人教版-数学-八年级下册-《18.2菱形的性质与判定》练习题及答案

18.2.2 菱形的定义、性质（练习）知识点1：菱形的性质1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A ．对边平行B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．是轴对称图形2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是( )A ．AB ∥DC B ．AC ＝BDC ．AC ⊥BD D ．OA ＝OC3．(2015·青岛)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O 点，E ，F 分别是AB ，BC边上的中点，连接EF.若EF ＝3，BD ＝4，则菱形ABCD 的周长为( )A ．4B ．4 6C ．47D ．284．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，点E为垂足，连接DF ，则∠CDF 等于( )A ．80°B ．70°C ．65°D ．60°5．(2015·广东)如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC ＝60°，则对角线AC 的长是__ __．（第4题） （第5 题）6．(2015·晋江)如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，点E ，F 分别在边CD ，DA 上，且CE＝AF.求证：BE ＝BF.知识点2：菱形的面积7．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 分别等于8和6，将BD 沿CB 的方向平移，使点D 与点A 重合，点B 与CB 延长线上的点E 重合，则四边形AEBD 的面积等于( )A ．24B ．48C ．72D ．968．(2015·白银)如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过点O 的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为__ __．9．已知菱形ABCD 的周长为16 cm ，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．10．(2015·郑州)如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6，8，AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE 的长是( )A ．5 3B ．2 5C .485D .245。

人教版八年级数学下册18.2.2.1 菱形的性质同步练习一、选择题（共10小题，3*10=30）1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．(2019·贵阳)如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm3. 如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是()A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．BD＝DC D．AD＝BD4. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是()A．4 3 B．3 3 C．2 3 D. 35. 如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′. 当CA′的长度最小时，CQ的长为()A．5 B．7 C．8 D. 106.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则AE的长为()A．4B．4.8 C．2.4D．3.27. 已知菱形的周长为4 5 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为( )A ．2 B. 5 C ．3 D ．48. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC ＝4，BD ＝16，将△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C 重合时，点A 与点B′之间的距离为( )A ．6B ．8C ．10D ．129. 如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( )A ．245B ．125C ．5D ．410．如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE ＝1，AF ＝2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP ＋FP 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 菱形的两条对角线长分别是5和12，则此菱形的边长是_______，面积是_______．12．在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AB ＝7 cm ，则周长是________cm.13. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠ABC ＝110°，则∠BAD ＝________°， ∠ABD ＝________°，∠BCA ＝________°.14．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为_______．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为________．16．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为_______．17. 如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于________.18. 如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD 的周长为________.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，已知菱形的周长为40 cm，两邻角度数之比为1∶2.(1)求菱形的两条对角线的长；(2)求菱形的面积．20．(6分) 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：OE＝BC.21．(6分) 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE，若∠E＝50°，求∠BAO的大小．22．(6分) 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF.23．(6分) 如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.24．(8分) 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，∠DAC＝30°，BD＝12(1)求∠ABC的度数；(2)求菱形ABCD的面积．25．(8分) 在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．参考答案1-5DABBB 6-10 DDCAC11. 6.5，3012. 2813. 70，55，3514. 24 15. 2 316. 1217．4518．2419. 解：(1) ∵四边形ABCD 是菱形，两邻角度数之比为1∶2， ∴∠ABC=∠BAC=60°又∵菱形的周长为40 cm ，AC ＝AB=10 cm ，BD ＝2BO=2×AB 2-AO 2 =2×102-52 =10 3 cm(2)S 菱形＝12BD·AC ＝50 3 cm 2 20. 解：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠DOC ＝90°，∴四边形OCED 是矩形，∴OE ＝CD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝BC ，∴OE ＝BC21. 解：菱形ABCD 中，AB ＝BC ，∵BE ＝AB ，∴BC ＝BE ，∴∠BCE ＝∠E ＝50°，∴∠CBE ＝180°－50°×2＝80°，∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝∠CBE ＝80°，∴∠BAO ＝12×80°＝40°. 22. 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∵点E 、F 分别为边CD 、AD 的中点，∴AD ＝2DF ，CD ＝2DE ，∴DE ＝DF ，在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDF ，DE ＝DF ，∴△ADE ≌△CDF(SAS)．23. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC ， ∴∠BPA ＝∠DAE ，∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE ，∵∠ABF ＝∠BPF ，∠BPA ＝∠DAE ，∴∠ABF ＝∠DAE ， ∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(ASA)(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴AE ＝BF ，DE ＝AF ，∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF24. 解：(1)∵菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠DAC ＝30°， ∴∠BAD ＝2∠DAC ＝60°，∵AD ∥BC ，∴∠ABC ＝180°－60°＝120°；(2)∵菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，BD ＝12，∴AC ⊥BD ，DO ＝12BD ＝6， 又∵∠DAC ＝30°，∴AD ＝2DO ＝12，∴Rt △AOD 中，AO ＝122－62＝63，∴AC ＝2AO ＝123，∴菱形ABCD 的面积＝12×AC×BD ＝12×12×123＝72 3. 25. 解：(1)连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°，∵∠AEF ＝60°，∴∠FEC ＝90°－60°＝30°，∵∠C ＝180°－∠B ＝120°，∠C ＋∠EFC ＋∠FEC ＝180°， ∴∠EFC ＝30°，∴∠FEC ＝∠EFC ，∴CE ＝CF ，∵BC ＝CD ，∴BC －CE ＝CD －CF ，即BE ＝DF(2)连接AC ，由(1)得△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ， ∵∠BAE ＋∠EAC ＝60°，∠EAF ＝∠CAF ＋∠EAC ＝60°，∴∠BAE ＝∠CAF ，∵四边形ABCD 是菱形，∠B ＝60°，∴∠ACF ＝12∠BCD ＝∠B ＝60°， ∴△ABE ≌△ACF(ASA)，∴AE ＝AF ， 又∵∠EAF ＝60°，∴△AEF 是等边三角形。

八年级数学下册《菱形的性质与判定》练习题及答案解析1．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A．20B．24C．40D．482．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．如图，在菱形ABCD中，AC＝AB，则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°4．在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（）A．两条对角线相等B．两条对角线相等且互相垂直C．两条对角线互相垂直D．两条对角线互相垂直平分5．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC6．如图，要使平行四边形ABCD变为菱形，需要添加的条件是（）A．AC＝BD B．AD＝BC C．AB＝CD D．AB＝BC7．从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝CD8．菱形的周长为52，一条对角线长为10，则此菱形的面积为．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝．10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB于点H，则OH 的长为．11．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．12．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形．13．要使▱ABCD是菱形，你添加的条件是．（写出一种即可）14．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）15．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．16．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；（2）当∠ADB＝90°时，求证：四边形DEBF是菱形．18．如图，已知平行四边形ABCD，点E在AC的延长线上，连接BE、DE，过点D作DF∥EB交CA的延长线于点F，连接FB（1）求证：△DAF≌△BCE；（2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形BEDF是菱形．19．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．20．如图，在菱形ABCD中∠ABC＝60°，E为对角线AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，DE，AF，DF，∠EDF＝60°．（1）求证：AE＝CF；（2）若点G为BE的中点，连接AG，求证：AF＝2AG．21．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O．已知BC＝2OC，BF＝EF，G为CE中点，连接FG，AG（1）若CE＝8，∠ACE＝∠ACB，求AB；（2）求证：FG＝AG．参考答案与解析1．解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：A．2．解：设另一条对角线长为xcm，则×6•x＝12，解得x＝4．故选：B．3．解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∵AC＝AB，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°．故选：C．4．解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选D．5．解：需要添加的条件是AB＝BC；理由如下：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；故选：D．6．解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB＝BC．故选：D．7．解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形．不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形．符合题意；C、邻边相等的平行四边形是菱形．不符合题意；D、邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；故选：B．8．解：如图所示∵菱形的周长为52，即4AB＝52，∴AB＝13，∵AC＝10，∴AO＝AC＝5，∵AC⊥BD，在Rt△AOB中，由勾股定理得BO＝12，∴BD＝2BO＝24，∴菱形的面积＝×10×24＝120．故答案为：120．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，∵AC＝24，BD＝10，∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，∴BC＝13，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×DE，∴×24×10＝13×DE，解得：DE＝，故答案为：．10．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴BO＝3，AO＝4，AO⊥BO，∴AB＝＝＝5．∵OH⊥AB，∴AO•BO＝AB•OH，∴OH＝，故答案为：．11．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF．12．解：当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故答案为AB＝BC或AC⊥BD．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．14．解：OA＝OC，∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：OA＝OC．15．解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，＝180°，∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，∴∠AOD＝90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．17．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴EB＝DF，EB∥DF，∴四边形DEBF为平行四边形；（2）证明：∵∠ADB＝90°，E为边AB的中点，∴DE＝AB＝EB，∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF为菱形．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAF＝∠BCE，∵DF∥EB，∴∠DF A＝∠BEC，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（AAS）；（2）证明：连接BD，如图所示：由（1）得：△DAF≌△BCE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．19．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC＝DH＝DF＝6，∴DF＝2，∴菱形BEDF的边长为2．20．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ADC＝∠ABC＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴AD＝AC＝AB＝BC，∴△ACB是等边三角形，∴∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠ACF＝120°，∵∠ADC＝∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠CDF，∵∠EDF+∠ECF+∠DEC+∠DFC＝360°，∴∠DEC+∠DFC＝180°，∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠DFC，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF；（2）如图，过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H，∵BH∥AC，∴∠H＝∠GAE，∠ABH+∠BAC＝180°，∴∠ABH＝120°＝∠ACF，∵点G为BE的中点，∴BG＝GE，在△AGE和△HGB中，，∴△AGE≌△HGB（AAS），∴AE＝BH＝CF，AG＝GH＝AH，在△ABH和△ACF中，，∴△ABH≌△ACF（SAS），∴AF＝AH，∴AF＝2AG．21．（1）解：延长EF与BC交于点K∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∵BC＝2OC∠OBC＝30°，∴∠EBF＝30°，∴∠BEF＝30°，∠ABC＝60°，∠EKB＝90°，∠ACB＝60°∠ACE＝∠ACB＝×60°＝15°，∠ECK＝45°，在Rt△CKE中，EK＝CK＝CE＝，在Rt△EKB中，BK＝∴BC＝，即AB＝；（2）证明：延长FG至点H，使GH＝FG，连接CH，AH．∵G为CE中点，∴EG＝GC，在△EFG与△CHG中，，△EFG≌△CHG（SAS），∴EF＝CH，∠CHG＝∠EFG，∴CH＝BF，CH∥EF，由（1）可知∠EBC＝60°，∠EKB＝90°，∠BCD＝120°，∴∠HCB＝90°，∠ACH＝∠BCD﹣∠HCB＝120°﹣90°＝30°，∴∠ABF＝∠ACH，在△AFB与△AHC中，△AFB≌△AHC（SAS），∴AF＝AH，∠BAF＝∠CAH∵FG＝GH，∴AG⊥FG，∴∠F AG＝∠HAG∵∠BAC＝∠BAF+∠F AC＝60°，∴∠CAH+∠F AC＝60°，即∠F AH＝60°，∴∠F AG＝∠HAG＝30°，∴。

18.2.2 菱形第1课时菱形的性质1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2、菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（）A. 168cm2B. 336cm2C. 672cm2D. 84cm23、下列语句中，错误的是（）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm，8 cm，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，已知AB＝5, AO＝4，求对角线BD 和菱形ABCD的面积.6、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于（）．（A）3：2 （B）3：3（C）1：2 （D）3：17、菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。

8、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm，求菱形ABCD的高DH。

9、如右上图，在菱形ABCD中,∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．10、在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．11、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）12、（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：113、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．14、如右上图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．15、【提高题】如图，在菱形ABCD中，顶点A到边BC、CD的距离AE、AF都为5，EF＝6，那么，菱形ABCD的边长是_____菱形的性质答案1、【答案】 C2、【答案】 B3、【答案】 D4、【答案】 5 cm；24 cm25、【答案】BD=6，面积是24.6、【答案】B7、【答案】24 cm28、【答案】9.6cm9、【答案】60°10、【答案】（1）BD=12cm，3（2）S菱形ABCD3cm211、【答案】 A12、【答案】 C1213、【答案】5214、【答案】312515、【答案】24【提示】方程加勾股定理中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

人教版八年级下册数学菱形的性质与判定同步训练1．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD交于点F，AE＝AB．（1）若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝15，BE＝2EC，求EF的长．2．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动．（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，▱AECF是菱形；（3）求（2）中菱形AECF的面积．3．在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C 作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAB＝60°，且AB＝4，求OE的长．4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF．（1）求证：四边形CDEF为菱形；（2）连接DF交AC于点G，若DF＝2，CD＝，求AD的长．5．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠A＝75°，AC＝4，求菱形DFCE的面积．6．如图，▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点，∠BAC＝90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BC＝4，∠B＝60°，求四边形AECF的面积．7．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB＝6，BC＝8，求EF的长．8．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，且AE＝AF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若∠EAF＝60°，CF＝2，求菱形ABCD的面积．9．在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，且BE＝DF．（1）如图1，求证：▱ABCD是菱形；（2）如图2，连接BD，交AE于点G，交AF于点H，连接EF、FG，若∠CEF＝30°，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中面积是△BEG面积2倍的所有三角形．10．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若∠DGB＝60°，GC＝4，求菱形DGCE的面积．11．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的角平分线与AB相交于点F，与CB的延长线相交于点E连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形．（2）若四边形ABCD是菱形，DC＝10，则菱形AEBD的面积是．（直接填空，不必证明）12．如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若BD＝8，AC＝6，求DE的长．13．如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，连接DA、DF，且AD＝2DF，过点B 作AD的平行线交FD的延长线于点E．（1）求证：四边形ABED为菱形；（2）若BD＝6，∠E＝60°，求四边形ABEF的面积．14．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD 的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝2，求AC的长．15．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝12，求EF的长．参考答案1．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC∴∠ADB＝∠DBC．∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB．∵∠AEB＝2∠ADB，∴∠ABE＝2∠DBC．∵∠ABE＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴△AFD∽△EFB，∴＝．∵AD＝BC，BE＝2EC，∴＝＝，∵AE＝AB＝15，∴＝，∴EF＝6．2．解：（1）若四边形AECF为平行四边形，∴AO＝OC，EO＝OF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO＝OD＝6cm，∴EO＝6﹣t，OF＝2t，∴6﹣t＝2t，∴t＝2s，∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，∴AO2+BO2＝AB2，∴AB＝＝3；∴当AB为3时，▱AECF是菱形；（3）∵四边形AECF是菱形，∴BO⊥AC，OE＝OF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，∴BE＝DF，∴t＝6﹣2t，∴t＝2，∴BE＝DF＝2，∴EF＝8，∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝6×8＝24．3．证明：（1）∵AB∥DC，∴∠CAB＝∠ACD．∵AC平分∠BAD，∴∠CAB＝∠CAD．∴∠CAD＝∠ACD，∴DA＝DC．∵AB＝AD，∴AB＝DC．∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°．∴OB＝2，AO＝OC＝2．∵CE∥DB，∴四边形DBEC是平行四边形．∴CE＝DB＝4，∠ACE＝90°．∴．4．证明：（1）∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，∴EF＝AB，EF∥AB，CF＝BC，AE＝CE∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，∵AB＝BC＝2CD∴EF＝CF＝CD，且AB∥CD∥EF，∴四边形DEFC是平行四边形，且EF＝CF∴四边形CDEF为菱形；（2）如图，DF与EC交于点G∵四边形CDEF为菱形，DF＝2，∴DG＝1，DF⊥CE，EG＝GC，∴EG＝GC＝＝∴AE＝CE＝2EG＝∴AG＝AE+EG＝4∴AD＝＝5．（1）证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴DE＝DF，∴四边形DFCE是菱形；（2）过E作EG⊥BC于G，∵AC＝BC，∠A＝75°，∴∠B＝∠A＝75°，∴∠C＝30°，∴EG＝CE＝AC＝1，∴菱形DFCE的面积＝2×1＝2．6．解：（1）∵在▱ABCD中，∴BC＝AD，BC∥AD，又∵E，F分别是边BC，AD的中点，∴EC＝BC，AF＝AD，∴EC＝AF，∴四边形AECF为平行四边形．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC边中点，∴AE＝EC，∴四边形AECF是菱形；（2）如图，连接EF交AC于点O，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝4，∴AB＝2，AC＝2，∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB＝1，∴EF＝2，＝AC•EF＝×2×2＝2．∴S菱形AECF7．证明：（1）∵EF是对角线AC的垂直平分线，∴AO＝CO，AC⊥EF，∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；（2）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝，∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝FC，在Rt△ABF中，设AF＝FC＝x，则BF＝8﹣x∴AB2+BF2＝AF2，∴62+（8﹣x）2＝x2，∴x＝，∴OF＝，∴EF＝2OF＝．8．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵AE＝AF，∴Rt△AEB≌Rt△AFD（AAS）．∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）连接AC，如图．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF＝60°，∴∠ECF＝120°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACF＝60°，在Rt△CFA中，AF＝CF•tan∠ACF＝2．∴菱形ABCD的面积＝．9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形；（2）解：图中面积是△BEG面积2倍的所有三角形为△ABG、△ADH、△AGH、△DFG；理由如下：连接AC交BD于O，如图所示：则AC⊥BD，∵BC＝CD，BE＝DF，∴BE：BC＝DF：CD，∴EF∥BD，∴∠CBD＝∠CEF＝30°，∴∠ABC＝60°，∵▱ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB，∴△ABC是等边三角形，∠EBG＝∠FDH，∴∠BAG＝∠ABG，∴AG＝BG，同理：AH＝DH，∵AE⊥BC，∴BE＝BC＝AB，∵▱ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分线，∴点G到AB与BC边上的高相等，∴S△ABG ＝2S△BEG，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（ASA），∴△BEG的面积＝△DFH的面积，BG＝DH，∴AG＝AH，∵△AEB≌△AFD，∴S△ABG ＝S△ADH，∴S△ADH＝2S△BEG；∵∠GAH＝∠OAG+∠OAH＝60°，∴△AGH是等边三角形，∴GH＝AG＝AH＝BG＝DH，OG＝AG＝EG，OA＝OG＝BE，∴△AGH的面积＝2△BEG的面积，∴△GHF的面积＝△DFH的面积，∴△DFG的面积＝2△BEG的面积；∴图中面积是△BEG面积2倍的三角形为：△ABG、△ADH、△AGH、△DFG．10．证明：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCG，∵EG垂直平分CD∴DG＝CG，DE＝EC，∴∠DCG＝∠GDC，∠ACD＝∠EDC∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC∴CE∥DG，DE∥GC∴四边形DECG是平行四边形，且DE＝EC∴四边形DGCE是菱形（2）如图，过点D作DH⊥BC，∵四边形DGCE是菱形，∴DE＝DG＝GC＝4，DG∥EC在Rt△DGH中，∠DGB＝60°∴DH＝DG cos30°＝2∴菱形DGCE的面积＝GC×DH＝811．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠ADE＝∠DEB，∵DE平分∠ADB∴∠ADE＝∠BDE∴∠BED＝∠BDE∴BE＝BD，且BD＝DA∴AD＝BE，且AD∥BE∴四边形ADBE是平行四边形且AD＝BD∴四边形AEBD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD＝CD＝10，且AD＝BD∴△ABD是等边三角形∴∠BAD＝60°∵四边形AEBD是菱形∴AF＝BF，AB⊥DE，EF＝DF，∴∠ADF＝30°∴AF＝5，DF＝5∴DE＝10∴菱形AEBD的面积＝×10×10＝50故答案为：5012．（1）证明：∵O为△ABC边AC的中点，AD∥BC，∴OA＝OC，∠OAD＝∠OCB，∠ADB＝∠CBD，在△OAD和△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝BD＝4，OC＝AC＝3，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝5，∵DE⊥BC，∴∠E＝90°＝∠BOC，∵∠OBC＝∠EBD，∴△BOC∽△BED，∴＝，即＝，∴DE＝．13．（1）证明：在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥AB，DF＝AB，∵BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∵AD＝2DF，∴AD＝AB，∴四边形ABED为菱形；（2）解：过B作BG⊥EF于G，∵四边形ABED为菱形，∴AB＝BE＝DE＝BD＝6，∴DF＝3，EF＝9，∵∠E＝60°，∴△BDE是等边三角形，∵BG⊥EF，∴DG＝DE＝3，∴BG＝DG＝3，∴四边形ABEF的面积＝＝．14．（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝2，∵AD＝2BC＝4，∴sin∠ADB＝，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，∵AD＝4，∴CD＝2，AC＝2．15．（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝CE＝BC，∴四边形AECD是菱形；（2）解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，∵△ABC的面积＝BC×AH＝AB×AC，∴AH＝＝，∵点E是BC的中点，四边形AECD是菱形，∴CD＝CE，＝CE•AH＝CD•EF，∵S▱AECD∴EF＝AH＝．。

八年级数学下册《菱形的判定》练习满分100分80分过关限时30分钟一．选择题（共4小题）1．下列可以判断是菱形的是()A．一组对边平行且相等的四边形B．对角线相等的平行四边形C．对角线垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有()①当AB BC=时，四边形ABCD是菱形；②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；③当90ABC∠=︒时，四边形ABCD是菱形：④当AC BD=时，四边形ABCD是菱形；A．3个B．4个C．1个D．2个3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA OC=．若要使四边=，OB OD形ABCD为菱形，则可以添加的条件是()A．AC BDAOB⊥∠=︒D．AC BD⊥C．60=B．AB BC4．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OAB OAD=，那么下列条件∠=∠，BO DO中不能判定四边形ABCD是菱形的为()A．OA OC==D．AD DC=B．BC DC=C．AD BC第3题图第4题图二．填空题（共4小题）5．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB OD=，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）6．如图在Rt ABCAC=，6BC=，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平ACB∆中，90∠=︒，8行四边形CDEB，当AD=时，平行四边形CDEB为菱形．7．如图所示，四边形ABCD中，AC BDBO DO==，6==，点P为线段AC上AO CO⊥于点O，8的一个动点．（1）填空：AD CD==．（2）过点P分别作PM AD⊥于M点，作PH DC⊥于H点．连结PB，在点P运动过程中，++的最小值为．PM PH PB8．如图1，边长为a 的正方形发生形变后成为边长为a 的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h ，我们把a h的值叫做这个菱形的“形变度”．例如，当形变后的菱形是如图2形状（被对角线BD 分成2个等边三角形），则这个菱形的“形变度”为2:3．如图3，正方形由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形，(AEF A ∆、E 、F 是格点）同时形变为△A E F '''，若这个菱形的“形变度” 1615k =，则A E F S '''=V ．三．解答题（共2小题）9．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，AH BC ⊥，点E 是AH 上一点，延长AH 至点F ，使FH EH =．求证：四边形EBFC 是菱形．10．如图（1），ABC ∆为等腰三角形，AB AC a ==，P 点是底边BC 上的一个动点，//PD AC ，//PE AB ． （1）用a 表示四边形ADPE 的周长为 ；（2）点P 运动到什么位置时，四边形ADPE 是菱形，请说明理由；（3）如果ABC ∆不是等腰三角形（图2)，其他条件不变，点P 运动到什么位置时，四边形ADPE 是菱形（不必说明理由）．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）【分析】由菱形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的四边形不一定是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定是本题的关键．【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【解答】解：Q四边形ABCD是平行四边形，=时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；∴①当AB BC②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；③当90∠=︒时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；ABC④当AC BD=时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．【分析】由条件OA OC=根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四=，OB OD边形，再由矩形和菱形的判定定理即可得出结论．【解答】解：OA OC=，Q，OB OD=∴四边形ABCD为平行四边形，A、AC BDQ，=∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、AB BCQ，⊥∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；Q，∠=︒AOBC、60不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、AC BDQ，⊥∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定；关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【分析】利用菱形的判定依次进行判断即可．【解答】解：A、若AO OC=，=，且BO DO∴四边形ABCD是平行四边形，//∴AB CD∠=∠BAO OCD∴∠=∠，且OAB OAD∴∠=∠OAD OCD∴=，AD CD∴四边形ABCD是菱形故A选项不符合题意B、若BC DC==，BO DO∴是BD的垂直平分线AC∴=AB AD则不能判断四边形ABCD是菱形故B选项符合题意，=，Q，BO DOC、OAB OAD∠=∠∴=，且BO DOAB AD=∴垂直平分BDAC=BC CD∴=，且AD BC∴===AB AD BC CD∴四边形ABCD是菱形故C选项不符合题意D、OAB OAD=，∠=∠Q，BO DO∴=，且BO DOAB AD=AC∴垂直平分BD=BC CD∴=，且AD CD∴===AB AD BC CD∴四边形ABCD是菱形故D选项不符合题意故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，熟练地掌握菱形的判定，注意与矩形、正方形、平行四边形的判定进行比较，是提高同学们综合能力的关键． 二．填空题（共4小题）【分析】可以添加条件OA OC =，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论． 【解答】解：OA OC =， OB OD =Q ，OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥Q ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故答案为：OA OC =．【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．【分析】首先根据勾股定理求得10AB =，由菱形的性质可得OD OB =，CD CB =，根据勾股定理可得OB 的值，由2AD AB OB =-可求AD 的长． 【解答】解：如图，连接CE 交AB 于点O ． Rt ABC ∆Q 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，2210AB AC BC ∴=+=若平行四边形CDEB 为菱形时，CE BD ⊥，OD OB =，CD CB =． Q1122AB OC AC BC =g g ， 245OC ∴=． 22185OB BC OC ∴=-= 1425AD AB OB ∴=-=故答案为：145【点评】本题考查了菱形的判定与性质．求出OB 的长是本题的关键．【分析】（1）在ADO ∆中，由勾股定理可求得10AD =，由AC BD ⊥，AO CO =，可知DO 是AC 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知AD DC =；（2）由PM PH +为定值，当PB 最短时，PM PH PB ++有最小值，由垂线的性质可知当点P 与点O 重合时，OB 有最小值．【解答】解：（1）AC BD ⊥Q 于点O ， AOD ∴∆为直角三角形．22228610AD AO OD ∴=+=+=． AC BD ⊥Q 于点O ，AO CO =， 10CD AD ∴==．故答案为：10；（2）如图1所示：连接PD ．ADP CDP ADC S S S ∆∆∆+=Q ，∴111222AD PM DC PH AC OD +=g g g ，即1111010166222PM PH ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯． 10()166PM PH ∴⨯+=⨯． 9648105PM PH ∴+==， ∴当PB 最短时，PM PH PB ++有最小值，Q 由垂线段最短可知：当BP AC ⊥时，PB 最短．∴当点P 与点O 重合时，PM PH PB ++有最小，最小值4878655=+=． 故答案为：10，785． 【点评】本题主要考查了勾股定理、垂线段的性质、三角形的面积公式、垂线段的性质，利用面积以及三角形的面公式求得PM PH +的值是解答问题（2）的关键；利用垂线段的性质得到BP 垂直于AC 时，PM PH PB ++有最小值是解答问题（3）的关键．【分析】求出形变前正方形的面积，形变后菱形的面积，两面积之比=菱形的“形变度”，求AEF ∆的面积，根据两面积之比=菱形的“形变度”，即可解答． 【解答】解：如图，在图2中，形变前正方形的面积为：2a ，形变后的菱形的面积为：233a =g， ∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比：22323a = Q 这个菱形的“形变度”为23∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比=这个菱形的“形变度”，112222422AEF S ∆=⨯⨯+⨯⨯=，Q 若这个菱形的“形变度” 1615k =， ∴1615AEF A E F S S ∆'''=V ，即41615A E F S '''=V ， 154A E F S '''∴=V ． 故答案为：154． 【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质以及四边形综合，根据题意得出菱形形变前的面积与形变后的面积之比是解题关键． 三．解答题（共2小题）【分析】根据题意可证得BCE ∆为等腰三角形，由AH CB ⊥，则BH HC =，从而得出四边形EBFC 是菱形． 【解答】证明：AB AC =Q ，AH CB ⊥，BH HC ∴=，……………………………………………………3分FH EH =Q ，∴四边形EBFC 是平行四边形，………………………………6分又AH CB ⊥Q ，∴四边形EBFC 是菱形．………………………………………10分【点评】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．【分析】（1）由题意可得四边形ADPE 为平行四边形，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得DB DP =，即可求四边形ADPE 的周长；（2）当P 为BC 中点时，四边形ADPE 是菱形，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得AE EP =，则平行四边形ADPE 是菱形；（3）P 运动到A ∠的平分线上时，四边形ADPE 是菱形，首先证明四边形ADPE 是平行四边形，再根据平行线的性质可得13∠=∠，从而可证出23∠=∠，进而可得AE EP =，然后可得四边形ADPE 是菱形． 【解答】解：（1）//PD AC Q ，//PE AB∴四边形ADPE 为平行四边形AD PE ∴=，DP AE =，AB AC =Q B C ∴∠=∠， //DP AC QB DPB ∴∠=∠ DB DP ∴=∴四边形ADPE 的周长2()2()22AD DP AD BD AB a =+=+==故答案为：2a …………………………………………………………………………2分 （2）当P 为BC 中点时，四边形ADPE 是菱形．………………………………3分 理由如下：连结AP ……………………………………………………………………………4分//PD AC Q ，//PE AB∴四边形ADPE 为平行四边形…………………………………………………………5分AB AC =Q ，P 为BC 中点PAD PAE ∴∠=∠…………………………………………………………………………6分//PE AB QPAD APE ∴∠=∠ PAE APE ∴∠=∠EA EP∴=………………………………………………………………………………7分∴四边形ADPE是菱形…………………………………………………………………8分（3）P运动到A∠的平分线上时，四边形ADPE是菱形，…………………………10分PE AB，Q，//PD AC//∴四边形ADPE是平行四边形，Q平分BACAP∠，∴∠=∠，12//Q，AB EP∴∠=∠，13∴∠=∠，23∴=，AE EP∴四边形ADPE是菱形．【点评】本题主要考查了菱形的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．。

矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选矩形的性质和判定1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的和为15，则短边的长是________。

2．如图32-3-1，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1____S2。

3．如果矩形一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm两部分，那么矩形的周长为_______。

4．现有一张长为40cm, 宽为20 cm的长方形纸片（如图32-3-2所示），要从中剪出长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪出___张。

5．矩形的一条较短边的长为5 c m，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于_____ cm。

6．如图32-3-3，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=____度。

7．下列说法中正确的是( )A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形。

B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形。

C．对角线互相垂直的平行四边开是矩形。

D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。

8．四边形ABCD的对角线相交于O，在下列条件中，不能说明它为矩形的是（）A．AB=CD,AD=BC, BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°, ∠BAD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD, ∠ABC+∠ADC=180°★菱形的性质和判定9．己知菱形的锐角是60°，边长是20 cm，则较长对角线是_____。

10．菱形两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，它的高为______。

11．菱形的一个内角是120°，平分这个内角的一条对角钱长为13 cm，则菱形的周长是____。

12．菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是_____。

§18.2.2.1菱形的性质一、知识导航1.菱形的定义：有一组邻边相等的四边形叫做菱形注意：（1）矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一组邻边相等，二者缺一不可；（2）菱形的定义既是它的性质，也是它的判定方法；（3）一组邻边相等的四边形不一定是菱形.2.菱形的性质类别性质符号语言图形边菱形的四条边都相等 四边形ABCD是菱形AB BC CD DA ∴===对角线菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角四边形ABCD是菱形,,,AC BD OA OC OB OD∴⊥==,ABD CBD ADB CDB∠=∠=∠=∠BAC DAC BCA DCA∠=∠=∠=∠对称性矩形是轴对称图形，具有两条对称轴（即对角线所在的直线）3.菱形面积计算（1）平行四边形的面积公式：底×高（2）两条对角线长的积的一半二、重难点突破重点1利用菱形的性质求线段长度例1.菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（）A．5B．10C．20D．24【答案】C【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分这一性质解题即可.【详解】解：由于菱形的两条对角线的长为6和8，，∴菱形的周长为：4×5=20，故选：C．【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．变式1-1如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE 的长等于（）A ．2B ．3.5C ．7D ．14【答案】B 【分析】由菱形的周长可求得AB 的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0【详解】∵四边形ABCD 为菱形，∴AB 14=⨯28=7，且O 为BD 的中点．∵E 为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE 12=AB =3.5．故选B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，由条件确定出OE 为△ABD 的中位线是解题的关键．变式1-2如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（）A ．125B ．185C ．4D ．245【答案】D【分析】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高DE 即可．【详解】记AC 与BD 的交点为O ，菱形ABCD ,6,AC =,3,,AC BD OA OC OB OD ∴⊥===5,AB = 22534,8,OB BD ∴=-==∴菱形的面积16824,2=⨯⨯=,DE AB ⊥ ∴菱形的面积,AB DE =∙524,DE ∴=24.5DE ∴=故选D ．【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键．变式1-3如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE PF +的值为（）A ．4B ．245C ．6D ．485【答案】B 【分析】连接BP ，通过菱形ABCD 的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC 的面积，然后利用面积法，SABP +SCBP =SABC ，即可求出PE PF +的值．【详解】连接BP ，∵菱形ABCD 的周长为20，∴AB =BC =20÷4=5，又∵菱形ABCD 的面积为24，∴SABC =24÷2=12，又SABC =SABP +SCBP∴SABP +SCBP =12，∴111222AB PF BC PE += ，重点点拨：当菱形的一个内角为120°或60°时，菱形被其对角线分为4个含30°角的直角三角形；菱形较短的一条对角线将其分成两个等边三角形，因此可利用其性质进行计算.∵AB =BC ，∴()1122AB PE PF += ∵AB =5，∴PE +PF =12×25=245．故选：B．【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF +PE 的值．重点2利用菱形的性质求角度例2.如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒【答案】A 【分析】由菱形得到AB=AD ，进而得到∠ADB=∠ABD ，再由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．变式2-1如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若50BCD ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°【答案】C 【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE BE OD ==，根据菱形性质可得1652DBE ABC ∠︒=∠=，从而得到OEB ∠度数，再依据90OED OEB -∠︒∠=即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∠BCD =50°，∴O 为BD 中点，∠DBE =12∠ABC =65°．∵DE ⊥BC ，∴在Rt △BDE 中，OE =OB =OD ，∴∠OEB =∠OBE =65°．∴∠OED =90°-65°=25°．故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．变式2-2如图，在菱形ABCD 中，,AE AF 分别垂直平分,BC CD ，垂足分别为,E F ，则EAF∠的度数是（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质可得出△ABC 、△ACD 是等边三角形，从而先求得∠B =60°，∠C =120°，在四边形AECF 中，利用四边形的内角和为360°可求出∠EAF 的度数．【详解】解：连接AC ，∵AE垂直平分边BC，∴AB=AC，又∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠BCD=120°，又∵AF垂直平分边CD，∴在四边形AECF中，∠EAF=360°-180°-120°=60°．故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，及菱形四边形等的性质．变式2-3如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当100BAD∠=︒时，则CDF∠=（）A．15︒B．30°C．40︒D．50︒【答案】B【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAC=50°，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角可得∠FBA=∠FAB，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后求出∠CBF，最后根据菱形的对称性可得∠CDF=∠CBF．【详解】如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC=12∠BAD=12×100°=50°，∵EF是AB的垂直平分线，∴∠FBA=∠FAB=50°，∵菱形ABCD的对边AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80°，∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=80°-50°=30°，由菱形的对称性，∠CDF=∠CBF=30°．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记各性质是解题的关键．重点3利用菱形的性质计算面积及其应用例3.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2【答案】B【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x 的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．【详解】解：设菱形的对角线分别为8x和6x，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2+（3x）2=25，解得x=1，故菱形的对角线分别为8cm和6cm，所以菱形的面积=12×8×6=24cm2，重点点拨：在菱形中已知边要求角的度数时需要利用矩形的性质和特殊三角形的性质找到角的关系，这些所求角度一般为45°，60°等特殊角度【点睛】本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．变式3-1已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（）A．B．8C．D．【答案】D【分析】根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果．【详解】解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，∵菱形的周长为8，∴边长AB＝2，∴菱形的对角线AC＝2，BD＝2×2sin60°＝∴菱形的面积＝12 AC•BD＝12故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质，解题关键是掌握菱形的性质．变式3-2如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为（）A．96B．48C．24D．6【答案】C【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．【详解】解：∵BD＝4，AC＝3BD，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积为12AC×BD＝11242⨯⨯＝24．故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的性质，利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．重点4利用菱形的性质证明线段相等例4.如图，在菱形ABCD 中，BE ⊥CD 于点E ．DF ⊥BC 于点F ．求证：BF ＝DE；【分析】根据菱形的性质得到CB =CD ，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴CB =CD ，∵BE ⊥CD 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴∠BEC =∠DFC =90°，∵∠C =∠C ，∴△BEC ≌△DFC （AAS ），∴EC =FC ，∴CD －CE ＝CB －CF∴BF =DE ；【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．变式4如图，菱形ABCD 的边长为1，=60ABC ∠︒，点E 是边AB 上任意一点（端点除外），线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，G ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．求证：AF EF =；重点点拨：菱形的对角线容易作为一个直角三角形的斜边，这样两条对角线的交点也是斜边的中点；菱形的面积等于对角线乘积的一半重点点拨：利用菱形的性质证明边的相等关系时，常常会与全等三角形的性质和判定、等腰（边）三角形的性质和判定相结合【分析】连接CF ，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF=EF 和CF=AF 即可得证；【详解】连接CF ，∵FG 垂直平分CE ，∴CF=EF ，∵四边形ABCD 为菱形，∴A 和C 关于对角线BD 对称，∴CF=AF ，∴AF=EF；【点睛】本题考查了菱形的性质，最短路径，等边三角形的判定和性质，中位线定理，难度一般，题中线段较多，需要理清线段之间的关系．重点5利用菱形的性质证明角相等例5.已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．求证：∠AFD ＝∠CBE．【分析】根据菱形的性质得出∠BCE ＝∠DCE ，BC ＝CD ，AB ∥CD ，推出∠AFD ＝∠CDE ，证△BCE ≌△DCE ，推出∠CBE ＝∠CDE 即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCE ＝∠DCE ，BC ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠AFD ＝∠CDE ，在△BCE 和△DCE 中BC CD BCE DCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE ≌△DCE ，∴∠CBE ＝∠CDE ，∵∠AFD ＝∠CDE ，∴∠AFD ＝∠CBE ．【点睛】考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△BCE ≌△DCE 是解题关键．变式5如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，求证：∠DHO =∠DCO．【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD =OB ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH =OB ，然后根据等边对等角求出∠OHB =∠OBH ，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH =∠ODC ，然后根据等角的余角相等证明即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB ，∠COD =90°，∵DH ⊥AB ，∴OH =12BD =OB ，∴∠OHB =∠OBH ，又∵AB ∥CD ，∴∠OBH =∠ODC ，在Rt △COD 中，∠ODC +∠DCO =90°，在Rt △DHB 中，∠DHO +∠OHB =90°，∴∠DHO =∠DCO ．【点睛】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．难点6菱形中的图形变换问题例6.如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（）A 3B ．2C ．23D ．4【答案】B 【分析】根据菱形的性质证明△ABD 是等边三角形，求得BD=4，再证明EF 是△ABD 的中位线即可得到结论．【详解】解：连接AC ，BD∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BD 平分∠ABC ，4AB BC CD DA ====重点点拨：利用菱形的性质证明角的相等关系时，常常会与全等三角形的性质和判定、等腰（边）三角形的性质和判定相结合∴∠111206022ABD ABC ︒=∠=⨯=︒∵AB AD =∴△ABD 是等边三角形，∴ 4.BD =由折叠的性质得：EF AO ⊥，EF 平分AO ，又∵BD AC ⊥，∴//EF BD∴EF 为△ABD 的中位线，∴122EF BD ==故选：B ．【点睛】本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．变式6-1如图，在菱形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 长分别为16、12，折叠纸片使点A 落在DB 上，折痕交AC 于点P ，则DP 的长为（）A ．BC ．D ．【答案】A 【分析】首先设O 点的对应点为E ，连接PE ，由菱形的性质，可求得OD ，OA 与AD 的长，由折叠的性质，根据勾股定理可得方程：即（8-x ）2=42+x 2，可求x 的值，由勾股定理可求DP 的长．【详解】解：设O 点的对应点为E ，连接PE ，由折叠的性质可得：PE=OP ，DE=OD ，∵四边形ABCD 是菱形，1111,168,1262222AC BD OA AC OB BD ∴⊥==⨯===⨯=10AD ∴==设OP=x，则PE=x，AE=AD-DE=10-6=4，AP=OA-OP=8-x，在Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即（8-x）2=42+x2，解得：x=3，即OP=3，DP∴===故选A．【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合与方程思想的应用．变式6-2如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB中点．折叠该纸片使点C落在点C′处且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的大小为（）A．30°B．40°C．45°D．60°【答案】C【分析】连接BD，首先根据∠A=60°，AB=AD，得到△ABD是等边三角形，然后根据等边三角形三线合一的性质得到DP⊥AB，然后根据平行线的性质得到∠CDP=∠APD=90°，最后根据折叠的性质求解即可．【详解】如图，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∠ADC=120°，∵点P是AB的中点，∴DP⊥AB，∵CD AB，∴∠CDP=∠APD=90°，∴由折叠的性质可得：∠CDE=12∠CDP=45°．故选：C．【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质以及折叠的性质等知识，解题的关键是在含有60°内角的菱形中，连接较短的对角线，把菱形分成的两个三角形是等边三角形．难点7菱形中的最值问题例7.如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP +PN 的最小值是（）A ．12B ．1C 2D ．2【答案】B 【分析】先作点M 关于AC 的对称点M ′，连接M ′N 交AC 于P ，此时MP +NP 有最小值．然后证明四边形ABNM ′为平行四边形，即可求出MP +NP =M ′N =AB =1．【详解】如图难点点拨：解决菱形问题的思考方向：①边；②对角线.有60°的特殊角，就可以由菱形的性质构造等边三角形解决问题；有等边三角形，有中点，会出现“三线合一”作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N 的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′=BN，∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，故选B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，以及最小值问题，解题关键在于熟练掌握菱形性质以及求最值的作图方式.变式7如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．【详解】∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质；轴对称-最短路线问题三、提升训练1.下列结论中，不正确的是（）A ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形D ．菱形的面积等于对角线乘积的一半难点点拨：解决线段之和最小问题，一般转化为解决“两点之间，线段最短”问题.“两点一线”型：()minPA PB +“一点两线”型：()min ''''''ABC C AB AC BC A B A C BC A A ∆=++=++=【答案】C【分析】由菱形和矩形的判定得出A 、B 正确，由等腰梯形的判定得出C 不正确，由对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，得出D 正确，即可得出结论．【详解】解：A.∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴A 正确；B.∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴B 正确；C.∵一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，∴C 不正确；D.∵对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，∴D 正确；故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及四边形面积；熟记菱形，矩形和等腰梯形的判定方法是解题的关键．2.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE 间的距离，若AE 间的距离调节到60cm ，菱形的边长20AB cm =，则DAB ∠的度数是（）A ．90︒B ．100︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得,//AB BC AD BC =，再根据全等的性质可得1203AC AE cm ==，然后根据等边三角形的判定与性质可得60B ∠=︒，最后根据平行线的性质即可得．【详解】如图，连接AC四边形ABCD 是菱形20,//AB BC cm AD BC∴== 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，60AE cm =1203AC AE cm ∴==AB BC AC∴==ABC ∴ 是等边三角形60B ∴∠=︒//AD BC180********DAB B ∴∠=︒=∠=︒-︒-︒故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．3.如图，在△ABC 中，AD 平分BAC ∠，DE AC ∥交AB 于点E ，DF AB ∥交AC 于点F ，若8AF =，则四边形AEDF 的周长是（）A ．24B ．28C ．32D ．36【答案】C 【分析】由题意知四边形AEDF 是平行四边形，有BAD ADF ∠=∠，AE DF AF DE ==，，AD 平分BAC ∠，可得BAD CAD ADF ∠=∠=∠，AF DF =，平行四边形AEDF 是菱形，进而计算周长即可．【详解】∵DE AC DF AB∥，∥∴四边形AEDF 是平行四边形∴BAD ADF ∠=∠，AE DF AF DE==，∵AD 平分BAC∠∴BAD CAD ADF∠=∠=∠∴AF DF=∴平行四边形AEDF 是菱形∴432AE DE DF AF AF +++==故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定．解题的关键在于对知识的灵活运用．4.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A ．20B ．24C ．40D ．48【答案】A 【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．【详解】由菱形对角线性质知，AO =12AC =3，BO =12BD =4，且AO ⊥BO ，则AB =5，故这个菱形的周长L=4AB =20．故选A ．【点睛】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB 的长是解题的关键，难度一般．5.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，∠CAD ＝20°，则∠DHO 的度数是（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得OD ＝OB ，AB ∥CD ，BD ⊥AC ，则利用DH ⊥AB 得到DH ⊥CD ，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数.【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，∴OH＝OD＝OB，∴∠1＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，∵BD⊥AC，∴∠2+∠DCO＝90°，∴∠1＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝20°，∴∠DHO＝20°，故选A．【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．245B．125C．5D．4【答案】A【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，∵AC＝8，DB＝6，∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，由勾股定理得：AB5，∵S菱形ABCD＝12AC BD AB DE ⨯⨯=⨯，∴18652DH ⨯⨯=⨯，∴DH＝24 5，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝12×AC×BD＝AB×DH是解此题的关键．7.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝135°，DH⊥AB于H，交对角线AC于E，过E作EF⊥AD 于F．若△DEF的周长为2，则菱形ABCD的面积为（）A．B C．2D．2【答案】A【分析】根据题意利用菱形的性质，可得AH＝DH，再根据等腰直角三角形的判定与性质得出DE EF，再求出DH＝DE+EH AB＝2.【详解】∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝135°，∴∠DAB＝45°，∠DAC＝∠BAC，且EH⊥AB，EF⊥AD∴EF ＝EH ，∠ADH ＝∠DAB ＝45°∴AH ＝DH∵∠DAB ＝45°，DH ⊥AB∴∠ADH ＝45°，且EF ⊥AD∴∠ADH ＝∠DEF ＝45°∴DF ＝EF ，∴DE EF∵△DEF 的周长为2，∴DE +EF +DF ＝2∴2EF ＝2∴EF ＝2∴EH ＝2，DE ＝2，∴DH ＝DE +EH ∵∠DAB ＝∠ADH ＝45°∴AH ＝DH ，∴AD AH ＝2∴AB ＝2∴菱形ABCD 的面积＝AB ×DH ＝故选A ．【点睛】此题考查菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.8.如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠= ,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长为（）A ．5B ．7C ．8D ．132【答案】B【分析】作CH AB ⊥于H ，如图，根据菱形的性质可判断ABC ∆为等边三角形，则2CH AB ==4AH BH ==，再利用7CP =勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，然后证明CQ CP =即可．【详解】解：作CH AB ⊥于H ，如图，菱形ABCD 的边8AB =，60B ∠= ，ABC ∆∴为等边三角形，CH AB ∴==，4AH BH ==，3PB = ，1HP ∴=，在Rt CHP ∆中，7CP ==，梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ，∴点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，∴当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，APQ CPQ ∴∠=∠，而//CD AB ，APQ CQP ∴∠=∠，CQP CPQ ∴∠=∠，7CQ CP ∴==.故选B ．【点睛】考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC 上时CA′的长度最小．9.如图，平行四边形ABCD 中，2AB BC =．AE 平分BAD ∠，交CD 于点E ，点F 为AB 边的中点，AE 与DF 交于点M ，BD 与EP 交于点N ，连接MN ．则下列结论：①四边形ADEF 是菱形；②与BFN ∆全等的三角形有5个；③7FMN BCEN S S ∆=四边形；④当FM FN =时，60BAD ∠=︒．其中正确的是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B 【分析】①根据四边形ABCD 是平行四边形，可得：AD =BC ，AB =CD ，AB ∥CD ，再由AE 平分∠BAD ，可得出∠AED =∠DAE ，进而推出AF =DE ，即可运用菱形的判定方法证得结论；②根据题目条件可证明△BFN ≌DEN ，其它三角形均不能证明；③根据题目条件可得出12FMN DMN BFNS S S ==，S 菱形BCEF =4S △BFN ，S 四边形BCEN =3S △BFN ，即可判断结论③错误；④由FM =FN 可得出DF =AF =AD ，即△ADF 是等边三角形，可判定结论④正确．【详解】解：①四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AB =CD ，AB ∥CD ，∵点F 为AB 边的中点，∴AF =12AB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE ，∵AB ∥CD ，∴∠AED =∠BAE ，∴∠AED =∠DAE ，∴AD =DE ，∴BC =DE ，∵AB =2BC .∴BC =12AB ，∴AF =DE ，∵AF ∥DE ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∵AD =DE ，∴四边形ADEF 是菱形，故①正确；∵AB ∥CD ，∴∠FBN =∠EDN ，DE =AF =BF ，∠BNF =∠DNE ，∴△BFN ≌DEN （AAS ），能够确定与△BFN 全等的三角形只有1个，故②错误；③∵△BFN ≌DEN ，∴FN =EN ，BN =DN ，∵四边形ADEF 是菱形，∴DM =FM ，∴12FMN DMN BFNS S S == ，同理可证：四边形BCEF 是菱形，∴S 菱形BCEF =4S △BFN ，∴S 四边形BCEN =3S △BFN ，·S △BFN =2S △FMN ，∴S 四边形BCEN =4S △FMN ，故③错误；④当FM =FN 时，∵FN =EN ，EF =AF ，∴AF =2FM ，∵DF =2FM ，∴DF =AF =AD ，∴△ADF 是等边三角形，∴∠BAD =60°，故④正确；故选：B ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形性质，菱形的判定，全等三角形判定和性质，三角形面积和四边形面积，等边三角形判定等，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．10.已知某菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形的面积为A ．22cmB ．24cmC ．26cmD ．28cm 【分析】先利用菱形的性质求出菱形的边长为2，再利用菱形的面积=底⨯高即可【详解】解：菱形的边长：842÷=．菱形的面积：212⨯=．【点睛】本题主要是考题菱形的性质与面积，易出现求面积时不懂的把菱形当作平行四边的面积来求．11.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，DB =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，则DH 的长为【分析】由菱形对角线和边长组成一个直角三角形，由勾股定理可得菱形的边长，再利用面积相等建立等式，进而可求解高DH 的长．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA =12AC =4cm ，OB =12BD =3cm ，在Rt △AOB 中，OA =4cm ，OB =3cm ，∴AB ，菱形的面积S =12AC •BD =AB •DH ，即12×8×6=5×DH ，解得DH =245cm ，【点睛】本题考查了菱形的性质和菱形的面积，熟练掌握“菱形的对角线互相垂直平分，菱形的面积等于对角线乘积的一半”是解题的关键.12.如图，在菱形纸片ABCD 中，60A ︒∠=，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP （P 为AB 的中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ，则DEC ∠的度数为________．【答案】75°【分析】连接BD ，先证明ABD △为等边三角形，然后根据三线合一定理得到30ADP BDP ∠=∠=o 即可得到90PDC ∠= ，则45CDE PDE ∠=∠=o ，再根据三角形内角和定理求解即可．【详解】连接BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD =AB ，60C A ∠==o ∠，AB ∥CD ，∴180A ADC ∠+∠= ，∴120ADC ∠=∵60A ∠= ，∴ABD △为等边三角形，∵P 为AB 的中点，∴DP 为ADB ∠的平分线，即30ADP BDP ∠=∠=o ，∴90PDC ∠= ，由折叠的性质得到45CDE PDE ∠=∠=o ，在DEC 中，()18075DEC CDE C ∠=-∠+∠=o o ．故答案为：75°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．13.如图，在菱形ABCD 中，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥BC 于点F ．求证：AE ＝CF．【分析】先由菱形的性质得到AD CD =，A C ∠=∠，再由AAS 证得ADE CDF ∆≅∆，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=，A C ∠=∠，DE AB ∵⊥，DF BC ⊥，90AED CFD ∴∠=∠=︒，在ADE ∆和CDF ∆中，AED CFD A C AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CDF AAS ∴∆≅∆，AE CF ∴=．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．14.如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE=AB ，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB//CD，然后证明得到BE=CD，BE//CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证.（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解.【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB//CD.又∵BE=AB，∴BE=CD，BE//CD.∴四边形BECD是平行四边形.∴BD=EC.（2）∵四边形BECD是平行四边形，∴BD//CE，∴∠ABO=∠E=50°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD.∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°.【点睛】本题主要考查了，勾股定理，矩形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。

18.2 .2 菱形同步练习题基础训练1.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件__________使其成为菱形(只填一个即可).2.下列命题中正确的是()A.对角线相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是()A.BA=BCB.AC,BD互相平分C.AC=BDD.AB∥CD4.在▱ABCD中,下列结论不一定正确的是()A.AC=BDB.当AC⊥BD时,它是菱形C.当AC=BD时,它是矩形D.AB=CD5.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是__________.(只填写序号)6.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件,使▱ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是()A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠BAC=∠DAC7.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积()A.2B.4C.4D.88.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是()A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°9.如图,△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,若AE=4 cm,那么四边形AEDF的周长为()A.12 cmB.16 cmC.20 cmD.22 cm10.如图,将▱ABCD沿AE翻折,使点B恰好落在AD上的点F处,则下列结论不一定成立的是()A.AF=EFB.AB=EFC.AE=AFD.AF=BE11.下列命题:①四边都相等的四边形是菱形;②两组邻边分别相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直的平行四边形是菱形;④对角线相等的四边形是菱形;⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.其中正确的是.(填序号)提升训练12.图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD 交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.求证:四边形ADCF是菱形.13.如图所示,AC是▱ABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交AD,BC于点E,F.(1)求证:△AOE≌△COF;(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?并说明理由.探究培优14.如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BD 相交于点O,与BC相交于点N,连接BM,DN.(1)求证:四边形BMDN是菱形;(2)若AB=8,AD=16,求MD的长.15.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.(1)证明:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定点E的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.参考答案1.【答案】AC⊥BD(答案不唯一)2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】③6.【答案】C解：根据菱形的定义可得,当AB=AD时▱ABCD是菱形,故A正确;根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得,当AC⊥BD时,▱ABCD是菱形,故B正确;对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形,故C不正确;当∠BAC=∠DAC时,在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC,∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC,∴▱ABCD是菱形.故D正确.7.【答案】A解：如图,连接OE,与DC交于点F,易得四边形OCED为菱形,得到对角线互相平分且垂直,然后求出OE,DC的长,即可求出菱形OCED的面积.8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】C11.错解:①②③⑤诊断:②是最容易出错的,两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形,如图,AB=AD,BC=CD,但四边形ABCD不是菱形.判定菱形时,要区分是在四边形还是平行四边形的基础上进行判定的,要注意两者的区别与联系.正解:①③⑤12.证明:∵AF∥CD,∴∠AFE=∠CDE.∵E是AC的中点,∴AE=CE.在△AFE和△CDE中,∴△AFE≌△CDE(AAS).∴AF=CD.∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.∵∠B=90°,AC=2AB,∴∠ACB=30°,∠BAC=60°.∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD.∴DA=DC.∴四边形ADCF是菱形.13.(1)证明:∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.∵点O是AC的中点,∴AO=CO.又∵∠EOA=∠FOC,∴△AOE≌△COF.(2)解:当EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形.理由如下:由(1)知△AOE≌△COF,∴OE=OF.又∵AO=CO,∴四边形AFCE是平行四边形.∴当EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形.14.(1)证明:∵MN是BD的垂直平分线,∴MB=MD,NB=ND,MN⊥BD.∴∠BMN=∠DMN.又∵AD∥BC,∴∠DMN=∠BNM.∴∠BMN=∠BNM.∴BM=BN.∴BM=BN=ND=MD.∴四边形BMDN是菱形.(2)解:∵MB=MD,设MD的长为x,则MB=x,在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2,即x2=(16-x)2+82,解得x=10.∴MD的长为10.15.(1)证明:在△ABC和△ADC中,∴△ABC≌△ADC(SSS).∴∠BAC=∠DAC.在△ABF和△ADF中,∴△ABF≌△ADF(SAS).∴∠AFB=∠AFD.∵∠AFB=∠CFE,∴∠AFD=∠CFE.(2)证明:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.又∵∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠ACD.∴AD=CD.又∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形.(3)解:当BE⊥CD,即E为过B且和CD垂直的垂线与CD的交点时,∠EFD=∠BCD. 理由:∵四边形ABCD为菱形,∴∠BCF=∠DCF.在△BCF和△DCF中,∴△BCF≌△DCF(SAS). ∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°. ∴∠EFD=∠BCD.。