线性规划的标准形式

此时，资源利用情况为（代入约束条件）：
设备台时利用量=1*50+1*250=300=资源限制量 原料A使用量=2*50+1*250=350<资源限制量400 原料B使用量=1*250=250=资源限制量
引入松弛变量x3,x4,x5，将数学 模型标准化：
max F 50x1 100x2 s.t. x1 x2 300 2x1 x2 400 x2 250 x1 0, x2 0
min F 2x1 3x2 s.t.
x1 x2 x3 350 x1 x4 125 2x1 x2 x5 600 x j 0, j 1,2,5
图解法
500 400 300
200
100 2x1 3x2 0
2x1 x2 600 x1 125
图解法
400
2x1 x2 400
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A
B
x2 250
200
C
100
D
O
100
200
50x1 100x2 0
x1 x2 300
300
400
最优解的解释
最优解x1=50，x2=250表示甲产品生产50个单位，乙 产品生产250个单位时，获利最大。
进一步计算剩余变量和松弛变量:
X3=0，表示正好达到最低要求； X4=125，表示超出最低要求，多购进125吨； X5=0，表示工时数被全部利用。
另外，
关于松弛变量和剩余变量的信息也可以 从图解法中获得。
松弛变量x3=0,x4=50,x5=0
400
2 2x1 x2 400

第三部分运筹学第四章运筹学建模4.1 运筹学概述运筹学是用数学方法研究各种系统最优化问题的学科。

其研究方法是应用数学语言来描述实际系统，建立相应的数学模型，并对模型进行研究和分析，据此求得模型的最优解；其目的是制定合理运用人力、物力和财力的最优方案；为决策者提供科学决策的依据；其研究对象是各种社会系统，可以是对新的系统进行优化设计，也可以是研究已有系统的最佳运营问题。

因此，运筹学既是应用数学，也是管理科学，同时也是系统工程的基础之一。

运筹学一词最早出现于第二次世界大战期间，当时为了急待解决作战中所遇到的许多错综复杂的战略战术问题，英美一些具有不同学科和背景的科学家，组成了许多研究小组，专门从事军事行动的优化研究。

研究的典型课题有：高射炮阵地火力的最佳配置、护航舰队规模的大小以及开展反潜艇作战的侦察等方面。

由于受到战时压力的推动，加上不同学科互相渗透而产生的协同作用，在上述几个方面的研究都卓有成效，为第二次世界大战盟军的胜利起到积极作用，也为运筹学各个分支的进一步研究打下了基础。

战后，这些科学家们转向研究在民用部门应用类似方法的可能性。

因而，促进了在民用部门中应用运筹学有关方法的研究和实践。

1947年，美国数学家G．B．Dantzig提出了求解线性规划的有效方法——单纯形法。

50年代初，应用电子计算机求解线性规划问题获得了成功。

50年代末，工业先进国家的一些大型企业也陆续应用了运筹学的方法以解决企业在生产经营活动中所出现的许多问题，取得了良好效果。

60年代中期，一些银行、医院、图书馆等都已陆续认识到运筹学对帮助改进服务功能、提高服务效率所起的作用，由此带来了运筹学在服务性行业和公用事业中的广泛应用。

电子计算机技术的迅速发展，为广泛应用运筹学方法提供了有力工具，运筹学的应用又开创了新的局面。

当前，运筹学在经济管理、生产管理、工程建设、军事作战、科学试验以及社会系统等各个领域中都得到了极为广泛的应用。

Y
x－y≥1
－ x+2y≤0
O A1 X
39
例
max z=x+2y s.t. － x+2y≥1 x+y≤ － 2 x、y ≥0
x+y≤ － 2
Y
－ x+2y≥1
O
X
40
图解法的启示：
1. 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 无穷多最优解，无界界，无可行解； 无穷多最优解，无界界，无可行解； 2. 若线性规划问题可行域存在，在可行域是一个凸 若线性规划问题可行域存在， 集； 3. 若线性规划问题最优解存在，在最优解或最优解 若线性规划问题最优解存在， 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 4. 解题思路是，先找凸集的任一顶点，计算其目标 解题思路是，先找凸集的任一顶点， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优，则逐 点转移，直到找到最优解。 点转移，直到找到最优解。
C(1,3) 2x+2y=8 B(3,1) 4x+12y=24
x=7
2 4 6 7 (2,0) (4,0) A(6,0)G(7,0)
43
22
例
max = − x − y x + y ≥ 2 s.t.x ≤ 3 x , y无约束
23
解：令
x,当x ≥ 0 x′ = 0,当x < 0
y,当y ≥ 0 y′ = 0, 当y < 0
0, 当x ≥ 0 x ′′ = − x, 当x < 0
0,当y ≥ 0 y′′ = − y, 当y < 0

线性规划标准形式线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中的一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，求解线性目标函数的最优解。

线性规划问题可以表示为标准形式，这种形式可以更方便地进行求解和分析。

在线性规划中，标准形式通常表示为如下形式：\[\begin{array}{ll}。

\text { maximize } & \mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \\。

\text { subject to } & \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b} \\。

& \mathbf{x} \geq \mathbf{0}。

\end{array}\]其中，\(\mathbf{x}\) 是一个包含 n 个变量的列向量，\(\mathbf{c}\) 也是一个包含 n 个元素的列向量，\(\mathbf{A}\) 是一个 m×n 的矩阵，\(\mathbf{b}\) 是一个包含 m 个元素的列向量。

目标是最大化或最小化目标函数 \(\mathbf{c}^{T}\mathbf{x}\)，同时满足线性等式约束 \(\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}\) 和非负约束 \(\mathbf{x} \geq \mathbf{0}\)。

在标准形式中，目标函数是一个线性函数，约束条件也是线性的。

这种形式的优点在于，可以利用线性代数和凸优化等数学工具进行求解，求解算法相对较为简单且稳定。

因此，将线性规划问题转化为标准形式是非常重要的。

对于最大化问题，我们可以通过将目标函数乘以-1 转化为最小化问题。

这样，标准形式可以表示为：\[\begin{array}{ll}。

\text { minimize } & -\mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \\。

\text { subject to } & \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b} \\。