备战高考之抛物线解答题训练

高中数学高考总复习抛物线习题及详解一、选择题1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[答案] D[解析] 椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p2＝2，∴p ＝4.2．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能[答案] B[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM2＝DM 2＝MF 2， ∴这个圆与y 轴相切．3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，∵A 、B 在抛物线y 2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ② ①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p 2，∵k AB ＝1，∴，p ＝2∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.4．双曲线x 29－y 24＝1的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线y 2＝2px (p >0)过点A ，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝4xC ．y 2＝41313xD ．y 2＝21313x[答案] C[解析] ∵双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，F 点坐标为(13，0)，设A 点坐标为(x ，y )，则y ＝±23x ，由|AF |＝2⇒(x －13)2＋⎝⎛⎭⎫23x 2＝2⇒x ＝913，y ＝±613，代入y 2＝2px 得p ＝21313，所以抛物线方程为y 2＝41313x ，所以选C.5．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D.92[答案] A[解析] 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172，选A. 6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3 1，则点A 的坐标为( )改填空题A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)[答案] D[解析] 如图，由题意可得，|OF |＝1，由抛物线定义得，|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMFS △AOF ＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3， ∴|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 024，y 0，∴y 024＋1＝3，解得y 0＝±22，∴y 024＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)，故选D.7．(2010·河北许昌调研)过点P (－3,1)且方向向量为a ＝(2，－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m ≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－32xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x[答案] D[解析] 设过P (－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q (x ，y )，则PQ →∥a ，∴x ＋32＝y －1－5，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－y )＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y 2＝mx 的焦点F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，∴m ＝－4，故选D.8．已知mn ≠0，则方程是mx 2＋ny 2＝1与mx ＋ny 2＝0在同一坐标系内的图形可能是( )[答案] A[解析] 若mn >0，则mx 2＋ny 2＝1应为椭圆，y 2＝－mnx 应开口向左，故排除C 、D ；∴mn <0，此时抛物线y 2＝－mnx 应开口向右，排除B ，选A.9．(2010·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若F A →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43[答案] D[解析] ∵F A →＝－4FB →，∴|F A →|＝4|FB →|，设|BF |＝t ，则|AF |＝4t ，∴|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t ，又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝4t ，∴tan ∠ABM ＝43，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±43.10．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－4)和点B (t,0)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－22)∪(2，＋∞) [答案] B[解析] 由题意知方程组⎩⎨⎧x 2＝12y ①x t ＋y－4＝1 ②无实数解由②得y ＝4xt －4，代入①整理得，2x 2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16t2－32<0，∴t >22或t <－22，故选B. [点评] 可用数形结合法求解，设过点A (0，－4)与抛物线x 2＝12y 相切的直线与抛物线切点为M (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)， ∵过A 点，∴－4－2x 02＝4x 0(0－x 0)， ∴x 0＝±2，∴y 0＝4，∴切线方程为y －4＝±42x －8， 令y ＝0得x ＝±22，即t ＝±22，由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <－22或t >22. 二、填空题11．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|F A |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 设抛物线准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A 1、B 1、Q ，作BM ⊥AA 1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF |＝t ，则|NF |＝t 2，|MA |＝t ＋32，∵|AM |＝|QN |，∴3－t ＋32＝p －t 2，∴p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，∴p ＝12|CF |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .解法2：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCB 1＝30°，又|AF |＝3，从而A ⎝⎛⎭⎫p 2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.点评：还可以由|BC |＝2|BF |得出∠BCB 1＝30°，从而求得A 点的横坐标为|OF |＋12|AF |＝p2＋32或3－p 2，∴p 2＋32＝3－p 2，∴p ＝32. 13．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．[答案] 3＋2 2[解析] 分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，则由条件知， ⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＋|BB 1|＝|AB |，|AA 1|－|BB 1|＝22|AB |，解得⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＝2＋24|AB ||BB 1|＝2－24|AB |，∴|AA 1||BB 1|＝3＋22，即|F A ||FB |＝3＋2 2. 14．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.(理)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.[答案] 8[解析] 过A 、B 、P 作准线的垂线AA 1、BB 1与PP 1，垂足A 1、B 1、P 1，则|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝2|PP 1|＝2[1－(－3)]＝8.三、解答题15．(文)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2， 由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y得：x 2－4kx －4k ＝0， 由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.(理)在△ABC 中，CA →⊥CB →，OA →＝(0，－2)，点M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋CD →)，点C在x 轴上移动．(1)求B 点的轨迹E 的方程；(2)过点F ⎝⎛⎭⎫0，－14的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若FH →＝12HG →，求直线l 的方程．[解析] (1)设B (x ，y )，C (x 0,0)，M (0，y 0)，x 0≠0， ∵CA →⊥CB →，∴∠ACB ＝π2，∴2x 0·y 0－x 0＝－1，于是x 02＝2y 0① M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋AC →)，所以M 是BC 的中点，可得 ⎩⎨⎧x 0＋x 2＝0y ＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ②y 0＝y2③ 把②③代入①，得y ＝x 2(x ≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x 2(x ≠0)． (2)点F ⎝⎛⎭⎫0，－14，设满足条件的直线l 方程为： y ＝kx －14，H (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －14y ＝x 2消去y 得，x 2－kx ＋14＝0.Δ＝k 2－1>0⇒k 2>1，∵FH →＝12HG →，即⎝⎛⎭⎫x 1，y 1＋14＝12(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴x 1＝12x 2－12x 1⇒3x 1＝x 2.∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝14，∴k ＝±233，故满足条件的直线有两条，方程为：8x ＋43y ＋3＝0和8x －43y －3＝0. 16．(文)已知P (x ，y )为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点M (m,0)的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[解析] (1)由题意得：(x －1)2＋y 2－x ＝1，化简得：y 2＝4x (x ≥0)． ∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)．(2)设直线AB 为y ＝k (x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )y 2＝4x ，得ky 2－4y －4km ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－4m .∴x 1·x 2＝m 2，∵以线段AB 为直径的圆恒过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.即m 2－4m ＝0⇒m ＝0或4.当k 不存在时，m ＝0或4. ∴存在m ＝0或4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[点评] (1)点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F (1,0)的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．∴P 点轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p ＝2，∴方程为y 2＝4x .(理)已知抛物线y 2＝4x ，过点(0，－2)的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA →·OB →＝4，求直线AB 的方程．(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(n,0)，求n 的取值范围．[解析] (1)设直线AB 的方程为y ＝kx －2 (k ≠0)，代入y 2＝4x 中得，k 2x 2－(4k ＋4)x ＋4＝0①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ＋4k 2，x 1x 2＝4k 2.y 1y 2＝(kx 1－2)·(kx 2－2)＝k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝－8k.∵OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝4k 2－8k ＝4，∴k 2＋2k －1＝0，解得k ＝－1±2.又由方程①的判别式Δ＝(4k ＋4)2－16k 2＝32k ＋16>0得k >－12，∴k ＝－1＋2，∴直线AB 的方程为(2－1)x －y －2＝0.(2)设线段AB 的中点的坐标为(x 0，y 0)，则由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝2k ＋2k 2，y 0＝kx 0－2＝2k，∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y －2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k ＋2k 2. 令y ＝0，得n ＝2＋2k ＋2k 2＝2k 2＋2k ＋2＝2⎝⎛⎭⎫1k ＋122＋32.又由k >－12且k ≠0得1k <－2，或1k>0，∴n >2⎝⎛⎭⎫0＋122＋32＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)． 17．(文)(已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设F A →·FB →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0) (1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y 2＝4x 并整理得 y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4① 直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)即y －y 2＝4y 2－y 1⎝⎛⎭⎫x －y 224 令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，所以点F (1,0)在直线BD 上．(2)由(1)知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2， x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1因为F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，故8－4m 2＝89，解得m ＝±43，直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0. 从而y 2－y 1＝±(4m )2－4×4＝±437，故4y 2－y 1＝±37因而直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0,3x －7y －3＝0.因为KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心M (t,0)，(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4， 由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23， 所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －192＋y 2＝49. (理)(2010·揭阳市模考)已知点C (1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)法一：连结CP ，由AC →·BC →＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |， 由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，根据题意知，x 12＋y 12＝9，x 22＋y 22＝9,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2，∴4x 2＝x 12＋2x 1x 2＋x 22,4y 2＝y 12＋2y 1y 2＋y 22故4x 2＋4y 2＝(x 12＋y 12)＋(2x 1x 2＋2y 1y 2)＋(x 22＋y 22)＝18＋2(x 1x 2＋y 1y 2)①又∵AC →·BC →＝0，∴(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0∴(1－x 1)×(1－x 2)＋y 1y 2＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)－1＝2x －1，代入①式得，4x 2＋4y 2＝18＋2(2x －1)，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1,0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中p 2＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x x 2－x ＋y 2＝4得，x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，由于x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．。

专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。

江苏高考复习抛物线专题练习（带答案）平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，以下是江苏2021-2021高考温习抛物线专题练习，请考生仔细练习。

(2021泰州中学检测)给定圆P：x2+y2=2x及抛物线S：y2=4x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下依次记为A，B，C，D，假设线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l的方程.[解] 圆P的方程为(x-1)2+y2=1，那么其直径长|BC|=2，圆心为P(1,0)，设l的方程为ky=x-1，即x=ky+1，代入抛物线方程得：y2=4ky+4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，有那么(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(k2+1).故|AD|2=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(y1-y2)2+2=(y1-y2)2=16(k2+1)2，因此|AD|=4(k2+1).依据等差数列性质得2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，|AD|=3|BC|=6，即4(k2+1)=6，k=，即l方程为x-y-=0或x+y-=0.2.(2021苏州调研)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴.求证：直线AC经过原点O.【惯例证法】抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，显然直线AB的斜率不为0，当AB斜率不存在时，直线AP方程为x=，无妨设A在第一象限，那么易知A，B，C，此时kOA==2，kOC==2.kOA=kOC，A，O，C三点共线，即直线AC经过原点O.当AB斜率存在且不为0时，设直线AB方程为y=k代入y2=2px 得k2x2-(k2+2)px+=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2=，(y1y2)2=p4，由题意知y1y20，y1y2=-p2kOC======kOA直线AC过原点O，综上，直线AC经过原点O.【巧妙证法】由于抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，而直线AB的斜率不为零，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+.代入抛物线方程消去x得y2-2pmy-p2=0.假定记A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=-p2.由于BCx轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为k===，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.3.(2021南师附中检测)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y2=2px(p0)上位于x轴两侧的两点.(1)假定y1y2=-2p，证明直线AB恒过一个定点;(2)假定p=2，AOB(O是坐标原点)为钝角，求直线AB在x轴上的截距的取值范围.[解] (1)设直线AB在x轴上的截距为t，那么可设直线AB 的方程为x=my+t.代入y2=2px得y2=2p(my+t)，即y2-2pmy-2pt=0，于是-2p=y1y2=-2pt，所以t=1，即直线AB 恒过定点(1,0).(2)由于AOB为钝角，所以0，即x1x2+y1y20.y=2px1，y=2px2，yy=2px12px2，于是x1x2===t2，故x1x2+y1y2=t2-2pt=t2-4t.解不等式t2-4t0，得00)把点P(-2，-4)代入得(-4)2=-2p(-2).解得p=4，抛物线方程为y2=-8x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py(p0)，把点P(-2，-4)代入得(-2)2=-2p(-4).解得p=.抛物线方程为x2=-y.综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.[答案] y2=-8x或x2=-y4.(2021广东高考)抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时，求|AF||BF|的最小值.[解题思绪] (1)由点到直线的距离求c的值，失掉F(0，c)后可得抛物线的方程;(2)采用设而不求战略，先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，结合导数求切线PA，PB的方程，代入点P 的坐标，依据结构，可得直线AB的方程;(3)将|AF||BF|转化为关于x(或y)的函数，再求最值.[解] (1)依题意，设抛物线C的方程为x2=4cy(c0)，由点到直线的距离公式，得=，解得c=1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x2=4y.(2)由x2=4y，得y=x2，其导数为y=x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x=4y1，x=4y2，切线PA，PB的斜率区分为x1，x2，所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.由于切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以和为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由消去x并整理失掉关于y的方程为y2+(2y0-x)y+y=0.由一元二次方程根与系数的关系得y1+y2=x-2y0，y1y2=y.所以|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0-y0-2=0，即x0=y0+2，所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+，所以当y0=-时，|AF||BF|取得最小值，且最小值为.江苏2021-2021高考温习抛物线专题练习及答案的一切内容就是这些，更多精彩内容请继续关注查字典数学网。

专题21 抛物线（解答题压轴题）1．（2021·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E ：()220y px p =>上一点00(4,)(0)S y y >到焦点F 的距离5SF =.不经过点S 的直线l 与E 交于A ，B . （1）求抛物线E 的标准方程；（2）若直线AS ，BS 的斜率之和为2，证明：直线l 过定点. 【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析. 【详解】（1）抛物线E ：()220y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，因为抛物线上一点00(4,)(0)S y y >到焦点F 的距离5SF =， 由抛物线的定义得452p+=，所以2p =. 所以抛物线E 的标准方程是24y x =；（2）将4x =代入24y x =可得04y =或04y =-（舍），所以点S 坐标为(4,4)， 因为直线l 的斜率不等于0，设直线l 的方程是x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立24y x x my n⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，因为直线l 与E 有两个交点，所以216160m n ∆=->，即20m n ->.由韦达定理得121244y y my y n +=⎧⎨=-⎩，因为直线AS ，BS 的斜率之和为2，所以121222121212444411444444444y y y y y y x x y y ⎛⎫----+=+=+ ⎪--++⎝⎭-- 1212124(8)24()16y y y y y y ++==+++，所以121224()0y y y y ++=，将121244y y m y y n+=⎧⎨=-⎩代入上式可得：8160n m -+=，即2n m =， 所以直线l 的方程是()2x my n m y =+=+，它过定点()0,2-.2．（2021·全国高三月考（理））已知直线l 过原点O ，且与圆A 交于M ，N 两点，4MN =，圆A 与直线2y =-相切，OA 与直线l 垂直，记圆心A 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）过直线1y =-上任一点P 作C 的两条切线，切点分别为1Q ，2Q ，证明： ①直线12Q Q 过定点； ②12PQ PQ ⊥．【答案】（1）24(0)x y y =≠；（2）①证明见解析；②证明见解析． 【详解】（1）解：如图，设(,)A x y ，因为圆A 与直线2y =-相切，所以圆Ａ的半径为|2|y +．由圆的性质可得222||||||OA ON AN +=，即2224(2)x y y ++=+，化简得24x y =． 因为O 与A 不重合，所以0y ≠， 所以C 的方程为24(0)x y y =≠．（2）证明：①由题意可知1Q ，2Q 与O 不重合．如图，设(,1)P t -，()111,Q x y ，则2114x y =，因为2xy '=，所以切线1PQ 的斜率为12x ， 故11112x y x t+=-，整理得11220tx y -+=． 设()222,Q x y ，同理可得22220tx y -+=． 所以直线12Q Q 的方程为220tx y -+=， 所以直线12Q Q 过定点(0,1)．②因为直线12Q Q 的方程为220tx y -+=，由2220,4,tx y x y -+=⎧⎨=⎩消去y 得2240x tx --=， 所以122x x t +=，124x x =-．又()()()()12121211PQ PQ x t x t y y ⋅=--+++ ()2121212221122tx tx x x t x x t ++⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()21212122222t t x x t x x t x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121244t x x t x x t x x t x x =-++++++2212144t x x t ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭0=，所以12PQ PQ ．3．（2021·安徽高三开学考试（理））已知中心在坐标原点O ，焦点在xC 过点1)2.（1）求C 的标准方程；（2）是否存在不过原点O 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，使得直线OP ､PQ ､OQ 的斜率成等比数列､若存在，求k 的值及m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，12k =±，m的取值范围为(1)(1,0)(0,1)-⋃-⋃⋃.【详解】（1）设C 的标准方程为22221x y a b +=（a >b >0），由题意得，222223114a b cc e a a b ⎧=+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴C 的标准方程为2214x y +=（2）联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=（m ≠0）， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则122841km x x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+∴2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++∵OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，∴2OP OQ PQ k k k ⋅=，∴21212y y k x x ⋅=， ∴21212y y k x x =，∴12()0k x x m ++=，∴228041k mm k -+=+，解得12k =± ∵22222(8)4(41)4(1)16(41)0km k m k m ∆=-+⨯-=-+>， ∴2224120k m m -+=->，解得m <， ∵120x x ≠，∴210m -≠，解得1m ≠±.综上，12k =±，m的取值范围为(1)(1,0)(0,1)-⋃-⋃⋃.4．（2021·全国高三专题练习）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F右侧的点，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（12）16. 【详解】 （1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-，进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444M N M N A M A M AM MN A M N M A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴=（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t t t+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---=所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++===+， ()332331122216AMNtS t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16.5．（2021·全国高三月考（理））已知抛物线()220x py p =>上一点()02,P y 到其焦点F 的距离为2，过点(),0T t ()0t >作两条斜率为1k ，2k 的直线1l ，2l 分别与该抛物线交于A ，B 与C ，D 两点，且120k k +=，FAB FCD S S =△△．（Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）求实数t 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）24x y =；（Ⅱ）()()0,11,2【详解】（Ⅰ）由抛物线()220x py p =>上一点()02,P y 到其焦点F 的距离为2，所以004222py py =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2p =， 故抛物线的方程为24x y =；（Ⅱ）设直线()11:l y k x t =-，与抛物线24x y =联立，可得211440x k x k t -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则1214x x k +=，1214x x k t =，所以12AB x =-== 点F 到直线1l的距离为1d =，所以111122FABSAB d k t =⋅=⨯=+，同理可得2FCDSk t =+，因为120k k +=，且FAB FCD S S =△△所以12k t k t+=+，整理可得：()22121k t -=，即21212k t=-，所以22t <，所以0t <<由211122221644016440k k t k k t ⎧∆=-⨯>⎨∆=-⨯>⎩可得221k t >， 即2212t t >-，即()2210t ->，所以1t ≠， 综上所述，t 的取值范围为()()0,11,2．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟预测）已知抛物线()21:20C y px p =>和右焦点为F 的椭圆222:143x y C +=．如图，过椭圆2C 左顶点T 的直线交抛物线1C 于,A B 两点，且2AB TA =．连接AF 交2C 于两点,M N ，交1C 于另一点C ，连BC ，Q 为BC 的中点，TQ 交AC 于D ．（1）证明：点A 的横坐标为定值；（2）记CDT ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S，若12S S = 【答案】(1)证明见解析;(2)2124y x =. 【详解】(1)证明：由题意知，()2,0T -，直线TA 的斜率存在设为k ，()()1122,,,A x y B x y ，不妨设直线TA 的方程为()()20y k x k =+>，与抛物线方程联立得()222y k x y px ⎧=+⎨=⎩，整理得，()22224240k x k p x k +-+=，则21212224,4p k x x x x k -+==，因为2AB TA =， 所以1213y y =，则21122219x y x y ==，设()10x a a =>，则29x a =，则21294x x a==，则23a =或23-(舍去)，所以123x =，即点A 的横坐标为定值.(2)由(1)知，()28,,6,833A k B k ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F ，则直线AF 的方程为()81y k x =-- ，与椭圆联立得()2214381x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=--⎩，整理得()22223256512256120k x k x k +-+-=，设()()3344,,,M x y N x y ，则2234342251225612,32563256k k x x x x k k -+==++， 则()22121643256k MN k++，直线AF 与抛物线联立得()2281y px y k x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩，整理得，()2222641282640k x k p x k -++=，设()55,C x y ，则5213x ⋅=，所以532x =，即3,42C k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则15,24Q k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以直线TQ 的方程为()8223k y x =+，与直线AF 联立得()()822381k y x y k x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩， 解得2124x y k⎧=⎪⎨⎪=⎩，则21,24D k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即CD ==T 到AF的距离1d ==，Q 到AF的距离2d =，则1112S CD d =，2212S MN d =，所以12CD S S MN =2121643256k k =++，整理得，24252563584190k k ⨯+-=，解得21256k =，则116k =， 所以21,36A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又21,36A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上，则212263p ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，解得148p =.则抛物线的方程为2124y x =. 7．（2021·全国高三专题练习（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB ∆面积的最大值． 【答案】（1）2p =；（2）【详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，42p FM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =； （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ， 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=， 同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=， 所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=， 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ，点P 到直线AB的距离为d =所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△， ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=8．（2021·浙江省杭州第二中学高三模拟预测）已知抛物线()2:20C y px p=>经过点(2,，P 是圆()22:11M x y ++=上一点，PA 、PB 都是C 的切线．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程； （2）求PAB ∆的面积的最大值．【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =，准线方程为1x =-；（2）【详解】（1）将点(2,的坐标代入抛物线C 的方程为228p ⨯=，解得2p =， 所以，抛物线C 的方程为24y x =，该抛物线的准线方程为1x =-；（2）先证明抛物线C 在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为00220x y y x -+=.证明如下：由于点()00,Q x y 在抛物线C 上，则2004y x =，联立2004220y x x y y x ⎧=⎨-+=⎩，可得200202y y y x -+=，即220020y y y y -+=，则2200440y y ∆=-=，所以，抛物线C 在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为00220x y y x -+=. 设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,P x y ，则直线PA 的方程为11220x y y x -+=，直线PB 的方程为22220x y y x -+=，因为点P 在直线PA 、PB 上，所以，31313232220220x y y x x y y x -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程33220x y y x -+=，由于两点确定一条直线，故直线AB 的方程为33220x y y x -+=，联立2334220y x x y y x ⎧=⎨-+=⎩，消去x 可得233240y y y x -+=，由韦达定理可得1232y y y +=，1234y y x =，所以，12AB y y -=点P 到直线AB的距离为d =所以，()3223311422PABS AB d y x =⋅==-△， 另一方面，()22233333342439y x x x x x -=---=-++，其中320x -≤≤， 所以，当32x =-时，2334y x -取得最大值8，因此，()3322233114822PABS y x =-≤⨯=△9．（2021·广东汕头·高三三模）已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-，且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点，过点P 作轨迹E 的两条切线，切点分别为A 、B . ①求证：直线AB 过定点； ②求证：PCA PCB ∠=∠.【答案】（1）28x y =；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【详解】（1）依题意知：M 到()0,2C 的距离等于M 到直线2y =-的距离，∴动点M 的轨迹是以C 为焦点，直线2y =-为准线的抛物线，设抛物线方程为()220x py p =>，则22p=，则4p =，即抛物线的方程为28x y =， 故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：28x y =；（2）①由28x y =得：218y x =，14y x '∴=，设2111,8A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2221,8B x x ⎛⎫⎪⎝⎭，(),2P t -，其中12x x ≠，则切线PA 的方程为()2111184x y x x x -=-，即2111148y x x x =-，同理，切线PB 的方程为2221148y x x x =-， 由21122211481148y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121228x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1212228x x t x x +⎧=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，即1212216x x t x x +=⎧⎨=-⎩，2111,8A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()222121,8B x x x x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为()222121121111888x x y x x x x x --=--，化简得121288x x x x y x +=-， 即24ty x =+， 故直线AB 过定点()0,2； ②由①知：直线AB 的斜率为4AB t k =， （i ）当直线PC 的斜率不存在时，直线AB 的方程为2y =，PC AB ∴⊥，PCA PCB ∴∠=∠； （ii ）当直线PC 的斜率存在时，(),2P t -、()0,2C ，∴直线PC 的斜率2240PC k t t --==--，414AB PC t k k t-∴⋅=⨯=-， PC AB ∴⊥，PCA PCB ∴∠=∠.综上所述：PCA PCB ∠=∠得证.10．（2021·河南郑州·高三三模（理））已知抛物线2:4C x y =和圆()22:11E x y ++=，过抛物线上一点()00,P x y ，作圆E 的两条切线，分别与x 轴交于,A B 两点.（1）若切线PB 与抛物线C 也相切，求直线PB 的斜率； （2）若02y ≥，求PAB ∆面积的最小值. 【答案】（1）3±；（2）最小值为2. 【详解】（1）由题意，可设切线PB 的方程为y kx m =+，代入抛物线的方程得2440x kx m --=， 由相切的条件得：216160k m ∆=+=，即20k m +=，由直线与圆相切可得圆心到直线距离1d ==，即222k m m =+，∴230m m +=，可得3m =-或0m =，∵当0m =时，有PB 的方程为0y =，此时(0,0)P 与圆E 的有且仅有一条切线， ∴3m =-，舍去0m =，故23k =，即3k =±.（2）设切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，圆心到直线距离1d ==，整理得222000000(1)(22)20k x x y x k y y --+++=，而220004(2)0x y y ∆=++>(02y ≥)，设PA ，PB 斜率分别为12,k k ，则20000012122200222+,,11x y x y y k k k k x x ++=⋅=-- 令y =0，得000012,A B y yx x x x k k =-=-，0000120000121212000|||()()|||||y y y y k k AB x x y y k k k k k k -=---=-=⋅==00011||22PABSAB y y =⋅== 令222(6)(),2(2)y y y f y y y +=≥+，2232(4+18()0(2)y y y f y y +'=>+），则()f y 在[2,)+∞上单调递增，即min ()(2) 4.f y f ==∴PABS的最小值为2.11．（2021·浙江高三三模）如图，已知抛物线C ：214y x =，点()()000,1A x y y ≥为抛物线上一点，过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线，8OM NO =，过点N 的直线l 交抛物线于点E ，F ，直线AE ，AF 的斜率分别为1k ，2k ，满足120k k +=.（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程； （2）求点A 到直线l 的距离的最小值.【答案】（1）焦点坐标()0,1，准线方程1y =-；（2. 【详解】（1）抛物线的标准方程为24x y =，所以其焦点坐标()0,1，准线方程1y =-；（2）已知204x y =，则点A 处的切线方程：20024x x y x =-，因为过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线所以()202222004124x t x t x x x t t t ⎧-⎪⋅=-⎪⎪-⎨⎪⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，化简得：224200030216x t t x x +--=.由0t >得：)200202x t y t -==-+> 设()11,E x y ，()22,F x y ，则由120k k +=得：1020044x x x x +++=，即0122x x x -=+， 所以021212EF x y y k x x -==--，由8OM NO =得0,8t N ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，直线l ：028x t y x =--，则023y d =23[)01,y ∈+∞上单调递增所以，当01y =时，min d =此时，直线l 与抛物线相交.12．（2021·四川泸州·高三三模（理））从抛物线24y x =上各点向x 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P ．（1）求曲线P 的方程，并说明曲线P 是什么曲线；（2）过点()2,0M 的直线l 交曲线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C 、D ，探究是否存在直线l 使A 、B 、C 、D 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由． 【答案】（1）曲线P 的方程为2y x =，曲线P 是焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线；（2）存在；圆N 的方程为227113222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或227113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【详解】（1）设抛物线2y x =上的任意点为()00,S x y ，垂线段的中点为(),x y ，故002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，则002x x y y =⎧⎨=⎩，代入2004y x =得()224y x =，得曲线P 的方程为2y x =， 所以曲线P 是焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线；（2）若直线l 与x 轴重合，则直线l 与曲线P 只有一个交点，不合乎题意.设直线l 的方程为2x ty =+，根据题意知0t ≠，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立22y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得220y ty --=，280t ∆=+>，则12y y t +=，122y y ⋅=-，则12A y y B =-=且线段AB 中点的纵坐标为1222y y t +=，即2121222222x x y y t t ++=⋅+=+， 所以线段AB 中点为22,22t t M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，可设直线CD 的方程为1x y m t =-+，则21222t t m t ⎛⎫+=-⨯+ ⎪⎝⎭，故252t m +=， 联立22152y x t x y t ⎧=⎪⎨+=-+⎪⎩，得()222250ty y t t +-+=，设()33,C x y 、()44,D x y ，则341y y t +=-，()234152y y t ⋅=-+，故34y CD =-线段CD 中点为22151,222t N tt ⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 假设A 、B 、C 、D 四点共圆，则弦AB 的中垂线与弦CD 中垂线的交点必为圆心， 因为CD 为线段AB 的中垂线，则可知弦CD 的中点N 必为圆心，则12AN CD =， 在Rt AMN △中，222AN AM MN =+，所以22212CD AM MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()()222222221111111121018442222t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故4228810t t t +--=，即()()24264222198880t t t t t t t t -+++--==， 解得21t =，即1t =±，所以存在直线l ，使A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为弦CD 的中点N ， 圆N 的方程为227113222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或227113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．13．（2021·浙江高三期末）如图，已知抛物线21:C x y =在点A 处的切线l 与椭圆222:12x C y 相交，过点A 作l 的垂线交抛物线1C 于另一点B ，直线OB （O 为直角坐标原点）与l 相交于点D ，记()11,A x y 、()22,B x y ，且1>0x ．（1）求12x x -的最小值； （2）求DO DB的取值范围．【答案】（1）2；（2）40,17⎛⎫⎪⎝⎭．【详解】 （1）对函数2yx 求导得2y x '=，所以抛物线1C 在点A 处的切线方程为()1112y y x x x -=-，即2112y x x x =-，联立21122212y x x x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2234111188220x x x x x +-+-=， 所以()()62411164418220x x x ∆=-+->，解得2104x <<所以直线AB 的方程为2111122y x x x =-++， 联立21121122y x x x x y⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得23111220x x x x x +--=，所以12112x x x +=-，所以12111222x x x x -=+≥=，当且仅当112x =时取等号， 所以12x x -的最小值为2；（2）记点O 、B 到直线l 的距离分别为1d 、2d ，所以21d =，211211214124x x x x d ⎫++=⎪⎭，所以()4112222121441414DOd x DB d x x ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为2104x <<2114x +，所以222440,1714DODBx ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以DO DB 的取值范围为40,17⎛⎫⎪⎝⎭．14．（2021·河北沧州·高三二模）已知(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数14-，设动点P 的轨迹为曲线1C .抛物线22:2(0)C x py p =>与1C 在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线1C 于点B 交抛物线2C 于点E (点,B E 不同于点A ). （1）求曲线1C 的方程.（2）是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）221(2)4x y x +=≠±；（2）存在，p【详解】解：（1）设动点()(),2P x y x ≠±，则2PM yk x =+，2PN y k x =-. 14PM PN k k =-，1224y y x x ∴⋅=-+-，即22144y x =--， 即221(2)4x y x +=≠±， ∴曲线C 1的方程为221(2)4x y x +=≠±. （2）设()1111,(0,0)A x y x y >>，()22,B x y ，()00,E x y ，显然直线l 存在斜率， 设:(0,0)l y kx m k m =+≠≠，()2222244,148440,x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 122814km x x k -∴+=+，02414kmx k -=+. 又2222,2()220,x py x p kx m x pkx pm y kx m ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩，102x x pm ∴=-，21124142142km k x pm x p k k ⎛⎫-+∴=-⇒=⎪+⎝⎭，因此有0k >，2422221,442,x x y x p x py ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩，42422221421442k p k k p k p ⎛⎫+ ⎪⎛⎫+⎝⎭∴+= ⎪⎝⎭， 224224141422p k k k k ∴=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设222214112224222k k t k k k ⎛⎛⎫+⎛⎫=+=⋅ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=， 当且仅当122k k =时取等号，即当12k =时取等号， 则2224411()24p t t t ==++-，当4t ≥时，211()2024t +-≥，当12k =，即4t =时，2p 取得最大值，最大值为15，即p =此时A ⎝⎭，直线l 不过点M ，N . 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p . 15．（2021·湖南长沙·高三模拟预测）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点(),1m 在抛物线C 上，该点到原点的距离与到C 的准线的距离相等． （1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且与以焦点F 为圆心2为半径的圆交于M ，N 两点，点B ，N 在y 轴右侧．①证明：当直线l 与x 轴不平行时，AM BN ≠②过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，求DAM △与DBN 的面积之积的取值范围．【答案】（1）28x y =；（2）①证明见解析；②[)16,+∞． 【详解】（1）由题意可得2212m pp ⎧==+，解得4p =， 所以抛物线C 的方程为28x y =．（2）由（1）知，圆F 方程为：()2221x y +-=， 由已知可设:2l y kx =+，且()11,A x y ，()22,B x y ，由228y kx x y=+⎧⎨=⎩得28160x kx --=，设()00,Q x y 是抛物线C 上任一点，则2QF ==，故抛物线与圆相离．①证明：当直线l 与x 轴不平行时，有0k ≠， 由抛物线定义知，12AF y =+，22BF y =+． 所以()()22AM BN AF BF -=---()()121222AF BF y y kx kx =-=-=+-+12k x x =-=80k =>，所以AM BN ≠②由（1）知抛物线方程为218y x =．所以14y x '=．所以过点A 的切线()2111111:84l y x x x x -=-，即2111148y x x x =-．同理可得，过点B 的切线2l 为2221148y x x x =-． 由1l ，2l 方程联立，得222112211188x y x y x x x x -=-+，解之，得12128D y x x ==-，又得()()22212111048x x x x x ---=，所以1242D x xx k +==．()4,2D k -到:2l y kx =+的距离d =()()22AM BN AF BF ⋅=--()()122222y y =+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()222121212148864x x y y x x ==⨯==，从而1122QAM QBN S S AM d BN d ⋅=⋅△△()22214161164d d k =⨯==+≥． 16．（2021·浙江高三专题练习）已知椭圆22:14x T y +=，抛物线2:2M y px =的焦点是F ，且动点()1,G t -在其准线上.（1）当点G 在椭圆T 上时，求GF 的值；（2）如图，过点G 的直线1l 与椭圆T 交于,P Q 两点，与抛物线M 交于,A B 两点，且G 是线段PQ 的中点，过点F 的直线2l 交抛物线M 于,C D 两点.若//AC BD ，求2l 的斜率k 的取值范围.【答案】（1）GF =2）k >k <【详解】 解：（1）由已知12p=，2p =，则()1,0F ， 因为G 在椭圆T 上，所以2114t +=，所以234t =，所以GF =； （2）设()1:1l x m y t +=-，2:1l x ny =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为G 是PQ 的中点，所以114t m -⋅=-，且2114t +<， 所以4m t =①，且234t <②， 由()241y x x m y t ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩消去x 得24440y my mt -++=，则()21610m mt ∆=-->③，且12y y -=由241y x x ny ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y ny --=，所以34y y -=因为//AC BD ，所以132444y y y y =++，即1234y y y y -=-， 所以2222122n m mt t =--=-④， 由①②③解得213124t <<， 由④得207n <<，即217k >，所以k >k <17．（2021·河南高三月考（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且点F 与圆()22:41M x y ++=1． （1）求p ；（2）已知直线:4l y kx =+与C 相交于A ，B 两点，过点B 作平行于y 轴的直线BD 交直线:4l y '=-于点D ．问：直线AD 是否过y 轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由． 【答案】（1）2p =；（2）直线AD 恒过定点()0,0． 【详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，FM F ∴与圆M11，解得2p =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()2,4D x -，由24,4,x y y kx ⎧=⎨=+⎩得24160x kx --=， 0∴∆>，且124x x k +=，1216x x =-，()12124kx x x x ∴=-+， 又直线AD 的方程为()121244y y x x x x ++=--， 令0x =，得()212144x y y x x ++=-，114y kx =+，()()21122212184844x kx x x x y x x x x +-++∴+===--，0y ∴=，故直线AD 恒过定点()0,0．18．（2021·上海市实验学校高三月考）已知直线2y x =与抛物线:Γ()220y px p =>交于1G ，2G 两点，且12G G ，过椭圆221:143x y C +=的右顶点Q 的直线l 交于抛物线Γ于A ，B 两点.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若射线OA ，OB 分别与椭圆1C 交于点D ，E ，点O 为原点，ODE ，OAB 的面积分别为1S ，2S ，问是否存在直线l 使213S S =？若存在求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（3）若P 为2x =-上一点，PA ，PB 与x 轴相交于M ，N 两点，问M ，N 两点的横坐标的乘积M N x x ⋅是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.【答案】（1）24y x =（2）不存在，理由见解析；（3）M N x x ⋅是定值，且定值为4，理由见解析. 【详解】（1）设()111,G x y ，()222,G x y ，由222y xy px =⎧⎨=⎩可得2420x px -=，所以10x =，22p x =，所以()10,0G ，2,2G p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12G G =0p >，所以2p =，所以抛物线Γ的方程为24y x =；（2）椭圆的右顶点为()2,0Q ，设直线:l 2x my =+，()33,A x y ，()44,B x y ， 将:l 2x my =+代入24y x =可得：2480y my --=， 所以344y y m +=，348y y =-， 假设存在，设()55,D x y ，()66,E x y ， 射线OA ：33233344y y y x x xy x y === ，由3224143y x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可得：2523643364y y ⨯=+，同理可得2624643364y y ⨯=+， 11sin 2S OD OE DOC =∠，21sin 2S OA OB AOB =∠， 所以342156OA OB y y S S OD OE y y ==⋅ ， 所以()()()2234222156********64643643364364y y S S y y y y y y ⎛⎫=== ⎪⨯⨯⎝⎭⨯++()()()22222343496436464931616644812164999y y y y m m +⨯++⨯++++===⨯， 所以211133S S ≥>，所以不存在直线l ，使213S S =； （3）设()02,P y -，则()3003:22y y PA y y x x --=++， 令0y =可得：()030332M y y x y x y -=+①， 同理可得：()040442N y y x y x y -=+②，两式相乘可得()()()()030404403322M N y y y y x x y x y y x y --=++()2222223434034034433400433424244444y y y y y x x y x y x y y y y y y y y y ⎛⎫⋅=+++=+⋅+⋅+ ⎪⨯⎝⎭()()2342234003434003434244164y y y y y y y y y y y y y y y y +⎛⎫⎡⎤=++=-++ ⎪⎣⎦⎝⎭即()()()203040034344M N y y y y x x y y y y y y ⎡⎤--=-++⎣⎦，所以()()220034340034344M N y y y y y y x x y y y y y y ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎣⎦⎣⎦， 即()()22000048448M N y my x x y my --=--，当点P 不在直线AB 上时，200480y my --≠，所以4M N x x =，当点P 在直线AB 上时，2M N Q x x x ===，所以4M N x x =， 综上所述：M N x x ⋅是定值，且定值为4.19．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦． （1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4． 【详解】（1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-， （2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=， 所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-，即2440b b -+=，解得：2b = 所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0， 设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ， 则直线2l 的方程为11y x k=-+， 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=， 所以344x x k +=，344x x =-， 所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k +用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMNSFM FN =====224≥⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立， 所以FMN 的面积取最小值4．20．（2021·浙江高三模拟预测）已知点F 为抛物线C ：214y x =的焦点，点()0,4D ，点A 为抛物线C 上的动点，直线l ：y t =截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值.（1）求t 的值；（2）如图，直线l 交y 轴于点E ，抛物线C 上的点B 满足AB 的中垂线过点D 且直线AB 不与x 轴平行，求ABE 的面积的最大值.【答案】（1）3t =；（2【详解】解：（1）()0,4D ，设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AD 的中点为20044,22x x C ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2r =设截得的弦为GH ，圆心C 到弦的距离为d .则2222200022244414442x x x GH r d t ⎛⎫⎛⎫+- ⎪+ ⎪⎝⎭=-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭，()222011242444t GH x t -⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭与0x 无关3t ⇒=. （2）由上题可得()0,3E ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 线段AB 中点为G ，直线AB 的斜率存在且不等于0， 设直线AB ：y kx m =+，联立直线与抛物线方程得：224404y kx mx kx m x y =+⎧⇒--=⎨=⎩， 由2016160k m ∆>⇒+>，由韦达定理可得：124x x k +=，124x x m =-， 21242y y k m +=+,则AB 的中点为()22,2G k k m +则AB 的中垂线为()()2122y k m x k k-+=--， 代入()0,4D ，得222m k =-则124AB x x =-=E AB d -=则(21142322122S AB d m k =⋅⋅=⋅=-=+=记2t k =，()()()2212f t t t =-+，()()()7612f t t t '=-+，70,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f t 单调递增，7,26t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f t 单调递减，76t =，即276k k =⇒=时，ABES 此时13m =-满足0∆>，所以ABES。