二项式定理

二项式定理的规律

1、二项式的定理

有两项组成的式子，叫做二项式，例如：(a+b)、(a-b)，第一项是a，第二项是b。

主要指：（a+b）^n的完全展开式，有一个规律可循：通过该规律，可以快速知道展开后的第x项是什么，第x项的二项式系数是多少。熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律。

2、项式定理：叫二项式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且, 注意项的系数和二项式系数的区别。

3、掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式。

对称性；

增减性和最大值：先增后减。

n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为：Tn/2＋1

n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：T(n+1)/2＋1

4、二项式定理展开的特点：

项数：共有n+1项；

系数：依次为组合数Cn，Cn，Cn，Cn，…，Cn；每一项的次数都是一样的，即为n次，展开式以a的降次幂排列，b的升次幂排列展开。

4、二项式从左到右使用为展开；从右到左使用为化简，从而可用来求和或证明.掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想。

证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角

一个数））。（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。

5、二项式定理的运用：

（a+b+c）^n也可以运用二项式定理来计算其中的某个项的系数。

先将a+b看成一个整体，然后根据二项式定理展开，在将（a+b）的几次幂用二项式展开，也就是运用了两次二项式展开的过程。

第3讲 二项式定理

[必备知识]

考点1 二项式定理

1．二项式定理

(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)

叫做二项式定理．

2．二项展开式的通项

Tk＋1＝Cknan－kbk为展开式的第 k＋1项．

3．二项式系数

二项展开式中各项的系数Ckn(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．

考点2 二项式系数的性质 [必会结论]

二项展开式形式上的特点：

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式的系数从C0n，C1n，…一直到Cn－1n，Cnn.

二、小题快练

1．[2014·湖南高考]12x－2y5的展开式中x2y3的系数是( )

A．－20 B．－5 C．5 D．20

2．[课本改编]若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )

A．9 B．8 C．7 D．6

3．[课本改编]若x＋1xn展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )

A．10 B．20 C．30 D．120

4．[2015·广东高考]在(x－1)4的展开式中，x的系数为______．

5．[2015·天津高考]在x－14x6的展开式中，x2的系数为______

考向 二项展开式中特定项或系数问题

例1(1)[2015·陕西高考]二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝( )

A．7 B．6 C．5 D．4

二项式定理阶乘公式

阶乘是指将一个正整数n及其之前所有的正整数连乘起来的结果，用于表示排列组合中的元素个数。阶乘的数学表示为n!，例如5!=5x4x3x2x1=120。

C(n,r)=n!/(r!*(n-r)!)

例如，C(5,2)=5!/(2!*(5-2)!)=5!/(2!x3!)=(5x4x3!)/(2!x3!)=5x4/2=10。

在二项式定理中，展开式的形式为：

(x+y)^n=C(n,0)*x^n*y^0+C(n,1)*x^(n-1)*y^1+...+C(n,n)*x^0*y^n

其中，x和y是实数，n是非负整数。

以展开式(x+y)^3为例，展开式为：

(x+y)^3=C(3,0)*x^3*y^0+C(3,1)*x^2*y^1+C(3,2)*x^1*y^2+C(3,3)*x^0*y^3

展开后的结果为：

(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

可以看到，这个展开式共有四个项，其中每一项的系数由二项式系数来确定。

(x+y)^(1/2)=C(1/2,0)*x^(1/2)*y^0+C(1/2,1)*x^(1/2-1)*y^1

展开后的结果为：

(x+y)^(1/2)=x^(1/2)+(1/2)*x^(-1/2)*y 可以看到，这个展开式共有两个项，其中每一项的系数也由二项式系数来确定。

需要注意的是，二项式定理只适用于互不相等的两个数相加的情况，当两个数相等时，展开式会有特殊的形式。

总结起来，二项式定理是一个重要的数学公式，用于展开二项式的幂的展开式。阶乘公式是在计算二项式系数时使用的一种方法。二项式定理在代数和组合数学中有着广泛的应用，是计算概率、统计学等领域的重要工具。

二项式定理公式

在高中数学中，我们学习了许多数学公式和定理，其中一个非常重要且广泛应用的定理就是二项式定理。二项式定理是代数中的一个基本定理，描述了二项式的展开式，并提供了一个快速计算幂的方法。通过使用二项式定理，我们可以轻松计算任意非负整数指数的二项式系数。本文将详细介绍二项式定理及其应用。

一、二项式定理的定义

二项式指的是形如(a + b)^n的表达式，其中a和b是实数，n是一个非负整数。二项式定理提供了(a + b)^n的展开式。根据二项式定理，展开式可以表示为：

(a + b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + C(n,2)a^(n-2)·b^2 + ...

+ C(n,n-1)a^1·b^(n-1) + C(n,n)a^0·b^n

其中C(n,k)表示n个元素中取出k个元素的组合数，也被称为二项式系数。组合数的计算公式为：

C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)

二、二项式定理的证明

二项式定理的证明可以通过数学归纳法来完成。这里我们以简化的二项式(a + b)^2为例进行证明。

首先，展开(a + b)^2，我们有：

(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b 去掉括号并简化：

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

从这个简化的二项式可以看出，二项式定理在幂为2时成立。接下来，我们需要使用数学归纳法证明对于任意非负整数n，二项式定理都成立。

假设对于一个非负整数n，二项式定理在幂为n时成立，即：

(a + b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + C(n,2)a^(n-2)·b^2 + ...

+ C(n,n-1)a^1·b^(n-1) + C(n,n)a^0·b^n

我们需要证明在幂为n+1时，二项式定理仍然成立：