分式全章复习

《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ；【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩解得3x =． ∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 类型二、分式运算3、计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-． 【答案与解析】解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-． 【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（2020•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣． 类型三、分式方程的解法4、（2020•呼伦贝尔）解方程：．【思路点拨】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x +1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【答案与解析】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x +1），得3x +3﹣x ﹣3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x ﹣1）（x +1）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=0．【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．举一反三：【变式】()1231244x x x -=---， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解．类型四、分式方程的应用5、（2020•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得： ﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ． 根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+． 解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。

分式知识点总结及复习汇总一、分式的定义和性质：分式是形如$\frac{a}{b}$的数，其中$a$为分子，$b$为分母，$a$和$b$都为整数且$b \neq 0$。

分式可以表示一个数，也可以表示一个运算过程。

分式可以进行四则运算，包括加减乘除。

分式的相反数：$\frac{a}{b}$的相反数为$-\frac{a}{b}$。

分式的倒数：$\frac{a}{b}$的倒数为$\frac{b}{a}$，其中$a、b$不为零。

分式的化简：将分式化简为最简分式，即分子和分母的最大公约数为1的形式。

二、分式的运算法则：1.加法：两个分式相加，分母相同，分子相加。

2.减法：两个分式相减，分母相同，分子相减。

3.乘法：两个分式相乘，分子相乘，分母相乘。

4.除法：一个分式除以另一个分式，被除数乘以除数的倒数。

三、分式的化简方法：1.求最大公约数：分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数。

2.因式分解：将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。

四、分式与整式的相互转化：1.分式转化为整式：将分式中的分子除以分母，得到的结果为整数。

2.整式转化为分式：将一个整数写成分子，分母为1的形式。

五、分式的应用：1.比例问题：可以利用分式来表示两个比例的关系。

2.部分与整体的关系：可以用分式表示部分与整体的关系。

3.商业问题：例如打折、利润等问题，可以用分式来表示计算。

4.几何问题：例如面积、体积等问题，可以用分式来表示计算。

六、分式的简化步骤：1.因式分解。

2.分子、分母约去最大公约数。

3.整理化简结果。

七、分式的应用举例：1.甲乙两人分别在一段时间内完成一件工作，甲用时5小时完成，乙用时8小时完成，那么甲乙两人一起完成这件工作需要多少小时？解：甲和乙一起完成工作的效率是每小时$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{8}$，所以他们一起完成工作的效率是$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{13}{40}$。

分式知识点总结及复习一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是，分母 B 的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式就没有意义。

例如，式子 1/x 就是一个分式，其中 x 是分母；而 2 就不是分式，因为它没有分母。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。

例如，对于分式 3/（x 1)，要使其有意义，分母 x 1 不能等于 0，即 x 不能等于 1。

三、分式的值为零的条件分式的值为零，需要同时满足两个条件：分子为零，且分母不为零。

比如，对于分式（x ＋ 2)／（x 3)，当分子 x ＋ 2 ＝ 0 时，x ＝－2，此时分母 x 3 ＝－2 3 ＝－5 ≠ 0，所以当 x ＝－2 时，该分式的值为零。

四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于零的整式）例如，分式 2/3 的分子和分母同时乘以 2，得到 4/6，分式的值不变。

五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

确定公因式的方法：系数取分子和分母系数的最大公因数，字母取分子和分母共有的字母，相同字母的指数取最低次幂。

例如，对于分式 6x²y/8xy²，分子和分母的公因式是 2xy，约分后得到 3x/4y。

六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的方法：一般取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母。

例如，分式 1/2x 和 1/3y 的最简公分母是 6xy，通分后分别为 3y/6xy 和 2x/6xy 。

七、分式的乘除法分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。

【巩固练习】 一.选择题1．下列关于x 的方程，其中不是分式方程的是（ ）A.aba a x +=+1 B.x a b x b a +=-11 C.b x a a x 1-=+ D.1=-+++-n x m x m x n x2．ba b a b a b a b a b a -+⨯-+÷-+22)()(的结果是（ ） A ．ba ba +- B ．ba ba -+ C ．2)(ba b a -+ D ．13．分式方程)2(6223-+=-x x x x 的解是（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．无解4．（2015春•四川校级期中）关于x 的分式方程=2+有增根，则实数k 的值为（ ）A ． 3B .0 C.±3 D ． 无法确定5．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是（ ）A ．480480420x x -=+ B ．480480204x x -=+ C ．480480420x x-=-D ．480480204x x-=-6．化简22)11(y x xy y x -⋅-的结果是( )． A ．y x +1B ．yx +-1C ．x y -D ．y x -7.若关于x 的方程2403x x ax -+=-有增根，则a 的值为（ ）．A ．13B ．-11C ．9D ．3 8. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过ah 相遇；若同向而行，则经过bh 甲追上乙．那么甲的速度是乙的（ ）A ．a b b +倍 B ．b a b +倍 C ．a b b a +-倍 D ．b ab a-+倍 二.填空题9．若分式1||2--x xx 的值为0，则x 的值为______．10．若2212x y xy -=，且xy ＞0，则分式yx yx -+23的值为______．11．化简2222936a b a b ab =-______；2426a a ab -＝______． 12．化简﹣的结果是__________．13．如果，则=____________．14．（2014秋•沧浪区校级期中）已知，则= ．15．若分式方程127723=-+-xax x 的解是0x =，则a =______．16．a 个人b 天可做c 个零件(设每人速度一样)，则b 个人用同样速度做a 个零件所需天数是________． 三.解答题 17.（1）已知13a a +=，求221a a +，441a a +的值； （2）已知2217a a +=，求1a a-的值．18.（2014秋•北京校级期中）已知x 2﹣x ﹣6=0，求的值．19.a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根？20. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）求第一批购进书包的单价是多少元？（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；【解析】分式方程是分母含有未知数的等式. 2. 【答案】B ； 【解析】2222()()()()a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b++++-++÷⨯=⨯⨯=----+--. 3. 【答案】D ；【解析】去分母得，()3226x x =-+，解得2x =是增根.4. 【答案】A ；【解析】解：分式方程去分母得：x=2x ﹣6+k ，由分式方程有增根，得到x ﹣3=0，即x=3， 把x=3代入整式方程得：k=3． 故选A ．5. 【答案】A ；【解析】原计划所用时间为480x，实际所用时间为48020x +，选A ．6. 【答案】B ； 【解析】22111()()()xy y x xy x y x y xy x y x y x y--⋅=⋅=---++. 7. 【答案】D ；【解析】因为所给的关于x 的方程有增根，即有30x -=，所以增根是3x =．而3x =一定是整式方程240x x a -+=的根，将其代入得23430a -⨯+=，所以3a =．8. 【答案】C ；【解析】不妨设甲乙两人开始时相距s 千米，甲的速度为1v ，乙的速度为2v ，则根据题意有1212(),().s a v v s b v v =+⎧⎨=-⎩于是 1212()()a v v b v v +=-，所以 21()()a b v b a v +=-，即12v a b v b a +=-．甲的速度是乙的a b b a+-倍． 二.填空题9. 【答案】0；【解析】由题意20x x -=且||10x -≠，解得0x =. 10.【答案】1；【解析】由2212x y xy -=得()()430x y x y -+=，因为xy ＞0，所以4x y =，代入原式得312x yx y+=-.11.【答案】32ab a b -；312ba-； 【解析】222222993363(2)2a b a b ab a b ab ab a b a b ==---；2663242(12)12ab ab ba a a a a==---.12.【答案】a+1； 【解析】﹣=.13.【答案】； 【解析】∵，∴a=2b，=．14.【答案】；【解析】解：设=k ，则x=2k ，y=3k ，z=4k ，则===．15.【答案】7；【解析】将0x =代入原方程，解得7a =.16.【答案】2a c；【解析】每人每天做cab个零件，b 个人用同样速度做a 个零件所需天数是 21c ab a a b a ab b c c÷÷=⨯⨯=．三.解答题17.【解析】 解：（1）因为13a a+=，所以0a ≠， 所以2213a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22129a a ++=．所以2217a a +=．同理可得44147a a+=． （2）因为2217a a +=，所以22125a a+-=，所以215a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1a a -=18.【解析】 解：∵x 2﹣x ﹣6=0，∴x 2=x+6，∴把x 2=x+6代入：原式=6(6)636x x x x +++++=26642x x x x ++++ =66742x x x ++++=6848x x ++=68(6)x x ++=18所以原式的值是18. 19.【解析】解：方程两边都乘以(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x ax x ++=-．整理得(1)10a x -=-． 当1a =时，方程无解． 当1a ≠时，101x a =--． 如果方程有增根，那么(2)(2)0x x +-=，即2x =，或2x =-．当2x =时，1021a -=-，所以4a =-； 当2x =-时，1021a -=--，所以6a =．所以当4a =-或6a =时，原方程会产生增根．20.【解析】解：（1）设第一批购进书包的单价为x 元，则第二批购进书包的单价为(4)x +元，第一批购进书包2000x 个，第二批购进书包63004x +个． 依题意，得2000630034x x ⨯=+， 整理，得20(4)21x x +=，解得80x =．经检验80x =是原方程的根.（2）20006300(12080)(12084)1000270037008084⨯-+⨯-=+=（元）． 答：第一批购进书包的单价为80元．商店共盈利3700元．。

第十五章分式二、知识概念：A1•分式：形如一，A 、B 是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫 B做分式的分子，3叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：分母不等于0.3. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值 不变.4. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分.5. 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6. 最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7. 分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减•用字母表示为：a .b a±b—士 —— ---C C C⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同ci c ad + cb分母分式的加减法法则进行计算•用字母表示为： -±-=b d bd ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为n r CLC积的分母•用字母表示为：-x- = —b d bd⑷分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字 e 士一“ a c a d ad 母表不为： 5 = —X —=b d bc be/ 、川n⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方•用字母表示为：兰=二0丿b n8. 整数指数幕：列式实际问题分式类比分 数性质列方程｛分氏丽目标分式基本性质|类比分数輕分式的运算去分每整式戈程H 标；-］分'式方程的解-检矍解整式方程转式方租的解Wa m xa H =a m+n 5、n是正整数）⑵（/）" = /"（加、斤是正整数）⑶（ah）n =a n h n（〃是正整数）⑷ a m a n = a tn^n（QH O, m> 刃是正整数，m> n）（5）［-| =—（〃是正整数）⑹b n（6）«-w =—（dH（）, n 是正整数）a n9.分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法：①去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）；②按解整式方程的步骤求出未知数的值；③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）.常考例题精选1. （2015 •宜昌屮考）若分式二有意义，则a的取值范围是（） a+1A.a=0B. a=lC. aHTD. aHO2-（2015 •丽水中考）把分式方程丘三转化为-元-次方程时，方程两边需同乘A. xB. 2xC. x+4D. X （x+4）3.（2015 •宜宾中考）分式方程芫-令匕的解为（）X2-9 x-3 x+3A. 3B. -3C.无解D. 3 或-34.（2015 •海南中考）今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块而积相同的荔枝园,分别收获荔枝8 600kg 和9 800kg,甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg,问甲 荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg,根据题意, 可得方程（）8 600 9 800 X X+60 8 600_9 800 x-60 x5-（2015 •河池中考）若分式幺有意义，则x 的取值范围是 --------------6. （2015 •白银中考）若代数式丄-1的值为零，则x 二X-1-----------------------7. （2015 •齐齐哈尔中考）若关于x 的分式方程三二壬-2有非负数解，则a 的取x-1 2x-2值范围是 ___________ .9. （2015 •连云港中考）先化简，再求值:_iv m^-Zmn+n^ 其中旷一3,旷5.m n/ mn10. （2015 -凉山州中考）某车队要把4000t 货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）.（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n （单位：t ）与运输时间t （单位：天）之间 有怎样的函数关系式？8 600 9 800 X X-60 8 600_9 800 x+60 x8. （2015 •呼和浩特中考）化简:（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%,则推迟1天完成 任务，求原计划完成任务的天数.11. （2015 •重庆中考）先化简，再求值：（乎-岂片泊三石，其中x 是不等式 3x+7>l 的负整数解.12. （2015 •玉溪中考）某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师 去购买一些篮球和排球•回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元?13. （2015 •娄底屮考）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的 垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元.已知 甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，>1.乙车每趟运费比甲 车少200元.（1） 求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ （2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？李老师说:“用1000元购买的排球个数和 用1600元购买的蓝球个數相等:“篮球的单价比排球的单价多：・）元”1・（2015-黔西南州）分式七有意义，则x 的取值范围是（）X 1A ・x>lB ・xHl C. x<l D ・一切实数 2 •下列各分式与?相等的是（）db 2 b+2 ab a+bCQ3•下列分式的运算正确的是（）a —3a -2A • a—2c B. a+2 C. ~a —3 [2_ 3 a +b —a+bB.= a+b3—a _____ 1 ^*a 2—6a+9 3 —a4 • (2015-泰安)化简(a+[二。

最新华师版八年级数学下册第16章分式专题复习测试题及答案全套专训1 分式求值的方法名师点金：分式的求值既突出了式子的化简计算，又考查了数学方法的运用，在计算中若能根据特点，灵活选用方法，往往会收到意想不到的效果．常见的分式求值方法有：直接代入法求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值、设参数求值等．直接代入法求值1．(中考·鄂州改编)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋a ＋2a 2－1÷a a －1，其中a ＝5.活用公式求值2．已知x 2－5x ＋1＝0，求x 4＋1x 4的值．3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，求x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2的值．整体代入法求值4．已知x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ＝1，且x ＋y ＋z≠0，求x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y 的值．巧变形法求值5．已知实数x 满足4x 2－4x ＋1＝0，求2x ＋12x的值．设参数求值6．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz 的值．专训2 全章热门考点整合应用名师点金：本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现．分式方程是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题，考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中．其主要考点可概括为：三个概念、一个性质、一种运算、一个解法、一个应用、四种思想．三个概念概念1 分式1．下列说法中，正确的是( )A ．分式的分子中一定含有字母B ．分母中含有字母的式子是分式C ．分数一定是分式D ．当A ＝0，分式AB的值为0(A ，B 为整式)2．若式子1x 2－2x ＋m不论x 取任何数总有意义，则m 的取值范围是( )A ．m≥1B ．m>1C ．m≤1D ．m<1 概念2 分式方程3．关于x 的方程：①x 2－x －13＝6；②x 900＝500x －30；③x 3＋1＝32x ；④a 2x ＝1x ；⑤320x －400x ＝4； ⑥x a ＝35－x.分式方程有____________(填序号)． 4．(中考·遂宁)遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克？设原计划每亩平均产量为x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克，根据题意列方程为( )A .36x －36＋91.5x ＝20 B .36x －361.5x＝20C .36＋91.5x －36x ＝20D .36x ＋36＋91.5x ＝20 概念3 增根5．若关于x 的方程x －4x －5－3＝a x －5有增根，则增根为( )A ．x ＝6B ．x ＝5C ．x ＝4D ．x ＝36．已知方程21＋x －k 1－x ＝6x 2－1有增根x ＝1，求k 的值．7．若关于x 的分式方程2m ＋x x －3－1＝2x无解，求m 的值．一个性质——分式的基本性质8．不改变下列分式的值，将分式的分子和分母中的各项的系数化为整数．(1)15x －12y 14x ＋23y ； (2)0.1x ＋0.3y 0.5x －0.02y .一种运算——分式的运算9．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab 2a ＋b 3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫ab 3a 2－b 22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（a －b ）2，其中a ＝－12，b ＝23.一个解法——分式方程的解法10．(中考·嘉兴)小明解方程1x －x －2x ＝1的过程如下．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．解：方程两边同乘x ，得1－(x －2)＝1.……① 去括号，得1－x －2＝1.……② 合并同类项，得－x －1＝1.……③ 移项，得－x ＝2.……④ 解得x ＝－2.……⑤∴原方程的解为x ＝－2.……⑥一个应用——分式方程的应用11．某超市用3 000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9 000元购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量比第一次的2倍还多300 kg.如果超市按9元/kg的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600 kg按售价的八折售完．(1)该种干果第一次的进价是多少？(2)超市销售这种干果共盈利多少元？四种思想思想1数形结合思想12．如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是－4，2x＋23x－5，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．(第12题) 思想2整体思想13．已知实数a满足a2＋4a－8＝0，求1a＋1－a＋3a2－1·a2－2a＋1a2＋6a＋9的值．思想3 消元思想14．已知2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，且z≠0，求x 2＋y 2＋z 22x 2＋y 2－z 2的值．思想4 类比思想15．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －b a ＋b －b a －b ÷a －2b a －b .答案专训11．解：原式＝[2a ＋1＋a ＋2（a ＋1）（a －1）]·a －1a＝2（a －1）＋（a ＋2）（a ＋1）（a －1）·a －1a＝3a ＋1. 当a ＝5时，原式＝35＋1＝12.2．解：由x 2－5x ＋1＝0得x≠0，∴x＋1x＝5.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝25.∴x 2＋1x 2＝23.∴x 4＋1x 4＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22－2＝232－2＝527.点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答．3．解：x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2＝x 2＋2xy ＋y 2＋xy xy （x ＋y ）＝（x ＋y ）2＋xyxy （x ＋y ）.因为x ＋y ＝12，xy ＝9， 所以原式＝122＋99×12＝1712.4．解：因为x ＋y ＋z≠0，所以等式的两边同时乘(x ＋y ＋z)，得x （x ＋y ＋z ）y ＋z ＋y （x ＋y ＋z ）z ＋x ＋z （x ＋y ＋z ）x ＋y＝x ＋y ＋z ，所以x 2y ＋z ＋x （y ＋z ）y ＋z ＋y 2z ＋x ＋y （z ＋x ）z ＋x ＋z 2x ＋y ＋z （x ＋y ）x ＋y ＝x ＋y ＋z.所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y ＋x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z.所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y＝0.点拨：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想．5．解：∵4x 2－4x ＋1＝0， ∴(2x－1)2＝0.∴2x＝1. ∴原式＝1＋11＝2.6．解：设x 2＝y 3＝z4＝k≠0，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k.所以x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz＝（2k）2－（3k）2＋2（4k）2 2k·3k＋3k·4k＋2k·4k＝27k226k2＝2726.专训21．B2．B点拨：∵x2－2x＋m＝x2－2x＋1＋m－1＝(x－1)2＋m－1，∴当m－1>0，即m>1时，式子1x2－2x＋m总有意义．3．②④⑤4．A 5.B6．解：方程两边同乘x2－1，得2(x－1)＋k(x＋1)＝6.整理得(2＋k)x＋k－8＝0.∵原分式方程有增根x＝1，∴2＋k＋k－8＝0.解得k＝3.7．解：方程两边都乘x(x－3)，得(2m＋x)x－x(x－3)＝2(x－3)，即(2m＋1)x＝－6.①(1)当2m＋1＝0时，此方程无解，∴原分式方程也无解．此时m＝－0.5；(2)当2m＋1≠0时，要使关于x的分式方程2m＋xx－3－1＝2x无解，则x＝0或x－3＝0，即x＝0或x＝3.把x＝0代入①，m的值不存在；把x＝3代入①，得3(2m＋1)＝－6，解得m＝－1.5.∴m的值是－0.5或－1.5.8．解：(1)原式＝12x－30y15x＋40y.(2)原式＝5x ＋15y25x －y.9．解：原式＝（2ab 2）3（a ＋b ）3·（a 2－b 2）2（ab 3）2·14（a －b ）2 ＝8a 3b 6（a ＋b ）3·（a ＋b ）2（a －b ）2a 2b 6·14（a －b ）2 ＝2aa ＋b. 当a ＝－12，b ＝23时，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＋23＝－6.10．解：步骤①去分母时，没有在等号右边乘x ； 步骤②括号前面是“－”号，去括号时，没有变号； 步骤⑥前没有检验． 正确的解答过程如下：解：方程两边都乘x ，得1－(x －2)＝x ， 去括号，得1－x ＋2＝x ，移项、合并同类项，得－2x ＝－3， 解得x ＝32.经检验x ＝32是原分式方程的解．11．解：(1)设该种干果第一次的进价是x 元/kg ，则第二次的进价是(1＋20%)x 元/kg. 由题意，得9 000（1＋20%）x ＝2×3 000x ＋300.解得x ＝5.经检验，x ＝5是原分式方程的解，且符合题意． 答：该种干果第一次的进价是5元/kg.(2)[3 0005＋9 0005×（1＋20%）－600]×9＋600×9×80%－(3 000＋9 000)＝5 820(元)．答：超市销售这种干果共盈利5 820元．12．解：由题意得2x ＋23x －5＝4.去分母，得2x ＋2＝4(3x －5)．解得x ＝2.2.经检验，x ＝2.2是原方程的根．所以x 的值是2.2.点拨：本题运用了数形结合思想，通过观察数轴上A ，B 两点的位置情况并结合已知条件“点A ，B 到原点的距离相等”可知，A ，B 两点所表示的数互为相反数，于是可建立方程求出x 的值．13．解：原式＝1a ＋1－a ＋3（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋3）2＝1a ＋1－a －1（a ＋1）（a ＋3）＝4（a ＋1）（a ＋3）＝4a 2＋4a ＋3.由a 2＋4a －8＝0得a 2＋4a ＝8，故原式＝411.点拨：本题根据已知条件求出a 的值很困难，因此考虑将已知条件变形后整体代入化简后的式子．14．解：由2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，z≠0，得到⎩⎨⎧2x －3y ＝－z ，3x －2y ＝6z.解得⎩⎨⎧x ＝4z ，y ＝3z.所以原式＝（4z ）2＋（3z ）2＋z22（4z ）2＋（3z ）2－z 2＝16z 2＋9z 2＋z 232z 2＋9z 2－z 2＝1320.点拨：本题先用含z 的式子分别表示出x 与y ，然后代入所求式子消去x ，y 这两个未知数，从而简化求值过程，体现了消元思想．15．解：原式＝（2a －b ）（a －b ）－b （a ＋b ）（a ＋b ）（a －b ）·a －b a －2b ＝2a 2－2ab －ab ＋b 2－ab －b 2（a ＋b ）（a －2b ）＝2a 2－4ab （a ＋b ）（a －2b ）＝2a （a －2b ）（a ＋b ）（a －2b ）＝2aa ＋b.点拨：本题是类比思想的典范，分式的性质、运算顺序、运算律都可以类比分数的相关知识．专训2 分式的意义及性质的四种题型名师点金：1.从以下几个方面透彻理解分式的意义：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零；(4)分式值为正数⇔分子、分母同号；(5)分式值为负数⇔分子、分母异号．2．分式的基本性质是约分、通分的依据，而约分、通分为分式的化简求值奠定了基础．)分式的识别1．在3x 4x －2，－5x 2＋7，4x －25，2m ，x 2π＋1，2m 2m中，不是分式的式子有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．从a －1，3＋π，2，x 2＋5中任选2个构成分式，共有________个．分式有无意义的条件3．无论a 取何值，下列分式总有意义的是( )A .a ＋1a 2B .a －1a 2＋1C .1a 2－1D .1a ＋1 4．当x ＝________时，分式x －1x 2－1无意义． 5．已知不论x 为何实数，分式3x ＋5x 2－6x ＋m总有意义，试求m 的取值范围．分式值为正、负数或0的条件6．若x ＋2x 2－2x ＋1的值为正数，则x 的取值范围是( ) A ．x ＜－2 B ．x ＜1C ．x ＞－2且x≠1D ．x ＞17．若分式3x －42－x的值为负数，则x 的取值范围是________． 8．已知分式a －1a 2－b 2的值为0，求a 的值及b 的取值范围．分式的基本性质及其应用9．下列各式正确的是( )A.ab＝a2b2B.ab＝aba＋bC.ab＝a＋cb＋cD.ab＝abb210．要使式子1x－3＝x＋2x2－x－6从左到右变形成立，x应满足的条件是( )A．x＞－2 B．x＝－2 C．x＜－2 D．x≠－211．已知x4＝y6＝z7≠0，求x＋2y＋3z6x－5y＋4z的值．12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求x|y＋z|＋y|z＋x|＋z|x＋y|的值．专训2 分式运算的八种技巧名师点金分式的加减运算中起关键作用的就是通分．但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常能达到化繁为简、事半功倍的效果．约分计算法1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2－9a 2＋6a ＋9.整体通分法2．计算：a －2＋4a ＋2.顺次相加法3．计算：1x －1＋1x ＋1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1.换元通分法4．计算：(3m －2n)＋（3m －2n ）33m －2n ＋1－(3m －2n)2＋2n －3m 3m －2n －1.裂项相消法⎝ ⎛⎭⎪⎫即1n （n ＋1）＝1n －1n ＋15．计算：1a （a ＋1）＋1（a ＋1）（a ＋2）＋1（a ＋2）（a ＋3）＋…＋1（a ＋99）（a ＋100）.整体代入法6．已知1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，求abc ab ＋bc ＋ac的值．倒数求值法7．已知 x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2x 4－9x 2＋1的值．消元法8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz≠0，求5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．答案专训11．C 点拨：4x －25，2m ，x 2π＋1不是分式． 2．6 点拨：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．3．B 4.±15．解：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)．因为(x －3)2≥0，所以当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义．6．C 点拨：x 2－2x ＋1＝(x －1)2.因为分式的值为正数，所以x ＋2＞0且x －1≠0.解得x ＞－2且x≠1.7．x ＞2或x ＜438．解：因为分式a －1a 2－b 2的值为0，所以a －1＝0且a 2－b 2≠0.解得a ＝1且b≠±1. 9．D 10.D11．解：设x 4＝y 6＝z 7＝k(k≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7k. 所以x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z ＝4k ＋2×6k＋3×7k 6×4k－5×6k＋4×7k ＝37k 22k ＝3722. 12．解：由x ＋y ＋z ＝0，xyz≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正．当x ，y ，z 为两正一负时，不妨设x ＞0，y ＞0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z |－z|＝1＋1－1＝1；当x ，y ，z 为两负一正时，不妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z |－z|＝1－1－1＝－1. 综上所述，所求式子的值为1或－1.专训21．解：原式＝a （a ＋6）a （a ＋3）－（a ＋3）（a －3）（a ＋3）2＝a ＋6a ＋3－a －3a ＋3＝9a ＋3. 点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程．2．解：原式＝a －21＋4a ＋2＝a 2－4a ＋2＋4a ＋2＝a 2a ＋2. 点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减．3．解：原式＝x ＋1x 2－1＋x －1x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x （x 2＋1）＋2x （x 2－1）（x 2－1）（x 2＋1）＋4x 3x 4＋1＝4x 3x 4－1＋4x 3x 4＋1＝4x 3（x 4＋1）＋4x 3（x 4－1）（x 4－1）（x 4＋1）＝8x 7x 8－1. 点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．4．解：设3m －2n ＝x ，则原式＝x ＋x 3x ＋1－x 2－x x －1＝ x （x 2－1）＋x 3（x －1）－x 2（x 2－1）－x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝－2x （x ＋1）（x －1）＝4n －6m （3m －2n ＋1）（3m －2n －1）. 5．解：原式＝1a －1a ＋1＋1a ＋1－1a ＋2＋1a ＋2－1a ＋3＋…＋1a ＋99－1a ＋100＝1a －1a ＋100＝100a （a ＋100）.点拨：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用1n（n＋1）＝1 n －1n＋1进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项．6．解：1a＋1b＝16，1b＋1c＝19，1a＋1c＝115，上面各式两边分别相加，得⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＋1c×2＝16＋19＋115，所以1a＋1b＋1c＝31180.易知abc≠0，所以abcab＋bc＋ac＝11c＋1a＋1b＝18031.7．解：由xx2－3x＋1＝－1，知x≠0，所以x2－3x＋1x＝－1.所以x－3＋1x＝－1.即x＋1x＝2.所以x4－9x2＋1x2＝x2－9＋1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x2－11＝22－11＝－7.所以x2x4－9x2＋1＝－17.8．解：以x，y为主元，将已知的两个等式化为⎩⎨⎧4x－3y＝6z，x＋2y＝7z.解得x＝3z，y＝2z.因为xyz≠0，所以z≠0.所以原式＝5×9z2＋2×4z2－z22×9z2－3×4z2－10z2＝－13.点拨：此题无法直接求出x，y，z的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．专训3 巧用分式方程的解求字母的值名师点金：巧用分式方程的解求字母的值主要体现在以下几方面：(1)利用方程解的定义求字母的值，解决这类问题的方法是将其解代入分式方程，即可求出待定字母的值；(2)利用分式方程有解、有增根、无解求字母的取值范围或值时，一般都是列出关于待定字母的不等式或方程，通过解不等式或方程得到字母的取值范围或值．利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x 与分式方程32x ＝1x －1的解相同，求m 2－2m 的值．利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x 的方程x －2x －3＝m x －3＋2有解，求m 的取值范围．利用分式方程有增根求字母的值3．若分式方程x x －1－m 1－x＝2有增根，则m ＝________. 4．若关于x 的方程m x 2－9＋2x ＋3＝1x －3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．利用分式方程无解求字母的值5．(中考·东营)若分式方程x －a x ＋1＝a 无解，则a ＝________. 6．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m 3－x无解，求m 的值．7．已知关于x 的分式方程x ＋a x －2－5x＝1. (1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值；(2)若方程有增根，求a 的值；(3)若方程无解，求a 的值．答案专训1．解：解分式方程32x ＝1x －1，得x ＝3. 经检验，x ＝3是该方程的解．将x ＝3代入2x ＋4＝m x， 得27＝m 3.解得m ＝67. ∴m 2－2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫672－2×67＝－4849. 2．解：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m.∵分式方程有解，∴x＝4－m 不能为增根．∴4－m≠3.解得m≠1.∴当m≠1时，原分式方程有解．3．－14．解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x ＋3)(x －3)＝0，所以x ＝3或x ＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x ＋3)(x －3)，得m ＋2(x －3)＝x ＋3.当x ＝3时，m ＋2×(3－3)＝3＋3，解得m ＝6；当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m＝12.综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.当x＝3时，m＝6；当x＝－3时，m＝12.点拨：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．5．1或－16．解：原方程可化为(m＋3)x＝4m＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：(1)若整式方程无实根，则m＋3＝0且4m＋8≠0，此时m＝－3；(2)若整式方程的根是原方程的增根，则4m＋8m＋3＝3，解得m＝1.经检验，m＝1是方程4m＋8m＋3＝3的解．综上所述，m的值为－3或1.7．解：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．。