北师大版数学七年级下册2.3《平行线的性质》精选练习 学生版

北师大版数学七年级下册2.3《平行线的性质》精选练习一、选择题1.如图△ABC中，∠A=63°，点D、E、F分别是BC、AB、AC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，则∠EDF的大小为( )A.37°B.57°C.63°D.27°2.如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于( )A.60°B.50°C.45°D.40°3.如图，已知a∥b，∠1=50°，则∠2=( )A.40°B.50°C.120°D.130°4.如图，已知AB∥CD，∠2=130°，则∠1的度数是( )A.40°B.50°C.60°D.70°5.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=37°时，∠1的度数为( )A．37° B．43° C．53° D．54°6.如图，直线11∥12，∠1=30°，则∠2+∠3=( )A．150° B．180° C．210° D．240°7.如图，l∥m，∠1=115°，∠2=95°，则∠3=（）A.120°B.130°C.140°D.150°8.如图，已知直线a∥b，∠1=60°，则∠2的度数是( )A.45°B.55°C.60°D.120°9.如图，AB∥CD，∠1=70°，FG平分∠EFD，则∠2的度数是( )A.30°B.35°C.40°D.70°10.如图，a∥b，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）A.40°B.50°C.60°D.70°11.如图,已知AB∥CD,∠A=70°,则∠1的度数是（）A.70°B.100°C.110°D.130°12.如图,小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（）A.右转80°B.左转80°C.右转100°D.左转100°二、填空题13.如图，已知直线a∥b，∠1=85°，则∠2=_____.14.两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的2倍少15°，则这两个角为_____.15.如图AB∥CD，CB∥DE，∠B=50°，则∠D= °．16.如图，AD∥CE，∠ABC=100°，则∠2﹣∠1的度数是.17.如图，AB∥CD，若∠1=60°，则∠2= ．18.如图，已知AB∥EF，∠C=90°，则α、β与γ的关系是.三、解答题19.如图，已知在△ABC中，AD平分∠EAC且AD∥BC，那么∠B=∠C吗？请说明理由.20.如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB，图中∠1与∠2有什么关系？为什么？21.如图，已知DE⊥AO于E，BO⊥AO于O，FC⊥AB于C，∠1=∠2，DO和AB有怎样的位置关系？为什么？22.如图，已知∠A=∠ADE，∠C=∠E.（1）若∠EDC=3∠C，求∠C的度数；（2）求证：BE∥CD.23.如图，已知∠BAP+∠APD=180°，∠1 =∠2.求证:∠E =∠F．24.如图，已知AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCD．求证：EF平分∠BED．参考答案1.答案为：C2.答案为：D3.答案为：D4.答案为：B；5.答案为：C6.答案为：C.7.答案为：D.8.答案为：C.9.B10.D11.C12.A13.答案为：85°14.答案为：65°，115°或15°，15°15.答案为：130．16.答案为：80°.17.答案为：60°．18.答案为:α+β﹣γ=90°.19.解：∠B=∠C.理由如下：∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C.∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC.∴∠B=∠C.20.解：∠1=∠2.理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠1=∠DAF，∠2=∠DAE，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAF=∠DAE，∴∠1=∠2.21.解：DO⊥AB.理由如下：∵DE⊥AO于E，BO⊥AO于O，∴DE∥BO，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴CF∥OD，∵FC⊥AB，∴OD⊥AB.22.（1）∵∠A=∠ADE，∴AC∥DE.∴∠EDC＋∠C=180°.又∵∠EDC=3∠C，∴4∠C=180°.即∠C=45°.（2）证明：∵AC∥DE，∴∠E=∠ABE.又∵∠C=∠E，∴∠C=∠ABE.∴BE∥CD.23.证明：∵∠BAP+∠APD=180°，∴AB∥CD.∴∠BAP =∠APC.又∵∠1 =∠2,∴∠BAP-∠1 =∠APC-∠2.即∠EAP =∠APF.∴AE∥FP.∴∠E =∠F.24.证明：∵ AC∥DE（已知），∴∠1=∠5（两直线平行，内错角相等）．同理∠5=∠3．∴∠1=∠3（等量代换）．∵ DC∥EF（已知），∴∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）．∵ CD平分∠ACB，∴∠1=∠2（角平分线定义），∴∠3=∠4（等量代换），∴ EF平分∠BED（角平分线定义）．。

2.3 平行线的性质第1课时平行线的性质一、选择题（共7小题）1．如图，直线a，b被直线c所截，若直线a∥b，∠1＝108°，则∠2的度数为( )（第1题图）A．108° B．82° C．72° D．62°2．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是( )（第2题图）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠1＋∠3＝180° D．∠3＋∠4＝180°3．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D为( )（第3题图）A．85° B．75° C．60° D．30°4．如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是( ) A．42° B．64° C．74° D．106°（第4题图）（第5题图）5．如图，将一块含有30°角的三角尺的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是( )A．14° B．15° C．16° D．17°6．如图，已知BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB.若∠CEF＝100°，则∠ABD的度数为( )A．60° B．50° C．40° D．30°（第6题图）（第7题图）7．如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C 处，则∠ABC的度数是( )A．80° B．90° C．100° D．95°二、填空题（共5小题）8．如图，点D，E，F分别在BC，AC，AB上，如果DE∥AB，那么∠A＋________＝180°或∠B＋________＝180°，根据是____________________________________；如果∠CED ＝∠FDE，那么________∥________，根据是___________________________________．（第8题图）（第9题图）9．如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1＝30°，则∠D＝________°.10．如图，点A在直线a上，射线AB，AC分别交直线b于点B，C.若a∥b，∠1＝70°，∠2＝40°，则∠3的度数为________．（第10题图）（第11题图）11．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于点D.若∠CDE＝150°，则∠C的度数为________．12．一大门栏杆的平面示意图如图，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE.若∠BCD ＝150°，则∠ABC＝________度.（第12题图）三、解答题（共5小题）13．如图，点D在射线AE上，AB∥CD，∠CDE＝140°，求∠A的度数．（第13题图）14．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．（第14题图）15．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，猜想∠BAC与∠DGA之间的数量关系，并说明理由．（第15题图）16．如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105°，第二次拐的角∠B是135°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？（第16题图）17. 有一天，许威同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB，CD，然后在平行线间画了一点E，连接BE，DE后(如图K－19－17①)，他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②、图③、图④等图形，这时他突然一想，∠B，∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着许威同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．(1)你能探讨出图①至图④各图中的∠B，∠D与∠BED之间的关系吗？(2)请从所得的四个关系中选一个，说明它成立的理由．（第17题图）参考答案一、1．C2． D 解析：如图，因为AB ∥CD ，所以∠3＋∠5＝180°.又因为∠5＝∠4，所以∠3＋∠4＝180°，故选D .3．B 解析：因为AB ∥CD ，所以∠C ＝∠ABC ＝30°.又因为CD ＝CE ，所以∠D ＝∠CED.因为∠C ＋∠D ＋∠CED ＝180°，即30°＋2∠D ＝180°，所以∠D ＝75°.故选B .4． C 解析：因为AB ∥CD ，所以∠C ＝∠ABC ＝64°.在三角形BCD 中，∠CBD ＝180°－∠C －∠D ＝180°－64°－42°＝74°，故选C .5． C 解析：如图，因为∠ABC ＝60°，∠2＝44°，所以∠EBC ＝16°.因为BE ∥CD ，所以∠1＝∠EBC ＝16°，故选C .6． B 解析：因为EF ∥AB ，∠CEF ＝100°，所以∠ABC ＝∠CEF ＝100°.因为BD 平分∠ABC ，所以∠ABD ＝12∠ABC ＝12×100°＝50°. 7． C 解析：因为向北方向线是平行的，所以∠A ＋∠ABF ＝180°，所以∠ABF ＝180°－60°＝120°，所以∠ABC ＝∠ABF －∠CBF ＝120°－20°＝100°.二、8．∠AED ∠BDE 两直线平行，同旁内角互补 DF AC 内错角相等，两直线平行9． 60解析： 因为DA ⊥CE ，所以∠DAE ＝90°.因为∠1＝30°，所以∠BAD ＝60°.又因为AB ∥CD ，所以∠D ＝∠BAD ＝60°，故答案为60.10．70°11．120°12．120解析：如图，过点B作BM∥AE.因为CD∥AE，所以CD∥BM∥AE，所以∠1＋∠BCD＝180°，∠2＋∠BAE＝180°.因为∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，所以∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠ABC＝∠1＋∠2＝120°.三、13．解：因为∠CDE＝140°，所以∠CDA＝180°－140°＝40°.因为AB∥CD，所以∠A＝∠CDA＝40°.14．解：如图，因为直线AB∥CD，所以∠3＝∠1＝54°，∠2＝∠5.因为BC平分∠ABD，所以∠4＝∠3＝54°，所以∠2＝∠5＝180°－54°－54°＝72°.15．解：∠BAC＋∠DGA＝180°.理由：因为EF∥AD，所以∠2＝∠BAD.又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠BAD，所以AB∥DG，所以∠BAC＋∠DGA＝180°.16．解：如图，过点B作直线BE∥CD.因为CD∥AF，所以BE∥CD∥AF，所以∠ABE＝∠A＝105°，所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°.又因为BE∥CD，所以∠CBE＋∠C＝180°，所以∠C＝150°.17 解：(1)图①中，∠BED＝∠B＋∠D；图②中，∠BED＝360°－∠B－∠D；图③中，∠BED＝∠D－∠B；图④中，∠BED＝∠B－∠D.(2)(答案不唯一)选图①中的∠BED＝∠B＋∠D.说明理由如下：过点E在∠BED的内部作EF∥AB.因为AB∥CD，所以EF∥CD.因为AB∥EF，所以∠B＝∠BEF.因为EF∥CD，所以∠D＝∠DEF，所以∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D，即∠BED＝∠B＋∠D.第2课时平行线性质与判定的综合应用一、选择题（共5小题）1．下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，同位角相等．其中是平行线的性质的是( ) A．① B. ②③C．④ D. ①④2．如图，从点O(点O在直线PQ上)照射到抛物线上的光线OB，反射以后沿着与直线PQ 平行的方向射出．若∠POB＝60°，则∠ABO等于( )A．40°B．60° C．130° D．180°（第2题图）（第3题图）3．如图，∠1＝∠2，∠C＝130°，∠2＝22°，则∠DAC的度数是( )A．25° B．24° C．28° D．22°4．如图，已知AB⊥GH，CD⊥GH，直线CD，EF，GH相交于一点O.若∠1＝42°，则∠2等于( )A．130° B．138° C．140° D．142°（第4题图）（第5题图）5.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置．若∠EFB＝58°，则∠AED′等于( )A．58° B．32° C．122° D．64°二、填空题（共3小题）6．如图，点D在EF上，∠A＝120°，∠B＝60°，∠EDA＝55°，则∠F＝________°.（第6题图）（第7题图）7．如图，如果AB∥DF，DE∥BC，并且∠1＝65°，求∠2，∠3的度数．解：因为DE∥BC(________)，所以∠1＝∠2(________________________)．因为∠1＝65°(________)，所以∠2＝65°(等量代换)．又因为AB ∥DF (________)，所以∠3＋∠2＝180°(____________________)，所以∠3＝115°(等式的性质)．8．如图，∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＝50°，∠D ＝40°，则∠AED ＝________°.（第8题图）三、解答题（共7小题）9．如图，已知CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，点E 在AC 上，且∠EDC ＝12∠ACB ，∠DCB ＝30°，求∠AED 的度数．（第9题图）10．如图①是大众汽车的车标图案，图②反映了其中直线间的关系，且AC ∥BD ，AE ∥BF ，试确定∠A ，∠B 之间的关系，并说明理由．（第10题图）11．如图，AB∥CD，∠1＝∠2.试说明：AM∥.（第11题图）12．如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠C，试说明：AE∥BC.（第12题图）13．如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D，F，∠1＝∠2.(1)试判断DG与BC的位置关系，并说明理由；(2)若∠A＝70°，∠BCG＝40°，求∠ADG的度数．（第13题图）14．如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC.(1)试说明：AB∥CD；(2)若∠1＋∠2＝180°，且∠BFC＝2∠C＋30°，求∠B的度数.（第14题图）15 .如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，点E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF.(1)直线AD与BC有何位置关系？请说明理由．(2)求∠DBE的度数．(3)若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．（第15题图）参考答案一、1．D 解析：平行线的性质是已知两直线平行，得到角与角之间的数量关系；平行线的判定是由角与角之间的数量关系得到两直线之间的位置关系．2．B3．C 解析： 因为∠1＝∠2，所以AB ∥CD.因为∠C ＝130°，∠2＝22°，所以∠DAC ＝180°－130°－22°＝28°.故选C .4．B 解析：因为AB ⊥GH ，CD ⊥GH ，所以∠GMB ＝∠GOD ＝90°，所以AB ∥CD ，所以∠BPF ＝∠1＝42°，所以∠2＝180°－∠BPF ＝180°－42°＝138°.5．D 解析：因为四边形ABCD 是长方形，所以AD ∥BC ，所以∠DEF ＝∠EFB ＝58°.因为沿EF 折叠，所以∠FED′＝∠DEF ＝58°，所以∠AED′＝180°－58°－58°＝64°，故选D .二、6．55 解析：因为∠A ＝120°，∠B ＝60°，所以∠A ＋∠B ＝180°，所以AD ∥BF ，所以∠EDA ＝∠F.因为∠EDA ＝55°，所以∠F ＝55°.7．已知 两直线平行，内错角相等已知 已知 两直线平行，同旁内角互补8． 90 解析：如图，延长DE 交AB 于点F.因为∠B ＋∠C ＝180°，所以AB ∥CD.因为∠D ＝40°，所以∠AFD ＝∠D ＝40°.因为∠A ＝50°，所以∠AEF ＝180°－50°－40°＝90°，所以∠AED ＝180°－90°＝90°.三、9．解：因为CD 平分∠ACB(已知)，所以∠DCB ＝12∠ACB(角平分线的定义)． 又因为∠EDC ＝12∠ACB(已知)， 所以∠DCB ＝∠EDC(等量代换)，所以DE ∥BC(内错角相等，两直线平行)，所以∠AED ＝∠ECB(两直线平行，同位角相等)．又因为∠DCB ＝30°(已知)，所以∠ECB ＝2×30°＝60°，所以∠AED ＝∠ECB ＝60°.10．解：∠A＝∠B.理由如下：因为AC∥BD，所以∠A＝∠DOE.因为AE∥BF，所以∠B＝∠DOE，所以∠A＝∠B.11．解：因为AB∥CD，所以∠EAB＝∠ECD.因为∠1＝∠2，所以∠EAM＝∠E，所以AM∥.12．解析：要说明AE∥BC，需推出∠ADC＋∠C＝180°，而∠A＝∠C，也就是要推出∠ADC＋∠A＝180°，也就是要推出AB∥CD，而利用已知条件易得AB∥CD.解：因为∠1＝∠2(已知)，所以DC∥AB(同位角相等，两直线平行)，所以∠ADC＋∠A＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．又因为∠A＝∠C(已知)，所以∠ADC＋∠C＝180°(等量代换)，所以AE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．13．解：(1)DG与BC平行．理由如下：因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以CD∥EF，所以∠1＝∠BCD.因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠BCD，所以DG∥BC.(2)因为∠A＝70°，∠BCG＝40°，所以∠B＝180°－∠A－∠BCG＝70°.因为DG∥BC，所以∠ADG＝∠B＝70°.14．解：(1)因为∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，所以∠A＝∠D，所以AB∥CD.(2)因为∠1＋∠2＝180°，∠CGD＋∠2＝180°，所以∠CGD＝∠1，所以CE∥FB，所以∠C＝∠BFD.又因为∠BFC ＝2∠C ＋30°，∠BFC ＋∠BFD ＝180°. 所以2∠BFD ＋30°＋BFD ＝180°，所以∠BFD ＝50° 由(1)知AB ∥CD ，所以∠B ＝∠BFD ＝50°.15 解：(1)AD ∥BC.理由：因为AB ∥CD ，所以∠A ＋∠ADC ＝180°.又因为∠A ＝∠C ，所以∠ADC ＋∠C ＝180°，所以AD ∥BC.(2)因为AB ∥CD ，所以∠ABC ＝180°－∠C ＝80°.因为∠DBF ＝∠ABD ，BE 平分∠CBF ，所以∠DBE ＝12∠ABF ＋12∠CBF ＝12∠ABC ＝40°. (3)存在．设∠ABD ＝∠DBF ＝∠BDC ＝x°.因为AB ∥CD ，所以∠BEC ＝∠ABE ＝x°＋40°，∠ADC ＝180°－∠A ＝80°， 所以∠ADB ＝80°－x°.若∠BEC ＝∠ADB ，则x°＋40°＝80°－x°，解得x ＝20， 所以存在使∠BEC ＝∠ADB 的情况，此时∠BEC ＝∠ADB ＝60°.。

北师大版数学七年级下册2.3《平行线的性质》课时练习(时间：30分钟)一、选择题1.如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB.若∠AEC=100°，则∠D等于( )A.70°B.80°C.90°D.100°2.已知直线a∥b，∠1和∠2互余，∠3=121°，那么∠4等于（）A．159° B．149° C．139° D．21°3.如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（）A．75° B．55° C．40° D．35°4.如图，AB∥CD，CD⊥EF，若∠1=125°，则∠2=（）A.25°B.35°C.55°D.65°5.如图,AB∥CD,直线l交AB于点E,交CD于点F,若∠2=80°,则∠1等于（）A.120°B.110°C.100°D.80°6.如图,一条公路两次转弯后又回到原来的方向,若第一次转弯时∠B＝140°,则∠C的度数( )A.140°B.40°C.100°D.180°7.如图,直线m∥n,点A在直线m上,点B,C在直线n上,AB=BC,∠1=70°,CD⊥AB于D,那么∠2等于（）A.20°B.30°C.32°D.25°8.如图,AB∥CD∥EF,BC∥AD,AC平分∠BAD,则图中与∠AGE相等的角（）A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,已知a∥b,三角形直角顶点在直线a上,已知∠1=25°18/27//，则∠2度数是（）A.25°18/27//B.640 41/33//C.74°4133//D.64°41/43//10.如图所示，把一根铁丝折成图示形状后，AB∥DE，则∠BCD等于（）A.∠D+∠BB.∠B﹣∠DC.180°+∠D﹣∠BD.180°+∠B﹣∠D二、填空题11.如图,直线a∥b,∠1=85°,∠2=35°,则∠3为．12.如图，AB∥CD，将矩形EFGH的顶点E和F分别放在直线AB与CD上，若∠1=40°，则∠CFG的度数等于．13.如图,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后,D、C分别落在D′,C′的位置上,ED′与BC交于G点,若∠EFG=56°,则∠AEG= ．14.如图，AB∥CD，∠ɑ=三、解答题15.如图，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，求∠BEC的度数．16.如图,已知D是BC上的一点,DE∥AC,DF∥AB．求证:∠A＋∠B＋∠C=180°．17.如图, ∠BAP+∠APD=180°，AE//FP.求证：∠1=∠2.18.如图，已知AB∥CD，∠1：∠2：∠3=1：2：3，求证：BA平分∠EBF，下面给出证法1. 请阅读证法1后，找出与证法1不同的证法2，并写出证明过程.证法1：设∠1、∠2、∠3的度数分别为x,2x,3x.∵AB∥CD，∴2x+3x=180°，解得x=36°∴∠1=36°，∠2=72°，∠3=108°∵∠EBD=180°，∴∠EBA=72°∴BA平分∠EBF北师大版数学七年级下册2.3《平行线的性质》课时练习（含答案）参考答案一、选择题1.B.2.B3.C4.B5.答案为：D；6.答案为：C；二、填空题7.答案为：50°8.答案为：130°．9.答案为：68°10.答案为：85°三、解答题11.解：如图，延长BE交CD的延长线于点F，∵AB∥CD[已知]∴∠ABE+∠EFC=180°[两直线平行，同旁内角互补]又∵∠ABE=120°，[已知]∴∠EFC=180°﹣∠B=180°﹣120°=60°，[两直线平行，同旁内角互补]∵∠DCE=35°∴∠BEC=∠DCE+∠EFC=35°+60°=95°12.【证明】∵ DE∥AC（已知），∴∠BED＝∠A，∠BDE＝∠C（两直线平行，同位角相等）．∵ DF∥AB（已知），∴∠BED＝∠EDF（两直线平行，内错角相等），∠FDC＝∠B（两直线平行，同位角相等）．∴∠EDF＝∠A（等量代换）．∵∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°（平角定义），∴∠C＋∠A＋∠B＝180°（等量代换）．即∠A＋∠B＋∠C＝180°．13.解：∵∠BAP+∠APD=180．∴AB//CD∴∠BAP=∠APC∵AE//FP∴∠EAP=∠APF∴∠BAP-∠EAP=∠APC-∠APF即∠l=∠2．14.条件①∠EBC=∠FCB，或CF∥BE,证明略。

第二章相交线与平行线2.3 平行线的性质(1)同步习题含答案一、填空题1.如图，已知AB∥CD，∠1=70°，则∠2=______，∠3=______，∠4=______.2.如图，a∥b，c∥d，∠1=60°,则∠2= ，∠3= ，∠4= ．3.如图，AB∥CD，∠DCE=80°，则∠AEC的度数为.（第1题图）（第2题图）（第3题图）4.如图，如果AB‖PC，∠P=35°，那么∠PAB= ；如果AP‖BD，那么∠P=∠；如果AB‖CD，那么∠ABC+ ∠C = ；如果AD‖BC，∠2=18°，∠5=40°，那么∠ABC= .5.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠AEF，∠1=40°，则∠2的度数为.6.已知CD‖AB,∠1＝120°，∠2＝80°，则∠E的度数为．7.已知AB‖CD‖EF，∠A=105°，∠ACE=45°，求∠E的度数为.8.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝______.（第7题图）（第8题图）9.如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝45°，∠AFC＝25°，则∠C＝．10.如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是．（第9题图）（第10题图）二、解答题11.如图，已知AG‖CF，AB‖CD，∠A＝40°，求∠C的度数.（第11题图）12.如图，是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A=115°，∠D=100°.已知梯形的两底AD‖BC，请你求出另外两个角的度数.（第12题图）13.如图，AB‖CD，∠EAB＝45°，则∠FDC的度数是多少？（第13题图）14.如图所示，小张从家(图中A处)出发，向南偏东40°的方向走到学校(图中B 处)，再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家(图中C处)，试问∠ABC 为多少度？（第14题图）15.如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC，∠ABD的平分线，那么∠BAO与∠ABO之间有什么数量关系？线段AO与BO有什么位置关系？（第15题图）16.如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，求证：BD‖CE.（第16题图）第二章相交线与平行线2.3 平行线的性质(1)同步习题答案1.70°70°110°2.60°60°120°3.80°4.145° 3 180°58°5.100°6.40°7.30°8.120°9.20°10.50°11.解：∵AG‖CF,∠A=40°（已知），∴∠FEB＝40°（两直线平行，同位角相等）.∵AB‖CD（已知），∴∠C＝∠FEB＝40°（两直线平行，同位角相等）.12.解：∵AD‖BC（已知）∴∠A＋∠B＝180°.∠C＋∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠A＝115°，∴∠B＝180°－115°＝65°.∵∠D＝110°, ∴∠C＝180°－110°＝70°.∴∠B＝65°，∠C＝70°.13.解：∵∠EAB＝45°∴∠BAD＝135°（补角定义）.∵AB‖CD（已知）,∴∠ADC＝∠BAD＝135°（两直线平行，同位角相等）.∴∠CDF＝180°－∠ADC＝180°－135°＝45°（补角定义）. ∴∠CDF＝45°.14.解：∵AE‖BD（已知）∴∠DBA＝∠EA B（两直线平行，内错角相等）.∵∠EAB＝40°,∴∠DBA＝40°.∵∠DBC＝75°,∴∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝75°－40°＝35°.∴∠ABC＝35°.15. 证明：∴∠BAO ＋∠ABO ＝90°，AO ⊥BO理由如下；∵AC ‖BD （已知）,∴∠CAB +∠ABD ＝180°（两直线平行。

2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2.3平行线的性质》知识点分类练习题（附答案）一．平行线的性质1．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180°C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°2．如图，AB∥CD，连接AC、BC、BD，且BD⊥BC，下列结论：①若∠A＝2∠BDC，则∠ABC＝∠ACB；②若∠BDC与∠A互补，则2∠ABC+∠ACB＝90°，则（）A．仅①正确B．仅②正确C．①②都正确D．①②都不正确3．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG和∠GHF的平分线交于点M．若∠EGH＝82°，∠HFD＝20°，则∠M的度数为（）A．31°B．36°C．41°D．51°4．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF⊥DE，垂足为F，则∠ABE与∠EDC的数量关系是（）A．∠EDC﹣∠ABE＝90°B．∠ABE+∠EDC＝180°C．∠ABE＝∠EDC D．∠ABE+∠EDC＝90°5．如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（）A．140°B．150°C．130°D．160°6．如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（）A．α，β的角度数之和为定值B．α随β增大而增大C．α，β的角度数之积为定值D．α随β增大而减小7．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°8．如图，l1∥l2∥l3，∠1，∠2，∠3如图所示，则下列各式正确的是（）A．∠3＝∠1+∠2B．∠2+∠3﹣∠1＝90°C．∠1﹣∠2+∠3＝180°D．∠2+∠3﹣∠1＝180°9．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④10．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（）A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°11．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为（）A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°12．如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处∠B＝140°，则第二个弯道处∠C也为140°，能解释这一现象的数学知识是（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行13．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，折痕为DE，∠ABE平分线所在直线与∠EDH 平分线所在直线相交于点F，若∠F＝∠BED，则∠1的度数为．14．如图，点F是长方形ABCD的边BC上一点，将长方形的一角沿AF折叠，点B落在点E处，若AE∥BD，∠ADB＝28°，则∠AFC＝°．15．如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥CD，将纸片沿EF折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过点B，FD′交BC于点G，连结EG，EG平分∠BEF．（1）若∠CFG＝76°，则∠BEG的度数是；（2）若EG∥A′D′，∠A+∠DFE＝125°，则∠CFE的度数是．16．如图1，在矩形纸片ABCD中，点P在AD上，点Q在BC上，将纸片沿PQ折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．PF交BQ于点G．设∠QPG＝α．继续折叠纸片，使GF 落在BC边上（如图2），折痕为GM．（1）若α＝60°，则∠MGF＝°．（2）沿GF继续折叠，若GM恰好是∠PGF的三等分线，则α＝°．17．如图，已知AM∥CN，D为AM，CN之间一点，∠EAD＝32°，∠DCN＝88°，∠EAD 与∠DCN的角平分线交于点B，连结BD交AM、CN与点E、F，若∠ABD：∠CBD＝4：1，则∠ADF：∠CDF的比值为．18．如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．（1）若图中α＝70°，则β＝°（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的CD边与CB边重合（如图2），若继续沿CB边折叠，CE边恰好平分∠ACB，则此时β的度数为度．19．如图1，将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点A′，B'，折叠后A′M与CN相交于点E．（1）若∠B′NC＝48°，求∠A′MD的度数．（2）设∠B′NC＝α，∠A′MN＝β．①请用含α的代数式表示β．②当MA′恰好平分∠DMN时，求∠A′MD的度数．20．如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．（1）当∠FDC+∠ABC＝180°时：①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．②若∠ABC＝130°，求∠DFB的度数．（2）当∠C＝α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．二．平行线的判定与性质21．小明和小亮在研究一道数学题，如图EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为E，D，G在AC 上．小明说：“如果∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB”；小亮说：“连接FG，如果FG∥AB，则能得到∠GFC＝∠ADG”．则下列判断正确的是（）A．小明说法正确，小亮说法错误B．小明说法正确，小亮说法正确C．小明说法错误，小亮说法正确D．小明说法错误，小亮说法错误22．如图，AD，BC相交于点O，∠MCD＝∠BCM＝α，∠B＝4α．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠A＝∠B，求∠BOD的度数；（用含α的式子表示）（3）若点E在AB上，连接OE，EP平分∠OEB交CM于点P，如备用图所示，求证：∠COE＝2∠EPC+∠B．23．如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．24．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．25．如图，已知∠1+∠BDE＝180°，∠2+∠4＝180°．（1）证明：AD∥EF；（2）若∠3＝90°，∠4＝140°，求∠BAC的度数．参考答案一．平行线的性质1．解：过点E作EM∥AB，如图：∵AB∥CD，EM∥AB∴CD∥EM，∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．故选：C．2．解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∠A+∠ACD＝180°，∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴∠ABC＝∠BCD＝90°﹣∠BDC，①∵∠A＝2∠BDC，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣2∠BDC，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝180°﹣2∠BDC﹣（90°﹣∠BDC）＝90°﹣∠BDC，∴∠ACB＝∠ABC，故①正确；②∵∠BDC与∠A互补，∴∠BDC＝180°﹣∠A，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝∠BDC，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝∠BDC﹣（90°﹣∠BDC）＝2∠BDC﹣90°，∴2∠ABC+∠ACB＝2（90°﹣∠BDC）+（2∠BDC﹣90°）＝90°，故②正确；故选：C．3．解：如图：过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，HK∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GN∥MP∥KH∥CD，∵GN∥AB，∴∠AEG＝∠EGN，∵GN∥KH，∴∠NGH＝GHK，∵HK∥CD，∴∠HFD＝∠KHF，∵∠EGH＝82°，∠HFD＝20°，∴∠AEG+∠GHF＝102°，∵EM和MH是角平分线，∴∠AEM+∠NHF＝51°，∵∠HFD＝∠KHF＝20°，∴∠AEM+∠MHK＝31°，∵MP∥AB∥HK，∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠NHK，∴∠EMP+∠PMH＝31°，即∠EMH＝31°．故选：A．4．解：过F点作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠BFG＝∠ABF，∠DFG+∠CDF＝180°，∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABF，∴∠BFG+∠DFG+∠CDF＝∠ABF+180°，∴90°+∠CDE＝∠ABE+180°，即∠EDC﹣∠ABE＝90°．故选：A．5．解：过G作GM∥AB，∴∠2＝∠5，∵AB∥CD，∴MG∥CD，∴∠6＝∠4，∴∠G＝∠5+∠6＝∠2+∠4，∵FB、CG分别为∠EFG，∠ECD的角平分线，∴∠1＝∠2＝∠EFG，∠3＝∠4＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ECD＝210°，∵AB∥CD，∴∠ENB＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ENB＝210°，∵∠1＝∠E+∠ENB，∴∠1+∠EFG＝∠1+∠1+∠2＝210°，∴3∠1＝210°，∴∠1＝70°，∴∠EFG＝2×70°＝140°．故选：A．6．解：过C点作MF∥AB，∵AB∥DE，∴MF∥DE，∴∠α＝∠BCM，∠β+∠DCM＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠BCM+∠DCM＝360°﹣∠BCD＝270°，∴∠α+（180°﹣∠β）＝270°，∴∠α﹣∠β＝90°，∴α随β增大而增大，故选：B．7．解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．8．解：∵l1∥l2∥l3，∴∠1＝∠2+∠4，∠4+∠3＝180°，∴∠1﹣∠2+∠3＝180°，故选：C．9．解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．当AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD时，∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝180°＝90°，即α+β＝90°，又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．故选：D．10．解：A、如图1：∵∠1＝40°，∠2＝140°，∴AB与CD不平行；故本选项错误；B、如图2：∵∠1＝40°，∠2＝40°，∴∠1＝∠2，∴AB与CD平行；故本选项正确；C、如图3：∵∠1＝40°，∠2＝140°，∴∠1≠∠2，∴AB不平行CD；故本选项错误；D、如图4：∠1＝40°，∠2＝40°，∴∠3＝140°，∴∠1≠∠3，∴AB与CD不平行；故本选项错误．故选：B．11．解：当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，由折叠可知，∠K＝∠P＝90°，∠ENM＝90°，∵PK∥MN，∴∠K＝∠Q＝90°，∴∠ENM＝∠Q，∴EN∥KH，∵∠EFC＝37°，∴∠AEF＝37°，∴∠AEN＝74°，∴∠AHQ＝74°，∵∠KHD＝∠AHQ，∴∠KHD＝74°；当PK在AD下方时，延长HK，MN交于点T，由折叠可知，∠HKP＝90°，∠MNE＝90°，∵MN∥KP，∴∠T＝∠HKP＝90°，∴∠ENM＝∠T＝90°，∴EN∥HK，∵∠EFC＝37°，∴∠AEF＝37°，∴∠AEN＝74°，∴∠AHK＝74°，∵∠KHD＝180°﹣∠AHK＝106°；综上所述：∠KHD＝74°或106°，故选：D．12．解：因为拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，所以根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠C＝140°，故选A．13．解：如图．令∠BED＝x，则∠F＝．由题意得：∠BED＝∠DEM＝x，AH∥EM．∴∠BDE＝∠DEH＝x，∠EDH＝180°﹣x．∴∠EBD＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝180°﹣2x．∴∠ABE＝180°﹣∠EBD＝2x．又∵直线BN是∠ABE的角平分线．∴∠ABN＝．∴∠FBD＝∠ABN＝x．又∵直线DF是∠EDH的角平分线所在直线．∴∠FDE＝．∴∠BDF＝∠FDE﹣∠BDE＝（90°+）﹣x＝90°﹣．又∵∠BFD+∠FBD+∠FDB＝180°．∴．∴x＝72°．∴∠1＝∠EBD＝180°﹣2x＝36°．14．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB＝28°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+28°＝118°，∵矩形ABCD沿AF折叠，点B落在点E处，∴∠BAF＝∠EAF＝∠BAE＝×118°＝59°，∴∠AFC＝∠BAF+∠ABF＝59°+90°＝149°．故答案为149．15．解：（1）由折叠可知∠DFE＝∠EFG，∵∠CFG＝76°，∴∠DFE＝52°，∵AB∥CD，∴∠FEB＝∠DFE＝52°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝26°，故答案为：26°；（2）设∠BEG＝α，则∠FEB＝2α，∴∠DFE＝∠FEB＝2α，由折叠可知，∠A＝∠A'，∵∠A+∠DFE＝125°，∴∠A'+2α＝125°，∵EG∥A′D′，∴∠A'+∠A'EB+α＝180°，∴∠A'EB＝55°+α，∵∠AEF+2α＝180°，∴∠A'EB+2α+2α＝180°，∴α＝25°，∴∠DFE＝50°，∴∠CFE＝130°，故答案为：130°．16．解：（1）如图：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠F′GF＝∠GPD，由折叠得：∠GPQ＝∠GPD，∠MGF＝∠F′GF，∴∠MGF＝∠GPQ＝α＝60°，故答案为：60；（2）如图：由折叠得：∠MGF＝∠M′GF＝α，∵BC∥AD，∴∠PGF＝180°﹣∠GPD＝180°﹣2α，∵GM是∠PGF的三等分线，∴分两种情况：当∠MGF＝∠PGF时，∴α＝（180°﹣2α），∴α＝，当∠MGF＝∠PGF时，∴α＝（180°﹣2α），∴α＝36°，综上所述，α＝或36°，故答案为：或36．17．解：设直线AD与CN交于点Q．∵AM∥CN，∠EAD＝32°，∴∠EAD＝∠DQC＝32°，∵AB为∠EAD的角平分线，CB为∠DCN的角平分线，∠DCN＝88°，∴∠DCB＝∠BCN＝44°，∠DAB＝∠EAB＝16°，∵∠BCN+∠DQC＝∠BAD+∠ABC，即44°+32°＝16°+∠ABC，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝60°，∵∠ABD：∠CBD＝4：1，∴∠ABD＝48°，∠CBD＝12°，∴∠ADF＝∠ABD+∠BAD＝64°，∠CDF＝∠CBD+∠BCD＝56°，∴∠ADF：∠CDF＝8：7．故答案为：8：7．18．解：（1）根据上下边互相平行可知，α＝∠OAD，∵α＝70°，∴∠OAD＝70°．又∠OAD+2β＝180°，∴β＝55°．故答案为：55．（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的∠ACE都相等，而这四个角的和为180°，故每个角为45°，∴∠ACB＝90°，即α＝90°，由（1）中可得，β＝（180°﹣90°）＝45°．故答案为：45．19．解：（1）∵NB′∥A′M，∴∠A′EC＝∠B′NC＝48°，∵CN∥MD，∴∠A′MD＝∠A′EC＝48°．（2）①由（1）得：∠A′MD＝∠B′NC＝α，又∵2∠A′MN+∠A′MD＝180°，∴β＝90°﹣．②∵MA′恰好平分∠DMN，∴∠A′MD＝180°÷3＝60°．20．解：（1）①AD∥BC，理由如下：∵ED∥AB，∴∠EDF＝∠DAB，∵DA是∠CDE的角平分线，∴∠EDF＝∠ADC，∴∠DAB＝∠ADC，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；②∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝130°，∴∠FBC＝65°，∵AD∥BC，∴∠DFB＝180°﹣∠FBC＝115°；（2）作CG∥AB，∵AB∥DE，∴CG∥AB∥DE，∴∠1＝180°﹣∠EDC，∠2＝180°﹣∠ABC，∴∠BCD＝∠1+∠2＝180°﹣∠EDC+180°﹣∠ABC＝180°﹣2∠EDA+180°﹣2∠ABF＝180°﹣2∠DAB+180°﹣2∠ABF＝360°﹣2（∠DAB+∠ABF）＝360°﹣2∠DFB＝α，∴∠DFB＝180°﹣α．二．平行线的判定与性质21．解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，若∠CDG＝∠BFE，∵∠BCD＝∠BFE，∴∠BCD＝∠CDG，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB，故小明说法正确；∵FG∥AB，∴∠B＝∠GFC，故得不到∠GFC＝∠ADG，故小亮说法错误，故选：A．22．证明：（1）∵∠MCD＝∠BCM＝α，∴∠BCD＝∠BCM+∠MCD＝4α＝∠B，∴AB∥CD．解：（2）过O做OF，使OF∥AB∥CD∵AB∥CD，∴∠D＝∠A＝∠B＝3α，∵AB∥OF，∴∠B＝∠BOF，CD∥OF，∴∠FOD＝∠D，∠BOD＝∠BOF+∠FOD＝∠B+∠D＝4α+3α＝7α．证明：（3）过点P作AB、CD的平行线PQ，∵AB∥PQ∥CD，∴∠QPC＝∠PCD＝α，∴∠BEP＝∠EPQ＝∠OEB，∵∠COE＝∠OEP+∠ENO，且∠ENO＝∠B+∠BEN＝∠BNP，∴∠COE＝∠B+∠BEN+∠OEP＝∠B+∠OEB，又∵EP平分∠OEB，∴∠COE＝2∠EPC+∠B．23．（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∴EF∥BC；（2）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∴∠3+∠MNF＝180°，∴AB∥FP，∴∠F+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝3∠F﹣20°，∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∵AB∥FP，EF∥BC，∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，∴∠B＝∠F＝50°．24．（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．∴∠BGF+∠DHE＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射线GH是∠BGM的平分线，∴，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵，∴，∴∠FGN＝2β，过点H作HT∥GN，则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．25．（1）证明：∵∠1+∠BDE＝180°，∴AC∥DE，∴∠2＝∠ADE，∵∠2+∠4＝180°．∴∠ADE+∠4＝180°，∴AD∥EF；（2）解：∵AD∥EF，∴∠BAD＝∠3＝90°，∵∠2+∠4＝180°，∠4＝140°，∴∠2＝40°，∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°．。

2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2.3平行线的性质》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，AB∥EC，则下列结论正确的是（）A．∠A＝∠ECD B．∠A＝∠ACE C．∠B＝∠ACE D．∠B＝∠ACB 2．如图，AB∥CD，若∠1＝115°，则∠D的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．85°3．如图，直线a∥b，点A在直线a上，点C、D在直线b上，且AB⊥BC，BD平分∠ABC，若∠1＝32°，则∠2的度数是（）A．13°B．15°C．14°D．16°4．如图，直线l1∥l2，∠1＝136°，则∠2的度数是（）A．44°B．46°C．54°D．64°5．如图，直线a∥b，一块含30°角的直角三角板如图放置，∠1＝24°，则∠2为（）A．34°B．26°C．24°D．36°6．如图，已知AB∥EF，DE∥BC，则与∠1相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，已知直线l1∥l2，直线l与l1，l2分别相交于点A，B，把一块含30°角的直角三角尺按如图位置摆放，若∠1＝130°，则∠ABD的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°8．如图，已知CB∥DF，则下列结论成立的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠3D．∠1+∠2＝180°9．如图，AF∥BE∥CD，若∠1＝40°，∠2＝50°，∠3＝120°，则下列说法正确的是（）A．∠F＝100°B．∠C＝140°C．∠A＝130°D．∠D＝60°二．填空题10．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别到C′、D′的位置，D′E 与BC相交于G，若∠1＝40°，则∠2＝°．11．如图，a、b、c三根木棒钉在一起，∠1＝70°，∠2＝100°，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则秒后木棒a，b平行．12．如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B与∠D的平分线相交于点P，则∠P＝°．13．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE，则∠BAE＝°．14．如图所示，若AB∥CD，给出下列结论：①∠1＝∠B；②∠EFD+∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠BFD＝∠B．其中，正确的是．15．如图，DE∥BC，BD平分∠ABC，∠1＝25°，则∠2＝°．三．解答题16．证明：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．已知：如图，直线b∥c，．求证：．证明：17．如图，AB∥CD，CB∥DE．（1）求证∠B+∠D＝180°．证明：∵AB∥CD，∴∠B＝（两直线平行，内错角相等）．∵CB∥DE，∴．∴∠B+∠D＝180°（）．（2）若CM平分∠BCD，与DE交于点M．求证∠CMD＝∠B．18．如图，直线AB、CD被直线AC所截，交点为A、C．已知AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上）．设∠BAE＝α，∠DCE＝β，请结合图形直接写出∠AEC的大小（用含有α、β的式子表示）．19．如图，△ABC中，D为AC边上一点，过D作DE∥AB，交BC于E；F为AB边上一点，连接DF并延长，交CB的延长线于G，且∠DF A＝∠A．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）若∠C＝80°，∠ABC＝60°，求∠G的度数．20．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．21．已知直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，O是平面内一点（不在直线AB、CD、EF上），OG平分∠EOF，射线OH∥AB，交EF于点H．（1）如图①，若∠AEO＝45°，∠CFO＝75°，则∠HOG＝，（2）如图②，若∠AEO＝150°，∠HOG＝20°，则∠CFO＝；（3）直接写出点O在不同位置时∠AEO、∠CFO和∠HOG三个角之间满足的数量关系．22．【探究结论】（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是（直接写出结论，不需要证明）：【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为．参考答案一．选择题1．解：∵AB∥EC，∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠ECD．故选：B．2．解：如图，∵∠1＝115°，∴∠2＝180°﹣∠1＝65°，∵AB∥CD，∴∠D＝∠2＝65°．故选：B．3．解：延长CB交直线a于点E，如图，∵AB⊥BC，∠1＝32°，∴∠ABC＝90°，∴∠AEC＝90°﹣∠1＝58°，∵a∥b，∴∠ECF＝∠AEC＝58°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝45°，∵∠ECF是△BCD的外角，∴∠2＝∠ECF﹣∠CBD＝13°．故选：A．4．解：如图，∵l1∥l2，∠1＝136°，∴∠3＝∠1＝136°，∵∠3+∠2＝180°，∴∠2＝44°，故选：A．5．解：如图，过60°角的顶点作c∥a，∵a∥b，∴c∥b，∴∠3＝∠1＝24°，∴∠4＝60°﹣24°＝36°，∵c∥a，∴∠2＝∠4＝36°．故选：D．6．解：如图所示，与∠1相等的角有∠B、∠DEF、∠EFC共3个，故选：C．7．解：如图：∠EAB＝∠1＝130°（对顶角相等），∵l1∥l2，∴∠EAB+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠ABC＝180°﹣130°＝50°．∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝50°﹣30°＝20°．故选：B．8．解：∵CB∥DF，∴∠2＝∠3（两条直线平行，同位角相等）．故选：B．9．解：∵BE∥CD，∴∠2+∠C＝180°，∠3+∠D＝180°，∵∠2＝50°，∠3＝120°，∴∠C＝130°，∠D＝60°，∵AF∥BE，∠1＝40°，∴∠A＝180°﹣∠1＝140°，∠F的值无法确定．故选：D．二．填空题10．解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∵∠1＝40°，∴∠2＝180°﹣∠1＝140°，故答案为：140．11．解：设t秒后木棒a，b平行，依题意有100°﹣18°t＝70°﹣3°t，解得t＝2．或180°+100°﹣18°t＝70°﹣3°t，解得t＝14．故2秒或14秒后木棒a，b平行．故答案为：2或14．12．解：过点P作PG∥AB，过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB，延长CD到点N，如图：∵PG∥AB，AB∥CD，∴AB∥PG∥CD，∴∠1＝∠2，∠8＝∠9，∵∠ABE与∠CDF的平分线相交于点P，∴∠1＝∠ABE，∠9＝∠CDF，∴∠BPD＝∠2+∠8＝∠1+∠9＝（∠ABE+∠CDF），∵BE∥DF，∴∠3+∠4＝∠5+∠6，∵EH∥AB，FM∥AB，AB∥CD，延长CD到点N，∴AB∥EH∥FM∥CN，∴∠ABE＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠7，∴∠ABE＝∠7，∵∠7+∠CDF＝180°，∴∠ABE+∠CDF＝180°，∴∠BPD＝（∠ABE+∠CDF）＝×180°＝90°．故答案为：90．13．解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故答案为：75．14．解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠B，故①正确；∠CFB+∠B＝180°，∠B＝∠BFD，故④正确；∵∠EFD＝∠CFB，∴∠CFB+∠B＝180°，故②正确；无法证得∠B＝∠D，故③错误；综上所述，正确的有①②④．故答案为：①②④．15．解：∵BD平分∠ABC，∠1＝25°，∴∠ABC＝2∠1＝50°，∵DE∥BC，∴∠2＝∠ABC＝50°，故答案为：50．三．解答题16．解：已知：如图，直线b∥c，a⊥c．求证：b⊥a．∴∠1＝∠2，∵a⊥c，∴∠2＝90°，∴∠1＝∠2＝90°，∴b⊥c．故答案为：a⊥c；b⊥a．17．证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．∵CB∥DE，∴∠BCD+∠D＝180°．∴∠B+∠D＝180°（等量代换）．故答案为：∠BCD；∠BCD+∠D＝180°；等量代换；（2）∵CB∥DE，∴∠BCM＝∠CMD，∵CM平分∠BCD，∴∠BCM＝∠BCD，∴∠CMD＝∠BCD，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD，∴∠CMD＝∠B．18．解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．故答案为：β﹣α或α+β或α﹣β或360°﹣α﹣β．19．（1）证明：∵DE∥AB，∴∠A＝∠CDE，∠DF A＝∠FDE，∵∠DF A＝∠A，∴∠CDE＝∠FDE，∴DE平分∠CDF；（2）∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，∠C＝80°，∠ABC＝60°，∴∠A＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵∠DF A＝∠A，∴∠GFB＝∠DF A＝40°，∵∠G+∠GFB＝∠ABC，∴∠G＝∠ABC﹣∠GFB＝60°﹣40°＝20°．20．解：（1）作EG∥AB，FH∥AB，连结MF，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠CDE＝180°，∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE＝360°，∵∠BED＝∠BEG+∠DEG＝100°，∴∠ABE+∠CDE＝260°，∵∠ABE和∠CDE的角平分线相交于F，∴∠ABF+∠CDF＝130°，∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝130°，∵BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，∴∠MBF＝∠ABF，∠MDF＝∠CDF，∴∠MBF+∠MDF＝65°，∴∠BMD＝130°﹣65°＝65°；（2）∵∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∴∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM，∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，∴∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠BED＝360°，∵∠M＝∠ABM+∠CDM，∴6∠M+∠BED＝360°，∴∠M＝；（3）由（2）结论可得，2n∠ABM+2n∠CDM+∠E＝360°，∠M＝∠ABM+∠CDM，则2n∠M+∠BED＝360°．21．解：（1）∵AB∥CD，OH∥AB，∴AB∥OH∥CD，∴∠AEO＝∠EOH，∠CFO＝∠FOH，∴∠AEO+∠CFO＝∠EOH+∠FOH，即∠AEO+∠CFO＝∠EOF，∵∠AEO＝45°，∠CFO＝75°，∴∠EOF＝120°，∵OG平分∠EOF，∴∠EOG＝60°，∴∠HOG＝∠EOG﹣∠EOH＝15°，故答案为：15°；（2）∵AB∥CD，OH∥AB，∴AB∥OH∥CD，∴∠AEO+∠EOH＝180°，∠CFO+∠FOH＝180°，∴∠AEO+∠CFO+∠EOH+∠FOH＝360°，即∠AEO+∠CFO+∠EOF＝360°，∵AB∥OH，∴∠AEO+∠EOH＝180°，∵∠AEO＝150°，∴∠EOH＝30°，∵∠HOG＝20°，∴∠EOG＝∠EOH+∠HOG＝30°+20°＝50°，∵OG平分∠EOF，∴∠EOF＝2∠EOG＝100°，∵∠AEO+∠CFO+∠EOF＝360°，∠AEO＝150°，∴∠CFO＝360°﹣150°﹣100°＝110°，故答案为：110°；（3）①若点O在直线AB与CD之间，则有|∠AEO﹣∠CFO|＝2∠HOG；②若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的左侧，则有∠AEO+∠CFO＝2∠HOG；若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的右侧，则有360°﹣∠AEO﹣∠CFO＝2∠HOG．22．（1）解：过点E作EF∥AB，∴∠A＝∠1，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠2＝∠C．∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换），故答案为：∠AEC＝∠A+∠C；（2）证明：由（1）可知：∠EG2F＝∠1+∠DFG2，∵FG2平分∠MFD，∴∠EFG2＝∠DFG2，∵∠1＝∠2，∴∠EG2F＝∠2+∠EFG2，∵∠EG1F+∠2+∠EFG2＝180°，∴∠FG1E+∠G2＝180°；（3）由（1）知：∠AEF＝∠BAE+∠DFE，设∠CEF＝x，则∠AEC＝3x，∵∠EFD＝60°，∴x+3x＝∠BAE+60°，∴∠BAE＝4x﹣60°，又∵8°＜∠BAE＜20°，∴8°＜4x﹣60°＜20°，解得17°＜x＜20°，又∵∠DFE是△CEF的外角，∴∠C＝∠DFE﹣∠CEF＝∠DFE﹣x，∵∠C的度数为整数，∴x＝18°或19°，∴∠C＝60°﹣18°＝42°或∠C＝60°﹣19°＝41°，故答案为：42°或41°．。

2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2.3平行线的性质》优生辅导练习题（附答案）一．平行线的性质1．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B 两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（）A．1或6秒B．8.5秒C．1或8.5秒D．2或6秒2．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（）A．57°B．58°C．59°D．60°3．问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为度；（直接写出答案）（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠P AB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．4．如图，已知PM∥AN，且∠A＝40°，点C是射线AN上一动点（不与点A重合），PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，交射线AN于点B，D．（1）求∠BPD的度数；（2）当点C运动到使∠PBA＝∠APD时，求∠APB的度数；（3）在点C运动过程中，∠PCA与∠PDA之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例．5．如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．（1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数；（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝∠ECH，请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．6．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．7．如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，求∠APC的度数；（问题迁移）（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠P AB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（问题应用）（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系（并画出相应的图形）．8．小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠F AD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠F AD＝α°，∠ABC＝β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．9．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．（推理时不需要写出每一步的理由）（1）求∠CBD的度数．（2）当点P运动时，那么∠APB与∠ADB的大小关系是否发生变化？若不变，请找出它们的关系并说明理由；若变化，请找出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．10．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图①，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图②，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图③，在（2）的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠NCF＝105°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．11．如图，直线AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的动点（点E在点F的右侧），点M 为线段EF上的一点，点N为射线FD上的一点，连接MN．（1）如图1，若∠BEF＝150°，MN⊥EF，则∠MNF＝；（2）作∠EMN的角平分线MQ，且MQ∥CD．求∠MNF与∠AEF之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，连接EN．且EN恰好平分∠BEF，∠MNF＝2∠ENM，求∠EMN 的度数．12．【探究】如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．（1）若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，则∠EOF＝度，∠FOH＝度．（2）若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．【拓展】如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF＝α，直接写出∠FOH的度数．（用含a的代数式表示）13．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．（1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数；（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；（3）如图③，当点P在线段EF的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明．二．平行线的判定与性质14．已知，AB∥CD，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F．（1）如图1，若∠1＝58°，求∠2的度数；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，H是MN上一点，且GH⊥EG．求证：PF∥GH．（3）如图3，在（2）的条件下．连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ 平分∠EPK．问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．15．如图，B，C，D是不在同一直线上的三点，且∠CDE+∠BCD﹣∠ABC＝180°．（1）如图1，求证：AB∥DE；（2）DG平分∠EDC，点P是DG上一点，过点P作射线PB，设∠1＝α；①如图2，若PD∥BC，∠ABC＝2∠3，求∠C的度数；（用含α的式子表示）②如图3，若∠3+∠C＝90°，判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由．16．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．17．已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠BED＝∠ABE+∠EDC．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，若∠ABE＝3∠ABF，且∠BFD＝30°时，试求的值；（3）如图3，若H是直线CD上一动点（不与D重合），BI平分∠HBD，画出图形，并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系．18．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF 交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝50°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．19．问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．20．某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．在图①中，∠B＝90°，∠A＝30°；在图②中，∠D＝90°，∠F＝45°．图③是该同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE放在△ABC的斜边AC上（即点D、E在AC上），并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合），在△DEF沿AC方向移动的过程中，该同学通过观察和猜想产生以下两个问题，请同学们帮助解答．（1）能否将△DEF移动至某位置，使F、C的连线与AB平行？如果能，求出∠CFE的度数；（2）△DEF在移动的过程中，∠FCB与∠CFE的度数之和是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．21．已知，如图1，∠BAD＝50°，点C为射线AD上一点（不与A重合），连接BC．（1）[问题提出]如图2，AB∥CE，∠BCD＝73°，则：∠B＝．（2）[类比探究]在图1中，探究∠BAD、∠B和∠BCD之间有怎样的数量关系？并用平行线的性质说明理由．（3）[拓展延伸]如图3，在射线BC上取一点O，过O点作直线MN使MN∥AD，BE平分∠ABC交AD于E点，OF平分∠BON交AD于F点，OG∥BE交AD于G点，当C 点沿着射线AD方向运动时，∠FOG的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．22．珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若两灯发出的射线AC与BC 交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系，并说明理由．参考答案一．平行线的性质1．解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷10＝18（秒），∴t≤18﹣2，即t≤16．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：①如图1，∠MAM'＝∠PBP'，30t＝10（2+t），解得t＝1；②如图2，∠NAM'+∠PBP'＝180°，30t﹣180+10（2+t）＝180，解得t＝8.5；综上所述，A灯旋转的时间为1或8.5秒．故选：C．2．解：∵长方形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，在△EFM中，∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，故选：B．3．（1）解：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠P AB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，∵∠P AB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．故答案为：110．（2）∠APC＝α+β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴α＝∠APE，β＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；（3）如图所示，当P在BD延长线上时，∠CP A＝α﹣β；如图所示，当P在DB延长线上时，∠CP A＝β﹣α．4．解：（1）∵PM∥AN，∴∠A+∠APM＝180°，∵∠A＝40°，∴∠APM＝140°，∵PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，∴∠BPC＝∠APC，∠DPC＝∠MPC，∴∠BPD＝∠BPC+∠DPC＝（∠APC+∠MPC）＝×140°＝70°；（2）∵PM∥AN，∴∠PBA＝∠BPM，∵∠PBA＝∠APD，∴∠BPM＝∠APD，∴∠APB＝∠MPD，由（1）得：∠APM＝140°，∠BPD＝70°，∴∠APB＝∠MPD＝×70°＝35°；（3）存在，∠PCA＝2∠PDA，理由如下：∵PM∥AN，∴∠ACP＝∠CPM，∠PDA＝∠DPM，∵PD平分∠MPC，∴∠CPM＝2∠DPM，∴∠PCA＝2∠PDA．5．（1）证明：∵EM⊥CE，∴∠CEM＝90°．∵∠AEC+∠CEM+∠BEM＝180°，∴∠AEC+∠BEM＝90°．∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∠CME＝∠BEM．∴∠ECD+∠CME＝90°．∴2∠ECD+2∠CME＝180°．∵CE平分∠ACD，∴ACD＝2∠ECD．∴∠ACD+2∠CME＝180°．∵AB∥CD，∴∠ACD+∠A＝180°．∴∠A＝2∠CME．（2）解：过点F作FM∥AB，如图，∵AB∥CD，∴FM∥AB∥CD．∴∠AFM＝∠BAF，∠CFM＝∠DCF．∴∠AFM+∠CFM＝∠BAF+∠DCF．即∠AFC＝∠BAF+∠DCF．∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，∴∠CAB＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF．∴∠CAB+∠DCE＝2（∠BAF+∠DCF）＝2∠AFC．∵∠AFC＝70°，∴∠CAB+∠DCE＝140°．∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACE+∠DCE＝180°．∴∠ACE＝180°﹣（∠CAB+∠DCE）＝180°﹣140°＝40°．（3）∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB＝135°﹣∠A．延长CM交AN的延长线于点F，如图，∵MN⊥CM，∴∠NMF＝90°．∴∠MNB＝90°﹣∠F．同理：∠HCF＝90°﹣∠F．∴∠MNB＝∠HCF．∵∠ACH＝∠ECH，∴设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x．∵CM平分∠DCE，∴设∠ECM＝∠DCM＝y．∴∠MNB＝∠HCF＝2x+y．∵AB∥CD，CH⊥AB，∴CH⊥CD．∴∠HCD＝90°．∴∠ECH+∠ECD＝90°．∴2x+2y＝90°．∴x+y＝45°．∵CH⊥AB，∴∠A＝90°﹣∠ACH＝90°﹣x．∴∠A+∠MNB＝90°﹣x+2x+y＝90°+x+y＝135°．∴∠MNB＝135°﹣∠A．6．解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°．（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD，（已知）∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2+∠PFD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°．∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．即∠EPF＝90°．（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；（3）如图，过点G作AB的平行线GH．∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，∴∠HGE＝∠AEG＝，∠HGF＝∠CFG＝，由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）＝+∠AEP﹣∠HGE＝．7．解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，∵∠P AB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．（2）∠APC＝∠α+∠β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）①如图所示，当P在BD延长线上时，∠CP A＝∠α﹣∠β；∵AB∥CD，∴∠α＝∠AFC，∵∠AFC是△AFP的一个外角，∴∠AFC＝∠CP A+∠β，∴∠CP A＝∠AFC﹣∠β＝∠α﹣∠β；②如图所示，当P在DB延长线上时，∠CP A＝∠β﹣∠α；∵AB∥CD，∴∠β＝∠AFC，∵∠AFC是△AFP的一个外角，∴∠AFC＝∠CP A+∠α，∴∠CP A＝∠AFC﹣∠α＝∠β﹣∠α；综上所述：∠CP A＝∠α﹣∠β或者∠CP A＝∠β﹣∠α．8．解：（1）成立，理由：如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE．（2）如图2，过点E作EH∥AB，∵AB∥CD，∠F AD＝60°，∴∠F AD＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，∴∠EDC＝∠ADC＝30°，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴∠ABE＝∠ABC＝20°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．（3）∠BED的度数改变．如图3，过点E作EG∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β°，∠ADC＝∠F AD＝α°，∴∠ABE＝∠ABC＝β°，∠CDE＝∠ADC＝α°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣β°，∠CDE＝∠DEG＝α°，∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝180°﹣β°+α°．9．解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°，∴∠ABP+∠PBN＝100°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝100°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°；（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；（3）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，∴∠ABC＝∠DBN，由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，∴∠ABC+∠DBN＝50°，∴∠ABC＝25°．10．解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB＝90°，∴∠A+∠C＝90°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）可得∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∴3α+β+105°＝180°，∴3α+β＝75°①，由AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°②，由①②联立方程组，解得α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．11．解：（1）∵AB∥CD，∠BEF＝150°，∴∠DFE＝30°，∵MN⊥EF，∴∠MNF＝60°，故答案为：60°．（2）如图，∵AB∥CD，MQ∥CD，∴MQ∥AB，∴∠MNF＝∠NMQ，∠EMQ＝∠AEF，∵MQ是∠EMN的角平分线，∴∠NMQ＝∠EMQ，∴∠MNF＝∠AEF；（3）∵AB∥CD，∴∠ENF＝∠BEN，∵EN平分∠BEF，∴∠BEN＝∠FEN，∴∠ENF＝∠FEN，∵∠MNF＝∠AEF，∠MNF＝2∠ENM，∴8∠ENM＝180°，解得∠ENM＝22.5°，∴∠EMN＝2∠MNF＝4∠ENM＝90°．12．解：【探究】（1）∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，∴∠OFH＝30°，又∵EG∥FH，∴∠EOF＝∠OFH＝30°；∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝125°；故答案为：30，125；（2）∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，∴∠OFH＝∠AFH，∠OHF＝∠CHF．∵∠AFH+∠CHF＝100°，∴∠OFH+∠OHF＝（∠AFH+∠CHF）＝×100°＝50°．∵EG∥FH，∴∠EOF＝∠OFH，∠GOH＝∠OHF．∴∠EOF+∠GOH＝∠OFH+∠OHF＝50°．∵∠EOF+∠GOH+∠FOH＝180°，∴∠FOH＝180°﹣（∠EOF+∠GOH）＝180°﹣50°＝130°．【拓展】∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，∴∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI，∴∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH＝（∠CHI﹣∠AFH）＝（180°﹣∠CHF﹣∠AFH）＝（180°﹣α）＝90°﹣α．13．（1）解：过P作PO∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PO∥CD，∵∠A＝20°，∴∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，∵∠APC＝70°∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝70°﹣20°＝50°；（2）∠A+∠C＝∠APC，证明：过P作PO∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PO∥CD，∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C；（3）解：不成立，关系式是：∠A﹣∠C＝∠APC，理由是：过P作PO∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PO∥CD，∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，∴∠A﹣∠C＝∠APO﹣∠CPO＝∠APC，即∠A﹣∠C＝∠APC．二．平行线的判定与性质14．（1）解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠EFD，∵∠EFD+∠2＝180°，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝58°，∴∠2＝122°；（2）证明：由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°．又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP＝（∠BEF+∠EFD）＝90°，∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）解：∵∠PHK＝∠HPK，∴∠PKG＝2∠HPK．又∵GH⊥EG，∴∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK．∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK．∵PQ平分∠EPK，∴．∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°．答：∠HPQ的度数为45°．15．解：（1）如图1，延长DC交AB于点F，∵∠BFC＝∠BCD﹣∠ABC，∴∠CDE+∠BCD﹣∠ABC＝180°，即∠CDE+∠BFC＝180°，∴AB∥DE；（2）①∵PD∥BC，∴∠2＝∠3，又∵∠ABC＝2∠3，∠ABC＝∠1+∠2，∠1＝α，∴∠1＝∠2＝∠3＝α，∠ABC＝2α，∵DG平分∠EDC，∠CDG+∠C＝180°，∴∠EDC+∠C＝180°，①∵∠CDE+∠BCD﹣∠ABC＝180°，即∠CDE+∠C﹣2α＝180°，②联立①②解得∠C＝180°﹣2α；②∠1＝∠2，理由如下：如图3，作CH平分∠C交DG于H，∴∠4＝∠5＝∠BCD，∵DG平分∠EDC，∴∠CDG＝∠EDC，∴∠5+∠CDG＝（∠BCD+∠EDC），又∵∠CDE+∠BCD﹣∠ABC＝180°，∴∠5+∠CDG＝（180°+∠ABC）＝90°+∠ABC，∴∠PHC＝90°+∠ABC，∵∠3+∠C＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠PBC＝360°﹣∠3﹣∠4﹣∠PHC＝360°﹣90°﹣90°﹣∠ABC＝180°﹣∠ABC，又∵∠PBC+∠2＝180°，∴∠2＝∠ABC，∴∠1＝∠2．16．解：（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．又∵|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4）2≥0．∴a＝3，b＝1；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜60时，3t＝（30+t）×1，解得t＝15；②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（30+t）×1＝180，解得t＝82.5；③当120＜t＜150时，3t﹣360＝t+30，解得t＝195＞150（不合题意）综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行；（3）设A灯转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣3t，∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，又∵PQ∥MN，∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，∵∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，∴∠BCD：∠BAC＝2：3．17．解：（1）如图1，延长BE交CD于点C，则∠BED＝∠C+∠EDC．∵∠BED＝∠ABE+∠EDC，∴∠ABE＝∠C，∴AB∥CD；（2）由（1）可知，AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠BED＝（∠ABD+∠BDC）＝90°，由∠ABE＝3∠ABF，设∠ABF＝α，则∠ABE＝3α过F作FG平行于AB，如图2，则有∠ABF+∠CDF＝∠F，∴∠CDF＝30°﹣α过E作EH平行于AB，则有∠ABE+∠CDE＝∠BED，∴∠CDE＝90°﹣3α，∴∠FDE＝60°﹣2α∴＝＝；（3）当点H在点D的左侧时，如图3所示，∠BHD＝2∠EBI．理由如下：∵AB∥CD∴∠ABH＝∠BHD，∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，∴∠ABE＝∠EBD，∠HBI＝∠IBD∵∠ABH＝∠ABE+∠EBH＝∠EBD+∠EBH＝2（∠EBH+∠HBI），∴∠BHD＝2∠EBI．当点H在点D的右侧时，如图4所示，∠EBI＝90°﹣∠BHD．理由如下：∵AB∥CD∴∠GBH＝∠BHD，∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，∴∠ABE＝∠EBD，∠HBI＝∠IBD∵∠EBI＝∠EBD+∠DBI＝∠ABD+∠DBH＝∠ABH＝（180°﹣∠HBG）∴∠EBI＝90°﹣∠BHD．18．解：（1）∵EM平分∠AEF∴∠AEM＝∠FEM，又∵∠FEM＝∠FME，∴∠AEM＝∠FME，∴AB∥CD；（2）①如图2，∵AB∥CD，β＝50°∴∠AEG＝130°，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG＝65°，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣65°＝25°，即α＝25°；②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论：如图2，当点G在点F的右侧时，α＝．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG＝180°﹣β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣β），又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（180°﹣β）＝，即α＝；如图3，当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠EGF＝β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF＝（∠AEF﹣∠FEG）＝∠AEG＝β，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，即α＝90°﹣．19．（1）解：∠CPD＝∠α+∠β，理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β．20．解：（1）能使FC∥AB，当FC∥AB时，∠FCE＝∠A＝30°，在Rt△DEF中，∠DFE＝45°，∠EDF＝90°，∠EDF+∠DFE+∠FED＝180°，可得∠FED＝45°．∵∠CFE+∠FCE＝45°，∴∠CFE＝45°﹣30°＝15°；（2）∠FCB与∠CFE度数之和为定值．理由：在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ACB+∠A+∠B＝180°，∴∠ACB＝60°，∵∠CFE+∠FCE＝45°，∴∠CFE+∠FCE+∠ACB＝45°+60°＝105°，∵∠FCB＝∠FCE+∠ACB，∴∠FCB+∠CFE＝105°，即∠FCB与∠CFE度数之和为定值．21．解：（1）∵CE∥AB，∴∠BAD＝∠ECD＝50°，∠B＝∠BCE，∵∠BCD＝73°，∴∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝73°﹣50°＝23°，故答案为：23°；（2）∠BCD＝∠BAD+∠B，理由：过点C作CE∥AB，如图2，则∠BAD＝∠ECD，∠B＝∠BCE，∵∠BCD＝∠ECD+∠BCE，∴∠BCD＝∠BAD+∠B；（3）不变，设∠ABE＝x，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝x，由（2）结论可知∠BCD＝∠BAD+∠ABC，且∠BAD＝50°，则：∠BCD＝50°+2x，∵OF平分∠BON，∴∠COF＝∠NOF＝∠BON＝25°+x，∵OG∥BE，∠COG＝∠CBE＝x，∴∠FOG＝∠COF﹣∠COG＝25°+x﹣x＝25°．22．解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM＝2∠BAN，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案为：60；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1•（30+t），解得t＝30；②当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）结论：∠BAC＝2∠BCD．理由：设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，又∵∠ABC＝120°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD，。

2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2.3平行线的性质》优生辅导练习题（附答案）一．选择题1．如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线．AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，已知∠P＝88°，则∠H的度数为（）A．92°B．156°C．136°D．141°2．如图，直线AB∥CD，∠A＝68°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．28°D．38°3．如图所示，直线a∥b，∠2＝28°，∠1＝50°，则∠A＝（）A．32°B．78°C．22°D．20°4．如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．110°5．如图，已知a∥b，含30°角的直角三角板的顶点在直线b上，若∠1＝26°，则∠2等于（）A．90°B．112°C．114°D．116°6．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（）A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°7．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（）A．α+β+γ＝180°B．α﹣β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝180°D．α+β+γ＝360°8．已知：如图AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（）A．∠β＝∠α+∠γB．∠α+∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β﹣∠γ＝90°D．∠β+∠γ﹣∠α＝90°9．如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是（）A．x+y+z＝180°B．x﹣z＝y C．y﹣x＝z D．y﹣x＝x﹣z 二．填空题10．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐的角∠A＝115°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C．如果经三次拐弯后，道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C＝．11．如图，AB∥CD，∠CDE＝118°，GF交∠AEH的平分线EF于点F，∠DGF＝130°，则∠F＝．12．如图，直线AB∥CD，∠AEM＝2∠MEN，∠CFM＝2∠MFN，则∠M和∠N的数量关系是．13．如图，已知∠ABD＝∠PCE，AB∥CD，∠AEC的角平分线交直线CD于点H，∠AFD ＝86°，∠H＝22°，∠PCE＝°．14．如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为．三．解答题15．如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1+∠2＝180°，DE ∥BC．（1）求证：∠3＝∠B；（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．16．已知AB∥CD，点P为平面内的任意一点，∠APD＝90°．（1）当点P在如图①所示的位置时，∠P AB与∠D之间的数量关系是；（2）当点P在如图②所示的位置时，∠P AB与∠PDC之间的数量关系是；（3）当点P在如图③所示的位置时，试判断∠P AB与∠PDC之间有怎样的数量关系，并说明理由.17．探究学习：1．感知与填空如图①，直线AB∥CD．求证：∠B+∠D＝∠BED．阅读下面的解答过程，并填上适当的理由．解：延长BE交CD于F，∵AB∥CD（已知）∴∠B＝∠1 （）∵∠1+∠D＝∠BED（）∴∠B+∠D＝∠BED（等量代换）2．应用与拓展如图②，直线AB∥CD．若∠B＝22°，∠G＝35°，∠D＝25°，则∠E+∠F＝度．3．方法与实践如图③，直线AB∥CD．请探究∠ABE，∠CDE和∠BED之间有怎样的关系，并证明你的结论．18．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系，下面我们就来研究其中的几种位置关系中角所存在的几种数量关系．（1）问题探究1：如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠D＝∠BOD，又因为∠BOD是△POB 的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠B，得∠BPD＝∠D﹣∠B．将点P移到AB、CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）问题探究2：在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD、∠B、∠PDQ、∠BQD之间有何数量关系？请证明你的结论；（3）根据（2）的结论直接写出图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．19．已知AB∥CD，解决下列问题：（1）如图①，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度数．（2）如图②，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，试写出∠P与∠E的数量关系并说明理由．（3）如图③，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，设∠E＝m°，求∠P的度数（直接用含n、m的代数式表示，不需说明理由）．20．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E、F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．（1）求∠DBE的度数．（2）若平行移动AD，那么∠BFC：∠BDC的比值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．21．提出问题：（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中AB∥CD，则∠2与∠1、∠3度数之间有何等量关系？请说明你的理由．类比探究：（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中AB∥CD，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的度数之间的等量关系为是．综合应用（3）如图3，直线AB∥CD，∠EF A＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNQ ＝50°，则∠GHM＝．（4）如图4，直线AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD＝55°，则∠BED＝．22．（1）引例：如图①所示，直线AD∥CE．求证：∠B＝∠A+∠C．（2）变式：如图②所示，a∥b，请判断∠A1、∠A2、∠A3、∠A4、∠A5之间的大小关系，直接写出结论，无需证明．答：．如图③a∥b，请判断∠A1、∠A2、∠A3、∠A4之间的大小关系，直接写出结论，无需证明．（3）推广：如图④a∥b，请判断∠A1、∠A2、∠A3、…、∠A2n+1之间的大小关系，直接写出结论，无需证明（注意图中的“…”）答：．如图⑤，a∥b，请判断∠A1、∠A2、∠A3、…、∠A2n之间的大小关系，直接写出结论，无需证明（注意图中的“…”）答：．参考答案一．选择题1．解：过P点作PM∥AB∥CD，∴∠BEP＝∠EPM，∠PFD＝∠MPF，∵∠EPF＝88°，∴∠BEP+∠PFD＝88°，∴∠AEP+∠CFP＝360°﹣88°＝272°，∵∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，∴∠AEP＝2∠AEH，∠CFP＝2∠CFH，∴∠AEH+∠CFH＝136°，∴∠EHF＝136°，故选：C．2．解：如图，∵AB∥CD，∠A＝68°，∴∠1＝∠A＝68°，∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，∴∠E＝∠1﹣∠C＝68°﹣40°＝28°．故选：C．3．解：∵a∥b，∴∠1＝∠DBC＝50°．∵∠DBC＝∠A+∠2，∴∠A＝∠DBC﹣∠2＝50°﹣28°＝22°．故选：C．4．解：如图，作BF∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥BF∥EC，∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝110°，∴∠1+∠4＝110°，∴∠2﹣∠1＝70°．故选：C．5．解：如图，由题意得∠DBC＝∠1+30°＝56°，∵a∥b，∴∠DBC+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠DBC＝124°，∵∠A＝90°，∴∠2＝360°﹣∠90°﹣30°﹣124°＝116°．故选：D．6．解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠β，∠α＝180°﹣∠2，∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°，故选：D．7．解：如图，延长AE交直线CD于F，∵AB∥CD，∴∠α+∠AFD＝180°，∵∠AFD＝∠β﹣∠γ，∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°，故选：C．8．解：如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF，∴∠α＝∠BCM，∠MCD＝∠NDC，∠NDE＝∠γ，∴∠α+∠β＝∠BCM+∠CDN+∠NDE＝∠BCM+∠MCD+∠γ，又BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠α+∠β＝90°+∠γ，即∠α+∠β﹣∠γ＝90°，故选：C．9．解：如图所示，延长AB交DE于H，∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠AHE＝x，∵CD∥EF，AB∥EG，∴∠D＝∠DEF＝z，∠AHE＝∠DEG＝z+y，∴∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，∴x﹣z＝y，故选：B．二．填空题10．解：过点B作BD∥AM，则BD∥CN，如图所示，∵BD∥AM，∠A＝115°，∴∠ABD＝∠A＝115°，又∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠ABC＝150°，∴∠CBD＝150°﹣115°＝35°，∵BD∥CN，∴∠C+∠CBD＝180°，∴∠C＝180°﹣∠CBD＝145°．故答案为：145°．11．解：∵AB∥CD，∠CDE＝118°，∴∠AEH＝∠CDE＝118°，∵EF平分∠AEH，∴∠FEH＝∠AEH＝59°，∴∠FGE＝180°﹣∠DGF＝50°，∵∠FEH是△EFG的外角，∴∠F＝∠FEH﹣∠FGE＝9°．故答案为：9°．12．解：过点M作MJ∥AB，过点N作NK∥AB．∵AB∥CD，∴MJ∥AB∥CD，过点N作NK∥AB∥CD，∴∠EMJ＝∠AEM，∠FMJ＝∠CFM，∠ENK＝∠AEN，∠FNK＝∠CFN，∴∠EMF＝∠AEM+∠CFM，∠ENF＝∠AEN+∠CFN，∵∠AEM＝2∠MEN，∠CFM＝2∠MFN，∴∠AEM+∠CFM＝（∠AEN+∠CFN），即∠EMF＝∠ENF．故答案为：∠EMF＝∠ENF．13．解：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠PDB，∵∠ABD＝∠PCE，∴∠PDB＝∠PCE，∴BD∥CE，∴∠CEG＝∠DGH，∵EH平分∠AEC，∴∠CEH＝∠AEH，∵∠DGH＝∠EGF，∵∠AFD＝∠AEG+∠EGF＝2∠EGF＝86°，∴∠EGF＝43°，∴∠DGH＝43°，∴∠PCE＝∠PDG＝∠H+∠DGH＝65°，故答案为：65．14．解：如右图所示，作PE∥CD，∵PE∥CD，∴∠C+∠CPE＝180°，又∵AB∥CD，∴PE∥AB，∴∠A＝∠APE，∴∠A+∠C﹣∠P＝180°，故答案为：∠A+∠C﹣∠P＝180°．三．解答题15．解：（1）∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠DFE，∴AB∥EF，∴∠3＝∠ADE，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠3＝∠B．（2）∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠EDC＝∠B，∵∠2＝3∠B，∠2+∠ADE+∠EDC＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，又∵∠3＝∠B，∴∠1＝∠3+∠EDC＝36°+36°＝72°．16．解：①∵∠APD＝90°，∴∠P AB+∠PHA＝90°，∵AB∥CD，∴∠D＝∠PHA，∴∠P AB+∠D＝90°，故答案为：∠P AB+∠D＝90°；②如图②，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴PM∥AB∥CD，∴∠P AB+∠APM＝180°，∠PDC+∠DPM＝180°，∴∠P AB+∠APM+∠PDC+∠DPM＝360°，即∠P AB+∠APD+∠PDC＝360°，∵∠APD＝90°，∴∠P AB+∠PDC＝270°，故答案为：∠P AB+∠PDC＝270°；③如图③，∠P AB﹣∠PDC＝90°，理由如下：过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴PM∥AB∥CD，∴∠P AB+∠APM＝180°，∠PDC＝∠DPM，∵∠APD＝90°＝∠APM+∠DPM，∴∠P AB+∠APD﹣∠PDC＝180°，即∠P AB﹣∠PDC＝90°．17．解：1．延长BE交CD于F，∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠1 （两直线平行，内错角相等）．∵∠1+∠D＝∠BED（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和），∴∠B+∠D＝∠BED．故答案为：两直线平行，内错角相等；三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；2．过点G作MG∥AB，∵AB∥CD，MG∥AB，∴AB∥MG∥CD．由1知：∠E＝∠B+∠MGF，∠F＝∠MGF+∠D，∴∠E+∠F＝∠B+∠MGF+∠MGF+∠D＝∠B+∠EGF+∠D＝22°+35°+25°＝82°；故答案为：82°；3．∠BED＝∠ABE﹣∠CDE．证明：延长AB交ED于点F．∵AB∥CD，∴∠D＝∠BFE．∵∠ABE＝∠BFE+∠BEF，∴∠BED＝∠ABE﹣∠CDE．18．解：（1）上述结论不成立．过点P作PE∥AB∴∠B+∠BPE＝180°，又∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠D+∠EPD＝180°，∴∠B+∠BPE+∠D+∠EPD＝360°，即∠B+∠BPD+∠D＝360°．（2）∠BPD＝∠B+∠PDQ+∠BQD，连接QP并延长至E，∵∠BPE是△BPQ的一个外角，∴∠BPE＝∠BQP+∠B．同理：∠EPD＝∠DQP+∠PDQ．∴∠BPE+∠EPD＝∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ．即：∠BPD＝∠B+∠PDQ+∠BQD．（3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．19．解：（1）如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，又∵∠BED＝100°，∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣100°＝260°，又∵BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，∴∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝×260°＝130°，∴∠P＝360°﹣130°﹣100°＝130°；（2）3∠P+∠BED＝360°；如图②，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，又∵∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，∴∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝×（360°﹣∠BED）＝240°﹣∠BED，∴∠P＝360°﹣∠BED﹣（240°﹣∠BED）＝120°﹣∠BED，即3∠P+∠BED＝360°；（3）∠P＝．如图③，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，同理可得，∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED＝360°﹣m°，又∵∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，∴∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝（360°﹣m°），∴四边形PDEB中，∠P＝360°﹣（360°﹣m°）﹣m°＝．20．解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，∴∠DBE＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝40°；（2）不变．理由∵AB∥CD，∴∠BFC＝∠ABF＝2∠ABD，∠ABD＝∠BDC，∴∠BFC＝2∠BDC，∴∠BFC：∠BDC＝2：1；（3）存在．设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°．∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠ABE＝x°+40°；∵AB∥CD，∴∠ADC＝180°﹣∠A＝80°，∴∠ADB＝80°﹣x°．若∠BEC＝∠ADB，则x°+40°＝80°﹣x°，得x°＝20°．∴存在∠BEC＝∠ADB＝60°．21．解：（1）如图1中，作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠1＝∠AEF，∠3＝∠CEF，∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3，即∠2＝∠1+∠3．（2）如图2中，如图2中，作GM∥AB，FN∥AB，EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GM∥FN∥EH∥CD，∴∠1＝∠AEH，∠HEG＝∠EGM，∠MGF＝∠GFN，∠NFC＝∠5，∴∠AEG+∠GFC＝∠1+∠EGF+∠5，即∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5．故答案为∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5．（也可以利用（2）的结论解决问题，比较简单）（3）如图3中，作KG∥AB，HP∥AB，MN与HP交于点T．∵AB∥CD，KG∥AB，HP∥AB，∴AB∥KG∥PH∥CD，∴∠FGH＝∠EF A＝30°，∵∠FGH＝90°∴∠KGH＝60°∴∠KGH＝∠GHP＝60°，∠HTM＝∠CNQ＝50°，∵∠HTN＝∠PHM+∠M，∠M＝30°，∴∠PHM＝20°，∴∠GHM＝∠PHG﹣∠PHM＝40°．故答案为40°（4）如图4中，由（1）可知：∠F＝∠ABF+∠CDF，∠E＝∠ABE+∠CDE，∵∠F＝55°，∴∠ABF+∠CDF＝55°，∵∠ABE＝2∠ABF，∠CDE＝2∠CDF，∴∠E＝2（∠ABF+∠CDF）＝110°．故答案为110°．22．（1）证明：过B作BF∥AD，∵AD∥CE，∴∠A＝∠ABF，BF∥CE，∴∠C＝∠CBF，∴∠A+∠C＝∠ABF+∠CBF，即有∠B＝∠A+∠C．（2）解：∠A1+∠A3+∠A5＝∠A2+∠A4；∠A1+∠A3＝∠A2+180°﹣∠A4；（3）解：∠A1+∠A3+…+∠A2n+1＝∠A2+∠A4+…+∠A2n；∠A1+∠A3+…+∠A2n﹣1＝∠A2+∠A4+…+∠A2n﹣2+180°﹣∠A2n．。

《2.3 平行线的性质》习题1.如图所示，AD ∥BC ，∠1=78°，∠2=40°，求∠ADC 的度数.DCBA122.如图所示，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∠A 的2倍与∠C 的3倍互补，求∠A 和∠D 的度数.D CBA3.如图所示，已知AB ∥CD ，∠ABE=130°，∠CDE=152°，求∠BED 的度数.EDC BA4.如图所示，∠1=72°，∠2=72°，∠3=60°，求∠4的度数.ba34125.如图所示，已知直线MN 的同侧有三个点A ，B ，C ，且AB ∥MN ，BC ∥MN ，试说明A ，B ，C 三点在同一直线上.NMC B A6.如图所示，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，若∠EFG=50°，求∠DEG 的度数.NMG F EDC BA7.如图所示，已知AB ∥CD ，分别探索下列四个图形中∠P 与∠A ，∠C 的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.PDCBA P DCBAP DCB A PDCB A（1） （2） （3） （4）8.如图a 所示，已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于E ，F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=72°，则求∠2的度数.GF EDCBA 12（a ）9.如图b 所示，已知直线AB ，CD 被直线EF 所截，若∠1=∠2，则∠AEF+∠CFE 的度数.FEDCB A 12（b ）10.如图，E 是DF 上一点，B 是AC 上一点，∠1＝∠2，∠C=∠D ，求证：∠A=∠F .FEDCB A 32111.如图，已知AB ∥CD ，∠3=30°，∠1=70°，求∠A-∠2的度数.321DCAB。

3 平行线的性质测试时间:25分钟一、选择题1.如图,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠1=55°,那么∠2的度数是( )A.20°B.30°C.35°D.50°1.答案 C 如图,∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠3=180°-90°-∠1=35°,∵a∥b,∴∠2=∠3=35°.故选C.2.如图,AB∥CD,DA⊥AC,垂足为A,若∠ADC=35°,则∠1的度数为( )A.65°B.55°C.45°D.35°2.答案 B ∵DA⊥AC,垂足为A,∴∠CAD=90°,又∵∠ADC=35°,∴∠ACD=180°-90°-35°=55°,∵AB∥CD,∴∠1=∠ACD=55°,故选B.3.如图,直线a∥b,点C在直线b上,∠DCB=90°,若∠1=70°,则∠2的度数为( )A.20°B.25°C.30°D.40°3.答案 A 如图,∵a∥b,∴∠3=∠1=70°,∴∠2=90°-∠3=20°.故选A.4.将一副三角板如图放置,使点A在DE上,BC∥DE,则∠ACE的度数为( )A.10°B.15°C.20°D.25°4.答案 B ∵BC∥DE,∴∠BCE=∠E=30°,∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=45°-30°=15°,故选B.二、填空题5.如图,直线a,b被直线c所截,a∥b,∠1=∠2,若∠3=40°,则∠4等于.5.答案70°解析∵∠1+∠2+∠3=180°,∠3=40°,∴∠1+∠2=140°.∵∠1=∠2,∴∠1=70°.∵a∥b,∴∠4=∠1=70°.6.图①是我们常用的折叠式小刀,图②中刀柄外形是一个直角梯形挖去一个小半圆,刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段,转动刀片时会形成如图②所示的∠1与∠2,则∠1与∠2的度数和是度.6.答案90解析如图,AB∥CD,∠AEC=90°,作EF∥AB,则EF∥CD,所以∠1=∠AEF,∠2=∠CEF,所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°.7.如图,C岛在A岛的北偏东60°方向,在B岛的北偏西45°方向,则∠ACB=°.7.答案105解析如图,过点C作CD∥AE,则∠DCA=∠CAE=60°.∵CD∥AE,BF∥AE,∴CD∥BF,∴∠DCB=∠CBF=45°.∴∠ACB=∠DCA+∠DCB=105°.8.如图,l∥m,点A在直线m上,若∠ABC=60°,∠1=40°,则∠2=.8.答案20°解析如图,延长CB交直线m于点D,∵∠ABC=60°,∴∠ABD=120°.∵l∥m,∴∠BDA=∠1=40°.∴∠2=180°-∠ABD-∠BDA=180°-120°-40°=20°.9.如图,直线a∥b,∠BAC的顶点A在直线a上,且∠BAC=100°.若∠1=34°,则∠2=.9.答案46°解析如图,因为a∥b,所以∠3=∠1=34°.因为∠3+∠BAC+∠2=180°,∠BAC=100°,所以∠2=180°-34°-100°=46°.10.如图,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=55°,则∠2的度数为.10.答案35°解析如图,∠3=180°-∠1=180°-55°=125°,∵直尺两边互相平行,∴∠2+90°=∠3,∴∠2=125°-90°=35°.三、解答题11.如图,已知AB∥CD,EF交AB于点E,交CD于点F,FG平分∠EFD,交AB于点G.若∠1=50°,求∠BGF的度数.11.解析∵AB∥CD,∠1=50°,∴∠CFE=∠1=50°.∵∠CFE+∠EFD=180°,∴∠EFD=180°-∠CFE=130°.∵FG平分∠EFD,∠EFD=65°.∴∠DFG=12∵AB∥CD,∴∠BGF+∠DFG=180°,∴∠BGF=180°-∠DFG=180°-65°=115°.12.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠ACB的大小关系,并说明理由.12.解析∠AED=∠ACB.理由:∵∠1+∠4=180°(平角定义),∠1+∠2=180°(已知),∴∠2=∠4(同角的补角相等).∴EF∥AB(内错角相等,两直线平行).∴∠3=∠ADE(两直线平行,内错角相等).∵∠3=∠B(已知),∴∠B=∠ADE(等量代换).∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行).∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).。