《概率论与数理统计》习题及答案第八章

《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章

《概率论与数理统计》习题及答案

第⼋章1. 设x.,x2,,%…是从总体X中抽岀的样本，假设X服从参数为兄的指数分布，⼏未知，给泄⼊〉0和显著性⽔平a(Ovavl),试求假设H o的⼒$检验统计量及否建域.

解

选统汁量*=2⼈⼯⼄=2如庆

则Z2 -Z2(2n) ?对于给宦的显著性⽔平a,査z'分布表求出临界值加⑵"，使

加⑵2))=Q

因z2 > z2 > 所以(F"： (2/1)) => (/2 > /； (2n)),从⽽a = P{X2 > 加⑵“} n P{r > Za(2/0)

可见仏:2>^的否定域为Z2>Z；(2?).2. 某种零件的尺⼨⽅差为O-2=1.21,对⼀批这类零件检查6件得尺⼨数据(毫⽶)：，，，，，。设零件尺⼨服从正态分布，问这批零件的平均尺⼨能否认为是毫⽶(a = O.O5).

解问题是在/已知的条件下检验假设：“ = 32.50Ho的否定域为1“ l> u af2

u0(n5 = 1.96 ,因1“ 1=6.77 >1.96,所以否泄弘，即不能认为平均尺⼨是亳⽶。

3. 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为b = 100,今抽了⼀个容量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性⽔平a = 0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值“不低于1600。

解问题是在b?已知的条件下检验假设://>1600

的否定域为u < -u a/2,其中X-1600 r-r 1580-1600 c , “

11 = ------------ V26 = ------------------- x 5.1 = —1.02.

100 100

⼀叫05 =—1.64.

因为// =-1.02>-1.64 =-M005,所以接受H(>,即可以认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.4. ⼀种元件，要求其使⽤寿命不低于1000⼩时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950⼩时，已知该元件寿命服从标准差为o-=100 ⼩时的正态分布，问这批元件是否合格(<7=0.05)

解设元件寿命为X,则X~N(“，IO。?)，问题是检验假设H0://>1000.仏的否定域为w < -H0 05 ,⾙中X-1000 /— 950-1000 「

u = -------------- (25 = ------------------ x5 = -2.5

cr 100

w o.o5 = 1 64

因为u = -2.5 < -1.64 = z/005

所以否泄Ho,即元件不合格.5. 某批矿砂的5个样品中镰含量经测左为X(%):

3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24

设测泄值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的银含量为3.25(a = 0.01)解问题是在P未知的条件下检验假设H. : // = 3.25H o的否泄域为

lfl>也⑷

_ 1 5 _

X =3.252, s'=_(⼯X” -5X X2)=O.OOO17, 5=0.013

4 r-l

/().oo5 ⑷=4.6041

X-3.25 ,7 3.252-3.25 …

t = ------------- >/5 = ----------------- x 2.24 = 0.345

S0.013

因为1/1= 0.345 < 4.6041 = Z0005(4)

所以接受Ho,即可以认为这批矿砂的银含虽:为.6. 糖⼚⽤⾃动打包机打包，每包标准重量为100公⽄，每天开⼯后要检验⼀次打包机⼯作是否正常，某⽇开⼯后测得9包重量(单位：公⽄)如下:99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5

问该⽇打包机⼯作是否正常（a = 0.05；已知包重服从正态分布）_ 1 9

解 X =99.98> S 2=-（22（X,. -x ）2） = 1.47, S = 1.21 ,8 z-i

问题是检验假设H o :// = 1OO 的否定域为iM>r tf/2（8）. 其中 _Z =X-100^=99.98-100X 3 = _005

S 1.21

仏§ ⑻= 2.306 因为”1=0.05 <2.306 =⼼25 （8） 所以接受Ho,即该⽇打包机⼯作正常.

7. 按照规定，每100克罐头番茄汁中，维⽣素C 的含量不得少于21 亳克，

现从某⼚⽣产的⼀批罐头中抽取17个，测得维⽣素C 的含量（单位：亳 克）如下22, 21, 20, 23, 21, 19, 15, 13, 16, 23, 17, 20, 29, 18, 22, 16, 25.

已知维⽣素C 的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维⽣素含虽是否合 格。

（a = 0.025）

解 设X 为维⽣素C 的含量，则X ~ N （“，O-2）, ⾉=20, S —419.625, S =20.485 , n = \l .问题是检验假设 H o : //>21.

（1） H o ://>21.（2） 単择统计呈7并计算其值：X —21 ⼚ 20 — 21 C

t = ----------- y /n = ------------ \JY7 = -0.20

S 20.485

（3 ）对于给定的tz = 0.025查/分布表求出临界值 fa （"）= /oo25

（16） = 2.2?

（4）因为-r 0025（16） = -2.20<-0.20 = /o 所以接受即认为维⽣ 素含量合

格.8. 某种合⾦弦的抗拉强度X ~N （“，b?）,由过去的经验知//< 10560

（公⽄/厘⽶⼆），今⽤新⼯艺⽣产了⼀批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数 据如下：10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 1058b 10666, 10670.

问这批弦笔的抗拉强度是否提髙了（& = 0?05）

解 X =10631.4,⼨=6558?89 , 5 = 80.99, n = 10 ?问题是检

验假设 /70: //< 10560(1)

: ;/<10560. （2）选统计量并计算其值.

=2.772

（3） 对于a = 0.05,查/分布表，得临界值=也5（9） = 1.833.

（4） 因/（）“ （9） = 1.833 < 2.772 = f,故否泄弘即认为抗拉强度

提髙了。9. 从⼀批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得S =0.025,问该批轴 料椭

圆度的总体⽅差与规左的er 1 2 3 = 0.0004有⽆显著差别（a = 0?05，椭圆度H° : cr 2 =冼=0.0004 ? 选统i-IMz 2并计算英值

2 _ (n-l)S

2

_ 14x0.00065 枕 0.0004

对于给定的a = 0.05,査z'分布表得临界值

加2(14)=琉25(14) = 26.119, Z1l a/2(14) = ZJ.975(14) = 5.629.(4)因为加975 =5.629 <22.75 =才V 加025 =26.119所以接受,即总 体⽅差与

规定的o-2 = 0.0004⽆显著差异。10. 从⼀批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为

42, 65, 75, 78, 71, 59, 57, 68, 54, 55.

问是否可以认为这批保险丝熔化时间的⽅差不⼤于80 （a =0.05,熔化时 间服从正态分布）⼆

解 X=62.4 , S 2 =121.82, ? = 10,问题是检验假设 H o :a 2<80.X —10560

S10631.4 — 10560

80.99

服从正态分布)。

解 S = 0.025, 52 =0.00065, n = 15 ,问题是检验假设 H Q : a 2 =0.0004. (1) (2) (3)

（2） 选统计量⼒2并计算其值

（^ = 9xl2L82=i3705Z

b ：

80

（3） 对于给左的a = 0.05,査z?分布表得临界值 Z^（?-D = ZJ.O 5 （9）= 16.919.

（4） 因^2 = 13.705 < 16.919 = Z j 05,故接受H （）,即可以认为⽅差不

⼤于80。11. 对两种⽺⽑织品进⾏强度试验，所得结果如下 第⼀种 138, 127, 134, 125： 第⼆种 134, 137, 135, 140, 130, 134.

问是否⼀种⽺⽑较另⼀种好设两种⽺⽑织品的强度都服从⽅差相同的正态 分

布。（a = 0?05）

解 设第⼀、⼆种织品的强度分别为X 和丫，则X~N （“，b2）, Y ?Ngb

冷X = 131, S ： =36.667, n x =4 F = 135, S~ = 35.2, n 2 =6 问题是检验假设乩）：“ =〃2

（2）选统计量T 并计算其值.= -1.295

（3） 对于给定的a = O.O5,査/分布表得临界值⼔2（厲+$—2）=^o.o25 ⑻= 2.3069.

（4） 因为1/1= 1.295 <2.3069 = 0x5⑻，所以接受假设，即不能说⼀

种⽺⽑较另⼀种好。12. 在20块条件相同的上地上，同时试种新旧两个品种的作物各⼗块 ⼟地，

其产量（公⽄）分别为

旧品种，》,,, 新品种

（1） H o : cr 25 80 = bj :

]（叫-1）S 「+（介2 -1）S[ y n } + _ 2 I WS _ V l i +n 2

131 — 135 pT36.66775：35.2

V 4+6-2

设这两个样本相互独⽴，并都来⾃正态总体（⽅差相等），问新品种的产量 是否⾼于旧品种（Q = 0?01） 解 设X 为新品种产量，丫为旧品种产量；X ~Ng b

鋼,Y ~Ng cr 2）,问题是检验假设

H （）: “ n “2

X =79.43, S ： =2.2246,厲=10 Y = 76.23, S ； =3.3245, n 2 =10 T ;

J （叫 - 1）S 「+（川2 - 1）S]

79.43-76.23

⼀ J （2.2246 + 3.3245）x9

对给定的a = 0.01,査f 分布表得临界值：（18）=為（18） = 2.5524. 因为T = 4.2956 > -2.5524 = -仏⼼8）故接受即新品种髙于旧品13. 两台机床加⼯同⼀种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得 0.345, S ；= 0.357,假定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加 ⼯的零件长度的⽅差⽆显著差异（a = 0.05）

解 S ； = 0.345, q = 6, S ； = 0.357, n 2 = 9 问题是检验假设 H 。: erf = b ；

选统i\ ^F 并计算其值

对给泄的a = 0.05査 F 分布表得临界值 ⼼⽿（5,8）=⽿。25（5,8） =4.65 ,花邓（5,8） = -^- = 0.1479.

O./O

因

佗975（5,8） = 0.1479<0.9664 = F <4.65 =佗025（5,8）故接受

丹0,即⽆显箸差异.

选统计量T 并计算其值:X-F

叽⑺】+⼩⼀2）

厲+ ?2S ： _ 0.345 ⼀

可⼀ 0.357=0.9664

=4.2956

13?甲.⼄两台机床加⼯同样产品，从它们加⼯的产品中各抽取若⼙测得直