八年级数学上册难点突破17一次函数中的构造等腰直角三角形法试题北师大版

一次函数中的三角形面积问题类型一与坐标轴围成的三角形面积1.直线132y x =-+与x ,y 轴分别交于A ,B 两点.(1)点A 、B 的坐标(2)求△AOB 的面积2.直线y=-3x+8向下平移2个单位长度，求平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积。

3.直线y=kx+b 与y=2x+3平行，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，求该直线表达式。

4.如图，直线y ＝﹣x+4与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．（1）求AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标以及△OCD 的面积；（3）y 轴上是否存在一点P ，使得S △P AB ＝S △OCD ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型二一条边在坐标轴上5.如图,直线1:y=2x-3与x 轴交于点A,与y 轴交于点E,直线2经过点B(4,0)C(0,2),与直线1交于点 D.(1)求直线2的解析式;(2)求△ABD 的面积;(3)求△CDE 的面积6.如图,直线11:l y x =和直线22:2l y x b =-+相交于点(2,2)A ,直线2l 与x 轴交于点B ,动点P 在直线AB 上运动.(1)求点B 的坐标及b 的值；(2)求AOB △的面积；(3)当POB △的面积是AOB △的面积的13时,直接写出这时点P 的坐标.7.如图，Rt △AOB 的两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，且OA ，OB 的长满足|OA ﹣8|+（OB ﹣6）2＝0，∠ABO 的平分线交x 轴于点C ，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，交y 轴于点E ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若△ABC 的面积为15，求点C 的坐标；8.如图，一次函数y＝图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．（1）求A，B两点的坐标；（2）并直接写出点C的坐标并求直线BC的表达式；（3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．9.如图，直线l1表达式为y＝﹣3x+3，且与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，），直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的表达式；（2）在直线l2上存在点P，能使S△ADP＝3S△ACD，求点P的坐标．类型三一条边平行于坐标轴10.如图，正比例函数y=kx与一次函数y=-x+b的图象相交于点A(4,3)，一次函数y=-x+b的图象与y轴交于点D．过点P（0,4）作x轴的平行线，分别交y=k与y=-x+b的图象于点B，C，连接OC.（1）求这两个函数的解析式．（2）求ΔBOC的面积．11．如图，已知直线y=2x+1与x轴交于点A，与直线y=-x+2交于点B，过点A 作AC∥y轴，与直线y=-x+2交于点C.（1）求点B的坐标；（2）求ΔABC的面积．类型四三条边都不在坐标轴上12.如图，一次函数y=2x+m与y=−12x+n的图象都经过点A(-2,0)，且分别与y 轴相交于点B和点C.（1）点B的坐标为，点C的坐标为。

2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题七一次函数中的构造等腰直角三角形法1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；2、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．①求y与x的函数关系式；①若直线DM与x轴相交于点F，当①MEF为直角三角形时，求点D的坐标．4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；（①）连接AD，若①ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．5、建立模型：如图1，等腰Rt①ABC中，①ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD①ED于D，过C作CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角①ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），①ABC是等腰直角三角形．①若①ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；①若AB为直角边，求点C的坐标；（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若①MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．（1）求出点A，点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点，且①BOP和①COP的面积相等，求点P坐标．（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m 上是否存在点Q，使得①A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．7、如图1，等腰直角三角形ABC中，①ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD①DE于点D，过B作BE①DE于点E，则①BEC①①CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD 的长；（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若①ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．8、【模型建立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．【模型迁移】如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．9、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C（m，0）在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x 轴于点E．（1）求m和b的数量关系；（2）当m＝1时，如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点B′的坐标及△BCD平移的距离；（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在一点P，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求△AOB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为；（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题七一次函数中的构造等腰直角三角形法1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），∴OE＝AD，∵k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵BE＝3，∴OE＝，∴AD＝；（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，∴A（3，0），①当BM⊥AB，且BM＝AB时，过点M作MN⊥y轴，∴△BMN≌△ABO（AAS），∴MN＝OB，BN＝OA，∴M（4，7）；②当AB⊥AM，且AM＝AB时，过点M作x轴垂线MK，∴△ABO≌△AMK（AAS），∴OB＝AK，OA＝MK，∴AK＝4，MK＝3，∴M（7，3）；③当AM⊥BM，且AM＝BM时，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，∴△BMG≌△AHM（AAS），∴BG＝AH，GM＝MH，∴GM＝MH，∴4﹣MH＝MH﹣3，∴MH＝，∴M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k＞0时，AO＝，过点Q作QS⊥y轴，∴△ABO≌△BQS（AAS），∴Q（4，4﹣），∴OQ＝，∴当k＝1时，QO最小值为4；当k＜0时，Q（4，4﹣），∴OQ＝，∴当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，∴OQ的最小值为4．2、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O 时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．解：（1）∵A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∵∠AOB＝90°，∴AB＝10，∵B与B'关于直线AC对称，∴AC垂直平分BB'，∴BC＝CB'，AB'＝AB＝10，∴B'（﹣4，0），设点C（0，m），∴OC＝m，∴CB'＝CB＝8﹣m，∵在Rt△COB'中，∠COB'＝90°，∴m2+16＝（8﹣m）2，∴m＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（6，0），C（0，3）代入可得k＝﹣，b＝3，∴y＝﹣x+3；（2）∵AC垂直平分BB'，∴DB＝DB'，∵△BDB'是等腰直角三角形，∴∠BDB'＝90°，过点D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°，∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF，∠EOF＝90°，∴∠EDF＝90°，∴∠EDF＝∠BDB'，∴∠BDF＝∠EDB'，∴△FDB≌△EDB'（AAS），∴DF＝DE，设点D（a，a）代入y＝﹣x+3中，∴a＝2，∴D（2，2）；（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE，∵DF＝DE＝2，∠PDF＝∠QDE，∴△PDF≌△QDE（AAS），∴PF＝QE，①当DQ＝DA时，∵DE⊥x轴，∴QE＝AE＝4，∴PF＝QE＝4，∴BP＝BF﹣PF＝2，∴点P运动时间为1秒；②当AQ＝AD时，∵A（6，0）、D（2，2），∴AD＝2，∴AQ＝2，∴PF＝QE＝2﹣4，∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2，∴点P的运动时间为5﹣秒；③当QD＝QA时，设QE＝n，则QD＝QA＝4﹣n，在Rt△DEQ中，∠DEQ＝90°，∴4+n2＝（4﹣n）2，∴n＝1.5，∴PF＝QE＝1.5，∴BP＝BF+PF＝7.5，∴点P的运动时间为3.75秒，∵0≤t≤4，∴t＝3.75，综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．①求y与x的函数关系式；①若直线DM与x轴相交于点F，当①MEF为直角三角形时，求点D的坐标．解：（1）①3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，①点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m，m+2），①①M是点D、E的“美妙点”．①x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+2）＝m+6，故m＝x﹣3，①y＝（x﹣3）+6＝x+3；①由①得，点M（9+3m，m+6），如图1，当①MEF为直角时，则点M（3，4），①9+3m＝3，解得：m＝﹣2；①点D（﹣2，）；当①MFE是直角时，如图2，则9+3m＝m，解得：m＝﹣，①点D（﹣，）；当①EMF是直角时，不存在，综上，点D（﹣2，）或（﹣，）．4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；（①）连接AD，若①ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．解：（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；（i）S①BCO＝OB×CO＝2×6＝6，直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，则S①CDE＝2或4，而S①CDE＝×CD×x E＝4×x E＝2或4，则x E＝1或2，故点E（1，3）或（2，0），将点E的坐标代入直线l表达式并解得：直线l的表达式为：y＝±x+2；（①）设点E（m，﹣3m+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2，AD2＝2，ED2＝m2+（4﹣3m）2，当AE＝AD时，（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2，解得：m＝或；当AE＝ED时，同理可得：m＝；综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）．5、建立模型：如图1，等腰Rt①ABC中，①ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD①ED于D，过C作CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角①ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），①ABC是等腰直角三角形．①若①ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；①若AB为直角边，求点C的坐标；（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若①MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．解：（1）①过点C作CD①x轴于点D，①①BDC＝90°＝①AOB，①①BCD+①DCB＝90°，①①ABC＝90°，①①ABO+①DBC＝90°，①①ABO＝BCD，①AB＝BC，①①AOB①①BDC（AAS），DC＝OB＝3，BD＝OA＝4，故点C（7，3）；①若AB为直角边，则除了①的情况以外，另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称，故点C′（﹣1，﹣3）；故点C的坐标为：（7，3）或（﹣1，﹣3）；（2）如图2，当①MGP＝90°时，MG＝PG，过点P作PE①OM于E，过点G作GH①PE于H，①点E与点M重合，①GF＝AB＝4设G点坐标为（x，2x﹣6），6﹣（2x﹣6）＝4，得x＝4，易得G点坐标（4，2）；如图3，当①MGP＝90°时，MG＝PG时，同理得G点坐标（，），综上可知，满足条件的点G的坐标分别为（4，2）或（，）．6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．（1）求出点A，点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点，且①BOP和①COP的面积相等，求点P坐标．（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m 上是否存在点Q，使得①A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．解：（1）设y＝0，则x+2＝0，解得：x＝﹣4，设x＝0，则y＝2，①点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；（2）①点C（﹣2，0），点B（0，2），①OC＝2，OB＝2，①P是直线AB上一动点，①设P（m，m+2），①①BOP和①COP的面积相等，①×2|m|＝2×（|m|+2），解得：m＝±4，当m＝﹣4时，点P与点A重合，①点P坐标为（4，4）；（3）存在；理由：如图1，①当点B1是直角顶点时，①B1Q＝B1A1，①①A1B1O+①QB1H＝90°，①A1B1O+①OA1B1＝90°，①①OA1B1＝①QB1H，在①A1OB1和①B1HQ中，，①①A1OB1①①B1HQ（AAS），①B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，①B1（0，﹣2）或（0，2），当点B1（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），当点B1（0，2）时，①B（0，2），①点B1（0，2）（不合题意舍去），①直线AB向下平移4个单位，①点Q也向上平移4个单位，①Q（﹣2，2），①当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，①直线AB的解析式为y＝x+2，由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x+b，①A1（﹣2b，0），B1（0，b），①A1B12＝4b2+b2＝5b2，①A1B1①A1Q，①直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b①Q（﹣2，4﹣4b），①A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20，①20b2﹣40b+20＝5b2，①b＝2或b＝，①Q（﹣2，﹣4）或（﹣2，）；①当Q是直角顶点时，过Q作QH①y轴于H，①A1Q＝B1Q，①①QA1C1+①A1QC＝90°，①A1QC+①CQB1＝90°，①①QA1C＝①CQB1，①m①y轴，①①CQB1＝①QB1H，①①QA1C＝①QB1H在①A1QC与①B1QH中，，①①A1QC①①B1QH（AAS），①CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，①Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），即：满足条件的点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）或（﹣2，）．7、如图1，等腰直角三角形ABC中，①ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD①DE于点D，过B作BE①DE于点E，则①BEC①①CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD 的长；（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若①ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．解：（1）由题意可知：①BEO①①AOD（K型全等），①k＝﹣1，①y＝﹣x+4，①B（0，4），①OB＝4，①BE＝3，①OE＝，①AD＝；（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，①A（3，0），①当BM①AB，且BM＝AB时，过点M作MN①y轴，①①BMN①①ABO（AAS），①MN＝OB，BN＝OA，①MN＝4，BN＝3，①M（4，7）；①当AB①AM，且AM＝AB时，过点M作x轴垂线MK，①①ABO①①AMK（AAS），①OB＝AK，OA＝MK，①AK＝4，MK＝3，①当AM①BM，且AM＝BM时，过点M作MH①x轴，MG①y轴，①①BMG①①AHM（AAS），①BG＝AH，GM＝MH，①GM＝MH，①4﹣MH＝MH﹣3，①MH＝，①M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k＞0时，AO＝，过点Q作QS①y轴，①①ABO①①BQS（AAS），①BS＝OA，SQ＝OB，①Q（4，4﹣），①OQ＝，①当k＝1时，QO最小值为4；当k＜0时，Q（4，4﹣），①OQ＝，①当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，①OQ的最小值为4．8、【模型建立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．【模型迁移】如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．证明：【模型建立】（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°∴△CDA≌△BEC（AAS）【模型运用】（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，由（1）得△BOA≌△AED，∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，∴OE＝7，∴D（﹣7，3）设l2的解析式为y＝kx+b，得解得∴直线l2的函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（4，0）若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，∴∠APE＝∠PBC，∵∠AOE＝∠BCO＝30°，∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（﹣4，0）综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）9、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C（m，0）在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x 轴于点E．（1）求m和b的数量关系；（2）当m＝1时，如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点B′的坐标及△BCD平移的距离；（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在一点P，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+b与y轴相交于B点，∴B（0，b）∴OB＝b，∵点C（m，0）∴OC＝m∵∠BCO+∠ECD＝90°，∠BCO+∠OBC＝90°，∴∠OBC＝∠ECD．在△OBC和△ECD中，∴△OBC≌△ECD（AAS）∴BO＝CE＝b，DE＝OC＝m，∴点D（b+m，m）∴m＝﹣（b+m）+b∴b＝3m（2）∵m＝1，∴b＝3，点C（1，0），点D（4，1）∴直线AB解析式为：y＝﹣x+3设直线BC解析式为：y＝ax+3，且过（1，0）∴0＝a+3∴a＝﹣3∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+c，把D（4，1）代入得到c＝13，∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，当y＝3时，x＝当y＝0时，x＝∴B′（，3），C'（，0）∴CC′＝，∴△BCD平移的距离是个单位．（3）当∠PCD＝90°，PC＝CD时，点P与点B重合，∴点P（0，3）如图，当∠CPD＝90°，PC＝PD时，∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∠CPD＝90°∴BP＝PD∴点P是BD的中点，且点B（0，3），点D（4，1）∴点P（2，2）综上所述，点P为（0，3）或（2，2）时，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形．10、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求△AOB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．∴点B（7，0），﹣x+7＝x∴x＝3，∴点A（3，4）∴S△AOB＝×7×4＝14；（2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（﹣7，0），连接AH，交y轴于点C，∴此时AC+BC最小值为AH，∵点A（3，4），点H（﹣7，0），∴AH＝＝2，∴AC+BC最小值为2，设直线AH解析式为：y＝kx+b，且过点A（3，4），点H（﹣7，0），∴，解得：∴直线AH解析式为：y＝x+；（3）如图2，过点Q作QE⊥OB，∵以同样的速度运动，∴BQ＝OP，∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D，∴点D（0，7），∴OD＝OB＝7，且∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，且QE⊥OB，∴∠QBE＝∠EQB＝45°，∴QE＝BE，∴QB＝QE＝EB，若PB＝QB，且OP＝BQ，∴OP＝PB＝＝BQ，∴BE＝EQ＝，∴OE＝7﹣，∴点Q（7﹣，），若QP＝QB，且QE⊥OB，∴PE＝BE，∵OB＝7＝OP+PE+BE，∴7＝BE+2BE，∴BE＝＝QE，∴OE＝∴点Q（，），如图3，若BP＝PQ，过点P作PF⊥BQ，∴BF＝FQ＝BQ，∵∠ABO＝45°，PF⊥AB，∴∠FPB＝∠ABO＝45°，∴PF＝BF，∴PB＝BF，∴7﹣BQ＝∴BQ＝，∴BE＝QE＝，∴点Q坐标为（7﹣，）．11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为；（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，∴点A坐标（4，0），点C（4，4），∴直线OC解析式为：y＝x，∵点D坐标为（0，2），点A坐标（4，0），∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2，∴解得：∴点E坐标（，）∴△AOE的面积＝×4×＝，故答案为：；（2）如图2，过点E作EH⊥OA，∵将△AOD沿AD翻折得△AED，∴AO＝AE＝4，设点E（a，a），∴OH＝a，EH＝a，∴AH＝4﹣a，∵AE2＝EH2+AH2，∴16＝a2+（4﹣a）2，∴a＝0（舍去），a＝，∴点E（，）（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED，∴∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，∴∠OAE＝150°，AE＝AC，∠ACF＝∠AED＝90°，∴∠CAE＝60°，∵AE＝AC，AF＝AF，∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）∴∠CAF＝∠EAF＝30°，且AC＝4，∴CF＝，∵△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，∴若∠AFQ＝90°，AF＝FQ，如图3，过点Q作QN⊥BF，∴∠NQF+∠QFN＝90°，且∠QFN+∠AFC＝90°，∴∠NQF＝∠AFC，且∠ACF＝∠QNF＝90°，QF＝AF，∴△QNF≌△FCA（AAS）∴QN＝CF＝，AC＝NF＝4，∴点Q（，4+）同理可求：Q'（8+，4﹣），若∠FAQ＝90°，AF＝AQ时，同样方法可求，Q''（0，），Q'''（8，﹣）。

专题16 一次函数中的存在性综合问题1、如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发,以每秒1个单位的速度沿射线AB运动,过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q,连接OP,设△PQO的面积为S,点P运动时间为t,求S与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下,当P在AB的延长线上,若OQ+AB＝（BQ﹣OP）,求此时直线PQ的解析式．解:（1）对于直线y＝kx+k,令y＝0,可得x＝﹣1,∴A（﹣1,0）,∴OA＝1,∵AB＝2,∴OB＝＝,∴k＝．（2）如图,∵tan∠BAO＝＝,∴∠BAO＝60°,∵PQ⊥AB,∴∠APQ＝90°,∴∠AQP＝30°,∴AQ＝2AP＝2t,当0＜t＜时,S＝•OQ•P y＝（1﹣2t）•t＝﹣t2+t．当t＞时,S＝OQ•P y＝（2t﹣1）•t＝t2﹣t．（3）∵OQ+AB＝（BQ﹣OP）,∴2t﹣1+2＝（﹣）,∴2t+1＝•,∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7,∴3t2﹣11t+6＝0,解得t＝3或（舍弃）,∴P（,）,Q（5,0）,设直线PQ的解析式为y＝kx+b,则有,解得,∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+．2、在平面直角坐标系xOy中,对于图形G和图形M,它们关于原点O的“中位形”定义如下,图形G上的任意一点P,图形M上的任意一点Q,作△OPQ平行于PQ的中位线,由所有这样的中位线构成的图形,叫图形G 和图形M关于原点O的“中位形”．已知直线y＝x+b分别与x轴,y轴交于A、B,图形S是中心为坐标原点,且边长为2的正方形．（1）如图1,当b＝2时,点A和点B关于原点O的“中位形”的长度是（请直接写出答案）；（2）如图2,若点A和点B关于原点O的“中位形”与图形S有公共点,求b的取值范围；（3）如图3,当b＝﹣6时,图形S沿直线y＝x平移得到图形T,若图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点,请直接写出图形T的中心的横坐标t的取值范围．解:（1）如图1中,由题意b＝2时,直线y＝x+2,∴A（﹣4,0）,B（0,2）,∵点A和点B关于原点O的“中位形”是△AOB的中位线EF,EF＝AB＝×＝．故答案为．（2）如图2中,当△AOB的中位线EF经过点（﹣1,1）时,直线EF的解析式为y＝x+,∴E（0,）,∵OE＝EB,∴B（0,3）,当△AOB的中位线EF经过点（1,﹣1）时,直线EF的解析式为y＝x﹣,∴E（0,﹣）,∵OE＝EB,∴B（0,﹣3）,观察图象可知满足条件的b的值为﹣3≤b≤﹣1或1≤b≤3．（3）如图3中,设平移后的正方形T的中心的坐标为（t,t）,则C（t﹣1,t+1）,OC的中点E（,）,OB的中点F（0,﹣3）,∴直线EF的解析式为y＝x﹣3,当直线经过（1,﹣1）时,﹣1＝﹣3,解得t＝9,观察图形可知,t＞9时,图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点, 如图4中,设平移后的正方形T的中心的坐标为（t,t）,则C（t﹣1,t+1）,OC的中点E（,）,O的中点F（6,0）,此时直线EF的解析式为y＝x﹣,当直线经过（1,﹣1）时,﹣1＝﹣,解得t＝﹣观察图形可知,t＜﹣时,图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点, 综上所述,满足条件的t的值为t＞9或t＜﹣．3、如图,直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B,M是OB的上的一点,若将△ABM沿M折叠,点B恰好落在x轴上的点B′处．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AM的表达式；（3）在x轴上是否存在点P,使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直接写出所有点P的坐标；若不存在,请说明理由．解:（1）当x＝0时,y＝8,∴B（0,8）,当y＝0时,﹣x+8＝0,x＝6,∴A（6,0）；（2）在Rt△AOB中,∠AOB＝90°,OA＝6,OB＝8,∴AB＝10,由折叠得:AB＝AB'＝10,∴OB'＝10﹣6＝4,设OM＝a,则BM＝B'M＝8﹣a,由勾股定理得:a2+42＝（8﹣a）2,a＝3,∴M（0,3）,设AM:y＝kx+b,则,解得:,∴直线AM的解析式为:y＝﹣x+3；（3）在x轴上存在点P,使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰二角形,如图∵M（0,3）,B′（﹣4,0）,∴B′M＝5,当PB′＝B′M时,P1（﹣9,0）,P2（1,0）；当B′M＝PM时,P3（4,0）,当PB′＝PM时,作BM的垂直平分线,交x轴于P4,交B′M与Q,易证得△P4B′Q∽△MB′O,则＝,即＝,∴P4B′＝,∴OP4＝4﹣＝,∴P4（﹣,0）,综上,P点的坐标为（﹣9,0）或（1,0）或（4,0）或（﹣,0）．4、如图,一次函数y1＝x+b的图象与x轴y轴分别交于点A,点B,函数y1＝x+b,与y2＝﹣x的图象交于第二象限的点C,且点C横坐标为﹣3．（1）求b的值；（2）当0＜y1＜y2时,直接写出x的取值范围；（3）在直线y2＝﹣x上有一动点P,过点P作x轴的平行线交直线y1＝x+b于点Q,当PQ＝OC时,求点P的坐标．解:（1）将x＝﹣3代入y2＝﹣x,可得C（﹣3,4）,再将C点代入y1＝x+b,∴b＝7；（2）﹣7＜x＜﹣3；（3）∵点P为直线y2＝﹣x上一动点,设P（a,﹣a）,∵PQ∥x轴,∴Q（﹣a﹣7,﹣a）,∴PQ＝|a+7|,∵C（﹣3,4）,∴OC＝5,∴PQ＝OC＝14,∴|a+7|＝14,∴a＝3或a＝﹣9,∴P（3,﹣4）或P（﹣9,12）．5、如图,在平面直角坐标系中,直线y＝﹣x+b与x、y轴分别相交于点A、B,与直线y＝x+2交于点D（3,m）,直线y＝x+2交x轴于点C,交y轴于点E．（1）若点P是y轴上一动点,连接PC、PD,求当|PC﹣PD|取最大值时,P点的坐标．（2）在（1）问的条件下,将△COE沿x轴平移,在平移的过程中,直线CE交直线AB于点M,则当△PMA是等腰三角形时,求BM的长．解:（1）当x＝3时,m＝3+2＝5,∴D（3,5）,把D（3,5）代入y＝﹣x+b中,﹣3+b＝5,b＝8,∴y＝﹣x+8,当y＝0时,x+2＝0,x＝﹣2,∴C（﹣2,0）,如图1,取C关于y轴的对称点C'（2,0）,P1是y轴上一点,连接P1C、P1C'、P1D,则P1C＝P1C',∵|P1D﹣P1C'|＝|P1D﹣P1C|≤C'D,∴当P与C'、D共线时,|PC﹣PD|有最大值是C'D, 设直线C'D的解析式为:y＝kx+b,把C'（2,0）和D（3,5）代入得:,解得:,∴直线C'D的解析式为:y＝5x﹣10,∴P（0,﹣10）；（2）分三种情况:①当AP＝AM时,如图2,由（1）知:OP＝10,由勾股定理得:AP＝＝2,∵AB＝8,∴BM＝AB+AM＝8+2；同理得:BM1＝2﹣8；②当AP＝PM时,如图3,过P作PN⊥AB于N,∵∠BNP＝90°,∠NBP＝45°,∴△BNP是等腰直角三角形,∵PB＝18,∴BN＝＝9,∵AB＝8,∴AN＝9﹣8＝,∵AP＝PM,PN⊥AM,∴AM＝2AN＝2,∴BM＝8+2＝10；③当AM＝PM时,如图4,过P作PN⊥AB于N,∵AN＝,PN＝9,设MN＝x,则PM＝AN＝x+,由勾股定理得:PN2+MN2＝PM2,,解得:x＝40,∴BM＝AB+AN+MN＝8++40＝49；综上,当△PMA是等腰三角形时,BM的长是8+2或2﹣8或10或49．6、如图,已知一次函数y＝3x+3与y轴交于A,与x轴交于点B,直线AC与正半轴交于点C,且AC＝BC．（1）求直线AC的解析式．（2）点D为线段AC上一点,点E为线段CD的中点,过点E作x轴的平行线交直线AB于点F,连接DF并延长交x轴于点G,求证；AD＝BG．（3）在（2）的条件下,若∠AFD＝2∠BAO,求点D坐标．解:（1）当x＝0时,y＝3,∴A（0,3）．令y＝0得:3x+3＝0,解得:x＝﹣1,∴B（﹣1,0）．设OC＝x,则AC＝BC＝x+1．在Rt△AOC中,由勾股定理可知:OA2+OC2＝AC2,即32+x2＝（x+1）2,解得:x＝4,∴C（4,0）．设直线AC的解析式为y＝kx+b,则,解得:,∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1所示:过点D作DH∥x轴,则∠HDF＝∠BGF．∵HD∥EF∥CG,E为CD的中点,∴F为DG的中点．∴FG＝DF．∵在△BGF和△HDF中,,∴△BGF≌△HDF（ASA）．∴HD＝BG．∵AC＝BC,∴∠CAB＝∠ABC．∵HD∥CG,∴∠AHD＝∠ABC,∴∠HAD＝∠AHD．∴AD＝DH,∴AD＝BG．（3）如图2所示:连接AG,过点C作CH⊥AB,垂足为H,过D作DM⊥x轴于M,在Rt△ABO中,依据勾股定理可知AB＝＝,。

北师大版八年级数学上册三角形解答题综合测试卷（word含答案）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论：(1)如图①, ∠A＝∠C＝90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是；(2)如图②, ∠A＝∠C＝90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是；(3)如图③, ∠A=∠C＝90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE 的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.【答案】（1）BE⊥DE；（2）BE//DF；（3）BE⊥DE.证明见解析.【解析】【分析】(1)由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠HDG＝∠CDG=∠FB H＝∠AB F=12x，则有∠CDG+∠CGD=90°，由∠CGD=∠BGE,可得∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；(2) 由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠EB H＝∠AB E=1 2 x,则∠DGE=90°+12x，∠CDM=180°-x，由DF平分∠CDM,则∠CDF=12（180°-x），所以∠CDF+∠HDC=12（180°-x）,然后运用同位角相等，即可证明；（3）设∠BFA＝∠CFD=x,由∠A＝∠C＝90°可以得到∠EBC＝∠FDN=90°+x，由根据题意可得：∠EDF＝∠EBF=12（90°+x）；且∠BFD=180°+x，最后用四边形内角和，求出∠BED=90°，完成证明.【详解】解：（1）BE⊥DE，理由如下：∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA∴∠HDC＝∠AB H设∠HDC＝∠AB H=x∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E∴∠HDG＝∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1 2 x又∵∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠BGE ∴∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；（2）DF∥AB,理由如下：∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA∴∠HDC＝∠AB H∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA∴∠HDC＝∠AB H∵BE平分∠ABH，∴∠EB H＝∠AB E=1 2 x∴∠DGE=90°+1 2 x∵∠CDM=180°-x，DF平分∠CDM∴∠CDF=12（180°-x）=90°-12x∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-12x+x=90°+12x∴∠DGE=∠HDF∴DF∥AB（3）BE⊥DE，证明如下：设∠BFA＝∠CFD=x,∵∠A＝∠C＝90°∴∠EBC＝∠FDN=90°+x，∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E∴∠EDF＝∠EBF=12（90°+x）又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x∴∠BFD=360°-12（90°+x）-12（90°+x）-（180°-x）=90°即BE⊥DE【点睛】本题主要考查了直角三角形和多边形内角和的知识，考查知识点简单，但过程复杂，难度较大，运用方程思想是一个不错的方法.2．如图, A为x轴负半轴上一点, B为x轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2).(1)求△BCD的面积；(2)若AC⊥BC,作∠CBA的平分线交CO于P,交CA于Q,判断∠CPQ与∠CQP的大小关系, 并证明你的结论.【答案】（1）3；（2）∠CPQ＝∠CQP，理由见解析；【解析】【分析】（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；【详解】解：（1）∵点C（0，-2），D（-3，-2），∴CD=3，且CD//x轴∴△BCD面积=12×3×2=3；（2）∠CPQ＝∠CQP，∵AC⊥BC，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，∴∠CQP＝∠CPQ（2）∠CPQ＝∠CQP，∵AC⊥BC，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，∴∠CQP ＝∠CPQ【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键.3．（1）在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，CF AB ⊥，16BC =，3AD =，4BE =，6CF =，则ABC ∆的周长为______.（2）如图①，在ABC ∆中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，BD ，CD 的中点，且4ABC S ∆=2cm ，则AEF S ∆等于______2cm .① ②（3）如②图，三角形ABC 的面积为1，点E 是AC 的中点，点O 是BE 的中点，连接AO 并延长交BC 于点D ，连接CO 并延长交AB 于点F ，则四边形BDOF 的面积为______.【答案】（1）36（2）2（3）16 【解析】 【分析】(1)利用三角形面积公式，求出AB 、AC 的长，再计算三角形的周长即可；(2)设ABC ∆在BC 边上的高为h ，则12ABC S BC h ∆=⋅，根据线段中点的定义以及线段的和差得出12EF BC =，继而再根据三角形面积公式进行求解即可； (3)设BOF S x ∆=，BOD S y ∆=，根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得14AOE COE AOB COB S S S S ∆∆∆∆====，从而得14AOF S x ∆=-，34ACF S x ∆=-，14BCF S x ∆=+，14COD S y ∆=-，34ACD S y ∆=-，14ABD S y ∆=+，利用等高的两三角形面积之比等于底边之比分别列出关于x 、y 的方程，求出x 、y 的值即可求得答案.【详解】(1)111222ABC S BC AD AC BE AB CF ∆=⋅=⋅=⋅， ∴BC AD AC BE AB CF ⋅=⋅=⋅，即16346AC AB ⨯=⋅=⋅，∴12AC =，8AB =，∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=36；(2)设ABC ∆在BC 边上的高为h ， 则12ABC S BC h ∆=⋅， ∵E 为BD 中点，∴12ED BD =， ∵F 为DC 中点，∴12DF DC =， ∴111222EF BD DC BC =+=， ∴211112cm 2222AEF ABC S EF h BC h S ∆∆=⋅=⋅⋅==； (3)设BOF S x ∆=，BOD S y ∆=，∵点E ，O 分别是AC ，BE 的中点，1ABC S ∆=， ∴14AOE COE AOB COB S S S S ∆∆∆∆====， ∴14AOF S x ∆=-，34ACF S x ∆=-，14BCF S x ∆=+， ∴134414x x x x --=+，即2213164x x x -=-， 解得112x =， 又14COD S y ∆=-，34ACD S y ∆=-，14ABD S y ∆=+， ∴141344y y y y +=--，得112y =， 故11112126BDOF S x y =+=+=四边形. 【点睛】本题考查了三角形面积的应用，三角形的周长，解题关键在于找出等高的两三角形面积与底边的对应关系．4．已知：点D 是△ABC 所在平面内一点，连接AD 、CD ．（1）如图1，若∠A ＝28°，∠B ＝72°，∠C ＝11°，求∠ADC ；（2）如图2，若存在一点P ，使得PB 平分∠ABC ，同时PD 平分∠ADC ，探究∠A ，∠P ，∠C 的关系并证明；（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.【解析】【分析】（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E，在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2，∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3,同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠A+∠C=2∠P【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．5．如图，已知，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E的线段AD(除去端点A、D)上一动点，EF⊥BC于点F.(1)若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C的度数．(2)当E在AD上移动时，∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．【答案】(1)∠C＝60°.(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由见解析【解析】试题分析：（1）已知：EF⊥BC，∠DEF＝10°可以求得∠EDF的度数，∠EDF又是∆ABD的外角，已知∠B的度数，可求得∠BAD的值，AD平分∠BAC，所以∠BAC的值也可求出，从而求出∠C。

专题55 一次函数中的构造等腰直角三角形1、如图1，等腰直角三角形A3C中，ZAC5=90°, CB=CA,直线经过点C,过A作AO_LED于点D,过B作BE工ED于点E.求证：4 BECW4CDA；解：(1)由题意可知：△ BEOgAAOD (K型全等)，:.OE=AD9・: k= - 1,，y= - x+4,：.B(0, 4),；・OB=4,・：BE=3,・•・OE=H:・AD=54 1 4(2) k=-77时，v= -77.1+4,3 3•"⑶ o),①当且时，过点"作加人」丫轴，:•△BMNWMBO (AAS),:・MN=OB, BN=OA,：.MN=49 BN=3,：.M (4, 7):②当且AM=A3 时，过点M作x轴垂线MK,：.^ABO^/^AMK (AAS),:.OB=AK, OA=MK t，AK=4, MK=3,：.M(7, 3)：③当且AM=3M 时，过点M作轴，MG_Ly轴,:•△BMGQAAHM (AAS),；・BG=AH, GM=MH,:・GM=MH,,MH=二,7 7 综上所述：M（7, 3）或M （4, 7）或M （左彳）乙乙4 (3)当Q0 时，4?=子.k过点。

作3。

轴，:•△ABO94BQS (AAS),:・BS=OA, SQ=OB,4：.Q(4, 4-丁)，k，当k=l时，。

最小值为4：4当&VO 时，Q（4, 4-丁），k，当k=l时，。

最小值为明与k<0矛盾, ，。

的最小值为4.2、己如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6, 0）、点8的坐标为（0, 8）,点。

在y轴上，作直线AC.点3关于直线AC的对称点方刚好在x轴上，连接。

夕.（1）写出点夕的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式:（2）点。

在线段AC上，连接。

5、DB\ BB',当△。

89是等腰直角三角形时，求点。

坐标:（3）如图2,在（2）的条件下，点尸从点3出发以每秒2个单位长度的速度向原点。

第07讲类比归纳专题：一次函数与三角形综合问题(4类热点题型讲练)目录【类型一一次函数与三角形的面积问题】 (1)【类型二一次函数与三角形全等问题】 (3)【类型三一次函数与三角形存在问题】 (5)【类型四一次函数中折叠问题】 (9)【类型一一次函数与三角形的面积问题】例题：（2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数()0y kx b k=+≠的图象经过点()0,5B．A-，()2,1(1)求这个一次函数的解析式；的面积．(2)若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求AOC【变式训练】4．（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期中）将正比例函数3y x =的图象平移后经过点()1,4．(1)求平移后的函数表达式；(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．5．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）如图，直线24y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)若在x 轴上有一点P ，使2OP OA =，求PAB 的面积．6．（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在直角坐标xOy 中，直线1l 与23y x =-平行，且经过点()05，，将直线1l 向上平移3个单位，得到直线2l (1)求这两条直线的解析式；(2)如果直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，求AOB 的面积．7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线2y kx =-与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，其中1OB =．(1)求k 的值；(1)求A，B两点的坐标；(2)求AOF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量(3)当AOF的面积12 S S =形，若存在，请求出点P【类型二一次函数与三角形全等问题】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）直线AB：y x b=+分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为(3-，0)，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且:3:1OB OC=．(1)求点B的坐标及直线BC的函数表达式；(2)在坐标系平面内，存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等，画出ABD ，并求出点D 的坐标．【变式训练】2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线绕点A 顺时针旋转90°得射线全等，试确定点Q 的横坐标．3．（2022秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，直线(1)求直线l2的解析式；(2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．4．（2022·辽宁丹东·八年级期末）已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；(2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；(3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．【类型三一次函数与三角形存在问题】(1)求直线2l的解析式；△的面积；(2)求ADC△的面积等于3，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．(3)在直线1l上是否存在点P使得PAC【变式训练】(1)求点B和点C的坐标．(2)求OAC的面积．(3)是否存在点M，使OMC的面积是OAC 由．(1)写出点D的坐标，并求出直线△的面积；(2)连接BC，求BCD(3)直线2l上是否存在一点P，使得(1)求直线2l 的函数解析式；(2)求ADC △的面积；(3)在直线2l 是否存在点P ，使得CDP △面积是ADC △面积的2倍？如果存在，请求出P 坐标；如果不存在，请说明理由．5．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y kx b =＋与x 轴交于点()60A ，，与y 轴交于点()06B ，，与直线CD 交于点E ．已知点D 的坐标为()02，，点C 在A 的左侧且12AC =．(1)分别求出直线AB 和直线CD 的表达式；(2)在直线CD 上，是否存在一点P ，使得8BEP S = ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在坐标轴上，是否存在一点Q ，使得BEQ 是以BE 为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型四一次函数中折叠问题】例题：（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线AB ：2y x b =+与直线AC ：3y kx =+相交于点(,4)A m ．与x 轴交于点(4,0)B -，直线AC 与x 轴交于点C ．(1)填空：b =______，m =______，k =______；(2)如图2．点D 为线段BC 上一动点，将ACD 沿直线AD 翻折得到AED △，线段AE 交x 轴于点F ．①求线段AE 的长度；②当点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标；③若DEF 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【变式训练】3．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，直线4y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A ，B 的坐标；(2)在直线AB 上是否存在点P ，使OAP △是以OA 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若将Rt AOB △折叠，使OB 边落在AB 上，点O 与点D 重合，折痕为BC ，求折痕BC 所在直线的表达式．4．（2023春·八年级课时练习）如图，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 在线段AO 上，将ABC 沿BC 所在直线折叠后，点A 恰好落在y 轴上点D 处，若4OA =，2OD =．(1)求直线AB 的解析式．(1)点B的坐标是______；点A的坐标是(2)求直线BC的解析式；(3)在直线BC上是否存在一点P，使得存在，请说明理由．。

2019-2020一次函数与等腰三角形存在性专题（含解析）一、单选题1．一次函数分别交轴、轴于，两点，在轴上取一点，使为等腰三角形，则这样的点最多有几个（）A.5B.4C.3D.22．如图，直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B，在坐标轴上找点P，使△ABP为等腰三角形，则点P的个数为（）A.2B.4C.6D.83．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y＝x上．若以A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．34．在平面直角坐标系中，已知点A(－4，0)，点B(4，0)，若点C在一次函数122y x=-+的图象上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（）A.5个B.4个C.3个D.2个二、填空题5．如图，一次函数1y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A B 、，点M 在x 轴上，要使ABM ∆是以AB 为腰的等腰三角形，那么点M 的坐标是_____．6．如图，已知直线334y x =-+与坐标轴相交于A 、B 两点，动点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，当点P 的运动时间是__________秒时，PAB ∆是等腰三角形．三、解答题7．已知正比例函数y ＝kx 经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ，点A 的横坐标为3，且△AOH 的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；（2）在x 轴上能否找到一点M ，使△AOM 是等腰三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线24y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B 。

（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P 在x 轴上，且BOP 1S AOB 2∆=∆ 求点P 的坐标。

（3）在y 轴是否存在点M ，使三角形MAB 是等腰三角形，若存在。

学生做题前请先回答以下问题问题1：什么是存在性问题？通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查__________.问题2：一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：①_______________，把函数信息（即坐标或解析式）转化为几何信息.②分析___________，确定___________.③____________________________________.一次函数之等腰直角三角形存在性（二）（北师版）一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P是平面内一点且在直线AB下方，若使△ABP为等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.（-3，1），（-2，3）或B.（1，-1），（2，1）或C.（1，-1），（2，1），（-3，1）或（-2，3）D.（1，-1），（2，1）（-3，1），（-2，3），或答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题2.如图，直线y=2x-4与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P是平面内一点，若△ABP是以线段AB为直角边的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.(6，-2)或(4，-6)B.(-2，2)，(4，-6)或（3，-3）C.(-2，2)，(6，-2)，(-4，-2)或(4，-6)D.(-2，2)，(6，-2)，(-4，-2)，(4，-6)，（3，-3）或（1，-1）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），点M是直线y=4上的一个动点，点N是直线y=-2上的一个动点，且点M，N均在y轴右侧，当△AMN是等腰直角三角形时：（1）点M的坐标为( )A.(3，4)B.(3，4)，(6，4)或(9，4)C.(3，4)或(3，-4)D.(3，4)，(3，-4)，(6，4)或(9，4)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题4.（上接第3题）（2）点N的坐标为( )A.(3，-2)，(9，-2)或(6，-2)B.(-3，-2)或(3，-2)C.(3，-2)D.(3，-2)，(-3，-2)，(9，-2)或(6，-2)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：回顾本套试题，主要训练的什么内容？问题2：等腰直角三角形存在性的特征是什么？分类标准是什么？对应的操作如何进行？。

一次函数之等腰直角三角形的存在性（习题）
1.如图，直线y =-1
x + 2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点D 3
是线段OA 的中点，点P 是第一象限内一点，且使△BDP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．
2.如图，直线AB：y=-x+b 交y 轴于点A(0，4)，交x 轴于点B，
直线l 垂直平分OB 交AB 于点D，交x 轴于点E，点P 是直线l 上一点，且在点D 的上方，PD=4．
（1）求点P 的坐标；
（2）以PB 为直角边作等腰直角△PBQ，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．
3.如图，直线y=-2x+4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是
直线x=5 上的一个动点，点Q 是射线AB 上的一个动点，若△APQ 为等腰直角三角形，则点Q 的坐标为．
4.如图，直线l1：y=-x+10 与y 轴交于点A，与直线l2：y 1 x 2
交于点B，点C 是线段AB 上的一动点，过点C 作y 轴的平行线交直线l2 于点D，点P 是y 轴上一动点，且满足△CDP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．
【参考答案】
1. (2，5)，(5，3)，( 5
，
5
)．
2 2
2. （1）点P 的坐标为(2，6)；
（2）点Q 的坐标为(-4，4)，(8，8)，(-2，-2) 或(10，2)．
3. ( 1
，3)，(-4，12)，(-1，6)；
2
4. (0，6)，(0，2)，(0，30
)．7。

勾股定理与全等构造(一) 构手拉手型旋转全等模型等腰三角形→构手拉手型旋转全等 条件:BA=BC.方法：在等腰三角形的顶角处构等腰，在 BP 上方作BE=BP,∠EBP=∠ABC. 结论:△BAE≌△BCP.难点突破一 遇等边三角形→构等边三角形(旋转60°) 1.如图,点 P 为等边△ABC 内的一点,且 PC=3,PB=4,PA=5. (1)画出将△BPC 绕点 B 逆时针方向旋转 60°后的图形； (2)求∠BPC 的度数.C2.如图,在△ABC 中,∠ABC=30°,AB=6,BC=8,△ACD 是等边三角形,求 BD 的长.难点突破二 遇等腰直角三角形→构等腰直角三角形(旋转90°)3.如图,点 P 为等腰直角△ABC 内的一点,∠．ACB=90°,PB=1,PC=2,PA=3,求 ∠BPC 的度数.4.(武汉中考改)如图,AB=AC,∠．CAB=90°,∠ADC=45°,AD=4,CD=3,求 BD 的长.难点突破勾股定理与全等构造(二) 夹半角构旋转全等方法：在等腰三角形的顶角处构全等，在AB 上方作 BF =BD,∠FBA=∠DBC.难点突破一 90°夹 45°1.如图,在等腰直角△ABC 中,∠ACB=90°,点 D,E 在AB 上,且 ∠DCE =45°,BE =2,AD =3. (1)将△BCE 绕点C 逆时针旋转 90°，在图中画出旋转后的图形； (2)求 DE 的长.2.如图,在△ABC 中,AC=BC,∠．ACB=90°,点 M,N 在直线AB 上,且 ∠MCN =45°,求证： AM²+BN²=MN².难点突破二 120°夹60° 3.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠．BAC=120°,点 D,E 都在边 BC 上, ∠DAE =60°,∠AED =45°,求证:( CE²+DE²=BD².条件： BA =BC,∠EBD =12∠ABC. 结论:△BAF≌．△BCD,△BEF≌．△BED.模型二 等腰+夹半角→构旋转勾股定理与最值【方法技巧】利用涉及不等关系的几何公理或定理是求最值问题的常用方法.难点突破一化曲为直求最值1.如图，有一个圆柱，它的高等于4，底面半径等于1，在圆柱的底面λ点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?难点突破二化折为直求最值2、如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点 B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从 A 处爬到 B 处的最短路线长为多少?难点突破三利用两点之间线段最短求最值3、如图, △ABC为等腰直角三角形、AB=BC=2,点 Q 为 BC 的中点、P 为边 AC 上一动点,求△PBQ周长的最小值。