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常微分习题5_3答案

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答案5.31．1) 鞍点2) 不稳定结点3) 鞍点4) 稳定的退化结点5) 稳定焦点6) 中心点7) 不稳定焦点8) 稳定结点2.1）解: ⎩⎨⎧=−=−+002y x y x ⎩⎨⎧==11y x 奇点为(1,1),令1,1−=−=y Y x X 代入 可判断奇点是鞍点 图中渐近线的斜率是：21,11±−=+−==K K K K dXdY >restart:with(DEtools): a:=4:aa:=1: bb:=1: cc:=1: dd:=-1:ODE1 :=[diff(x(t),t)=aa*x(t)+bb*y(t)-2,diff(y(t),t)=cc*x(t)+dd*y(t)];DEplot( ODE1, [x(t),y(t)],t=-20..20,[[x(0)=0.1,y(0)=0.1],[x(0)=0,y(0)=0.8*a],[x(0)=0,y(0)=-0.8*a],[x(0)=-a/2,y(0)=-a/2],[x(0)=a/2,y(0)=a],[x(0)=-a/2,y(0)=-a],[x(0)=a/2,y(0)=a/2],[x(0)=a/2,y(0)=a/3],[x(0)=a/8,y(0)=a/3],[x(0)=-0.8*a,y(0)=0],[x(0)=0.8*a,y(0)=0]],x=-a..a,y=-a..a,stepsize=0.05, dirgrid=[21,21],color=red, linecolor=blue,axes=BOXED,title="Phase portrait of the Nonlinear System",arrows=SLIM);2）解: ⎩⎨⎧=+−=−−012022y x x y ⎩⎨⎧=−=01y x 令 代入，可判断是稳定结点y Y x X =+=,1 1,221±=+−−=K KK K ODE1 :=[diff(x(t),t)=aa*x(t)+bb*y(t)-2,diff(y(t),t)=cc*x(t)+dd*y(t)+1];DEplot( ODE1, [x(t),y(t)],t=-20..20,[[x(0)=-a,y(0)=a],[x(0)=-a,y(0)=0.5*a],[x(0)=0,y(0)=a],[x(0)=-a,y(0)=-a],[x(0)=-a/2,y(0)=a],[x(0)=-a,y(0)=-a/2],[x(0)=a,y(0)=a],[x(0)=-a/2,y(0)=-a],[x(0)=0,y(0)=-a],[x(0)=a,y(0)=-a],[x(0)=a,y(0)=a/2],[x(0)=a,y(0)=0]],x=-a..a,y=-a..a,stepsize=0.05, dirgrid=[21,21],color=red, linecolor=blue,axes=BOXED,title="Phase portrait of the Linear System",arrows=SLIM);3）解: ⎩⎨⎧=+−=++05201y x y x ⎩⎨⎧=−=12y x 令 ，代入可判断是稳定焦点1,2−=+=y Y x X 取极坐标变换, θθsin ,cos r Y r X == θθθ2cos 1),12sin 21(+=−=dtd r dt dr diff(y(t),t)=cc*x(t)+dd*y(t)+5];DEplot( ODE1, [x(t),y(t)],t=-20..20,[[x(0)=-a,y(0)=a],[x(0)=-a,y(0)=0.5*a],[x(0)=0,y(0)=a],[x(0)=-a,y(0)=-a],[x(0)=-a/2,y(0)=a],[x(0)=-a,y(0)=-a/2],[x(0)=a,y(0)=a],[x(0)=-a/2,y(0)=-a],[x(0)=0,y(0)=-a],[x(0)=a,y(0)=-a],[x(0)=a,y(0)=a/2],[x(0)=a/2,y(0)=-a]],x=-a..a,y=-a..a,stepsize=0.05, dirgrid=[21,21],color=red, linecolor=blue,axes=BOXED,title="Phase portrait of the Linear System",arrows=SLIM);4）解: ⎩⎨⎧=+−=−00x y δγβα⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==βαδγy x 令 βαδγ−=−=y Y x X ,判断是中心点, 取极坐标变换, θθsin cos r Y r X ==, ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=−=0sin cos 2sin )(2122θδθβθθγβδγdtd dt d图形为逆时针方向旋转> diff(y(t),t)=cc*x(t)+dd*y(t)-1];DEplot( ODE1, [x(t),y(t)],t=-20..20,[[x(0)=a/3,y(0)=a/3],[x(0)=a/3,y(0)=a/2],[x(0)=a/3,y(0)=a],[x(0)=a/3,y(0)=-0.6*a],[x(0)=a/3,y(0)=-0.7*a],[x(0)=a/3,y(0)=-0.8*a],[x(0)=a/3,y(0)=-0.9*a],[x(0)=a/3,y(0)=-a],[x(0)=a/3,y(0)=-1.2*a],[x(0)=a/3,y(0)=0.7*a],x(0)=a/3,y(0)=0.8*a],[x(0)=a/3,y(0)=0.9*a]],x=-a..a,y=-a..a,stepsize=0.05, dirgrid=[21,21],color=red, linecolor=blue,axes=BOXED,title="Phase portrait of the Linear System",arrows=SLIM);3.解: 1) 证明: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=dy cx dtdy by ax dt dx []d a bc ad d a bc d a d c b a −−=−++−=−−−=−−λλλλλλλλ)())((2 A 为常数矩阵 0=−==bc ad dc b aA ∴ 系统没有孤立奇点,而非孤立奇点充满了一条直线.2) 由1)知, d a +==λλ,0,解此方程组t d a t d a de c a c y be c b c x )(21)(21,+++−=+=解轨线为： )()(11a c y b b c x d +=−y 与x 之间为线性关系, 故相平面上轨线为一族平行线restart:with(DEtools): a:=5:aa:=1: bb:=1: cc:=1: dd:=1:ODE1 :=[diff(x(t),t)=aa*x(t)+bb*y(t),diff(y(t),t)=cc*x(t)+dd*y(t)];DEplot( ODE1, [x(t),y(t)],t=-20..20,[[x(0)=a,y(0)=a],[x(0)=-a,y(0)=-a],[x(0)=0,y(0)=a], [x(0)=a/2,y(0)=-a],[x(0)=a/2,y(0)=a],[x(0)=-a/2,y(0)=a],[x(0)=-a,y(0)=a/2],[x(0)=a,y(0)=a/2],[x(0)=-a,y(0)=0],[x(0)=-a,y(0)=-a/2],[x(0)=-a/2,y(0)=-a],[x(0)=0,y(0)=-a],[x(0)=a,y(0)=-a/2],[x(0)=a,y(0)=0]],x=-a..a,y=-a..a,stepsize=0.05, dirgrid=[21,21],color=red, linecolor=blue,axes=BOXED,title="Phase portrait of the Linear System",arrows=SLIM);restart:with(DEtools): a:=5:aa:=1: bb:=-1: cc:=1: dd:=-1: ODE1 :=[diff(x(t),t)=aa*x(t)+bb*y(t),diff(y(t),t)=cc*x(t)+dd*y(t)];DEplot( ODE1, [x(t),y(t)],t=-20..20,[[x(0)=a,y(0)=a],[x(0)=-a,y(0)=-a],[x(0)=0,y(0)=a], [x(0)=a/2,y(0)=-a],[x(0)=a/2,y(0)=a],[x(0)=-a/2,y(0)=a],[x(0)=-a,y(0)=a/2],[x(0)=a,y(0)=a/2],[x(0)=-a,y(0)=0],[x(0)=-a,y(0)=-a/2],[x(0)=-a/2,y(0)=-a],[x(0)=0,y(0)=-a],[x(0)=a,y(0)=-a/2],[x(0)=a,y(0)=0]],x=-a..a,y=-a..a,stepsize=0.05, dirgrid=[21,21],color=red, linecolor=blue,axes=BOXED,title="Phase portrait of the Linear System",arrows=SLIM);4：4q5.解: 原振于的振动方程可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−==)(1cy kx mdt dy y dt dx 令0==dt dx dt dy ，可得（0，0）是奇点 00>=>=m k q m c p ， m k mc 422−=Δ, 若0422>−=Δm k mc ， 奇点(0,0)为稳定结点； 若0422<−=Δm k mc ，奇点（0，0）为稳定焦点若0422=−=Δm k mc ，奇点（0，0）为稳定临界—退化结点。

> restart:with(DEtools): a:=5: mk:=-1: mc:=-1: ODE1 :=[diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=mk*x(t)+mc*y(t)];DEplot( ODE1, [x(t),y(t)],t=-20..20,[[x(0)=a,y(0)=a],[x(0)=-a,y(0)=-a],[x(0)=0,y(0)=a], [x(0)=a/2,y(0)=-a],[x(0)=a/2,y(0)=a],[x(0)=-a/2,y(0)=a],[x(0)=-a,y(0)=a/2],[x(0)=a,y(0)=a/2],[x(0)=-a,y(0)=0],[x(0)=-a,y(0)=-a/2],[x(0)=-a/2,y(0)=-a],[x(0)=0,y(0)=-a],[x(0)=a,y(0)=-a/2],[x(0)=a,y(0)=0]],x=-a..a,y=-a..a,stepsize=0.05, dirgrid=[21,21], color=red, linecolor=blue,axes=BOXED,title="Phase portrait of the Linear System", arrows=SLIM);> restart:with(DEtools): a:=5: mk:=-1: mc:=-2: ODE1 :=[diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=mk*x(t)+mc*y(t)];DEplot( ODE1, [x(t),y(t)],t=-20..20,[[x(0)=a,y(0)=a],[x(0)=-a,y(0)=-a],[x(0)=0,y(0)=a], [x(0)=a/2,y(0)=-a],[x(0)=a/2,y(0)=a],[x(0)=-a/2,y(0)=a],[x(0)=-a,y(0)=a/2],[x(0)=a,y(0)=a/2],[x(0)=-a,y(0)=0],[x(0)=-a,y(0)=-a/2],[x(0)=-a/2,y(0)=-a],[x(0)=0,y(0)=-a],[x(0)=a,y(0)=-a/2],[x(0)=a,y(0)=0]],x=-a..a,y=-a..a,stepsize=0.05, dirgrid=[21,21],color=red, linecolor=blue,axes=BOXED,title="Phase portrait of the Linear System", arrows=SLIM);6.(1) c=-1with(DEtools): a:=0.11; c:=-1;DE931:=[diff(x(t),t)=c*x(t)-3*y(t),diff(y(t),t)=-3*x(t)+c*y(t)]:DEplot(DE931,[x(t),y(t)], t=-10..10,[[x(0)=-8*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-8*a,y(0)=-7.8*a], [x(0)=-8*a,y(0)=-7.5*a],[x(0)=-8*a,y(0)=-7*a], [x(0)=-8*a,y(0)=-6*a],[x(0)=-8*a,y(0)=-5*a],[x(0)=-8*a,y(0)=-4*a],[x(0)=8*a,y(0)=8*a],[x(0)=8*a,y(0)=7.8*a],[x(0)=8*a,y(0)=7.5*a],[x(0)=8*a,y(0)=7*a],[x(0)=8*a,y(0)=6*a],[x(0)=8*a,y(0)=5*a],[x(0)=8*a,y(0)=4*a],[x(0)=4*a,y(0)=8*a],[x(0)=5*a,y(0)=8*a],[x(0)=6*a,y(0)=8*a],[x(0)=7*a,y(0)=8*a],[x(0)=7.5*a,y(0)=8*a],[x(0)=7.8*a,y(0)=8*a],[x(0)=8*a,y(0)=8*a],[x(0)=-7.8*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-7.5*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-7*a,y(0)=-8*a], [x(0)=-6*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-5*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-4*a,y(0)=-8*a]],x=-8*a..8*a,y=-8*a..8*a, stepsize=0.05,dirgrid=[21,21], color=red,linecolor=blue, arrows=SLIM);(2) c=5with(DEtools): a:=0.11;c:=5; DE931:=[diff(x(t),t)=c*x(t)-3*y(t),diff(y(t),t)=-3*x(t)+c*y(t)]:DEplot(DE931,[x(t),y(t)], t=-10..10,[[x(0)=-8*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-8*a,y(0)=-6*a], [x(0)=-8*a,y(0)=-4*a],[x(0)=-8*a,y(0)=-2*a], [x(0)=-8*a,y(0)=0],[x(0)=-8*a,y(0)=2*a],[x(0)=-8*a,y(0)=4*a],[x(0)=-8*a,y(0)=6*a],[x(0)=-8*a,y(0)=8*a],[x(0)=8*a,y(0)=-8*a],[x(0)=8*a,y(0)=-6*a],[x(0)=8*a,y(0)=-4*a],[x(0)=8*a,y(0)=-2*a],[x(0)=8*a,y(0)=0],[x(0)=8*a,y(0)=2*a],[x(0)=8*a,y(0)=4*a],[x(0)=8*a,y(0)=6*a],[x(0)=8*a,y(0)=8*a],[x(0)=-6*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-4*a,y(0)=-8*a], [x(0)=-2*a,y(0)=-8*a],[x(0)=0,y(0)=-8*a],[x(0)=2*a,y(0)=-8*a],[x(0)=4*a,y(0)=-8*a],[x(0)=6*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-8*a,y(0)=-8*a], [x(0)=-6*a,y(0)=8*a],[x(0)=-4*a,y(0)=8*a],[x(0)=-2*a,y(0)=8*a],[x(0)=0,y(0)=8*a],[x(0)=2*a,y(0)=8*a],[x(0)=4*a,y(0)=8*a],[x(0)=6*a,y(0)=8*a]],x=-8*a..8*a,y=-8*a..8*a, stepsize=0.05,dirgrid=[21,21], color=red,linecolor=blue, arrows=SLIM);(3) c=-5> with(DEtools): a:=0.11;c:=-5; DE931:=[diff(x(t),t)=c*x(t)-3*y(t), diff(y(t),t)=-3*x(t)+c*y(t)]:DEplot(DE931,[x(t),y(t)], t=-10..10,[[x(0)=-8*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-8*a,y(0)=-6*a], [x(0)=-8*a,y(0)=-4*a],[x(0)=-8*a,y(0)=-2*a], [x(0)=-8*a,y(0)=0],[x(0)=-8*a,y(0)=2*a],[x(0)=-8*a,y(0)=4*a],[x(0)=-8*a,y(0)=6*a],[x(0)=-8*a,y(0)=8*a],[x(0)=8*a,y(0)=-8*a],[x(0)=8*a,y(0)=-6*a],[x(0)=8*a,y(0)=-4*a],[x(0)=8*a,y(0)=-2*a],[x(0)=8*a,y(0)=0],[x(0)=8*a,y(0)=2*a],[x(0)=8*a,y(0)=4*a],[x(0)=8*a,y(0)=6*a],[x(0)=8*a,y(0)=8*a],[x(0)=-6*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-4*a,y(0)=-8*a], [x(0)=-2*a,y(0)=-8*a],[x(0)=0,y(0)=-8*a],[x(0)=2*a,y(0)=-8*a],[x(0)=4*a,y(0)=-8*a],[x(0)=6*a,y(0)=-8*a],[x(0)=-8*a,y(0)=-8*a], [x(0)=-6*a,y(0)=8*a],[x(0)=-4*a,y(0)=8*a],[x(0)=-2*a,y(0)=8*a],[x(0)=0,y(0)=8*a],[x(0)=2*a,y(0)=8*a],[x(0)=4*a,y(0)=8*a],[x(0)=6*a,y(0)=8*a]],x=-8*a..8*a,y=-8*a..8*a, stepsize=0.05,dirgrid=[21,21], color=red,linecolor=blue, arrows=SLIM);（4） c=3 ) c=-3(5。

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《常微分方程》 (方道元 著) 课后习题答案 浙江大学出版社

《常微分方程》 (方道元 著) 课后习题答案 浙江大学出版社

dh dt
= v0 + at.
dh dt |t=T
=0
2.一个湖泊的水量为V立方米，排入湖泊内含污染物A的污水量为V1 立方米/时，流入湖泊内不含污
0 不得超过 m 5 。试讨论湖泊中污染物A的浓度变化？
解：设污染物A的浓度为P(t),由题意可得 V P (t) + P (t)(V1 + V2 ) = P (0) = 5m
w
ω )e−s ds = y (x)。
4.考虑方程
w
.k
w
其中p(x)和q (x)都是以ω 为周期的连续函数，试证：
(1)若q (x) ≡ 0，则方程(2.4.23)的任一非零解以ω 为周期当且仅当函数p(x)的平均值 p ¯= 1 ω
ω
hd aw
答
dy + a(x)y ≤ 0, (x ≥ 0). dx
−
x 2y
= 0, y (0) = 1;
−2 ，令z = y 2 ，方程两边再乘以因子e−2x ，得到 (1)显然y ≡ 0是方程的解，当y = 0时，方程两边乘以 1 2y
方程的通解为 y = (Ce2x − x 1 2 − ) 4 8
hd aw
1 1
案 网
1.试求下列微分方程的通解或特解： √ dy − 4xy = x2 y ; (1) x dx
w
w
(3) y =
dy dx
1 1−x2 y = 1 + x, x ex + 0 y (t) dt; x4 +y 3 xy 2 ;
(4)
=
(5) 2xydy − (2y 2 − x)dx = 0;
(6) (y ln x − 2)ydx = xdy ;
常微分方程第三课后答案

常微分方程第三课后答案

常微分方程 习题2.2求下列方程的解 1．dxdy=x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dxc dx +>=e x [-21e x-(x x cos sin +>+c] =c e x -21(x x cos sin +>是原方程的解。

2．dtdx+3x=e t 2 解：原方程可化为：dtdx=-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt3 (⎰et2e -⎰-dt3c dt +>=e t 3- (51e t 5+c>=c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。

3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c +>=e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin > = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin > =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。

4．dx dy n x x e y nx=- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y nx+= )(c dx ex e ey dxx nn x dxx n+⎰⎰=⎰-)(c e x x n += 是原方程的解.5．dx dy +1212--y xx=0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y xx⎰=-dxxx ey 212(c dx edxx x +⎰-221>)21(ln 2+=x e)(1ln 2⎰+--c dx exx=)1(12xce x +是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dx P x dx x P x dxdy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为：y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dyy x c dy y dx x y dx x y dy y yQ y y y eyQ y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dyP(y)dyP(y)dy1)dx+c)=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。

《常微分方程》答案 习题5.3

《常微分方程》答案 习题5.3

习题5.31、 假设A 是n ⨯n 矩阵，试证：a) 对任意常数1c 、2c 都有exp(1c A +2c A )=exp 1c A ·exp 2c Ab) 对任意整数k ,都有(exp A )k=exp k A(当k 是负整数时，规定(exp A )k＝[(exp A )1-]k-)证明：a) ∵（1c A ）·（2c A ）＝（2c A ）·（1c A ）∴ exp(1c A+2c A )= exp 1c A ·exp 2c A b) k>0时，(exp A )k＝exp A ·exp A ……exp A ＝exp （A +A+……+A ）＝exp k A k<0时，-k>0(exp A )k＝[(exp A )1-]k-=[exp(-A)]k- = exp(-A)·exp(-A)……exp(-A)＝exp[(-A)(-k)] ＝exp k A故∀k ，都有(exp A )k=exp k A2、 试证：如果)(t ϕ是'x =A x 满足初始条件)(0t ϕ＝η的解，那么)(t ϕ＝[exp A (t-t 0)]η证明：由定理8可知)(t ϕ＝Ф(t)Ф-1(t 0) η＋Ф(t)⎰tt ds s f s 0)()(1-φ又因为Ф(t)= exp A t , Ф-1(t 0)=( exp A t 0)-1= exp(-A t 0), f(s)=0, 又因为矩阵 （A t ）·（- A t 0）=（- A t 0）·（A t ）所以 )(t ϕ＝[exp A (t-t 0)]η3、 试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量a ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛3421 b ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---244354332c ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102111121d ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6116100010解：a ）det （λE －A ）=3421----λλ=(λ－5)(λ+1)=0∴1λ=5, 2λ=－1对应于1λ=5的特征向量u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛αα2, (0≠α) 对应于2λ=－1的特征向量v=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ββ, (0≠β)b) det （λE －A ）=(λ+1)(λ+2)(λ－2)＝0∴1λ＝－1，2λ＝2，3λ＝－2对应于1λ＝－1的特征向量u 1＝α⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011， （ α≠0 ）对应于2λ＝2的特征向量u 2＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111β， （ 0≠β ）对应于3λ＝－2的特征向量u 3＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110γ， （ 0≠γ ）c ）det （λE －A ）=12111121---+----λλλ＝(λ+1)2(λ－3)＝0 ∴1λ＝－1（二重），2λ＝3对应于1λ＝－1（二重）的特征向量u ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221α， （ α≠0 ）对应于2λ＝3的特征向量v ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212β, （ 0≠β ）d) det （λE －A ）=61161001+--λλλ=(λ+3)(λ+1)(λ+2)=0 ∴1λ＝－1，2λ＝－2，3λ＝－3对应于1λ＝－1的特征向量u 1＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111α， （ α≠0 ）对应于2λ＝－2的特征向量u 2＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-421β， （ 0≠β ）对应于3λ＝－3的特征向量u 3＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-931γ， （ 0≠γ ）4、 试求方程组'x =A x 的一个基解矩阵，并计算exp A t ，其中A 为：a ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112 b ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛3421 c ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---244354332 d ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--115118301解：a ）det （λE －A ）=0得1λ＝3，2λ＝－3对应于1λ的特征向量为u ＝α⎪⎪⎭⎫⎝⎛+321， （ α≠0 ）对应于2λ的特征向量为v ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-321β， （ 0≠β ） ∴u ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+321，v ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-321是对应于1λ，2λ的两个线性无关的特征向量 Ф(t)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--t tt t e ee e3333)32()32(是一个基解矩阵 Exp A t=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++--++------t ttttt tt e ee e e ee e 33333333)32()32()32()32(321b) 由det （λE －A ）=0得1λ＝5，2λ＝－1解得u ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛21，v ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11是对应于1λ，2λ的两个线性无关的特征向量 则基解矩阵为Ф(t)＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t tt te e e e 552 Ф(0)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211 Ф－1(0)＝⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-31323131 则exp A t ＝Ф(t) Ф－1(0)＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+----t t ttt t tt e e ee e e e e 5555222231c ） 由det （λE －A ）=0得1λ＝2，2λ＝－2，3λ＝－1解得基解矩阵Ф(t)＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0022222tt t t tt te e e e ee eФ－1(0)＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---110011111 则exp A t ＝Ф(t) Ф－1(0)＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---++---+---------t tt t t tt tt t ttt t t t te e e e e e e e e e ee e e e e e 2222222222222d ）由det （λE －A ）=0得1λ＝－3，2λ＝2＋7，3λ＝2－7解得基解矩阵Ф(t)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+----++-++--+-t tt t tt ttt e e e e e e e e e )72()72(3)72()72(3)72()72(337137143574357473 则exp A t ＝Ф(t) Ф－1(0)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+++--+-++++-+--+--+--+-t t t t t t t t t e e e e e e ee e )72()72(3)72()72(3)72()72(397226972269732972812297281229756374237423787415、试求方程组'x =A x 的基解矩阵，并求满足初始条件)()0(t ϕηϕ的解=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001102111121)720115118301)333421)ηηηA c A b A a解：a ）由第4题（b ）知，基解矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t tt te e e e 552 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ββααη233所以1,2==βα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=--t t t t e e e e t 5542)(ϕb ）由第4题（d ）知，基解矩阵为Ф(t)＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+----++-++--+-t tt t tt ttt e e e e e e e e e )72()72(3)72()72(3)72()72(337137143574357473 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-+++-+---+-+=-+--+--+-t t t t t t tt t e e e e e e ee e t )72()72(3)72()72(3)72()72(3972217897221789720897146748971467489736437264372643752741)(ϕc) 由3（c ）可知，矩阵A 的特征值为1λ＝3，2λ＝－1（二重）1λ对应的特征向量为u 1＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ααα2，u 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-324γβγβ ∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ααα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-324γβγβ 解得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===21412121412141214121v v γβα213)]([)(v E A t E e Ev e t t t +++=-ϕ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---t t t t t t e e e e e e 2121414121213336、 求方程组'x =A x ＋f （t ）的解)(t ϕ：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t t t f A c e t f A b e t f A a t t cos 2sin )(,1234,)0()00)(,6116100010,0)0()1)(,3421,11)0()21ηηϕϕϕ解：a ）令'x =A x 的基解矩阵为Ф(t)150)1)(5()det()(21＝－，＝所以λλλλλλ=+-=-=A E p解得Ф(t)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t tt te e e e 552， 则Ф－1(t)＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛------t t t tt e e e e e 554231 Ф－1(0)＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛----121131 求得)(t ϕ＝⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-----5121103524120355t t t t tt e e e e e eb ）由det （λE －A ）=0得1λ＝－1，2λ＝－2，3λ＝－3 设1λ对应的特征向量为v 1，则（1λE －A ）v 1=0，得v 1＝0≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--αααα取v 1＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111，同理可得v 2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2121，v 3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3131则Ф(t)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------32111131211 从而解得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---++-+--=------------t t t ttt t t t t t t te e e e te e e e te e e e t 21474942145432214341)(323232ϕc ）令'x =A x 的基解矩阵为Ф(t) 由det （λE －A ）=0得1λ＝1，2λ＝2解得对应的基解矩阵为Ф(t)＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t t te e e e2223 ∴Ф－1(t)＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------t t t t e e e e22232 从而Ф－1(0)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2232 ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++--+--+++--+-=+=⎰--)1(2)324(sin 2cos 2)1(3)324(sin 2cos )()()()0()0()()(2122121221011ηηηηηηηηφφϕφφϕt t t t te e t t e e t t dss f s t t t7、 假设m 不是矩阵A 的特征值。

常微分方程计算题及答案

常微分方程计算题及答案

计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。

2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。