二项式定理(2)

1.3.1 二项式定理(第一课时) 教学设计

一、教学内容解析

“二项式定理”是人教A版《普通高中课程标准试验教科书 数学（选修2-3）》第一章第三节知识内容，它是初中多项式乘法的继续和高中计数原理的应用，同时也是高中学习数学期望等内容的基础，因此二项式定理起着承上启下的作用。另外，二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理又可以进一步加深对组合数的认识。总之，二项式定理是综合性比较强的，具有联系不同知识内容的作用。

教学重点：利用计数原理分析二项展开式，归纳得到二项式定理。

本节课为概念教学课，可以使学生探究问题的过程中体验从特殊到一般、类比归纳、化归与转化等数学思想方法，也自然关注了学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。

二、教学目标设置

1，学生在情境问题的解决过程中和情境问题下的一系列思考问题和追问问题的探究中体会到学习二项式定理的必要性和合理性。

2，学生经历了二项式定理的观察、分析、归纳、类比、猜想及证明的全部探究过程，提升了数学抽象、逻辑推理和数学建模等数学核心素养，并且学生在二项式定理的发现、推导过程中，掌握了二项式定理及其推导方法。

三、学情分析

学生初中学习过多项式乘法法则，并且刚刚学习了计数原理和排列组合知识，对本节课分析nba)(展开式结构以及利用计数原理分析项的系数提供了帮助，同时授课学生为高二学生，有着一定的归纳推理能力，分析转化问题的能力。

但是，本节课思维含量比较大，对思维的严谨性和逻辑推导能力以及分类讨论，归纳推理能力等有着很高的要求，需要学生利用多项式乘法法则归纳乘积项的结构，并能利用计数原理分析项的系数，学生学习起来有一定难度。而且学生在学数学过程中，往往只习惯于重视定理、公式的结论，而不重视推导过程，这都为本节课的教学带来了难度。

根据以上学情，制定如下教学难点：

教学难点：如何让学生想到利用计数原理去分析二项展开过程；如何发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

1 1．二项工定理

nkkknknnnbaCba0*)()(N

2．二项展开式的通项

)0(1nrbaCTrrnrnr它是展开式的第r+1项.

3．二项式系数

).0(nrCrn

4．二项式系数的性质

（1）).0(nkCCknnkn

（2）).10(111nkCCCknknkn

（3）若n是偶数，有nnnnnnnnCCCCC1210，即中间一项的二项式系数2nnC最大.

若n是奇数，有nnnnnnnnnnCCCCCC1212110，即中项二项的二项式系数212nnnnCC和相等且最大.

（4）.2210nnnnnnCCCC

（5）.21531420nnnnnnnCCCCCC

（6）.1111knknknknCknCnCkC或

（7）).(nkmCCCCCCmmknmknmkmnmnmkkn

（8）.1121nknnknnnnnnnCCCCC

例1：求7)11(xx的展开式中的常数项.

【解】由二项式定理得

77)]1(1[)11(xxxx 2 77772271707)1()1()1()1(xxCxxCxxCxxCCrr ①

其中第)70(1rr项为rrrxxCT)1(71 ②

在rxx)1(的展开式中，设第k+1项为常数项，记为,1kT

则)0(,)1(2,1rkxCxxCTkrkrkkrkrk ③

由③得r－2k=0，即r=2k，r为偶数，再根据①、②知所求常数项为

.39336672747172707CCCCCCC

【评述】求某一项时用二项展开式的通项.

例2：求62)321(xx的展开式里x5的系数.

二项式定理典型例题

例1 在二项式nxx421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中有理项．

解：二项式的展开式的通项公式为：

4324121C21)(CrnrrnrrnrnrxxxT

前三项的.2,1,0r

得系数为：)1(8141C,2121C,123121nntnttnn，

由已知：)1(8112312nnnttt，

∴8n

通项公式为

1431681,82,1,021CrrrrrTrxT为有理项，故r316是4的倍数，

∴.8,4,0r

依次得到有理项为228889448541256121C,83521C,xxTxxTxT．

例2 已知7722107)21(xaxaxaax，求：（1）7321aaaa；（2）7531aaaa；（3）6420aaaa．

分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果．字母经常取的值有0、1、－1等．

解：（1）取0x可得10a，

取1x得1)1(7710aaa．

∴27321aaaa.

（2）取1x得77632103aaaaaa，

记75316420,aaaaBaaaaA．

∴73,1BABA．

可得1094)31(21,1093)13(2177BA 从而10947531aaaa．

（3）从（2）的计算已知10936420aaaa．

例3 （1）求103)1()1(xx展开式中5x的系数；（2）求6)21(xx展开式中的常数项．

解：（1）103)1()1(xx展开式中的5x可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

用3)1(x展开式中的常数项乘以10)1(x展开式中的5x项，可以得到5510Cx；用3)1(x展开式中的一次项乘以10)1(x展开式中的4x项可得到54104410C3)C)(3(xxx；用3)1(x中的2x乘以10)1(x展开式中的3x可得到531033102C3C3xxx；用 3)1(x中的3x项乘以10)1(x展开式中的2x项可得到521022103CC3xxx，合并同类项得5x项为：

二项式定理(二)教案

教案标题：二项式定理(二)教案

教学目标：

1. 理解二项式定理的概念和公式。

2. 掌握二项式定理的应用方法，包括二项式展开和二项式系数的计算。

3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。

教学准备：

1. 教师准备：教师课件、二项式定理的相关练习题、黑板、粉笔等。

2. 学生准备：学生课本、笔记本、铅笔、橡皮等。

教学过程：

Step 1：导入新知

1. 教师通过提问和复习，回顾上节课所学的二项式定理的概念和公式。

2. 引导学生回忆二项式定理的应用场景，如多项式的展开和二项式系数的计算。

Step 2：学习新知

1. 教师通过示例和解析，详细讲解二项式定理的应用方法。

2. 引导学生理解二项式定理的展开原理，如二项式系数的计算公式。

3. 教师提供多个练习题，让学生进行实际操作和计算，巩固二项式定理的应用技巧。

Step 3：拓展应用

1. 教师引导学生思考和讨论，探索二项式定理在实际问题中的应用。

2. 教师提供相关实际问题，让学生运用二项式定理解决问题，并进行讨论和分享。 Step 4：归纳总结

1. 教师帮助学生总结和归纳二项式定理的重要概念和应用方法。

2. 教师提供相关练习题，让学生进行自主练习和巩固。

Step 5：作业布置

1. 教师布置相关作业，要求学生进行二项式定理的练习和应用题目。

2. 鼓励学生在作业中思考和解决问题，培养学生的独立思考和解决问题的能力。

Step 6：课堂小结

1. 教师对本节课的重点内容进行总结和回顾。

2. 引导学生提出问题和疑惑，解答学生的疑问。

教学反思：

通过本节课的教学，学生应该能够理解和掌握二项式定理的概念、公式和应用方法。同时，通过训练和实践，学生的逻辑思维和数学推理能力也得到了培养和提升。在教学过程中，教师应注重引导学生思考和解决问题的能力，让学生在实际操作中发现问题、解决问题，提高学生的学习主动性和自主学习能力。