2018届北京市海淀区高三上学期期末考试文科数学试题及答案

2018北京市海淀区高三数学（文科）（上）期末 2018.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 已知i 是虚数单位,若i(i)1i a +=-+，则实数a 的值为 (A) （B ） （C ）（D ）（2） 已知,a b ∈R ，若a b <，则(A) 2a b <（B ） 2ab b <（C ）1122a b < （D ）33a b <（3） 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）4 （B ） 5 (C) 6 （D ）7（4） 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5个同学在一次数学测试中的选择题的成绩(单位:分，每道题5分，共8道题) :（A ） 0，0（B ） 0，5（C ） 5，0 （D ）5，5（5）已知直线0-+=x y m 与圆22:1+=O x y 相交于,A B 两点，且∆OAB 为正三角形，则实数m 的值为（A ）23 （B ）2（C ）23或23- （D ）26或26- （6） 设a ∈R ,则“1a =”是 “直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7） 在∆ABC 中，1==AB AC ，D 是AC 边的中点，则⋅BD CD 的取值范围是(A) 31(,)44-(B) 1(,)4-∞ （C ）3(,+)4-∞ （D ）13()44，（8）已知正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，,M N 分别是棱11、BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上.若=PM PQ 长度的最小值为1 （B（C1 （D）5第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市海淀区2018届高三上学期期末数学试题（文科）1. 已知是虚数单位，若，则实数的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】是虚数单位，，化简得到根据复数相等的概念得到实数的值为.故答案为：A。

2. 已知，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，若，则A：，当两个数值小于0时就不一定成立；B. ，当b=0时，不成立；C. ，当两者均小于0时，根式没有意义，故不正确；D. ，是增函数，故正确。

故答案为：D。

3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】执行程序框图，可知：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，此时满足判断条件，终止循环，输出，故选B.4. 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则的值分别为A. B. C. D.【答案】B【解析】根据平均数的概念得到根据选项得到：.故答案为：B。

5. 已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】由题意得，圆的圆心坐标为，半径.因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，即，解得或，故选D.6. 设，则“”是“直线与直线平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件,【答案】C【解析】两直线平行的充要条件为且故.故是两直线平行的充分必要条件。

故答案为：C。

7. 在中，是的中点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】根据向量的运算得到设BC=x,,代入上式得到结果为.故答案为：A。

点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。

解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。

北京市海淀区2018～2019学年度高三年级第一学期期末考文科数学试题及参考答案2019.1本试卷共4页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A.(2,0)-B.(C.(1,0)-D. (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b , 且a⋅=a b ,则,a b 的夹角大小为A.6πB.4πC.3πD.512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ,公差0d ≠,且125,,a a a 成等比数列,则=dA. 0B.12±C.1±D.4.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2,则k 的值为 A.6πB.4πC.3πD.5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中,等腰三角形的个数为 A.6B.7C.8D.126.已知函数()=ln af x x x +,则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 7.已知函数()sin cos f x x x =-,()g x 是()f x 的导函数,则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点,则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位,就可以得到函数()g x 的图像D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆,且对任意的(,)a b B ∈,(,)x y B ∈,均有()()0a x b y --≤,则集合B 中元素个数的最大值为A.25B.49C.75D.99二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心,且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图,当输入的M 值为15,n 值为4 时,输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示,则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 , .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω,若点A(1,-2),B(3,0),C(2,-3)中有且仅有两个点在Ω内,则k 的最大值为 . 13.在 ABC 中,b =,且cos 2cos A B =,则cos A = .14.正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,动点M 在线段CC 1上,动点P 在平面1111A B C D 上,且AP ⊥平面1MBD .(Ⅰ)当点M 与点C 重合时,线段AP 的长度为 ；(Ⅱ)线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)已知函数()s()cos22f x aco x xπ=--(Ⅰ)比较()6f π和()2f π的大小；(Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16.(本小题满分13分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩,并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图： (Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率； (Ⅱ)从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人,设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数,求Y 的分布列和数学期望；(Ⅲ)根据以往培训数据,规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.17.(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中,平面ABCD ⊥平面PCD ,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,AD PC ⊥且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠=(Ⅰ)求证：AD PDC ⊥平面； (Ⅱ)求二面角B-PD-C 的余弦值；(Ⅲ)若M 是棱PA 的中点,求证：对于棱BC 上任意一点F,MF 与PC 都不平行. 18.(本小题满分14分)椭圆2212x y +=的左焦点为F ,过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)若点B 关于x 轴的对称点为B ’,求'AB 的取值范围. 19. (本小题满分14分)已知函数2()xa x f x e -=. (Ⅰ)当1a =-时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(Ⅱ)当0a >时,求证：2()f x e >-对任意(0,)x ∈+∞成立.20.(本小题满分13分) 设n 为不小于3的正整数,集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i nΩ=∈=,对于集合nΩ中的任意元素12(,,...,)n x x x α=,12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- (Ⅰ)当3n =时,若(1,1,0)α=,请写出满足3αβ*=的所有元素β (Ⅱ)设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=,求αβ*的最大值和最小值；(Ⅲ)设S 是n Ω的子集,且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，,有1n αβ*≥-成立,求集合S 中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数学(理科)2019.01一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.A 2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.22(1)4x y -+=10. 2411.212.0 13.2 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：(Ⅰ)因为π1(),622a f =- π()12f a =+所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >,所以3022a +>,所以ππ()()26f f > (Ⅱ)因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =--22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x =ππ[,]22x ∈-,所以[1,1]t ∈- 所以221y t at =+-其对称轴为4a t =-当14at =-<-,即4a >时,在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-,即04a <≤时,在4at =-时函数取得最小值218a --16.解：(Ⅰ)设该名学生考核成绩优秀为事件A由茎叶图中的数据可以知道,30名同学中,有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730(Ⅱ)Y 的所有可能取值为0,1,2,3因为成绩[70,80]X ∈的学生共有8人,其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===,21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===,353810(3)56C P Y C ===随机变量Y 的分布列为115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=(Ⅲ)根据表格中的数据,满足85110X -≤的成绩有16个所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==> ⎪⎝⎭ 所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17.解：(Ⅰ)在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥,交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCDDH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD 所以DH AD ⊥又AD PC ⊥,且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD(Ⅱ)因为AD ⊥平面PCD ,所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥,DH AD ⊥以D 为原点,DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系所以(,,),(,,),(,(,,),(,,)D A P C B -00020001020210,因为AD ⊥平面PCD ,所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200u u u r 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,(,,)DP DB =-=01210u u u r u u u r,所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u r r uu u r所以y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩020令2z = ,则y x =-=所以()n =2r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>===uuu r ruuu r r uuu u r r由题知B PD C --为锐角,所以B PD C --的余弦值为19(Ⅲ) 法一：假设棱BC 上存在点F ,使得MF PC ,显然F 与点C 不同 所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α,PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α,A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面,所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾,所以假设错误,即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ,使得MF PC 连接AC ,取其中点N在PAC ∆中,因为,M N 分别为,PA CA 的中点,所以MN PC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行,所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上,所以F 是AC ,BC 的交点C ,即MF 就是MC 而MC 与PC 相交,矛盾,所以假设错误,问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F ,使得MF PC ,设BF BC λ= ,所以3(1,,(2,1,0)2MF MB BF λ=+=+-因为MF PC ,所以(0,3,MF PC μμ==所以有120332λλμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩,这个方程组无解所以假设错误,即问题得证 18.解：(Ⅰ)因为,a b ==2221,所以,a b c ===11所以离心率c e a ==(Ⅱ)法一： 设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率,设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122,所以()k x k x k +++-=2222218820 28160k ∆=->,所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以|'|AB 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421k y y k x k x k x x k +=+++=++=+所以|'|AB ==因为k ≤<2102,所以|'|AB ∈法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x 轴时,|'|AB =当直线l 不是x 轴时,设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122,所以()t y t y ++=-222420, 28160t ∆=->,所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222 因为22'(,)B x y -所以|'|AB 因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=22)2t ==-+因为t >22,所以|'|AB ∈综上,|'|AB的取值范围是.19.解：(Ⅰ)因为()x ax x f x -=e 2所以()'()x x a x af x -++=e 22 当a =-1时,'()x x xf x --=e 21所以'()f -=e 11,而()f -=e 21 曲线()yf x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e e y x --=-- 化简得到11e e y x =--(Ⅱ)法一：因为()'()xx a x a f x -++=e 22,令()'()x x a x af x -++==e 220得x x ==12当a >0时,x ,'()f x ,()f x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值,而2(0)0e f =>-,所以只需要证明()f x >-e 22因为()x a x a -++=22220,所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2,其中x >0,所以()()'()x x a x x a F x ----+==e e 2222令'()F x =0,得a x +=322,当a >0时,x ,'()F x ,()F x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222,而()a a F ++--=>e e 122222注意到x =>20,所以(())f x x F =>-e 222,问题得证 法二：因为“对任意的x >0,22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0,220e e xax x -+>” 即“x >0,2+12e e()0e x x ax x +->”,故只需证“x >0,22e e()0x ax x +->”设2()2e e()x g x ax x =+-,所以'()2e e(2)x g x a x =+-设()'()h x g x =,'()2e 2e xh x =- 令'()F x =0,得x =31当a >0时,x ,'()h x ,()h x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1,而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=> 所以x >0时,'()2e e(2)0xg x a x =+->,所以()g x 在(,)+∞0上单调递增 所以()(0)g x g >而(0)20g =>,所以()0g x >,问题得证 法三：“对任意的x >0,2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e -”因为()'()x x a x af x -++=e 22,令'()f x =0得x x ==12当a >0时,x ,'()f x ,()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值,而2(0)0e f =>-,所以只需要证明()f x >-e 22因为()x a x a -++=22220,所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e 22222222222注意到x 2和a >0,所以x >22设()x xF x -=e 2,其中x >2 所以()()'()x x x x F x --=-=e e 2121当x >2时,'()F x >0,所以()F x 单调递增,所以()()F x F >=-e 242而()--=-->e e e e 2242240 所以()()f x F x >->e 222,问题得证法四：因为a >0,所以当x >0时,()xxax x x f x --=>e e 22设()xx F x -=e 2,其中x >0 所以()'()x x x F x -=e 2所以x ,'()F x ,()F x 的变化情况如下表: 以()F x 在x =2时取得最小值所()F =-e 224,而()--=-->e e e e 224224所以x >0时,2()e F x >-所以()()f x F x >>-e 220.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) (Ⅱ)记12(,,,)n x x x α= ,12(,,,)n y y y β= , 注意到{0,1}i x ∈,所以(1)0i i x x -=,所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=,所以1212n n x x x y y y n +++++++= 所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1,n 个量的值为0. 显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++= ,当(1,1,,1)α= ,(0,0,,0)β= 时,αβ，满足n ααββ*+*=,n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时,1i i x y =,否则0i i x y =而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1,n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个,当n 为偶数时,22n n n αβ*≥-=.当22(1,1,,1,0,0,,0)nn αβ==个个时,满足n ααββ*+*=,且2n αβ*=.所以αβ*的最小值为2n当n 为奇数时,且1i i x y =,这样的元素i 至多有12n -个,所以1122n n n αβ-+*≥-=.当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-= 个个,1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时,满足n ααββ*+*=,12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n -综上：αβ*的最大值为n ,当n 为偶数时,αβ*的最小值为2n ,当n 为奇数时,12n αβ-*=. (Ⅲ)S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈ ,{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅ ，集合1S 中元素个数不超过1n +个,下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈= ,则122n x x x n +++≤- 则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈= ,βα≠因为1n αβ*≥-,所以,i jy y 不能同时为0所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言,在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α= 满足i j x x，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω ,则1T 中共1n +个元素,对于任意的1T α∈,n β∈Ω,1n αβ*≥-.对1i j n ≤<≤,记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==,1t x =,,t i t j≠≠ 记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤,显然2,S αβ∀∈,αβ≠,均有1n αβ*≥-.记12S T T = ,S 中的元素个数为21n n ++,且满足,S αβ∀∈,αβ≠,均有1n αβ*≥-.综上所述,S 中的元素个数最大值为21n n ++.。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2018.1第一部分（选择题共 40分）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

（1）已知是虚数单位，若，则实数的值为A. B.C.D.（2）已知，若，则A. B.C.D.（3）履行以下图的程序框图，输出的值为A.4B.5C.6D.7（ 4）下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各 5 各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题 5 分，共 8 道题）：已知两组数据的均匀数相等，则的值分别为A. B. C. D.（ 5）已知直线与圆订交于两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C.或 D.或（ 6）设，则“”是“直线与直线平行”的A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充足必需条件D.既不充足也不用要条件 ,（ 7）在中，是的中点，则的取值范围是A. B. C. D.（ 8）已知正方体的点在平面内，点棱长为2，点在线段上，若分别是棱，则的中点，长度的最小值为A. B. C. D.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

（9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为.（10）若变量知足拘束条件，则的最大值是.（ 11）中，且的面积为，则.（12）某三棱锥的三视图以下图，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 .（ 13）函数的最大值为；若函数的图像与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是.（ 14）某次高三英语听力考试中有 5 道选择题，每题 1 分，每道题在三个选项中只有一个是正确的 . 下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5 道题的得分：12345得分甲C C A B B4乙C C B B C3丙B C C B B2则甲同学答错的题目的题号是，其正确的选项是.三、解答题共 6 小题，共 80 分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

北京市海淀区2018届高三上学期期末数学试题（文科）1. 已知是虚数单位，若，则实数的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】是虚数单位，，化简得到根据复数相等的概念得到实数的值为.故答案为：A。

2. 已知，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，若，则A：，当两个数值小于0时就不一定成立；B. ，当b=0时，不成立；C. ，当两者均小于0时，根式没有意义，故不正确；D. ，是增函数，故正确。

故答案为：D。

3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】执行程序框图，可知：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，此时满足判断条件，终止循环，输出，故选B.4. 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则的值分别为A.B.C.D.【答案】B【解析】根据平均数的概念得到根据选项得到：. 故答案为：B 。

5. 已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A.B.C.或D.或【答案】D【解析】 由题意得，圆的圆心坐标为，半径. 因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，即，解得或，故选D .6. 设，则“”是“直线与直线平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件, 【答案】C【解析】两直线平行的充要条件为 且故.故是两直线平行的充分必要条件。

故答案为：C 。

7. 在中，是的中点，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】根据向量的运算得到设BC=x,,代入上式得到结果为.故答案为：A。

点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。

解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。

2018--2018海淀区高三第一学期期末统考数学试卷2018．1一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若πα713=，则（ ） A ．sin α>0且cos α>0 B ．sin α>0且cos α<0 C ．sin α<0且cos α>0 D ．sin α<0且cos α<02．已知直线02)1(:1=-++y x a l 与直线01)22(:2=+++y a ax l 互相垂直，则实数a 的值为（ ）A ．-1或2B ．-1或-2C ．1或2D ．1或-2 3．已知m ，l 是异面直线，那么①必存在平面α，过m 且与l 平行； ②必存在平面β，过m 且与l 垂直；③必存在平面γ，与m ，l 都垂直； ④必存在平面π，与m ，l 的距离都相等。

其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④4．（理）要得到函数y=sin2x 的图象，可以把函数)42sin(π-=x y 的图象（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位（文）要得到函数)42sin(π-=x y 的图象，可以把函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位5．设圆锥的母线与其底面成30°角，若圆锥的轴截面的面积为S ，则圆锥的侧面积等于（ ）A ．S π21B ．πSC ．2πSD ．4πS6．已知点A （-2，0）及点B （0，2），C 是圆122=+y x 上一个动点，则△ABC 的面积的最小值为（ ）A ．22-B ．22+C ．2D ．222- 7．（理）从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为（ ）A ．1320B ．960C ．600D ．360（文）从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆有且仅有一盆展出的不同摆法种数为（ ）A ．1320B ．960C ．600D ．3608．设函数f(x)的定义域是[-4，4]，其图象如图。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知i 是虚数单位，若()1+i a i i +=，则实数a 的值为 A. 1B. 0C.1-D. 2-（2）已知,a b R ∈，若a b p ，则A. 2a b pB. 2ab b p C.1122a b p D. 33a b p （3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.4 B.5 C.6 D.7（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次 数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则,x y 的值分别为 A.0,0B.0,5C.5,0D.5,5（5）已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为 A.3 B. 6 C. 3或3- D. 6或6-（6）设，则“1a =”是“直线10ax y +-=与直线++10x ay =平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,（7）在ABC ∆中，=1,AB AC D =是AC 的中点，则BD CD ⋅u u u r u u u r的取值范围是A. 31(,)44-B. 1(,)4-∞ C. 3(,)4-+∞D. 13(,)44（8）已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点,M N 分别是棱11,BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为 A.21-B.2C.3515- D. 355第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知双曲线221ax y -=的一条渐近线方程为y x =，则实数k 的值为 .（10）若变量,x y 满足约束条件010220y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值是 .（11）ABC ∆中， 1,7,a b ==且ABC ∆的面积为32，则c = . （12）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 .（13）函数2,0()(2),0x x f x x x x ⎧≤=⎨-⎩f 的最大值为 ；若函数()f x 的图像与直线(1)y k x =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 .（14）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一1 2 3 4 5 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 则甲同学答错的题目的题号是 ，其正确的选项是 .三、解答题共6小题，共80分。

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准数 学（文科）2018.5一． 选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．24x y = 10．1, 11．1,23π 12． 13．35 14. ①②③ 注：① 10题、11题第一个空答对给3分，第2个空答对给2分；② 14题只写出1个序号给2分，只写出2个序号给3分。

三．解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）解：（Ⅰ）方法1：因为数列{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=.因为3221+=-+n a a n n ，所以223n a n +=+.所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-.所以21(1,2,3,).n a n n =-= ………………6分方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3221+=-+n a a n n ， 所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩ 所以112.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-= ………………6分 （Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列， 所以12n n n a b -+=因为21n a n =-，所以12(21)n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122nn n -+-=--221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --.………………13分 16．（本小题13分）解：（Ⅰ）1()2cos (sin )2f x x x x =2sin cos x x x =+11cos 2sin 222x x +=+sin(2)3x π=-所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==.所以曲线()y f x =的相邻两条对称轴的距离为2T ，即2π. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ()sin(2)3f x x π=-当[0,]x α∈时，2[,2]333x πππα-∈--. 因为sin y x =在[,]22ππ-上单调递增，且()f x 在[0,]α上单调递增， 所以[,2][,]3322ππππα--⊆-， 即0232αππα>⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得5012απ<≤. 故α的最大值为512π. …………………13分17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC DE ⊥；所以折叠后，,DE PF DE CF ⊥⊥,又,,PF CF F PF CF =⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF …………………4分 （Ⅱ）因为四边形AECD 为菱形，所以//,DC AE DC AE =.又点E 为AB 的中点，所以//,DC EB DC EB =.所以四边形DEBC 为平行四边形.所以//CB DE .又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ,所以CB ⊥平面PCF .因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF . …………………9分 （Ⅲ）存在满足条件的点,M N ,且,M N 分别是PD 和BC 的中点.如图，分别取PD 和BC 的中点,M N .连接,,,EN PN MF CM .因为四边形DEBC 为平行四边形， 所以1//,2EF CN EF BC CN ==. 所以四边形ENCF 为平行四边形.所以//FC EN .在PDE ∆中，,M F 分别为,PD DE 中点，所以//MF PE .又,EN PE ⊂平面,PEN PE EN E =,,MF CF ⊂平面CFM ,所以平面//CFM 平面PEN . …………………14分18. （本小题13分）解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人.所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是63105=. 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.…………………4分（Ⅱ）设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. 因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件， 而事件A 包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件，所以31()155P A ==. ………………9分 （Ⅲ）12=x x2212s s > ………………13分19．（本小题13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 令()0f x =，得220,.x a x a +==-当0a ≥时，方程无解，()f x 没有零点；当0a <时，得x =…………………4分综上，当0a ≥时()f x 无零点；当0a <时，()f x 零点为（Ⅱ）2'()(1)()x x a a f x e x e x x=-++ 322()xx x ax a e x ++-=. 令32()g x x x ax a =++-(1)x >,则2'()32g x x x a =++， 其对称轴为13x =-，所以'()g x 在(1,)+∞上单调递增.所以2'()31215g x a a >⨯+⨯+=+.当5a ≥-时，'()0g x >恒成立，所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. …………………13分20．（本小题14分） 解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为2212x y +=,所以1,1a b c ===.所以长轴长为2a =，离心率c e a == …………………4分 （Ⅱ）方法1：证明：显然直线P A 1、Q A 2、Q A 1、P A 2都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k 设直线P A 1的方程为1(y k x =，Q A 2的方程为2(y k x =，联立可得M x =同理可得N x =. 下面去证明141.2k k =-设00(,)P x y ，则220022x y +=.所以22001422001222y y k k x y ====---. 同理231.2k k =-所以121211222()1122N M k k x x k k --+===---. 所以直线MN 垂直于x 轴. …………………14分方法2：设直线l 方程为1122,(,),(,)y kx m P x y Q x y =+.由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=. 当0∆>时，2121222422,1212km m x x x x k k --+==++. 直线1A P方程为y x =+，直线2A Q方程为y x =-，x x +=，得x=21121221[((((y x y x x y x y x+--=+其中，21122112((()(()(y x y x kx m x kx m x-=++-+1212()()x x m x x=++-+12212124()12())kmm x xkm x xm x x-=+-++=+-=-12211221(()(()(y x y x kx m x kx m x-+++-+++1212212()()kx x m x x x x=+++-22122212122242()12124()12)m kmk m x xk kkx xkx x--=++-++-=+-+=-所以2Mkxm-=，即点M的横坐标与,P Q两点的坐标无关，只与直线l的方程有关. 所以2N Mkx xm-==，直线MN垂直于x轴. …………………14分。

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文科） 2019.01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）双曲线x y -=22122的左焦点的坐标为（A ）(,)-20 （B ）()0 （C ） (,)-10 （D ）(,)-40 （2）已知等比数列{}n a 满足12a =，且12,,6a a 成等差数列，则4a =（A ）6 （B ）8 （C ）16 （D ）32 （3）若lg lg a -=221，则a =（A ）4 （B ）10 （C ）20 （D ）40 （4）已知向量(,),(,)t ==201a b ，且||⋅=a b a ，则-=a b（A ）(1,1) （B ）(1,1)- （C ）(1,1)- （D ）(1,1)-- （5）直线y kx =+1被圆x y +=222截得的弦长为2，则k 的值为（A ）0 （B ）12± （C ）1± （D ）（6）已知函数()af x x，则“a <0”是“函数()f x 在区间(,)+∞0上存在零点”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数()sin cos ,()f x x x g x =-为()f x 的导函数，则下列结论中正确的是 （A ）函数()f x 的值域与()g x 的值域不同（B ）存在0x ，使得函数()f x 和g()x 都在0x 处取得最值 （C ）把函数()f x 的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数()g x 的图象 （D ）函数()f x 和g()x 在区间π(0,)2上都是增函数（8）已知集合{1,2,3,4,5,6}I =，{(,)|,}A s t s I t I =∈∈. 若B A ⊆，且对任意的(,),(,)a b B x y B ∈∈，均有()()0a x b y --<，则集合B 中元素个数的最大值为（A ）5 （B ）6 （C ）11 （D ）13n 0,0k S == S S n =+1k k =+S M ≥ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。