约瑟夫环(顺序表)

约瑟夫环的知识点总结约瑟夫环这个问题不仅在古代受到了广泛的关注，而且在现代数学中也有着重要的地位。

它涉及到了排列、递推、循环和递归等多个数学概念，并且有着一些有趣的数学特性。

因此，学习约瑟夫环不仅能够增加我们对于数学问题的理解，而且也可以提高我们的数学思维能力。

接下来，我们将从几个方面对约瑟夫环进行深入的讨论。

1. 约瑟夫环的历史约瑟夫环最早出现在约瑟夫斯的《犹太古记》中，他描述了犹太人在与罗马军队的战斗中围攻马萨达城的情景。

根据《犹太古记》的记载，当罗马军队攻陷了马萨达城后，大约960名男子决定宁死不从。

于是，他们站成一个圈，每隔两个人就有一个杀掉，直到最后只剩下一个人。

而这个幸存者恰恰就是约瑟夫斯本人。

因此，这个问题就得名为约瑟夫环。

除了这个故事之外，约瑟夫环在古代数学文献中也有着多次的提及。

例如，中国古代数学家秦九韶在其著作《数书九章》中也提到了这个问题。

他利用递推的方法解出了约瑟夫环的一般解，并推广到了更一般的情况。

自古代以来，约瑟夫环一直受到数学家们的关注，他们提出了很多不同的方法来解决这个问题。

而到了现代，约瑟夫环在计算机科学和密码学中也有着广泛的应用。

因此，约瑟夫环问题可以说是一个古老而又具有重要意义的数学问题。

2. 约瑟夫环的一般解在数学中，我们可以用递推的方法对约瑟夫环进行求解。

假设有N个人站成一圈，编号从0到N-1，而每隔M个人就有一个人出列。

那么一个简单直接的方法就是用递归来求解。

具体来说，我们可以定义一个递归函数f(n, m)，表示N个人中最后存活下来的那个人的编号。

那么这个函数的递归关系可以如下定义：f(n, m) = (f(n-1, m) + m) % n其中f(1, m) = 0，表示只有一个人时的情况。

通过递归的方法，我们可以得到约瑟夫环的一般解。

而根据这个递归关系，我们还可以得到一些有趣的数学性质。

例如，我们可以求解约瑟夫环在给定N和M的情况下的解，而不需要实际模拟整个过程。

约瑟夫环问题如下：已知n个人(n>=1)围桌一园桌周围，从1开始顺序编号。

从序号为1的人开始报数，顺时针数到m的那个人出列。

他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列。

依此规则重复下去，直到所有人全部出列。

求解最后一个出列的人的编号。

本次实验是以顺序表求解约瑟夫环问题，程序流程图及程序运行结果如下：输入人数、所报数、第一个报数人编号存储并建立一个约瑟夫环通过循环结构依次查找每次出列的人的编号并输出输出最后一个出列的人的编号程序代码如下：#include<iostream>#include<process.h>#include<stdlib.h>using namespace std;struct Node //循环节点的定义{int number; //编号Node *next;};Node *CreateList(Node *L,int &n,int &m); //建立约瑟夫环函数void Joseph(Node *L,int n,int m); //输出每次出列号数函数Node *DeleteList(Node **L,int i,Node *q); //寻找每次出列人的号数int LengthList(Node *L); //计算环上所有人数函数void main() //主函数{system("color 75"); //设置颜色以美观Node *L;L=NULL; //初始化尾指针int n, m;cout<<"请输入人数N：";cin>>n; //环的长度if(n<1){cout<<"请输入正整数!";} //人数异常处理else{cout<<"请输入所报数M：";cin>>m;if(m<1){cout<<"请输入正整数!";} //号数异常处理else{L=CreateList(L,n,m); //重新给尾指针赋值Joseph(L,n,m);}}system("pause");}Node *CreateList(Node *L,int &n,int &m) //建立一个约瑟夫环（尾插法）{Node *q;for(int i=1;i<=n;i++){Node *p;p=new Node;p->number=i;p->next=NULL;if(i==1) L=q=p; //工作指针的初始化 else{q->next=p;q=q->next;}}q->next=L;if(L!=NULL){return(L);} //返回尾指针else cout<<"尾指针异常!"<<endl; //尾指针异常处理}void Joseph(Node *L,int n,int m) //输出每次出列的人{int k;cout<<"请输入第一个报数人：";cin>>k;if(k<1||k>n){cout<<"请输入1-"<<n<<"之间的数"<<endl;}else{cout<<"\n出列顺序:\n";for(int i=1;i<n;i++){Node *q = new Node;if(i==1) q=DeleteList(&L,k+m-1,q); //第一个出列人的号数else q=DeleteList(&L,m,q);cout<<"号数："<<q->number<<endl;delete q; //释放出列人的存储空间}cout<<"最后一个出列号数是："<<L->number<<endl; //输出最后出列人的号数}}Node *DeleteList(Node **L,int i,Node *q) //寻找每次出列的人{if(i==1) i+=LengthList(*L); //顺序依次出列情况的处理方式Node *p;p=*L;int j=0;while(j<i-2) {p=p->next;j++;}q = p->next;p->next=p->next->next;*L = p->next;return(q);}int LengthList(Node *L) //计算环上的人数{if(L){cout<<"尾指针错误!"<<endl;} //异常处理else{int i=1;Node *p=L->next;while(p!=L){i++;p=p->next;}return(i);}}实验体会：通过对本问题的分析，我进一步熟悉了对各种逻辑表达式的判断和指针的使用。

[阅读材料]世界名题与小升初之：抽杀问题（約瑟夫问题）--马到成功老师在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。

先给大家介绍这一问题的由来。

据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特後，39 個犹太人与Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個犹太人決定宁愿死也不要被人抓到，于是決定了一个自杀方式，41個人排成一个圆圈，由第1個人开始报数，每报数到第3人该人就必須自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。

然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他將朋友与自己安排在第16個与第31個位置，于是逃过了这场死亡游戏。

解法約瑟夫问题可用代数分析來求解，将这个问题扩大好了，假设现在您与m个朋友不幸参与了这个游戏，您要如何保护您的朋友？只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏，这两个圆内圈是排列顺序，而外圈是自杀顺序，如下图所示：使用程式来求解的话，只要将阵列当作环状来处理就可以了，在陈列中由计数1开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直接计数來求解的話，只要將阵列当作环状来处理就可以了，在阵列中由計数1开始，每找到三个无资料区就填入一个計数，直而計数达41为止，然后將阵列由索引1开始列出，就可以得知每个位置的自杀順序，这就是約瑟夫排列，41個人报数3的約瑟夫排列如下所示：14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 4 25 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 29 23由上可知，最后一個自杀的是在第31个位置，而倒数第二个自杀的要排在第16个位置，之前的人都死光了，所以他们也就不知道約瑟夫与他的朋友并没有遵守游戏规则了。

关于约瑟夫环的解法自己曾经考过三级遇到过一些问题，自己也琢磨过其中有一道排队的题目叫“约瑟夫环”。

自己曾经查过一些资料答案有几种有的用链表解决思路清晰，但对初学链表的人却不是很好理解，有的用数组排列的方法解决程序干净简洁但其中有一段对初学者也较为困难。

经过我自己研究我找到了一种理解起来相对较容易的方法，可能程序运行效率不如上面第二种高但对有一定基础的初学者还是比较容易的。

首先我们看一道题目：有一组数，1，2，3，4，5，6。

请通过数组元素移动的方法将其变为4，5，6，1，2，3。

很简单：理解了上面这道题，约瑟夫环就快解决了；按照题目的要求我们是要把报到M的人提出来排队，如果我们把报到M的人放到到最后一位，并且下一次报数时不让他参与问题就简单了我们假设要把报道"3"的人踢出队伍，而且从第一个人开始报数1←2←3←4←5←6←7←8←9←10;2←3←4←5←6←7←8←9←10←13←4←5←6←7←8←9←10←1←24←5←6←7←8←9←10←1←2←3经过第一轮报数得：4←5←6←7←8←9←10←1←2←3其实这个过程是让整个队伍向前走，第一个人走到队尾第二个人跟到第一个人后面，第三个人跟到第二个人后面，当第三个人走到对尾时第一轮结束，并且剩下的九个人准备开始下一轮这就犹如一个游戏：有一对人编号为1——10，游戏开始第一个人报"1"完成此轮报数并且走到对尾，第二个人报"2"完成此轮报数并且走到对尾，第三个人报"3"完成此轮报数，走到现有10人的对尾并且不再参加下一轮报数。

剩余九人保持现有相对顺序不变，继续按照前述规则进行，此轮报到"3"的人站在现有9人的对尾。

如此继续，报数的人越来越少，报过"3"的人也自成一队列。

第一轮后的结果：4←5←6←7←8←9←10←1←2←3;5←6←7←8←9←10←1←2←4←36←7←8←9←10←1←2←4←5←37←8←9←10←1←2←4←5←6←3第二轮结果：7←8←9←10←1←2←4←5←6←3束后对尾那个报"3"的人不再参加下一轮报数。

C语言的循环链表和约瑟夫环C语言的循环链表和约瑟夫环约瑟夫问题）是一个数学的应用问题，对于学习C语言四非常挺有帮助的，下面是店铺为大家搜集整理出来的有关于C语言的循环链表和约瑟夫环，一起了解下吧!循环链表的实现单链表只有向后结点，当单链表的尾链表不指向NULL，而是指向头结点时候，形成了一个环，成为单循环链表，简称循环链表。

当它是空表，向后结点就只想了自己，这也是它与单链表的主要差异，判断node->next是否等于head。

代码实现分为四部分：1. 初始化2. 插入3. 删除4. 定位寻找代码实现：1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1void ListInit(Node *pNode){int item;Node *temp,*target;cout<<"输入0完成初始化"<<endl; cin="">>item;if(!item)return ;if(!(pNode)){ //当空表的时候，head==NULLpNode = new Node ;if(!(pNode))exit(0);//未成功申请pNode->data = item;pNode->next = pNode;}else{//for(target = pNode;target->next!=pNode;target = target->next);4 15 16 17 18 19 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3temp = new Node;if(!(temp))exit(0);temp->data = item;temp->next = pNode;target->next = temp;}}}void ListInsert(Node *pNode,int i){ //参数是首节点和插入位置Node *temp;Node *target;int item;cout<<"输入您要插入的值:"<<endl; cin="">>item;if(i==1){temp = new Node;if(!temp)exit(0);temp->data = item;for(target=pNode;target->next != pNode;target = target->next);temp->next = pNode;target->next = temp;pNode = temp;}else{target = pNode;for (int j=1;j<i-1;++j) target="target-">next;temp = new Node;if(!temp)exit(0);temp->data = item;temp->next = target->next;target->next = temp;}}void ListDelete(Node *pNode,int i){Node *target,*temp;if(i==1){for(target=pNode;target->next!=pNode;target=target ->next);temp = pNode;//保存一下要删除的首节点 ,一会便于释放6 37 38 39 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 8 4 9 5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5pNode = pNode->next;target->next = pNode;temp;}else{target = pNode;for(int j=1;j<i-1;++j) target="target-">next;temp = target->next;//要释放的nodetarget->next = target->next->next;temp;}}int ListSearch(Node *pNode,int elem){ //查询并返回结点所在的位置Node *target;int i=1;for(target = pNode;target->data!=elem && target->next!= pNode;++i)target = target->next;if(target->next == pNode && target->data!=elem)return 0;else return i;}</i-1;++j)></i-1;++j)></endl;></endl;>5 96 0 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 67 68 69 7 0 7 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 8约瑟夫问题约瑟夫环(约瑟夫问题)是一个数学的'应用问题：已知n个人(以编号1，2，3…n分别表示)围坐在一张圆桌周围。

顺序表实现约瑟夫环的问题,C语言计算机科学与工程学院《算法与数据结构》试验报告[一] 专业班级 10级计算机工程02 试验地点计算机大楼计工教研室学生学号 1005080222 指导教师蔡琼学生姓名肖宇博试验时间 2012-2-29试验项目算法与数据结构试验类别基础性() 设计性() 综合性(?) 其它( )(1)掌握用VC++上机调试线性表的基本方法; 试(2)掌握顺序表的存储结构以及基本运算的实现。

验目的及要求成绩评定表类别评分标准分值得分合计积极出勤、遵守纪律上机表现 30分主动完成设计任务程序代码规范、功能正确程序与报告 70分报告详实完整、体现收获备注:评阅教师:日期: 年月日计算机科学与工程学院试验内容一、实验目的和要求1、实验目的:(1)掌握用VC++上机调试线性表的基本方法;(2)掌握顺序表的存储结构以及基本运算的实现。

2、实验内容约瑟夫环问题:设编号为1，2，3，……，n的n(n>0)个人按顺时针方向围坐一圈，m为任意一个正整数。

从第一个人开始顺时针方向自1起顺序报数，报到m时停止并且报m的人出列，再从他的下一个人开始重新从1报数，报到m时停止并且报m的人出列。

如此下去，直到所有人全部出列为止。

要求设计一个程序模拟此过程，对任意给定的m和n，求出出列编号序列。

3、实验要求:用顺序表实现。

二、设计分析根据实验要求，采用顺序表来完成本次实验。

实验中定义了两个顺序表，一个用来存储n个人的序号，另一个用来存储n个人的出队顺序及序号。

程序中充分考虑了如果出队的元素大于队列的元素个数时应该有的情况，如果出现这样的错误就提示～否则继续出队～三、源程序代码#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define MAXSIZE 10 // 宏替换最大值typedef struct{int data[MAXSIZE];int length;}Sqlist;void CreatList(Sqlist *&L,int a[],int n) //创建顺序表{L=(Sqlist *)malloc(sizeof(Sqlist));for(int i=0;i<n;i++){L->data[i]=a[i];}L->length=n;}void InitList(Sqlist *&L) //初始化顺序表{2 《算法与数据结构》试验报告计算机科学与工程学院L=(Sqlist *)malloc(sizeof(Sqlist));L->length=0;}void DestoryList(Sqlist *&L) //释放顺序表空间{free(L);}void josephus(Sqlist *&L) //约瑟夫环的核心代码{int t=0;int m=0;printf("请输入数到几个人出来");printf("\n");scanf("%d",&m);if(m>L->length){printf("没有这么多人呀～?(?_?)?");}else{printf("出列顺序为:");for(int q=L->length;q>=1;q--){t=(t+m-1)%q;printf("\n");printf("\t%d\t",L->data[t]);for(int j=t+1;j<=q-1;j++)L->data[j-1]=L->data[j];}printf("\n");}}void main(){Sqlist *s;InitList(s);int a[MAXSIZE];int n=0;printf("请键入要输入几个数"); printf("\n");scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++)3 《算法与数据结构》试验报告计算机科学与工程学院{a[i]=i+1;}CreatList(s,a,n);josephus(s);DestoryList(s);printf("\n");}四、测试用例(尽量覆盖所有分支) 1.当输入1，2，3，4。

0123456789 12345678910 4567891012 789101245 10124578 4578101
810145
45810
1045
104
4约瑟夫环——递推公式
递推公式：
f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N
f(N,M)表⽰，N个⼈报数，每报到M时杀掉那个⼈，最终
f(N−1,M)表⽰，N-1个⼈报数，每报到M时杀掉那个⼈，最终胜利者的编号
现在假设有10个⼈，报到3的⼈就会被杀掉，我们⽤数字给这⼗个⼈编号为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
第·⼀⾏绿⾊那⾏是数组下标，第⼆⾏是每个⼈的编号
现在逆向推导
f(1,3):只剩最后⼀个⼈，胜利者的数组下标为0
f（2,3）=(f(1,3)+3)%2=1,只有两个⼈的时候，胜利者下标为1。

f（10,3）=3，因为我们数组下标是从0开始的，所以⼈的编号是下标+1，也就是4
那么这个公式是怎么推导的呢？
1.假设我们已经知道了10个⼈时，胜利者的下标为3，那下⼀次9个⼈时，胜利者的下标为多少？
其实就是10个⼈时杀掉了编号为3（即数组下标为2）的⼈后，后⾯的⼈都往前移动了3位，所以胜利者的下标由3变成了0
2.那我们倒过来我们知道9个⼈时，胜利者的下标为0，那10个⼈时胜利者的下标为多少？
其实这和上⾯的问题⼀样，这是这是上个问题的逆过程，就是把⼤家都往后移动3位，所以f(10,3)=f(9,3)+3,不过可能会出现数组越界所以要取模变成f（10,3）=（f（9,3）+3）%10
3.那么⼈数改为n报到m时就杀掉数组怎么移动呢
⼀样的，杀⼀⼈则后⾯的⼈的下标都往前移动m则，f（n，m）=（f（n-1，m）+m）%n。