确定圆的条件

圆的概念及确定1.圆定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

固定的端点O叫做圆心。

（确定圆的位置）线段OA叫做半径。

（确定圆的大小）记法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”注意：（1）圆指的是“圆周”而不是“圆面”。

（2）半径指的是线段，为了方便也把半径的长称为半径。

圆的确定：（1）一个圆心一个半径（2）圆心、圆上一个一个的已知点（3）直径2. 圆的集合定义：（1）角平分线上的点到角两边的距离相等。

到角两边距离相等的点在角的平分线上。

所以：角平分线可以看做是到角的两边距离相等的点的集合。

（2）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。

到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的点的集合。

*把一个图形看成是满足某种条件的点的集合，必须符合：a.图形上的每一点都满足某个条件，b.满足某个条件的每一个点，都在这个图形上。

（3）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r），到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

（圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形）圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

点和圆的位置关系有：点在圆内、圆上，圆外三种，设⊙O的半径为r，点P和圆心O的距离为d，则有：点在圆内；点在圆上；点在圆外。

6. 理解定理，不在一直线上的三点确定一个圆，并掌握不在同一条直线上三点作圆的方法。

7. 会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆。

8. 了解三角形外心的概念。

9. 过三点的圆确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径（定长），确定圆的大小。

只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定。

此外，下列条件都可以确定圆心和半径，因而都能确定圆：（1）经过不在一直线上的三点的圆；（2）已知圆心和圆上一点的圆；（3）以已知线段为直径的圆。

圆的前提条件
圆是一个几何图形，它有一些前提条件，包括以下几点：
1. 圆心：圆的中心被称为圆心，圆心是确定圆的位置的点。

2. 半径：从圆心到圆上任意一点的线段被称为半径，半径的长度决定了圆的大小。

3. 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段被称为直径，直径是圆中最长的线段，并且直径的长度是半径的两倍。

4. 相等的曲率：圆上任意一点的曲率都是相等的，这意味着圆上的每一个点到圆心的距离都是相等的。

5. 闭合曲线：圆是一个闭合的曲线，它没有起点和终点，圆上的任意一点都与其他点相连。

6. 平面图形：圆是一个平面图形，它存在于二维空间中。

这些前提条件是定义一个圆所必需的。

只有满足这些条件，才能确定一个几何图形为圆。

圆的这些特性使得它在数学、几何、物理学等领域中都有广泛的应用。

圆心的概念
圆心是圆的中心，即到圆的边缘距离都相等且与圆在同一个平面的点。

圆是一条封闭曲线，一个圆把平面上所有的点分成圆内的点、圆上的点、圆外的点三种点的集合，并有：
圆内的点与圆心的距离小于半径的点；
圆上的点与圆心的距离等于半径的点；
圆外的点与圆心的距离大于半径的点。

确定圆的基本条件：
1、确定一个圆必须确定圆心、半径，圆心可确定圆的位置，半径可确定圆的大小；
2、不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。

经过三角形的三个顶点可以做一个圆。

这个圆叫做三角形的外接圆，这个圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

5.4确定圆的条件知识点1： 1、定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2、三角形的外接圆．定义：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形3、三角形的外心:（l）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．练习1：按图填空：（1）是⊙O的_________三角形；（2）⊙O是的_________圆，2、.经过一点作圆可以作个圆；经过两点作圆可以个圆，这些圆的圆心在这两点的上；经过的三点可以作个圆，并且只能作个圆。

3、Rt⊿ABC中，∠C=900，AC=6cm,BC=8cm,则其外接圆的半径为。

4、等边三角形的边长为a,则其外接圆的半径为 .练习2：判断题：（1）经过三点一定可以作圆；（）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（）（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（）练习3：钝角三角形的外心在三角形（）（A）内部（B）一边上（C）外部（D）可能在内部也可能在外部4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8.求Rt△ABC的外接圆的半径和面积。

5.已知AB=7cm,则过点A，B，且半径为3cm的圆有（）A 0个B 1个C 2个D 无数个6.如图，平原上有三个村庄A，B，C，现计划打一水井P，使水井到三个村庄的距离相等。

在图中画出水井P的位置。

巩固提高一、选择题1．三角形的外心是（）A．三条中线的交点B．三条边的中垂线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点2．下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个3．（2010•大庆）在直角坐标系中，⊙P、⊙Q的位置如图所示．下列四个点中，在⊙P外部且在⊙Q内部的是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（2，-1）D．（3，1）4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块5．下图中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=60°，AC=6，则△ABC 外接圆的半径为（ ）A ．23B ．33C ．3D ．37．在△ABC 中，I 是外心，且∠BIC=130°，则∠A 的度数是（ ）A ．65°B．115°C．65°或115°D．65°或130°8．正三角形的外接圆的半径和高的比为（ ）A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．1：39．平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n 个圆，那么n 的值不可能为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC=5，CD=3，AB=42 ，则⊙O 的直径等于（ ）A ．225 B ．3 2 C ．52 D ．7二、填空题1．已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm 和8cm ，则这个直角三角形的外接圆的半径为 cm ．2．（2002•辽宁）△ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若BC=23 ，则∠A 的度数为 。

3.5确定圆的条件教学设计（1）线段垂直平分线上的点有怎样的性质？（2）怎样用尺规作一条线段的垂直平分线多媒体出示垂直平分线的画法(3)构成圆的基本要素有哪些?车间工人要将一个如图所示的破损的圆盘复原，确定它的尺寸（圆盘的大小），你有办法吗？思考：那么过几点可以确定一个圆呢？探究2 过两点作圆作圆，使它经过已知点A，B.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？探究3 过三点作圆问题1：经过同一直线上的A，B，C三点能作圆吗？问题2：作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？归纳：不在同一条直线上的三点确定一个圆讨论：如果三个点在同一直线时可以作圆吗？为什么？当A，B，C三点在同一条直线上时，因为到A，B 两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB 的垂直平分线与线段BC的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到A，B，C三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆，当A，B，C三点不在同一条直线上时，这两条垂直平分线的交点满足到A，B，C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．OA或OB或OC是半径．因为这两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，半径也唯一确定，所以只能作出一个满足条件的圆。

试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.由上可知，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．这个三角形叫这个圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况.1.以已知点O为圆心、线段a为半径作圆,可以作( )A.1个圆B.2个圆C.3个圆D.无数个圆2.下列语句正确的是( )A.直径是弦,弦是直径B.相等的圆心角所对的弦相等C.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴D.三点确定一个圆3.三角形的外心具有的性质是（）A.到三边的距离相等.B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形内.4.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C 的度数是________．5.如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD 交△ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．。

1、在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么其余两组也相等2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.3、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于其相对圆心角的一半。

4、确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆。

5、直线与圆位置关系：直线与圆相离 <=> d>r直线与圆相切 <=> d=r直线与圆相交 <=> d<r6、切线的性质：见切点，连半径，得垂直7、切线的判定：先判断直线与圆有无交点有交点，连半径，证垂直无交点，作垂直，证半径8、三角形的外心：三角形外接圆的圆心，它是三角形各边中垂线的交点，它到三角形各顶点的距离相等。

锐角三角形外心在三角形内；直角三角形外心在三角形斜边中点上；钝角三角形外心在三角形外。

9、三角形的内心：三角形内切圆的圆心，它是三角形各内角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等；三角形内心均在三角形内。

10、普通三角形内切圆半径：cb a S r ++=2（S 为三角形面积，a 、b 、c 为三角形的边） 直角三角形内切圆半径： 2c b a r -+=（c 为斜边，a 、b 为直角边） 11、正多边形： 内角和180)2(⋅-=n ；外角和=360 每个内角n 1802-n ⋅=）（ 每个外角=n360=中心角 正三角形的边长为a ，那么正三角形的中心角是120度，半径是a 33，边心距是a 63； 正四边形的边长为a ，那么正四边形的中心角是90度，半径是a 22，边心距是2a ； 正六边形的边长为a ，那么正六边形的中心角是60度，半径是a ，边心距是a 23。

12、弧长=180n r π 扇形面积lr r n 213602==π (l 为弧长，n 为所对圆心角，r 为半径) 13、圆柱侧面积=rh π2 圆柱表面积=222r rh ππ+（r 为底面半径，h 为侧面的高）14、圆锥侧面积=rl π 圆锥表面积=2r rl ππ+圆锥侧面展开图圆心角计算 1802l n r ππ= （l 为圆锥母线，r 为底面半径，在圆锥的侧面展开图中，母线l 将为成为扇形半径，底面周长成为扇形弧长）。