江苏省G4联考：2020-2021学年上学期高三四校联考试卷数学试题

绝密★启用前江苏省苏州四市五区普通高中2021届高三年级上学期期初调研联考检测数学试题2020年9月注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题(第1题～第8题)、多项选择题(第9题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)。

本卷满分150分,答题时间为120分钟。

答题结束后,请将答题卡交回。

2.答题前,请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整,笔迹清楚。

4.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。

一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。

一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共计40分。

每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的。

请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1.集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0},B ＝{x|x>1},则A∩B＝A.(1,3)B.(1,3]C.[－1,＋∞)D.(1,＋∞)2.复数z 满足(1＋i)z ＝2＋3i,则z 在复平面表示的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(2x －21x)4的展开式中x 的系数为 A.－32 B.32 C.－8 D.84.已知随机变量服从正态分布N(1,σ2),若P(ζ<4)＝0.9,则P(－2<ζ<1)为A.0.2B.0.3C.0.4D.0.65.在△ABC 中,AB AC 2AD +=,AE 2DE 0+=,若EB xAB yAC =+,则A.y ＝2xB.y ＝－2xC.x ＝2yD.x ＝－2y6.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水流域产卵。

记鲑鱼的游速为v(单位：m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q 。

科学研究发现v 与log 3100Q 成正比。

绝密★启用前 江苏省南通市四校联盟 2021届高三毕业班上学期第二次调研联考数学试题2020年12月一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上）1. 已知集合A ={a |a 2-4a <5},B ={a |a <2}正确的是 ( )A .-1,2∈AB . 15∉BC .B ⊆AD .A ∪B ={a |-5<a <4}2. 若a >0,b >0,则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3. 已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧c os πx x ≤1f (x -1)+1 x >1 则f (43)+f (-43)的值为 ( ) A .12 B .- 12 C .-1 D .14. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x x >1(4-a 2)x +2 x ≤1 是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是 ( )A .(1,+∞)B .[4,8)C .(4,8)D .(1,8)5. 根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N 最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48) ( )A .1033B .1053C .1073D .10936. 已知函数f (x )的图象如图所示,则f (x )的解析式可以是 ( )A .f (x )=ln|x |xB .f (x )=e x xC .f (x )=1x 2-1D .f (x )=x -1x 7. 已知函数f (x )=x +2+k ,若存在区间[a ,b ][-2,+∞)使得函数f (x )在区间[a ,b ]上的值域为[a +2,b +2],则实数k 的取值范围为（ ）A .( -1,+∞)B .(-14,0]C . (-14,+∞)D . ( -1,0]8. 已知函数f (x )= ⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x x ≤0ln(x +1) x>0 ,若| f (x )|≥kx ,则k 的取值范围是（ ） A . (-∞,0] B . (-∞,1] C .[-2,1] D . [-2,0]二．多选题（本大题共4小题,每小题5分,共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应的位置上）9. 给出下列命题:A .∃a ∈R,ln(a 2+1)<0;B .∀a >2,a 2>2a ;C .∀α,β∈R,sin(α-β)=sin α-sin β;D .a >b 是2a >2b 的充要条件.其中假．命题为 ( ) 10. 对于函数f (x )=x1+|x |,下列判断正确的是（ ）A . f (-x +1)+ f (x -1)=0B . 当m ∈(0,1)时,方程f (x )=m 有唯一实数解C . 函数f (x )的值域为(-∞, ∞)D . ∀x 1≠x 2,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0。

2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{2，5}，B ＝{3，5}，则A U B ＝ ． 2．已知复数z 满足12ii z+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 3．A ，B ，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为 ． 4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值 为 ．5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛 一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看 电影，则该同学在家学习的概率为 ．6．已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则6a 的值为 ． 第4题7．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜2π)的部分图象如图所示，则(0)f 的值为 ．第11题 第12题 第7题8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，若过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为c 2，则双曲线的离心率为 ． 9．已知m ，n 为正实数，且m ＋n ＝mn ，则m ＋2n 的最小值为 ． 10．已知函数()4f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为 ．11．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一 个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为 ． 12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝4，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，若AE DE 1⋅=-u u u r u u u r ，则AF CD ⋅u u u r u u u r的值为 ．13．函数()f x 满足()(4)f x f x =-，当x ∈[﹣2，2)时，3223 2()1, 2x x a x af x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩,，若函数()f x 在[0，2020)上有1515个零点，则实数a 的范围为 ．14．已知圆O ：224x y +=，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A(2，2)，若AP 2＋AQ 2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，已知在三棱锥P—ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F ，G 分别为AC ，PA ，PB 的中点，且AC ＝2BE ．（1）求证：PB ⊥BC ；（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m u r ＝(a ，b ﹣c )，n r＝(sinA ﹣sinB ，sinB ＋sinC)，p u r ＝(1，2)，且m u r ⊥n r．（1）求角C 的值；（2）求n p ⋅r u r的最大值．17．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合），且△PF 1F 2的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线AP ，QF 2交于点M ．（1）求椭圆方程；（2）若直线PF 2与椭圆交于另一点N ，且22AF M AF N 4S S =△△，求点P 的坐标．18．（本小题满分16分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为L crn 的清洁棒在弯头内恰好处于AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，θ∈(0，2π)）． （1）请用角θ表示清洁棒的长L ；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度．19．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，且1122b a ==，2354b S =，2211a T +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++L ； （3）是否存在正整数m ，使得1m m m mS T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数4()(1)e xf x x=-，()1ag x x=-(a ∈R)（e 是自然对数的底数，e ≈2.718…）． （1）求函数()f x 的图像在x ＝1处的切线方程； （2）若函数()()f x yg x =在区间[4，5]上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x g x =+在区间(0，+∞)上有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且1()h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝ 1 4a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(a ，b ∈R)不存在逆矩阵，且非零特征值对应的一个特征向量αu r ＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线C 1：sin()4πρθ+=曲线C 2：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），求曲线C 1，C 2交点的直角坐标．C ．选修4—5：不等式选讲已知凸n 边形A 1A 2A 3…A n 的面积为1，边长A i A i ＋1＝i a (i ＝1，2，…，n ﹣1)，A n A 1＝n a ，其内部一点P 到边A i A i ＋1＝i a (i ＝1，2，…，n ﹣1)的距离分别为d 1，d 2，d 3，…，d n ．求证：21212222(n na a a d d d +++≥L ．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且AD// BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小；（2）若CQ CP λ=u u u r u u u r (0≤λ≤1)，且直线BQ 与平面PDC 所成角为3π，求λ的值．23．（本小题满分10分）如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，A~I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行．小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A ，I 处的红绿灯），出发时的两条路线(I →F ，I →H)等可能选择，且总是走最近路线．（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？备用图参考答案。

江苏省G4（苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学）2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知复数z 满足()12i z i -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A B ．2C ．1D ．42．若集合{}2370,A x x x x Z =+≤∈，且B A ⊆，则满足条件的集合B 的个数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．若{}n a 为等比数列，则“s t p q a a a a =”是“s t p q +=+（s ，t ，p ，*N q ∈）”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．若()*12nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．12C ．24D ．485．已知平面向量a ，b 满足2a =，2b =，a 与b 的夹角为45°，()b a a λ-⊥，则实数λ的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．已知cos()sin()6παπα-+-=cos()3πα-的值（ ）A ．B ．15-C ．15D 7．已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A．B ．C ．5+D ．3+8．若不等式()()2e 2ln 12xa x a x ->-+++对()0,x ∈+∞恒成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞二、多选题9．已知定义在R 上的函数()4,Z4,Z x f x x -∈⎧=⎨∉⎩，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．对任意R x ∈，()()4f f x =-D ．()f x 的图象关于直线12x =对称10．已知函数()sin 2f x x x =，则下列说法正确的有（ ） A ．点,03π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心B ．对任意x ∈R ，函数()f x 满足66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．函数()f x 在区间()0,π上有且仅有1个零点D ．存在512πθ>-，使得()f x 在()5,Z 12k k k πππθ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上单调递增 11．已知两个变量y 与x 线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次实验．实验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的线性回归方程为3 4.5y x =+，且4x =，又增加了2次实验，得到2个数据点()2,11，()6,22，根据这10个数据点重新求得线性回归方程为y mx n =+（其中m ，R n ∈），则（ ） A ．变量y 与x 正相关 B ．3m <C ． 4.5n <D ．回归直线y mx n =+经过点()4,16.512．已知实数a ，b 满足等式()2e e 22a bb a -=-，则下列不等式中可能成立的有（ ） A ．0a b << B ．0b a << C ．0a b << D ．0b a <<三、填空题13．双曲线22194x y -=的焦点到渐近线的距离为_____________．14．若数列{}n a 满足12a =，23a =，()*21n n n a a a n +++=∈N ，则2021a 的值为__________．15．在如图所示的四边形区域ABCD 中，1AB BC ==，2CD =，120B C ∠=∠=︒，现园林绿化师计划在区域外以AD 为边增加景观区域ADM ，当135AMD ∠=︒时，景观区域ADM 面积的最大值为__________．四、双空题16．已知在四棱锥S -ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是等腰梯形，//BC AD ，若8SD AD ==，6BC =，AB CD ==S -ABCD 的体积为__________；它的外接球的半径为__________五、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足()12n n n s s a n N *+=++∈，()54623s a a =+．(1)求数列的通{}n a 项公式：(2)若12na n nb a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．(1)求证：1BD ∥平面EAC ；(2)求直线1AB 与平面EAC 所成角的正弦值．19．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos sin B A C >． (1)求证：B 为钝角；(2)若△ABC 同时满足下列4个条件中的3个：△cos A △sin C =△2a =；△c =△ABC 存在的这3个条件仅有一组，写出这组条件并求b 的值． 20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点()2,3．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，过点()3,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线163x =于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为1k ，2k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 21．AMC 是美国数学竞赛（American Mathematics Competitions ）的简称，其中AMC10是面向世界范围内10年级（相当于高一年级）及以下的学生的数学竞赛，AMC10试卷由25道选择题构成，每道选择题均有5个选项，只有1个是正确的，试卷满分150分，每道题答对得6分，未作答得1.5分，答错得0分．考生甲、乙都已答对前20道题，对后5道题（依次记为1T ，2T ，3T ，4T ，5T ）均没有把握确定正确选项．两人在这5道题中选择若干道作答，作答时，若能排除某些错误选项，则在剩余的选项中随机地选择1个，否则就在5个选项中随机地选择1个．(1)已知甲只能排除1T ，2T ，3T 中每道题的1个错误选项，若甲决定作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ，求甲的总分不低于135的概率；(2)已知乙能排除1T ，2T ，3T 中每道题的2个错误选项，但无法排除剩余2道题中的任一错误选项．△问乙采用怎样的作答策略（即依次确定后5道题是否作答）可使其总分的数学期望最大，并说明理由；△在△的作答策略下，求乙的总分的概率分布列．22．已知函数()cos xf x e ax x =--，()()g x f x x =-，a R ∈．(1)若()f x 在[)0,∞+上单调递增，求a 的最大值；(2)当a 取（1）中所求的最大值时，讨论()g x 在R 上的零点个数，并证明()g x >参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得复数1z i =-+，再根据复数的模长公式可得结果. 【详解】由()12i z i -=得2i2i(1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以|||1|z i =-+= 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合A ，并列举出A 中元素，再由包含关系求集合B 的个数. 【详解】由题设，{}70,2,1,03A x x x Z ⎧⎫=-≤≤∈=--⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，所以集合B 有328=个. 故选：D ． 3．C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，分别从充分性、必要性两方面判断题设条件间的推出关系，进而确定它们充分、必要关系. 【详解】充分性：若s t p q a a a a =，当1q =时，21s t a a a =，21p q a a a =，此时s t +与p q +不一定相等，不充分．必要性：若s t p q +=+，则2112211s t s t s t a a a qa q -+-+-==，2112211p q p q p q a a a q a q -+-+-==，所以s t p q a a a a =，综上，“s t p q a a a a =”是“s t p q +=+”的必要不充分条件． 故选：C 4．C 【解析】 【分析】由题知4n =，进而得其展开式的通项公式44214C 2rrr r T x --+=，进而2r =时324T =为常数项.【详解】解：△二项式系数最大的项只有第三项， △展开式中共有5项，△4n =．△41122n x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式第1r +项为()44421441C 2C 2rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，△当2r =时，2234C 26424T ==⨯=为常数项.故选：C ． 5．A 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得λ的值. 【详解】()0b a a λ-=⊥，20ab a λ⋅-=，40λ⋅=，△2λ=. 故选：A 6．C 【解析】 【分析】利用差角公式和诱导公式将题中所给的条件化简，求得11cos 25αα=，利用辅助角公式得到结果. 【详解】cos()sin()6παπα-+-=3sin 2αα+=，即11cos 25αα=1cos()35πα∴-= 1cos()35πα∴-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关三角变换的问题，涉及到的知识点有余弦差角公式、诱导公式和辅助角公式，属于基础题目. 7．C 【解析】求出点A 的轨迹方程，确定A 点轨迹，然后通过几何意义求得最大值． 【详解】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --5CD ，△AB 的最大值为5CD =+ 故选：C. 【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和． 8．B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数()()2e 22ln 1xg x x a x x =--++-⎡⎤⎣⎦，0x ≥，在利用导数研究函数单调性得当2a ≤时，()g x 在[)0,∞+单调递增，()()00g x g >=满足条件；当2a >时，存在0x ，使得()g x 在[)00,x 上单调递减，进而()()00g x g <=得矛盾，进而得答案.【详解】解： 因为()2e 2ln 12xa x ax x ->-+++对()0,x ∀∈+∞恒成立，所以()2e 22ln 10xx a x x --++->⎡⎤⎣⎦对()0,x ∀∈+∞恒成立， 故令()()2e 22ln 1xg x x a x x =--++-⎡⎤⎣⎦，0x ≥，()00g =，()'12e 212e 211x x x g a a x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪++⎝⎭2e 21x ax x =--+，()'00g =，()()''2e 12x g x ax -+=，()''02g a =-，()()()2''212e 11x g x a x x ⎡⎤=+-⎣⎦+， 当20a -≥时，即2a ≤时，()''0g x ≥，则()'g x 在[)0,∞+单调递增，()()''00g g x ≥=，△()g x 在[)0,∞+单调递增，△()()0g x g ≥.0x >时，()()00g x g >=，满足条件．2a >时，()''00g =，x 趋近于+∞时，()''g x 趋近于+∞， △()''g x 在[)0,∞+有解，设为0x ．[)00,x x ∈时，()''0g x <，()'g x 在[)00,x 上单调递减，()()''00g x g <=，△()g x 在[)00,x 上单调递减，△()()00g x g <=，矛盾 综上：2a ≤， 故选：B ． 9．BCD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断选项A ，B ，根据对称性的定义判断D ，由解析式判断C. 【详解】解：x ∈Z 时，x -∈Z ，()()4f x f x -=-=．x ∉Z 时，x -∉Z ，()()4f x f x -==．△()()f x f x -=，即()f x 为偶函数，A 错，B 对． x ∈Z 时，()4f x =-，4-∈Z ，()()()44f f x f =-=-．x ∉Z 时，()4f x =，4∈Z ，()()()44f f x f ==-．△()()4f f x =-，C 对．x ∈Z 时，1x -∈Z ，此时()()1f x f x =-．x ∉Z 时，1x -∉Z ，此时()()1f x f x =-．综上：()()1f x f x =-，则()f x 关于12x =对称，D 对． 故选：BCD ． 10．AD 【解析】 【分析】化简函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；在()0,x π∈时，解方程()0f x =，可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】解：()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2Z 3x k k ππ+=∈，则()26k x k ππ=-∈Z ， 当1k =时，3x π=，所以，()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 对；由()2Z 32x k k πππ+=+∈得1226k x πππ=+=，则16k =∉Z ．所以，直线6x π=不是()f x 的对称轴，B 错； 当0πx <<时，72333x πππ<+<，由()2sin 203f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得23x ππ+=或2π，解得3x π=或56π，所以，函数()f x 在区间()0,π上有且仅有2个零点，C 错； 对于D 选项，由()222Z 232k x k k πππππ-+<+<+∈，则()5Z 1212k x k k ππππ-+<<+∈，所以，当51212ππθ-<≤时，()f x 在5,12k k πππθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，D 对．故选：AD. 11．ABD 【解析】 【分析】结合回归直线方程、样本中心点等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】设()2,11A ，()6,22B ，由1134AB k =<， 而8个数据点的回归方程3b =，△03m <<，A ，B 正确． 而10个数据点的4826410x ⨯++==，16.58112216.510y ⨯++==，样品中心()4,16.5，则16.54,16.54m n n m =+=-，03,0412,1240,4.516.5416.5m m m m <<<<-<-<<-<，即4.516.5n <<△D 正确，C 错． 故选：ABD 12．ACD 【解析】 【分析】将已知条件转化为2e 2e 4a b a b +=+，通过构造函数法，结合导数判断出当0b <时，0a b <<，由此判断AB 选项的正确性.当0b >时，对b 取特殊值来判断CD 选项的正确性.【详解】()2e e 22a b b a -=-，2e 42e a b b a -=-，2e 2e 4a b a b +=+，构造()22e 2e 4e e 2b b b bf b b b b =+--=--，()'22e e 2b b f b =--，当0b <时，()'0f b <，f b 在(),0∞-上递减， ()()00f b f >=，此时2e 2e 4b b b b +>+，△22e 2e 2b a b a +>+，构造()2e 2xg x x =+，()g x 在R 上递增，△()()0g b g a a b >⇒<<，A 正确，B 错．当0b >时，()'f b 先负后正，△f b 先减后增，f b 有正有负，取21e 2e 4a b a =⇒+=+，此时()()21e 2e 41g g a a b =+>+=⇒<=，△0a b <<有可能，C 正确．取14b =，124e 2e 1a a +=+，()1124111e e 1424g g a a b ⎛⎫=+<+=⇒>= ⎪⎝⎭，△0a b >>也有可能，D 正确． 故选：ACD 13．2 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，双曲线的右焦点0)F ，其中一条渐近线的方程为22303y x x y =⇒-=，所以焦点到渐近线的距离为2d ==． 考点：点到直线的距离公式及双曲线的性质． 14．3- 【解析】 【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定2021a . 【详解】 解：132a a a +=，则3211a a a =-=，243a a a +=，则4322a a a =-=-， 354a a a +=，则5433a a a =-=-，6541a a a =-=-， 7652a a a =-=，8763a a a =-=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅△数列{}n a 为周期数列，且周期6T =， 又202163365=⨯+，△202153a a ==-． 故答案为：-3.15．)714【解析】 【分析】连AC ，根据已知条件可得90ACD ∠=︒、AC =AD ，再由余弦定理、基本不等式求MA MD ⋅的范围，最后应用面积公式求区域ADM 面积的最大值. 【详解】连AC ，BA BC =，120B ∠=︒，△30ACB ∠=︒，则90ACD ∠=︒，AC =△AD =在△ADM 中，2227MA MD MA MD ⎛+-⋅⋅= ⎝⎭，△2272MA MD MD MAMD MD =+⋅⋅≥△(722MA MD ⋅≤=，当且仅当MA MD =时等号成立， (())727271122284MADS≤⋅⨯==．故答案为：)714.16． 563【解析】 【分析】根据锥体体积公式即可计算第一空；结合几何关系得底面ABCD 的外接圆的半径为5，进而根据空间几何体的外接球问题求解即可． 【详解】 解： ()168172ABCD S =+⨯=， 115678333S ABCD ABCD V S SD -=⋅=⨯⨯=，AC =△BCD 外接圆半径为r 圆为设为M ，则2r =，△=5r ， 设外接球的球心为O ，半径为R ，则()222225825OM R OM R ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，△221641OM R ⎧=⎨=⎩，△R = 17．(1)2n a n = (2)211334nn n ++-⋅【解析】 【分析】（1）根据11n n n a S S ++=-化简条件可得数列为等差数列，再由()54623s a a =+求出首项即可得出等差数列的通项公式；（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解. (1)()12n n n s s a n N *+=++∈ 12n n a a +∴-=，{}n a ∴是以2为公差的等差数列，()54623s a a =+352532a a ∴⨯=⨯，即1110(4)6(8)a a +=+， 解得12a =，2(1)22n a n n ∴=+-⨯=(2)11224na nn n b a n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2231111111442(123)++++1444414n n n T n n n⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=+++++=++ ⎪⎝⎭-211334nn n ++-⋅=.18．(1)证明见解析 【解析】 【分析】小问1：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，推导出1//OE BD ，由此能证明1//BD 平面EAC . 小问2：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线1AB 与平面EAC 所成角的大小． (1)证明：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，△在正方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是正方形，△O 是BD 中点， △E 为棱1DD 的中点，△1//OE BD ， △1BD ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， △1//BD 平面EAC . (2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则()2,0,0A ，()12,2,2B ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()10,2,2AB =，()2,0,1AE =-，()2,2,0AC =-， 设平面EAC 的法向量(),,n x y z =，则20220n AE x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,1,2n =， 设直线1AB 与平面EAC 所成角的大小为θ，则116sin 8AB n AB nθ⋅===⋅⋅， △直线1AB 与平面EAC19．(1)证明见解析(2)证明见解析，△△△，1b = 【解析】 【分析】（1）变形()sin cos sin B A A B >+，整理可得cos 0B <，则可得答案；（2）分析可得△△不可能都成立，则△△均成立，再根据条件利用余弦定理计算可得答案. (1)△sin cos sin B A C >，△()sin cos sin sin cos cos sin B A A B A B A B >+=+， △sin cos 0A B <，即cos 0B <， △B 为钝角； (2)△B 为钝角，△2A C π+<，即A ，C 均为锐角，则4A π=，3C π=，若△△均成立，则4A π=，3C π=，此时5122B ππ=<与B 为钝角矛盾， △△△不可能都成立，△△△均成立，△a c >，△A C >，只能选△△△．在△ABC 中，由余弦定理得2224b b +-=由0b >，解得1b =． 20．(1)2211612x y +=(2)是定值，定值为127- 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，由此求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得,M N 两点的坐标，由此计算出12127k k =-为定值. (1)由题意知22222124491c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪=⎧⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩△椭圆C 的方程为：2211612x y +=.(2)设直线l 的方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()4,0A -，()22223334483448x my my y x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩， △()223418210m y my ++-=，1212221821,3434m y y y y m m --+=⋅=++， 直线AP 方程为：()1144y y x x =++， 令163x =得()112834y y x =+，△()112816,334y M x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()222816,334y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， △()()()()()()121212121212122828161633347374477y y y y y y k k x x y x x my my =⋅⋅==++++++()2221212222116213421187497493434m m m y y m y y m m m m -⋅-+==--+++⋅+⋅+++()22248127318734m m m -==---++为定值．21．(1)532(2)△选择作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ，理由见解析；△答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意得甲至少要答对1T ，2T ，3T 中的两题，分类讨论即可求解结果；（2）△1T ，2T ，3T 每道题作答的话，每题得分期望162 1.53⨯=>，4T ，5T 每道题作答的话，每题得分期望166 1.555⨯=<，即可采用策略作答；△结合二项分布求解即可．(1)前20道题和最后两道共可得分1203123+=分， 故1T ，2T ，3T 得分不低于13512312-=分． △甲至少要答对1T ，2T ，3T 中的两题．△若甲只答两题，2213139C 4464P ⎛⎫=⋅⨯= ⎪⎝⎭． △若甲答对三题，3211464P ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故甲的总分不低于135分的概率915646432P =+=． (2)△△1T ，2T ，3T 每道题作答的话，每题得分期望162 1.53⨯=>4T ，5T 每道题作答的话，每题得分期望166 1.555⨯=<故要使乙总分的数学期望最大，应选择作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ． △前20道题和最后两道乙共可得分：1203123+=分． △乙的总分的所有可能取值为123，129，135，141 ()328123327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213124129C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ ()223122135C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()311141327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， △乙总分的概率分布列为22．(1)1；(2)2个，证明见解析.【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，转化为导函数()sin 0x f x e a x '=-+≥在[0,)+∞上恒成立，再求导求其最小值即可；（2）利用导数分析函数在0,0x x ≤>上的单调性，根据两点的存在性定理可确定出2个零点，再由导数求出函数的最小值，求出最小值的范围即可得证. (1)由题意可知，()sin 0x f x e a x '=-+≥在[0,)+∞上恒成立， 因为()cos 1cos 0x f x e x x ''=+≥+≥，所以()'f x 单调递增， 所以(0)10'=-≥f a ，解得a ≤1，所以a 的最大值为1. (2)易知a =1，所以()2cos x g x e x x =--,当x ≤0时，()2sin 1sin 0x g x e x x '=-+≤-+≤，所以g (x )单调递减，当x >0时，()2sin x g x e x '=-+，则()cos 1cos 0x g x e x x ''=+≥+≥，所以()g x '单调递增, 因为(0)10,(1)2sin10g g e ''=-<=-+>，所以存在0(0,1)x ∈，使得00()g x '=，()g x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，又(0)0g =，所以0()0g x ,因为2(2)4cos 20g e =-->，所以存在10(,2)x x ∈，使得1()0g x =， 所以()g x 有两个零点，又因为002sin 0xe x -+=，所以00000m 0in 0()()2cos 22sin cos xg x g x e x x x x x ==--=---，因为01x <，所以0000()sin cos )4g x x x x >--=+≥π故()g x >. 【点睛】关键点点睛：求函数零点时，注意利用导数研究出函数的单调性后，根据零点存在性定理可确定出函数的隐零点，求最小值时，要注意对隐零点的使用，才能化简求值，属于难题.答案第16页，共16页。