中考常见最值问题解法大全
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中考常见最值问题解法⼤全
中考中的最值问题，常常可以转化为求⼀个⼆次多项式的最值问题，也就是⼆次函数的最值问题。问题背景多样，最终都可以殊途同归。以下列举⼏种常见求最值问题的类型及⽅法。
【知识点】
初中常见的⾮负数有：a²≥0，|b|≥0，√c≥0，
当a，b，c分别为0时取最⼩值为0．
常常利⽤⼆次函数的性质或配⽅法来求关于x的⼆次多项式ax²+bx+c的最值．
公式法：
⼆次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为（-b/2a，(4ac-b²)/4a），
当x=-b/2a时，y有最值(4ac-b²)/4a．
配⽅法：ax²+bx+c=a(x+b/2a) ²+(4ac-b²)/4a，
即当x=-b/2a时，y有最值(4ac-b²)/4a．
【题⽬类型分类解析】
⼀、常规题⽬⼀题多解
【例1】求y=-x²+2x+3的最⼤值．
解：
配⽅法：y=-（x-1）²+4，当x=1时，ymax=4．
公式法：y=-x²+2x+3的顶点坐标为（1,4），
所以当x=1时，ymax=4．
判别式法：由y=-x²+2x+3得，-x²+2x+3-y=0，
△=4+4（3-y）=16-4y，
因为x的取值范围是全体实数，
原⽅程必有实数根，
所以△=16-4y≥0，y≤4，即ymax=4．
⼆、复杂题⽬换元法
【例2】求y=
的最值．
【总结】分式型，展开各项
解：y=，
令1/x=t，得y=-t²+2t+3，当1/x=t=1，即x=1时，y max=4．
【例3】求y=
（x≥1）的最值．
【总结】⼆次根式型，把被开⽅数看成整体
解：y=
，
令√(x-1)=t，得y=-t²+2t+3，当√(x-1)=t=1，即x=2时，y max=4．
三、基本不等式问题
⾼中公式：a+b≥2√ab（a≥0，b≥0），
当且仅当a=b时，等号成⽴．
（说明，可以利⽤完全平⽅公式进⾏配⽅证明，分别把a与b看成整体的平⽅）
【例4】求y=x+1/x（x＞0）的最值．
根据基本不等式，得y=x+1/x≥2，
当且仅当x=1/x，即x=1（x=-1舍去）时，y=2．
配⽅法：y=x+1/x=
，
当
，即x=1时，ymax=2．
【例5】求y=
（x＞0）的最值．y=
．
，即x=√3时，ymin=．
⽅法多样，根据题⽬得出的表达式结果，再选择恰当的⽅法。
【变式练习】
