(新编资料)高中数学 1.1.1《算法的概念》导学案 新人教A版必修3

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1.1。

1 算法的概念计一个算法就需要了解算法的特征:特征说明有限性一个算法当运行完有限个步骤后必须结束,而不能是无运行确定性算法的每一步计算,都必须有确定的结果,不能模棱两算法的每一步只有的每一步只有唯一的执行路径，对的输入只能得到相同的输出结果可行性算法中的每一步骤必须能用实现算法的工具精确表达，并能在有限步内完成有序性算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，只有执行完前一步才能执行后一步普遍性算法一般要适用于输入值集合中不同形式的输入值,而不是局限于某些特殊的值，即算法具有一般性，一个算法总是针对某类问题设计的，所以对于求解这类问题中的任意一个问题都应该是有效的不唯一性解决一个或一类问题,可以有不同的方法和步骤，也就是说,解决这个或这类问题的算法不一定是唯一的3。

算法的设计(1)算法设计的目的设计算法的目的实际上是寻求__________的算法，它可以通过计算机来完成．设计算法的关键是把过程分解成若干个__________，然后用计算机能够接受的“语言"准确地描述出来，从而达到计算机执行的目的．（2)算法设计的要求①写出的算法必须能解决__________；②要使算法尽量____、步骤尽量___；③要保证算法____,且计算机能够_____．（3)算法的描述①展现形式：目前可使用文字语言表示．②展现方式：算法常用下列方式来表示:第一步，……第二步，……第三步,…………牛刀小试 1．下列叙述不能．．称为算法的是( ）A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22D．解方程x2－2x＋1＝02．下列对算法的理解不正确的是（)后记与感悟：A．算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题）B．算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果C．算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它的优点是一种通法D．任何问题都可以用算法来解决【课堂研讨】一、算法含义的正确理解例1．(1）下列关于算法的描述正确的是( ）A．算法与求解一个问题的方法相同B．算法只能解决一个问题，不能重复使用C．算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切D．有的算法执行完后，可能无结果2）下列描述不能看作算法的是（)A．做米饭需要刷锅，淘米,添水，加热这些步骤B．洗衣机的使用说明书C．解不等式2x2＋x－1>0D．求过M（1,2）与N(－3,－5）两点的直线方程可以先求MN的斜率,再利用点斜式方程求得．跟踪训练（1）下列关于算法的说法正确的是（)A．某个问题的解题过程就是算法B．一个算法可以有无穷多个步骤C．解决某一问题的算法可以有多个D．算法执行完后可以有多个不同的结果311。

§1.1.1算法的概念和程序框图◆课前导学（一）学习目标1.了解算法的含义，掌握正确的算法应满足的要求；2.会写出一个求有限整数序列中的最大（小）值的算法；3.明确程序框的符号及其作用及画程序框图必须注意的规则；（二）重点难点：重点：算法的概念和程序框图的含义；难点：算法的符号语言含义及框图的简单实际应用.◆课中导学◎学习目标一：了解算法的含义，体会算法的思想.1．算法的概念:：算法可以理解为由基本运算及规定的________所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的________________计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决________问题．2．求解某个问题的算法不一定是惟一的．3．算法的要求：(1)写出的算法，必须能解决________问题，并且____重复使用；(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须________，不能含混不清，而且经过________步后能得出结果．◎学习目标二：会写出一个求有限整数序列中的最大（小）值的算法.例1. 写出能求出3个整数c b a ,,最大值的算法.★变式 写出能求出3个整数c b a ,,最小值的算法.◎学习目标三：明确程序框的符号及其作用及画程序框图必须注意的规则.1.程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.2.构成程序框的图形符号及其作用3.画程序框图的规则：（1）使用标准的框图符号；（2）框图一般按从______________的方向画；（3）除________ 外，大多数框图的符号只有一个进入点和一个退出点，__________是具有超过一个退出点的唯一符号；（4）一种判断框是______________两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种是多分支判断，有几种不同的结果；（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.◆课后导学一、选择题1、下面的结论正确的是 （ ）A ．一个程序的算法步骤是可逆的B 、一个算法可以无止境地运算下去的C 、完成一件事情的算法有且只有一种D 、设计算法要本着简单方便的原则2、早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min 泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法 ( )A 、 S1 洗脸刷牙、S2刷水壶、S3 烧水、S4 泡面、S5 吃饭、S6 听广播B 、 S1刷水壶 、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5 听广播C 、 S1刷水壶 、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭 同时 听广播D 、 S1吃饭 同时 听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶3、下列关于算法的说法中正确的个数有（ ）①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果.A. 1B. 2C. 3D. 44、算法S1 m=aS2 若b<m ，则m=bS3 若c<m ，则m=cS4 若d<m ，则 m=dS5 输出m ，则输出m 表示 ( )A ．a ，b ，c ，d 中最大值B ．a ，b ，c ，d 中最小值C ．将a ，b ，c ，d 由小到大排序D ．将a ，b ，c ，d 由大到小排序二、解答题5、写出一个能找出d c b a ,,,四个数中最大值的算法.。

人教A版高中数学必修三1.1.1《算法的概念》导学案2 第一章算法初步§1.1.1 算法的概念授课时间第周星期第节课型新授课主备课人学习目标 1.了解算法的含义，体会算法的思想；能够用自然语言表达算法；掌握正确的算法应满足的要求。

2.通过例题分析，体会算法的根本思路。

重点难点重点：算法的含义及应用。

难点：写出解决一类问题的算法。

学习过程与方法自主学习: 认真自学课本P2-5, 完成以下问题.] 算法作为一个名词，我们虽然没有接触过它的概念，但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。

如，做四那么运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体表达。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。

菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。

在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。

1．解二元一次方程组： ??x?2y??1?2x?y?1①②分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，请用加减消元法写出它的求解过程.解：第一步：；第二步：；第三步：。

探究：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？评析：此题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。

下面写出求方程组的解的算法： 2．试写出求方程组??a1x?b1y?c1?a2x?b2y?c2①②?a1b2?a2b1?0?的解的算法.解：第一步：；第二步：；第三步： . 提炼：一、算法概念：在数学中，算法通常是指按照一定规那么解决某一类问题的明确和有限的步骤. 现在, 算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题. 二、算法的特点:(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为假设干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法 (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.合作探究:例1、任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断. 分析：〔1〕质数是只能被1和自身整除的大于1的整数.〔2〕要判断一个大于1的整数n是否为质数，只要根据质数的定义，用比这个整数小的数去除n，如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，那么这个数便是质数. 解：说明：本算法是用自然语言的形式描述的.设计算法一定要做到以下要求：〔1〕写出的算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用. 〔2〕要使算法尽量简单、步骤尽量少. 〔3〕要保证算法正确，且计算机能够执行. 阅读课本3-4页的内容，分析例2例2、用二分法设计一个求方程x?2?0的近似根的算法. 分析：该算法实质是求2的近似值的一个最根本的方法. 解：2达标训练21.写出解方程x－2x－3＝0的一个算法。

111算法的概念一、习目标：1．要求生了解算法的含义，体会算法的思想2．在分析实例的基础上了解算法的基本特征3．能够用自然语言描述一些具体问题的算法二、习重点：算法的含义以及基本特征习难点：简单的算法设计三、教过程：一、问题引入：问题1：根据生活经验，请设计完成洗衣服的过程中有哪几个步骤？问题2：请写出二元一次方程组><=-><-=+112212{yxyx的解答过程。

问题3：你们所写的解答过程和课本上的解答有什么不同？课本提供的解答有什么特点？问题4：对于一般的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+)2(,)1(,222111c y b x a c y b x a ， 其中a 1b 2－a 2b 1≠0,可以写出类似的求解步骤：第一步， 第二步， 第三步， 第四步， 第五步，二、归纳新知：1算法的定义： 2算法的要求： 3算法的基本特征：三、例题讲解：例1（1）设计一个算法，判断7是否为质数 （2）设计一个算法，判断35是否为质数思考：1整数89是否是质数？2.写出“判断整数n （n ＞2）是否为质数”的算法？体验：电视节目中,有一种有趣的“猜数”游戏现有一商品,价格在0到800元之间,主持人每次对观众的报价给出“高了”或“低了”的提示，釆取怎样的策略才能在较短的时间内猜出最接近的价格呢?例2．用二分法求解方程写出方程2－2＝0（>0)的近以解的算法 【知识链接】质数：只能被1和自身整除的大于1的整数。

【知识链接】二分法：对于在区间[a,b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0的函数，通过不断地把函数y=f()的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法．思考：1为什么算法第一步要设计“给定精确度d ”这个环节，能否省略？2算法第三步中确定区间为[]2,1，能否换成[]100,1或[]10,2行吗？请说明理由。

四、训练反馈1下列关于算法的说法中，正确的是：①求解某一类问题的算法是唯一的； ②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊； ④设计算法要本着简单方便的原则。

高中二年级（上）数学必修3第一章：算法初步——1.1.1：算法的概念一：知识点讲解（一）：算法的概念21世纪的算法：指的是用阿拉伯数字进行的过程。

数学中的算法：通常是指按照一定规则解决某一类问题的和的步骤。

现代算法：通常可以编成计算机程序，让执行并解决问题。

（二）：算法的特征及设计要求算法是对解决问题的过程进行抽象而精确的描述，算法一般具备以下几个特征：✧有限性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止。

✧确定性：算法中的每一步应该是的，并且能有效地执行。

利用算法得到的结果也应当是的，而不是模棱两可的。

✧逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，并且每一步都须正确无误，由此组成具有很强逻辑性的步骤序列。

✧不唯一性：求解某一个问题的算法不一定是唯一的，可以有不同的算法，这些算法有繁简、优劣之分。

✧普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法。

算法的设计要求：✧写出的算法，必须能解决一类问题，并且能够重复使用。

✧要使算法尽量简单，步骤尽量少。

✧算法过程要能一步一步地执行，每一步执行的操作必须确切，并且要能在有限步后得出结果。

（三）：算法的描述描述算法可以有不同的方式，常用的有自然语言、框图（流程图）、程序设计语言等：✧自然语言：自然语言就是人们日常使用的语言，可以是汉语、英语或数学语言等，用自然语言描述算法的有点是，当算法中的操作步骤按顺序执行时比较容易理解，缺点是如果算法中包含判断和转向，并且操作步骤较多时，就不那么直观清晰了。

✧程序框图（流程图）：程序框图是指用规定的来描述算法。

用框图描述算法，具有直观、结构清晰、条例分明、通俗易懂、标语检测、易于修改及交流等优点。

✧ 程序设计语言：算法可以通过程序语言编写出来，并在计算机上执行。

程序设计语言可分为低级语言和高级语言，低级语言包括机器语言和汇编语言例1：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

1.1.1算法的概念一、教学目标：1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。

（2）能够用自然语言叙述算法。

（3）掌握正确的算法应满足的要求。

（4）会写出解线性方程（组）的算法。

（5）初步学会写出判断整数是否为质数的算法。

2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。

由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。

二、重点与难点：重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

难点：把自然语言转化为算法语言。

三、教学用具：教学用具：电脑，多媒体四、教学设想：1、回顾解一元一次方程的一般步骤。

引例: 你能写出解一元一次方程的步骤吗？2、回顾用加减法解一个实例的二元一次方程组。

引例: 你能写出用加减法求解二元一次方程组x-2y=-7 (1), 2x+y=1 (2)的步骤吗？3、由第2步归纳解一般的二元一次方程组的常规操作步骤——算法。

思考: 你能写出用加减法求解一般二元一次方程组的步骤吗？提出算法概念。

严格地说，算法还没有一个非常明确的公认的定义。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。

菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法。

课本上定义如下：算法是指按照一定规则解决一类问题的明确和有限的步骤。

现在，算法可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。

从上面的例子和定义可以看出：算法有五个重要特征：（1）有限性：一个算法的步骤序列应当是有限的，在有限步操作后必须停止，而不能是无限的进行下去；（2）确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，不应当模棱两可；（3）有序性：操作步骤必须是有顺序的。

高中数学《1.1.1算法的概念》导学案新人教A版必修3吉林省舒兰市第一中学高中数学《1.1.1算法的概念》导学案新人教A版必修3【学习目标】（1）了解算法的含义，体会算法的思想。

（2）能够用自然语言叙述算法。

（3）掌握正确的算法应满足的要求。

（4）会写出解线性方程（组）的算法。

【学习重点】重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

难点：把自然语言转化为算法语言。

课前预习案【知识链接】电视娱乐节目中，有一种有趣的“猜数”游戏：竞猜者如在规定的时间内猜出某种商品的价格(或重量等)，就可获得该件商品．现有一商品，价格在0～8 000元之间，采取怎样的策略才能在较短的时间内猜出正确的答案呢？解决这个问题有多种途径，其中一种较好的方法是：第一步报“4 000”．第二步若主持人说：“高了”(说明答数在0～4 000之间)，就报“2 000”；否则(答数在4 000～8 000之间)报“6 000”．第三步重复第二步的报数方法，直至得到正确结果． 1．竞猜者每一步的报价有一定的规则吗？ 2．猜出这种商品的步骤是有限的吗？知识梳理：自学课本2~5页，发现疑惑，并回答下列问题问题1：在数学中，按照一定规则解决某一类问题的_______和______的______称为算法问题2：算法的特征⑴有穷性：⑵确定性：⑶可行性：⑷输入：⑸输出：问题3：算法的表述形式：⑴用日常语言和数学语言；⑵程序框图（简称框图）；⑶程序语言。

自主小测1、已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步：取A=89 ,B=96 ,C=99；第二步：______ ___；第三步：______ ___；第四步：输出计算的结果。

2、第一步：给定一个正整数2700；第二步：2700先被2除，再把所得商被2除，一直到不能被2整除为止；第三步：把第二步最后的商被3除，一直到不能被3整除为止，……一直到商是质数；1第四步：写出2700=2×2×3×3×3×5×5.这是一个的算法过程。

第一章算法初步本章教材分析算法是数学及其应用的重要组成部分, 是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方面.学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数学的思想, 激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力, 增强进行实践的能力等, 都有很大的帮助.本章主要内容：算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手, 通过研究程序框图与算法案例, 使算法得到充分的应用, 同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性, 也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶, 激发学生的学习热情.在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活, 从生活中学习数学, 使数学在社会生活中得到应用和提高, 让学生体会到数学是有用的, 从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点.本章还是数学思想方法的载体, 学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”, 从而提高自己数学能力.因此应从三个方面把握本章：（1）知识间的联系；（2）数学思想方法；（3）认知规律.本章教学时间约需12课时, 具体分配如下（仅供参考）：1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念整体设计教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念, 但没有一个精确化的定义, 教科书只对它作了如下描述：“在数学中, 算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念, 教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发, 归纳出了二元一次方程组的求解步骤, 这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中, 应从学生非常熟悉的例子引出算法, 再通过例题加以巩固.三维目标1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.2.通过例题教学, 使学生体会设计算法的基本思路.3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时, 激发学生学习数学的兴趣.重点难点教学重点：算法的含义及应用.教学难点：写出解决一类问题的算法.课时安排 1课时教学过程导入新课思路1（情境导入）一个人带着三只狼和三只羚羊过河, 只有一条船, 同船可容纳一个人和两只动物, 没有人在的时候, 如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤, 解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法. 思路2（情境导入）大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧, 宋丹丹说了一个笑话, 把大象装进冰箱总共分几步？答案：分三步, 第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法, 今天我们开始学习算法的概念. 思路3（直接导入）算法不仅是数学及其应用的重要组成部分, 也是计算机科学的重要基础.在现代社会里, 计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据, 计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题, 算法的学习是一个开始.推进新课 新知探究 提出问题（1）解二元一次方程组有几种方法？ （2）结合教材实例⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.（3）结合教材实例⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤.（5）根据上述实例谈谈你对算法的理解. （6）请同学们总结算法的特征. （7）请思考我们学习算法的意义. 讨论结果：（1）代入消元法和加减消元法. （2）回顾二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 的求解过程, 我们可以归纳出以下步骤： 第一步, ①+②×2, 得5x=1.③ 第二步, 解③, 得x=51. 第三步, ②-①×2, 得5y=3.④ 第四步, 解④, 得y=53.第五步, 得到方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.53,51y x(3)用代入消元法解二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 我们可以归纳出以下步骤： 第一步, 由①得x=2y －1.③第二步, 把③代入②, 得2(2y －1)+y=1.④ 第三步, 解④得y=53.⑤ 第四步, 把⑤代入③, 得x=2×53－1=51. 第五步, 得到方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.53,51y x(4)对于一般的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+)2(,)1(,222111c y b x a c y b x a其中a 1b 2－a 2b 1≠0,可以写出类似的求解步骤： 第一步, ①×b 2-②×b 1, 得 （a 1b 2－a 2b 1）x=b 2c 1－b 1c 2.③ 第二步, 解③, 得x=12212112b a b a c b c b --.第三步, ②×a 1-①×a 2, 得（a 1b 2－a 2b 1）y=a 1c 2－a 2c 1.④ 第四步, 解④, 得y=12211221b a b a c a c a --.第五步, 得到方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=.,1221122112212112b a b a c a c a y b a b a c b c b x(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤, 那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法, 菜谱是做菜的算法等等.在数学中, 算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. 现在, 算法通常可以编成计算机程序, 让计算机执行并解决问题.(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的, 甚至无用的步骤, “不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣, 分工明确, “前一步”是“后一步”的前提, “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束, 当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果, 也就是说必须在有限步内完成任务, 不能无限制地持续进行.(7)在解决某些问题时, 需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题, 这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说, 算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的, 有时需进行大量重复的计算, 它的优点是一种通法, 只要按部就班地去做, 总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.应用示例思路1例1 （1）设计一个算法, 判断7是否为质数.（2）设计一个算法, 判断35是否为质数.算法分析：（1）根据质数的定义, 可以这样判断：依次用2—6除7, 如果它们中有一个能整除7, 则7不是质数, 否则7是质数.算法如下：（1）第一步, 用2除7, 得到余数1.因为余数不为0, 所以2不能整除7.第二步, 用3除7, 得到余数1.因为余数不为0, 所以3不能整除7.第三步, 用4除7, 得到余数3.因为余数不为0, 所以4不能整除7.第四步, 用5除7, 得到余数2.因为余数不为0, 所以5不能整除7.第五步, 用6除7, 得到余数1.因为余数不为0, 所以6不能整除7.因此, 7是质数. （2）类似地, 可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步, 用2除35, 得到余数1.因为余数不为0, 所以2不能整除35.第二步, 用3除35, 得到余数2.因为余数不为0, 所以3不能整除35.第三步, 用4除35, 得到余数3.因为余数不为0, 所以4不能整除35.第四步, 用5除35, 得到余数0.因为余数为0, 所以5能整除35.因此, 35不是质数.点评：上述算法有很大的局限性, 用上述算法判断35是否为质数还可以, 如果判断1997是否为质数就麻烦了, 因此, 我们需要寻找普适性的算法步骤.变式训练请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.分析：对于任意的整数n(n>2), 若用i表示2—(n-1)中的任意整数, 则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0, 若是, 则不是质数；否则, 将i的值增加1, 再执行同样的操作.这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.算法如下：第一步, 给定大于2的整数n.第二步, 令i=2.第三步, 用i除n,得到余数r.第四步, 判断“r=0”是否成立.若是, 则n不是质数, 结束算法；否则, 将i的值增加1, 仍用i表示.第五步, 判断“i＞（n-1）”是否成立.若是, 则n是质数, 结束算法；否则, 返回第三步.例2 写出用“二分法”求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法.分析：令f(x)=x2-2,则方程x2-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间［a,b］(满足f(a)·f(b)<0）“一分为二”, 得到［a,m］和［m,b］.根据“f(a)·f(m)<0”是否成立, 取出零点所在的区间［a,m］或［m,b］, 仍记为［a,b］.对所得的区间［a,b］重复上述步骤, 直到包含零点的区间［a,b］“足够小”, 则［a,b］内的数可以作为方程的近似解.解：第一步, 令f(x)=x2-2,给定精确度d.第二步, 确定区间［a,b］, 满足f(a)·f(b)<0.第三步, 取区间中点m=2ba.第四步, 若f(a)·f(m)<0, 则含零点的区间为［a,m］；否则, 含零点的区间为［m,b］.将新得到的含零点的区间仍记为［a,b］.第五步, 判断［a,b］的长度是否小于d或f(m）是否等于0.若是, 则m是方程的近似解；否则, 返回第三步.于是, 开区间（1.414 062 5,1.417 968 75）中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.实际上, 上述步骤也是求2的近似值的一个算法.点评：算法一般是机械的, 有时需要进行大量的重复计算, 只要按部就班地去做, 总能算出结果, 通常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成, 实际上处理任何问题都需要算法.如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续, 购买物品也有相关的手续……思路2例 1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河, 只有一条船, 同船可容纳一个人和两只动物, 没有人在的时候, 如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请设计算法.分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量, 还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量, 故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼, 这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.解：具体算法如下：算法步骤：第一步：人带两只狼过河, 并自己返回.第二步：人带一只狼过河, 自己返回.第三步：人带两只羚羊过河, 并带两只狼返回.第四步：人带一只羊过河, 自己返回.第五步：人带两只狼过河.点评：算法是解决某一类问题的精确描述, 有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达, 要善于分析任何可能出现的情况, 体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决, 在现实生活中, 很多较复杂的情境经常遇到这样的问题, 设计算法的时候, 如果能够合适地利用某些步骤的重复, 不但可以使得问题变得简单, 而且可以提高工作效率.例2 喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶．问：如何安排这几个步骤？并给出两种算法, 再加以比较．分析：本例主要为加深对算法概念的理解, 可结合生活常识对问题进行分析, 然后解决问题．解：算法一：第一步, 洗刷水壶.第二步, 烧水.第三步, 洗刷茶具.第四步, 沏茶.算法二：第一步, 洗刷水壶.第二步, 烧水, 烧水的过程当中洗刷茶具.第三步, 沏茶.点评：解决一个问题可有多个算法, 可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法．上面的两种算法都符合题意, 但是算法二运用了统筹方法的原理, 因此这个算法要比算法一更科学．例3 写出通过尺轨作图确定线段AB一个5等分点的算法.分析：我们借助于平行线定理, 把位置的比例关系变成已知的比例关系, 只要按照规则一步一步去做就能完成任务.解：算法分析：第一步, 从已知线段的左端点A出发, 任意作一条与AB不平行的射线AP.第二步, 在射线上任取一个不同于端点A的点C, 得到线段AC.第三步, 在射线上沿AC的方向截取线段CE=AC.第四步, 在射线上沿AC的方向截取线段EF=AC.第五步, 在射线上沿AC的方向截取线段FG=AC.第六步, 在射线上沿AC的方向截取线段GD=AC, 那么线段AD=5AC.第七步, 连结DB.第八步, 过C作BD的平行线, 交线段AB于M, 这样点M就是线段AB的一个5等分点.点评：用算法解决几何问题能很好地训练学生的思维能力, 并能帮助我们得到解决几何问题的一般方法, 可谓一举多得, 应多加训练.知能训练设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根.解：算法步骤如下：第一步, 输入一元二次方程的系数：a, b, c.第二步, 计算Δ=b2－4ac的值.第三步, 判断Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立, 输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”, 结束算法.点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性, 是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例题仔细体会算法的特点.拓展提升中国网通规定：拨打市内电话时, 如果不超过3分钟, 则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟, 则超出部分按每分钟0.1元收取通话费, 不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t （分钟）, 通话费用y （元）, 如何设计一个程序, 计算通话的费用. 解：算法分析：数学模型实际上为：y 关于t 的分段函数. 关系式如下：y=⎪⎩⎪⎨⎧∉>+-+∈>-+≤<).,3(),1]3([1.022.0),,3(),3(1.022.0),30(,22.0Z t T T Z t t t t 其中［t －3］表示取不大于t －3的整数部分. 算法步骤如下：第一步, 输入通话时间t.第二步, 如果t≤3, 那么y=0.22；否则判断t∈Z 是否成立, 若成立执行 y=0.2+0.1×(t－3)；否则执行y=0.2+0.1×（［t －3］+1）. 第三步, 输出通话费用c. 课堂小结（1）正确理解算法这一概念.(2)结合例题掌握算法的特点, 能够写出常见问题的算法. 作业课本本节练习1、2.设计感想本节的引入精彩独特, 让学生在感兴趣的故事里进入本节的学习.算法是本章的重点也是本章的基础, 是一个较难理解的概念.为了让学生正确理解这一概念, 本节设置了大量学生熟悉的事例, 让学生仔细体会反复训练.本节的事例有古老的经典算法, 有几何算法等, 因此这是一节很好的课例.。