运筹学--第2节(线性规划-标准型)

第二章线性规划教学目的和要求：目的：使学生具备线性规划的基本知识以及应用线性规划的基本能力。

要求：理解线性规划概念，标准型，解的概念，基本定理；掌握单纯形法，人工变量法，了解图解法。

重点：线性规划标准型，解的概念，单纯形法，人工变量法。

难点：线性规划基本定理，单纯形法。

教学方法：讲授法，习题法。

学时分配：12学时 作业安排：见教材P 38.线性规划是运筹学的一个重要分支。

1939年苏联科学家康托罗维奇提出了生产组织和计划中的线性规划模型。

1947年美国学者丹捷格(George B.Dantzig)提出了求解一般线性规划问题的方法。

此后，线性规划理论日趋成熟，应用也日益广泛和深入。

第一节线性规划问题一、问题的提出在企业的生产经营活动中经常会面临这样两类问题：一是如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，取得最佳的经济效果；二是在取得一定的经济效果的前提下，如何合理安排使用人力、物力、财力等资源，使花费的成本最低。

例1.生产计划问题 某工厂利用甲、乙、丙、丁四种设备生产A 、B 、C 三种产品，具体数据如下表所示。

A 、B 、C 单位产品的利润分别是4.5、5、7(百元)。

问如何安排生产计划，才能使所获总利润最大？解：设产品A 、B 、C 产量分别为X 1,X 2,X 3件,Z 表示利润，要求总利润最大，即求Z=4.5X 1+5X 2+7X 3的最大值，故记作极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3，另外对甲、乙、丙、丁设备需满足2X 1+2X 2+4X 3≦800，X 1+2X 2+3X 3≦650，4X 1+2X 2+3X 3≦850，2X 1+4X 2+2X 3≦700；同时产量应非负，故X j ≧0 (j=1,2,3)；以上问题可用数学模型表示为： 极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3 满足 2X 1+2X 2+4X 3≦800 X 1+2X 2+3X 3≦6504X 1+2X 2+3X 3≦850 2X 1+4X 2+2X 3≦700X j ≧0 (j=1,2,3)例2.运输问题 设某种物资有m 个产地；A 1,A 2, …,A m ,它们的产量分别为a 1,a 2, …,a m ,有n 个销地B 1,B 2, …,B n 需要这种物资，它们的销量分别为b 1,b 2, …,b n 。

线性规划的标准形式线性规划是一种数学优化方法，用于解决一些实际问题，比如资源分配、生产计划、运输调度等。

线性规划的标准形式是指将问题转化为一个标准的数学模型，以便于使用线性规划方法进行求解。

在本文中，我们将介绍线性规划的标准形式以及相关的数学概念和方法。

首先，让我们来定义线性规划的标准形式。

一个线性规划问题可以表示为：\[。

\begin{aligned}。

& \text{maximize} \quad c^Tx \\。

& \text{subject to} \quad Ax \leq b \\。

& \quad x \geq 0。

\end{aligned}。

\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是一个n维向量，表示决策变量；A是一个m×n的矩阵，表示约束条件的系数；b是一个m维向量，表示约束条件的右端项。

在这个标准形式中，我们的目标是最大化目标函数c^Tx，同时满足约束条件Ax≤b和x≥0。

这个问题可以用线性规划方法求解，得到最优的决策变量x和最优解c^Tx。

为了更好地理解线性规划的标准形式，让我们来看一个简单的例子。

假设有一个工厂需要生产两种产品A和B，利润分别为3和5。

同时，工厂有两种资源，分别是材料和人工，资源A和资源B的使用量分别为1和2。

工厂的资源总量分别为4和12。

那么，我们可以将这个问题表示为一个线性规划问题：\[。

\begin{aligned}。

& \text{maximize} \quad 3x_1 + 5x_2 \\。

& \text{subject to} \quad x_1 + 2x_2 \leq 4 \\。

& \quad x_1 + x_2 \leq 12 \\。

& \quad x_1, x_2 \geq 0。

\end{aligned}。

\]在这个例子中，目标函数是3x1+5x2，表示生产产品A和B的总利润；约束条件是资源A和资源B的使用量不超过总量。

线性规划标准形式线性规划是一种数学优化方法，用于解决一系列线性约束条件下的最优化问题。

在实际应用中，线性规划被广泛应用于生产计划、资源分配、运输优化等领域。

线性规划问题可以用标准形式来表示，这有助于我们更好地理解和解决问题。

线性规划的标准形式可以表示为：Maximize (or Minimize) Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。

Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1。

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2。

...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。

xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n。

其中，Z表示需要最大化或最小化的目标函数，c1, c2, ..., cn为目标函数的系数，x1, x2, ..., xn为决策变量。

约束条件由不等式表示，a11, a12, ..., amn为系数，b1,b2, ..., bm为常数，xi ≥ 0表示决策变量的非负约束。

在标准形式中，我们需要将所有的约束条件都转化为“≤”的形式，并且将所有的决策变量都限制为非负数。

这样做的目的是为了方便我们进行线性规划问题的求解，使得问题更加规范化和统一化。

线性规划的标准形式可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而更加清晰地建立数学模型，并且更加方便地应用各种优化算法进行求解。

通过将问题转化为标准形式，我们可以更加直观地分析问题的特点，找到最优解的方法。

在实际应用中，线性规划的标准形式可以帮助我们更好地描述生产过程中的资源约束、运输过程中的成本约束、市场营销中的销售约束等各种问题。

通过将问题转化为标准形式，我们可以更加方便地利用线性规划的理论和方法来解决实际问题，从而实现资源的最优配置和成本的最小化。

总之，线性规划的标准形式是线性规划问题的一种统一表示方法，它可以帮助我们更好地理解和解决问题，为实际应用提供了重要的理论基础和方法支持。

线性规划的标准型线性规划是运筹学中的一种重要方法，它在资源分配、生产计划、物流运输等领域有着广泛的应用。

线性规划的标准型是线性规划问题最基本的形式，它通常用于描述最大化或最小化一个线性目标函数的问题，并且受到一组线性约束条件的限制。

在这篇文档中，我们将对线性规划的标准型进行详细的介绍和解释。

首先，我们来定义线性规划的标准型。

对于一个线性规划问题，我们通常有如下的数学表达式：\[ \begin{array}{ll}。

\text{maximize} & c^T x \\。

\text{subject to} & Ax \leq b \\。

& x \geq 0。

\end{array} \]其中，\( x \) 是一个包含 \( n \) 个变量的向量，\( c \) 是一个包含 \( n \) 个系数的向量，\( A \) 是一个 \( m \times n \) 的矩阵，\( b \) 是一个包含 \( m \) 个常数的向量。

这里的目标是最大化目标函数 \( c^T x \)，同时满足线性约束条件\( Ax \leq b \) 和变量的非负约束 \( x \geq 0 \)。

接下来，我们将详细介绍线性规划标准型中的各个部分。

首先是目标函数 \( c^T x \)，它通常表示了我们希望最大化或最小化的某种目标，比如利润最大化、成本最小化等。

目标函数中的 \( c \) 是一个系数向量，它代表了各个变量对目标的贡献程度，而\( x \) 则是变量向量，代表了我们需要决策的变量。

通过调整变量向量 \( x \) 的取值，我们可以达到最大化或最小化目标函数的目的。

其次，线性规划标准型中的约束条件 \( Ax \leq b \) 也是非常重要的。

约束条件通常反映了问题的现实限制，比如资源的有限性、生产能力的限制等。

矩阵 \( A \) 中的每一行代表了一个约束条件，而向量 \( b \) 则是约束条件的右侧常数。

线性规划问题的标准型线性规划是运筹学中的一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找一个线性目标函数的最大值或最小值。

线性规划问题通常可以表示为标准型，即包含一组线性不等式约束条件和一个线性目标函数的数学模型。

首先，我们来定义线性规划问题的标准型。

一个线性规划问题的标准型可以表示为：\[\max_{x} c^Tx\]\[s.t. Ax \leq b\]\[x \geq 0\]其中，\(x\) 是一个 \(n\) 维向量，表示问题的决策变量；\(c\) 是一个 \(n\) 维向量，表示目标函数的系数；\(A\) 是一个 \(m \times n\) 的矩阵，表示约束条件的系数；\(b\) 是一个 \(m\) 维向量，表示约束条件的右端常数。

在这个模型中，我们的目标是找到一个 \(x\) 的取值，使得目标函数 \(c^Tx\) 的值最大，同时满足约束条件 \(Ax \leq b\) 和 \(x \geq 0\)。

接下来，我们来详细讨论线性规划问题的标准型中的各个要素。

首先是目标函数 \(c^Tx\)。

目标函数通常表示了我们希望最大化或最小化的目标。

在线性规划中，目标函数是一个线性函数，由决策变量\(x\) 的线性组合构成。

我们希望通过调整 \(x\) 的取值，使得目标函数的值达到最大或最小。

其次是约束条件 \(Ax \leq b\)。

约束条件表示了问题的限制条件，限制了决策变量 \(x\) 的取值范围。

在标准型中，约束条件通常表示为一组线性不等式。

这些不等式可以用矩阵 \(A\) 和向量 \(b\) 来表示，它们限制了决策变量 \(x\) 的取值范围。

最后是非负约束 \(x \geq 0\)。

非负约束表示了决策变量 \(x\) 的取值必须大于等于零。

这个约束条件在很多实际问题中是合理的，因为很多决策变量都有非负的物理意义。

总结一下，线性规划问题的标准型包括一个线性目标函数和一组线性不等式约束条件，以及决策变量的非负约束条件。

线性规划标准化线性规划是一种数学优化方法，用于求解一系列线性约束条件下的最优解。

在实际应用中，线性规划模型通常需要进行标准化处理，以便更好地进行求解和分析。

本文将介绍线性规划标准化的相关概念、方法和应用。

一、线性规划标准化的概念。

线性规划标准化是指将线性规划模型转化为标准形式的过程。

标准形式是指目标函数为最大化或最小化的线性规划模型，并且约束条件为等式形式的模型。

通过标准化，可以使得线性规划模型更易于求解和分析。

二、线性规划标准化的方法。

1. 将不等式约束转化为等式约束，通过引入松弛变量或者剩余变量的方式，将不等式约束转化为等式约束。

2. 将目标函数转化为最大化形式，如果原始线性规划模型是最小化目标函数，可以通过取负号的方式将其转化为最大化形式。

3. 引入人工变量，对于标准形式中的非等式约束，可以引入人工变量来将其转化为等式约束。

4. 消除负变量，对于标准形式中的负变量，可以通过变换变量的方式将其消除。

三、线性规划标准化的应用。

1. 生产计划问题，在生产计划中，线性规划常常用于确定生产数量的最优分配方案。

通过标准化处理，可以更好地进行生产计划的优化。

2. 运输优化问题，在物流领域，线性规划可以用于优化货物的运输路径和运输量。

标准化处理可以简化运输优化问题的求解过程。

3. 资源分配问题，在资源分配中，线性规划可以帮助确定资源的最优分配方案。

标准化处理可以使资源分配问题更易于分析和求解。

四、总结。

线性规划标准化是线性规划模型求解和分析过程中的重要步骤。

通过标准化处理，可以将原始线性规划模型转化为标准形式，从而更好地进行求解和分析。

在实际应用中，线性规划标准化具有广泛的应用价值，可以帮助解决各种优化问题。

以上就是关于线性规划标准化的相关内容，希望对您有所帮助。

如果您对线性规划标准化还有其他疑问或需要进一步了解，欢迎随时与我们联系。

运筹学标准型运筹学是一门研究如何有效地进行决策和规划的学科，它涉及到数学、统计学、计算机科学和工程学等多个领域。

在实际应用中，运筹学可以帮助人们解决各种复杂的问题，比如生产调度、物流优化、资源分配等。

在本文中，我们将介绍运筹学的标准型问题，包括线性规划、整数规划、网络流问题等，希望能够帮助读者更好地理解和应用运筹学的相关知识。

首先，我们来介绍线性规划。

线性规划是运筹学中最基本的问题之一，它的目标是在给定的约束条件下，找到一个线性目标函数的最优解。

通常情况下，线性规划可以用图形方法或者单纯形法进行求解，通过对约束条件和目标函数的分析，可以得到最优解的数学表达式。

线性规划在生产计划、资源分配、市场营销等方面有着广泛的应用。

其次，我们要介绍整数规划。

整数规划是在线性规划的基础上增加了整数限制条件的一种数学规划方法。

在实际问题中，很多情况下决策变量必须为整数，比如生产线的数量、配送路线的选择等。

整数规划在工程设计、生产调度、设施选址等领域有着重要的应用价值。

另外，我们还要介绍网络流问题。

网络流问题是研究网络中资源分配和流动的一种数学模型，它包括最大流、最小费用流、网络割等多个子问题。

网络流问题在交通规划、通信网络优化、供应链管理等方面有着广泛的应用。

除了上述几种标准型问题外，运筹学还涉及到很多其他类型的问题，比如动态规划、排队论、决策分析等。

这些问题在实际应用中同样具有重要的意义，它们为人们解决各种复杂的决策和规划问题提供了有力的工具和方法。

总的来说，运筹学标准型问题是运筹学中最基础、最常见的问题类型，它们在实际应用中有着广泛的应用价值。

通过对这些标准型问题的学习和掌握，可以帮助人们更好地理解和应用运筹学的相关知识，为解决实际问题提供更加有效的方法和工具。

希望本文对读者能够有所帮助，谢谢！以上就是关于运筹学标准型的一些内容介绍，希望对大家有所帮助。

如果还有其他问题，欢迎继续阅读我们的文档，或者进行更深入的学习和研究。