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当 r = ±σ 时，
当
时，
； r > 3σ 时，
由连续Gaussian分布求离散模板，需采样、量化，并使模板归一化。
均值滤波特点： (1)系数之和等于1。 (2)系数都是正数。 (3)执行速度快。 (4)容易造成图像模糊。实质上在求平均值的过程中，噪
声的灰度值也代入了均值中，从而向周围扩散，导致 图象模糊，边缘不清晰。 (5)”能量守恒”，即滤波前后图像的亮度不变。
可见，相关运算是将模板当权重矩阵作加权平 均，而卷积与相关不同的只是在于需要将模板沿中心 反叠（先沿纵轴翻转，再沿横轴翻转；即沿次对角线 翻转）后再加权平均。如果模板是对称的，那么相关 与卷积运算结果完全相同。实际上常用的模板如平滑 模板、边缘检测模板等都是对称的，因而这种邻域运 算实际上就是卷积运算，用信号系统分析的观点来 说，就是滤波，对应于平滑滤波或称低通滤波、高通 滤波等情况。
小结： 在离散情况下常用梯度算子来检测边缘，给定图像U(m,n)在两个正
交方向的H1,H2上的梯度个g1(m,n)和个g2(m,n)如下:
g1(m, n) = U (m, n) * H1(m, n)
g2 (m, n) = U (m, n) * H2 (m, n)
则边缘的强度和方向由下式给出：
1) Sobel方向算子 有时为了检测特定方向上的边缘，也采用特殊的
方向算子，如检测450或1350边缘的Sobel方向算子：
⎡2 1 0 ⎤ ⎢⎢1 0 −1⎥⎥ ⎢⎣0 −1 − 2⎥⎦
⎡0 −1 − 2⎤ ⎢⎢1 0 −1⎥⎥ ⎢⎣2 1 0 ⎥⎦
2) Kirsch方向算子
Kirsch边缘检测算子采用8个卷积核组成，设Out1,Out2,…Out8 为8个模板卷积计算的结果，则Kirsch算子定义为：
也可用交叉的差分表示梯度：
1
G[F (x, y)] = {[F (x, y) − F (x +1, y +1)]2 + [F (x +1, y) − F (x, y +1)]2}2
简化表示为：
G[F (x, y)] =| F (x, y) − F (x +1, y +1) | + | F (x +1, y) − F (x, y +1) |
但发现，虽然极小值滤波消除了水面的反光，但 将不是反光的区域的像素的灰度值也减小了，导致图 像偏暗。因而，采用如下的方法：
G(i,
j) =
⎧g(i, j) ⎩⎨Min(i,
, j) ,
if :| g(i, j) − Min(i, otherwise
j) |< T
4.边缘检测
定义： 边缘是指其周围象素的灰度有阶跃变化(step
5 -3 -3 5 0 -3 5 -3 -3
5 5 -3 5 0 -3 -3 -3 -3
用Kirsch边缘检测的一个例子：
原图
用Kirsch检测后的图像
4.3 二阶算子 Laplacian, LoG
1) Laplacian算子
对阶跃边缘边缘而言，边缘点处的二阶导数过0 点，或二阶导数在边缘点处出现零交叉(ZeroCrossing)，即边缘点两旁的二阶导数异号。因此下面 我们讲述基于该原理的边缘点检测，即拉普拉斯
⎢⎣ 1 1 1 ⎥⎦
⎡ −1 0 1⎤ ⎢⎢− 1 0 1⎥⎥ ⎢⎣− 1 0 1⎥⎦
平均、微分对噪声有抑制作用.
3 Sobel算子 水平和垂直掩模为：
⎡−1 −2 −1⎤
⎢ ⎢
0
0
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 1 2 1 ⎥⎦
⎡ −1 0 1⎤ ⎢⎢− 2 0 2⎥⎥ ⎢⎣ − 1 0 1⎥⎦
加 加权（距离越近，贡献越大）
图象平滑实际上是低通滤波，让主要是信号的低 频部分通过，阻截属于高频部分的噪声信号。显然， 在减少随机噪声点影响的同时，由于图象边缘部分也 处在高频部分，平滑过程将会导致边缘模糊化。
2.1 邻域均值平均（矩形邻域和圆形邻域）
2.2 高斯均值滤波（Gaussian Filters）
高斯函数即正态分布函数常用作加权函数，二维高斯函数如下：
2.3 K近邻均值滤波
改进的其他方法：造成模糊的原因是没有区分背 景和目标，将背景象素和目标象素的灰度值相加，从 而模糊了目标和背景的边界。
例：[2,2,2,2,10,10,10,10]和T=[1,1,1]/3
得到[2,2,2,5,7,10,10,10]
解决的方案是避免这种情况的发生。考虑，当该 点pi是目标点且位于目标和背景的边界上时，该点的 邻域中肯定也有目标点pk、pj等，且pi、pk、pj等是灰 度接近的，因为灰度接近才算它们属于同一个目标。 所以：K个邻点平均法：本来窗口中有N*M个象素，现 只用其中的k个象素的灰度平均值代替。
∂f ∂f 容易看出，虽然 ∂x ，∂y ，不是各向同性的，但
是它们的平方和是各向同性的，即：
进一步可以证明Laplacian算子也是各向同性 （isotropic）的。
2）LoG算子
根据图象边缘处的一阶微分（梯度）应该是极值 点的事实，图象边缘处的二阶微分应为零，确定过零 点的位置要比确定极值点容易得多也比较精确。但是 显然二阶微分对噪声更为敏感。
3.中值滤波与极值滤波
3.1中值滤波
与加权平均方式的平滑滤波不同，中值滤波是将 邻域中的象素按灰度级排序，取其中间值为输出象素。 中值滤波能够在抑制随机噪声的同时不使边缘模糊， 因而受到欢迎。
在目标和背景的边界处的像素，当其邻域中大多 数为目标点时，它就取目标的灰度值，当其邻域中大 多数为背景点时，它就取背景的灰度值，因此不模糊。
比如： 由此，可以看出求导和边缘检测的关系。
F(x,y)为图像函数，在点(x,y)上的梯度定义为矢量
⎡∂F ⎤
G[F
(x,
y)]
=
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂F
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣ ∂y ⎥⎦
梯度的幅度为：
G[F
(
x,
y)]
=
[(
∂F
)2
+
(
∂F
)2
1
]2
∂x ∂y
梯度矢量的辐角：
θM
= arctan[∂F ∂y
/ ∂F ] ∂x
对于离散图像，可用差分近似表示梯度：
1
G[F (x, y)] = {[F (x, y) − F (x +1, y)]2 + [F (x, y) − F (x, y +1)]2}2
进一步简化：
G[F (x, y)] =| F (x, y) − F (x +1, y) | + | F (x, y) − F (x, y +1) |
R(h, w) = max{Out1,Out2,...Out8}
8个卷积核：
555 -3 0 -3 -3 -3 -3
-3 5 5 -3 0 5 -3 -3 -3
-3 -3 5 -3 0 5 -3 -3 5
-3 -3 -3 -3 0 5 -3 5 5
-3 -3 -3 -3 0 -3 55 5
-3 -3 -3 5 0 -3 5 5 -3
4.1 常用边缘检测算子 1 Roberts算子 定义为：
G(i ,j)=|f(i,j)-f(i+1,j+1)|+|f(i+1,j)-f(i,j+1)|
⎡1 0 ⎤ ⎢⎣0 − 1⎥⎦
⎡ 0 1⎤ ⎢⎣− 1 0⎥⎦
2 Prewitt算子
水平和垂直掩模为：
⎡−1 −1 −1⎤
⎢ ⎢
0
0
0
⎥ ⎥
1）最大值滤波：
对于一个滑动窗口NxM内的各象素求灰度级的最大 值，用该最大值来代替窗口中心象素原来的灰度级。
2）最小值滤波：
对于一个滑动窗口NxM内的各象素求灰度级的最小 值，用该最小值来代替窗口中心象素原来的灰度级。
一般很少使用极值滤波器来消除噪声，因为需要知道 噪声表现为极大或极小。相反，极值滤波器倒是常用 在目标形状的处理中。例：水面反光的消除，因为知 道反光在图像中表现为极大值，所以可以用极小值滤 波。
以围绕模板（filter mask, template）的相关与卷 积运算为例，给定图象f(x,y)大小N×N，模板T(i, j)大 小m×m（m为奇数），常用的相关运算定义为: 使模 板中心T((m-1)/2,(m-1)/2)与f(x,y)对应，
卷积运算定义为:
当m=3时，
g(x, y) = T (0,0) f (x +1, y +1) + T (0,1) f (x +1, y) + T (0,2) f (x +1, y −1) + T (1,0) f (x, y +1) + T (1,1) f (x, y) + T (1,2) f (x, y −1) + T (2,0) f (x −1, y +1) + T (2,1) f (x −1, y) + T (2,2) f (x −1, y −1)
统计学观点：
(1)按统计特性分为平稳和非平稳噪声。其统计特性不 随时间变化的噪声称为平稳噪声，反之，称为非平稳 噪声。
(2)按噪声幅度分布形状而分。成高斯分布的称为高斯 噪声。
(3)按噪声和信号之间的关系分为加性噪声和乘性噪声。 输出为S(t) +n(t)形式的成为加性噪声，输出为S(t)(1 +n(t))形式的成为乘性噪声。
(Laplacian)算子。对于一个连续的二元函数F(x, y)，
其拉普拉斯算子定义为：
对于数字图像离散情况下，取它的二阶导数平方 和为关于x轴方向和y轴方向的二阶导数之和，拉普拉 斯算子可以简化为 ：
