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一阶偏微分方程的特征线法魏雪蕊(绍兴文理学院数学系 , 浙江绍兴 312000摘要 :介绍了一阶偏微分方程特征线法的由来、几何意义及求解的基本思想 .关键词 :一阶偏微分方程 ; 特征方程 ; 特征线中图分类号 :G642. 41 文献标识码 :A 文章编号 :1008-293X(2010 07-0095-030 引言在大多数常微分方程和偏微分方程教程中 1-5 , 一阶偏微分方程通常受到简单的处理 , 原因之一是具有很明显应用意义的偏微分方程即位势方程、热传导方程和波动方程等都是标准的二阶偏微分方程 . 实际上 , 一阶偏微分方程在流体力学、空气动力学和其它工程技术等领域有着广泛的应用 . 例如在种群分析中 , 个体 (不必是生物体 , 如生产的产品如灯泡、晶体管、食品或更一般的任一类似的物品的集合根据统计样本随着时间的变化会变得不合格 , 因此研究起来有着实际意义 6 . 利用特征方程转化成常微分方程组是求解一阶偏微分方程的常用方法 1-2, 7-10 , 我们称其为特征线法 . 但一般教材中只给出了特征方程与特征线的定义 , 并没有讲明这样定义与求解的根据 , 学生看到的只是生硬的定义 , 不明就里 , 实际教学效果并不好 . 本文指明特征方程与特征线的由来 , 以及特征线的几何意义 , 可以帮助学生更好掌握此法 .1 一阶偏微分方程的特征线法的定义与几何意义1. 1 一阶变系数线性偏微分方程a(x , y u x +b (x , y u y +c(x , y u =f (x , y , u =u(x , y(1 其中 a, b , c 和 f 是给定的 x 和 y 的 C 1函数 .定义 1 称 d x =a (x , y , y (0 =c,a(x , y ! 0为式 (1 的特征方程 , 特征方程的解为式 (1 的特征线 .为简单起见 , 对于一阶常系数线性偏微分方程au x +bu y +cu =f (x , y , u =u(x , y , a 2+b 2>0,u x =0= (y ,(2 其中 a, b 和 c 是给定的常数 , f (x , y 为连续函数 , (y 连续可微 . 事实上 au x +bu y =u x i +u y j ∀ a i +b j = u ∀ a i +b j . au x +bu y 即为 u 在向量 a i +b j 方向的方向导数 . 对 xy -平面引入新坐标系 , 使新坐标轴之一指向 a i +b j 方向 , 则 au x +bu y 沿此新坐标轴关于另一个坐标轴的偏导数为零 , 这样即可简化方程 , 转化成为常微分方程 .方程 (2 的特征线为 y =a +c, 沿特征线 y =y (x , t , u =u(x , y (x , c 满足如下常微分方程第 30卷第 7期 2010年 3月绍兴文理学院学报 JOURNAL OF S HAOXING UNIVERSITY Vol. 30No. 7Mar. 2010收稿日期 :2009-12-29( , , , , . :d x =+d x=+a=f -cu,u x =0=u (0, c = (c ,求解得到 u =u(x , c , 将 c =y -a代入 , 消去参数 c, 得到原问题的解 u =u(x , y .对于更一般的变系数一阶偏微分方程a(x , y u x +b(x , y u y = u ∀ a(x , y i +b(x , y j ,令 g (x , y =a(x , y i +b (x , y j , 则 g(x , y 是平面上的向量场 . 把 g (x , y 看作 xy -平面上流体流 . 特征线的几何意义 :g (x , y ∀ u 是 u 沿向量 g (x , y 的切线方向的方向导数 , 取与 g(x , y 的切线平行的直线 , 即满足切线为 d x =a(x , y的曲线作为新坐标线 . 在曲线上的每 (x 0, y 0 点 , 向量 g (x 0, y 0 =a (x 0, y 0 i +b(x 0, y 0 j 都与曲线相切 , 沿此坐标线关于另一个坐标轴的变量的偏导数为零 , 转化为常微分方程求解 .例 1 求解下列 Cauchy 问题2u t =u x -xu , x #R , t >0u t =0=2x exp22. x #R解 d t=-2 x (0 =c , 解 x (t, c =-2t +c 为方程的特征线 , 其中 c 为常数 .沿着特征线 x =x (t, c , u =u(x (t, c , t 满足如下常微分方程 d t =+d t =-2=-2u ,u(x (0, t , 0 =u(c, 0 =2c exp2 2 ,的解为u (x (t, c , t =2c exp 8 t 2-2ct + 2 2 .将 c =x + 2 t 代入上式 , 得到解 u(x , t =2(x +2t exp ( 2 2 .1. 2 高维的一阶线性偏微分方程以三维一阶线性偏微分方程为例 :a(x , y , z u x +b(x , y , z u y +c(x , y , z u z +d (x , y , z u =f (x , y , z , u =u(x , y , z , (3 其中 a, b , c, d 和 f 是给定的 C 1函数 .定义 2 称d t =a(x (t , y (t , z (t ,d t=b(x (t , y (t , z (t ,d t=c(x (t , y (t , z (t为方程 (3 的特征方程组 , 特征方程组的解为 (3 的特征曲线 . 定义 2∃称a (x (t , y (t , z (t =b (x (t , y (t , z (t=c(x (t , y (t , z (t(假设 a(x , y , z ! 0, b (x (t , y (t , z (t ! 0, c(x (t , y (t , z (t ! 0为方程 (3 的特征方程组 , 特征方程组的解为 (3 的特征曲线 .方程 (3 特征线的几何意义 :由特征方程组的解依赖于两个任意常数 , 设为和 ! , 解可写作 y =y (x ; , ! , z =z (x ; , ! . 对固定的和 ! , 随着 x 变化 , 由点 (x , y (x ; , ! , z (x ; , ! 绘出的曲线是特征曲线 . 设 =A(x , y , z , ! =B (x , y , z , 其中 A, B 为某函数 . 特征曲线是两曲面的交线 , 做坐标变换 , 使特 (x ,绍兴文理学院学报 (自然科学第 30卷分方程 .定义 2中与常微分方程课程中特征方程定义一致 7-9, 这样将一阶偏微分方程转化为常微分方程组处理 . 一阶偏微分方程理论上局部可转化为一阶常微分方程组 .例 2 9求解初值问题x +y +z =0,当 z =1时 , f =xy ,的通解 , 这里 a, b 为常数 .解特征方程 ==z, 得到 x -y =c 1, 2y -ln z =c 2.偏微分方程的通解为 f = (-, 2-ln z .又当 z =1, f =xy , 得到 f = (x -y , 2y =xy , 变量代换 , 整理得到f =4(2y -ln z 2 (- +2(2y -ln z 2.对于一阶拟线性偏微分方程 , 特征线法同样适用 .参考文献 :1 姜礼尚 . 数学物理方程讲义 M . 北京 :高等教育出版社 , 1996.2 纳克莱∀ H ∀亚斯马 . 偏微分方程教程 M . 北京 :机械工业出版社 , 2005.3 陈祖墀 . 偏微分方程 M . 合肥 :中国科学技术大学出版社 , 2002.4 Harold Levine. 偏微分方程 M . 葛显良 , 译 . 北京 :高等教育出版社 , 2007.5 (美约翰 . 偏微分方程 M . 朱汝金 , 译 . 北京 :科学出版社 , 1986.6 Bleekcer David. 基础偏微分方程 M . 北京 :高等教育出版社 , 2006.7 王高雄 . 常微分方程 M . 北京 :高等教育出版社 , 1983.8 管志成 . 常微分方程与偏微分方程 M . 杭州 :杭州大学出版社 , 2001.9 丁同仁 . 常微分方程教程 M . 北京 :高等教育出版社 , 1991.10 姜礼尚 . 应用偏微分方程讲义 M . 北京 :高等教育出版社 , 2008.Method of Characteristics of theFirst-order Partial Differential EquationsWei Xuerui(Department of Mathematics, Shaoxing University, Shaoxing, Zhejiang, 312000Abstract:By the characteristic equation, the first-order partial differential equations translate into the syste m of ordi nary differential equations. This is called the method of characteristics. The present paper introduces the origin, the geo metric significance and the fundamental idea of solving the method of characteristics.Key words:first-order partial differential equations; characteristic equation; method of characteristics第 7期魏雪蕊 :一阶偏微分方程的特征线法。
一阶偏导数微积分刚开始就是刷题，背定义。
然后我发现自己忘记的太快了，我都怀疑自己的人生了。
尤其是学了物理之后，发现微积分根本不懂。
上来就没打好基础。
所以希望自己能慢慢补上数学分析，线性代数，偏微分，实变。
感觉要转行了。
不过我下面的回顾还是避开了证明，毕竟我不感兴趣。
1、基础偏导数定义：\frac{\partial f}{\partialx}(x_{0},y_{0})=\lim_{\triangle x \rightarrow0}{\frac{f(x_{0}+\triangle x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\triangle x}} ,如果f在 (x_{0}，y_{0}) 点均可偏导，那么就称f在 (x_{0}，y_{0}) 点可偏导。
偏导数的几何意义：以 f_{x}(x_{0},y_{0}) 为例，偏导数就是在这一点，平行于x,z面的切线关于x轴的斜率。
方向导数：\frac{\partial f}{\partial v}=\lim_{t \rightarrow0+}{\frac{f(x_{0}+tcos\alpha,y_{0}+tsin\alpha)-f(x_{0},y_{0})}{t}} ,也就是f在点 (x_{0},y_{0}) 处的沿着 v(cos\alpha,sin\alpha) 方向的方向导数。
在导数的定义中，导数存在的充要条件是导函数左右导函数存在并且相等。
而在方向导数中，函数在某一点关于x,y偏导数存在的充要条件是沿x(或y)正方向和负方向的偏导数存在，并且互为相反数。
2、多元函数的全微分对于 f(x,y) , 如果在其中的一个点 (x_{0},y_{0}) 满足存在与 \triangle x ,\triangle y 无关，只与 (x_{0},y_{0}) 有关而与 \triangle x和\triangle y 无关的的数A，B使得 :\triangle f=A\triangle x+B\triangley+o(\sqrt{\triangle x^{2}+\triangle y^{2}}) , 其中A\triangle x+B\triangle y 为其中的线性部分，也叫做f在(x_{0},y_{0}) 点的全微分。
微分几何的高阶导数微分几何是数学中重要的学科之一，主要研究的是曲面和曲线上的基本性质以及这些基本性质在不同的情形下的变化规律。
其中，高阶导数是微分几何中的一个重要概念，是研究曲线和曲面上曲率和扭率变化的一种有效工具。
一、一阶导数和曲率在微分几何中，一阶导数是研究曲线和曲面上基本性质的起点。
具体而言，在曲线上，一阶导数决定了曲线的切线方向；在曲面上，一阶导数描述了曲面的法向量随着曲线的变化而变化的情况。
曲率是描述曲线弯曲程度的指标，它常常被描述为曲线上单位切向量方向上的变化率。
而曲率的一阶导数则描述了曲率的变化率，即曲线上弯曲程度的变化程度。
这种变化程度可以通过曲率的变化率来得到，因此曲率的一阶导数在微分几何中有着很重要的作用。
二、二阶导数和扭率尽管曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，但它仅能描述曲线的弯曲情况，而对于曲线的扭曲性质则无能为力。
而扭率则可以描述曲线的扭曲程度，它是一种三维曲线与前面提到的二维曲线上曲率的关系。
扭率的一阶导数描述了扭率的变化程度，即描述了曲线扭曲程度的变化程度。
由于扭曲本身是一种必要的三维曲线性质，因此二阶导数在计算扭率和扭率变化时有着重要的作用。
三、n阶导数和微分几何的进一步应用除了一阶和二阶导数之外，微分几何中还有高阶导数的概念，它们对于研究曲线和曲面的性质以及它们的变化具有重要作用。
例如，在曲面上，三阶导数可以描述曲面的弯曲和扭曲的交互作用，四阶导数可以描述曲面的局部形态变化等。
此外，高阶导数还在微分几何的其他研究中有着广泛的应用。
例如，在曲线和曲面的拓扑学中，高阶导数可以描述拓扑变化的性质；在曲面曲率流的研究中，高阶导数可以描述曲面的形态变化，等等。
总之，微分几何的高阶导数是一个非常重要的概念，它可以用来研究曲线和曲面的基本性质和其变化规律。
虽然这些概念并不是易于理解和计算的，但是它们在微分几何研究中仍然发挥着重要的作用。
曲面的一阶偏导数与法曲率曲面的一阶偏导数以及法曲率是微分几何学中的重要概念，可以帮助我们了解曲面的性质和特征。
本文将介绍曲面的一阶偏导数的计算方法以及法曲率的定义和计算公式。
一、曲面的一阶偏导数曲面的一阶偏导数是描述曲面上各点切平面的变化率。
对于参数方程为 x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v) 的曲面，其一阶偏导数可通过对参数u 和 v 分别求导得到。
具体而言，曲面上一点的 u 方向的偏导数表示为∂x/∂u、∂y/∂u、∂z/∂u，v 方向的偏导数表示为∂x/∂v、∂y/∂v、∂z/∂v。
这些偏导数可以用来计算曲面上的切向量、法线向量等重要信息。
二、法曲率的定义和计算公式法曲率是描述曲面上各点法线弯曲程度的量。
对于参数方程为x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v) 的曲面，其法曲率的计算公式如下：K = (L*N - M^2) / (E*G - F^2)其中，L、M、N 分别表示曲面上该点法线的二阶偏导数在 x、y、z 方向的分量，E、F、G 分别表示曲面上该点一阶偏导数的内积。
根据法曲率的计算公式，我们可以求得曲面上各点的法曲率，并进一步分析曲面的形状和特性。
例如，法曲率为正表示曲面凸起，法曲率为负表示曲面凹陷，法曲率为零表示曲面是平面等。
三、曲面的性质与特征分析通过计算曲面的一阶偏导数和法曲率，我们可以得到曲面的一些性质和特征信息。
1. 曲率半径和曲率圆曲率半径是描述曲面上某点曲率大小的量，可以由法曲率求得。
曲率半径为正表示曲面在该点处向外凸起，曲率半径为负表示曲面在该点处向内凹陷。
曲率半径的大小可以用来判断曲面的弯曲程度。
曲率圆是描述曲面上某点曲率性质的几何图形，其半径与法曲率的倒数有关。
曲率圆为正表示曲面向外凸起时的外切圆，曲率圆为负表示曲面向内凹陷时的内切圆。
2. 曲率线曲率线是曲面上切平面曲率方向的曲线。
曲率线的位置和形状可以通过计算曲面的一阶偏导数和法曲率得到。
