§2.2.2 向量减法运算及其几何意义

向量减法运算及其⼏何意义,向量的数乘运算及其⼏何意

义教案

§2.2.2向量减法运算及其⼏何意义

⼀．知识点梳理1．⽤“相反向量”定义向量的减法：

1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、⽅向相反的向量记作 -a

2?规定：零向量的相反向量仍是零向量，且-(-a ) = a 。 任⼀向量与它的相反向量的和是零向量 即a + (-a ) = 0。 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差

即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．⽤加法的逆运算定义向量的减法：

若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b

3减法的三⾓形法则：在平⾯内取⼀点O ， 作OA = a , OB = b , 那么连接两个向量的

终点并指向被减向量⽅向的向量就是两个向量的差向量. 即a - b 可以表⽰为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量

注意：1?AB 表⽰a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数.4.向量减法运算的记忆⼝决：共起点，连终点，⽅向指向被减数（⽅向由后指前）

5.向量减法与向量加法的⽐较：

（1）加法：⾸尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾） （2）减法：共起点，连终点，⽅向指向被减数 6.向量减法的字母公式：CB AC AB =-

⼆．例题讲解

例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d

解：在平⾯上取⼀点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,

作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d

例2.已知，在平⾏四边形ABCD中，aAD=，⽤a，b表⽰向量AC、AB=，b

DB

解：由平⾏四边形法则得： D CAC= a + b,DB= AD

AB- = a-b b

A a

B 例3.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )

2.2.2向量的减法运算及其几何意义

教学目标：

1. 了解相反向量的概念；

2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意

义；

3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生

理解事物间可以相互转化的辩证思想.

教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.

教学难点：减法运算时方向的确定.

教学思路：

1、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量

加法的运算定律：

例：在四边形中， . 解：

2、 提出课题：向量的减法

1． 用“相反向量”定义向量的减法

（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作

a

（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a.

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0

如果a、b互为相反向量，则a = b， b = a， a + b = 0

（3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.

即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加

法的逆运算：

若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b

3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量a b

O

a

b

B

a

b

ab ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a

作法：在平面内取一点O，

作= a， = b 则= a b

即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.

注意：1表示a b. 强调：差向量“箭头”指向被减数

O

A

B

a

B’

b

b

b

B

a+ (b)

a

b

2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b)

4． 探究：

1） 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向

量是b a.

２）若a∥b， 如何作出a b　？

ab

A

A

B

B

B’O

ab

a

a

b

b

O

A

O

B

ab

ab

B

A

O

b

3、 例题：

例一、（P86 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.

1 课 题：2.2.2向量的减法运算及其几何意义

教学目的：

⑴了解相反向量的概念；

⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量

教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.

教学难点：对向量减法定义的理解

课时安排：1课时

教学过程：

一、复习引入：

1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）

2．向量加法的交换律：a+b=b+a

3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)

二、讲解新课：向量的减法

1．用“相反向量”定义向量的减法：

1“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量记作 a

2规定：零向量的相反向量仍是零向量(a) = a

任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (a) =0

如果a、b互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 0

3向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差

即：a  b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法

2．求作差向量：已知向量a、b，求作向量

∵(ab) + b = a + (b) + b = a +0=

a

减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，

作OA= a, OB= b, 则BA= a  b

即a  b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

注意：1AB表示a  b强调：差向量“箭头”指向被减数 2 2用“相反向量”定义法作差向量，a  b = a + (b)

三、讲解范例：

例1已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd

第二章 平面向量及其应用

§2从位移的合成到向量的加减法

2.2向量的减法

1.能说出向量减法的定义，会作两个向量的差.能将向量减法运算转化为向量的加法运算；

2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能运用向量减法解决简单的问题；

3.通过向量减法的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理的素养.

教学重点：向量减法的定义及其几何意义.

教学难点：向量减法的几何意义.

PPT课件.

一、探索新知

1. 温旧知新，奠定基础

问题1：如图，ABC是等边三角形，点,DF是边AB的三等分点，点,MN是边BC的三等分点，点,EH是边AC的三等分点，点G是FH的中点，请完成以下问题：

（1）ADDE ;（2）DEDF ;（3）DEFG ;（4）BNHG ;（5）BMGF .

师生活动：学生思考，举手回答.

预设答案：（1）AE;(2)DG;(3)FH;(4)BM;(5)0.

追问2：根据问题1中的相关问题，请简述相等向量和相反向量的定义，并说出图中向量BM的相反向量. ◆ 教学过程 ◆ 课前准备 ◆ 教学重难点

◆ ◆ 教学目标

师生活动：学生思考，举手回答.

预设答案：相等向量指的是长度相等，方向相同的向量；和为零向量的两个向量称为相反向量.向量BM的相反向量是,,,,,MBNMCNGFHGED.

设计意图：通过问题引领学生回顾上节课学习的向量加法的平行四边形法则和三角形法则，以及相等向量、相反向量的概念，为本节课的学习奠定知识基础.由此引出本节课的研究主题—向量的减法（版书）.

2. 向量的减法

问题2：我们知道数因为运算而威力无穷.上节课类比数的运算，我们研究了向量的加法运算，并从位移、力、速度的合成得到启发，得到向量加法的平行四边形法则和三角形法则，继续类比数的运算，还可以研究向量的什么运算？

师生活动：学生思考.

预设答案：减法运算.