0），∴a ＜0，b ＞0，0=6a+b ，故②正确，∴b=-6a ，∴y=ax 2+bx+1中a ＜0，b ＞0，∴△=b 2-4a×1=36a 2-4a=4a （9a-1）＞0，∴图象与x 轴有两个交点，故①正确，在y=ax 2+bx+1中，当x=-2a b =-62aa =3时，取得最大值，故③错误， ∴当x ＞3时，y 随x 的增大而减小，当x ＜3时，y 随x 的增大而增大，∴若存在一个实数m ，当x≤m 时，y 随x 的增大而增大，则m≤3，故④正确，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．11．＜．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】解：∵sin30°=12、sin45°=√22， ∴sin30°＜sin45°．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．12．310． 【解析】【分析】 先令432a b c ===k,用k 表示出a,b,c,代入要计算的式子即可. 【详解】 解：设432a b c ===k, 则a=4k,b=3k,c=2k, ∴2a b c a b -++=43246k k k k k -++ =310， 故答案为310. 【点睛】本题考查了比例的性质，引入公比k 是解题的关键.13．15π．【解析】【分析】根据扇形的面积计算即可得到答案．【详解】解：扇形的面积=12LR=12×5×6π=15π， 故答案为15π．【点睛】此题考查了扇形的面积的计算公式，解题的关键是扇形的面积计算．14．4【解析】【分析】根据黄球个数÷总球的个数＝黄球的概率，列出算式，求出a 的值即可．【详解】根据题意得：24a a＋＋＝0.4， 解得：a ＝4，经检验，a ＝4是原分式方程的解，则a ＝4；故答案为4．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．1 3√2．【解析】【分析】作辅助线，构建三角形相似，先证明△DMC ∽△DNO ，得DM DC =DN DO ，由夹角是公共角得：△DM ∽△DCO ，得MN CO =DN DO ，根据∠AOB=45°及特殊的三角函数值，代入比例式可得结论．【详解】解：连接OC ，延长OA 、NC 交于D ，则OC=6，∵CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∴∠DMC=∠DNO=90°，∵∠D=∠D ，∴△DMC ∽△DNO ，∴DM DN =DC DO ，即DM DC =DN DO ,∵∠D=∠D ，∴△DMN ∽△DCO ，∴MN CO =DN DO ，∵CN⊥OB，∠AOB=45°，∴sin∠AOB=DNDO =√22,tan∠AOB=1，∴MNOC =√2 2,∵OC=6，∴MN6=√22,∴MN=3√2,故答案为：1；3√2.【点睛】本题考查的是三角形相似的性质和判定，特殊的三角函数值及三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．14＜a＜13或﹣4＜a＜﹣3【解析】∵y=ax2+（a2﹣1）x﹣a=（ax﹣1）（x+a），∴当y=0时，可解得：x1=1a，x2=﹣a，∴抛物线与x轴的交点为（1a，0）和（﹣a，0）．∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，∴（1）当a＞0时，3＜1a＜4，解得1143a<<；（2）当a＜0时，3＜﹣a＜4，解得﹣4＜a＜﹣3．综上所述，a的取值范围是：1143a<<或﹣4＜a＜﹣3.故答案是：1143a<<或﹣4＜a＜﹣3.17．（1）详见解析；（2）13．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出图中相似三角形的对数；（2）根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：（1）∵CP∥ER，∴△BCP∽△BER；∵CP∥DR，∴△PCQ∽△RDQ；∵CQ∥AB，∴△PCQ∽△PAB；∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB．∴图中相似三角形（相似比为1 除外）有4对；（2）∵CP∥RE，BC=CE，∴CPRE =BCBE=12，∵点R是DE的中点，∴CPDR =12，∵CP∥RE，∴CQQD =CPDR=12，∴CQCD =13，∵AB=CD，∴CQAB =1 3．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．(1)最高金额为100元和最低金额0元；(2)3 8【解析】分析：()1该顾客可能落得购物券的最高金额为100元和最低金额0元；()2画出树状图，利用概率公式计算即可；详解：()1该顾客可能落得购物券的最高金额为100元和最低金额0元；()2树状图如图所示：该顾客获购物金额不低于50元的概率63 168 ==．点睛：本题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（1）AB=2√5；（2）cos∠BAE=35．【解析】【分析】（1）首先连接AC，AC与BD相交于点O，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，BO=12BD=4，又由tan∠CBD=12，可求得OC的长，然后由勾股定理求得边AB的长；（2）由AE⊥BC，利用S菱形ABCD=BC•AE=12BD•AC，即可求得AE的长，在Rt△ABE中可求得BE，则可求得∠ABE的余弦值．【详解】（1）连接AC，AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=12BD=4，∵Rt△BOC中，tan∠CBD=OCOB =1 2，∴OC=2，∴AB=BC=√BO2+CO2=√42+22=2√5；（2）∵AE⊥BC，∴S菱形ABCD=BC•AE=12BD•AC，∴2√5AE=12×8×4， ∴AE=8√55， ∴BE=√AB 2−AE 2 =√(2√5)2−(8√55)2 =6√55 ， ∴cos ∠ABE=BE AB =6√552√5 =35 ． 【点睛】 本题主要考查菱形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法、数形结合思想的应用．20．OD =3，AD=2√13【解析】【分析】连接AC ，设⊙O 的半径为R ．在Rt △ODB 中，利用勾股定理求出R ，再利用三角形的中位线定理求出AC ，在Rt △ACD 中，利用勾股定理求出AD 即可；【详解】解：连接AC ，设⊙O 的半径为R ．∵CE⌢=EB ⌢， ∴OE ⊥BC ，∴CD=DB=4cm ，在Rt △ODB 中，∵OD 2+BD 2=OB 2，∴（R ﹣2）2+42=R 2，∴R=5，∴OD=OE ﹣DE=3，∵AO=OB ，CD=DB ，∴AC=2OD=6，∵AB 是直径，∴AD=√AC2+CD2=√62+42=2√13．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．21．（1）详见解析；（2）①∠CPM=25°；②详见解析．【解析】【分析】（1）利用“平方比线”的定义直接得出结论；（2）①先判断出PM2=CM×AM，进而得出△PMC∽△AMP，即可得出∠MPC=∠MAP=25°；②设出MG=a，进而利用勾股定理得出PG2=PM2-MG2=48-a2，PC2=8（a+8），PA2=AG2+PG2=24（a+8），即可得出PA2PC2=ABAC，结论得证．【详解】解：∵PA=2√15，PC=2√5，∴PA2=（2√15）2=4×15=60，PC2=（2√5）2=4×5=20，∴PA2PC2 =6020=3，∵AB=6，AC=8，∴BC=AC﹣AB=2，∴ABBC =31=3，∴PA2PC2=ABAC，∴PB为AC边上的“平方比线”；（2）①∵AC=8，CM=4，∴AM=AC+CM=12，∴AM×CM=12×4=48，∵PM=4√3，∴PM2=（4√3）2=48，∴PM2=CM×AM，∴PMCM =AMPM，∵∠M=∠M，∴△PMC∽△AMP，∴∠MPC=∠MAP=25°，②如图，过点P作PG⊥AM，交AM的延长线于G，设MG=a，在Rt△PMG中，PM=4√3，∴PG2=PM2﹣MG2=48﹣a2，在Rt△PCG中，CG=CM+MG=a+4，根据勾股定理得，PC2=CG2+PG2=（a+4）2+48﹣a2=64+8a=8（a+8），在Rt△ABG中，AG=AC+CM+MG=8+4+a=a+12，根据勾股定理得，PA2=AG2+PG2=（a+12）2+48﹣a2=192+24a=24（a+8），∴PA 2PC2=24(a+8)8(a+8)=3，∵AB=6，BC=AC﹣AB=2，∴ABBC =62=3，∴PA2PC2=ABBC，∴PB为AC边上的“平方比线”．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，新定义的理解，解（2）的关键是判断出△PMC∽△AMP，解（3）的关键是求出PA2PC2=3.22．（1）点D在直线y2=kx﹣2k上，理由详见解析；（2）①②都正确，理由详见解析．【解析】【分析】（1）将抛物线解析式整理成顶点式形式，然后将顶点D的坐标代入y2=kx-2k即可（2）根据两点间的距离公式可得PQ=|t2-4t+4-（kt-2k）|=|t2-（4+k）t+（4+2k）|．①当P在Q点上方时，k＞0，可得t2-（4+k）t+（1+2k）=0，根据判别式即可求解；②当P在Q点下方时，k＜0，可得t2-（4+k）t+7+2k=0，根据判别式即可求解．【详解】解：（1）∵y1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2，∴点D的坐标为（2，0）．当x=2时，y2=2k﹣2k=0，∴点D在直线y2=kx﹣2k上．（2）∵点M（t，0），∴点P（t，t2﹣4t+4），点Q（t，kt﹣2k），∴PQ=|t2﹣4t+4﹣（kt﹣2k）|=|t2﹣（4+k）t+（4+2k）|．①当P在Q点上方时，k＞0∵PQ=3∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=3整理得t2﹣（4+k）t+（1+2k）=0∵△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（1+2k）=k2+12＞0∴当k＞0时，存在满足条件的t值．①正确．②当P在Q点下方时，k＜0∵PQ=3∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=﹣3∴t2﹣（4+k）t+7+2k=0∵△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（7+2k）=k2﹣12∴当存在PQ=3时，k2﹣12≥0∴k≤﹣2√3或k≥2√3（舍去）∴当﹣2＜k＜﹣0.5时，不存在满足条件的t，②正确．【点睛】本题综合考查了一次函数和二次函数图象性质．解答时注意随着k值的变化讨论PQ的相对位置关系．。