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第四节 函数单调性与极值一、 函数单调性的判别法 引例：（1）2)(x x f =在),0(∞+内单增，当),0(∞+∈x 时，02)(/>=x x f 。
（2）xx f 1)(=在),0(∞+内单减，当),0(∞+∈x 时，01)(2/<-=xx f 。
定理1：设函数)(x f y =在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导；（1）如果在()b a ,内0)(/≥x f ，则函数)(x f y =在[]b a ,上单调增加； （2）如果在()b a ,内0)(/≤x f ，则函数)(x f y =在[]b a ,上单调减少； 推论1：设函数)(x f y =在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导；（1）如果在()b a ,内0)(/>x f ，则函数)(x f y =在[]b a ,上严格单调增加； （2）如果在()b a ,内0)(/<x f ，则函数)(x f y =在[]b a ,上严格单调减少； 例1：讨论下列函数的单调性（1）x y =，（2）32)1(x x y -=， 例2：讨论函数5)3(-=x y 的单调性注：（1）一般地，如果函数)(x f y =在某个区间上连续，且其导数除在有限个点处为零外，而在其余点处都有0)(/>x f （或0)(/<x f ），则函数)(x f y =在该区间上单调增加（单调减少）。
（2）可以发现函数单调增加区间与单调减少区间的分界点可能是导数为零的点和导数不存在的点。
（3）可利用函数的单调性证明一些不等式。
例3 ：证明：当0>x 时，!3sin 3xx x ->。
二、函数的极值及其求法（一） 引例讨论函数32)1(x x y -=在点0=x 、52=x 的附近的单调性，（二）函数极值的概念定义：设函数)(x f y =在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，如果对)(00x U x ∈∀，恒有)()(0x f x f <（或)()(0x f x f >），则称)(0x f 为函数)(x f 的一个极大值（或极小值），称0x 为函数)(x f 的极大值（或极小值）注：（1）函数极值是一个局部概念，只是将函数在某一点处的函数值与其邻域的函数值进行比较；而极小值并不一定小于极大值。
函数单调性和求极值点、最值(知识点及相关练习)本文档将介绍函数的单调性以及如何求函数的极值点和最值。
这些概念是在研究高等数学中非常重要的一部分。
函数的单调性函数的单调性描述了函数图像在定义域内的变化趋势。
一个函数可以是递增的（单调递增），也可以是递减的（单调递减），或者在某个区间内既递增又递减。
判断函数的单调性需要观察函数的导数。
如果函数的导数恒大于零（导函数递增），则函数单调递增；如果导数恒小于零（导函数递减），则函数单调递减。
如果导数在某个区间内既大于零又小于零，则函数在该区间内既递增又递减。
下面是一些相关联系。
练题：1. 设函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的单调区间。
- 解答：- 首先求导数：$f'(x)=3x^2-6x$- 然后求解 $f'(x)=0$ 的解，即 $3x^2-6x=0$ ，解得 $x=0, 2$- 将 $x=0$ 和 $x=2$ 代入 $f'(x)$ 的导数符号表，得到如下结果：| $x$ | $(-\infty,0)$ | $(0,2)$ | $(2,+\infty)$ |- 由上表可以看出，函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上递减，在区间 $(0,2)$ 上递增，而在区间 $(2,+\infty)$ 上递增，所以函数的单调区间分别为 $(-\infty, 0)$ 和 $(2,+\infty)$。
求函数的极值点和最值函数的极值点是函数某一段上的极大值或极小值点。
函数的最大值和最小值是函数在整个定义域上的最大值和最小值。
为了求函数的极值点和最值，我们需要找到函数的临界点和边界点。
- 临界点：函数定义域内导数为零或不存在的点。
- 边界点：函数定义域的端点。
对于一个函数，如果它有极值点，那么极值点一定在函数的临界点和边界点处。
下面是一些相关练。
练题：1. 设函数 $g(x)=x^3-6x^2+9x+2$，求 $g(x)$ 的极值点和最值。
单调性与极值关系解析实际上，函数的极值并不直接影响其单调性，而是函数的单调性变化“揭示”了极值的存在。
让我们更详细地探讨这一关系：1. 单调性变化的标志函数的单调性描述了函数在其定义域内某区间上是否递增或递减。
当函数从递增变为递减，或者从递减变为递增时，这种单调性的变化通常意味着函数在这一点附近有一个极值。
换句话说，极值点是单调性改变的“转折点”。
2. 极值的定义极值点是函数在其局部范围内的最大或最小值点。
如果函数在某点c处取得局部最大值，那么在该点的左侧（如果存在的话），函数是递增的；而在该点的右侧（如果存在的话），函数是递减的。
类似地，对于局部最小值点，函数在其左侧递减，在其右侧递增。
3. 导数与极值为了找到极值点，我们通常会求函数的导数，并找到导数等于零的点（驻点）。
然而，并不是所有驻点都是极值点。
为了确定一个驻点是否是极值点，我们需要检查该点附近的导数符号变化。
如果导数在该点从正变为负，那么该点是局部最大值点；如果导数从负变为正，那么该点是局部最小值点。
4. 单调性与极值的关系总结●单调性变化是极值点存在的“信号”。
●极值点是单调性变化的“转折点”。
●我们通过检查函数在其驻点附近的单调性变化来确定极值点的存在和类型。
5. 示例考虑函数f(x)=x3−3x，其导数为f′(x)=3x2−3。
●驻点：令f′(x)=0，得到x=±1。
●单调性：当x<−1时，f′(x)>0，函数递增；当−1<x<1时，f′(x)<0，函数递减；当x>1时，f′(x)>0，函数再次递增。
●极值：由于函数在x=−1处由递增变为递减，故x=−1是局部最大值点；在x=1处由递减变为递增，故x=1是局部最小值点。
在这个示例中，我们首先确定了函数的单调性变化，然后利用这些变化来找到并分类极值点。
因此，可以说单调性的变化“导致”了极值点的识别，而不是极值“影响”了单调性。
导数与函数的单调性、极值与最值一、课堂目标1．掌握利用导数求解函数单调区间的方法步骤 ．2．掌握极值与极值点的概念，能够结合函数与导数图象找出极值点与极值 ．3．掌握利用导数求解函数极值的方法步骤．4．掌握利用导数求解给定区间上可导函数最值的方法步骤．二、知识讲解1. 导数与函数单调性知识精讲（1）导数与函数单调性①如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于，曲线呈上升状态，因此在上是增函数，如下图所示；，（）（），（），②如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于，曲线呈下降状态，因此在上是减函数，如下图所示.，（）（），（），（2）导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓.知识点睛函数在区间可导.（1）若，则函数在此区间内单调递增；（2）若，则函数在此区间内单调递减；（3）若，则函数在此区间内为常数函数.经典例题A.① B.② C.③ D.④1.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）．巩固练习2.是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能是下列选项中的（ ）．A.B.C. D.经典例题A. B.C.D.3.函数的图象如图所示，则的图像可能是（ ）．A.4.已知函数的图像如图所示，则等式的解集为（ ）．B.C.D.巩固练习A.B.C.D.5.如果函数的图像如右图，那么导函数的图像可能是（）．2. 利用导数求函数的单调区间的步骤知识精讲（1）确定的定义域；（2）求导数；（3）由（或）解出相应的的取值范围.当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数.知识点睛需要注意的是：1.在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题是必须在定义域内进行；2.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点（即导函数的零点）外，还要注意定义域内的不连续点和不可导点.经典例题A. B.C.D.6.函数的单调递增区间是（）．巩固练习A. B.C. D.7.函数的单调递增区间为（）．A.B.C.D.8.函数，的单调递减区间是（ ）．和和和和经典例题A. B.C.D.9.函数在上是减函数，则的取值范围是（）．巩固练习A. B.C. D.10.若为函数的递增区间，则的取值范围为（）．A. B.C.D.11.若函数为增函数，则实数的取值范围为（ ）．经典例题12.已知在区间上不单调，实数的取值范围是（ ）．A. B.C.D.巩固练习A. B.C. D.13.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）．经典例题14.函数在上存在单调增区间，则实数的范围是．巩固练习A. B.C.D.15.若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（）．3. 导数与函数的极值知识精讲函数极值与极值点的定义一般地，设函数的定义域为，设，如果对于附近的任意不同于的,都有：①，则称为函数的一个极大值点，且在处取极大值;②，则称为函数的一个极小值点，且在处取极小值.极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小.（）（）（）（）（）（）（）（）（）知识点睛极值点的判断一般地，设函数在处可导，且.①如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极大值点；②如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极小值点；（）（）（）（）（）（）（）（）③如果在的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则一定不是的极值点.（）（）经典例题A.B.C. D.16.函数在上的极小值点为（）．A.B.C.D.17.已知，在处有极值，则，的值为（ ）．，或，，或，，以上都不正确巩固练习A.B.C.D.18.函数的极大值为，那么等于（）．4. 求函数的极值的方法知识精讲求极值的步骤：（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）检验在方程的根的左右两侧的值的符号：①如果是左正右负，则在这个根处去的极大值；②如果是左负右正，则在这个根处去的极小值；③如果是左右同号，则在这个根处无极值.知识点睛导数与极值的关系：如果函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，则是极大值点，是极大值.如果函数在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增的，则是极小值点，是极小值.经典例题（1）（2）19.求下列函数的极值．．．巩固练习（1）（2）20.求下列函数的极值．．．A. B. C.D.21.设函数，则函数的极小值为（）．经典例题22.判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．．巩固练习23.判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．．经典例题24.设函数在和处有极值，且，求，，的值及函数的极值．25.若有极大值和极小值，则的取值范围是 .巩固练习26.已知函数在处取得极值，求的值．5. 求函数在上的最值的步骤知识精讲（1）函数的最大（小）值一般地，如果在上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.（2）求函数在上的最值的步骤①求函数在区间上的极值；②将函数的各极值点与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.知识点睛最值与极值的区别与联系（1）函数的最值是一个整体性的概念，反映的是函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较；函数的极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；（2）函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有；（3）极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得；函数有极值时不一定有最值，有最值时也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得必定是极值.经典例题27.已知函数，求函数在上的最大值和最小值．巩固练习28.函数的最大值为．A.， B.，C.，D.，29.函数在区间上的最大值，最小值分别为（）．30.函数，的最小值等于．经典例题A. B.C.D.31.函数在上最大值为，最小值为，则实数取值范围为（）．巩固练习A. B.C. D.32.若函数在内有最小值，则的取值范围是（）．经典例题（1）（2）33.已知函数．求曲线在点处的切线方程．求函数在区间上的最大值和最小值．巩固练习（1）（2）34.已知函数，曲线在处的切线经过点．求实数的值．设，求在区间上的最大值和最小值．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、出门测（1）（2）35.已知函数．写出函数的单调递减区间．求函数的极值．11（1）（2）36.已知函数．求曲线在点处的切线方程；求在区间上的最小值和最大值．。
用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点用导数判别f (x 0)是极大、极小值的思路: 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值；在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值例1 求列函数的极值：（1）22)2()1(--=x x y ；（2）2122-+=x x y解：（1）2/22)2)(75)(1()(,)2()1()(---=∴--=x x x x f x x x f令0)(/=x f ，得驻点2,57,1321===x x x0)1(=∴f 是函数的极大值；3125108)57(-=f 是函数的极小值. （2）22222/2)1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(x x x x xx x x f x x x f ++-=+⋅-+=∴-+=令0)(/=x f ，得驻点121,1x x =-=∴当1-=x 时，f极小=-3；当1=x 时，f极大=-1值。
