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第十三章概率与统计本章知识结构图第一节 概率及其计算考纲解读1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。
2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。
3.掌握古典概型及其概率计算公式。
4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
5.了解几何概型的意义。
命题趋势探究1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。
2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。
知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件；③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。
对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0.三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。
四、两个基本概型的概率公式1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同()(A)=()A card P A card =Ω包含基本事件数基本事件总数2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为Aμ.()P A =AμμΩ。
五、互斥事件的概率1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。
事件A 与事件B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ 。
2、对立事件事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。
()()1P A p A =- 。
3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。
随机事件的概率专题[基础达标](20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.设事件A，B，已知P(A)=15，P(B)=13，P(A∪B)=815，则A，B之间的关系一定为()A.两个任意事件B.互斥事件C.非互斥事件D.对立事件B【解析】因为P(A)+P(B)=15+13=815=P(A∪B)，所以A，B一定是互斥事件.2.某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是()A.恰有2名男生与恰有4名男生B.至少有3名男生与全是男生C.至少有1名男生与全是女生D.至少有1名男生与至少有1名女生C【解析】“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是对立事件，排除B；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不是对立事件，排除D.3辽宁舰”是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，在“辽宁舰”的飞行甲板后部有四条拦阻索，降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条，则为“成功着陆”，舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%，挂住第二条、第三条拦阻索的概率为62%，捕捉钩未挂住拦阻索需拉起复飞的概率约为5%，现有一架歼-15战机白天着舰演练20次，则其被第四条拦阻索挂住的次数约为()A.5B.3C.1D.4B【解析】由题意可知舰载机被第四条拦阻索挂住的概率为1-18%-62%-5%=15%，故其被第四条拦阻索挂住的次数约为20×0.15=3.41，2，3，4，5，6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是()A.15B.16C.56D.3536C【解析】设a，b分别为甲、乙摸出球的编号.由题意，摸球试验共有n=6×6=36种不同结果，满足a=b的基本事件共有6种，所以摸出编号不同的概率P=1-636=56.5费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是()A.715B.25C.1115D.1315C【解析】由题意，n=4500-200-2100-1000=1200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1200+2100=3300，由古典概型公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为=33004500=1115.二、填空题(每小题5分，共15分)690分及以上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51，在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概率是0.09，60分以下的概率是0.07，小明考试及格(60分及以上)的概率为.0.93【解析】“小明考试及格”与“小明考试不及格”是对立事件，所以小明考试及格的概率是1-0.07=0.93.710环，9环，8环的概率分别为0.24，0.28，0.19，那么，在一次射击训练中，该射手射击一次不够9环的概率为.0.48【解析】在某射手一次射击中，击中10环，9环，8环的概率分别是0.24，0.28，0.19，所以该射手在一次射击中不够9环的概率P=1-0.24-0.28=0.48.8.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为.3 5【解析】设该队员每次罚球的命中率为p，利用对立事件的概率公式得1-p2=1625，解得p=35.[高考冲关](25分钟45分)1.(5分8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示.某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为()A.13B.23C.14D.34B【解析】由题意知，此人从小区A前往小区H的所有最短路径为A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条.记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4个，所以P(M)=46=23，即他经过市中心O的概率为23.2.(5分)盒中装有分别标着1到80号的大小相同的小球80个，从中随机摸出一个球.则摸出的球既不是3的倍数又不是4的倍数的概率为()A.1740B.2340C.12D.1320C【解析】设事件A为“摸出的球是3的倍数”，事件B为“摸出的球是4的倍数”，则A+B表示摸出的球是3或4的倍数，表示摸出的球既不是3的倍数又不是4的倍数.试验的总事件数为80，A所包含的试验分别有摸出的球号为3，6，9，…，78，共有26种；B所包含的试验分别有摸出的球号为4，8，12，…，80，共有20种，但12，24，36，48，60，72重复了，所以A+B所包含的试验总数为26+20-6=40种，则所包含的试验总数为80-40=40种，故P(A+B)=4080=12.3.(5分)如果事件A和B是互斥事件，且A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为.0.16【解析】设事件A发生的概率为P，则事件B发生的概率为3P，又事件A 和B是互斥事件，且A∪B发生的概率是0.64，则P+3P=0.64，P=0.16.4.(5分1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球.现从甲、乙两个盒内各取1个球，则取出的2个球中恰有1个红球的概率是.12【解析】从甲乙两个盒中各取1个球，共有3×4=12种不同取法，其中从甲盒取出红球、乙盒取出黑球的结果有2种；从乙盒取出红球、甲盒取出黑球的结果有4种，故所求概率为212+412=12.5.(12分)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到绿球或黄球的概率也是512，求得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少?【解析】从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥，∴P(B+C)=P(B)+P(C)=512，P(D+C)=P(D)+P(C)=512，P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-13=23，解得P(B)=14，P(C)=16，P(D)=14.∴得到黑球、黄球和绿球的概率分别是14，16，14.6.(13分)某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是12，构造数列{a n}，使得a n=1(当第n次出现正面时)，-1(当第n次出现反面时)，记S n=a1+a2+a3+…+a n(n∈N*).(1)若抛掷4次，求S4=2的概率；(2)已知抛掷6次的基本事件总数是N=64，求前两次均出现正面且2≤S6≤4的概率.【解析】(1)S4=2，需4次中有3次正面1次反面.设其概率为P1，再设正面向上为a，反面向上为b.则基本事件空间为Ω={aaaa，aaab，aaba，abaa，baaa，bbbb，bbba，bbab，babb，abbb，aabb，bbaa，baab，abba，abab，baba}，则n=16，n1=4，所以P1=416=14.(2)6次中前两次均出现正面，且要使2≤S6≤4，则后4次中有2次正面2次反面或3次正面1次反面，设概率为P2，则n=64，由(1)知n2=10，所以P2=1064=532.。
（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义,了解频率与概率的区别。
（2）了解两个互斥事件的概率加法公式。
一、随机事件及其概率1．事件的分类2．频率与概率（1)事件的频率:在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数An 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()A n n fA n 为事件A 出现的频率. （2）事件的概率:对于给定的随机事件A ,由于事件A 发生的频率()f A随着试验次数的增加稳定在某个常数上，把这个常数n记作()P A，称为事件A的概率，因此可以用()n f A来估计概率()P A。
注意：频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关。
概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验做没做、做多少次完全无关。
二、事件间的关系及运算=B∅B∅且=A B U=注意：互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生。
因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件。
三、概率的基本性质1．由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,从而任何事件的概率都在0～1之间,即0()1≤≤.必然P A事件的概率为1，不可能事件的概率为0.2．当事件A与事件B互斥时,()()()=+，该公式为概率P A B P A P B的加法公式。
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即()()()1212()n n P A A A P A P A P A =+++.3．若事件A 与事件B 互为对立事件,则A B 为必然事件，1()P A B =。
再由加法公式得()()1P A P B +=.考向一 由频率估计随机事件的概率随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度,通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率。
第十三章概率与统计本章知识结构图统计概率第一节概率及其计算考纲解读1. 了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。
2. 了解两个互斥事件的概率的加法公式。
3. 掌握古典概型及其概率计算公式。
4. 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
5. 了解几何概型的意义。
命题趋势探究1. 本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。
2. 命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、 对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。
知识点精讲一、 必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：① 必然要发生的事件叫必然事件； ② 一定不发生的事件叫不可能事件； ③ 可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
二、 概率在相同条件下，做次重复实验，事件 A 发生次，测得 A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动， 随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫 做A 的概率，记作。
对于必然事件A,;对于不可能事件 A, =0.三、 基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件， 所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。
四、 两个基本概型的概率公式1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件2、每个基本事件发生的可能性相同P AA 包含基本事件数 =card (A) 基本事件总数=card ()2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域的子集A ，A 的几何度量(长度、面积、体积或时间)记为五、互斥事件的概率1互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。
事件A与事件B互斥，则P AUB P A P B2、对立事件事件A,B互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B对立，记作B A或A B。
P A 1 p A。
3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A, B对立”是”事件 A B互斥“的充分不必要条件。
随机事件的概率、古典概型、几何概型一、选择题1.(2018·全国卷II高考理科·T8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【命题意图】本题考查了概率的有关概念以及数学建模能力.【解析】选C.不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,其中和为30的有7+23,11+19,13+17.所以随机选取两个数,和为30的概率为错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.2.(2018·全国卷II高考文科·T5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3【命题意图】本题考查古典概型的有关知识,难度较小.【解析】选D.用1,2代表两名男同学,A,B,C代表三名女同学,则选中的两人可以为12,1A,1B,1C,2A,2B,2C,AB,AC,BC共10种,全是女同学有AB,AC,BC 共3种,所以概率P=错误！未找到引用源。
=0.3.3.(2018·全国Ⅲ高考文科·T5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 ()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【命题意图】考查统计与概率知识中的事件的运算,意在考查对立事件、概率的加法公式,培养学生的实际应用能力、逻辑推理能力,体现了数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析的数学素养.【解析】选B.方法一:画Venn图,如图设只用非现金支付(不用现金支付)的概率为x,则0.45+0.15+x=1,解得x=0.4,所以不用现金支付的概率为0.4.方法二:记“用现金支付”为事件A,“用非现金支付”为事件B,则“只用非现金支付(不用现金支付)”为事件B-(A∩B),由已知,P(A)=0.45+0.15=0.6,P(A∩B)=0.15,又P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.6+P(B)-0.15=1,所以P(B)=0.55,P(B-(A∩B))=P(B)-P(A∩B)=0.55-0.15=0.4.4.(2018·全国卷I高考理科·T10)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC,△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3【解析】选A.方法一:取AB=AC=2,则BC=2错误！未找到引用源。
