全国高中数学竞赛二试模拟训练题(17)

全国高中数学联赛训练题(1)第一试一、填空题1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,11a =且21n n n a a a ++=-.若20002000a =,则2010a =_____.3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____.4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2k k e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.7.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,则在四面体表面上与点A 距离为2的点所形成的曲线长度之和为_____.8.由ABC ∆内的2007个点122007,,,P P P 及顶点,,A B C 共2010个点所构成的所有三角形,将ABC ∆分 割成互不重叠的三角形个数最多为_____.二、解答题9.设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++,且123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤,求证:123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.第二试一、设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC ∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、已知周长为1的i i i ABC ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c ,并记2224i i i i i i i p a b c a bc =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.全国高中数学联赛训练题(1)参考答案:令3xt =,[0,3]x ∈则3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而'()3(3)(3)g t t t =-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.:设2a t =,则由21n n n a a a ++=-依次写出数列{}n a 的前8项为:1,,1,1,,1,1,t t t t t - - - - .于是易知:该数列是以周期6T =的一个周期数列,故由20002000a =可得20006333222000a a a t ⨯+====,从而2010335661120001999a aa t ⨯===-=-=-,即20101999a =-. :由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x AB ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.:由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4.:由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2c x a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.:设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k ka c =,2k k k k ce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n n n a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.:如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=.:设三角形最多有n 个,则根据角度相等可得20072n πππ⨯+=⨯,故2200714015n =⨯+=.: 令1122(,),(,)M x y N x y ,设点(,0)A a ,则由(,0)2p F 得12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实根,即是说12,x x 是方程22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-. 故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.:当(0,)2πθ∈时,函数s i n y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数t a n y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有s i n c o s s i n c o s θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.:设123123a a a b b b p ++=++=,122331122331a a a a a a bb b b b b q ++=++=,且123a a a r =,123'b b b r =, 则123,,a a a 是函数32()f x x px qx r =-+-的零点,123,,b b b 是函数32()'g x x px qx r =-+-的零点.不妨设123123,a a a b b b ≤≤ ≤≤,则由123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤知11a b ≤. 而1()0f a =,1111213()()()()0g a a b a b a b =---≤,故11()()g a f a ≤,即3232111111'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-,故3232333333'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-, 即33()()g a f a ≤,也即是33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=.若33a b >,则313233()()()0a b a b a b --->,这与33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=矛盾! 所以有123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.:由西姆松定理知,,P Q R 共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有DAC DPR DPQ ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PRDB DA DP PR BA BC DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅.从而PR QR =的充要条件是DA BABC =.又由角平分线的性质得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. :由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,即可得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=.2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. :由640p q r s +++=,及,,,p q r s 是不同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故332(1)26402p q r s p q s qs q s +++=++=-++=,即有(32)(34)3857719q s ++==⨯⨯于是得3419,3272s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====. :所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.第二步说明26n =是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中 王全 710061 wangquan1978@。

加试模拟训练题（17）一、设 ABCD 是梯形， AB ∥CD ，在其两腰 ,AD BC 上别离存在点 ,P Q ，使得 ,APB CPD AQB CQD ∠=∠∠=∠，证明点 ,P Q 到梯形两对角线的交点的距离相等。

二、已知),0(,,∞+∈c b a ，且1=++c b a ，求证：++-21)13(a a a ++-21)13(b b b .01)13(2≥+-c c c 3、 在由18个队参加的足球循环赛中，彼此之间已胜过8轮，即每一个队都与8个不同的队进行过竞赛．证明：必然能找出三个队彼此之间至今尚未进行过一次竞赛．4、证明不存在正整数n ，使2n 2+1，3n 2+1，6n 2+1都是完全平方数。

加试模拟训练题（17）一、设 ABCD 是梯形， AB ∥CD ，在其两腰 ,AD BC 上别离存在点 ,P Q ，使得 ,APB CPD AQB CQD ∠=∠∠=∠，证明点 ,P Q 到梯形两对角线的交点的距离相等。

（20届全俄） 证明 设APB ∆与CPD ∆的外接圆交于点1Q ，那么有 ()()11180180180CQ P BQ P CDP BAP ∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒，因此点1Q 在 BC 上。

又因为11 CQ D CPD APB AQ B ∠=∠=∠=∠，因此1Q Q =。

设APB ∆与CPD ∆的外接圆半径别离为12,R R ，APB α∠=，那么11222sin 2sin R R AB CD R R αα==，因此 AC 与BD 的交点O 是 APB ∆的外接圆与CPD ∆的外接圆的位似中心，设APB ∆与CPD ∆的外接圆的圆心别离为12,O O ，那么O 在12O O 上，且12O O 是PQ 的中垂线，于是有OP OQ =。

二、已知),0(,,∞+∈c b a ，且1=++c b a ，求证：++-21)13(a a a ++-21)13(b b b .01)13(2≥+-c c c 证明：构造函数21)(xx x f +=，易知)(x f 在)1,0(上为增函数，因此对任意)1,0(∈x ，有 0)1031)(31(2≥-+-x x x ，那么),13(1031)13(2-≥+-x x x x 再别离令c b a x ,,=，代入上式，相加得3、 在由18个队参加的足球循环赛中，彼此之间已胜过8轮，即每一个队都与8个不同的队进行过竞赛．证明：必然能找出三个队彼此之间至今尚未进行过一次竞赛．【证】 从某队A 开始考虑，由已知在前八轮竞赛中它与8个队竞赛，与9个队未胜过．而在这未赛的9个队中必然有两个队彼此没有赛间的竞赛最多只能安排4场(一个队轮空)，故在前8轮中，最多只赛32场．因此必然有两队彼此没有胜过，设为B 、C ．那么，A 、B 、C 三队在前8轮中彼此没有胜过一场．4、证明不存在正整数n ，使2n 2+1，3n 2+1，6n 2+1都是完全平方数。

全国高中数学联赛模拟试题(三)第一试一、选择题(共36分)1. 化简cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7的值为 ( )A.－1B.1C.－12D.122. S n 和T n 分别是等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，且对任意的自然数n 都满足S n T n ＝7n ＋44n ＋27，那么a 11b 11＝ ( )A.43B.74C.32D.7871 3. 直线xcos θ＋y ＋m ＝0(式中θ是△ABC 的最大角)，则此直线的倾斜角变化范围是( )A.(－arctan 12，π4)B.[0，π4)∪(2π3，π)C.[0，π4]D.[0，π4]∪[π－arctan 12，π]4. 设实数m ，n ，x ，y 满足m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b ，其中a ，b 为正常数且a ≠b ，那么mx＋ny 的最大值为 ( )A.a ＋b 2B.abC.2ab a ＋bD.a 2＋b 225. 如图，平面α中有△ABC 和△A 1B 1C 1分别在直线m 的两侧，它们与m 无公共点，并且关于m 成轴对称，现将α沿m 折成一个直二面角，则A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1六个点可以确定的平面个数为 ( ) A.14 B.11 C.17 D.凸n边形的各边为直径作圆，使这个凸n 边形必能被这n个圆面所覆盖，则n 的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题(共54分)6. 已知0＜x ＜π2，log sinx cosx 与log cosx tanx 的首数均为零，尾数和为1，则x ＝_________.7. 设＝n 21a a a 222+++ ，其中a 1，a 2，……，a n 是两两不等的非负整数，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝___________.8. 已知不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤6的解集为{x|a ≤x ≤b}，其中0＜a ＜b，则b ＝___________.9.已知f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb，且f(－1)＝－2，f(x)≥2x对一切x∈R都成立，则a＋b＝_____________.10.正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为25，AB＝8，A1B1＝4，则异面直线A1B与B1C的距离为____.11.方程(x2－x－1)x＋2＝1的解集为_________________.三、解答题(共计60分)12.(设f(x)＝(1＋x＋x2)n＝c0＋c1x＋c2x2＋……＋c2n x2n，则c0＋c3＋c6＋……＝c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……＝3n－1.13.(已知满足不等式lg(x2)＞lg(a－x)＋1的整数x只有一个，试求常数a的取值范围.14.(设y＝f(x)是定义在R上的实函数，而且满足条件：对任意的a，b∈R，有f[af(b)]＝ab，试求|f()|.第二试一、(50分)如图，D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且∠FDE ＝∠A ，∠DEF ＝∠B ，又设△AFE ，△BDF 和△DEF 均为锐角三角形，他们的垂心分别为H 1，H 2，H 3.求证：(1)∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；(2)△H 1H 2H 3≌△DEF.二、(50分)设C 0，C 1，C 2，……是坐标平面上的一族圆(周)，其定义如下：(1)C 0是单位圆x 2＋y 2＝1；(2)任取n ∈Z 且n ≥0，圆C n ＋1位于上半平面y ≥0内及C n 的上方，与C n 外切并且与双曲线x 2－y 2＝1相切于两点，C n 的半径记为r n (n ∈Z 且n ≥0) (1)证明：r n ∈Z ； (2)求r n .三、(50分)称自然数为“完全数”，如果它等于自己的所有(不包括自己)的正约数的和，例如，6＝1＋2＋3，如果大于6的“完全数”可以被3整除，证明，它一定可以被9整除.C全国高中数学联赛模拟试题(三)参考答案 第一试一、选择题 1. Ccos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7＝∑∑==π+π=π61k e 61k )]7k 2sin i 7k 2(cos [R 217k 2cos 21令z ＝cos 2π7＋isin 2π7，于是z 7＝1则上式＝12(z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6)＝……＝－122. Aa 11b 11＝21a 1121b 11＝S 21T 21＝7×21＋44×21＋27＝43 3. Dθ∈[π3，π)，cos θ∈(－1，12]，则斜率k ∈[－12，1)4. B由柯西不等式ab ＝(m 2＋n 2)(x 2＋y 2)≥(mx ＋ny)2，当mx ＝ny 时取等号，所以mx ＋ny ≤ab5. B三点确定一个平面，但需除去三组四点共面重复的个数，共确定平面个数为3436C 3C -＋3＝11个6. B注意到：当且仅当∠C ≥90°时，△ABC 能被以AB 为直径的圆覆盖.从而易证n ≤4，当n ＝4时，正方形满足条件. 二、填空题 7.arcsin5－12； log sinx cosx ＋log cosx tanx ＝1 ⇒ log sinx cosx ＝12∴ sinx ＝cos 2x ∴ sin 2＋sinx －1＝0 ∴ sinx ＝5－12(负值舍去) 8.44；＝210＋29＋28＋27＋26＋249.4；分情况讨论得：a ＝43，b ＝410.110；f(－1)＝1＋lgb －(2＋lga)＝－2∴ lga ＝lgb ＋1，而(lga)2－4lgb ≤0∴ (lgb －1)2≤0 ∴ lgb ＝1 ∴ b ＝10，a ＝100 11.4105；过B 1作A 1B 的平行线交AB 于E ，转化为求B 点到平面B 1CE 的距离. 12.{－2，－1，0，2}若x 2－x －1＝1，则x ＝2，－1若x 2－x －1＝－1且x ＋2为偶数，得x ＝0若x ＋2＝0且x 2－x －1≠0得x ＝－2 三、13．令ω＝－12＋32i ，则有f ⑴＝c 0＋c 1＋c 2＋c 4＋c 5＋……＋c 2n ＝3n…………………①f(ω)＝c 0＋ωc 1＋ω2c 2＋c 3＋ωc 4＋ω2c 5＋……＋ω2nc 2n ＝0…………………②f(ω2)＝c 0＋ω2c 1＋ωc 2＋c 3＋ω2c 4＋ωc 5＋……＋ω4nc 2n ＝0…………………③①＋②＋③得3(c 0＋c 3＋c 6＋……)＝3n，∴ c 0＋c 3＋c 6＋……＝3n －1.②－①得c 1＋c 4＋c 7＋……＝c 2＋c 5＋c 8＋……于是c 1＋c 4＋c 7＋......＝c 2＋c 5＋c 8＋......＝c 0＋c 3＋c 6＋ (3)，14．∵ x 2＞0，∴ |x|≤1，∴ x ＝－1或0或1x ＝－1时，lg15＞lg(a ＋1)＋1，∴ －1＜a ＜12x ＝0时，lgga ＋1 ∴ 0＜a ＜2x ＝1时，lg15＞lg(a －1)＋l ∴ 0＜a ＜52又因为满足条件的整数x 只有一个，∴ a 的取值范围是(－1，0]∪[12，1]∪[2，52)15．令a ＝1，则f(f(b))＝b ，∴ f(f(x))＝x∴ f(f(f 2(x)))＝f 2(x)∴ f(f(f 2(a)))＝f 2(a)再令a ＝f(b)，则f(f 2(b)＝bf(b)∴ f(f(f 2(b)))＝f(bf(b))＝b 2.∴ f(f(f 2(a)))＝a 2.∴ f 2(a)＝a 2， ∴ |f(a)|＝|a| ∴ f()＝第二试一、⑴∵ H 1为△AEF 的垂心，∴ ∠EH 1F ＝180°－∠A ＝∠B ＋∠C∠H 2DH 3＝180°－∠H 2DB －∠H 3DC ＝180°－(90°－∠B)－(90°－∠C)＝∠B ＋∠C ∴ ∠EH 1F ＝∠H 2DH 3⑵连结FH 2，EH 3，则FH 2⊥BD ，EH 3⊥BC∴ FH 2∥EH 3 由⑴中所证∠EH 1F ＋∠EOF ＝180° ⇒ E ，D ，F ，H 1四点共圆.同理，E ，D ，H 1，H 2四点共圆，H 1，D ，F ，H 3四点共圆，E ，D ，F ，H 1，H 2，H 3六点共圆. 二圆内接四边形EH 2H 3F 中，EH 2∥FH 3， ∴ EF ＝H 2H 3，同理，DE ＝H 1H 3，DF ＝H 1H 2， ∴ △H 1H 2H 3≌△DEF.二、⑴由对称性可知r n 的圆心在y 轴上，设r n 的方程为x 2＋(y －s n )2＝r n 2，其中s n ＝r 0＋2(r 1＋r 2＋……＋r n －1)＋r n .将x 2＝y 2＋1代入其中得 y 2＋1＋y 2＋s n 2－2ys n －r n 2＝0△＝4s n 28S n 2＋8r n 2－8＝0 ⇒ 2r n 2＝S n 2＋2 从而易得r n ＝6r n －1－r n －2，∵ r 0＝1，r 1＝3，∴ 对任意n ∈N ，有r n ∈N (2)由特征根方程可得r n ＝A(3＋22)n＋B(3－22)n，将r 0＝1，r 1＝3代入其中，得r n ＝12[(3＋22)n ＋(3－22)n]三、设“完全数”等于3n ，其中n 不是3的倍数，于是3n 的所有正约数(包括它自己)可以分为若干个形如d 和3d 的“数对”，其中d 不可被3整除，从而3n 的所有正约数的和(它等于6n)是4的倍数，因此是2的倍数.我们注意到，此时32n ，n ，12n 和1是3n的互不相同的正约数，但它们的和等于3n ＋1＞3n ，从而3n 不可能是“完全数”，得到矛盾.。

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题17 其它综合类竞赛题 （50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2019·全国·高三竞赛）计算:10112k k nn k C k +=⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑=_______.【答案】113112n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】 【详解】注意到，()01nnk kn k C x x ==+∑.两边积分得()01112200nn k kn k C x dx x dx ==+∑ 11011311212k n k nn k C k n ++=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑. 故答案为113112n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦2．（2019·全国·高三竞赛）设1234123,241,1,5,4,13P P P k P k +（，，）（，，）（，）（，）是空间中体积为1的一个四面体的四个顶点.则k ＝_______. 【答案】-2或1. 【解析】 【详解】四面体体积为()()62276k k ⇒---=1k ⇒=+1805n n a a n n N ∈＝，）或-2. 故答案为-2或1.3．（2019·全国·高三竞赛）给定函数())1f x x ≤.则函数()f x 与反函数()1f x -交点的坐标为______.【答案】()1,0，()0,1，⎝⎭. 【解析】 【详解】())1f x x ≤的反函数为()()1210f x x x -=-≥.联立方程21,y y x ⎧⎪⎨=-⎪⎩①② 由式①得()()42212211y x x x x =-+=---.把式①、②代入上式，得422y y y =-，即()()4220y y y y ---=，于是，()()2110y y y y -+-=.解得10y =，11x =；21y =，20x =；3y =（舍去负值），3x =. 故答案为()1,0，()0,1，⎝⎭. 4．（2019·全国·高三竞赛）把函数()ax bf x cx d+=+的系数按其自然位置排成两行两列，记为二阶矩阵A a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭．其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素．又记()()()()af x b f f x cf x d+=+()()()()22abc x ab bd ac cd x bc d +++=+++的系数所组成的二阶矩阵22a ab ab bd ac cd bc d ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭为A 的平方，即222A A A a bc ab bd ac cd bc d ⎛⎫++=⨯= ⎪++⎝⎭．观察二阶矩阵乘法的规律，写出1112322122A A A aa a a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭中的元素21a =________．【答案】222a c acd bc cd +++ 【解析】【详解】根据二阶矩阵乘法的规律，知111232122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭中的ij a 应是2A 中第i 行的元素分别乘以A 中第j 列对应元素的代数和，则()()222221a ac cd a bc d c a c acd bccd =+++=+++．故答案为222a c acd bc cd +++5．（2018·江西·高三竞赛）a 、b 为正整数，满足1112018a b -=，则所有正整数对(),a b 的个数为______． 【答案】4 【解析】 【详解】 由1112018a b -=，知12018a ≤<，且201820180ab a b +-=， 于是()()22220182018201821009a b -+==⋅，而020182018a <-<，20182018b +>． 因1009为质数，数2221009⋅所有可能的分解式为212018⨯，()2221009⨯⨯，241009⨯，()100941009⨯⨯．其中每一个分解式对应于(),a b 的一个解，故其解的个数为4． 故答案为46．（2018·湖南·高三竞赛）如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设A n 是第n 次挖去的小三角形面积之和（如1A 是第1次挖去的中间小三角形面积，2A 是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n 次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.3314n⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】 【详解】3而第k 次一共挖去13k -个小三角形，1334k k A -⎫=⎪⎝⎭.因此，可以采用等比级数求和公式，得到答案为1111333334134414nk n n n k k k A -==⎛⎫- ⎪⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭===-⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑. 3314n⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦7．（2018·湖南·高三竞赛）已知n 为正整数，若22310616n n n n +-+-是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____. 【答案】811【解析】 【详解】因为()()()()225231061682n n n n n n n n +-+-=--+-，当21n -=±时，若()()8,55,31n n n ++=+=，则22310616n n n n +---是一个既约分数，故当3n =时，该分数是既约分数. 所以这个分数为811. 故答案为8118．（2019·全国·高三竞赛）设k 为常数.若对一切()0,1x y ∈、，有111k k k k k k k k x y x y x y x y+-≤+-，则实数k 的取值范围是____. 【答案】](,0.-∞ 【解析】 【详解】注意到()()111111111k k k kk kk k k k k k x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+-≤+-⇔--≥-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.k k x y k ⇔≥⇔≤故答案为](,0-∞9．（2019·全国·高三竞赛）定义数列{}n a ：()34n a n n N +=+∈，令()1,n n n d a a +=.则n d 的最大值为_________. 【答案】433. 【解析】 【详解】由()()334,14n d n n +++，知()324,331n d n n n +++.则()()3234331n d n n n n ⎡⎤-++++⎣⎦，且()()222331312,331n n d n n d n n n n ++⇒+-++()()2213,331213,332n n d n n n d n n ⇒+++⇒+- ()()233233213433n n d n n d ⎡⎤⇒--++⇒⎣⎦.所以，()max 433n d ≤. 易知，()210211,433a a =. 从而，()max 433n d =. 故答案为43310．（2019·全国·高三竞赛）如图，设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD ，其中，18AB =，6CD =．若圆台的高为8，PQ 是下底面与AB 夹角为60︒的直径，则异面直线PC 、DQ 所成角的余弦值为________．【答案】1127【解析】 【详解】如图，设异面直线PC 、QD 所成角为α，向量PC 、DQ 的夹角为θ，以下底面中心O 为原点、AB 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系.则()3,0,8C 、()3,0,8D -、993,,022P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、993,,022Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 于是393,,822PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，393,,822QD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 因此1PC QD ⋅=.而127PC =，127QD =， 故1cos 127θ=. 从而，1cos cos 127αθ==. 故答案为112711．（2018·甘肃·高三竞赛）设,x y 满足24,1,2 2.x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩若z ax y =+只在点()2,0A 处取得最小值，则实数a 的取值范围是______．【答案】122a -<<【解析】 【详解】画出平面区域如下：由数形结合可得122a -<-<，即122a -<<．12．（2018·全国·高三竞赛）若函数()1y f x =+的反函数为()11y f x -=+，且()13999f =，则满足()f n n =的最小正整数n =______． 【答案】2000 【解析】 【详解】由条件得()()1111f x f x --+-=-，()113999f -=．从而，()()11399939981ff ---=-，()()11399839971f f ---=-，…，()()1111f k f k --+-=-． 相加得()()()111399940004000f k k f k k f k k ---=-⇒=-⇒-=．令40000k -=．则2000k =．13．（2018·全国·高三竞赛）方程()4sin 1cos 33x x +=______． 【答案】()π2π3x k k =+∈Z 【解析】 【详解】原方程两边平方得()()()22222716sin 1cos 161cos 12cos cos x x x x x =+=-++4316cos 32cos 32cos 110x x x ⇒+-+=()()222cos 14cos 12cos 110x x x ⇒-++=()1πcos 2π23x x k k Z ⇒=⇒=+∈． 14．（2018·全国·高三竞赛）已知,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，一元二次方程()()22222tansec 2tan sin cos 20x x θθθθθ++--=有重根.则cos θ的值是______.【解析】 【详解】由于方程有重根，故0∆=，即()()22222tan sin cos2tan sec 0θθθθθ-++=. 设2cos d θ=.则()21111210d d d d d dd --⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故()22310d d -+=，解得d =因此，cos θ. 15．（2018·全国·高三竞赛）设()f x 定义在+N 上，其值域B +⊆N ，且对任意n +∈N ，都有()()1f n f n +>，及()()3f f n n =．则()()1011f f +=________．【答案】39 【解析】 【详解】由()()13f f =，知()()()()13f f f f =． 若()11f =，则()()()3111f f f ===，矛盾． 因此，()()()()21213f f f f ≤<≤=．则()23f =，()12f =，()()()326f f f ==，()()()639f f f ==．又()()()()634569f f f f =<<<=，故()47f =，()58f =，()()()7412f f f ==，()()()12721f f f ==．因为()()()9618f f f ==，()()()()189********f f f f =<<<=，所以，()1019f =，()1120f =．因此，()()101139f f +=．16．（2018·全国·高三竞赛）已知()221f x x x =++，存在实数t ，使得当[]1,x m ∈时，()f x t x +≤恒成立.则m 的最大值是______. 【答案】4 【解析】 【详解】把()f x 的图像向右平移t -个单位，数形结合得m 的最大值是(),y x y f x t =⎧⎨=+⎩两个交点横坐标的较大者.由()11f t +=，解得1,3t t =-=-.再由()3f x x -=，得1x =（舍去），4x =. 故m 的最大值是4.17．（2018·全国·高三竞赛）直角坐标平面上两曲线3y x =与3x y =围成的图形的面积为______． 【答案】1． 【解析】 【详解】因为两曲线分别关于原点对称，从而，只需计算两曲线在第一象限围成的图形的面积A ．当1x >时，3x >；当01x <<时，3x <． 所以，两曲线在第一象限有唯一的交点()1,1．又)13A x dx =⎰441303311|44442x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以，两曲线围成的图形的面积为21A =．18．（2019·全国·高三竞赛）已知关于x 的方程()()2201000x a x a a +-+=≠的两根均为整数．则实数a 的值为______． 【答案】4024 【解析】 【详解】设方程的根为1x 、()212x x x ≤．由韦达定理得()122010x x a +=--，12x x a =．则12122010x x x x ++=，即()()12112011x x ++=．又因为2011为质数，所以，120,2010x x =⎧⎨=⎩或122012,2.x x =-⎧⎨=-⎩故0a =（舍）或4024a =．19．（2021·全国·高三竞赛）若65432()2f x x x x x =--+-+f 的值为_______．【解析】 【分析】 【详解】研究二次方程210x --=和210x -+=，即(0x x =和(0x x =．因此0x422()(1)(1)(f x x x x x x =--+-++故f =20．（2019·全国·高三竞赛）不等式()332211x x+-≥的解集为________．【答案】{}0,1 【解析】【详解】y =，则不等式化为221x y +=，331x y +≥. 故330x y ≤+()()2211x x y y =-+-()()()()221111y x x y =--+--()()()()221111y x x y =------()()()112x y x y =---++.因为2221x y x =+≥，所以1x ≤. 同理，1y ≤.故10x ±≥，10y ±≥，20x y ++≥.若20x y ++=，110x y +=+=，不满足221x y +=.因此，20x y ++>. 于是，不等式化为()()110x y --≤. 但10x -≥，10y -≥， 故()()110x y --=. 解得()()(),1,0,0,1x y =.经检验，0x =或1都是原不等式的解. 故原不等式的解集为{}0,1. 故答案为{}0,121．（2019·全国·高三竞赛）已知函数26y x ax a =+-与x 轴有两个不同的交点()()12,0,0x x 、，并且()()()()121238311+1616aa x x a x a x -=-+----，则a 的值是______．【答案】12 【解析】 【详解】由23640a a ∆+>，得0a >或19a <-,根据题意知()()2126y x ax a x x x x =+-=--则()()()1211117x x f a -+=-=-，()()121616a x a x ---- ()1617f a a =-=-于是，38317a a a-=-- 解得12a =或0a =（舍去）. 22．（2019·全国·高三竞赛）设实常数k 使得方程222250x y xy x y k +-+++=在平面直角坐标系xOy 中表示两条相交的直线,交点为P.若点A 、B 分别在这两条直线上,且||1PA PB ==,则PA PB ⋅=_____. 【答案】45±【解析】 【详解】由题设知，关于x y 、的二次多项式222250x y xy x y k +-+++=可以分解为两个一次因式的乘积.因()()2222522x y xy x y x y +-=-+-+，所以，()()2222522x y xy x y k x y a x y b +-+++=-++-++，其中，a b 、为待定的常数. 将上式展开后比较对应项的系数得 ,21,21ab k a b b a =--=+= .解得1,1,1a b k ==-=-.再由210,210,x y x y -++=⎧⎨-+-=⎩得两直线斜率为121,22k k ==，交点()1,1P .设两直线的夹角为θ（θ为锐角）.则 212134tan ,cos 145k k k k θθ-===+.故PA PB ⋅cos PA PB θ=⋅或()4cos 180cos 5PA PB PA PB θθ⋅︒-=±⋅=±.故答案为45±23．（2019·全国·高三竞赛）已知a 、b 、c 是一个直角三角形三边之长，且对大于2的自然数n ，成立()()22222n n n n n n a b c a b c ++=++．则n =______． 【答案】4 【解析】 【详解】设2nx a =，2n y b =，2nz c =，有 ()()()()22222444222022n n n n n na b c a b c x y z x y z =++-++=++-++444222222222x y z x y x z y z =++---()()()()x y z x y z y z x z x y =-+++-+-+-． （*）不妨设c 为斜边，则z x >，z y >．可知0x y z ++>，0y z x +->，0z x y +->． ∴（*）式等价于z x y =+，即221nna b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．另一方面，222a b c +=成立，或221a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为01a c <<，01b c <<，x xa b y c c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为单调减函数，仅在一个x 点处取1y =，因此，22n=，4n =． 故答案为424．（2018·山东·高三竞赛）已知a ，b ∈Z ，且a b +为方程20x ax b ++=的一个根，则b 的最大可能值为______． 【答案】9 【解析】 【详解】由题设()()20a b a a b b ++++=，则22230a ab b b +++=．因为a ，b Z ∈，则()222988b b b b b ∆=-+=-必为完全平方数．设()228b b m m N -=∈，则()22416b m --=，()()4416b m b m -+--=．所以4842b m b m -+=⎧⎨--=⎩或4444b m b m -+=⎧⎨--=⎩或4248b m b m -+=-⎧⎨--=-⎩或4444b m b m -+=-⎧⎨--=-⎩．解得9b =，8，1-,0．所以b 的最大可能值为9.25．（2018·贵州·高三竞赛）方程组()33266x y xy x y ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩的实数解为___________.【答案】13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】 【详解】因为()33266x y xy x y ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，所以()()333326188x y x y xy x y +=+++=-=，即2x y +=，代入()6xy x y +=-，得3xy =-.由23x y xy +=⎧⎨=-⎩ ⇒ 13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩. 26．（2018·全国·高三竞赛）已知αβγ、、为方程3256780x x x -+-=的三个不同的根，则()()()222222ααββββγγγγαα++++++的值为_________．【答案】1679-625【解析】 【详解】注意到，()()()()()()()()()3333332222225-5-5-++++++=5-5-5-αββγγαααββββγγγγαααββγγα⋅⋅()()()()()()()()()2222226--7-6--7-6--7-=5-5-5-αβαββγβγγαγααββγγα⋅⋅()()()36+-76+-76+-7=5αββγγα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦36666--76--76--7555=5γαβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 3111-6-6-6555=5αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 336111=---5303030αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 记()()()()5f x x x x αβγ=--- 则()()()32222224611679530625f ααββββγγγγαα⎛⎫++++++==-⎪⎝⎭. 27．（2018·全国·高三竞赛）使得方程280x ax a ++=①只有整数解的实数a 的个数为______. 【答案】8 【解析】 【详解】设方程①有整数解()m n m n ≤、.则,8m n a mn a +=-=. 于是，()()8864m n ++=.解得，()()()()()()()()(),72,9,40,10,24,12,16,16,7,56,6,24,4,8,0,0m n =-----------. 对应的()81,50,36,32,49,18,4,0,a m n =-+=---共8个.28．（2018·全国·高三竞赛）某人排版一个三角形,该三角形有一个内角为60°,该角的两边边长分别为x 和9.这个人排版时错把长x 的边排成长1x +,但发现其他两边的长度没变.则x =______.【答案】4 【解析】 【详解】 由12cos609x +=︒,得4x =.29．（2018·全国·高三竞赛）已知()3233f x x x x =-+在区间[],a b ()b a >上的值域为[],a b ．则满足条件的区间[],a b 为________． 【答案】[]0,1，[]0,2，[]1,2 【解析】 【详解】有()()2236331f x x x x =-+=-，知除1x =外，()0f x '>．故()f x 在(),-∞+∞上为增函数．依题意函数在x a =取最小值a ，在x b =取最大值b ，则()f a a =，()f b b =， 这表明a 、b 是方程()f x x =的两个根．注意到3233x x x x -+= ⇔ ()()120x x x --=．解得10x =，21x =，32x =． 故所求的区间为[]0,1，[]0,2，[]1,2．30．（2018·全国·高三竞赛）30 ！末尾最后一个不为零的数字为________. 【答案】8 【解析】 【详解】注意到2614742230!2357111317192329=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 则1914422730!23711131719232910=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ()1914422237137939mod10≡⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯.因为4437、模10均余1，且42n 模10余6，所以，()3730! 28mod1010≡≡31．（2018·全国·高三竞赛）平面区域()223,0,,sin sin sin sin 24S x y x y x x y y π⎧⎫⎡⎤=∈+⋅+≤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭、的面积等于______. 【答案】26π【解析】 【详解】由()()()()()222sin sin sin sin 22cos cos cos cos x x y y x y x y x y x y -⋅+=-+⋅-++--()()31132cos cos 2222x y x y ⎡⎤⎡⎤=-++⋅--≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 得()()11cos cos 022x y x y ⎡⎤⎡⎤++⋅--≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即2,33x y x y ππ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或2,3.3x y x y ππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩结合x 、0,2y π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得到如图的平面区域，其面积为2222126236ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.32．（2018·上海·高二竞赛）分解因式：()()()111xy x y xy ++++=_______. 【答案】(xy+x+1)(xy+y+1) 【解析】 【详解】xy =(xy+1)(xy+x+y+1)+xy=(xy+1)((xy+1)+(x+y))+xy=(xy+1)^2+(x+y)(xy+1)+xy =((xy+1)+x)((xy+1)+y)=(xy+x+1)(xy+y+1)33．（2021·全国·高三竞赛）若一个分数ab（a ，b 均为正整数）化为小数后，小数部分出现了连续的“2020”，例如20.02020299=，就称它为“好数”.则“好数”的分母的第二小的可能值为________. 【答案】193 【解析】 【分析】 【详解】我们总可以将一个“好数”适当乘一个10的方幂并减去其整数部分后使之成为一个小数点后前四位是“2020”的真分数，于是0.20200.2021ab≤<， 进而1115005476a b ≤-<，即1515005476a b b -≤<. 若51a b -=，则4765500b <≤且()4mod5b ≡，所以99b =.若52a b -=，则95251000b <≤且()3mod5b ≡，所以193,198b =. 若53a b -≥，则51428,286b b >≥. 另一方面，390.20207193≈是“好数”，因此b 的第二小的可能值为193. 故答案为：193. 二、双空题(共0分)34．（2018·全国·高三竞赛）阅读下面一道题目的证明，指出其中的一处错误．题目：平面上有六个点，任何三点都是三边互不相等三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边．证明：第一步，对已知的六个点作两两连线，可以得出15条边，记为1a ，2a ，…，15a .第二步，由于任何三点组成的都是“三边互不相等的三角形”，因此，15条边互不相等不妨设1215a a a <<<.第三步，由于“任何三点都是三边互不相等三角形的顶点”，因此，任取三条边都可以组成三角形，则1a 、2a 、3a 组成的三角形的最长边3a ，也是3a 、4a 、5a 组成的三角形的最短边,命题得证.这三步中，第______步有错误，理由是______. 【答案】 二或三 第三步有错误，理由是：不能推出“任取三条边都可以组成三角形”或第二步有错误，理由是：不能推出1215a a a <<<.【解析】 【详解】不能推出“任取三条边都可以组成三角形”，比如，从六个点1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A 中，记1A 、2A 的连线为i a ，记3A 、4A 的连线为j a ，记5A 、6A 的连线为k a （i 、j 、k 互不相等），则i a 、j a 、k a 未必能组成三角形，即使组成三角形也不是本题所说的“三点两两连线”所成的三角形．第二步也有错误，理由是三点组成的“单个三角形”内部边长互不相等， 不能推出“多个三角形”之间边长互不相等，因而，“1215a a a <<<”中的“<”也可能有“≤”．说明：虽然证明有错误，但结论是成立的，可把六个点“两两连线”的每个三角形最长边染成红色，剩下的边染成蓝色，然后证明必有同色三角形，又因为每个三角形都有红边，所以，同色三角形必有三边同红色的三角形，这个三角形的最短边便又是另一个三角形的最长边． 三、解答题(共0分)35．（2019·全国·高三竞赛）在直角坐标系中，有三只青蛙A 、B 、C ，其起始位置分别为()()(0004,62,3,6A B C 、，首先，A 以B 为中心跳到其对称点上，然后，B 以C 为中心跳到其对称点上，接着，C 以A 为中心跳到其对称点上，……依此类推．设A 、B 、C 第n 次跳到的位置分别为n n n A B C 、、，201120112011A B C ∆的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ．证明:222201730017a b c S ++>⨯ 【答案】见解析 【解析】 【详解】设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c .则由題意知1n n 1n n 1n n+1222n n n A A B B B C C C A++++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ ①②③ 由式①得 ()n 1n 12n B A A +=+ ④ 将式④代入式②得 ()n 2n+1124n n C A A A +=++ ⑤ 将式⑤代人式③并整理得 3n+21350n n n A A A A +++++=.其特征方程为323510λλλ+-+=，即()()21410λλλ-+-=.解得0121,22λλλ==-=-则n nn 12A D E F λλ=++ ⑥在式④、⑤、⑥中令n=0，得()()(12124,6112,32211622D E F D E F D E F λλλλ⎧⎪++=⎪++⎪+⋅+⋅=⎨⎪--⎪+⋅+⋅=+⎪⎩24 解得()()()0,0,1,2,3,4D E F ===.故222n n n a b c ++222n n n n n n B C C A A B =-+-+-()()()222n+2n+21n+111123442n n n n A A A A A A A +=-+-+- ()()222n+1n+1n+111=22n n A A A A A +++- ()222n+1n+11=2n A A A ++又每只青蛙跳后，三只青蛙所组成的三角形面积不变，即000A B C S S =∆=. 而()22n n 212225221nn n A EE F λλλ=+>+-，故 22222201*********a b c A A ++=+()40222514222>++)4022142S >+()(20111509S =+201130017S >⨯36．（2019·全国·高三竞赛）设异面直线a 、b 成60︒角，它们的公垂线段为EF ，且2EF =，线段AB 的长为4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动.求线段AB 中点P 的轨迹方程.【答案】2219x y +=【解析】 【详解】易知点P 在过EF 的中点O ，且与a 、b 平行的平面α内.如图所示，设a 、b 在α内的射影分别为a '、b '，点A 、B 在α内的射影分别为A '、B '，则60A OB ∠=''︒，且A B ''的中点即为AB 的中点P .又4AB =，2EF =，则23A B ''=.于是，问题转化为求定线段A B ''的两个端点分别在a '、b '上移动时，其中点P 的轨迹. 如图所示，以A OB ∠''的平分线为x 轴，O 为原点，建立直角坐标系.不失一般性，令OB n '=，OA m '=.在A OB ∆''中，22 12m n mn +-=. ①设A B ''的中点P 的坐标为(),x y ，则()()232,2,32212.232m x y x m n n x y y m n ⎧⎧=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎪⎪⎩⎩代入式①，化简整理得2219x y +=. ②这里得到的是椭圆②夹在A OB ∠''内的弧.在另外3种情形中，同样可得到椭圆②的另3段弧.综合得点P 的轨迹是椭圆2219x y +=.37．（2018·全国·高三竞赛）求所有三次多项式()P x ，使得对一切0x y ≥、，均有()()()P x y P x P y +≥+.【答案】见解析【解析】 【详解】设()()320P x ax bx cx d a =+++≠.则原不等式等价于()32axy x y bxy d ++≥（任意的x 、y 0≥） ① 令x 、y 充分大，得0a >. 令x=y=0，得0d ≤. 在这样的条件下，式①又可写成()()22332ax y axy d b xy ++-≥-（任意的x 、y 0≥） ②当2b -，即328243b a d ≥时，由基本不等式得式②成立.反之，当2b -时.若0d <，则取x 、y 使2233ax y axy d ==-，即知式②不成立；若d=0时，则要求对任意整数x 、y ，有()32a x y b +≥-，故0b ≥，矛盾.综上，所求三项多项式为()32P x ax bx cx d =+++.其中，0a >，0d ≤，328243b a d ≥ 38．（2018·全国·高三竞赛）已知多项式()()()()4322275311735f x ax a x a x a x a =+-+-+-+-，其中，a 为实数．证明：对任意的实数a ，方程()0f x =总有一个相同的实数根． 【答案】见解析 【解析】 【详解】注意到，()()()432322757323115f x a x x x x x x x =-+-++-+-()()()32221335x a x x x x x ⎡⎤=--+-+-+⎣⎦ ()()()()2221315x a x x x x ⎡⎤=--++-+⎣⎦．从而，对任意的实数a ，方程()0f x =总有根0.5x =．39．（2018·全国·高三竞赛）给定正整数n ,求1122nk k n =⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑,其中,[]x 表示不超过实数x 的最大整数. 【答案】0 【解析】 【详解】令11110222m m m m n a a a a --=++++.其中,0m a ≠.此时,122m m n +≤< ,所以,[]2log n m =.若2k m ≥+,则1212102222m k m n ++-<-=，此时1122k n ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦.若1k m =+,则11110,22222k m n n +⎡⎫-=-∈⎪⎢⎣⎭，此时1022k n ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦.若k m =,则110111222222m m t m m m k t t a a n a a ---=⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑.若1k m ≤+,则1011221222m m m k tt k m t t k k t t k n a a a -----==⎡⎤⎡⎤-=-=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑. 则[]2log 11111111111121222222n m m m m t k m m t k k k k k k k k t k n n n a a a a ------=====⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-=-+=++- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑∑ 1111111121mtm m t km m t k t k k k a a a a -----=====-++-∑∑∑∑()()()111122211m mmtm t k t k a a a m --===-+-+--∑∑m211t t t a m n m ==--=--∑.故1112111122222222nm nk k m k k k k m n n n n +===+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑()()()()2101110nk m n m n m n m =+=--++-=-----=∑40．（2018·全国·高三竞赛）试求所有的正整数n 及实数,22x x ππ⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，使得tan n xcot x +.【答案】见解析 【解析】 【详解】由tan n xcot x((()tan cot tan cot n x x n x x Q +=++，①((tan cot tan cot 3n x x n n x x Q =++∈.②由式①知存有理数q，使得tan cot n x x q +=-由式②知(tan cot n x x Q +，即(0q Q Q q -⇒⇒=.故tan cot n x x +=-设tan x y =.则1ny y +=-210ny ⇒++=y ⇒=由ny Q +=，知2n =或3. 当2n =时，y =此时，x =或. 当3n =时，y =此时，arctan 6x π⎛==- ⎝⎭. 41．（2018·全国·高三竞赛）实数333111111i i i i i y x y x ======∑∑∑满足3211123ii y x x x x =+∑，试求()11,2,3ii y a i x ==的值. 【答案】0 【解析】 【详解】令331111i i i i a a x ====∑∑.于时，()()()()()()1111111211231123231213122331y y x a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -===+++++++++.故()()()222222123122331y a a x x x x x x x x x x x -=++++. 同理，()()()333323123122331y a a x x x x x x x x x x x -=++++，()()()333111112111231223310i i i i a a x y x x x x x x x x x x ===-==++++∑∑∑. 则211,)2y y p.42．（2018·全国·高三竞赛）已知非零实数a 、b 、c 、t 满足()2,1.a tb c b c t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩（1）求证：二次方程()()()22220cx c b c x b c b c +--+-=①必有实根，且2c b a --是方程的一个实根；（2）当15a =，7b =时，求c 、t . 【答案】（1）见解析；（2）1,2c t == 【解析】 【详解】（1）解法1：由()21b c t t =++，有()22441bc c t t =++ ()22223123c c t c =++≥，得二次方程的判别式()()()222224c b c c b c b c ∆=-++- ()22430b bc c =-≥.所以，二次方程①必有实根，把2x c b a =--代入方程①有左边()()222c c b a c b c =--+-⋅ ()()()222c b a b c b c ---+-()()()222c b a c c b a c b c ⎡⎤=----+-⎣⎦ ()()22b c b c ---()()()222ac c b a b c b c =----+- ()()()()22bt c c bt b c b c b c =++--+-()()()22222c b t b t b c c b c b c ⎡⎤=++--+-⎣⎦()()222b c t t b c c ⎡⎤=++-⎣⎦ ()()22b c b c -+-()()()()2222b b c b c c b c b c ⎡⎤=-+--+-⎣⎦()()()()22220b c b c b c b c =+--+-=.因此，2c b a --是方程①的一个实根．所以，二次方程①必有实根，且2c b a --是方程的一个实根．解法2：由()2,1a tb c b c t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩消去t 得21a c a c b c b b ⎡⎤--⎛⎫=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 故()()232b c b b a c a c ⎡⎤=+-+-⎣⎦()22232ca c b c a b c bc c =+-+-+.则()()()22220ca c b c a b c b c +--+-=.②.这表明，二次方程①有实根a .由根与系数的关系得方程的另一根为()22c c b x a c b a c-=-=--.因此，二次方程①必有实根，且2c b a --是方程的一个实根．说明：当0∆=时，43b c =，12t =-，58a c =，确实有两根相等528c b a c a --==.（2）把15a =，7b =代入式②整理得32373793430c c c -+-=.观察知方程的系数和为0，故有分解式()()21363430c c c --+=，但()223634318190c c c -+=-+>，得1c =.代入a bt c =+得a ct b -=15127-==. 43．（2018·全国·高三竞赛）设a 、b 为复数，01p ≤≤．求证：pppa b a b +≤+． 【答案】见解析 【解析】 【详解】对于0p =，1p =，不等式显然成立． 对于01p <<： 若0a b +≠，则1111pppppa b a b a b a b a ba ba ba b----+++=≤=+++++． ①若{}max ,a b a b +≥，则1111ppa b a--≤+，1111ppa bb--≤+．利用式①有11pp pa b a b a ba b--+≤+++ 11p pppa b a b ab--≤+=+．不等式成立．若{}max ,a b a b +<，则{}()max ,pp ppa b a b a b +≥>+．不等式也成立．最后，若0a b +=，则0p p pa b a b +≥=+．不等式也成立． 44．（2019·全国·高三竞赛）已知非常数的整系数多项式()f x 满足()()()()32324432211xx x f x x x x f x +++=-+-+.①证明：对所有正整数()8n n ≥，()f n 至少有五个不同的质因数. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 式①等价于()()()()()()2231111x x x f x x x x f x +++=--++. ②在式②中分别令3x =-1. 则()()210f f f f -====⎝⎭⎝⎭.再在式②中令2,0x =-.则()()100f f -==. 故2-、1-、0、1()0f x =的根.则 ()()()()()()22111f x x x x x x x g x =++--+， ③其中，()g x 为实系数多项式.由式③得()()()()()()2132111f x x x x x x x g x +=++++++. ④将式③、④代入式②得()()1g x g x =+. 设()0nkk k g x a x ==∑.则()01nnkkk k k k a x a x ===+∑∑.考虑两边1n -次项系数知110n n n n a na a na --=+⇒=. 所以，()g x 为常数c .故()()()()()22111f x c x x x x x x =++---，其中，常数{}\0c Z ∈.首先证明：()()()()2118n n n n n ++-≥至少有四个不同的质因数.否则，()()()211n n n n ++-至多有三个不同的质因数2、3、()2,3p p ≠.但1n -、n 、1n +、2n +两两之间的最大公因数为1、2、3，其中两个奇数互质，则为3a 、()bp a b N +∈、.从而，两个偶数为12c +、()23dc d N +⨯∈、.故231c d -=.解得()()(),2,1,3,2c d =.因此，这两个偶数为8、6或16、18.前者不符，后者得到另两个奇数为15、17或17、19，均导致矛盾.其次，假设存在某个正整数()8n n ≥，使得21n n -+的每个质因数都是()()()211n n n n ++-的质因数，且()()()211n n n n ++-恰有四个质因数，否则，结论成立.显然，()()21,11n n n n -+-=.由()()()()21123237n n n n n n -+=+-+=+-+,知()21,11n n n -++=或3，()21,21nn n -++=或7.故()2137a b n n a b N +-+=∈、.但9|21)n n -+（不能，故{}0,1a ∈，则0b >. 由假设知2n +、1n +、n 、1n -的质因数为2、3、7、()2,3,7p p ≠.则()72n +. 考虑其中两个偶数、两个奇数的质因数集合A 、B .显然，2A ∈，2B ≥，{}3A B ⋂⊆. 故2A =或3A =且3A ∈.若{}2,3A =或{}2,7，则两个偶数为12c +、23d ⨯或12c +、27d ⨯，得231c d -=或271c d-=.故这两个偶数为16、18或16、14.前者得7 |（n+2）不能；后者使()()()211n n n n ++-有质因数2、3、5、7及13(或17），矛盾. 若{}2,A p =，则2n +为奇数，1n -为偶数. 由33|A ∈⇒(1)3|n -⇒(2)n -.故()27c n +=，3d n =，且{}21,1en n ∈+- ()2,3c d e N c d e +∈≥≥、、、. 从而，()()321,2,3d ed e -=⇒=.于是，9n =.则2117c n +=≠，矛盾.若{}2,3,7A =，则{}3,B p =，且2n +为偶数，()2,13n n +-=. 故()2372n ⨯⨯+.从而，2c n =，13d n -=，1e n p += (),3,2c d e N c d +∈≥≥、、.于是，()()231,2,1c dc d -=⇒=，矛盾.若{}2,3,A p =，则{}3,7B =，且2n +为奇数，()2,13n n +-=.故()372n ⨯+. 但(),21n n +=，则n 的奇质因数不是3、7，矛盾.45．（2019·贵州·高三竞赛）我们知道，目前最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个洞(或数字)，其相对两面之数字和必为七.显然，掷一次六面骰，只能产生六个数之一(正上面).现欲要求你设计一个“十进制骰”，使其掷一次能产生0~9这十个数之一，而且每个数字产生的可能性一样.请问：你能设计出这样的骰子吗?若能，请写出你的设计方案；若不能，写出理由.【答案】能，方案见解析 【解析】 【详解】因为不存在正十面体，所以直接产生“十进制骰”是办不到的. 但要实现“十进制骰”的要求，这样的骰子也是能设计的.即把骰子做成正二十面体，使其相对两面标同一个数字，这样0~9这十个数字就均匀分布在骰子上，当掷一次骰子时，最上面出现的数字必然是0~9这十个数字之一， 显然，每个数字出现的可能性一样故“个位骰”即为“二十面骰”.46．（2019·全国·高三竞赛）设二元函数()22,236z f x y x y y ==+-的定义域是(){}22,327,,D x y xy xy x y R =+≤∈.（1）求(),z f x y =（点(),x y ∈D ）的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得在空间直角坐标系O xyz -中，曲面(),z f x y =（点(),x y ∈D ）与另一个曲面()z xy a x y =+∈R 、相交. 【答案】(1) 81,29⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(2) 8126a -≥ 【解析】 【详解】（1）当0x =时，220,0y y ≤=，()(),0,00f x y f ==；当0x ≠时，22730y y x x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，即1302y y x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.解得132yx≤≤. 令y t x=，则3,yt y tx x ≤≤=，()222,326f x y t x x tx =+-()22326t x tx =+- ()2326x t x t ⎡⎤=+-⎣⎦先固定t ，让x 变化.显然，当x →-∞或+∞时，(),f x y →+∞. 当2332tx t =+时，(),f x y 取得最小值. ()22296,33232t f x y t t -=-+++ 368133229≥-+-+当且仅当239273,,322929t t x y tx t =====+时等号成立. 由以上讨论可知(),f x y 的取值范围是81,29⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.（2）曲面()()(),,z f x y x y D =∈与(),z xy a x y R =+∈相交⇔方程()()(),,f x y xy a x y D =+∈有实数解 ⇔ ()()22236,x y y xy a x y D +-=+∈有实数解(),x y2222236,132x t x tx tx a t ⎧+-=+⎪⇔⎨≤≤⎪⎩有实数解(),x t ()223260,132t t x tx a t ⎧-+--=⎪⇔⎨≤≤⎪⎩有实数解(),x t ()22364320,132t t t a t ⎧∆=+-+≥⎪⇔⎨≤≤⎪⎩有实数解t 229,32132t a t t t ⎧-≥⎪⎪-+⇔⎨⎪≤≤⎪⎩（显然2320t t -+>）， 221333322t a t t t -⎛⎫⇔≥--⋅≤≤ ⎪-+⎝⎭.令()2213322t g t t t t -⎛⎫=≤≤ ⎪-+⎝⎭. 欲求()g t 的最大值，只须考虑23t <≤这一情形（否则()0g t ≤，不可能是最大值）. 令2(01)t k k -=<≤，则()()()23222kg t k k =+-++211231112113kk k k k =-++⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 211231112113kk k k k ==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭21141131134k k ==⎛⎫⎡⎤++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎢⎥⎣⎦211261134≤=⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎣⎦0>，且关于k 严格递减）. 当且仅当1k =时，上式等号成立.故()g t 的最大值为126. 从而，()813326a g t -≥--≥.所以，a 的取值范围是8126a -≥.47．（2019·全国·高三竞赛）设直线与函数42y x x x =-+的图像恰有两个不同的公共点.求出所有这样的直线方程.【答案】1112y x ⎛=+ ⎝⎭【解析】 【详解】显然，直线x a =与函数42y x x x =-+的图像只有一个公共点.于是， 设直线方程为y px q =+.将其代入42y x x x =-+，得()4210x x p x q -+--=. ①方程①恰有两个不同实根，有如下3种情形：（1）()()()()4221x x p x q x u x v x Cx D -+--=--++，其中，u 、v 、C 、D R ∈，u v ≠，且24C D <.（2）()()()22421x x p x q x u x v -+--=--，其中，u 、v R ∈，且u v ≠. （3）()()()3421x x p x q x u x v -+--=--，其中，u 、v R ∈，且u v ≠.对于（1），可设()()()42221x x p x q x Ax B x Cx D -+--=++++，其中，24A B >，24C D <.展开比较系数得0A C +=，1AC B D ++=-，1BC AD p +=-，BD q =-. 由前两个方程得C A =-，21D A B =--，代入24A B >，24C D <，得 22244444B A C D A B <=<=--.所以，2844B A <-.故22221,12min ,24,4A A A AB A A ⎧-≤⎪⎧⎫-⎪<=⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩ 则3121p BC AD A AB A =--=++-，22q BD B B A B =-=+-.直线方程为()32221y A AB A x B B A B =++-++-，其中，实数A 、B 满足221min ,24A A B ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭. 比如，取0A =，则12B <-；取2B =-，则1p =，2q =.因此，直线方程为2y x =+.此时，方程①为()()22210x x -+=.对于（2），可设()()24221x x p x q x Ax B -+--=++，其中，24A B >.在（1）的方程组中令A C =，B D =，得20A =，221A B +=-，21AB p =-，2B q =-. 解得0A =，12B =-，1p =，14q =-.因此，直线方程为14y x =-.对于（3），展开比较系数得30u v +=，()231u uv +=-，3231u u v p +=-，2u v q =-.由前两个方程得3v u =-，()22331u u -=-.解得u =注意到，()()2141319163p u u v u u u =++=+-=-，341312q u v u =-==，于是，()1,112p q ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.此时，直线方程为1112y x ⎛=+ ⎝⎭. 48．（2018·全国·高三竞赛）已知12,,n x x x 为实数,且1i x ≥,对{}1,2,,x n =的子集{}12t ,,,A i i i =,定义()12t i i i S A x x x =+++.其中,规定()0S ∅=，问：从n 个这样的和中至多可以选出多少个,使得其中任何两个的差的绝对值都小于1? 【答案】n 2nC ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【详解】不妨设所有的0i x >.事实上,若有某个0i x <,则将i x 换作i x -,并将集合A 换作：{}()A A i i A =⋃∉'或{}()\A A i i A ='∈.故“和()S A ”变为()()S A S A x '=-,这样所有2n 个和均增加了i x -,任何两个“和”的差不变. 从而, 1i x ≥. 设12,,k A A A 是选出来的集合X 的子集,满足()()1i j S A S A -<.从而,必有各i A 互不包含.否则,设i j A A ⊆故()()()\1i j i j S A S A S A A -=≥.导出矛盾.由斯波那定理,知可选出的集合数n 2n C k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤.另外,取1i x =,则{}1,2,,X n =的全部n 2n C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个n 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦元子集互不包含,且对每一个i A ,有()n 2i S A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.于是,()()01i j S A S A -=<.所以,集合数的最大值为n 2n C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.49．（2018·全国·高三竞赛）(1)若正整数n 可以表示成(),2b a a b N a b 、、∈≥)的形式，则称n 为“好数”．试求与2的正整数次幂相邻的所有好数.(2) 试求不定方程2351x y z-⨯=的所有非负整数解(),,.x y z【答案】（1）9；（2）(1，0，0)，(1，1，0)，(2，1，0)，(3，2，0)，(4，l ，1)，(2，0，1). 【解析】 【详解】(1)设所求的好数为n ，(),2,2.bn a a b N a b +=∈≥≥、于是，存在正整数t (t>1)，使得2 1.t b a =±显然，a 为奇数．若b 为奇数，则()()12211.t b b a aa a --=±+⋯+ ① 而121b b a a a --+⋯+是奇数个奇数相加减的结果仍然是奇数，只可能是l ，代入 式①得b=l ，这与b≥2矛盾．若b 为偶数，则()1mod4.ba =若21t b a =+，则()212mod4.t ba =+=所以，t=1．矛盾若222111b b tba a a ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，但221,12b ba a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 故2129.bb a a -=⇒=综上，所求的所有好数只有一个n=9.(2)显然，x ≥1.当z=0时，若y≤1，易得方程的三组解(1，0，0)，(1，1，0)，(2，l ，0)； 若y≥2，由(1)的结论易知此时方程只有一组解(3，2，0). 当z≥l 时，显然，2x ≥．易知当且仅当2x =(mod 4)时，()21mod5x=-；当且仅当0x =(mod 4)时，()21mod5.x=若2351x y z -⨯= ②则()21mod5x≡，此时，()0mod4.x ≡设()4.x m m N +=∈对式②两边模4得()()111mod4.y +-≡于是，y 是奇数．设()21.y l l N =+∈ 则式②变为4212351m l z +-⨯=， 即()()2221212135.mm l z +-+=⨯。

加试模拟训练题（17）1、设 ABCD 是梯形， AB ∥CD ，在其两腰 ,AD BC 上分别存在点 ,P Q ，使得 ,APB CPD AQB CQD ∠=∠∠=∠，证明点 ,P Q 到梯形两对角线的交点的距离相等。

2、已知),0(,,∞+∈c b a ，且1=++c b a ，求证：++-21)13(a a a ++-21)13(b b b .01)13(2≥+-cc c3、在由18个队参加的足球循环赛中，彼此之间已赛过8轮，即每个队都与8个不同的队进行过比赛．证明：一定能找出三个队彼此之间至今还没有进行过一次比赛．4、证明不存在正整数n，使2n2+1，3n2+1，6n2+1都是完全平方数。

加试模拟训练题（17）1、设 ABCD 是梯形， AB ∥CD ，在其两腰 ,AD BC 上分别存在点 ,P Q ，使得 ,APB CPD AQB CQD ∠=∠∠=∠，证明点 ,P Q 到梯形两对角线的交点的距离相等。

（20届全俄）证明 设APB ∆与CPD ∆的外接圆交于点1Q ，则有()()11180180180CQ P BQ P CDP BAP ∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒，所以点1Q 在 BC 上。

又因为11 CQ D CPD APB AQ B ∠=∠=∠=∠，所以1Q Q =。

设APB ∆与CPD ∆的外接圆半径分别为12,R R ，APB α∠=，则11222sin 2sin R R AB CD R R αα==，因此 AC 与BD 的交点O 是 APB ∆的外接圆与CPD ∆的外接圆的位似中心，设APB ∆与CPD ∆的外接圆的圆心分别为12,O O ，则O 在12O O 上，且12O O 是PQ 的中垂线，于是有OP OQ =。

2、已知),0(,,∞+∈c b a ，且1=++c b a ，求证：++-21)13(a a a ++-21)13(b b b .01)13(2≥+-c c c 证明：构造函数21)(xx x f +=，易知)(x f 在)1,0(上为增函数，所以对任意)1,0(∈x ，有 0)1031)(31(2≥-+-x x x ，则),13(1031)13(2-≥+-x x x x 再分别令c b a x ,,=，代入上式，相加得 ++-21)13(a a a ++-21)13(b b b .0]3)(3[1031)13(2=-++≥+-c b a cc c 3、 在由18个队参加的足球循环赛中，彼此之间已赛过8轮，即每个队都与8个不同的队进行过比赛．证明：一定能找出三个队彼此之间至今还没有进行过一次比赛．【证】 从某队A 开始考虑，由已知在前八轮比赛中它与8个队比赛，与9个队未赛过．而在这未赛的9个队中一定有两个队彼此没有赛间的比赛最多只能安排4场(一个队轮空)，故在前8轮中，最多只赛32场．所以一定有两队彼此没有赛过，设为B 、C ．那么，A 、B 、C 三队在前8轮中彼此没有赛过一场．4、证明不存在正整数n ，使2n 2+1，3n 2+1，6n 2+1都是完全平方数。

2017全国高中数学联赛模拟试题02一、填空题（每小题8分，共64分）1.在如下图所示的正方体''''D C B A ABCD -中， 二面角''C BD A --等于 （用反三角函数表示）2.如果三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,满足C B A cot ,cot ,cot 依次成等差数列，则角B 的最大值是3.实数列{}n a 满足条件：)2(2,12,12211121≥+-=++=+=--+n a a n a a a a n n n n ， 则通项公式=n a )1(≥n 。

4.21,F F 是椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，如果21F PF ∆的面积为1，,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则=a 5.在同一直角坐标系中，函数)0(4)(≠+=a ax x f 与其反函数)(1x f -的图像恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是6. 已知正实数12,,,n a a a 与非负实数12,,,n b b b 满足(1) 1212n n a a a b b b n +++++++=;(2) 121212n n a a a b b b +=，则 121212n n n b b b a a a a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭的最大值为__________．7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2,,2014克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克．8.设)1()(x x x g -=是定义在区间[]1,0上的函数，则函数)(x xg y =的图像与x 轴所围成图形的面积是二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.（16分）设数列{}n a 的前n 项和n S 组成的数列满足)1(796221≥++=++++n n n S S S n n n ，已知,5,121==a a 求数列{}n a 的通项公式。

加试模拟训练题（77）1 设P 为△ABC 内一点，∠APB －∠ACB =∠APC －∠ABC 。

又设D ，E 别离是△APB 及△APC 的内心。

证明：AP ，BD ，CE 交于一点。

2.考察数列｛c n ｝：c 1=c 1+c 2+…+a 8……其中a 1，a 2，…，a 8是不全为0的实数．假定该数列中有无穷多项c n =0．求出所有使c n =0的自然数n ．3.在平面上给定六个点，其中任何三点都不在一直线上．证明：在这六个给定的点中，能够挑出如此三个点，使得在这三个点组成的三角形中，有一个角不小于120°． 4.设n N +∈，求证：()22512332241.nn n -+-加试模拟训练题（77）1 设P 为△ABC 内一点，∠APB －∠ACB =∠APC －∠ABC 。

又设D ，E别离是△APB 及△APC 的内心。

证明：AP ，BD ，CE 交于一点。

证 如图，过P 向三边作垂线，垂足别离为R ，S ，T 。

连RS ，ST ，RT ，设BD 交AP 于M ，CE 交AP 于N 。

易知P ，R ，A ，S ；P ，T ，B ，R ；P ，S ，C ，T 别离四点共圆，那么∠APB －∠ACB =∠PAC +∠PBC=∠PRS +∠PRT =∠SRT 。

同理，∠APC －∠ABC =∠RST ，由条件知∠SRT =∠RST ，因此RT =ST 。

又RT =PBsinB ，ST =PCsinC ，因此PBsinB =PCsinC ，那么ACPCAB PB =。

由角平分线定理知MPAMPB AB PC AC NP AN ===。

BC故M ，N 重合，即AP ，BD ，CE 交于一点。

2.考察数列｛c n ｝：c 1=c 1+c 2+…+a 8 ……其中a 1，a 2，…，a 8是不全为0的实数．假定该数列中有无穷多项c n =0．求出所有使c n =0的自然数n ．【题说】第九届（1967年）国际数学奥林匹克题5．此题由原苏联提供． 【解】不妨设a 1的绝对值为最大，那么必有某个a i ，知足a i =-a 1（i ≠1）． 不然，当n 充分大时，不失一样性可设 a 2=-a 1所得的和c n 仍然有无穷多个为0．依照上面的推理，有（适当调整编号）： a 3=-a 4，a 5=-a 6，a 7=-a 8因此n 为奇数时，c n =0．3.在平面上给定六个点，其中任何三点都不在一直线上．证明：在这六个给定的点中，能够挑出如此三个点，使得在这三个点组成的三角形中，有一个角不小于120°． 【题说】1958年匈牙利数学奥林匹克题1．【证】 考虑这六点的凸包，它是一个凸多边形，极点是这些已知点的全部或一部份． 设∠ABC ≥120°，那么A 、B 、C 即为所求．若是凸包是△ABC ，那么有一已知点D 在这三角形内．∠ADB 、∠BDC 、∠CDA 中必有一个≥120°，结论成立． 若是凸包是四边形或五边形，用对角线将它们剖分为三角形，必有一个三角形中有已知点．于是由上一种情形的讨论即得．4.设n N +∈，求证：()22512332241.nn n -+-解析：设()22332241nf n n n =-+-，要证()512f n ，可运用递推思想转化为证明()()()()5121,5121,f f n f n n N ++-∈。

2017全国高中数学联赛全真模拟1第二试一、如图，锐角ABC ∆中，T 是高线AD 上的任意一点，BT 交AC 于E ，CT 交AB 于F ，EF 交AD 于G ，过点G 的一直线l 与,,,AB AC BT CT 相交，交点分别为,,,M N P Q ；证明：MDQ NDP ∠=∠．二、设,,0a b c ≥，满足 222a b c a b c ++=++；证明：222()()()ab bc ca ab bc ca ++≤++．三、设X 是一个n 元集，它的2n个子集组成的集簇记为()E X ，而()F X 是()E X 的非空子集簇，并且F 对于并、交、补运算是封闭的；（即,,A B F ∀∈则,,,A B A B X A X B -- 也都属于F ）. 令k 表示F 中的集的个数，试求k 的取值范围.四、试求所有的正整数组(),,,a b c d ，使得 2a b c d +++，2b c d a +++，2c d a b +++，2d a b c +++皆为平方数．参考答案D B C一、证明： CF 截ABE ∆，得1AC ET BFCE TB FA⋅⋅=， 又由BC 截ATE ∆，得1AD TB ECDT BE CA⋅⋅=，即AD BE AC DT BT CE ⋅=⋅； 由EF 截ABT ∆，则有1TG AF BE GA FB ET ⋅⋅=，即TG BF ETGA AF BE⋅=⋅， 所以1AD TG AC ET BFDT AG CE TB FA ⋅=⋅⋅=⋅， 因此AD TG AG TD ⋅=⋅ … ①由于,GA BGA GP BGPGT BGT GM BGM∆∆==∆∆， ,AB GAB BP GBPBM GBM BT GBT∆∆==∆∆， 所以GA GP AB BPGT GM BM BT ⋅=⋅ … ②， 据①有GA AD GT DT =；又过点,M P 分别作BC 的垂线，垂足分别为,R H ，因GP DHGM DR =，AB AD BM MR =，BP PH BT TD =，则②化为PH DHMR DR=， 所以Rt MDR PDH ∆∆ ，MDR PDH ∠=∠，即TDM TDP ∠=∠，又据对称性，有TDN TDQ ∠=∠，因此MDQ NDP ∠=∠．【附注】：这里所说的对称性是指：因ABT ∆与ACT ∆的地位对称，我们已经证得： 若直线l 与ABT ∆的两边,AB BT 分别交于,M P ，就有TDM TDP ∠=∠； 今直线l 与ACT ∆的两边,AC CT 分别交于,N Q ，故也应有TDN TDQ ∠=∠． 二、证明：当,,a b c 中含有0或1时，结论显然成立；这是由于，不妨假设0c =或1，则条件成为：22a b a b +=+，待证结论成为2()ab ab ≤；因为2221()2a b a b a b +=+≤+，得2a b +≤，所以212a b ab +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则2()ab ab ≤． 现在设,,0a b c >，且皆不为1，将条件式222a b c a b c ++=++ … ① 写作(1)(1)(1)0a a b b c c -+-+-= … ②显然，,,a b c 中必有一数大于1，也必有一数小于1，不妨设，0a b c ≥≥>，则1,1a c ><，据②，[](1)(1)(1)(1)0b b a a b b c c +-+-+-= … ③今证明，444222a b c a b c ++≥++ … ④，只要证[]444222()()(1)(1)(1)(1)a b c a b c b b a a b b c c ⎡⎤++-++≥+-+-+-⎣⎦ … ⑤；由于[][](1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a a a a c c c c b b a a c c +⋅-++⋅--+-+-2222(1)(1)a a a b a b c c b c b c ⎡⎤⎡⎤=--+-+--+-⎣⎦⎣⎦[][](1)()(1)(1)()(1)0a a a b a b c c b c b c =--+++--++≥，故⑤成立，现将①式平方得，()2224442222()()()()()()0ab bc ca ab bc ca a b c a b c ⎡⎤⎡⎤++-++=++-++≥⎣⎦⎣⎦ 因此结论得证．三、解：对于非空的集簇F ，我们定义其中的“素集”如下：如果集簇F 中的一个非空集合A 满足，B F ∀∈，则或有A B A = ，或有A B =∅ ，就称A 是F 中的一个“素集”.显然，F 中的每个单元素集都是“素集”，若F 中没有单元集，则进而考察其中的2元素集、3元素集、等等. 又若{},F X =∅，则X 本身即为F 中的素集.由于F 中只有有限个集合，故其中的素集也只有有限个，设12,,,m B B B 为F 中的全部素集，共计m 个，则它们两两不交（否则，如有i j B B B =≠∅ ，则由,i jB B 的“素性”，可推出i j B B B ==，矛盾.） 再证，1m ii B X == . 即需证，1.mii X B =-=∅事实上，若01mii X BB =-= ，而0.B ≠∅则一方面，00,,1,2,,i B F B B i m ∈=∅= ，另一方面，由于0B 异于12,,,m B B B ，故0B 不是素集，因此又有某个素集含于它，设0j B B ⊂，则0,j j B B B =≠∅ 矛盾，从而1mi i B X == ．其次说明，F 中的任一个集，都是若干个素集的并．C F ∀∈，则()11m mi i i i C C X C B C B ==⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，而由i B 的“素性”，每个i C B 或为空集或等于i B ，即C 为若干个素集的并．反之，据F 的封闭性，每个这类素集之并也是F 的一个元．因此，F 中的全体集合（包括空集）的个数是012,1.m m m m m C C C m n +++=≤≤ 即2.m k =其中1.m n ≤≤再说明，对于1,2,,n 中的每个m ，2m都可能被k 取到．将X 中的n 个元任意拆分成m 组，每组至少一个元，即12,,m i i j X D D D D D D =≠∅=∅ ，则每个i D 都是素集，令F 为由这些“素集”生成的簇，这时2mk =．故k 的取值范围是122,2,,2n四、解：据对称性，不妨设a b c d ≥≥≥，则有222(2)a a b c d a +>+++>，而2a b c d +++为平方数，所以22(1)a b c d a +++=+，则21a b c d +=++ … …①即12b c d a ++-=，据此，222223314(2)2b c d b b c d a b b b b ++-<+++=+<+<+，因2b c d a +++为平方数，则22(1)b c d a b +++=+，故21b c d a +=++ … …② 由①、②得a b = ……③，于是①成为1a b c d ==+- ……④；222232(1)c d a b c c d c +++=++-≥+，22222326(3)c d a b c c d c c c +++=++-<+<+，所以，平方数22(1)c d a b c +++=+或2(2)c +；若22(1)c d a b c +++=+，则321d -=，即1d =，且①成为2a b c =+，a b c ≥≥，则a b c ==，再由213d a b c a +++=+为平方数，设213a k +=，得213k a b c -===，其中1(mod3)k ≡±；若22(2)c d a b c +++=+，即23244c d c +-=+，则236c d =- ……⑤，因1c ≥， 所以2d >，由④、⑤，22223224(1)d a b c d c d d d d +++=++->+>+，又有22221332211(4)2d a b c d c d d d d +++=++-=+-<+，所以 22(2)d a b c d +++=+或2(3)d +，若2221311(2)2d a b c d d d +++=+-=+，得6d =，由④⑤，6,11c a b ===； 若2221311(3)2d a b c d d d +++=+-=+，得40d =，由④⑤，57,96c a b ===；。

加试模拟训练题（20） 1、设点是凸四边形的对角线的交点，过的重心与的重心引一条直线，过的垂心与的垂心引一条直线，证明这两条直线互相垂直。

2、已知，求证： 3、一群小孩围坐一圈分糖果，老师让他们每人先取偶数块，然后按下列规则调整：所有的小孩同时把自己的糖分一半给右边的小孩．糖的块数变成奇数的人，向老师补要一块．证明：经过有限次调整之后，大家的糖就变得一样多了． 4、求所有的素数，使与也是素数。

加试模拟训练题（20） 1、设点是凸四边形的对角线的交点，过的重心与的重心引一条直线，过的垂心与的垂心引一条直线，证明这两条直线互相垂直。

（6届全苏） 证明 设的重心分别为，则四边形是平行四边形，并满足分别平行于，，从而有。

设的垂心分别为，则均三点共线，且四边形是平行四边形，并满足分别垂直于。

设，不妨假设，则，所以有，即。

同理，于是有。

因此平行四边形与相似，若把其中的一个平行四边形旋转，那么不仅它们的对应边而且它们对应的对角线都互相平行，因此有。

2、已知，求证： 3、一群小孩围坐一圈分糖果，老师让他们每人先取偶数块，然后按下列规则调整：所有的小孩同时把自己的糖分一半给右边的小孩．糖的块数变成奇数的人，向老师补要一块．证明：经过有限次调整之后，大家的糖就变得一样多了． 【证】设在某次调整前糖最多的人有2m块，最少的有2n块，m＞n，那末可以看出： (1)调整后每人的糖的块数仍然在2n与2m之间．因为若某孩子原有2k块，在他左边的有2h块，n≤k≤m，n≤h≤m．那么调整后这孩子所得的块数k＋h满足2n≤k＋h≤2m．只有当k＋h是奇数时(这时k＋h＜2m)，可补要一块，仍不超过2m块． (2)原来拿糖超过2n块的，调整后仍超过2n块，因为由k＞n，h＞n，得k＋h＞2n． (3)至少有一个原来糖为2n块的孩子调整后糖至少增加一块．因为至少有一个拿2n块的孩子左邻拿着2k＞2n块，调整后这个孩子至少要拿n＋k＞2n块． 由于每调整一次，拿2n块的孩子至少少了一个，所以若干次后，每个孩子的糖的块数都大于2n，又由于每人的糖的块数始终≤2m，所以若干次调整后，糖块最多与最少的差至少减少1．因此，有限次调整后，各人的糖的块数就会变成相同了． 4、求所有的素数，使与也是素数。

2017年全国高中数学联赛考前模拟训练（原创精选）姓名___________班级____________学号_____________作者：地市级学科带头人，专业技术拔尖人才，名师.一.填空题 1.已知22ππα-<<，2tan tan 2,tan()βαβα=-=-cos α=_________.解：2tan()2tan tan 22tan 2tan()1tan()tan βαααββααβαα-+==-+==--，又tan 2α= 22tan 1tan αα-，从而22tan 1tan αα=-，化简得3tan α=-，即tan α= 又22ππα-<<，从而cos α=.2.(1)已知数列{}n a 满足*111215,(2,)2n n n a a a n n N a ---==≥∈-，则其前100项的和是________.解：依次计算可得12345,3,5,3a a a a ====，则数列{}n a 为周期2的数列，从而10050(53)400S =⨯+=.(2)记[]x 表示不超过实数x 的最大整数.已知数列{}n a 满足：12111,22n n n a a a a a +-===+ ()n Z +∈.则20162111[]k k k a a =-+=∑_______________.解：由于111111111121122n n n n n n n n n a a a n n n n n n a a a a a a a a a a a a -++-+-+--+=+⇔=-⇔=-左右同除111111112n n n n n n a a a a a a +--+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而201620162211111111[][]2k k k k k kk k a a a a a a ==-+-+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑ 201620162212201620172016201711111[][2]22k k a a a a a a ==⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，显然{}n a 单调递增，且201620172a a >，从而201622016201711[2]12k a a =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，故20162111[]1k k k a a =-+=∑.3.已知点(0,1)A ，曲线:log a C y x =恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，若AB AP ⋅的最小值为2，则实数a 的值为___________解：由于(0,1),(1,0)A B ，则根据向量的投影的定义可知，AP 在AB 方向上的投影的最大:log a C y x =在点(1,0)B 处的切线垂直直线AB ，考虑到1AB k =-， 又()1log 'log a a x e x =，则1log 11a e =，即a e =.4.若复数z 满足||2z =2_____________.2|11|z-|22⋅==，由于||2z =，根据复数运算几何意义可知，在圆224x y +=上的点Z与点1(,2的距离的最大值为3，故232.5.已知正四棱锥P ABCD -的五个顶点都有一个球面上.若该四棱锥的体积为V ，则该球的表面积的最小值为_____________.解：设正四棱锥的底边长为,a 高PH 为h ，则213a h V =.设四棱锥的外接球的球心为O ，则在OBH ∆中，由于,,OH h r OB r BH =-==222()2a r h r =-+，从而222222232213132()244244V a h h h a V V h r h h h h h h h h +++====+=++≥则球的表面积()222394434S r V πππ=≥=.6.已知函数2()4arcsin (arccos())f x x x π=--的最大值为,M 最小值为N ，则M N -=_____.解：由于arccos()arcsin()arcsin 22x x x ππ-=--=+，从而2()4arcsin (arcsin )2f x x x ππ=-+，从而令arcsin [,]22t x ππ=∈-，则222()4()3,[,]2422f x t t t t t ππππππ=-+=-+-∈-，显然当2()()322M N f f πππ-=--=.7.点P 是椭圆221169x y +=在第一象限上的动点，过点P 引圆229x y +=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则MON ∆的面积最小值为____________.解：设点(4cos ,3sin )P θθ，则直线AB 的方程为4cos 3sin 1169x yθθ+=，即3cos 4sin 12x y θθ+=，则43(,0),(0,)cos sin M N θθ，则61212sin cos sin 2MON S θθθ∆==≥当4πθ=取等号.故MON ∆的面积最小值为12.8.多项式21003(1)x x x ++++的展开式在合并同类项后，150x 的系数为___________.解：利用多项式展开原理可知21003210021002100(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++++++设三个括号中所取的项的次数分别为123,,x x x ，从而150x 的系数即方程123150x x x ++=且1230,,100,i x x x x Z ≤≤∈的不同的解123(,,)x x x 的个数.显然方程组123150x x x ++=123(,,0,,1,2,3)i x x x x Z i ≥∈=的解的个数用隔板法即得1503122152C C +-=， 当存在101(1,2,3)i x i ≥=时，不妨设为1101x ≥，则()1231100(+1+152(101)x x x x -++=≥）（）的解的个数为251C . 综合上述，所求的150x 的系数为221525137651C C -=.9.已知,OA OB 为非零的不共线的向量.设111r OC OA OB r r=+++.定义点集{|}||||KA KC KB KCM K KA KB ⋅⋅==,当12,K K M ∈时，若对任意的2r ≥，不等式12||||K K c AB ≤恒成立，则实数c 的最小值为______________.解：显然,,A C B 共线，且AC r CB =，不妨设,1,AC r CB ==由于||||KA KC KB KCKA KB ⋅⋅=，则CK 为AKB ∠的角平分线，从而||||KA r KB =，则根据圆的定义可知点K 的轨迹为圆,在AB 的延长线上取一点D ，使得||||AD r DB =，从而11r BD r +=-，从而点K 在以CD 为直径的圆上.由此12122max 11||||221,(2)111||||r K K K K r r c r r r AB AB r r++⎛⎫-≥===≥ ⎪+-⎝⎭-，从而12max ||43||K K c AB ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭.故c 的最小值为43.r+1r-11rDCBA10.数列11{}:2n n na a a +=-，若对任意的正整数n ，均有1n n a a +>，则1a 的取值范围为______,解：根据图像可知11a <.11.甲、乙两人做一种游戏：连续抛掷一枚硬币若干次，当正（或反）面向上的次数累计达到5次时游戏结束.游戏结束时，如果正面向上的次数累计达到5次，则甲获胜；否则乙获胜.那么，抛掷不足9次就决出胜负的概率为____________.解：先考虑9次结束游戏的情形，则前8次中有4次正面朝上和4次反面朝上，从而9次结束的概率为488352128C =，从而抛掷不足9次就决出胜负的概率为4883593112128128C -=-=.二.简答题13.在数列{}n a 中，2111,23(,2)1n n n na a a n n N n n --==+⨯∈≥-. （I ）求数列{}n a 的通项公式. （II ）令*1()1n n a b n N n +=∈+，证明：数列22(1)n n b b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和2n S <. 解：（1）21231n n n a a n n --=+⋅-，从而112211()()()112211n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---=-+-++-+--- 23012(333)13n n n ---=++++=，即13n n a n -=⋅.（2）由于3nn b =，则112211223233323(1)(31)(31)(31)31(31)(31)n n n n n n n n n nn n b b ----⋅⋅-⋅==⋅<------- 111(1)3131n n n -=-≥--，从而2311223131nn S <+-<--.14.已知二次函数()f x 满足|(0)|2,|(2)|2,|(2)|2,f f f ≤≤-≤当[2,2]x ∈-时，求|()|y f x =的最大值.解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则(0)42(2)42(2)c f a b c f a b c f =⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，则(0)(2)(2)2(0)8(2)(2)4c f f f f a f f b ⎧⎪=⎪+--⎪=⎨⎪--⎪=⎪⎩ 从而2(2)(2)2(0)(2)(2)|()|(0)84f f f f f y f x x x f +----==++=222222224224(2)(2)(0)884442x x x x x x x x x x f f f +--+--+-+≤++，考虑到当 [2,2]x ∈-时2222044x x x x+-⋅≤，从而 2222222224224|()|||24424422x x x x x x x x x x x f x x +--+--≤++=-+=-++则当||1x =时，|()|f x 有最大值52. 从而当(2)(2)(0)2f f f =-==，且||1x =取最大值，显然函数21()(2)2f x x x =±+-或21()(2)2f x x x =±--满足条件.故|()|y f x =的最大值为52.15.已知222:(2)G x y r -+=是椭圆22116x y +=的内接ABC ∆的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点.（I ）求G 的半径r ； （II ）过点(0,1)M 作G 的两条切线与椭圆交于,E F 两点.证明：直线EF 与G 相切.解：（1）设点0(2,)B r y +，BC 与x 轴的交点为D ，AB 与圆的切点为H ，则根据相似关系得0GH AH r BD AD y =⇔=，从而0y =.则点(2)B r +代入椭圆中可得222(2)6(6)(2))116616r r r r r r +++-+=⇔⋅=-，从而求得23r =. （2）设直线,ME MF 的方程分别为121,1y k x y k x =+=+，由于两直线与圆222(2)x y r-+=相切，则2323==，即12,k k 是方程2323650k k ++=的两根，从而121298532k k k k ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩.联立方程12221121(161)320116y k x k x k x x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，从而12132161E k x k =-+，2121116161E k y k -=+，故点E 坐标为211221132116(,)161161k k k k --++，同理得222222232116(,)161161k k F k k --++. 故22212221122112222111611691611613853232116411632161161EFk k k k k k k k k k k k k ----+++====--⨯-+++，由此直线EF 的方程为 21112221113211624233()141611614161k k k y x x k k k -+=++=-++++，即121242314161k y x k +==-++.考虑到211323650k k ++=，从而2113161182k k +=--，从而12124241613k k +=-+.故直线 EF 的方程为3743y x ==-.此直线与圆G的距离37|2|23d ⨯-==，与圆G 相切.加 试 试 题试题1：设n 为正整数，1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，且满足对任意的1,2,,i n =，都有0i i a b +>.证明：2211111()nnni i i ni i i i i i ni i ii i i a b b a b b a b a b =====⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑.试题2：设n 是正整数，,p q 为素数，且|1,2|ppqpq n n n n +++，证明：存在正整数m ，使得|42mq n ⋅+.试题3：如图，△ABC 的内切圆I 在边,,AB BC CA 上的切点分别是,,D E F ，直线EF 与直线,,AI BI DI 分别相交于点,,M N K ．证明：DM KE DN KF ⋅=⋅．k k 个点，其中任意三点不共线.在任意两点之间连一条线段，并试题4：若平面上有2(3)将每条线段染为红色或蓝色.称三边颜色相同的三角形为同色三角形，记同色三角形的个数为S.多于所有可能的染法，求S的最小值.。