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2.3.1等比数列的概念【教学思路】：一、创设情景，揭示课题引入：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”；细胞分裂模型；计算机病毒的传播；印度国王奖赏国际象棋发明者的实例等都是等比数列的实例。
再看下面的例子： ①1，2，4，8，16， (1)12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，…④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：（1）“从第二项起”，“每一项”与其“前一项”之比为常数)(q（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且 （3）1≠q 时，}{n a 为常数 二、研探新知 1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，（注意：等比数列的公比和项都不为零）． 注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数)(q ,}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,0≠q ）（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且,“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件． （3）1=q 时，}{n a 为常数。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材45P 例1）判断下列数列是否为等比数列：（1）1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；（3）1618141211，，，，--解：（1）所给的数列是首项为1，公比为1的等比数列． （2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列．例2 （教材46P 例2）求出下列等比数列中的未知项：（1）2,,8a ； （2）14,,,2b c -． 解：（1）由题得82a a=，∴4a =或4a =-． （2）由题得 412b c b c c b⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩，∴2b =或1c =-．四、巩固深化，反馈矫正 1. 教材49P 练习第1，2题 2. 教材49P 习题第1，2题五、归纳整理，整体认识本节课主要学习了等比数列的定义，即：)0(1≠=-q q a a n n；等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 及推导过程。
江苏省泰兴市高中数学第2章数列２.３.3 等比数列的前n项和(1)教案苏教版必修5编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(江苏省泰兴市高中数学第２章数列 2.3．3 等比数列的前n项和(1)教案苏教版必修５)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.3．3 等比数列的前n 项和(1)教学目标:1.了解等比数列前ｎ项和公式及其获取思路,会用等比数列的前n 项和公式解决简单的与前n 项和有关的问题.2. 提高学生的推理能力,培养学生应用意识.教学重点：等比数列前n 项和公式的理解、推导及应用．教学难点：应用等差数列前n 项和公式解决一些简单的有关问题.教学方法:采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．教学过程:一、问题情境提出问题:关于国王的奖赏,国际象棋棋盘的格子中分别放1，2,４,…,263粒麦子．怎样求数列１，２,4,…,262，263的各项和？即求以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：626364124822S =++++⋯++, ① 26364642481622S =+++⋯++， ②由②-①可得:126464-=S .这种求和方法称为“错位相减法”,“错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法．二、学生活动怎样求等比数列前n 项的和？公式的推导方法一：一般地，设等比数列123,,n a a a a +⋯,⋯它的前n 项和是 =n S 123n a a a a +++⋯+，由12311n n n n S a a a a a a q -=+++⋯+⎧⎪⎨=⎪⎩，． 得2211111123111111n n n n nn S a a q a q a q a q qS a q a q a q a q a q ---⎧=+++⋯++⎪⎨=+++⋯++⎪⎩，．n n q a a S q 11)1(-=-∴． ∴当1≠q 时,q q a S n n --=1)1(1 或q qa a S n n --=11．当q ＝1时,1na S n =.三、建构教学等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时,q q a S n n --=1)1(1 ① 或q qa a S n n --=11②；当ｑ＝1时,1na S n =．思考：什么时候用公式(1)、什么时候用公式(2)？(当已知a １, q ,n 时用公式①；当已知a 1，ｑ,ａn 时，用公式②）四、数学运用1. 例题讲解.例1 求下列等比数列前８项的和.(１)21，41，81,…; （2）()19127,,0243a a q ==>.例3 求数列2311,3,5,7,...,(21)n a a a n a --(a ≠1)的前n 项的和．2.练习.课本P ５7－58练习１,2，３, 5题．五、要点归纳与方法小结:1。
第1讲 等差数列、等比数列一、熟记核心要点1．a n 与S n 的关系：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列和等比数列二、掌握二级结论1．若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 仍为等差数列，其中m ，k 为常数．2．若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍为等比数列． 3．公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝（a 2－a 1）qa 2－a 1＝q .4．(1)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公比为q k.(2)等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d .5．若A 2n －1，B 2n －1分别为等差数列{a n }，{b n }的前2n －1项的和，则a n b n ＝A 2n －1B 2n －1.三、澄清易错易混点 1．应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．2．三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，而三个不为0的数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .3．应用等比数列前n 项和公式时应首先讨论公比q 是否等于1.考点1 等差(比)数列的基本运算题型：选择、填空难度：基础分值：5分热点 以等差(比)数列为载体考查基本量的求解，体现方程思想、整体思想的应用(1)(2015·石家庄模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( ) A ．152B ．135C ．80D ．16(2)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( ) A ．2B ．－2C.12D ．－12【解析】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝30，a 2＋a 4＝S 4－(a 1＋a 3)＝90，所以公比q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，首项a 1＝301＋q2＝3，所以a n ＝3n ，b n ＝1＋log 33n ＝1＋n ，则数列{b n }是等差数列，前15项的和为15×（2＋16）2＝135，故选B.(2)由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列， 所以S 22＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12，故选D.方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【题组演练】1．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *.若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2016＝( ) A ．92015B ．272015C ．92016D ．272016【解析】 由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列．数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n ，b n ＝3n，又c n ＝ba n ＝33n.∴c 2016＝33×2016＝272016，故选D.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝________．【解析】 ∵q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝5452＝12，∴a 1＋a 3＝a 1＋a 1×14＝52，解得a 1＝2.∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .∴S n a n＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n －1. 考点2 等差(比)数列的性质题型：选择、填空、解答难度：中等分值：5～12分热点 主要考查等差、等比数列项与和的性质，常与数列通项、求和等相联系(1)(2015·郑州模拟)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D．64(2)已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. ①求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；②将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．【解析】 (1)因为2a 8＝a 7＋a 9＝16，所以a 8＝8，又S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6，且S 11＝992，所以a 6＝92，又d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝8＋4×74＝15，故选A. (2)①由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n （9－n ）2.②由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 1－12＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12m随m 增加而递减，∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n （9－n ）2＝－12(n 2－9n )＝－12[⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ，则10<4＋λ，得λ>6. 即实数λ的取值范围为(6，＋∞)．1．此类问题主要考查等差(比)数列的项与和的性质，特别是数列中“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q (a m ·a n ＝a p ·a q )”这一性质．2．等差数列前n 项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题．3．数列的恒成立问题常转化为函数的最值问题，即利用数列的单调性(d >0，递增；d <0，递减)求最值．【题组演练】1．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，若S 10＝31，S 20＝122，则S 30＝( ) A ．153B ．182C ．242D ．273【解析】 根据等差数列的性质得到：S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，则S 30＝2(S 20－S 10)－S 10＋S 20＝2(122－31)－31＋122＝273，故选D.2．(2014·江西高考)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．【解析】 当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，等价于⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0.∴－1＜d ＜－78.考点3 等差(比)数列的判断与证明题型：选择、填空、解答 难度：中等分值：5～12分热点 以递推关系为载体考查等差(比)数列的判断及证明(1)(2015·江西省高考适应性测试)已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝8，数列{a n ＋1－2a n }是公比为2的等比数列，则下列判断正确的是( )A ．{a n }是等差数列B ．{a n }是等比数列C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等比数列 (2)(2015·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.①求a 4的值；②证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；③求数列{a n }的通项公式．【解析】 (1)由已知a 2－2a 1＝4，a n ＋1－2a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，故选C.(2)①当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.②证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．③由②知，a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝4.∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是以a 112＝2为首项，4为公差的等差数列，∴a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，即a n ＝(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.等差(比)数列的判断与证明的两个易失分点(1)利用a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)的关系证明数列{a n }为等比数列时，要注意数列中的各项均不为0.(2)当要证明一个数列是等差(等比)数列时，命题是一个全称命题，必须证明对任意n 的值都要满足等差或等比数列的定义．【题组演练】(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1,其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．【解】 (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1，由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. (2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．课时分层练(九)一、填空题1．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 6＝a 5＋2a 4，则a 6a 4的值为________． 【解析】 因为a 6＝a 5＋2a 4，所以a 4q 2＝a 4q ＋2a 4，即q 2－q －2＝0，数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以q ＝2，a 6a 4＝q 2＝4.【答案】 42．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________．【解析】 由等差数列的性质可得a 3＝35，a 4＝33，故d ＝－2，a n ＝35＋(n －3)×(－2)＝41－2n ，易知数列前20项大于0，从第21项起为负项，故使得S n 达到最大值的n 是20.【答案】 203．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝1，则通项公式a n ＝________． 【解析】 由S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)可得S n －1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)两式相减得：a n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1a n ＝32，(n ≥2，n ∈N *)．又由a 1＝1及S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)可得a 2＝12，所以数列{a n }从第二项开始成一个首项为a 2＝12，公比为32的等比数列，故当n >1，n ∈N *时有a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，所以有a n＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2.【答案】 ⎩⎨⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2二、解答题4．(2015·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足(1－q )S n ＋qa n ＝1，且q (q －1)≠0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列． 【解】 (1)当n ＝1时，由(1－q )S 1＋qa 1＝1，a 1＝1.当n ≥2时，由(1－q )S n ＋qa n ＝1，得(1－q )S n －1＋qa n －1＝1，两式相减得a n ＝qa n －1， 又q (q －1)≠0，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列，故a n ＝q n －1.(2)证明：由(1)可知S n ＝1－a n q1－q，又S 3＋S 6＝2S 9，得1－a 3q 1－q ＋1－a 6q 1－q ＝2（1－a 9q ）1－q ，化简得a 3＋a 6＝2a 9，两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8. 故a 2，a 8，a 5成等差数列．5．(2015·浙江高考)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .【解】 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n(n ∈N *)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1nb n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b n n，所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．6．已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和为S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *. (1)求p 的值及a n ；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若等比数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列．【解】 (1)由已知可得a 1＝S 1＝p ＋2，S 2＝4p ＋4，即a 1＋a 2＝4p ＋4，∴a 2＝3p ＋2. 由已知得a 2－a 1＝2，∴p ＝1，∴a 1＝3，∴a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)证明：在等比数列{b n }中，b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，则公比为b 4b 3＝3.由b 3＝b 1·32，得b 1＝13，∴数列{b n }是以13为首项，以3为公比的等比数列，∴T n ＝13（1－3n）1－3＝16·(3n －1)，即T n ＋16＝16×3n＝12×3n －1.又∵T 1＋16＝12，T n ＋16T n －1＋16＝3，n ≥2，n ∈N *，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，以3为公比的等比数列．第2讲数列求和及简单应用一、熟记核心要点1．分组求和法分组求和法是解决通项公式可以写成c n＝a n＋b n形式的数列求和问题的方法，其中{a n}与{b n}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．2．裂项相消法将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n ＝f (n ＋1)－f (n )的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为0的等差数列，c 为常数)的数列等． 3．错位相减法形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和． 二、掌握二级结论已知递推公式求通项公式的三种方法1．裂项求和的系数出错：裂项时，把系数写成它的倒数或者忘记系数致错．2．求错项数致误：错位相减法求和时，相减后总项数为n ＋1，易错并且还易漏掉减数式的最后一项．考点1 数列求和问题数列求和的常见类别——{a n ＋b n }，{a n ·b n }⎩⎨⎧⎭⎬⎫d a n ·a n ＋k数列求和的解题思路——分组求和法、错位相减法、裂项相消法(2015·菏泽模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1，求数列{b n }的通项公式； (3)令c n ＝a nb n4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ， 又a 1＝2满足该式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)，① a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋…＋b n 3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1②②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，即b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，又当n ＝1时，b 1＝8，所以b n ＝2(3n＋1)． (3)c n ＝a nb n4＝n (3n ＋1)＝n ·3n＋n ，∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n)＋(1＋2＋…＋n )， 令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n， ①则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1，②①－②得，－2H n ＝3＋32＋33＋ (3)－n ×3n ＋1＝3（3n－1）3－1－n ×3n ＋1∴H n ＝（2n －1）×3n ＋1＋34.∴数列{c n }的前n 项和T n ＝（2n －1）×3n ＋14＋n （n ＋1）2＋34.1．数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、错位相减法、裂(拆)项相消法、分组法、倒序相加法和并项法等． 2．裂项求和的几种常见类型 (1)1n （n ＋k ）＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；(2)1n ＋k ＋n ＝1k(n ＋k －n )；(3)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；(4)若{a n }是公差为d 的等差数列，则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)．【题组演练】(2015·安徽高考)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1.(舍去) 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2n －1.又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.考点2 数列与不等式题型：解答 难度：中等分值：12分热点以不等式为载体，考查数列求和的方法及数列的单调性角度1 数列中不等式的证明问题(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【证明】 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1<13n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.数列中不等式的放缩问题在数列求和时，为了证明的需要，需要合理变形，常用到放缩法，常见的放缩技巧有： (1)1k 2<1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1；(2)1k －1k ＋1<1k 2<1k －1－1k ； (3)2()n ＋1－n <1n<2(n －n －1)．【题组演练】(2015·唐山模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝49，a 4和a 8的等差中项为11.(1)求a n 及S n ；(2)证明：当n ≥2时，有1S 1＋1S 2＋…＋1S n <74.【解】 (1)法一 设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 7＝49，a 4＋a 8＝22，所以⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝49，2a 1＋10d ＝22，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.法二 ∵S 7＝7a 4＝49，∴a 4＝7.∵a 4＋a 8＝22，∴a 8＝15.∴d ＝a 8－a 44＝2，a 1＝a 4－3d ＝1.所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)证明：法一 由(1)知，S n ＝n 2(n ∈N *)．①当n ＝2时，1S 1＋1S 2＝1＋14<74，∴原不等式亦成立．②当n ≥3时，∵n 2>n (n －1)，∴1n 2<1n （n －1）＝1n －1－1n.∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝1＋14＋[⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ] ＝1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＝74－1n <74.综上可知原不等式成立． 法二 由(1)知，S n ＝n 2(n ∈N *)． 当n ≥2时，∵n 2>(n －1)(n ＋1)， ∴1n 2<1（n －1）（n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n＋1（n －1）（n ＋1）＝1＋12[⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1] ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12－1n －1n ＋1＝74＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n －1n ＋1<74.角度2 数列中不等式的恒成立问题(2015·文登二模)已知数列{a n }是等比数列，首项a 1＝1，公比q >0，其前n 项和为S n ，且S 1＋a 1，S 3＋a 3，S 2＋a 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n b n ，T n 为数列{b n }的前n 项和,若T n ≥m 恒成立，求m 的最大值． 【解】 (1)由题意可知：2(S 3＋a 3)＝(S 1＋a 1)＋(S 2＋a 2)，即2(a 1＋a 2＋2a 3)＝(a 1＋a 1)＋(a 1＋2a 2)，即4a 3＝a 1，所以q 2＝14.∵q >0，∴q ＝12，∵a 1＝1，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n b n ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n b n ，∴b n ＝n ·2n －1，∴T n ＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1① ∴2T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n②∴①－②得：－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n－1，∴T n ＝1＋(n －1)·2n.∵T n ≥m 恒成立，只需(T n )min ≥m . ∵T n ＋1－T n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n ＝(n ＋1)·2n>0，∴{T n }为递增数列，故当n ＝1时，(T n )min ＝1， ∴m ≤1，∴m 的最大值为1.数列中不等式的恒成立问题以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，求解的思路一般有两种：一是求和后直接利用基本不等式求解数列中的最值，二是求和后抓住和式的特征，利用函数的思想，借助数列的单调性求解，此时需注意变量的取值范围．【题组演练】(2015·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围． 【解】 (1)∵a 1＝1，S 3＝6，∴数列{a n }的公差d ＝1，a n ＝n .由题知，⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ①b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1（n ≥2） ②①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)，又b 1＝2S 1＝21＝2，满足上式，故b n ＝2n.(2)λb n >a n 恒成立⇒λ>n 2n 恒成立，设c n ＝n 2n ，则c n ＋1c n ＝n ＋12n，当n ≥2时，c n <1，数列{c n }单调递减，∴(c n )max ＝12，故λ>12.考点3 数列与函数题型：选择、填空、解答 难度：中等分值：5～12分热点以不等式为载体，考查数列求和的方法及数列的单调性设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *)．①若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；②若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n . 【解析】①由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2. 解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .②函数f (x )＝2x在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n.所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以T n ＝2n ＋1－n －22n.数列与函数的综合问题主要有以下两类(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．【题组演练】1．(2015·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3.数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2·a n n＋1(其中S n 为数列{a n }的前n 项和)，则f (a 5)＋f (a 6)＝( )A ．－3B ．－2C ．3D ．2【解析】 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )可知函数f (x )的对称轴为x ＝34，又函数f (x )是奇函数，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝－f (x )，即f (x －3)＝f (x )，∴f (x )是周期为3的周期函数．由S nn ＝2·a n n＋1得S n ＝2a n ＋n ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋n －(2a n －1＋n －1)＝2a n －2a n －1＋1，即a n ＝2a n －1－1，所以a 2＝－3，a 3＝－7，a 4＝－15，a 5＝－31，a 6＝－63，所以f (a 5)＋f (a 6)＝f (－31)＋f (－63)＝f (－1)＋f (0)＝－f (1)＋f (0)．因为函数f (x )是奇函数，所以有f (0)＝0，由f (－2)＝－3，可得f (1)＝f (－2)＝－3，所以f (a 5)＋f (a 6)＝3.【答案】 C2．(2013·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．【解析】 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由等差数列前n 项和可得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝0，15a 1＋15×142d ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝23. ∴nS n ＝n 2a 1＋n 2（n －1）2d ＝－3n 2＋13(n 3－n 2)＝13n 3－10n 23，∴(nS n )′＝n 2－20n 3，令(nS n )′＝0，解得n ＝0(舍去)或n ＝203.当n ＞203时，nS n 是单调递增的；当0＜n ＜203时，nS n 是单调递减的，故当n ＝7时，nS n取最小值，∴(nS n )min ＝13×73－10×723＝－49.[思想·方法]系列之(5)分类讨论思想在数列中的应用【案例】 (2015·遂宁模拟)已知数列{a n }为等差数列，其中a 1＝1，a 7＝13. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，当不等式λT n <n ＋8·(－1)n(n∈N *)恒成立时，求实数λ的取值范围．【审题指导】 a 1＝1，a 7＝13――――――――→等差数列通项公式求a n ――→代入b n 求b n ――――→裂项求和求T n――――→分离参数建立λ的表达式――――――→分n 为奇偶数求λ的范围，取并集即可 解】 (1)∵a 7＝a 1＋6d ，∴13＝1＋6d ，即d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n ·a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1)．∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1，①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n(n ∈N *)恒成立，只需不等式：λ<（n ＋8）（2n ＋1）n ＝2n ＋8n＋17恒成立即可．∵2n ＋8n≥8，等号在n ＝2时取得，∴λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n (n ∈N *)恒成立，只需不等式λ<（n －8）（2n ＋1）n ＝2n －8n－15恒成立即可．∵2n －8n 是随n 的增大而增大，∴n ＝1时，2n －8n取得最小值－6，∴λ<－21.综合①②可得λ的取值范围是(－∞，－21)．1．数列问题中若遇到(－1)n，则需要考虑n 的奇偶性对所求数值的影响，必要时应分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论．2．对于数列中的最值、范围等问题的求解，可转化为相应函数的单调性或利用方程有解的条件来求解，但要注意自变量取值范围的限制．【活学活用】 (2015·青岛二模)设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正整数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 13b 2＝50，a 8＋b 2＝a 3＋a 4＋5，n ∈N *.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{d n }满足d n d n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－8＋log 2b n ＋1(n ∈N *)，且d 1＝16，试求{d n }的通项公式及其前2n 项和S 2n .【解】 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0，且⎩⎪⎨⎪⎧（1＋12d ）q ＝50，（1＋7d ）＋q ＝（1＋2d ）＋（1＋3d ）＋5， 即⎩⎪⎨⎪⎧（1＋12d ）q ＝50，2d ＋q ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1112，q ＝256，由于{b n }是各项都为正整数的等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2.从而a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1.(2)∵b n ＝2n －1，∴log 2b n ＋1＝log 22n＝n ，∴d n d n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－8＋n，d n ＋1d n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－7＋n，两式相除：d n ＋2d n ＝12， 由d 1＝16，d 1d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－8＋1＝128，可得d 2＝8，∴d 1，d 3，d 5，…是以d 1＝16为首项，以12为公比的等比数列；d 2，d 4，d 6，…是以d 2＝8为首项，以12为公比的等比数列，∴当n 为偶数时，d n ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n2－1＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫22n；当n 为奇数时，d n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n+12－1＝162⎝ ⎛⎭⎪⎫22n.综上，d n＝⎩⎨⎧16⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，n 为偶数，162⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，n 为奇数.∴S 2n ＝(d 1＋d 3＋…＋d 2n －1)＋(d 2＋d 4＋…＋d 2n )＝16×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋8×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋16⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝48⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.课时分层练(十)1．(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．【解】 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3， ① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3]＝n3（2n ＋3）.2．(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)因为2S n ＝3n＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3. 当n ≥2时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n－3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，3n －1， n ≥2.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ≥2时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n.所以T 1＝b 1＝13；当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ， 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n .经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .3．(2015·吉林模拟)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n <38.【解】 (1)由已知及等差数列的性质得S 5＝5a 3，∴a 3＝14，又a 2，a 7，a 22成等比数列，即a 27＝a 2·a 22.由(a 1＋6d )2＝(a 1＋d )(a 1＋21d )且d ≠0， 解得a 1＝32d ，∴a 1＝6，d ＝4.故数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2，n ∈N *. (2)由(1)得S n ＝n （a 1＋a n ）2＝2n 2＋4n ，1S n＝12n 2＋4n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝14(1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2)＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.又T n ≥T 1＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＝16，所以16≤T n <38.4．(2015·天津高考)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列． (1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．【解】 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3， 所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)．又因为q ≠1，所以a 3＝a 2＝2.由a 3＝a 1·q ，得q ＝2.当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k＝2n 2.所以，{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1，n ∈N *.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n ， 上述两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ，整理得S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *.5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *)．(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(3＋p )a nb n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1＋2p －2n－2p ＝2n，n ≥2.a 1＝S 1＝4＋2p ＝2，由a 1，a 2，a 3成等比数列，得p ＝－1.(2)由a n ＋12＝(3＋p )a nb n，可得b n ＝n2n .∵T n ＝12＋222＋…＋n 2n ，∴12T n ＝122＋223＋…＋n 2n ＋1，两式相减得：12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1.即12T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n2n .。
第1课时等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3．会证明一个数列是等比数列．(难点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零．( )(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．( )(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．( )【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P51～P52，完成下列问题．如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n－1(a1≠0，q≠0)．1．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.【解析】∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n.【答案】2n2．在等比数列{a n}中，已知a1＝3，q＝3，若a n＝729，则n＝________.【解析】∵a n＝a1q n－1，a1＝3，q＝3，∴729＝3·3n －1＝3n，∴n ＝6.【答案】 6教材整理3 等比中项阅读教材P 54第11题，完成下列问题．1．若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，且满足G 2＝ab . 2．若数列{a n }是等比数列，对任意的正整数n (n ≥2)，都有a 2n ＝a n －1·a n ＋1.1．若22是b －1，b ＋1的等比中项，则b ＝________.【解析】 ∵(b －1)(b ＋1)＝(22)2，∴b 2－1＝8，∴b 2＝9，∴b ＝±3. 【答案】 ±32．若1，a,4成等比数列，则a ＝________. 【解析】 ∵1，a,4成等比数列， ∴a 2＝1×4＝4， ∴a ＝±2. 【答案】 ±2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]等比数列的判定与证明设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2a n －1＋3＝0(n ≥2)．判断数列{a n ＋1}是否是等比数列？【精彩点拨】 只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝非零常数即可．【自主解答】 由题意知a n ＋1＋2a n ＋3＝0(n ≥2)成立，∴a n ＋1＝－2a n －3， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝－2a n －3＋1a n ＋1＝－2(常数)． 又a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．要判断一个数列{a n }是等比数列，其依据是a n a n －1＝q (q 是非零常数)或a n ＋1a n＝q ，对一切n ∈N *且n ≥2恒成立．[再练一题]1．判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,2,4,6,8，…； (3)a ，ab ，ab 2，ab 3，….【解】 (1)是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)64≠86，不是等比数列． (3)当ab ≠0时，是等比数列，公比为b ，首项为a ； 当ab ＝0时，不是等比数列．等比数列的通项公式(1)若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为________． (2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________.【导学号：91730035】【解析】 (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q 1＝－1，q 2＝2.(2)法一 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1， 所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二 因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，知n ＝6.【答案】 (1)－1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a 1，q ，再求a n ，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ，这也是常见的方法．[再练一题]2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.【解析】 (1)∵a 5＝a 1q 4，a 1＝5，∴q ＝－3，∴a 5＝405. (2)由题意，a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0，∴q ＝－1±52.∵q >0，∴q ＝5－12.【答案】 (1)405 (2)5－12[探究共研型]等比中项探究1 三个数满足G 2＝xy ，则x ，G ，y 成等比数列吗？ 【提示】 不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列． 探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗？ 【提示】 不是．只有同号的两个数才有等比中项．在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【精彩点拨】 法一：利用等比数列的通项公式求解； 法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．【自主解答】 法一：依题意，a 1＝4，a 5＝14，由等比数列的通项公式，得q 4＝a 5a 1＝116，q ＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1.a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 1＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号．[再练一题]3．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．【解】 由题意知b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23；bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)． ①13，16，19；②lg 3，lg 9，lg 27； ③6,8,10；④3，－33，9. 【解析】－333＝9－33＝－ 3. 【答案】 ④2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n ＝________. 【解析】 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.【答案】 63．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝－2，则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号：91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7，a 7＝18×(－2)6＝8.【答案】 84．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 【解析】 a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝a 2(q 2－q )＝2(q 2－q )＝4，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2，或q ＝－1(舍去)． 【答案】 25．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数． 【解】设插入的三个数为a 2，a 3，a 4，由题意得243，a 2，a 3，a 4,3成等比数列． 设公比为q ，则3＝243·q 5－1，解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9；当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9.因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝________.【解析】 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.【答案】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2. 【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64. 【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}．【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数． 【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________.【导学号：91730037】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1qn －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －1＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3q ＝1舍去，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列： 由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n . ∵a n ＋1－n ＋1a n －n＝3a n －2n ＋1＋3－n ＋1a n －n＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于________．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， 得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.【答案】13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.【答案】 53．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 【解析】 由a n ＝2S n －3，得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1，得a 1＝2a 1－3， ∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.【答案】 a n ＝3·(－1)n －14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】 设这3个数分别为a q，a ，aq ，则a 3＝－8，即a ＝－2. (1)若－2为－2q和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，与已知矛盾，舍去； (2)若－2q 为－2q和－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1； (3)若－2q 为－2q 和－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。
2021年高中数学《等比数列》教案1 苏教版必修5【三维目标】：一、知识与技能1.通过实例，理解等比数列的概念；能判断一个数列是不是等比数列；2.类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，掌握求等比数列通项公式的方法。
掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的实际问题.二、过程与方法1.通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义；通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式．2.探索并掌握等比数列的性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力，会等比数列与指数函数的关系。
三、情感、态度与价值观1.培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．2.充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
【教学重点与难点】：重点：等比数列的定义和通项公式难点：等比数列与指数函数的关系；遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。
【学法与教学用具】：1. 学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题引入：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”；细胞分裂模型；计算机病毒的传播；印度国王奖赏国际象棋发明者的实例等都是等比数列的实例。
再看下面的例子：①1，2，4，8，16，…②1，，，，，…③1，20，，，，…④，，，，，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？共同特点：（1）“从第二项起”，“每一项”与其“前一项”之比为常数（2）隐含：任一项（3）时，为常数二、研探新知1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，（注意：等比数列的公比和项都不为零）．注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数,成等比数列=（,）（2）隐含：任一项,“≠0”是数列成等比数列的必要非充分条件．（3）时，为常数。
等比数列的概念和通项公式（第1课时）【三维目标】：一、知识与技能1.通过实例，理解等比数列的概念，能判断一个数列是不是等比数列；2.类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，掌握求等比数列通项公式的方法。
掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的实际问题。
二、过程与方法1.通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式；2.探索并掌握等比数列的性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力，发现等比数列与指数函数的关系。
三、情感、态度与价值观1.培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力；2.充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
【教学重点与难点】：重点：等比数列的定义和通项公式。
难点：等比数列与指数函数的关系；遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。
【教学思路】：一、创设情景，揭示课题引入：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”细胞分裂模型；计算机病毒的传播；印度国王奖赏国际象棋发明者的实例等都是等比数列的实例。
再看下面的例子：①1，2，4，8，16，…②1，12，14，18，116，…③1，20，220，320，420，…④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，…观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？共同特点：（1）“从第二项起”，“每一项”与其“前一项”之比为常数q ；（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且；（3）1≠q 时，}{n a 为常数。
二、研探新知1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常．数．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，（注意：等比数列的公比和项都不为零）。
