初中数学章节专项《反比例函数》教案

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第 1 页 共 22 页 反比例函数

一、本章学习目标

1、使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式0kkxky为常数，，能判断一个给定函数是否为反比例函数。

2、能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式和图像法的各自特点。

3、能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数0kkxky为常数，的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题。

4、再次经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，进一步体会函数是刻画显示世界中变化规律的重要数学模型。

5、使学生在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法。

二、本章知识结构

基础知识

1、反比例函数的定义：一般地，形如)0(kkxky为常数，的函数称为反比例函数

2、反比例函数的意义：

①0k

②其中x是自变量，且0x 反比例函数 基本概念 定义

解析式

图象 画法

形状

位置

性质 增减性

反比例函数与一次函数 K的几何意义

反比例函数应用 慧通文府（百日学通）教育科技有限公司教研部

第 2 页 共 22 页 ③其中y是函数，且0y

④表达形式：•0001kkxykkxykxky

⑤在表达形式0kxky中，x的次数是1；在表达形式01•kkxy，x的次数是﹣1

3、反比例函数的图象是一条双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，由于反比例函数中，自变量0x，函数0y，所以它的图象与x轴y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限地接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

4、画反比例函数图象的基本步骤

（1）列表：自变量的取值应以顶点O为中心，在O的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数。

（2）描点：

（3）连线：按从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。

5、反比例函数的图象分布是由k值决定的

①当0k时函数图象的两个分支分别在第一、第三象限内

②当0k时函数图象的两个分支分别在第二、第四象限内

6、反比例函数的图象和性质

图象

性质 双曲线的两个分支分别位于一、三象限 双曲线的两个分支分别位于二、四象限

在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大

x的取值范围是0x y的取值范围是0y

两个分支都无限接近于坐标轴，但是永远不能到达x轴和y轴

中心对称图形：图象关于坐标原点中心对称

轴对称图形：既关于直线y=x对称，也关于直线y=-x对称

7、反比例函数0kxky中系数k的几何意义

如图，过反比例函数0kxky图象上任意一点P，作x轴、y轴的垂线PM、

xyoMNp 慧通文府（百日学通）教育科技有限公司教研部

第 3 页 共 22 页 PN，所得的矩形PMON的面积xyxyPNPMS••

∵xky ∴xy=k ∴kS

即过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为k

（1）若由反比例函数图象上任意一点引两坐标轴的垂线，两垂线及两坐标轴所构成的四边形的面积为k，则此反比例函数的解析式为0kxky

（2）过反比例函数图象上任意一点作一条坐标轴的垂线，则由该点、垂足及坐标原点这三点所构成的三角形面积kS21

8、反比例函数与一次函数的比较

函数 正比例函数 反比例函数

解析式 0kkxy 0kkxky是常数，

图象形状 直线 双曲线

K>0 位置 第一、三象限 第一、三象限

增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小

K<0 位置 第二、四象限 第二、四象限

增减性 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大

三、本章重点难点

1、本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具，需要给出大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会贯通。

2、本章的难点是对反比例函数及其图象的性质的理解和掌握。

四、本章中考内容及中考要求

1、对反比例函数的基本要求是能结合具体问题了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质。

2、略高要求是会根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题。

3、而较高要求是能用反比例函数解决某些实际问题。

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第 4 页 共 22 页 五、本章教学计划

课时 讲课内容 约授课时间/分钟 约练习时间/分钟

第一课时 反比例函数的定义和意义 反比例函数的定义

反比例函数的意义

待定系数法1

待定系数法2

待定系数法3

待定系数法4

反比例函数的图象 画反比例函数图象

反比例函数的图象分布是由k值决定的

反比例函数图象上的点

已知点求反比例函数解析式

反比例函数阶段测试

第二课时 反比例函数性质 y随x的变化问题

值比较大小问题

反比例函数0kxky中系数k的几何意义

反比例函数与一次函数 反比例函数与一次函数的比较

反比例函数与一次函数交点

求一次函数和反比例函数的关系式

实际问题与反比例函数 由题意列关系式

利用图象列关系式

反比例函数综合测试

六、本章教学过程

1、反比例函数的定义和意义

（1）定义：一般地，形如)0(kkxky为常数，的函数称为反比例函数

例：下列等式中，哪些是反比例函数

（1）3xy （2）xy2 （3）xy＝21 （4）25xy （5）xy23

（6）31xy （7）y＝x－4

分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成xky（k为常数，k≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是xxy31，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式

答案：（2）、（3）、（5）

练习题一：

1、下列各式中，哪些表示y是x的反比例函数：

224,31,21,14,53,1,xyxyxyxyxyxkyxky 慧通文府（百日学通）教育科技有限公司教研部

第 5 页 共 22 页 2、下列各式中，哪些表示y是x的反比例函数：36,32,8,2,3xyxyxyxyxy

3、下列各式中，哪些表示y是x的反比例函数：21,32,,51,,12xyxyxyxyxyxy

（2）反比例函数的意义：①0k

②其中x是自变量，且0x

③其中y是函数，且0y

④表达形式：•0001kkxykkxykxky

⑤在表达形式0kxky中，x的次数是1；在表达形式01•kkxy，x的次数是﹣1

例：（1）函数mxy2是反比例函数，求m的值

（2）函数21mxmy是反比例函数，求m的值

（3）已知反比例函数32mxmy，当x=3时，对应的函数值是多少？

解：（1）依题意得，12m 所以，解得 3m

（2）依题意得，②①0112mm

由①得3m；由②得1m

所以，有3m

（3）依题意得，②①0213mm

由①得4m；由②得2m

所以，有4m

当4m时，32mxmy是反比例函数，即xy4.

故当x=3时，34y

练习题二：

1. 若3mxy是反比例函数，求m的值

2. 若15mxy是反比例函数，求m的值

3. 若函数是常数mxym11是反比例函数，求m的值

4. 若函数52kxky是反比例函数，求k的值 慧通文府（百日学通）教育科技有限公司教研部

第 6 页 共 22 页 5. 若函数mxmy15是反比例函数，求m的值

6. 若函数21kykx是反比例函数，求k的值

7. 若函数2103kykx是反比例函数，求k的值

8. 若函数y=（m+2）x|m|-3是反比例函数，求m的值

9. 在反比例函数53kxky中，当x=20时，对应的函数值是多少

10. 在反比例函数mxmy15中，当x=﹣2时，对应的函数值是多少

（3）待定系数法求反比例函数的解析式1

例：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.（1）写出y与x的函数关系式；（2）求当x=4时y的值

解：（1）设xky，因为当x=2时y=6，所以有26k

解得 k=12

因此，y与x的函数关系式是xy12

（2）把x=4代入xy12，得3412y

所以，当x=4时，y=3

练习题三：

1、如图，某反比例函数的图像过点M（2，1），则此反比例函数关系式为（

）

（A）2yx （B）2yx

（C）12yx （D）12yx

2、已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8，求（1）y和x的函数关系式；（2）当322x时，y的值

3、已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=5，求（1）y与x的函数关系式；（2）当5.2x时，y的值

4、已知y与x成反比例函数，当x=2时，y=3.（1）求y与x的函数关系式；（2）当23x时，求y的值

5、已知y是x的反比例函数，当x=1时，y=﹣3，求（1）y与x的函数关系式；（2）当x=2时，求y的值

6、已知y与x成反比例函数，当x=3时，y=4，求（1）y与x的函数关系式；（2）当y=3时，求x的值

（4）待定系数法求反比例函数的解析式2

例：已知y是x+1的反比例函数，当x=2时，y=6.（1）写出y与x的函数关系式；（2）求当x=4时y的值

解：（1）由已知条件设有解析式为1xky

∵当x=2时，y=6.

∴有126k，解得18k

∴y与x的函数关系式为118xy x

-2 M 1 y

O

第1题