江苏省南通市如皋中学2019-2020学年高一下学期期初考试数学试题

江苏省如皋中学2019-2020高一第二学期数学阶段考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在等差数列{}n a 中，1252,2a a ==，则101a 的值是 ( )A 、49B 、50C 、51D 、522. 若直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是 ( ) A. l ∥a B. l 与a 异面 C. l 与a 相交 D. l 与a 没有公共点3. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则=1a ( ) A.31 B. 31- C. 91 D. 91-4.若a ,b 为异面直线，,,a b l αβαβ⊂⊂=I ，则 （ ）A.l 与a ,b 分别相交B. l 至少与a ,b 中的一条相交C.l 与a ,b 都不相交D.l 至多与a ,b 中的一条相交5.在空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是AB 、CD的中点，EF =则异面直线AD 与BC 所成的角为 ( ) A ．120ο B. 90ο C. 60ο D. 45ο6. 在数列{a n }中，已知S n ＝1－4＋7－10＋13－16＋…＋1(1)(32)n n ---， 则S 15＋S 22－S 31的值( )A ．57B ．46C ．13D ．－577. 如图，△ABC 中，∠ACB=90ο，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离 点A 时，∠PCB 的大小 （ ）A ．不变B ．变小C ．变大D ．有时变大有时变小lPBAB ECFD8. 定义12nnp p p +++L 为n 个正数12,,,n p p p L 的“均倒数”．若已知正项数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，14n n a b +=，则12231011111b b b b b b +++L 的 值为 ( )A ．111B ．112C ．1011D ．1112二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求。

江苏省如皋中学2019-2020学年高一数学下学期期初复学考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知△ABC 中，a ＝4，b ＝4，∠A ＝30°，则∠B 等于( )3　A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120°2. 若下列不等式成立的是 （ ）,0<<b a A. B. C. D. 22b a <ab a <21<a b ba 11<3. 等差数列中，若,则前9项和= ( )}{n a 45076543=++++a a a a a 9S A.1620 B.810 C.900 D.6754. 已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是[－12，－13]A. B. ( )),2()3,(+∞---∞ )2,3(--C. D. ),3()2,(+∞-∞ )3,2(5.已知的三内角的对边为，若，则的大小为ABC ∆C B A ,,c b a ,,1=+++cb a b ac B A. B. C. D. （ ）o 30o 60o 120o 1506. 若且，则的最小值为（ ）0,0>>y x 191=+y x y x +A.6 B.12 C. 16 D.247. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：（ ）A ．3盏B ．6盏C ． 9盏D ． 281盏8. 已知命题：“在等差数列{}n a 中，若()210424a a a ++=，则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为（ ）A. 17B. 18C. 19D. 20二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除江苏省如皋中学2019～2020学年度高三年级第二学期期初调研测试数 学 Ⅰ 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 已知(1i)z 1i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ． 2． 已知集合{}{}212,A B a a ==，-，，若{}1AB =,则实数a 的值为 ▲ ．3． 已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取 ▲ 名学生．4． 从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为 ▲ ．5． 某程序框图如右图所示，当输入7x =时，输出的y = ▲ ．6． 已知双曲线22213x y b-=的两条渐近线与直线3x =围成正三角形，则双曲线的离心率为 ▲ ．7． 已知变量,x y 满足约束条件0,02x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，则2y x -的最大值为 ▲ ．8． 已知α为锐角，且1cos()63πα+=，则sin α= ▲ ．9． 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12,3AB AA ==，O 为上底面中心．设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为12,S S ，则21S S = ▲ ． 10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且434322+1,2232S S a a a ==++，则1a = ▲ ．11．已知圆22420C x y x y +--=：，过点(6,0)P 的直线l 与圆C 在x 轴上方交于,A B 两点，且3PA PB =，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除则直线l 的斜率为 ▲ ．12．若2,0x y >>，且211x y +=，则1121x y +--最小值为 ▲ ． 13．已知ABC ∆中，2,1AB AC ==，平面ABC 上一点D 满足3BC AD ⋅=-，则()BC BD CD ⋅+= ▲ ．14．已知32()3f x x a x a =--，若存在[]1,1x ∈-，使得()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知2()4sin sin ()cos242xf x x x π=++．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数()(2),0,62g x f x x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的值域．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，面PAD ABCD ⊥面，三角形PAD 为正三角形． （1）若,E F 为,PB CD 中点，证明：//EF PAD 面； （2）若90PAB ∠=︒，证明：面PAD PAB ⊥面．FEPDCBA收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除过椭圆22182x y+=上一点(2,1)P --作两条直线12,l l 与椭圆另交于,A B 点，设它们的斜率分别为12,k k ．（1）若121,1k k ==-，求PAB ∆的面积PAB S ∆； （2）若,OA OB PA PB ==，求直线AB 的方程．18． (本小题满分16分)从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币。

江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一数学下学期教学质量调研试题（二）（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1.数列3，2，95，127，53，…的一个通项公式n a =（ ） A.321nn + B. 321n n - C. 323n n -D.323nn +【答案】B 【解析】 【分析】把数列3，2，95，127，53，…，化简31，63，95，127，159，…，结合规律，即可求解.【详解】由题意，数列3，2，95，127，53，…，可化为31，63，95，127，159，…，可得数列的一个通项公式n a =321nn -.故选：B.【点睛】本题主要考查了根据数列的前几项归纳数列的通项公式，其中解答中合理找出数列中数字的变化规律是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2.已知直线l 是平面α的斜线，过l 作平面β，使//βα，这样的β（ ） A. 恰能作一个 B. 至多作一个C. 至少作一个D. 不存在【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合面面平行的性质即可得解.【详解】若存在过直线l 的平面β，使得//βα，则直线l 与平面α无公共点，与直线l 是平面α的斜线矛盾，不合题意， 所以这样的平面β不存在. 故选：D.【点睛】本题考查了面面平行的性质，考查了空间思维能力，属于基础题.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11518,6115S S a =-=-，则n S 取最大值时的n 的值为（ ） A. 4 B. 5C. 4或5D. 5或6【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，求出nS n可解出d ，将等差数列前n 项和公式和二次函数的性质相结合可得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2188222n n n d d S n d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ∴822n S d dn n =+-，得511582836115S S d d d -=+--==-，解得2d =-， ∴222981892224n d d S n n n d n ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得当4n =或5时，n S 取最大值， 故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值，考查数列的通项，属于中档题.4.空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别为AB ，CD 的中点，EF =面直线AD 与BC 所成的角为（ ） A. 120︒ B. 90︒C. 60︒D. 45︒【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，取AC 的中点G ，连接,EG FG ，利用三角形中位线定理可得： 112EG BC ==，112FG AD ==,在EFG 中，由余弦定理可得cos EGF ∠，即可得结果. 【详解】解：如图所示，取AC 的中点G ，连接,EG FG ， 因为,E F 分别为AB ，CD 的中点，所以112EGBC==，112EG BC==，在EFG中，由余弦定理得，2221131cos22112EG FG EFEGFEG FG+-+-∠===-⋅⨯⨯,因为(0,180)EGF∠∈︒︒，所以120EGF∠=︒，所以异面直线AD与BC所成的角为60︒，故选：C【点睛】此题考查了异面直线所成的角、余弦定理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.5.设等比数列{}n a的前n项和为12nnS m+=+，则na=（）A. 2nB. 132n-⋅ C. 152n-⋅ D. 32n⋅【答案】A【解析】【分析】根据公式11(2)(1)n nnS S naS n--≥⎧=⎨=⎩求解即可.【详解】解：当2n≥时，()()11122222n n n n nn n na S S m m++-=-=+-+=-=；当1n=时，21124a S m m==+=+所以11222nnnnaqa++===；所以221224aqa m===+，解得2m=-，所以12a =，满足2(2)nn a n =≥.所以2nn a =.故选：A.【点睛】本题主要考查已知n S 求n a ，属于基础题.6.在四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为50︒，点P 为直线BC 上的动点，记直线PA 与平面BCD 所成的角为θ，则（ ）A. θ的最大值为40︒B. θ的最小值为40︒C. θ的最大值为50︒D. θ的最小值为50︒【答案】C 【解析】 【分析】过A 作平面BCD 的垂线，找出二面角A BC D --的平面角和直线PA 与平面BCD 所成的角θ，根据正切值可求θ的最大值为50︒.【详解】解：作AE ⊥平面BCD 于E ，在平面BCD 内作EF BC ⊥于F ，连结AF ，由三垂线定理知，AF BC ⊥，则AFE ∠就是二面角A BC D --的平面角，连结AP ，APE ∠就是直线PA 与平面BCD 所成的角θ，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦点P 为直线BC 上的动点，所以,,AE AEEF PE EF PE≤≥即tan50tan tan APE θ︒≥∠=，所以50θ，故θ的最大值为50︒，故选：C【点睛】考查线面角和面面角的求法以及大小比较，基础题.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为1AA ，11B C ，11C D ，BC 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ） A. 直线1BB B. 直线CDC. 直线AHD. 直线GH【答案】C 【解析】 【分析】连接FH ，则可得四边形AEFH 为梯形，所以可得直线EF 与直线AH 相交. 【详解】解：如图，连接FH , 因为,F H 分别为11B C ，BC 的中点， 所以FH ∥1BB ，1FH BB =， 因为E 为1AA 的中点，所以111122AE AA BB ==，AE ∥1BB ， 所以AE ∥FH ，12AE FH =, 所以四边形AEFH 为梯形， 所以直线EF 与直线AH 相交. 故选：C【点睛】此题考查空直线的位置关系，属于基础题.8.数列{}n a 是首项为1，公差为()d d N ∈的等差数列，数列{}n b 的通项公式为2nn b =，设n n b c a =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若7800S <，则d 的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】首先根据等差数列的通项公式求出21nn c d d =+-，利用分组求和求出7S ，再解不等式即可.【详解】∵{}n a 是首项为1，公差为()d d N ∈的等差数列，2nn b =，∴()212121n n n nn b c a a d d d ===+-=+-，∴()()7721271247712d S d d -=+-=+-，即2477800d +<，解得793247d <，故d 的最大值为3， 故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求法，利用分组求和求数列的前n 项和，属于中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9.已知α是一个平面，,m n 是两条直线，有下列四个结论，正确的是（ ） A. 如果//m α，//m n ，那么//n α． B. 如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥．C. 若直线m 垂直于平面α内的无数条直线，则m α⊥．D. 如果m α⊥，//m n ，那么n α⊥． 【答案】BD 【解析】 【分析】由//m α，//m n ，则//n α或n ⊂α，可判定A 不正确；根据线面垂直的性质，可判定B 是正确的；根据线面垂直的定义，可判定C 不正确；根据平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直于这个平面，可判定D 是正确的．【详解】对于A 中，如果//m α，//m n ，那么//n α或n ⊂α，所以不正确；对于B 中，根据线面垂直的性质，可得若m α⊥，//n α，那么m n ⊥，所以是正确的； 对于C 中，根据线面垂直的定义，直线m 垂直于平面α内的任意直线，则m α⊥，而直线m 垂直于平面α内的无数条直线，则m 与α不一定垂直，所以不正确；对于D 中，平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直于这个平面，可得若m α⊥，//m n ，那么n α⊥，所以是正确的． 故选：BD.【点睛】本题主要考查了线面位置关系判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.10.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A. 13n n S -=B. {}n S 为等比数列C. 123n n a -=⋅D. 21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 【答案】ABD 【解析】 【分析】由数列中n a 和n S 的关系式，求得数列的通项公式，可判定D 正确；再利用题设条件，求得n S 的表达式，可判定A 正确，最后结合等比数列的定义，可判定B 正确. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-，可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解，等比数列的定义及应用，以及数列的递推关系式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.11.四棱柱1111A B C D ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，11A A AC AB ==，,M N 分别为线段1A A ，1A B 的中点，下列结论正确的是（ ） A. 1C C //平面OMNB. 平面1//A CD 平面OMNC. 直线1A C 与直线MN 所成的角为90︒D. 1OM D D ⊥【答案】BD 【解析】 【分析】对于A ，假设1C C //平面OMN ，可推出矛盾结论； 对于B ，按照证明两个平面平行的判断定理易证；对于C ，假设直线1A C 与直线MN 所成的角为90︒，则可推出不确定的结论；对于D ，1OM D D ⊥转化为证明11AC A A ⊥，易证. 【详解】解：对于A ，若1C C //平面OMN ，因为11//C C A A ，则1A A //平面OMN ，或1A A ⊂平面OMN ，而1A A 和平面OMN 相交，故A 错；对于B ，因为,M N 分别为线段1A A ，1A B 的中点，所以////MN AB CD ，MN ⊄平面1A CD ，CD ⊂平面1A CD ，所以//MN 平面1A CD ，因为,O N 分别为线段BD ，1A B 的中点，所以1ON A D //，ON ⊄平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD ，所以//ON 平面1A CD ，MN ON N =，MN ⊂平面OMN ，ON ⊂平面OMN ，所以平面1//A CD 平面OMN ，故B 正确；对于C ，若直线1A C 与直线MN 所成的角为90︒，11A A A C AB a ===，由////MN AB CD ，则1=90ACD ∠︒，1A D =，显然22211D A A A A D +=，则1AD A A ⊥，而1A A 和AD 不一定垂直，故C 错误.对于D ，设11A A A C AB a ===，则AC =，显然22211A A AC AC +=，11AC A A ⊥ 由1//MO A C ，所以1MO A A ⊥，而11//D D A A ，所以1OM D D ⊥ 直线1A C 与直线1A A 所成的角为90︒， 故D 正确. 故选：BD【点睛】考查线面平行、面面平行的判断与证明，考查异面直线垂直的判断与证明，基础题. 12.已知等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，*12,,,r n n n N ∈，*12,,,t m m m N ∈，*,r t N ∈且r t ≠，若1212r t n n n m m m +++=+++，则下列结论正确的是（ ）A. 若1a d =，则1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+．B. 若1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，则1a d =．C. 若1b q =，则1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅．D. 若1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，则1b q =． 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质逐一验证即可； 【详解】解：对于A ，()()()1211121111r n n n r a a a a n d a n d a n d ++⋅⋅⋅+=+-++-+++-()()11212r r ra n n n r d n n n d =++++-=+++()()()1211121111t m m m t a a a a m d a m d a m d ++⋅⋅⋅+=+-++-+++-()()11212t t ta m m m r d m m m d =++++-=+++所以1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，A 正确； 对于B ，因为1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()()()()()()1112111121111111r t a n d a n d a n d a m d a m d a m d+-++-+++-=+-++-+++-()()112112r t ra n n n r d ta m m m t d ++++-=++++-()()10r t a d --=，由r t ≠，所以1a d =，B 正确.对于C ，若1b q =，121212121111111r r rr n n n n n n rn n n r n n n b b b b q b q b q b q q ---+++-+++⋅⋅⋅⋅=⋅==121212121111111t t tt m m m m tm m m m m t m m m b b b b q b q b q b q q -+++-+++--⋅⋅⋅⋅=⋅==，所以1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，C 正确. 对于D ，1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅12111111r n n n b q b q b q ---⋅=12111111t m m m b q b q b q ---⋅121r n n n rr b q +++-121t m m m tt b q +++-=，11r tb q -⎛⎫= ⎪⎝⎭因为*,r t N ∈且r t ≠，当r t -是偶数时，111,b b q q=-=-，故D 错误.故选：ABC【点睛】考查等差数列和等比数列的有关性质，基础题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.n S是正项等比数列{}n a的前n和，318a=，326S=，则1a=______．公比q=______．【答案】 (1). 2 (2). 3【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，解得首项和公比即可.【详解】当1q=时，333S a≠，不满足题意，故1q≠；当1q≠时，有()2131181261a qa qq⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解之得：123aq=⎧⎨=⎩.故答案为：2；3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.14.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是_____【答案】32【解析】设球半径为r，则213223423V r rV rπ⨯==π．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．15.下列结论中，正确的序号是_____．①如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内两条直线平行；②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行；③如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行；④如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．【答案】②③【解析】【分析】①中,两个平面平行,故两个平面内的直线没有公共点,可以平行或者异面; ②中,两个平面平行,则两个平面没有任何公共点,则一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点; ③中,一个平面内的锐角由有公共顶点的射线组成,可视为两条相交直线分别平行于另一个平面,由面面平行的判定定理可知正确; ④中, 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交.【详解】对于①, 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内两条直线可以平行或异面,错误;对于②, 如果两个平面平行，根据面面平行的性质定理,则其中一个平面内的直线必与另一平面平行,正确;对于③,如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，而一个角的两边可以看做两条相交直线,根据面面平行的判定定理,那么这两个平面平行,正确;对于④,如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交,错误; 故答案为: ②③【点睛】本题考查命题的真假判断,考查立体几何中空间点、线、面的位置关系,以及学生的空间想象能力,熟记公式和定理是解题的关键.16.已知数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n的前n项和为n S，若关于()*n n N∈的不等式2n nm S S+≥有且仅有一解，则实数m的取值范围是________．【答案】17, 212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】依题意得关于*()n n N ∈的不等式11112m n n n n ≥++++++有且只有一个解，令111()12f n n n n n=++++++，可知{}()f n 为递增数列，根据单调性可得结果. 【详解】依题意得关于*()n n N ∈的不等式11112m n n n n≥++++++有且只有一个解， 令111()12f n n n n n=++++++， 则111111(1)()()()232212f n f n n n n n n n n+-=+++-+++++++++ 11122211n n n =+-+++ 112122n n =-++0>， 所以{}()f n 为递增数列， 因为11(1)112f ==+，117(2)3412f =+=， 所以17212m ≤<. 故答案为：17,212⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了数列不等式有解问题，考查了数列的单调性，属于基础题.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，点,E F （E 与C ，D 不重合）分别在棱CD ，BD 上，且EF BD ⊥．求证：（1）//EF 平面ABC ；（2）AD AC ⊥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）易得//EF BC ，由线面平行判定定理即可得结果；（2）由面面垂直性质定理可得BC ⊥平面ABD ，再由线面垂直判定定理得到AD ⊥面ABC ，进而可得结论.【详解】（1）BC BD ⊥，EF BD ⊥，,,BC EF BD ⊂平面BCD ，//EF BC ∴．EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ．（2）平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，BC ∴⊥平面ABD ．AD ⊂平面ABD ，BC AD ∴⊥， AB AD ⊥，BCAB B =，∴AD ⊥面ABC ， AD AC ∴⊥．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，面面垂直性质定理的应用，通过线面垂直得到线线垂直，属于基础题.18.已知数列{}n a 中，111,34n n a a a +==+．（1）求证：数列{}2n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）32n n a =-【解析】【分析】（1）构造123(2)n n a a ++=+即可证明；（2）由（1）利用等比数列通项公式即可求解【详解】（1）123(2)n n a a ++=+首项123a +=则{}2n a +是首项为3，公比为3的等比数列.（2）由（1）23n n a +=，故32n n a =-【点睛】本题考查等比数列的证明，通项公式，是基础题.19.如图，在长方体1111A B C D ABCD -中，2AB BC ==，13B B =，M 为AC 与BD 的交点．（1）证明：平面11D DBB ⊥平面1B AC ；（2）求直线1D M 与平面1B AC 所成的角．【答案】（1）证明见解析；（2）60︒．【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，得AC BD ⊥，由1B B ⊥平面ABCD ，得1B B AC ⊥，从而得AC ⊥平面11D DBB 进而可证平面11D DBB ⊥平面1B AC ；（2）过1D 作11D H MB ⊥，垂足为H ，可得1D H ⊥平面1B AC ，则1D MH ∠为1D M 与平面1B AC 所成的角，再由已知的数据可得到11MB D 为正三角形，从而得160D MH ︒∠=.【详解】（1）长方体1AC 中，四边形ABCD 为矩形，且AB BC =，∴四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，长方体1AC 中，1B B ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，1B B AC ∴⊥．1,BD B B ⊂平面11D DBB ，1BD B B B ⋂=，AC ∴⊥平面11D DBB ．AC ⊂平面1B AC ，∴平面11D DBB ⊥平面1B AC ．（2）过1D 作11D H MB ⊥，垂足H ，平面11D DBB ⊥平面1B AC ，平面11D DBB ⋂平面11B AC MB =，1D H ⊂平面11D DBB ，1D H ∴⊥平面1B AC ，1D M ∴在平面1B AC 上的射影为MH ，1D M ∴与平面1B AC 所成的角为1D MH ∠．在1Rt B BM 中，112MB BD ===，1B B =，12MB ∴==．同理，12MD =，112B D BD ==，11MB D ∴为正三角形，160D MH ︒∴∠=，∴直线1D M 与平面1B AC 所成的角为60︒．【点睛】此题考查了证明面面垂直，求直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和逻辑思维能力，考查了运算能力，属于中档题.20.已知数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，310a =，125,,a a a 成等比数列，数列{}n b 是公比0q >的等比数列，且11b a =，582b a =+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．【答案】（1）42n a n =-；2n n b =；（2）2(23)212n n T n +=-⋅+．【解析】【分析】（1）利用等差中项及310a =可知1+210a d =，进而通过125,,a a a 成等比数列计算可知()()21114a d a a d +=⋅+，由此可求得42n a n =-，利用11b a =，582b a =+求出12,2b q ==进而计算可得{}n a ，{}n b 的通项公式（2）通过（1）可知(42)2n n n a b n =-⋅，进而利用错位相减法计算即得．【详解】（1）310a =，1210a d ∴+=，①125,,a a a 成等比数列，2215a a a ∴=⋅即()()21114a d a a d +=⋅+，②由①②得：142d a =⎧⎨=⎩或1010d a =⎧⎨=⎩，0d ≠，14,2,d a =⎧∴⎨=⎩42n a n ∴=-． 11582,232,b a b a ==⎧⎨=+=⎩44512b q b ∴==，0q >，2q ∴=， 1222-∴=⋅=n n n b ．（2）1122n n n T a b a b a b =+++1212262(46)2(42)2n n n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅，23122262(46)2(42)2n n n T n n +∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅， ()23144222(42)2n n n T n +∴-=+⋅+++--⋅ ()21121244(42)212n n n -+⋅-=+⋅--⋅-，2(32)212n n +=-⋅-，2(23)212n n T n +∴=-⋅+．【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．21.在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD 是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，2AD =，,,E F M 分别为棱SA ，SB ，AD 上的点，且(0)SE SF DM t t EA FB MA===>．（1）求证：平面//MEF 平面SCD ；（2）若1t =，求二面角A EM B --的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）233． 【解析】【分析】（1）由(0)SE SF DM t t EA FB MA===>可得//EF AB ，//EM SD ，而由//AB CD 得//EF CD ，从而由线面平行的判定定理可得//EF 平面SCD ，//EM 平面SCD ，所以可证得平面//MEF 平面SCD ；（2）过A 作AH EM ⊥，垂足为H ，连接HB ，由已知条件可推出EM HB ⊥，所以AHB ∠为二面角A EM B --的平面角，然后在Rt BAH △中可求出AHB ∠的正切值.【详解】（1）SESFEA FB =，//EF AB ∴．四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，//EF CD ∴．EF ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，//EF ∴平面SCD ．SE DMEA DA =，//EM SD ∴．EM ⊄平面SCD ，SD ⊂平面SCD ，//EM ∴平面SCD ．EFIEM E =，,EF EM ⊂平面MEF ，∴平面//MEF 平面SCD ．（2）过A 作AH EM ⊥，垂足为H ，连接HB ．四边形ABCD 是矩形，AB AD ∴⊥，平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =， AB 平面ABCD ，AB ∴⊥平面SAD ．EM ⊂平面SAD ，AB EM ∴⊥，AH EM ⊥，AB AH A ⋂=，AB ，AH ⊂平面ABH ，EM ∴⊥平面ABH ，HB ⊂平面ABH ，EM HB ∴⊥．AHB ∴∠为二面角A EM B --的平面角．1t =，,E M ∴分别为棱SA ，AD 的中点， SAD △是等边三角形，2AD =，EAM ∴是等边三角形，1AM =，2AH ∴= 在Rt BAH △中，2AH =，1AB =，tan AB AHB AH ∠== ∴二面角A EM B --【点睛】此题考查了证明面面平行，求二面角，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22.数列{}n a 中，13a =，26a =，其前n 项和为n S ，且()11(2)n n n n n a a S a a n ++-⋅=⋅≥．（1）求证：数列{}n S 是等比数列，并求数列{}n S 的通项公式；（2）设()()1211n n n n S b S S +=--，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）证明见解析；3n n S =；（2）111231+=--n n T ． 【解析】【分析】- 21 - （1）由()11n n n n n a a S a a ++-⋅=⋅，化简得211n n n S S S -+=⋅，结合等比数列的性质，证得数列{}n S 是等比数列，进而求得其通项公式．（2）由（1），化简()()1211n n n n S b S S +=--1113131n n +=---，利用“裂项法”，即可求得数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）由题意，因为()11(2,)n n n n n a a S a a n ++-⋅=⋅≥，所以()()()()1111n n n n n n n n n S S S S S S S S S +--+---⋅=-⋅-⎡⎤⎣⎦，可得211(2),n n n S S S n -+=⋅≥， 因为1130S a ==≠，21290S a a =+=≠，所以0n S ≠， 所以11,(2)n n n nS S n S S +-=≥，所以数列{}n S 是等比数列． 则公比213S q S ==，所以数列{}n S 通项公式为1333n n n S -=⋅=． （2）由（1）可得()()1211n n n n S b S S +=--()()1233131n n n +⋅=-⋅-1113131n n +=---， 所以12231111111313131313131n n n T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111231n +=--． 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义、通项公式，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中熟练应用等比数列的定义求得数列的通项公式，结合“裂项法”求和，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。

2019～2020学年度高一年级第二学期教学质量调研（二）数 学 试 题一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1． 数列3，2，95，127，53，…的一个通项公式n a =（ ）A ．321n n + B ．321n n - C ．323n n - D ．323nn + 2． 已知直线l 是平面α的斜线，过l 作平面β，使β∥α，这样的β（ ）A ．恰能作一个B ．至多作一个C ．至少作一个D ．不存在3． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，18a =，5116115S S-=-，则n S 取最大值时的n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．4或5D ．5或64． 空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，EF =直线AD 与BC 所成的角为（ ）A ．120oB ．90oC ．60oD ．45o5． 设等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S m +=+，则n a = ( )A ．2nB ．132n -⋅C ．152n -⋅D ．32n ⋅6． 在四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为50o ，点P 为直线BC 上的动点，记直线PA与平面BCD 所成的角为θ，则（ ）A ．θ的最大值为40oB ．θ的最小值为40oC ．θ的最大值为50oD ．θ的最小值为50o7． 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为1AA ，11B C ，11C D ，BC 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）A ．直线1BB B ．直线CDC ．直线AHD ．直线GH8．数列{}n a 是首项为1，公差为()d d N ∈的等差数列，数列{}n b 的通项公式为2nn b =，设n n b c a =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若7800S <，则d 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多项选择题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。

高一第二学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，，则向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据平面向量线性运算的坐标表示，利用求解即可.详解：，故选B.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算性质，意在考查对基本运算的掌握与应用，属于简单题.2. 下列命题中，正确的是（）A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，，则【答案】C【解析】对于若，则不成立，对于若，则不成立，对于根据不等式的性质两边同乘以，则，故成立，对于若，则不成立，故选C.3. 在数列中，，，则（）A. 2B. 3C.D. -1【答案】D【解析】分析：直接利用递推关系，由求出…,从而可得结果.详解：，，则；；；，故选D.点睛：本题主要考查利用递推公式求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）所求项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）所求项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 对角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】分析：由利用余弦定理列可得为负值，角为钝角，可得三角形为钝角三角形.详解：因为所以可得，再由余弦定理列可得，，为钝角，为钝角三角形，故选A......................5. 在等比数列中，，是方程的两根，则（）A. 2B. -2C. 3D. -3【答案】D【解析】分析：根据韦达定理，利用等比数列的性质可得结果.详解：因为，是方程的两根，所以，由韦达定理可得，，根据等比数列的性质可得，，故选D.点睛：本题主要考查等比数列的性质的应用，属于简单题.等比数列最主要的性质是下标性质：解等比数列问题要注意应用等比数列的性质：若则.6. 设，是平面向量的一组基底，则能作为平面向量的一组基底的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】试题分析：不共线的向量就能作为基底，D选项对于的坐标分别是不共线，故可以作为基底.考点：向量基本运算.7. 在中，已知，，，则角等于（）A. B. 或 C. D. 或【答案】C【解析】分析：由正弦定理可求得的值，由大边对大角可得，从而可得角的值.详解：由正弦定理可得，因为>，可解得，故选C.点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.8. 若向量，满足，则的值为（）A. B. C. -1 D. 1【答案】A【解析】分析：由，可求出的值.详解：因为，得,，故选A.点睛：本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.9. 已知关于的不等式的解集是，则的值是（）A. -11B. 11C. -1D. 1【答案】C【解析】分析：不等式的解集转化为方程的根，由韦达定理求出的值，求和即可得结果. 详解：因为关于的不等式的解集是，所以是方程的根，由韦达定理可得，故，故选C.点睛：本题主要考查一元二次方程不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，考查韦达定理的应用，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.10. 已知等差数列中，是的前项和，且，，则的值为（）A. 260B. 130C. 170D. 210【答案】D【解析】分析：由等差数列的性质可得成等差数列，结合，，即可得结果.详解：由等差数列的性质可得成等差数列，所以，又因为，，所以，解之可得，故选D.点睛：等差数列的常用性质有：(1)通项公式的推广： (2)若为等差数列，且；(3)若是等差数列，公差为，则是公差的等差数列；(4)数列也是等差数列本题的解答运用了性质.11. 已知，则的最小值为（）A. B. -1 C. 2 D. 0【答案】D【解析】因为所以选D.12. 设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为（）A. B. C. 20 D.【答案】C【解析】分析：利用等比数列的前项公式求出，由数列的单调性可得，根据基本不等式的性质求解即可.详解：设等比数列的的公比，，，，则，当且仅当，即时取等号，的最小值为，故选C.点睛：本题考查了等比数列的前项公式，利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 数列，，，，…，则是该数列的第__________项．【答案】8【解析】分析：将，化为，可得，为等差数列，公差为，首项为，利用等差数列的通项公式可得结果.详解：数列，化为，可得，为等差数列，公差为，首项为，通项公式，令，解得，所以是该数列的第项，故答案为.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式，以及归纳推理，属于简单题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.14. 设，满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】3【解析】作可行域，则直线过点A（3,0）时取最大值315. 已知数列的前和为，且，则__________．【答案】【解析】分析：当时，，当时，，可得，两式相减得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可得结果.详解：当时，，当时，，①，②①-②得：，即，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故答案为.点睛：本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.16. 在锐角中，角、、所对的边分别为，，，若，则取值范围是__________．【答案】【解析】由正弦定理,a2=b(b+c)即为sin2A−sin2B=sinBsinC，，，sin(A+B)sin(A−B)=sinBsinC即为sinCsin(A−B)=sinBsinC，sin(A−B)=sinB，由于A，B为三角形的内角，则有A−B=B，即A=2B，sinA=sin2B=2sinBcosB，由正弦定理可得,，结合题意可得角的范围： ,则的取值范围是。

2019-2020学年江苏省南通市如皋市高三（下）期初数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知为虚数单位，则复数z的模为______．2.已知集合，，若，则实数a的值为______．3.已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取______名学生．4.从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为______．5.某程序框图如图所示，当输入时，输出的______．6.已知双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，则双曲线的离心率为______．7.已知变量x，y满足约束条件则的最大值为______．8.已知为锐角，且，则______．9.已知正四棱柱中，，O为上底面中心．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，，则______．10.已知等比数列的前n项和为，且，，则______．11.已知圆C：，过点的直线l与圆C在x轴上方交于A，B两点，且，则直线l的斜率为______．12.若，，且，则最小值为______．13.已知中，，，平面ABC上一点D满足，则______．14.已知，若存在，使得成立，则实数a的取值范围为______．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15.已知．求函数的最小正周期；求函数的值域．16.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，面面ABCD，三角形PAD为正三角形．若E，F为PB，CD中点，证明：面PAD；若，证明：面面PAB．17.过椭圆上一点作两条直线，与椭圆另交于A，B点，设它们的斜率分别为，．若，，求的面积；若，，求直线AB的方程．18.从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱简称“孔方兄”是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形边长比孔的边长小，每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为S．求面积S关于的函数表达式，并求的范围；求面积S最小值．19.若函数的图象上存在两个不同的点关于y轴对称，则称函数图象上存在一对“偶点”．写出函数图象上一对“偶点”的坐标；不需写出过程证明：函数图象上有且只有一对“偶点”；若函数图象上有且只有一对“偶点”，求m的取值范围．20.已知数列，，满足：，．若是等差数列，且公差，求数列的通项公式；若、均是等差数列，且数列的公差，，求数列的通项公式．21.已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，求．22.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．直线l的参数方程为为参数，曲线C的极坐标方程为，求直线l被曲线C所截的弦长．23.如图，在直三棱柱中，，，，，，与交于点E．求异面直线与所成角的余弦值；求二面角的余弦值．24.若排列，，，中存在使得，则称为排列，，，的一个“极小值”，例如：排列2，1，4，3，5中有两个极小值1和记正整数1，2，，n的所有排列中有且仅有一个“极小值”的排列的个数为求，；求．-------- 答案与解析 --------1.答案：1解析：解：由，得，．故答案为：1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.答案：解析：解：，，，，且，．故答案为：．根据及集合元素的互异性即可得出，解出a即可．本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，集合元素的互异性，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．3.答案：50解析：解：高一年级学生所占的比例为，高一年级需抽取人，故答案为：50．由题意，利用分层抽样的定义先求出高一年级学生所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求．本题主要考查分层抽样，属于基础题．4.答案：解析：解：从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，基本事件总数，同学甲被抽到且乙抽不到包含的基本个数，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为．故答案为：．基本事件总数，同学甲被抽到且乙抽不到包含的基本个数，由此能求出同学甲被抽到且乙抽不到的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：5解析：解：模拟执行程序框知；，，；，；，；，即输出．故答案为：5．模拟执行程序框图的运行过程，即可得出输出y的值．本题考查了程序框图的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．6.答案：解析：解：双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为和，所以，所以，所以双曲线的离心率为：．故答案为：．求出双曲线的渐近线方程，利用两条渐近线与直线围成正三角形，求出渐近线的倾斜角，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．7.答案：2解析：解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可得，当直线过点时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2．故答案为：2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8.答案：解析：解：为锐角，且，则，，．故答案为：由，利用两角差的三角公式即可求解．本题主要考查了两角差的正弦公式的应用，属于基础试题．9.答案：解析：解：如图，正四棱柱中，，，则正四棱柱的侧面积分别为；正四棱锥的斜高为．正四棱锥的侧面积．．故答案为：．由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再分别求出正四棱柱与正四棱锥的侧面积，则答案可求．本题考查多面体侧面积的求法，是基础的计算题．10.答案：1解析：解：等比数列的前n项和为，且，，设等比数列的公比为q，显然，．，，即．又，由可得．再把代入可得，，故答案为：1．先判断，再利用条件求出首相和公比，从而得出结论．本题主要考查等比数列的定义、性质，属于基础题．11.答案：解析：解：设直线l的倾斜角为，则直线l的参数方程为．代入，得．设A，B对应的参数分别为，，则，．由，得，，，，整理得：，由图可知，，则，得．联立，解得，则．即直线l的斜率为．故答案为：．由题意设出直线l的参数方程为，代入圆的方程，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合得到，与平方关系联立求得，的值，即可求得直线l的斜率．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查直线参数方程的用法，考查计算能力，是中档题．12.答案：解析：解：，，且，，则，当且仅当即时取等号，此时取得最小值．由已知可用x表示y，然后代入到所求式子后，利用基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．13.答案：解析：解：，，，．故答案为：．可得出，然后根据，，，进行数量积的运算即可求出答案．本题考查了向量减法的几何意义，向量的数量积运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．14.答案：解析：解：，存在，使得成立，，，当时，若，即或，若，即，在，上单调递增，在上单调递减，当，在上单调递减，，解得，故，当时，在，上单调递增，在上单调递减，，，当时，即时，，解得，当时，即时，，解得，由可得或，当时，，在上单调递增，，符合题意，若，即或，若，即，在，上单调递增，在上单调递减，当，在上单调递减，，解得，故，当时，在，上单调递增，在上单调递减，恒成立，，当时，设，恒成立，在上单调递减，，当时，，即，恒成立，当时，，，解得，，由可得，综上所述a的取值范围为，故答案为：．先求导，再分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最大值，使最大值大于等于0，即可求出a的取值范围．本题考查了导数和函数的最值的关系，以及参数的取值范围，函数存在性问题，考查了分类讨论的思想，转化与化归思想，属于难题．15.答案：解：，所以函数的最小正周期为．，因为，所以，所以，即，所以函数的值域为．解析：利用三角函数的诱导公式结合辅助角公式进行转化求解即可．求出函数的解析式，求出角的范围，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期性以及单调性与值域的关系是解决本题的关键．难度中等．16.答案：证明：取PA的中点G，连接GD，GE．在中，因为E，G分别为PB，PA中点，所以且．因为底面ABCD为平行四边形，所以，F为DC的中点，所以．所以且，所以四边形GEFD为平行四边形，所以因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．取AD的中点H，连接PH．因为侧面PAD为正三角形，所以．因为平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，所以平面ABCD．因为平面ABCD，所以，因为，所以，因为，PA，平面PAD，所以平面PAD．因为平面PAB，所以平面平面PAB．解析：取PA的中点G，连接GD，可得四边形GEFD为平行四边形，，即可证明平面PAD．取AD的中点H，连接PH，只需证明，，即可证明平面平面平面PAB．本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．17.答案：解：因为，，所以直线，方程分别为，．由得：，解得，，所以．同理可得：．所以直线AB的方程为．所以．设AB的中点为H点，当直线AB过原点时，点H与点O重合．因为，所以，所以直线AB的方程为．当直线AB不过原点时，设，在中，因为，所以，在中，因为，所以，所以点P，H，O三点共线，因为直线OP的斜率为，所以直线AB的斜率为，设直线AB的方程为，，，由得：，由韦达定理知，，，所以，，所以直线OH斜率为，所以直线OP的斜率与直线OH斜率不相等，即点P，H，O三点不共线，与前面的结论矛盾．综上，直线AB的方程为．解析：先通过点斜式分别写出直线，的方程，再通过曲直联立求出点A和B的坐标，从而求得直线AB的方程以及线段的长，然后利用点到直线的距离公式求出的高，从而求得其面积；设AB的中点为H点，然后分类讨论，当直线AB过原点时，可得知直线AB的方程为；当直线AB不过原点时，结合平面几何知识可得点P，H，O三点共线，然后设直线AB的方程为，，，，再通过曲直联立、韦达定理和中点坐标公式，得到，，所以直线OH斜率为，所以直线OP的斜率与直线OH斜率不相等，即点P，H，O三点不共线，与前面的结论矛盾，最后得到直线AB的方程为．本题考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．18.答案：解：过点O分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E，F，因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，所以点E，F分别为小正方形和大正方形边的中点，所以小正方形的边长为，大正方形的边长为，所以五个正方形的面积和为，因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以，所以，所以的取值范围为，，，答：面积S关于的函数表达式为，的取值范围为，，；，令，则，设，，令得：，t递减极小值递增所以时，面积S最小值为，答：面积S最小值为．解析：由题意可知小正方形的边长为，大正方形的边长为，所以五个正方形的面积和为，又，所以，所以的取值范围为，，；由可知，令，则，设，，利用导数得到当时，面积S最小值为．本题主要考查了利用导数研究函数的最值，是中档题．19.答案：解：函数图象上一对“偶点”的坐标为，，设，因为的定义域为，且，所以函数为奇函数；要证：函数数图象上有且只有一对“偶点”，只需证：在上有且只有一个零点，令，得，所以，函数在上为单调减函数，在上为单调增函数有，，所以函数在上有且只有一个零点所以函数图象上有且只有一对“偶点”，设，，因为的定义域为R，且，所以函数为奇函数．因为函数图象上有且只有一对“偶点”，所以函数在有且只有一个零点，，，当时，因为，所以函数在上为单调增函数，所以，所以函数在无零点，当时，由得：，所以函数在上单调减函数，在上单调增函数所以，设，所以函数在上单调增函数，在上单调减函数所以，所以，所以，设，，设，因为，所以函数在单调增函数所以，所以函数在单调增函数所以，所以当时，，，因为函数在上单调增函数，所以函数在上有且仅有一个，使得，综上：m的取值范围为．解析：根据题意即正弦函数的性质即可直接求解；要证：函数数图象上有且只有一对“偶点”，只需证：在上有且只有一个零点，结合导数及函数的性质即可证明；由题意，问题可转化为函数只有一个零点，结合函数的性质及导数可求．本题中综合考查了函数的性质及导数的综合应用，体现了分类讨论思想的应用，试题具有一定的综合性．20.答案：解：因为是等差数列，且公差，，所以分所以，，，因为分所以，，，；上面式子相加得：，所以分当时也满足上面的通项，综上：数列的通项公式分因为是等差数列，且数列的公差，所以，，得：，即分所以，，因为是等差数列，设等差数列的公差为，所以，由此解得：，，所以，满足，即分因为，所以，所以，当时，，所以，当时，，所以分综上：数列的通项公式分解析：依题意，，利用累加法可求得数列的通项公式；因为是等差数列，且数列的公差，可求得其通项，是等差数列，进一步分析知其公差为0，于是，再利用，即可求得数列的通项公式．本题考查数列递推式，考查等差数列的通项公式的应用，考查考查函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想的综合运用，考查逻辑思维与综合运算能力，属于难题．21.答案：解：因为向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，所以，得：，所以．若，且，则．所以．解析：因为向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，可得，解得若，且，则即可得出．本题考查了矩阵变换、特征值与特征向量、逆矩阵，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.答案：解：由曲线C的极坐标方程为，可得普通方程为：，将直线l的参数方程代入可得，整理可得：，所以，，所以弦长为．解析：将曲线C化为普通方程，将直线l的参数方程代入求出两根之和及两根之积，可得弦长的值．本题考查极坐标方程与普通方程的互化，及弦长公式的应用，属于中档题．23.答案：解：因为，，，所以，所以，以C为坐标原点，射线CA，CB，分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．则0，，0，，4，，4，，2，，设，因为，所以，所以，所以，设异面直线与所成角为所以，所以异面直线与所成角的余弦值为；设平面ADE的一个法向量为，平面的一个法向量为，又，所以，可取，同理可得：，所以，由图可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为．解析：建立空间直角坐标系，可得，利用向量的夹角公式即可得解；求出平面ADE以及平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．本题考查利用空间向量求解异面直线所成角以及二面角，考查数形结合思想，属于中档题．24.答案：解：若将1，2，3排成满足题意的排列，只需将1排中间即可，所以．若将1，2，3，4排成满足题意的排列，可分成两类：排在首位或末位，此时2必须排在3、4之间，共有个；不排在首位也不在末端，共有个．所以．一般地，若1排在两端，1必不为“极小值”，则余下个数中必须有且只有一个“极小值”，此时满足题意的排列共有个．若1排在第3，，号位，1必为极小值，则余下个数中不得再有“极小值”出现，从余下个数中抽取个数排在1的左侧，这个数中的最小数必须排在首位或紧靠1的左侧，否则它即为极小值，矛盾．依此类推，这个数共有种排法．故此时满足题意的排列共有个，所以1不排在两端的排列个数为．所以，特别地，当时，也适合．所以．解析：若将1，2，3排成满足题意的排列，只需将1排中间即可，由此能求出若将1，2，3，4排成满足题意的排列，可分成两类：1排在首位或末位，有个；不排在首位也不在末端，有个．由此能求出．若1排在两端，1必不为“极小值”，则余下个数中必须有且只有一个“极小值”，满足题意的排列共有个．若1排在第3，，号位，1必为极小值，则余下个数中不得再有“极小值”出现，从余下个数中抽取个数排在1的左侧，这个数中的最小数必须排在首位或紧靠1的左侧，依此类推，这个数共有种排法．从而1不排在两端的排列个数为由此能求出．本题考查函数表达式的求法，考查数列、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。