安徽2015届高考数学二轮专项训练之集合与函数课时提升训练(7)Word版含答案

集合与函数课时提升训练（11）1、对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数．（1）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；（2）设是（1）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式对一切R恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值．2、函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称．若实数满足不等式的取值范围是A． B． C． D．3、已知函数，过点P（0，m）作曲线的切线，斜率恒大于零，则的取值范围为7、已知集合,有下列命题①若则；②若则；③若则的图象关于原点对称；④若则对于任意不等的实数，总有成立.其中所有正确命题的序号是8、对于两个正整数，定义某种运算“”如下，当都为正偶数或正奇数时，；当中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合N N中元素的个数是 .10、对于任意实数表示不超过的最大整数，例如：，。

那么11、设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足的所有之和为12、已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是。

15、若，则定义为曲线的线．已知，，则的线为．16、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数：①；②③④，其中是一阶整点函数的是( )A.①②③④B.①③④C.①④D.④20、函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是（）A、 B、 C、 D、26、已知函数，则（）A．8 B．9 C．11 D．10 28、已知集合={1,2,3}， ={1,2,3,4，5}，定义函数.若点A(1,(1))、B(2,)、C(3,)，ΔABC的外接圆圆心为，且,则满足条件的函数有( )A.15个B.20个C. 25个D. 30个29、.已知函数，在定义域[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为．有以下命题：①是奇函数；②若在内递减，则的最大值为4；③的最大值为，最小值为，则；④若对，恒成立，则的最大值为2．其中正确命题的个数为A .1个 B. 2个 C .3个 D. 4个32、若函数满足,当时,,若在区间上,有两个零点,则实数的取值范围是（）A． B． C． D．33、若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中（）A．只有一个小于1 B．至少有一个小于1 C．都小于1 D．可能都大于134、若实数满足，则称是函数的一个次不动点．设函数与函数（其中为自然对数的底数）的所有次不动点之和为，则A．B．C．D．35、方程的解的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．337、(本大题满分13分)若存在常数k和b(k、b∈R)，使得函数和对其定义域上的任意实数x分别满足：和，则称直线l：为和的“隔离直线”．已知， (其中e为自然对数的底数)．(1)求的极值；(2)函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．38、.(本小题满分13分)已知常数a为正实数，曲线C n：y＝在其上一点P n(x n，y n)的切线l n总经过定点(－a,0)(n∈N*).(1)求证：点列：P1，P2，…，P n在同一直线上；(2)求证： (n∈N*).39、（本小题满分14分）对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线. 已知函数为自然对数的底，为常数）.(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.40、已知函数和．其中．（1）若函数与的图像的一个公共点恰好在轴上，求的值；（2）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．1、解：（1）对于函数，当时，．当或时，恒成立，故是“平底型”函数．对于函数，当时，；当时，．所以不存在闭区间，使当时，恒成立．故不是“平底型”函数．（Ⅱ）若对一切R恒成立，则．所以．又，则．则，解得．故实数的范围是．（Ⅲ）因为函数是区间上的“平底型”函数，则存在区间和常数，使得恒成立．所以恒成立，即．解得或．当时，．当时，，当时恒成立．此时，是区间上的“平底型”函数．当时，．当时，，当时，．此时，不是区间上的“平底型”函数．综上分析，m＝1，n＝1为所求．2、B3、 7、②③ 8、 10、264 11、2010 12、 15、 16、C 20、D 28、B29、B32、D33、分析：因为有两个零点，所以，，故与中至少有1个小于1．34、B 35、C37、(1)解：∵，∴当时，∵当时，，此时函数递减；当时，，此时函数递增；∴当时，F(x)取极小值，其极小值为0．(2)解：由(1)可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k，则直线方程为，即由，可得当时恒成立由得下面证明当时恒成立．令，则，当时，．∵当时，，此时函数递增；当时，，此时函数递减；∴当时，取极大值，其极大值为0．从而，即恒成立．∴函数和存在唯一的隔离直线．38、.证法一：(1)∵f(x)＝，∴f′(x)＝·(nx)′＝·.(1分)C n：y＝在点P n(x n，y n)处的切线l n的斜率k n＝f′(x n)＝·，∴l n的方程为y－y n＝·(x －x n).(2分)∵l n经过点(－a,0)，∴y n＝－·(－a－x n)＝·(a＋x n).又∵P n在曲线C n上，∴y n＝＝·(a＋x n)，∴x n＝a，∴y n＝，∴P n(a，)总在直线x＝a上，即P1，P2，…，P n在同一直线x＝a 上.(4分)(2)由(1)可知y n＝，∴f(i)＝＝＝.(5分)＝<＝2(－)(i＝1,2，…，n)，.(9分)设函数F(x)＝－ln(x＋1)，x∈[0,1]，有F(0)＝0，∴F′(x)＝－＝＝>0(x∈(0,1))，∴F(x)在[0,1]上为增函数，即当0<x<1时F(x)>F(0)＝0，故当0<x<1时>ln(x＋1)恒成立.(11分)取x＝(i＝1,2,3，…，n)，f(i)＝>ln(1＋)＝ln(i＋1)－ln i，即f(1)＝>ln2，f(2)＝>ln(1＋)＝ln3－ln2，…，f(n)＝>ln(n＋1)－ln n，综上所述有 (n∈N*).(13分)证法二：(1)设切线l n的斜率为k n，由切线过点(－a,0)得切线方程为y＝k n(x＋a)，则方程组的解为.(1分)由方程组用代入法消去y化简得k x2＋(2ak－n)x＋k a2＝0，(*)有Δ＝(2ak－n)2－4k·k a2＝－4ank＋n2＝0，∴k＝.(2分)代入方程(*)，得x2＋(2a·－n)x＋·a2＝0，即x2－2a·x＋a2＝0，∴x＝a，即有x n＝a，y n＝＝，即P1，P2，…，P n在同一直线x＝a上.(4分)(2)先证：0<x<1时>x>ln(x＋1)，以下类似给分.39、（本小题满分14分）解：（1），当时，，即，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数当时，，函数是区间上的增函数当时，即，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数.…7分（2）若存在，则恒成立，令，则，所以，因此：恒成立，即恒成立，由得到：，现在只要判断是否恒成立，设，因为：，当时，，，当时，，，所以，即恒成立，所以函数与函数存在“分界线”.40、解：（1）设函数图像与轴的交点坐标为（，0），∵点（，0）也在函数的图像上，∴．而，∴．（2）由题意可知当时，,∴,即：当时，即．又,当时，∴<0, ∴,综上可知，．。

课时跟踪训练1．<20####模拟>已知函数f<x>＝ln x＋ax＋2<a∈R>在x＝错误!时取得极值．<1>求a的值；<2>若F<x>＝λx2－3x＋2－f<x><λ＞0>有唯一零点,求λ的值．解：<1>依题意f′<x>＝错误!＋a,f′错误!＝2＋a＝0,则a＝－2,经检验,a＝－2满足题意．<2>由<1>知f<x>＝ln x－2x＋2,则F<x>＝λx2－ln x－x,F′<x>＝2λx－错误!－1＝错误!.令t<x>＝2λx2－x－1,∵λ＞0,∴Δ＝1＋8λ＞0,方程2λx2－x－1＝0有两个异号的实根,设x1＜0,x2＞0,∵x＞0,∴x1应舍去．则F<x>在<0,x2>上单调递减,在<x2,＋∞>上单调递增．且当x→0时,F<x>→＋∞,当x→＋∞时,F<x>→＋∞,∴当x＝x2时,F′<x2>＝0,F<x>取得最小值F<x2>．∵F<x>有唯一零点,∴F<x2>＝0,则错误!,即错误!,得F<x2>＝λx错误!－ln x2－x2＝错误!＋错误!－ln x2－x2＝错误!－ln x2－错误!＝0.又令p<x>＝错误!－ln x－错误!,则p′<x>＝－错误!－错误!＜0<x＞0> .故p<x>在<0,＋∞>上单调递减,注意到p<1>＝0,故x2＝1,得λ＝1.2．已知函数f<x>＝2ln x－x2＋ax<a∈R>．<1>当a＝2时,求f<x>的图象在x＝1处的切线方程；<2>若函数g<x>＝f<x>－ax＋m在错误!上有两个零点,##数m的取值范围．解：<1>当a＝2时,f<x>＝2ln x－x2＋2x,f′<x>＝错误!－2x＋2,切点坐标为<1,1>,切线的斜率为k＝f′<1>＝2,∴切线方程为y－1＝2<x－1>,即2x－y－1＝0<2>方程f<x>－ax＋m＝0即为2ln x－x2＋m＝0令g<x>＝2ln x－x2＋m,则g′<x>＝错误!－2x＝错误!,∵x∈错误!,∴g′<x>＝0时,x＝1当错误!＜x＜1时,g′<x>＞0,当1＜x＜e时,g′<x>＜0,故函数g<x>在x＝1处取得极大值g<1>＝m－1,又g错误!＝m－错误!,g<e>＝m＋2－e2,g<e>－g错误!＝4－e2＋错误!＜0,则g<e>＜g错误!,故函数g<x>在错误!上的最小值是g<e>方程f<x>－ax＋m＝0在错误!上有两个不相等的实数根,则错误!,解得1＜m≤2＋错误!, 故实数m的取值范围是错误!.3．已知函数f<x>＝x－<a＋1>ln x－错误!<a∈R>,g<x>＝错误!x2＋e x－x e x.<1>当x∈[1,e]时,求f<x>的最小值；<2>当a＜1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[－2,0],f<x1>＜g<x2>恒成立,求a的取值范围．解：<1>f<x>的定义域为<0,＋∞>,f′<x>＝错误!.①当a≤1时,x∈[1,e]时,f′<x>≥0,f<x>在[1,e]上为增函数,f<x>min＝f<1>＝1－a.②当1＜a＜e时,x∈[1,a]时,f′<x>≤0,f<x>为减函数；x＝a时,f′<x>＝0；x∈[a,e]时,f′<x>≥0,f<x>为增函数．所以f<x>min＝f<a>＝a－<a＋1>ln a－1.③当a≥e时,x∈[1,e]时,f′<x>≤0,f<x>在[1,e]上为减函数．f<x>min＝f<e>＝e－<a＋1>－错误!.综上,当a≤1时,f<x>min＝1－a；当1＜a＜e时f<x>min＝a－<a＋1>ln a－1；当a≥e时,f<x>min＝e－<a＋1>－错误!.<2>由题意知：f<x><x∈[e,e2]>的最小值小于g<x><x∈[－2,0]>的最小值．由<1>知f<x>在[e,e2]上单调递增,f<x>min＝f<e>＝e－<a＋1>－错误!.g′<x>＝<1－e x>x.当x∈[－2,0]时,g′<x>≤0,g<x>为减函数,g<x>min＝g<0>＝1,所以e－<a＋1>－错误!＜1,即a＞错误!,所以a的取值范围为错误!.4．<20####模拟>已知函数f<x>＝ln x,g<x>＝错误!.<1>当k＝e时,求函数h<x>＝f<x>－g<x>的单调区间和极值；<2>若f<x>≥g<x>恒成立,##数k的值．解：<1>注意到函数f<x>的定义域为<0,＋∞>,h<x>＝ln x－错误!<x＞0>,当k＝e时,h′<x>＝错误!－错误!＝错误!,若0＜x＜e,则h′<x>＜0；若x＞e,则h′<x>＞0.所以h<x>是<0,e>上的减函数,是<e,＋∞>上的增函数,故h<x>min＝h<e>＝2－e,故函数h<x>的减区间为<0,e>,增区间为<e,＋∞>,极小值为2－e,无极大值．<2>由<1>知h′<x>＝错误!－错误!＝错误!,当k≤0时,h′<x>＞0对x＞0恒成立,所以h<x>是<0,＋∞>上的增函数,注意到h<1>＝0,所以0＜x＜1时,h<x>＜0,不合题意．当k＞0时,若0＜x＜k,h′<x>＜0；若x＞k,h′<x>＞0.所以h<x>是<0,k>上的减函数,是<k,＋∞>上的增函数,故只需h<x>min＝h<k>＝ln k－k＋1≥0.令u<x>＝ln x－x＋1<x＞0>,u′<x>＝错误!－1＝错误!,当0＜x＜1时,u′<x>＞0；当x＞1时,u′<x>＜0.所以u<x>是<0,1>上的增函数,是<1,＋∞>上的减函数．故u<x>≤u<1>＝0,当且仅当x＝1时等号成立．所以当且仅当k＝1时,h<x>≥0成立,即k＝1为所求．。

阶段评估卷(二)专题三(120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知α∈(π,32π),cos α=5-,tan 2α=( ) (A)43(B)43- (C)-2 (D)2 2.若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，则tan 2ϕ=( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)1或-13.(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，已知8b=5c ，C=2B,则cos C=( )(A)725(B)725- (C)725± (D)24254.函数y=1x·cos x 在坐标原点附近的图象可能是( )5.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B 处.在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )(A) (B)(C) (D)海里6.设函数f(x)=2sin(ωx+4π)(ω＞0)与函数g(x)=cos(2x+φ)(｜φ｜≤2π)的对称轴完全相同，则φ的值为( )(A)4π (B)4π- (C)2π (D)2π-7.(2012·天津高考)将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移4π个单位长度，所得图象经过点(34π，0)，则ω的最小值是( ) (A)13 (B)1 (C)53(D)28.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数： ①f(x)=sin xcos x ； ②f(x)=2sin(x+4π)；③；④其中属于“同簇函数”的是( )(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)③④9.(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )(A)4∶3∶2 (B)5∶6∶7 (C)5∶4∶3 (D)6∶5∶410.已知函数f(x)=sin x+acos x 的图象的一条对称轴是5x 3π=，则函数g(x)=asin x+cos x 的初相是( ) (A)6π (B)3π (C)56π (D)23π 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确的答案填在题中的横线上)11.在△ABC 中，已知AB=4，cos B=78，AC 边上的中线sin A=_______.12.在△ABC 中，22sin C sin B a +=，，则角C=_______. 13.(2012·安徽高考)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边为a,b,c ，则下列命题正确的是______. ①若ab ＞c 2；则C ＜3π②若a+b ＞2c ；则C ＜3π③若a 3+b 3=c 3；则C ＜2π④若(a+b)c ＜2ab ；则C ＞2π ⑤若(a 2+b 2)c 2＜2a 2b 2；则C ＞3π14.(2012·武汉模拟)如图，测量河对岸A ，B 两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C ，D 两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB 的距离是______.15.设f(x)=asin 2x+bcos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f(x)≤｜f(6π)｜对一切x ∈R 恒成立，则①f(1112π)=0; ②7f ()f ();105ππ｜｜＜｜｜ ③f(x)既不是奇函数也不是偶函数； ④f(x)的单调递增区间［2k ,k 63πππ+π+］(k ∈Z)， 以上结论正确的是__________(写出所有正确结论的编号).三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)设函数f(x)=Asin(2x+3π)(x ∈R)的图象过点P(712π,-2)． (1)求f(x)的解析式；(2)已知103f ()0cos()2121324απππ+=-αα-，＜＜，求的值. 17.(12分)(2012·黄冈模拟)已知向量m =2x x x,1,cos ,cos .444=）（）n 记f(x)=m ·n . (1)若32f ()cos()23πα=-α，求的值； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a-c)cosB=bcos C ，若()f A =ABC 的形状.18.(12分)设函数()2f x x cos x 2=ω+ω，其中0＜ω＜2； (1)若f(x)的最小正周期为π，求f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x 3π=，求ω的值．19.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜2π)的图象如图，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点．且｜OQ｜=2，OP PQ 22== ｜｜，｜｜．(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象，当x ∈［0,2］时，求函数h(x)=f(x)·g(x)的最大值．20.(13分)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为412513，，求cos α和sin β； (2)在(1)的条件下，求cos(β-α)的值；(3)已知点，求函数f(α)=OA OC的值域．21.(14分)(2012·福建高考)已知函数f(x)=axsin x-32(a ∈R),且在［0,2π］上的最大值为32π-， (1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明.答案解析1.【解析】选B.344(,),cos tan 2,tan 2.2143πα∈πα=α=α=α==-- 2.【解析】选D.因为函数f(x)=sin(x+φ)为偶函数，所以k ,k Z,2πϕ=π+∈所以k 224ϕππ=+=n ,k 2n 43n ,k 2n 14π⎧π+=⎪⎪⎨π⎪π+=+⎪⎩，， n ∈Z,所以k tan tan()1224ϕππ=+=±，故选D. 3.【解析】选A.∵8b=5c ，由正弦定理得8sin B=5sin C ， 又∵C=2B ，∴8sin B=5sin 2B ，所以8sin B=10sin Bcos B ，易知sin B ≠0， ∴247cos B cos C cos 2B 2cos B 1.525===-=， 4.【解析】选A.∵1y cos x x=为奇函数，故图象关于原点对称，从而排除B 选项.又x ∈(0,2π)时，1x ＞0，cos x ＞0,故y ＞0,从而排除C.又函数cos xy x=在原点处无定义，故排除D.故A 正确.5.【解析】选A.由已知可得，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°， AB ＝20，从而∠ACB ＝45°.在△ABC 中，由正弦定理，得ABBC sin 30sin 45=⨯︒=︒6.【解析】选B.因为函数f(x)=2sin(ωx+4π)(ω＞0)与函数g(x)=cos(2x+φ)(｜φ｜≤2π)的对称轴完全相同，则f(x)与g(x)的周期相同，∴ω=2，又x 8π=是f(x)的对称轴，故当x 8π=时g(x)取到最值cos(2〓8π+φ)=〒1，又｜φ｜≤2π，故.4πϕ=-7.【解析】选D.函数向右平移4π得到函数g(x)=f (x )sin (x )44ππ-=ω- = sin(ωx-4ωπ)，因为此时函数过点(34π,0)，所以sin ω(344ππ-)=0，即 ω(344ππ-)=2ωπ=k π,所以ω=2k,k ∈Z,所以ω的最小值为2，选D. 8.【解析】选C.若为“同簇函数”，则振幅相同，将函数进行化简，①f(x)=sin xcos x=1sin 2x 2，③()f x sin x 2sin(x )3π==+，所以②③振幅相同，所以选C.9.【解析】选D.由题意知：a=b+1,c=b-1,∴3b=20acos A=()222b c a 20b 12bc +-+∴3b=20(b+1)()()()222b b 1b 12b b 1+--+-,整理得：7b 2-27b-40=0，解得：b=5,可知：a=6,c=4. 10.【解析】选D.f(0)=10f ()3π，即 sin 0+acos 0=1010sin acos 33ππ+，即a a .a 2=-∴=∴ g(x)=2cos x )3π+=+，∴初相为23π，故选D. 11.【解析】如图：有：()1BD BA BC 2=+ ，两边平方得：2221BD (BA BC 2BA BC)4=++ ｜｜｜｜｜｜，2221(4a 24acos B)24=++⨯， 化简得:a 2+7a-18=0，解之得：a=2．所以222a c bb cos B 2ac+-==可得)．所以cos A=222b c a 2bc +-=所以12.【解析】由正弦定理知22c b =+，所以222a b c cos C 2ab +-==a 2b 2b 2=== 所以C=6π.答案：6π13.【解析】①ab ＞c 2⇒cos C 222a b c 2ab ab 12ab 2ab 2+--==＞⇒C 3π＜； ②a+b ＞2c ⇒cos C=222a b c2ab+-＞()()2224a b a b 1C 8ab23+-+π≥⇒＜；③当C ≥2π时，c 2≥a 2+b 2⇒c 3≥a 2c+b 2c ＞a 3+b 3与a 3+b 3=c 3矛盾； ④取a=b=2,c=1满足(a+b)c ＜2ab 得：C ＜2π； ⑤取a=b=2,c=1满足(a 2+b 2)c 2＜2a 2b 2得：C ＜.3π 答案：①②③14.【解题指导】在△BCD 中利用正弦定理求解AD ，在△ABD 中，利用余弦定理求解AB.【解析】因为△BCD 是直角三角形，所以BD=CD=40，在△ACD 中，利用正弦定理CD AD ,sin CAD sin ACD =∠∠即)40ADAD 201.sin 45sin 105=∴=︒︒，在△ABD 中，利用余弦定理，AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos 60°,∴AB=答案：15.【解析】)+ϕ≤又1f ()asin bcos b 6332πππ=+=+｜｜≥0,由题意f(x)≤｜f(6π)｜对一切x∈R 1b 22≤+对一切x ∈R 恒成立，即222231a b a b ab 442+≤++，0≤22a 3b +≤恒成立，而2222a 3b a 3b a 0.+≥+==，所以，此时＞∴()f x bcos 2x 2bsin(2x ).6π=+=+①1111f ()2bsin()01266πππ=+=，故①正确； ②77f ()2bsin()1056πππ=+｜｜｜｜ =47132bsin()2bsin().3030ππ=｜｜ 2f ()2bsin()556πππ=+｜｜｜｜=17132bsin()2bsin(),3030ππ=｜｜ 所以7f ()f ()105ππ=｜｜｜｜,②错误； ③f(-x)≠〒f(x)，所以③正确； ④由①知bcos 2x 2bsin(2x )6π+=+，b ＞0，由2k 2x 2k k x k 26236ππππππ-≤+≤π+π-≤≤π+知,所以④不正确. 答案：①③16.【解析】(1)∵f(x)的图象过点P(712π,-2)， ∴773f ()Asin(2)Asin 121232ππππ=⨯+==-2， ∴A=2，故f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x ).3π+(2)∵f ()2sin 2()2122123απαππ+=++［］ =1052sin()2cos cos ,21313πα+=α=α=，即∵2π-＜α＜0，∴12sin 13α=-，∴333cos()cos cos sin sin 444πππα-=α+α=5121313⨯-=（17.【解析】2xx x x 1x 1x 1cos cos cos sin().44422222262π+=++=++ (1)由已知3132f ()sin()4k ,k Z 226223αππα=++=α=π+∈得，于是， ∴222cos()cos(4k )1.333πππ-α=-π-=(2)根据正弦定理知：(2a-c)cos B=b cos C ⇒(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C ⇒2sin Acos B=sin(B+C)=sin A ⇒cos B=1B .23π⇒=∵ ∴A 1A 22sin()A 0A 262263333ππππππ++=⇒+=⇒=π或或，而＜＜，A 3π=所以，因此△ABC 为等边三角形.18.【解析】(1)()1cos 2x 1f x x sin(2x ).262+ωπ=ω+=ω++ ∵T=π,ω＞0,∴22πω=π,∴ω=1. 令2k 2x 2k ,k Z,262πππ-+π≤+≤+π∈得，k x k ,k Z,36ππ-+π≤≤+π∈所以，f(x)的单调递增区间为 ［k ,k 36ππ-+π+π］,k ∈Z.(2)∵()1f x sin(2x )62π=ω++的一条对称轴方程为x .3π=∴2k ,k Z.362πππω+=+π∈∴31k .k Z.22ω=+∈又0＜ω＜2，∴1k 1.3-＜＜∴k=0,∴ω=12.19.【解析】(1)由余弦定理得cos ∠POQ=222OP OQ PQ 2OP OQ +-= ｜｜｜｜｜｜｜｜｜｜∴1sin POQ P ,12∠=点坐标为（）．∴21A 14(2)623ππ==⨯-=ω=ω，，．由1f sin()102623πππ=+ϕ=ϕϕ=（），＜＜得．∴y=f(x)的解析式为()f x sin(x )33ππ=+．(2)g(x)=sin x 3π，h(x)=f(x)·g(x)=21sin(x )sin x sin x xcos x 3332333ππππππ+=21cosx21213x sin(x ).432364π-πππ==-+ 当x ∈［0,2］时，27x ,,3666ππππ-∈-［］ 当()max 23x x 1h x .3624πππ-===，即时， 20.【解析】(1)根据三角函数的定义，得412sin sin 513α=β=，． 又α是锐角，所以cos α=3.5(2)由(1)知sin β=1213．因为β是钝角， 所以cos β=513-．所以cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=531243313513565-⨯+⨯=（）． (3)由题意可知，(OA (cos ,sin )OC =αα=-，．所以f ()OA OC cos 2sin()6πα==α-α=α- ，因为10sin()266326πππππα-α--α-＜＜，所以＜＜，＜.从而-1＜f(α)＜f(α)=(OA OC -的值域为． 【方法技巧】求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目 (1)形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；(2)形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x 〒cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x 〒cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． 21.【解析】(1)由已知得f ′(x)=a(sin x+xcos x), 对于任意x ∈(0,2π)，有sin x+xcos x ＞0, 当a=0时，()3f x 2=-,不合题意；当a ＜0，x ∈(0,2π)时，f ′(x)＜0,从而f(x)在(0,2π)内单调递减，又f(x)在［0，2π］上的图象是连续不断的，故f(x)在［0,2π］上的最大值为()3f 02=-,不合题意；当a ＞0，x ∈(0,2π)时，f ′(x)＞0,从而f(x)在(0,2π)内单调递增，又f(x)在［0,2π］上的图象是连续不断的，故f(x)在［0,2π］上的最大值为f(2π), 即33a 222ππ--=,解得a=1. 综上所述，得()3f x xsin x .2=-(2)f(x)在(0,π)内有且只有两个零点.证明如下：由(1)知，()()333f x xsin x ,f 00,f ()0,2222ππ-=-=-=从而有＜＞ 又f(x)在［0,2π］上的图象是连续不断的， 所以f(x)在(0,2π)内至少存在一个零点.又由(1)知f(x)在［0,2π］上单调递增，故f(x)在(0,2π)内有且仅有一个零点.当x ∈［,2ππ］时，令g(x)=f ′(x)=sin x+xcos x,由g(2π)=1＞0,g(π)=-π＜0,且g(x)在［,2ππ］上的图象是连续不断的，故存在m ∈(,2ππ), 使得g(m)=0.由g ′(x)=2cos x-xsin x ，知x ∈(,2ππ)时， 有g ′(x)＜0,从而g(x)在(,2ππ)内单调递减.当x ∈(,m 2π)时，g(x)＞g(m)=0,即f ′(x)＞0, 从而f(x)在(,m 2π)内单调递增，故当()3x ,m ,f x f ()0,222πππ-∈≥=［］时＞ 故f(x)在［,m 2π］上无零点；当x ∈(m,π)时，有g(x)＜g(m)=0,即f ′(x)＜0,从而f(x)在(m,π)内单调递减.又f(m)＞0,f(π)＜0,且f(x)在［m,π］上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m,π)内有且仅有一个零点，综上所述，f(x)在(0,π)内有且只有两个零点.。

专题跟踪训练(六)1．(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝ax x ＋r2(a >0，r >0)．(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若a r＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．[解] (1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)．f (x )＝ax x ＋r2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a x 2＋2rx ＋r 2－ax 2x ＋2rx 2＋2rx ＋r 22＝a r －x x ＋rx ＋r 4，所以当x <－r 或x >r 时， f ′(x )<0，当－r <x <r 时， f ′(x )>0，因此， f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞); f (x )的单调递增区间为(－r ，r )．(2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减． 因此，x ＝r 是f (x )的极大值点， 所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar2r2＝a 4r ＝4004＝100. 2．(2015·济南模拟)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2. [解] (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝0，f ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－x －x ＋x.当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减．而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0， 即f (x )≤2x －2.3．(2015·东北三校联考)设函数f (x )＝x －4x－a ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴垂直，求函数f (x )的极值； (2)当a ≤4时，若不等式f (x )≥1在区间[1,4]上有解，求实数a 的取值范围． [解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．(1)f ′(x )＝1＋4x 2－a x ＝x 2－ax ＋4x 2，所以f ′(1)＝5－a ，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率等于5－a . 由题意可得5－a ＝0，解得a ＝5.此时，f ′(x )＝x 2－5x ＋4x2＝x －x －x2.由f ′(x )＝0解得x ＝1或4.f (x )、f ′(x )随x 的变化情况如下表：所以函数f (x )的极大值为f (1)＝1－1－5ln 1＝－3，极小值为f (4)＝4－44－5ln 4＝3－10ln 2.(2)由不等式f (x )≥1在区间[1,4]上有解可知，f (x )在区间[1,4]上的最大值不小于1.由(1)知f ′(x )＝x 2－ax ＋4x2，对于方程x 2－ax ＋4＝0，Δ＝(－a )2－4×1×4＝a 2－16， ①当a ∈[－4,4]时，Δ≤0，故f ′(x )≥0恒成立，f (x )在[1,4]上单调递增，故f (x )在[1,4]上的最大值为f (4)＝4－44－a ln 4＝3－2a ln 2，故由f (4)≥1，得3－2a ln 2≥1，解得a ≤1ln 2. 又a ∈[－4,4]，所以a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，1ln 2. ②当a <－4时，Δ>0，f ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－162，x 2＝a ＋a 2－162.此时x 1<0，x 2<0，故f (x )在[1,4]上单调递增， 故①知，a ≤1ln 2，又a <－4，故a <－4.综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1ln 2. 4．(2015·新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x－a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时， f (x )≥2a ＋a ln 2a.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞), f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)． 当a ≤0时， f ′(x )>0, f ′(x )没有零点；当a >0时，因为y ＝e 2x单调递增，y ＝－a x单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时， f ′(x )存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时， f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e 2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时， f (x )≥2a ＋a ln 2a.。

阶段评估卷(六)专题七(120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长方形的面积和的1,4且样本容量为200,则第8组的频数为( )(A)40 (B)0.2 (C)50 (D)0.252.(2012·湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )(A)21-π (B)1π(C)122-π (D)2π 3.(2012·广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) (A)49 (B)13 (C)29 (D)194.甲和乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为( )(A)110 (B)910(C)14(D)486255.(2012·安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )(A)甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数(B)甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数(C)甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差(D)甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差6.(2012·浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )(A)60种 (B)63种 (C)65种 (D)66种7.下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个回归方程 y=3-5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程=+ 必过(x,y)；y bx a④在一个2×2列联表中，由计算得K2=13.079，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系；其中错误的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3本题可以参考独立性检验临界值表8.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )(A)26,16,8 (B)25,17,8(C)25,16,9 (D)24,17,99.某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用，把1 000名注射了疫苗的人与另外1 000名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，并计算出P(K2≥6.635)≈0.01,则下列说法正确的是( )(A)这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%(B)若某人未使用该疫苗，则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1流感(C)在犯错误的概率不超过0.99的前提下认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”(D)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”10.下面陈述：①正态曲线22(x)2-μ-σ关于直线x=μ对称；②正态分布N(μ，σ2)在区间(-∞，μ)内取值的概率小于0.5;③服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量在(μ-3σ,μ+3σ)以外取值几乎不可能发生；④当μ一定时，σ越小，曲线越“矮胖”.其中正确的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确的答案填在题中的横线上)11.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3,4两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为______.12.把a,b,c,d,e这5个字母排成一排，a,b都不与c相邻的排法个数为______.13.(2012·武汉模拟)某工厂生产某种产品13 200件，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为了检查这批产品的质量，决定采用分层抽样方法进行抽样，已知从甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数正好组成一个等差数列，则乙生产线生产了产品_______件.的二项展开式中的常数项为14.(2012·湖南高考)6________.(用数字作答)15.(2012·福建高考)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=______.三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2006年到2012年7年间每年考入大学的人数．为方便计算，2006年编号为1，2007年编号为2，…，2012年编号为7．数据如下：(1)从这7年中随机抽取2年，求考入大学的人数至少有1年多于15人的概率；(2)根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的回归方程y bx a=+ ，并计算第7年的估计值和实际值之间的差的绝对值.附：() n n i i i i i 1i 1n n 222i i i 1i 1(x x)(y y)x y nxy b x x x nx a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ 17.(12分)(2012·福建高考)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2,分别求X 1,X 2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.18.(12分)某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：(1)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；(2)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分的次数X的分布列和均值．19.(12分)当前人们普遍认为拓展训练是一种挑战极限、完善人格的训练，某大学生拓展训练中心着眼于大学生的实际情况，精心设计了三个相互独立的挑战极限的项目，并设置如下计分办法：据调查，大学生挑战甲项目成功的概率为45，挑战乙项目成功的概率为3 4，挑战丙项目成功的概率为12．(1)求某同学三个项目至少一项挑战成功的概率;(2)记该同学挑战三个项目后所得分数为X，求X的分布列并预测该同学所得分数的数学期望．20.(13分)设不等式x2+y2≤4确定的平面区域为U，|x|+|y|≤1确定的平面区域为V.(1)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；(2)在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望.21.(14分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X).答案解析1.【解析】选A.由题意知第8组的频率为1,5故第8组的频数为200〓15=40. 2.【解题指导】本题考查几何概型，解答本题的关键是充分利用图形的特征，求出阴影部分的面积，再代入概率公式求解.【解析】选A. 设OA=2,则扇形OAB 面积为π.阴影部分的面积为211242⨯π⨯-〓2〓2=π-2,由P=2π-π可知结果. 3.【解析】选D.个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数一个为奇数，一个为偶数，共有11115554C C C C +=45个，记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为事件A ，则A 包含的结果：10，30，50，70，90共5个，用古典概型的求解公式可得，P(A)=51.459=故选D. 4.【解析】选B.P=1414243434342454C A C A C A 9.C A 10++=注：第一个1434C A 表示甲与除乙外的某一位志愿者一起去同一个岗位服务，第二个1434C A 表示乙与除甲外的某一位志愿者一起去同一个岗位服务， 2434C A 表示甲与乙都一个人去某一岗位服务．5.【解题指导】将条形图中的数据按照从小到大的顺序分别列出来，根据公式即可计算中位数、平均数、方差、极差.【解析】选C.甲：4,5,6,7,8，乙：5,5,5,6,9， 甲的平均值为：11x 5=(4+5+6+7+8)=6, 乙的平均值为：21x 5=(5+5+5+6+9)=6, 甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5， 甲的方差为：22211s (2212)5=⨯+⨯=2， 乙的方差为：22221s (1331)5=⨯+⨯=2.4.甲的极差为8-4=4,乙的极差为9-5=4.6.【解题指导】分全是偶数，全是奇数，两奇两偶进行分类计数.【解析】选D.均为奇数时，有45C =5种；均为偶数时，有44C =1种；两奇两偶时，有2245C C =60种，共有66种. 7.【解析】选B.依据平均值及方差的定义可知：当一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变是正确的，所以①正确；由回归直线方程中各量的意义可知：对于回归方程 y=3-5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，所以②错误；显然③正确；由独立性检验及题设中的条件可知：K 2=13.079>10.828，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系，因此④正确.8.【解析】选B.依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组有12名学生，第k(k ∈N *)组抽中的号码是3+12(k-1).令3+12(k-1)≤300得k≤103,4因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；<k≤42,令300＜3+12(k-1)≤495得1034因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17.第Ⅲ营区被抽中的人数是50-25-17=8.9.【解析】选D.假设H0成立，则犯错误的概率约等于0.01，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”.10.【解析】选C.由正态分布函数及其概率可知：①③正确，②④错误.11.【解析】所求概率为21135.⨯+⨯=343412答案：51212.【解析】分两类：当c排在两端时，有113C C A=24种不同排法；当c223不排在两端时，有122C A A=12种不同排法，故共有24+12＝36种不同的322排法.答案：3613.【解析】由分层抽样知，样本的结构和总体的结构相同.因甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则甲、乙、丙三条生产线生产的产品组成一个等差数列，设乙生产线生产了x件产品，则甲、丙生产线共生产了2x件产品；即2x+x=13 200，解得x=4 400.答案：4 40014.【解题指导】根据二项式的通项公式，令x的指数等于零，求出是第几项，再求这一项.【解析】设常数项为第r+1项，则()1162r rr6rr6rr 222r 166T C (2x )(x )12C x,----+=-=-···由62r2-=0，得r=3,即常数项为第四项， T 4=(-1)3〓23〓36C =-160. 答案：-16015.【解题指导】运用通项公式进行求解，系数对比即可求解. 【解析】(a+x)4的展开项的通项为T r+1=r 4C a 4-r x r ,由题意知，当r=3时，34C a 4-3=4a=8,即a=2.答案： 216.【解析】(1)考入大学不超过15人的年份分别设为A 1,A 2,A 3,A 4,A 5;超过15人的年份设为B 1,B 2. 随机抽取2年的基本事件是：A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 1A 5，A 1B 1，A 1B 2，A 2A 3，A 2A 4，A 2A 5，A 2B 1，A 2B 2，A 3A 4，A 3A 5，A 3B 1，A 3B 2，A 4A 5，A 4B 1，A 4B 2，A 5B 1，A 5B 2，B 1B 2，共21个，其中至少有一年多于15人的基本事件是：A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，A 4B 1，A 4B 2，A 5B 1，A 5B 2，B 1B 2，共有11个，所以考入大学的人数至少有1年多于15人的概率为11.21(2)由已知数据得5i i i 1x 3,y 8,x y ===∑=3+10+24+44+65=146,52ii 1x=∑=1+4+9+16+25=55,则 146538b2.6,a0.2.5559-⨯⨯===-⨯ 则回归直线方程为y=2.6x+0.2，则第7年的估计值和真实值之间的差的绝对值为 ｜2.6〓7+0.2-22｜=3.6.17.【解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P(A)=231.5010+= (2)依题意得，X 1的分布列为X 2的分布列为(3)由(2)得E(X 1)=13914312325501050⨯+⨯+⨯= =2.86(万元), E(X 2)=191.82.91010⨯+⨯=2.79(万元). 因为E(X 1)>E(X 2),所以应生产甲品牌轿车.18.【解析】(1)1x 8甲＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，1x 8乙＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，2 1s 8甲＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，21s 8乙＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等，甲的方差较大(乙的方差较小)．(2)根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为1231P P 82＝，＝，两人得分均超过15分的概率为123P P 16＝， 依题意，X ～B(2，316)，P(X ＝k)＝k k 2k233C ()()1616-， k ＝0，1，2，X 的分布列为X 的均值E(X)＝332.168⨯＝ 19.【解析】(1)甲、乙、丙这三个项目至少一项挑战成功的概率 P=4311391(1)(1)(1)1.5424040--⨯-⨯-=-= (2)由题意，X 的可能取值为0,10,30,40,60,70,90,100.P(X=0)=1111,54240⨯⨯=P(X=10)=4111;54210⨯⨯= P(X=30)=1313,54240⨯⨯= P(X=40)=4313;54210⨯⨯= P(X=60)=1111,54240⨯⨯= P(X=70)=4111;54210⨯⨯= P(X=90)=1313,54240⨯⨯= P(X=100)=4313.54210⨯⨯= 所以X 的分布列为E(X)=1133113301030406070901004010401040104010⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=60.5(分).所以该同学所得分数的数学期望为60.5分.20.【解析】(1)依题意可知平面区域U 的整点为(0，0)，(0，〒1)，(0，〒2)，(〒1，0)，(〒2，0)，(〒1，〒1)共有13个，平面区域V 的整点为(0，0)，(0，〒1)，(〒1，0)共有5个，∴P=2158313C C 40.C 143=·(2)依题可得：平面区域U 的面积为：π·22=4π,平面区域V 的面积为：12〓2〓2=2. 在区域U 内任取1个点，则该点在区域V 内的概率为2142=ππ， 易知：X 的可能取值为 0，1，2，3，P(X=0)=30033311(21)C ()(1),228π--=πππ·· P(X=1)=112311C ()(1)22-ππ·· =233(21)8π-π， P(X=2)=22133113(21)C ()(1)228π--=πππ，·· P(X=3)=33033111C ()(1).228-=πππ·· ∴X 的分布列为：X 的数学期望E(X)=323333(21)3(21)3(21)130123.88882π-π-π-⨯+⨯+⨯+⨯=πππππ21.【解题指导】(1)根据频率分布直方图可计算“体育迷”，“非体育迷”人数，按照提供的公式，计算相关数值，与所给数据比较，获得结论；(2)将所有的基本事件罗列，很容易解决问题. 【解析】(1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100〓(10〓0.020+10〓0.005)=25,“非体育迷”人数为75，则据题意完成2〓2列联表：将2〓2列联表的数据代入公式计算：22100(30104515)75254555⨯⨯-⨯χ=⨯⨯⨯≈3.030.因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为1.4由题意，X ～B(3，14)，从而X 的分布列为X 的数学期望为E(X)=np 13344=⨯=，X 的方差为D(X)=np(1-p)=1393.4416⨯⨯=。

课时跟踪训练1．<20##新课标卷Ⅰ>如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.<1>证明：B1C⊥AB；<2>若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高．解：<1>证明：连结BC1,则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C ⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO,故B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO,故B1C⊥AB.<2>作OD⊥BC,垂足为D,连结AD.作OH⊥AD,垂足为H.由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°,所以△CBB1为等边三角形,又BC＝1,可得OD＝错误!.由于AC⊥AB1,所以OA＝错误!B1C＝错误!.由OH·AD＝OD·OA,且AD＝错误!＝错误!,得OH＝错误!.又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为错误!.故三棱柱ABC-A1B1C1的高为错误!.2．<20####高考>如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2错误!.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.<1>证明：GH∥EF；<2>若EB＝2,求四边形GEFH的面积．解：<1>证明：因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH＝GH,所以GH∥BC.同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.<2>如图,连结AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连结OP,GK.因为P A＝PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O,且AC,BD都在底面内,所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK,所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8,EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4,从而KB＝错误!DB＝错误!OB,即K为OB的中点．再由PO∥GK得GK＝错误!PO,即G是PB的中点,且GH＝错误!BC＝4.由已知可得OB＝4错误!,PO＝错误!＝错误!＝6,所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝错误!·GK＝错误!×3＝18.3．<20####高考>四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.<1>求四面体ABCD的体积；<2>证明：四边形EFGH是矩形．解：<1>由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD＝CD＝2,AD＝1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体体积V＝错误!×错误!×2×2×1＝错误!.<2>证明：∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC＝FG,平面EFGH∩平面ABC＝EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形．4．<20####高考>如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB ＝2,∠BAD＝错误!,M为BC上一点,且BM＝错误!.<1>证明：BC⊥平面POM；<2>若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积．解：<1>证明：如图,因ABCD为菱形,O为菱形中心,连结OB,则AO⊥OB.因∠BAD＝错误!,故OB＝AB·sin∠OAB＝2sin错误!＝1,又因BM＝错误!,且∠OBM＝错误!,在△OBM中,OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋错误!2－2×1×错误!×cos错误!＝错误!.所以OB2＝OM2＋BM2,故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.<2>由<1>可得,OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos错误!＝错误!.设PO＝a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故P A2＝PO2＋OA2＝a2＋3.由△POM也是直角三角形,故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋错误!.连结AM,在△ABM中,AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋错误!2－2×2×错误!×cos错误!＝错误!.由已知MP⊥AP,故△APM为直角三角形,则P A2＋PM2＝AM2,即a2＋3＋a2＋错误!＝错误!,得a＝错误!,a＝－错误!<舍去>,即PO＝错误!.此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝错误!·AO·OB＋错误!·BM·OM＝错误!×错误!×1＋错误!×错误!×错误!＝错误!.所以四棱锥P-ABMO的体积V P-ABMO＝错误!·S四边形ABMO·PO＝错误!×错误!×错误!＝错误!.。

阶段评估卷(一)专题一、二 (120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2012·宜昌模拟)已知集合A={y|y=2-x,x ＜0},B={x|y=12x }，则A ∩B=( )(A)［1，+∞) (B)(1，+∞) (C)(0，+∞) (D)［0，+∞) 2.设复数z=()22i1i ++(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是( )(A)12(B)-1 (C)-i (D)1 3.函数y=x,sin xx ∈(-π,0)∪(0,π)的图象可能是下列图象中的( )4.已知a ∈R,则“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5.(2012·武汉模拟)已知向量a =(2,-1),a ·b =10,|a -b 则|b |=( )(A)20 (B)40 (C)6.执行下面的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框中应填( )(A)k ＜4？ (B)k ＜5？ (C)k ＜6？ (D)k ＜7？ 7.由直线x=,3π-x=,3π y=0与曲线y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( )(A)12(B)1 (C)28.(2012·广东高考)已知变量x,y 满足约束条件y 2x y 1,x y 1≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则z=3x+y 的最大值 为( )(A)12 (B)11 (C)3 (D)-19.(2012·荆州模拟)已知函数f(x+1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1，x 2，不等式(x 1-x 2)［f(x 1)-f(x 2)］＜0恒成立，则不等式f(1-x)＜0的解集为( )(A)(1，+∞) (B)(-∞，0) (C)(0，+∞) (D)(-∞，1)10.设f(x)是R 上的可导函数，且满足f ′(x)>f(x)，对任意的正实数a,下列不等式恒成立的是( )(A)f(a)<e a f(0) (B)f(a)>e a f(0) (C)f(a)<()a f 0e (D)f(a)>()a f 0e二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确的答案填在题中的横线上)11.(2012·孝感模拟)已知2a -bc且a ·c =3,|b |=4,则b 与c 的夹角为______. 12.已知函数f(x)=22log x,x 0,1x ,x 0,-⎧⎨-≤⎩＞则不等式f(x)＞0的解集为______.13.已知函数f(x)=21mx 2+lnx-2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_______.14.定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=()()()2log 1x ,x 0,f x 1f x 2,x 0-≤⎧⎪⎨---⎪⎩＞则f(2013)=______. 15.(2012·济南模拟)下列正确命题的序号是________.(1)“m=-2”是直线(m+2)x+my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的必要不充分条件；(2)∃a ∈R ,使得函数y=｜x+1｜+｜x+a ｜是偶函数；(3)不等式：111111111111,1,121233224435≥+≥+++ （）（）（）≥1111,,3246++⋯ （）由此猜测第n 个不等式为111111111(1)()n 1352n 1n 2462n+++⋯+≥+++⋯++-； (4)若二项式n22x x+（）的展开式中所有项的系数之和为243,则展开式中x -4的系数是40.三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={y ｜y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)＞0},B={y ｜y=215x x ,22-+0≤x ≤3}.(1)若A ∩B=∅,求a 的取值范围；(2)当a 取使不等式x 2+1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(R A ð)∩B. 17.(12分)(2012·宁德模拟)已知函数f(x)=2x +k ·2-x ,k ∈R . (1)若函数f(x)为奇函数，求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈［0,+∞)都有f(x)＞2-x 成立，求实数k 的取值范围.18.(12分)设f(x)=22x x 1+， g(x)=ax+5-2a(a ＞0). (1)求f(x)在x ∈［0,1］上的值域；(2)若对于任意x 1∈［0,1］,总存在x 0∈［0,1］,使得g(x 0)=f(x 1)成立,求a 的取值范围.19.(12分)(2012·杭州模拟)已知a ∈R ,函数f(x)=ax+lnx-1,g(x)= (lnx-1)e x +x(其中e 为自然对数的底数). (1)判断函数f(x)在区间(0,e ］上的单调性；(2)是否存在实数x 0∈(0,e ］，使曲线y=g(x)在点x=x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.20.(13分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 21.(14分)已知函数f(x)=px-p x-2lnx,g(x)=2e ,x(1)若p=2，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； (3)若p 2-p ≥0,且至少存在一点x 0∈［1,e ］，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求实数p 的取值范围.答案解析1.【解析】选B.集合A=(1，+≦)，B=［0，+≦)，故答案为B.2.【解析】选B.z=()22i2i 12i,2i 21i ++-==+故复数z 的虚部是-1. 3.【解析】选C.因函数y=x sin x 是偶函数，故排除A,又x ∈(0,2π)时，x ＞sin x ，即xsin x＞1,排除B ，D ，故选C. 4.【解析】选A.a ＞2可以推出a 2＞2a;a 2＞2a 可以推出a ＞2或a ＜0，不一定推出a ＞2.“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的充分不必要条件.5.【解析】选D.|a -b ==解得|b |=6.【解析】选C.由程序框图知k=1时，执行第一次a=1； k=2时，a=5； k=3时，a=21； k=4时，a=85； k=5时，a=341， 所以判断框中应填k ＜6?7.【解析】选D.由定积分几何意义可知此封闭图形的面积为33cos xdx ππ-⎰=230cos xdx π⎰=2sin x 30π=2(sin 3π故选D.8.【解析】选B.作出如图所示的可行域，当直线z=3x+y 经过点B(3，2)时，z 取得最大值，最大值为11.9.【解析】选B.f(x+1)是奇函数，即其图象关于点(0，0)对称，将f(x+1)向右平移1个单位长度，得f(x)，故f(x)的图象关于点(1，0)对称，由(x 1-x 2)［f(x 1)-f(x 2)］＜0恒成立，知()()1212x x 0f x f x 0-⎧⎪⎨-⎪⎩＞＜或1212x x 0f x f x 0-⎧⎨-⎩＜，（）（）＞f(x)为R 上的减函数；又因f(1)=0，则不等式f(1-x)＜0即f(1-x)＜f(1)，有1-x ＞1，故x ＜0. 10.【解析】选B.令g(x)=()xf x ,e则g ′(x)=()()x x x 2f x e e f x e '- （）=()()xf x f x ,e'- 又f ′(x)>f(x),e x >0,≨g ′(x)>0，故g(x)在R 上为增函数， ≨当a>0时,g(a)>g(0),即()()a 0f a f 0,e e> ≨f(a)>e a f(0).11.【解析】≧2a -bc ≨(2a -b )·c =2a ·c -b ·c·(1又≧a ·c =3，≨b ·c =4， ≨cos 〈b ,c 〉=b cb c=41.422=⨯ 所以b 与c 的夹角为.3π 答案：3π12.【解析】当x ＞0时，-log 2x ＞0,即x ＜1, ≨0＜x ＜1,当x ≤0时，1-x 2＞0,即-1＜x ＜1, ≨-1＜x ≤0,≨不等式f(x)＞0的解集为(-1，1). 答案：(-1，1)13.【解析】f ′(x)=mx+1x-2≥0对一切x ＞0恒成立，m ≥212(),xx-+令g(x)=212()xx-+，则当1x=1时，函数g(x)取得最大值1，故m ≥1. 答案：［1,+≦)【易错提醒】解答本题时易得到错误答案(1,+≦)，出错的原因是对导数和单调性的关系没有真正搞明白.14.【解析】当x ＞0时，≧f(x)=f(x-1)-f(x-2)， ≨f(x+1)=f(x)-f(x-1)，≨f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x)， ≨f(x+6)=f(x)，即当x ＞0时， 函数f(x)的周期是6.又≧f(2013)=f(335×6+3)=f(3)， 由已知得f(-1)=log 22=1，f(0)=0， f(1)=f(0)-f(-1)=0-1=-1， f(2)=f(1)-f(0)=-1-0=-1， f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0， ≨f(2013)=0. 答案：015.【解析】当m=-2时，两直线为y=12和x=34-，此时两直线垂直，“m=-2”是直线(m+2)x+my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的充分不必要条件，所以(1)错误；当a=-1时，y=｜x+1｜+｜x-1｜为偶函数，所以(2)正确；由归纳推理可知，(3)正确；令x=1,则得所有项系数为3n =243,解得n=5,二项式的通项公式为5k 5k k k 53k k k 1522T C x ()C x 2,x--+==令5-3k=-4,得k=3,所以T 4=3435C x 2,-所以x-4的系数为335C 2=80,所以(4)错误.正确的命题为(2)(3). 答案：(2)(3)16.【解析】A={y ｜y ＜a 或y ＞a 2+1},B={y ｜2≤y ≤4}.(1)当A ∩B=∅时，2a 14,a 2,⎧+≥⎨≤⎩a ≤2或a ≤≨a 的取值范围是(-≦,2］. (2)由x 2+1≥ax,得x 2-ax+1≥0, 依题意Δ=a 2-4≤0, ≨-2≤a ≤2. ≨a 的最小值为-2.当a=-2时，A={y ｜y ＜-2或y ＞5}. ≨R A ð={y ｜-2≤y ≤5}. ≨R (A)ð∩B={y ｜2≤y ≤4}.17.【解析】(1)≧f(x)=2x +k ·2-x 是奇函数，≨f(-x)=-f(x)，x ∈R, 即2-x +k ·2x =-(2x +k ·2-x ),≨(1+k)+(k+1)·22x =0对一切x ∈R 恒成立， ≨k=-1.(2)≧x ∈［0,+≦)，均有f(x)＞2-x ， 即2x +k ·2-x ＞2-x 成立， ≨1-k ＜22x 对x ≥0恒成立， ≨1-k ＜(22x )min .≧y=22x 在［0,+≦)上单调递增，≨(22x )min =1,≨k ＞0.18.【解析】(1)≧f ′(x)=()()224x x 12x x 1+-+=()222x 4xx 1++≥0在x ∈［0,1］上恒成立,≨f(x)在［0,1］上单调递增.又≧f(0)=0,f(1)=1,≨f(x)在x ∈［0,1］上的值域为［0,1］. (2)f(x)的值域为［0,1］,g(x)=ax+5-2a(a ＞0)在x ∈［0,1］上的值域为［5-2a,5-a ］.由条件,只需［0,1］⊆［5-2a,5-a ］. ≨52a 05a 1-≤⎧⎨-≥⎩⇒52≤a ≤4. ≨a 的取值范围是[5,24]. 19.【解析】(1)≧f(x)=ax+lnx-1, ≨f ′(x)=22a 1x a .x x x--+= 令f ′(x)=0,得x=a.①若a ≤0,则当x ∈(0，e ］时f ′(x)＞0,f(x)在区间(0,e ］上单调递增.②若0＜a ＜e,当x ∈(0,a)时，f ′(x)＜0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减，当x ∈(a,e ］时，f ′(x)＞0，函数f(x)在区间(a,e ］上单调递增. ③若a ≥e,则当x ∈(0，e ］时f ′(x)≤0，函数f(x)在区间(0,e ］上单调递减.(2)≧g(x)=(lnx-1)e x +x,x ∈(0,e ］, g ′(x)=(lnx-1)′e x +(lnx-1)(e x )′+1=xe x+(lnx-1)e x +1=(1x +lnx-1)e x +1.由(1)可知，当a=1时，f(x)=1x+lnx-1.此时f(x)在区间(0,e ］上的最小值为ln1=0，即1x+lnx-1≥0. 当x 0∈(0,e ］时,0x e ＞0,1x +lnx 0-1≥0, ≨g ′(x 0)=(1x +lnx 0-1)0x e +1≥1＞0. 曲线y=g(x)在点x=x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x)=0有实数解.而g ′(x 0)＞0，即方程g ′(x 0)=0无实数解.故不存在x 0∈(0,e ］，使曲线y=g(x)在点x=x 0处的切线与y 轴垂直. 20.【解析】(1)设需新建n 个桥墩，则(n+1)x=m, 即n=mx-1, 所以=m m256(1)(2x x -+=256m2m 256.x+- (2)由(1)知，f ′(x)=1 22256m 1mx x 2--+=322m(x 512).2x- 令f ′(x)＝0，得32x ＝512，所以x ＝64.当0<x<64时，f ′(x)<0,f(x)在区间(0，64)上为减函数；当64<x<640时，f ′(x)>0,f(x)在区间(64，640)上为增函数，所以f(x)在x=64处取得最小值，此时n=m 64011x 64-=-＝9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小.21.【解析】(1)当p=2时，函数f(x)=2x-2x-2lnx, f(1)=2-2-2ln1=0.f ′(x)=2+222.x x- 曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f ′(1)=2+2-2=2.从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=2(x-1)，即y=2x-2.(2)f ′(x)=222p 2px 2x pp .x x x -++-=令h(x)=px 2-2x+p,要使f(x)在定义域(0,+≦)内是增函数， 只需h(x)≥0，即h(x)=px 2-2x+p ≥0⇔p ≥22x,x 1+故正实数p 的取值范围是［1,+≦). (3)≧g(x)=2ex在［1，e ］上是减函数， ≨x=e 时，g(x)min =2； x=1时,g(x)max =2e, 即g(x)∈［2，2e ］,①当p ＜0时，h(x)=px 2-2x+p ，其图象为开口向下的抛物线，对称轴x=1p在y 轴的左侧，且h(0)＜0，所以f(x)在x ∈［1，e ］内是减函数. 当p=0时，h(x)=-2x,因为x ∈［1，e ］, 所以h(x)＜0,f ′(x)=2x-＜0,此时，f(x)在x ∈［1，e ］内是减函数，故当p ≤0时，f(x)在［1,e ］上单调递减⇒f(x)max =f(1)=0＜2,不合题意;②当p ≥1时，由(2)知f(x)在［1，e ］上是增函数，f(1)=0＜2,又g(x)在［1，e ］上是减函数，故只需f(x)max ＞g(x)min ,x ∈［1，e ］,而f(x)max =f(e)=p(1e e-) -2,g(x)min =2,即p(1e e-)-2＞2, 解得p ＞24e,e 1- 所以实数p 的取值范围是(24e,e 1-+≦).。

专题检测卷(十七)一、选择题1.(2012·陕西高考)已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3，0)的直线，则( )(A)l与C相交 (B)l与C相切(C)l与C相离 (D)以上三个选项均有可能2.已知直线y=kx与圆x2+y2=3相交于M,N两点，则|MN|等于( )(D)3.已知一个圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y 轴上，则该圆的标准方程是( )(A)(x＋2)2＋(y－3)2＝13(B)(x＋2)2＋(y－3)2＝52(C)(x－2)2＋(y＋3)2＝52(D)(x－2)2＋(y＋3)2＝134.直线l：x=my+2与圆M：x2+2x+y2+2y=0相切，则m的值为( )(A)1或-6 (B)1或-7(C)-1或7 (D)1或1-75.(2012·咸宁模拟)已知圆x2+y2-4x-4y+4=0的弦 AB过点(1,1)，则AB的最短长度为( )(A)1 (B)16.(2012·黄冈模拟)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M，N两点，若|MN|≥则k的取值范围是( )(A)［3,-0］4(B)(-∞,3-］∪［0,+∞)4(C)［-］33(D)［2,-0］3二、填空题7.若存在直线l平行于直线3x-ky+6=0，且与直线kx+y+1=0垂直，则实数k＝________．8.若过点A(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围是________.1)的直线l与圆C：(x-1)2+y2=4 9.(2012·华东师大附中模拟)过点M(1,2交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________．三、解答题10.已知定点M(0,2)，N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).(1)若点M,N到直线l的距离相等，求实数k的值；(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围. 11.(2012·宝鸡模拟)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1,1)在AD边所在直线上.(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程；(3)若动圆P过点N(-2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程.12.已知⊙O：x2+y2=1和点M(4，2).(1)过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；(2)求以点M为圆心，且被直线y=2x-1截得的弦长为4的⊙M的方程；(3)设P为(2)中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q.试探究：为定值？若存在，请举出一例，并平面内是否存在一定点R，使得PQPR指出相应的定值；若不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选A.圆C的方程是(x-2)2+y2=4,∴点P到圆心C(2，0)的距离是d=1＜2,∴点P在圆C内部，∴直线l与圆C相交.2.【解析】选D.因为圆x2+y2=3的圆心坐标为(0，0)，半径为所以圆心到直线y=kx的距离，即该直线过圆心，因此MN为该圆的直径，其长度为【方法技巧】圆的弦长的求解策略(1)根据平面几何知识结合坐标的方法，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l=其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)；(2)根据求直线被圆所截得的弦长的方法解决，l12x x-｜ (其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率).(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解.3.【解析】选D.∵圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，∴一直径的两个端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，=因此圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.4.【解析】选B.圆的方程化为(x+1)2+(y+1)2=2，由直线与圆相切，可=解得m=-7或1. 故选B.5.【解析】选D.AB 最短，则应与过点(1,1)的直径垂直，此时，圆心到AB又∵圆的半径为2， ∴此时AB的长为6.【解析】选A.∵|MN|≥而圆(x-3)2+(y-2)2=4的半径为2，∴圆心到直线的距离小于等于1. ∵圆心(3，2)到直线y=kx+3的距离1，解得：34-≤k ≤0.7.【解析】当k=0时，直线l 的斜率不存在，而直线kx+y+1=0的斜率为0，因此合题意.当k ≠0时，依题意得：3k k 1-（） =-1，此时无解. 综上可知：k=0. 答案：0【易错提醒】本题易漏掉k=0的情形，造成无解或填不上正确答案. 8.【解析】将x 2+y 2-2ax+a 2+2a-3=0配方得(x-a)2+y 2=-2a+3，由其表示圆，则-2a+3>0得a<32；又过点A(a,a)可作圆的两条切线，则点A 应在圆外，所以(a-a)2+a 2>-2a+3，即a 2+2a-3>0， 解得a<-3或a>1. 又a<3,2故a<-3或31a .2<< 答案：a<-3或31a 2<<9.【解析】要∠ACB 最小,即要使∠ACB 所对的边最短,即要过M 点的弦长最短,过M 点的弦长最短就是：先作直线MC,再作出过M 点与MC 垂直的直线,那么这条直线就是过M 点弦长最短的线,那条直线就是要求的l .∵MC 1101k 2k 1212-==-∴=-，，∴所求直线方程为y-1=11x 22-（），即2x-4y+3=0. 答案：2x-4y+3=010.【解析】(1)∵点M,N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点. ∵M(0,2),N(-2,0)，∴k MN =1，MN 的中点坐标为C(-1,1). 又∵直线l :kx-y-2k+2=0过点D(2,2), 当l ∥MN 时，k=k MN =1, 当l 过MN 的中点时，k=k CD =1,3综上可知：k 的值为1或1.3(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径，解得：k ＜17-或k ＞1. 11.【解析】(1)因为AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为-3. 又因为点T(-1，1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y-1=-3(x+1). 3x+y+2=0. (2)由x 3y 60,3x y 20--=⎧⎨++=⎩，解得点A 的坐标为(0,-2)，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2，0). 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心. 又从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+y 2=8.(3)因为动圆P 过点N ，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以|PM|=|PN|+即|PM|-|PN|=故点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为. 因为实半轴长半焦距c=2. 所以虚半轴长从而动圆P 的圆心的轨迹方程为22x y 1(x 22-=≤ 12.【解析】(1)设切线l 方程为y-2=k(x-4)1,=解得所以切线l 的方程为y-2=)8x 415-即y=82x 1515+--+y=82x 1515-++(2)圆心到直线y=2x-1设圆的半径为r,则222r 2=+=9 所以⊙M 的方程为(x-4)2+(y-2)2=9.(3)假设存在这样的点R(a,b)，点P 的坐标为(x,y)，相应的定值为λ. 根据题意可得.x a y b =λ-+-即x 2+y 2-1=λ2(x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2)(*)， 又点P 在⊙M 上，∴(x-4)2+(y-2)2=9， 即x 2+y 2=8x+4y-11， 代入(*)式得：8x+4y-12=λ2［(8-2a)x+(4-2b)y+(a 2+b 2-11)］ 若系数对应相等，则等式恒成立，所以()22222(82a)842b 4a b 1112⎧λ-=⎪λ-=⎨⎪λ+-=-⎩，，（）， 解得a=2,b=1,λ21a ,b ,553==λ= 可以找到这样的定点R ，使得PQPR为定值.如点R 的坐标为(2，1)时，比点R 的坐标为(2155，)。

集合与函数课时提升训练（9）3、设集合A={1，2}，集合B={1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数，确定平面上一个点，记“点落在直线上为事件，若事件的概率最大，则的所有可能值为（）A．3 B．4 C．2和5 D．3和44、对于非空集合A．B，定义运算A B＝{x | x∈A∪B，且x A∩B}，已知两个开区间M＝（a，b），N＝（c，d），其中a．b．c．d满足a＋b＜c＋d，ab＝cd＜0，则M N等于（）A．（a，b）∪（c，d） B．（a，c）∪（b，d）C．（a，d）∪（b，c） D．（c，a）∪（d，b）8、设集合A=若A B,则实数a,b必满足（）A B CD9、设集合，函数且则的取值范围是A．(] B．(] C．() D．[0，]10、对于非空集合，定义运算：，已知，其中满足，，则A． B． C． D．13、定义在R上的函数满足，当时，单调递增，如果的值（）A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负15、设，，则满足条件的所有实数a的取值范围为（）A．0＜a＜4 B．a=0 C．＜4 D．0<a17、设集合，在上定义运算：，其中为被4除的余数，，则使关系式成立的有序数对的组数为（）A． B． C．D．18、设函数内有定义，对于给定的正数，定义函数：取函数，在下列区间上单调递减的是（）A. B. C. D.20、已知函数在R上是偶函数，对任意都有当且时，，给出如下命题：①②直线图象的一条对称轴③函数在[-9，-6]上为增函数④函数在[-9，9]上有四个零点其中所有正确命题的序号为（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④21、已知函数,那么对于任意的，函数y的最大值与最小值分别为（）A. B. C.D. 3，123、定义域为D的函数f（x）同时满足条件①常数a，b满足a<b，区间[a，b]D，②使f （x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]（k∈N+），那么我们把f（x）叫做[a，b]上的“k级矩阵”函数，函数f（x）=x3是[a，b]上的“1级矩阵”函数，则满足条件的常数对（a，b）共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对24、定义区间的长度均为n-m，其中m<n，已知关于x的不等式组的解集构成的各区间的长度和为5，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．25、已知函数互不相等，则则的取值范围是（） A．（1，10） B．（1，e） C．（e，e＋1） D．（e，）26、已知,,（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，试确定实数的取值范围27、已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．28、已知函数，则下列说法正确的是（写出所有正确命题的序号）①在上是减函数；②的最大值是2；③方程有2个实数根；④在R上恒成立．29、已知函数是偶函数，当时，，且当时，恒成立，则的最小值是31、已知是定义域为R的偶函数，且,。

课时跟踪训练1．若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( ) A ．a 2＞b 2B.1a ＜1bC ．0＜a ＜bD ．0＜b ＜a解析：由ax 2＋by 2＝1，得x 21a＋y 21b＝1，因为焦点在x 轴上，所以1a ＞1b＞0，所以0＜a ＜b .答案：C2．(2014年新课标卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4 FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3D ．2解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，(图略)因为FP →＝4 FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.故选C.答案：C3．已知F 1，F 2是双曲线x 2－y 24＝1的两个焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A ．6B ．4C ．2D ．1解析：由题意令|PF 2|－|PF 1|＝2a ，由双曲线方程可以求出|PF 1|＝4，a ＝1，所以|PF 2|＝4＋2＝6.答案：A4．(2014年全国大纲卷)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.答案：A5．(2014年沈阳模拟)已知双曲线y 2t 2－x 23＝1(t ＞0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合，则此双曲线的离心率为( )A ．2 B.3C ．3D ．4解析：依题意，抛物线y ＝18x 2即x 2＝8y 的焦点坐标是(0,2)，因此题中的双曲线的离心率e ＝2t＝222－3＝2，选A.答案：A6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的顶点恰好是椭圆x 29＋y 25＝1的两个顶点，且焦距是63，则此双曲线的渐近线方程是( ) A ．y ＝±12xB ．y ＝±22xC．y＝±2x D．y＝±2x解析：由题意知双曲线中，a＝3，c＝33，所以b＝32，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax ＝±2x . 答案：C7．(2014年重庆高考)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3解析：由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2＝9b 2－4a 2，即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9b a －4＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫ba ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53.答案：B8．已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )A.72 B ．3C.52D ．2解析：抛物线的准线方程为x ＝－12，由图知，当MQ ∥x 轴时，|MQ |－|QF |取得最小值，此时|QM |－|QF |＝|2＋3|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋12＝52，选C.答案：C9．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B 、C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF |＝6，AF →＝2 FB →，则|BC |＝( )A.92 B ．6C.132D ．8解析：不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0＜θ＜π2，点B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，则点B 在x 轴的上方．过点B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为B 1，于是有|BF |＝|BB 1|＝3，|AF ||AB |＝p|BB 1|，由此得p ＝2，抛物线方程是y 2＝4x ，焦点F (1,0)，cos θ＝p |AF |＝p 6＝26＝13，sin θ＝1－cos 2θ＝223，tan θ＝sin θcos θ＝22，直线l ：y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x －1y 2＝4x得8(x －1)2＝4x ，即2x 2－5x ＋2＝0，x1＋x 2＝52，|BC |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋2＝92，选A.答案：A10．(2014年湖北高考)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C ．3D ．2解析：假定焦点在x轴上，点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点．设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，双曲线的方程为x2m2－y2n2＝1(m＞0，n＞0)，它们的离心率分别为e1，e2，则|PF 1|＝a ＋m ，|PF 2|＝a －m ，在△PF 1F 2中，4c 2＝(a ＋m )2＋(a －m )2－2(a ＋m )(a－m )cosπ3⇒a 2＋3m 2＝4c 2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫m c 2＝4，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫m c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋m c 2⇒1e 1＋1e 2＝a c＋m c≤433，当且仅当a ＝3m 时，等号成立，故选A.答案：A11．C 是以原点O 为中心，焦点在y 轴上的等轴双曲线在第一象限的部分，曲线C 在点P 处的切线分别交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则( )A ．|OP |＝12|AB |B ．|OP |＝|AB | C.12|AB |＜|OP |＜|AB | D ．|OP |＜12|AB |解析：设过点P 的切线为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋my 2－x 2＝a 2，消去y 得：(kx ＋m )2－x 2＝a 2，即(k 2－1)x 2＋2kmx ＋m 2－a 2＝0，∵直线与曲线相切，故Δ＝0，由求根公式可知x P ＝km1－k 2，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫km 1－k 2，m 1－k 2.∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋my ＝x， ∴可取B ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－k ，m 1－k ，∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋my ＝－x， ∴可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k ＋1，m k ＋1，∴x P ＝x A ＋x B 2，y P ＝y A ＋y B2，∴P 为AB 的中点，∠AOB ＝90°，∴|OP |＝12|AB |.答案：A12．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A.32B.332C.94D.154解析：设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ.由条件知|AF 2|为椭圆通径的一半，即为|AF 2|＝b 2a＝32，则F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ，于是F 1P →·F 2A →要取得最大值，只需F 1P →在向量F 2A →上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ≤332，故选B.答案：B13．已知点F (1,0)是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则p ＝________. 解析：由题意可得p2＝1，解得p ＝2.答案：214．(2014年南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x ＝12，且它的一个顶点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：抛物线y 2＝－4x 的焦点为(－1,0)，所以双曲线的一个顶点为(－1,0)，即a ＝1，又因为双曲线的一条准线方程为x ＝12，所以a 2c ＝12，故c ＝2，b ＝3，则该双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .答案：y ＝±3x15．过双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，记切点分别为A ，B ，双曲线的左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的离心率e ＝________.解析：如图所示，根据题意以及双曲线的几何性质，|FO |＝c ，|OA |＝|OC |＝a ，而∠ACB＝120°，∴∠AOC＝60°，又FA是圆O的切线，故OA⊥FA，在Rt△FAO中，容易得到|OF|＝2HHa ，∴e ＝ca＝2.答案：216．设e 1，e 2分别是具有公共焦点F 1，F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，O 是F 1F 2的中点，且满足|PO |＝|OF 2|，则e 1e 2e 21＋e 22＝________.解析：由|PO |＝|OF 2|＝|OF 1|可知，△PF 1F 2为直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.又⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 椭||PF 1|－|PF 2||＝2a 双，即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|2＝4a 2椭|PF 1|－|PF 2|2＝4a 2双，⎩⎪⎨⎪⎧4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2椭 ①4c 2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2双 ②，①＋②得a 2椭＋a 2双＝2c 2.又e 1＝ca 椭，e 2＝ca 双，所以e 1e 2e 21＋e 22＝c 2a 椭·a 双c 2a 2椭＋c 2a 2双＝ca 2椭＋a 2双＝c2c 2＝22.答案：22欢迎下载，资料仅供参考!!!。