高考数学 第十篇 第2讲 排列与组合限时训练 新人教A版

【高考讲坛】高考数学一轮温习第10章第2节排列与组合课后限时自测理苏教版[A级基础达标练]一、填空题1．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随意坐在某个座位上候车，则恰好有2个持续空座位的候车方式的种数是________．[解析]由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．若是是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，以后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共3×2×2＝12种；若是是第二种偶奇奇的情况，个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0,1种情况)，共3×2×1＝6种，因此总共12＋6＝18种情况．[答案]182．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种．[解析]知足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以知足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．[答案]663．(2014·福州调研)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有________个．[解析]分类讨论：若十位数为6时，有A25＝20(个)；若十位数为5时，有A24＝12(个)；若十位数为4时，有A23＝6(个)；若十位数为3时，有A22＝2(个)．因此一共有40个．[答案]404．一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多肯定的圆的个数为________．[解析]从8个点中任选3个点有选法C38种，因为有4点共圆所以减去C34种再加1种，共有圆C38－C34＋1＝53个．[答案]535．某同窗有一样的画册2本，一样的集邮册3本，从中掏出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方式共有________种．[解析]分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C24＝6(种)方式；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C14＝4(种)方式，∴不同的赠送方式共有6＋4＝10(种)．[答案]106．用数字1,2,3,4,5,6六个数字组成一个六位数，要求数字1,2都不与数字3相邻，且该数字能被5整除，则这样的五位数有________个．[解析]由题可知，数字5必然在个位上，先排数字4和6，排法有2种，再往排好的数字4和6形成的3个空位中插入数字1和3，插法有6种，最后再插入数字2，插法有3种，按照分步乘法计数原理，可得这样的六位数有2×6×3＝36个．[答案]367．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片最多1张，不同取法有________种．[解析]第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．[答案]4728．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，列位数字之和为偶数的三位数共有________个．[解析]在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数列位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，∴符合条件的三位数共有C23·C12·A33＝36(个)．[答案] 36二、解答题9．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生当选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方式种数是多少？(用数字作答)．[解] 分三类：①选1名骨科医生，则有C 13(C 14C 35＋C 24C 25＋C 34C 15)＝360(种)；②选2名骨科医生，则有C 23(C 14C 25＋C 24C 15)＝210(种)；③选3名骨科医生，则有C 33C 14C 15＝20(种)．∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方式种数是360＋210＋20＝590种．10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中．(1)若每一个盒子放一球，则有多少种不同的放法？(2)恰有一个空盒的放法共有多少种？[解] (1)每一个盒子放一球，共有A 44＝24(种)不同的放法；(2)法一 先选后排，分三步完成．第一步：四个盒子当选一只为空盒，有4种选法；第二步：选两球为一个元素，有C 24种选法；第三步：三个元素放入三个盒中，有A 33种放法．故共有4×C 24A 33＝144(种)放法．法二 先分组后排列，看做分派问题．第一步：在四个盒子当选三个，有C 34种选法；第二步：将四个球分成2,1,1三组，有C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫即C 24C 12C 11A 22种放法； 第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A 33种放法．故共有C 34C 24A 33＝144种放法．[B 级 能力提升练]一、填空题1．在航天员进行的一项太空实验中，要前后实施6个程序，其中程序A 只能出此刻第一或最后一步，程序B和C在实施时必需相邻，则实验顺序的编排方式共有________种．[解析]程序A有A12＝2(种)排法，将程序B和C看做元素集团与除A外的元素排列有A22A44＝48(种)，∴由分步计数原理，实验编排共有2×48＝96(种)方式．[答案]962．(2014·济南模拟)如图10­2­1所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有________种．图10­2­1[解析]当第一组开关有一个接通时，电路接通为C12(C13＋C23＋C33)＝14种方式；当第一组开关有两个接通时，电路接通有C22(C13＋C23＋C33)＝7种方式，所以共有14＋7＝21种方式．[答案]21二、解答题3．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法为几种？(2)现有10个保送上大学的名额，分派给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分派的方式共有多少种？[解](1)由题意知有5个座位都是空的，把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插．由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A34＝24(种)．(2)法一每一个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方式种数就是要求的分派方式种数．分类：若3个名额分到一所学校有7种方式；若分派到2所学校有C27×2＝42(种)；若分派到3所学校有C37＝35(种)．∴共有7＋42＋35＝84(种)方式．法二10个元素之间有9个距离，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个距离中，共有C69＝84(种)不同方式．所以名额分派的方式共有84种．。

专题限时集训(二)排列、组合与二项式定理概率与统计1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A．120种B．90种C．60种D．30种C[C16C25C33＝60.]2．(2020·全国卷Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A．10名B．18名C．24名D．32名B[由题意知，第二天在没有志愿者帮忙的情况下，积压订单超过500＋(1 600—1 200)＝900份的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配＝18(名)，故选B．]货的概率不小于0.95，至少需要志愿者900503．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312A[3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A．]4．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种D[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13·C24·A22＝36(种)，或列式为C13·C24·C12＝36(种)．故选D．]5．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12 B．16 C．20 D．24A[展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.]6．(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20 C．30 D．60C[法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C．法二：利用组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C．]7．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数B．平均数C．方差D．极差A [记9个原始评分分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i (按从小到大的顺序排列)，易知e 为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A ．]8．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑4i ＝1p i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) A ．p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4B ．p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1C ．p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3D ．p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.2B [对于A ，当p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4时，随机变量X 1的分布列为E (X 1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D (X 1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，所以D (X 1)＝0.65.对于B ，当p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1时，随机变量X 2的分布列为E (X 2)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D (X 2)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85，所以D (X 2)＝ 1.85.对于C ，当p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3时，随机变量X 3的分布列为E (X 3)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D (X 3)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以D (X 3)＝ 1.05.对于D ，当p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.2时，随机变量X 4的分布列为E (X 4)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D (X 4)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，所以D (X 4)＝ 1.45.所以B 中的标准差最大．]9．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A ．112B ．114C ．115D ．118C [不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C 210种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P ＝3C 210＝115，故选C ．] 10．(2020·新高考全国卷Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%C [不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x ，则100×96%＝100×60%－x ＋100×82%，所以x ＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.选C ．]11．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A[法一：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A．法二：因为0.6＜0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A．]12．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳A[对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A．]13．(2015·全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关D[依据给出的柱形图，逐项验证．对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A 正确．对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确．对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D．]14．(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m 项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个C [由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0，4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1.不考虑限制条件“对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 36＝20(种)，其中存在k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；②若a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C ．]15．[一题两空](2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．16 23 [依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13＝16.甲、乙两球都不落入盒子的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝13，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23.]16．(2020·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．36 [由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有C 24＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有A 33＝6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(种)．]1．(2020·泰安模拟)在中国国际大数据产业博览会期间，有A ，B ，C ，D ，E ，F 六名游客准备前往葫芦岛市的四个网红景点——“葫芦山庄、兴城古城、菊花岛、九门口”进行旅游参观．若每名游客只去一个景点，每个景点至少要去一名游客，其中A ，B 需要到同一景点旅游，则不同的旅游方法有( )A ．120种B ．240种C ．360种D ．480种B [因为A ，B 需要到同一景点旅游，可以把A ，B 看作一个整体，故不同的旅游方法有C 25A 44＝240种．]2．(2020·大同调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．210B ．180C ．160D ．175B [法一：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以n ＝10，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 210展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10(x )10－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2k＝(－2)k C k 10x 10－k 2－2k ＝(－2)k C k 10x 5－52k ，令5－52k ＝0，解得k ＝2，所以常数项为(－2)2C 210＝180，故选B ．法二：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以n ＝10，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 210可以看成10个多项式x －2x 2相乘，要想得到常数项，则需在其中2个多项式中取－2x 2，余下的8个多项式中都取x ，则常数项为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 22 (x )8＝180.]3．(2020·唐山模拟)在(x ＋y )(x －y )5的展开式中，x 3y 3的系数是( )A ．－10B ．0C ．10D ．20B [法一：(x －y )5展开式的通项公式为T k ＋1＝(－1)kC k 5x5－k y k (k ＝0，1，2，3，4，5)，所以(x ＋y )(x －y )5展开式的通项为(－1)k C k 5x 6－k y k 或(－1)k C k 5x5－k y k ＋1，则当k ＝3时，有(－1)k C k 5x 6－k y k ＝－10x 3y 3，当k ＝2时，有(－1)k C k 5x5－k y k ＋1＝10x 3y 3，所以x 3y 3的系数为0，故选B ．法二：(x ＋y )(x －y )5＝(x ＋y )(x －y )(x －y )(x －y )(x －y )(x －y )，要想出现x 3y 3，有两种情况：(1)先在第一个多项式中取x ，再在后五个多项式中任选两个多项式，在这两个多项式中取x ，最后在余下的三个多项式中取－y ，所以有x C 25x 2(－y )3＝－10x 3y 3；(2)先在第一个多项式中取y ，再在后五个多项中任选三个多项式，在这三个多项式中取x ，最后在余下的两个多项式中取－y ，所以有y C 35x 3(－y )2＝10x 3y 3.所以x 3y 3的系数为0，故选B ．]4．(2020·临沂模拟)袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112342 241 244 431 233 214 344 142 134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( )A ．19B ．16C ．29D ．518C [由18组随机数得，恰好在第三次停止摸球的随机数是142，112，241，142，共4组，所以恰好第三次就停止摸球的概率约为418＝29，故选C ．]5．(2020·江西红色七校第一次联考)下表是鞋子的长度与对应码数的关系：已知人的身高y (单位：cm)与脚板长x (单位：cm)线性相关且回归直线方程为y^＝7x －7.6.若某人的身高为173 cm ，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为( )A ．40B ．41C ．42D ．43C [当y ＝173时，x ＝173＋7.67＝25.8，对照表格可估计码数为42.] 6．(2020·安徽示范高中名校联考)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化会议在芜湖举行，长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为( ) A ．2764 B ．916 C ．81256 D ．716B [4名高三学生从这四个地方中各任意选取一个去旅游，共有44种可能结果．设事件A 为“恰有一个地方未被选中”，则事件A 可能的结果有C 24A 34＝144(种)，所以P (A )＝14444＝916.故选B ．]7．(2020·惠州第二次调研)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“任何一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和”，如40＝3＋37.在不超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率是( )[注：如果一个大于1的整数除了1和它本身外无其他正因数，则称这个整数为素数．]A ．115B ．117C ．122D ．126C [不超过40的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个数.40＝3＋37＝11＋29＝17＋23，共3组数的和等于40，所以随机选取2个不同的数，其和等于40的概率为3C 212＝122，故选C ．] 8．(2020·兰州诊断)近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图如图所示．年份代码1 2 3 4 5 羊只数量/万只1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草场植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为r 1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r 2，则|r 1|＜|r 2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数．以上判断中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [由散点图可知，羊只数量和草场植被指数成负相关，所以羊只数量与草场植被指数有相关关系，但不是函数关系，故①错；－1＜r 1＜0，－1＜r 2＜0，在去掉第一年数据之后，由题图可看出回归模型的相关程度更强，所以r 2更接近于－1，所以0＜|r 1|＜|r 2|＜1，故②正确；因为回归直线方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值，故③错．综上所述，判断中正确的个数是1，故选B ．]9．(2020·南昌模拟)已知一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…，(x 6，y 6)，用最小二乘法得到其线性回归方程为y ^＝－2x ＋4，若x 1，x 2，x 3，…，x 6的平均数为1，则y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 6＝( )A ．10B ．12C ．13D ．14B [回归直线过样本点的中心(x ，y )，因为x ＝1，所以y ＝－2×1＋4＝2，所以y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 6＝6×2＝12.故选B ．]10．(2020·南京模拟)第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行．某校安排甲、乙、丙、丁、戊五名大学生分别做冰球、冰壶和短道速滑三个比赛项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，则学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为( )A ．512B ．112C ．775D ．475C [首先将5名学生分为3组，若按3，1，1进行分组，有C 35种分组方法；若按2，2，1进行分组，有C 15C 24A 22种分组方法，再将分好的三组分别安排到三个比赛项目，有A 33种安排方法，综上所述，不同的安排方法共有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 35＋C 15C 24A 22×A 33＝150种．学生甲被单独安排去冰球比赛项目，则剩余的4名大学生安排到剩余的两个比赛项目，同理有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 34＋C 24A 22×A 22＝14种不同的安排方法，则所求概率为14150＝775，故选C ．]11．[多选](2020·济南模拟)若(1－ax ＋x 2)4的展开式中x 5的系数为－56，则下列结论正确的是( )A ．a 的值－2B ．展开式中各项系数和为0C ．展开式中x 的系数为4D ．展开式中二项式系数最大为70BD [(1－ax ＋x 2)4＝[(1－ax )＋x 2]4，故展开式中x 5项为C 34C 33(－ax )3x 2＋C 24C 12(－ax )(x 2)2＝(－4a 3－12a )x 5，所以－4a 3－12a ＝－56，解得a ＝2.(1－ax ＋x 2)4＝(x－1)8，则展开式中各项系数和为0，展开式中x 的系数为C 78(－1)7＝－8，展开式中二项式系数最大为C 48＝70，故选BD ．]12．[多选](2020·日照模拟)已知(x －1)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋1)5，则( )A ．a 0＝－32B ．a 2＝－80C ．a 3＋4a 4＝0D ．a 0＋a 1＋…＋a 5＝1ABC [令x ＝－1得(－1－1)5＝a 0，即a 0＝－32，故A 正确．令x ＝0得(－1)5＝a 0＋a 1＋…＋a 5，即a 0＋a 1＋…＋a 5＝－1，故D 不正确．令x ＋1＝y ，则(x －1)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋1)5就变为(y －2)5＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋…＋a 5y 5，根据二项式定理知，a 2即二项式(y －2)5展开式中y 2项的系数，T r ＋1＝C r 5y5－r (－2)r ，故a 2＝C 35·(－2)3＝－80，B 正确．a 4＝C 15(－2)1＝－10，a 3＝C 25(－2)2＝40.故C 正确．故选ABC ．]13．[多选](2020·滨州模拟)下图是某商场2020年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图(例如：第三季度内，洗衣机销量约占20%，电视机销量约占50%，电冰箱销量约占30%). 根据该图，以下结论中不一定正确的是()A．电视机销量最大的是第四季度B．电冰箱销量最小的是第四季度C．电视机的全年销量最大D．洗衣机的全年销量最小ABD[对于A，对比四个季度中，第四季度所销售的电视机所占百分比最大，但由于销售总量未知，所以销量不一定最大．同理，易知B不一定正确．在四个季度中，电视机在每个季度的销量所占百分比都最大，即在每个季度销量都是最多的，所以全年销量最大的是电视机，C正确，对于D，洗衣机在第四季度所占百分比不是最小的，故D不一定正确．]14．[多选](2020·东营模拟)下图是国家统计局2019年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．(注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比)，根据该折线图，下列结论正确的是()全国居民消费价格涨跌幅A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快ABD[由折线图分析知2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨，故A正确；2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比上涨的有2018年7月、8月、9月、10月、12月和2019年2月，下跌的有2018年3月、4月、5月、6月、11月和2019年3月，故B正确；2018年9月、10月全国居民消费价格同比涨幅均是2.5%，同比涨幅最大，故C错误；2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D正确．]15．[多选](2020·枣庄模拟)在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列说法中正确的是()A．成绩在[70，80)分的考生人数最多B．不及格的考生人数为1 000C．考生竞赛成绩的平均数约为70.5分D．考生竞赛成绩的中位数约为75分ABC[由频率分布直方图可知，成绩在[70，80)分的考生人数最多，所以选项A正确．不及格的人数为4 000×(0.01＋0.015)×10＝1 000，所以选项B正确．平均分约为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01)×10＝70.5(分)，所以选项C正确．设中位数约为x0分，因为(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5，(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75>0.5，所以0.45＋(x0－70)×0.03＝0.5，解得x0≈71.7，选项D错误．故选ABC．]16．[多选](2020·德州模拟)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A ＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B ＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C ＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数}．则( )A ．P (A )＝12B ．P (C )＝13 C ．P (AB )＝14D ．P (ABC )＝18AC [由题意知P (A )＝12，P (B )＝12，P (C )＝12.因为A ，B 是相互独立事件，C与A ，B 不是相互独立事件，所以P (ABC )＝18是错误的，P (AB )＝14，故选AC ．]17．[多选](2020·威海模拟)某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：厘米)，图1为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图2为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为y ^＝1.16x －30.75，以下结论中正确的是( )图1图2A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C ．可估计身高为190厘米的人臂展为189.65厘米D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米ABC[对于选项A，15名志愿者臂展的最大值大于身高，而最小值小于身高，所以身高的极差小于臂展的极差，故A正确；对于选项B，由左下到右上，为正相关，正确；选项C就是把x＝190代入回归方程得到预估值189.65，正确；而对于选项D，相关关系不是确定的函数关系，所以选项D说法不正确．故选ABC．] 18．[多选](2020·聊城模拟)江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间Z(单位：分)服从正态分布N(33，42)，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间Z(单位：分)服从正态分布N(44，22)，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．从统计的角度看，下列说法合理的是()(参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)≈0.997 3)A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到CD[对于选项A，江先生乘坐公交的时间不大于43分钟才不会迟到，因为P(Z≤43)<P(Z≤45)，且P(33－12<Z≤33＋12)≈0.997 3，所以P(Z≤43)<P(Z≤45)≈0.5＋0.5×0.997 3≈0.998 7，所以“江先生上班迟到”还是有可能发生的，所以选项A不合理；对于选项B，若江先生乘坐地铁上班，则其乘坐地铁的时间不大于48分钟才不会迟到，因为P(44－4＜Z≤44＋4)≈0.954 5，所以P(Z≤48)≈0.5＋0.954 5×0.5≈0.977 3，所以“江先生8：02出门，乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.977 3，若江先生乘坐公交上班，则其乘坐公交的时间不大于41分钟才不会迟到，因为P(33－8＜Z≤33＋8)≈0.954 5，所以P(Z≤41)≈0.5＋0.954 5×0.5≈0.977 3，所以“江先生8：02出门，乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.977 3，二者可能性一样，所以选项B不合理；对于选项C，若江先生乘坐公交上班，则其乘坐公交的时间不大于37分钟才不会迟到，因为P(33－4＜Z≤33＋4)≈0.682 7，所以P(Z≤37)≈0.5＋0.5×0.682 7≈0.841 4，所以“江先生8：06出门，乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.841 4，若江先生乘坐地铁上班，则其乘坐地铁的时间不大于44分钟才不会迟到，因为P(Z≤44)＝0.5，所以“江先生8：06出门，乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.5，又0.841 4＞0.5，所以选项C是合理的；对于选项D，江先生乘坐地铁的时间不大于38分钟才不会迟到，因为P(44－6<Z≤44＋6)≈0.997 3，所以P(Z≤38)≈(1－0.997 3)×0.5≈0.001 4，所以“江先生8：12出门，乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性非常小，所以选项D合理．所以选CD．]19．[多选](2020·菏泽模拟)2019年9月25日，阿里巴巴在杭州云栖大会上正式对外发布了含光800AI芯片，在业界标准的ResNet-50测试中，含光800推理性能达到78 563 IPS，比目前业界最好的AI芯片性能高4倍；能效比500 IPS/W，是第二名的3.3倍．在国内集成电路产业发展中，集成电路设计产业始终是国内集成电路产业中最具发展活力的领域，增长也最为迅速．如图是2014－2018年中国集成电路设计产业的销售额(亿元)及其增速(%)的统计图，则下面结论中正确的是()中国集成电路设计产业销售情况A．2014－2018年，中国集成电路设计产业的销售额逐年增加B．2014－2017年，中国集成电路设计产业的销售额增速逐年下降C．2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率比2015年的高D．2018年与2014年相比，中国集成电路设计产业销售额的增长率约为140.5% AD[对于A，由题图可得2014－2018年中国集成电路设计产业的销售额逐年增加，所以A正确；对于B，2017年中国集成电路设计产业的销售额增速比2016年高，所以B错误；对于C，2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率(约21.5%)低于2015年的增长率(约26.5%)，所以C错误；对于D，2018年与2014年相比，中国集成电路设计产业销售额的增长率为2 519.3－1 047.41 047.4×100%≈140.5%，所以D正确．故选AD．]20．(2020·江西红色七校第一次联考)(x－2y＋1)(2x＋y)6展开式中x4y3的系数为________．－320[(x－2y＋1)(2x＋y)6＝x(2x＋y)6－2y(2x＋y)6＋(2x＋y)6，(2x＋y)6展开式的通项T r＋1＝C r6(2x)6－r(y)r＝C r626－r x6－r y r，x(2x＋y)6展开式中x4y3的系数为C3623＝160；－2y(2x＋y)6展开式中x4y3的系数为－2×C2624＝－480；(2x＋y)6展开式中无x4y3项．综上(x－2y＋1)(2x＋y)6展开式中x4y3的系数为－320.]21．(2020·惠州第二次调研)某工厂为了解产品的情况，随机抽取了100个产品作为样本．若样本数据x1，x2，…，x100的方差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x100－1的方差为________．32[样本数据x1，x2，…，x100的方差为8，所以数据2x1－1，2x2－1，…，2x100－1的方差为22×8＝32.]22．(2020·成都模拟)某公司一种新产品的销售额y与宣传费用x之间的关系如下表：已知销售额y与宣传费用x具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为y＝bx ＋9，则b ^的值为________．6.5 [由表，得x ＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ＝10＋15＋20＋30＋355＝22，由22＝2b ^＋9，解得b ^＝6.5.]。

2019-2020学年高中数学 11.2排列与组合训练 理 新人教A 版一、选择题（每小题6分，共36分）1.不等式x x 288A 6A -⨯＜的解集为( ) (A)［2，8］ （B ）［2，6］ （C ）（7，12） （D ）{8}2.（2012·沈阳模拟）用1，2，3，4，5，6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1，3，5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为( )(A)18 (B)108 (C)216 (D)4323.（2012·青岛模拟）某小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) (A)36种 (B)42种 (C)48种 (D)54种4.（2012·泉州模拟）如图，三行三列的方阵中有9个数a ij (i=1,2,3;j =1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )（A ）37 （B ）47 （C ）114 （D ）13145.（2012·杭州模拟）为了迎接建国63周年国庆，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( ) （A ）1 205秒 (B)1 200秒 (C)1 195秒 （D)1 190秒6.(预测题)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是( )(A)60 (B)48 (C)42 (D)36 二、填空题（每小题6分，共18分）7.(2012·厦门模拟)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有_____种.8.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有_______种.9.(2012·宁德模拟)将5名志愿者分配到3个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案数为_____.三、解答题（每小题15分，共30分）10.(易错题)有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒子内． （1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ （3）恰有一个盒子内放2个球，有多少种放法？ （4）恰有两个盒子不放球，有多少种放法？11.（1）3人坐在有8个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则有多少种不同的坐法？111213212223313233a a a a a a a a a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭（2）有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？（3）现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？【探究创新】（16分）由四个不同的数字1，2，4，x 组成无重复数字的三位数. （1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？ (2)若x=9，其中能被3整除的共有多少个？ (3)若x=0，其中的偶数共有多少个？(4)若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x.答案解析1.【解析】选D.()()8!8!6,8x !10x !⨯--＜∴x 2-19x+84＜0,又x ≤8,x-2≥0, ∴7＜x ≤8,x ∈N *,即x=8.2.【解析】选D.第一步，先将1，3，5分成两组，共2232C A 种方法；第二步，将2，4，6排成一排，共33A 种方法；第三步：将两组奇数插到三个偶数形成的四个空位，共有24A 种方法.综上共有22323234C A A A =3×2×6×12=432（种）.3.【解题指南】根据甲的位置分类讨论.【解析】选B.分两类：第一类：甲排在第一位，共有44A =24种排法；第二类：甲排在第二位，共有1333A A ⨯=18种排法，所以共有编排方案24+18=42（种），故选B.4.【解析】选D.从9个中选3个有39C 种选法，要使三个数均不同行且不同列共有111321C C C 种选法，所以，所求概率为11132139C C C 131.C 14-=5.【解题指南】先用排列算出闪烁个数55A =120，还要考虑每个闪烁间隔的时间.【解析】选C.由题知闪烁的总个数为55A =120.每次闪烁时间为5秒，知总闪烁时间为5×120=600 s ，又每两次闪烁之间的间隔为5 s ，故闪烁间隔总时间为5×(120-1)=595 s ，故总时间为600+595=1 195 s. 6.【解析】选B.方法一：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A （A 共有2232C A 6⨯=种不同排法），剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A 、B 之间，此时共有6×2＝12种排法（A 左B 右和A 右B 左），最后在排好的三个元素的4个空位插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法.方法二：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A （A 共有2232C A 6⨯=种不同排法），剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A 、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有22226A A 24⨯⨯=种排法；第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生B 和男生甲只有一种排法，此时共有226A 12⨯＝种排法； 第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法.此时共有226A 12⨯＝种排法；三类之和为24＋12＋12＝48种.7.【解析】首先在4门功课中选1门，甲乙两人所选相同，有14C 种选法，然后在其余的3门中选2门，分给甲、乙各1门，有23A 种选法， ∴共有23A 14C =24种不同选法.答案：248.【解题指南】根据甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,分情况讨论.【解析】根据题意，可以分情况讨论：① 甲、丙同去，则乙不去，有2454C A 240⨯=种；②甲、丙同不去，乙去，有3454C A 240⨯=种；③甲、乙、丙都不去，有45A =120种.故共有600种不同的选派方案．答案：6009.【解析】分配方案分两种情况：(1)两个场馆各2人，另一场馆1人,共有223533C C A 902=种分配方案. (2)两个场馆各1人，另一场馆3人，则有3353C A =60种分配方案.故有90+60＝150种分配方案.答案：150 10.【解析】（1）一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有44=256种．（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个有14C 种可能，再将4个球分成2，1，1的三组，有24C 种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法12124432C C C A 144⨯⨯⨯=种．（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒子内放2个球”与“恰有一个盒子不放球”是一种情况.故也有144种放法.（4）先从四个盒子中任意拿走两个盒子有24C 种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有3142C C ⨯种放法；第二类：有24C 种放法.因此共有312424C C C 14⨯+=种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有24C 1484⨯=种．11.【解题指南】对于问题（1）可理解成3个人不相邻问题，采用插空法；对于问题（2）属定序问题，可进行除法；对于问题（3）属“分名额”问题，可分类求解或用隔板法求解. 【解析】（1）由已知有5个座位是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人往5个空座的空隙插，由于这5个空座位之间有4个空，故共有34A 24=种坐法. （2）不考虑条件总的排法数为55A 120=种. 则甲在乙的右边的排法数为551A 602⨯=种. （3）方法一：每个学校一个名额，则分去7个,剩余3个名额分到7所学校的方法数就是所求的分配方法种数. 若3个名额分到1所学校有7种方法，若分配到2所学校有27C 242⨯=种方法，若分配到3所学校有37C 35=种方法. 故共有7+42+35=84种方法.方法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块隔板插在9个间隔中，共有69C 84=种不同方法.所以名额分配的方法共有84种.【方法技巧】用“隔板法”解决相同元素分配问题：相同元素的分配问题可以在其之间插入隔板来达到分配的目的.它强调的是分配之后每组元素的个数，而与每一组包含哪几个元素无关.【例】将9个完全相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子内，要求每个盒子内的球数不小于其编号数，问有多少种不同的放法.【解析】先将编号为2的盒子放入1个球，编号为3的盒子内放入2个球，然后只需将余下的6个球分成3组，每组至少有1个球即可.6个球有5个空隙，将两块隔板插入这些空隙中有25C =10种方法，故有10种不同的放法. 【探究创新】【解析】(1)5必在个位，所以能被5整除的三位数共有23A =6个.(2)∵各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除， ∴这种三位数只能由2,4，9或1,2，9排列组成， ∴共有2×33A =12个.(3)偶数数字有3个，个位数必是一个偶数，同时0不能在百位，可分两类考虑：①0在个位的，有23A =6个.②个位是2或4的，有111222A A A ⨯⨯=8个，∴这种偶数共有6+8=14个.（4）显然x ≠0，∵1,2,4,x 在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现1233A A ⨯次， ∴这样的数字之和是(1+2+4+x)×1233A A ⨯，即(1+2+4+x)×1233A A ⨯=252，∴7+x=14,∴x=7.。

【优化指导】2013高考数学总复习 10.2排列、组合及其应用课时演练 人教版1．式子m m ＋m ＋m ＋20！可表示为( ) A ．A 20m ＋20 B ．C 20m ＋20C ．21C 20m ＋20 D ．21C 21m ＋202．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )A ．6B ．12C ．18D ．24解析：先在后三位中选两个位置填两个数字“0”有C 23种填法，再排另两张卡片有A 22种排法，再决定用数字“9”还是“6”有两种可能，所以共可排成2C 23A 22＝12个四位数． 答案：B3．(2011安徽高考)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．8 解析：由A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，又S ⊆A 且S ∩B ≠∅，∴S 中至少含4,5,6中之一，而1,2,3可含可不含．当含4,5,6其中之一时种数为：C 13(C 03＋C 13＋C 23＋C 33)＝24，当含4,5,6其中之二时种数为：C 23(C 03＋C 13＋C 23＋C 33)＝24，当含4,5,6其中之三时种数为：C 33(C 03＋C 13＋C 23＋C 33)＝8，∴总个数为24＋24＋8＝56.答案：B4．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )A ．1205秒B ．1200秒C．1195秒D．1190秒解析：由于有5个彩灯，并且每个彩灯能闪亮5种颜色，因此一共有A55＝120(个)不同的闪烁．由于相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，因此所有不同的闪烁的时间间隔共为119×5＝595(秒)．又因为每一个闪烁时，每个彩灯持续时间为1秒，因此有120×5＝600(秒)闪亮彩灯的时间，故满足题意的时间至少为595＋600＝1195(秒)．故选C.答案：C5．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为( ) A．120 B．240C．360 D．720解析：先将7个球按标号放入到有相同标号的7个盒子中有C710种方法，再将余下的3个球放入不同标号的盒子中共有2种方法．由分步计数原理，共有2C710＝240种不同方法．答案：B6．5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也一个比一个矮，则这样的排法有( )A．6种B．12种C．8种D．16种解析：最高的站在中间，再排左边2人，有C24种排法；剩下自然只有一种排法，故共有C24种，即C24＝6种．故选A.答案：A7．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同坐法的种数是________．解析：分类讨论法：①前排1个，后排1个，有2C18·C112＝192种；②后排坐2个(不相邻)，有2×(10＋9＋8＋…＋1)＝110种；③前排坐2个，有2×(6＋5＋…＋1)＋2＝44种．所以总共有192＋110＋44＝346种．答案：3468．从8个不同的数中选出5个数构成函数f(x)(x∈{1,2,3,4,5})的值域，如果8个不同的数中的A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为________．解析：自变量有5个不同取值，函数值也是5个不同的数，因此自变量与函数值只能一一对应，不会出现多对一的情形．因为A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，故先从余下的6个数中选出与5对应的函数值，有C16种方法，再从其余7个数中选出4个排列即可，故不同选法共有C16A47种．答案：50409．一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有________．解析：将四个排成一排共A44种排法；产生5个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共A25种放法；由分步计数原理满足条件的坐法共A44·A25＝480(种)．答案：48010．(1)从0,1,2,3，…，9这10个数字中选出4个奇数，2个偶数，可组成多少个无重复数字的六位数？(2)由0,7,8，x四个不同的数字组成无重复数字的四位数，若所有这些四位数的各数字之和是432，求x的值．解：(1)偶数中有0，而0不能在首位，因此要分取出的偶数中有0与没有0两种情况．当取出的偶数含0时，能组成的六位数的个数为：C15C45C14A55；当取出的偶数中不含0时，能组成的六位数的个数为：C45C24A66，故总的六位数个数为C15C45C14A55＋C45C24A66＝33 600(个)．(2)由0,7,8，x可组成的四位数有A44－A33＝18(个)，故每个数都出现18次，所以18·(0＋7＋8＋x)＝432.故x＝9.11．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)至少有1名女运动员；(2)既要有队长，又要有女运动员．解：(1)法一(直接法)：“至少1名女运动员”包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得有C14·C46＋C24·C36＋C34·C26＋C44·C16＝246种选法．法二(间接法)：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246种选法．(2)当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法．其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时共有C48－C45种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191种选法．12．如图所示，把一个圆分成n(n≥2)个扇形，依次记为S1、S2、…、S n，每一个扇形可用红、黄、蓝三种颜色中的任一种涂色，但要求相邻扇形的颜色互不相同，问一共有多少种涂色方法？。

"【优化探究】2015高考数学 10-2 排列与组合提素能高效训练新人教A版理 "[A组基础演练·能力提升]一、选择题1．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )A．24种B．60种C．90种D．120种解析：可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A35＝60(种)．答案： B2．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种解析：对于4个数之和为偶数，可分三类，即4个数均为偶数，2个数为偶数2个数为奇数，4个数均为奇数，因此不同的取法共有C44＋C24C25＋C45＝66种．答案：D3．(2014年武昌调研)将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有( )A．12种B．24种C．36种D．48种解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有C24种分法，再将这三组分配到三所学校有A33种分法，由分步乘法计数原理，知一共有C24·A33＝36种不同分配方案．答案：C4．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A．10种 B．15种C．20种 D．30种解析：采用分类讨论法求解．由题意知比赛场数至少为3场，至多为5场．当为3场时，情况为甲或乙连赢3场，共2种．当为4场时，若甲赢，则前3场中甲赢2场，最后一场甲赢，共有C23＝3(种)情况；同理，若乙赢也有3种情况．共有6种情况．当为5场时，前4场，甲、乙各赢2场，最后1场胜出的人赢，共有2C24＝12(种)情况．由上综合知，共有20种情况．答案：C5．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐标有( ) A．36种B．48种C．72种D．96种解析：恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先将三人排列，然后插空．从而共A33·A24＝72种排坐法．答案：C6．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是( )A．258 B．306C．336 D．296解析：根据题意，每级台阶最多站2人，所以，分两类：第一类，有2人站在同一级台阶，共有C23A27种不同的站法；第二类，一级台阶站1人，共有A37种不同的站法．根据分类加法计数原理，得共有C23A27＋A37＝336(种)不同的站法．答案：C二、填空题7．(2014年长春模拟)用1,2,3, 4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为________．解析： A22·C12A22＝8种．答案：88．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)解析：按C的位置分类计算．①当C在第一或第六位时，有A55＝120种排法；②当C在第二或每五位时，有A24·A33＝72种排法；③当C在第三或第四位时，有A22A33＋A23A33＝48种排法．所以共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法．答案：4809．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答) 解析：分类计算：①5人中3名骨科，1名外科，1名内科，有C33·C14C15＝20(种)选法；②5人中1名骨科，3名外科，1名内科，有C13C34C15＝60(种)选法；③5人中1名骨科，1名外科，3名内科，有C13C14C35＝120(种)选法；④5人中2名骨科，2名外科，1名内科，有C23C24C15＝90(种)选法；⑤5人中2名骨科，1名外科，2名内科，有C23C14C25＝120(种)选法；⑥5人中1名骨科，2名外科，2名内科，有C13C24C25＝180(种)选法；所以总的选法数为20＋60＋120＋90＋120＋180＝590(种)．答案：590三、解答题10．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？解析：可先分组再分配，根据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有C23A24种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有A34种方案．由分类加法计数原理可知共有C23A24＋A34＝60种方案．11．7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．解析：(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C310＝120种选法．(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C510＝252种选法．(3)全部选法有C512种，A，B全当选有C310种，故A，B不全当选有C512－C310＝672种选法．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行．所以有C512－C15·C47－C57＝596种选法．(5)分三步进行：第1步，选1男1女分别担任两个职务有C17·C15种选法．第2步，选2男1女补足5人有C26·C14种选法．第3步，为这3人安排工作有A33方法．由分步乘法计数原理，共有C17C15·C26C14·A33＝12 600种选法．12．(能力提升)已知10件不同产品中共有4件次品，现对它们进行一一测试，直至找到所有次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品的不同测试方法数有多少种？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数有多少种？解析：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同的测试方法A46A24A44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰找到最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有1件正品出现．所以共有不同测试方法C16C34A44＝576(种)．[B组因材施教·备选练习]1．某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位教师一天的课的所有排法有( )A．474种B．77种C．462种D．79种解析：首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A39＝504种排法，其中上午连排3节的有3A33＝18种，下午连排3节的有2A33＝12种，则这位教师一天的课程表的所有排法有504－18－12＝474种，故选A.答案：A2．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数字，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )A．120个B．80个C．40个D．20个解析：解法一可分两步：第1步，从6个数字中任取3个数字，有C36种不同的取法；第2步，将选出的3个数字中的最大数字排到十位上，其余2个数字有A22种不同的排法．根据分步乘法计数原理，共有C36A22＝40个不同的“伞数”．解法二可分四类：第1类，当十位数为6时，有A25个不同的“伞数”；第2类，当十位数为5时，有A24个不同的“伞数”；第3类，当十位数为4时，有A23个不同的“伞数”；第4类，当十位数为3时，有A22个不同的“伞数”；根据分类加法计数原理，共有A25＋A24＋A23＋A22＝40个不同的“伞数”．答案：C3．(2014年呼和浩特模拟)奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1、3、5、7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)．第二步：安排另外5人，可在2、4、6、8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．∴安排这8人的方式有24×120＝2 880(种)．答案：2 880。

§10.2排列与组合考试要求1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题．知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列组合作为一组2.排列数与组合数(1)排列数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，用符号A m n 表示．(2)组合数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，用符号C m n 表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！ n －m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．(2)C mn ＝A m n A mm ＝n ！m ！ n －m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地，C 0n ＝1性质(1)0！＝1；A n n ＝n ！.(2)C m n ＝C n －m n ；C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n常用结论1．排列数、组合数常用公式(1)A m n ＝(n －m ＋1)A m －1n .(2)A m n ＝n A m －1n －1.(3)(n ＋1)！－n ！＝n ·n ！.(4)k C k n ＝n C k －1n －1.(5)C m n ＋C m n －1＋…＋C m m ＋1＋C m m ＝C m ＋1n ＋1.2．解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价转化．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(3)若组合式C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立．(×)(4)A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m )．(×)教材改编题1．A 24＋C 37等于()A ．35B ．47C ．45D ．57答案B解析A 24＋C 37＝4×3＋7×6×53×2×1＝47.2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是()A ．18B ．24C ．30D ．36答案C 解析选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C 24C 13＝18(种)，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C 14C 23＝12(种)，故3名学生中男、女生都有的选法有C 24C 13＋C 14C 23＝30(种)．3．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种．答案36解析第一步，先从4名学生中任取两人组成一组，与剩下2人分成三组，有C 24＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三地，则有A 33＝6(种)不同的方法．故共有6×6＝36(种)不同的安排方案.题型一排列问题例1(1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为()A．576B．288C．144D．48答案B解析根据题意，雪上技巧项目必须由女队员展示，有2种情况，剩下3人表演其他3个项目，有A33＝6(种)情况，而4个项目之间的排法有A44＝24(种)顺序，则有2×6×24＝288(种)展示方案．(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4310的四位偶数．答案110解析①当千位上排1或3时，符合题意的共有A12A13A24个．②当千位上排2时，符合题意的共有A12A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A13个符合题意，形如41××的偶数有A12A13个符合题意，形如43××的偶数只有4310和4302这两个数符合题意．故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)符合题意．思维升华对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．跟踪训练1(1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有()A．18种B．36种C．72种D．108种答案B解析先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放A，B，共有A23种放法；再排剩余的3道程序，共有A33种放法．则共有A23·A33＝36(种)放法．(2)8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法．答案5760解析先排甲、乙，有A24种排法，再排丙，有A14种排法，其余5人有A55种排法，故不同的排法共有A24A14A55＝5760(种)．题型二组合问题例2(1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有()A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法B．如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法C．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法答案CD解析如果4人全部为男生，选法有C46＝15(种)，故A错误；如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有C26＝15(种)，女生的选法有C24＝6(种)，则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90(种)，B错误；如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有C28＝28(种)，故C正确；在10人中任选4人，有C410＝210(种)，甲、乙都不在其中的选法有C48＝70(种)，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210－70＝140(种)，故D正确．(2)在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有() A．80种B．180种C．260种D．420种答案C解析根据题意，分2种情况讨论，①选出的3人中有1名国外记者、2名国内记者，则有C25C14A22＝80(种)选法，②选出的3人中有2名国外记者、1名国内记者，则有C15C24A33＝180(种)选法，由分类加法计数原理可知，共有80＋180＝260(种)选法．思维升华组合问题常有以下两类题型(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练2(1)从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选派种数为()A．12B．24C．34D．60答案C解析由题可知，选派4人去的总的选派种数为C47＝35，选派4人全部是男生的选派种数为1，所以至少有一名女生参加的不同的选派种数为35－1＝34.(2)如图，从上往下读(不能跳读，即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念)，构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为________．答案252解析构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法需10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从上往左下角方向读，余下5步是从上往右下角方向读，故共有不同读法C510＝252(种)．题型三排列与组合的综合问题命题点1相邻、相间问题例3(多选)有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是()A．全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种排法C．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种排法答案BCD解析对于A，将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有A44种排法，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有A44种排法，故共有A44·A44＝576(种)排法，故A错误；对于B，先排女生，将4名女生全排列，有A44种排法，再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种排法，故共有A44·A35＝1440(种)排法，故B正确；对于C ，任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有C 37×2×1＝70(种)，故C 正确；对于D ，若甲站在排尾，则有A 66种排法，若甲不站在排尾，则有A 15A 15A 55种排法，故共有A 66＋A 15A 15A 55＝3720(种)排法，故D 正确．命题点2定序问题例4有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有________种.答案840解析7名学生的排列共有A 77种，其中女生的排列共有A 33种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有A 77A 33＝A 47＝840(种)不同的排法．命题点3分组、分配问题例5(1)(2023·岳阳模拟)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为()A ．60B ．90C ．120D ．150答案D解析满足条件的分法可分为两类，第一类，一人三张，另两人各一张，符合条件的分法有C 35A 33种，即60种，第二类，其中一人一张，另两人各两张，符合条件的分法有C 25C 23A 22A 33种，即90种，由分类加法计数原理可得，满足条件的不同分法种数为150.(2)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人．若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()A ．20种B ．36种C ．72种D ．84种答案C解析将6名航天员每个舱安排2人开展实验的所有安排方法数为C 26C 24C 22，其中甲、乙两人被安排在同一个舱内做实验的安排方法数为C 22·C 24C 22A 22·A 33，所以满足条件的不同的安排方案数为C 26C 24C 22－C 22·C 24C 22A 22·A 33＝90－18＝72.思维升华求解排列、组合应用问题的常用方法捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列跟踪训练3(1)(多选)已知A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有()A ．若A ，B 不相邻，共有72种排法B ．若A 不站在最左边，B 不站在最右边，有72种排法C ．若A 在B 右边有60种排法D ．若A ，B 两人站在一起有48种排法答案ACD解析对于A ，若A ，B 不相邻，共有A 33A 24＝72(种)排法，故A 正确；对于B ，若A 不站在最左边，B 不站在最右边，利用间接法有A 55－2A 44＋A 33＝78(种)排法，故B 错误；对于C ，若A 在B 右边有A 55A 22＝60(种)排法，故C 正确；对于D ，若A ，B 两人站在一起有A 22A 44＝48(种)排法，故D 正确．(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，同类节目不相邻的排法种数是()A ．72B ．120C ．144D ．168答案B解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品，小品，相声”、“小品，相声，小品”和“相声，小品，小品”．对于第一种情况，形式为“□小品歌舞小品□相声□”，有A 22C 13A 23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品□相声□小品□”，有A 22A 34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．(3)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)答案1680解析先选出3人，有C39种选法，再从剩下的6人中选出3人，有C36种选法，最后剩下的3人为一组，有C33种选法．由分步乘法计数原理以及每A33中只能算一种不同的分组方法，可知不同的安排方案共有C39C36C33A33·A33＝1680(种)．课时精练1．若A3m＝6C4m，则m等于()A．9B．8C．7D．6答案C解析因为A3m＝6C4m，所以m(m－1)(m－2)＝6×m m－1 m－2 m－34×3×2×1，即1＝m－34，解得m＝7.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为()A．10B．20C．30D．40答案B解析将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C35C22A22＝20(种)．3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A．1440种B．960种C．720种D．480种答案B解析先将5名志愿者排好，有A55种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中，先将2位老人排好，有A22种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法．所以共有不同的排法4A22A55＝960(种)．4．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有()A．98个B．105个C．112个D．210个答案D解析当个位数字与百位数字为0,8时，有A28A22个；当个位数字与百位数字为1,9时，有A17A17A22个，所以个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的共有A28A22＋A17A17A22＝210(个)．5．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A．15B．20C．30D．42答案C解析四个篮球分成三组有C24种分法，三组篮球进行全排列有A33种分法，标号为1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A33种分法，所以有C24A33－A33＝36－6＝30(种)分法．6．(2023·济宁模拟)2022年7月19日，亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，为了办好这届体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛前志愿者招募，此举得到在杭大学生的积极参与．某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为()A．144B．150C．168D．192答案D解析由题可得，参与志愿者服务的项目人数为2,1,1,1，若没有限制则共有C25·A44＝240(种)安排方法；当两个女同学在一起时有A44＝24(种)安排方法；当男同学小王、女同学大雅在一起时有A44＝24(种)方法，所以按题设要求不同的安排方法种数为240－24－24＝192.7.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为()A．208B．204C．200D．196答案C解析任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C34；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C33；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C33，所以可以构成三角形的组数为C312－3C34－8C33＝200.8．(多选)现有4个编号为1,2,3,4的不同的球和4个编号为1,2,3,4的不同的盒子，把球全部放入盒子内．则下列说法正确的是()A．恰有1个盒子不放球，共有72种放法B．每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种C．有2个盒子内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种D．恰有2个盒子不放球，共有84种放法答案BCD解析对于A，恰有1个盒子不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，则C14C24A33＝144≠72，故A不正确；对于B，编号为1的球有C13种放法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，共有1＋C12＝3(种)，即3×3＝9(种)，故B正确；对于C，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有C24C24＝36(种)，故C正确；对于D，恰有2个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3,1或2,2两种情况，放入盒子，共有C24(C14C12＋C24)＝6×14＝84(种)，故D正确．9．(2022·大同模拟)在5G，AI，MR等技术的支持下，新闻媒体推出诸多创新融媒产品，将5G技术引入新闻生产，有效扩展了新闻的应用场景，云采访、云访谈、云直播等云端对话成为报道的新常态．现有4名新闻媒体记者采用云采访、云访谈、云直播三种方式进行报道，每种方式至少有一名记者采用，则不同的安排方法种数为________．答案36解析依题意将4名新闻媒体记者分成三组，共有C24种方法﹐再将其进行全排列共有A33种方法﹐由分步乘法计数原理得，共有C24A33＝36(种)安排方法．10．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是________．答案216解析根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有C24C12C11·A33种分法，A22然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有A23种分法，所以共有C24C12C11A22·A33·A23＝216(种)不同的分配方案．11．(2023·苏州模拟)阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女孩和2名男孩共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男孩打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法共有()A．144种B．216种C．288种D．432种答案C解析第一步：先将3名母亲全排列，共有A33种排法；第二步：将3名女孩“捆绑”在一起，共有A33种排法；第三步：将“捆绑”在一起的3名女孩作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有A12种排法；第四步：首先将2名男孩之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男孩插入由女孩与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有C12C12种排法．所以不同的排法共有A33A33A12C12C12＝288(种)．12．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．答案96解析先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C34＝4(种)分法，再对应到4个人，有A44＝24(种)分法，则共有4×24＝96(种)分法．13．(2022·济南模拟)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有()A．36种B．44种C．48种D．54种答案B解析由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有A22A23种方法．(2)当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排在第一个位置，剩余三项任务排在后三个位置，有A12A33种方法；②D，F两项任务中一项排在第一个位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有A12A22种方法．(3)当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F 中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有C12C12A22A22种方法，根据分类加法计数原理知，不同的执行方案共有A22A23＋A12A33＋A12A22＋C12C12A22A22＝44(种)．14．某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________．答案10解析设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A3n2种．恰有2辆共享汽车相邻，可先－把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n －2)个间隔中，故有A23A2n－2种．因为这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，所以A3n2＝A23A2n－2，解得n＝10.－。