数学史--第二讲-古希腊数学--课件PPT资料29页

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《数学史》古希腊数学(2)精选全文

欧几里得，约公元前 30 0
▪ 在长达两千多年的时间里，欧几里德的《几何原本》一直是世界各国的标准教科书。《几何原本》第一册的第47个命题就是勾股定理，书中给出了严格的，真正的数学意义上的证明。
▪ 在第六册的第31个命题里，欧几里德还推广了勾股定理，他证明了：
（见下页）
▪ 命题14 同圆内等弦的弦心距相等；弦心距相等则弦相等。 ▪ 命题22 内接于圆的四边形，其对角和是二直角。 ▪ 命题32 直线切于一圆，弦与切线的夹角等于弦所对圆周角。 ▪ 命题35 圆内有相交二弦，其中一弦上所截线段围成的长方形等于
另一弦上所截线段围成的长方形。
几何《原本》第四卷
▪ 第四卷，有16个命题，主要论述圆的内接和外切图形 ▪ 命题12 作已给圆的外切正五边形。 ▪ 命题15 作已给圆的内接正六边形。
几何《原本》第七、八、九卷
▪ 第七、八、九卷讲数论，即讲述关于整数和整数之比的性质，是《原本》中纯粹讨论算术的唯一篇章。
▪ 命题1 有相异二数，从大数连续减去小数，直到余数小于小数。又从小数连续减去余数，直到小于余数。一直做类似运算，如果余数总是量不尽前面一个数，直到最后的余数是单位，则二数互素。
▪ 欧几里得至少有十部著作，其中有五部被完整地保存下来，（《数据》《论剖分》《现象》《光学》和《镜面反射》）
▪ 但最具影响的是《原本》。这部著作完全取代了所有以前的数学原理之类的书，刚一出现，就受到人们最大的重视。
亚历山大大帝
▪ 亚历山大大帝（公元前356年－前323年），生于马其顿王国首都派拉城，曾师从古希腊著名学者亚里士多德，十八岁随父出征，二十岁继承王位,是欧洲历史上最伟大的军事天才，马其顿帝国最富盛名的征服者。

《古代希腊数学》PPT课件

一般地由公式
N 1 2 3 n n(n 1) 2
给出的数称为“三角形数”，它们可以用某种三角
点式来表示；
由序列 N 1 3 5 7 (2n 1) 形成一系列“正方形数”。
五边形数和六边形数分别由序列 N 1 4 7 (3n 2) n(3n 1)
• 泰勒斯在数学上的贡献的最可靠的证据是来自公元5世纪新柏拉图学派哲学家普罗克鲁斯(Proclus,410-485)所著《欧几里得<原本>第一卷评注》一书:
• ……（泰勒斯）首先来到埃及，然后将几何研究引进希腊。他本人发现了许多命题，并指导学生研究那些可以推出其他命题的基本原理”。
普罗克鲁斯在《评注》中介绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理：
这类问题激发了古希腊时代许多数学家的研究兴趣，其中贡献最多的是诡辩学派。由于希腊人限制了作图工具只能是圆规和（不带刻度的）直尺，使这些问题变得难以解决并富有理论魅力。
最早研究化圆为方问题的是安纳萨哥拉斯（Anaxagoras,约公元前500 –前428），但详情不得而知。公元5世纪下半叶，开奥斯的希波克拉底（Hippociates of Chios）解决了与化圆为方有关的化月牙形为方。但单个圆的化圆为方问题没有解决。
古希腊人也叫海仑人(Hellene)，其历史可以追溯到公元前2000年。当时，作为希腊先民的一些原始部落由北向南挺进，在希腊半岛定居，后来又逐步向爱琴海诸岛和小亚细亚扩张。到公元前600年左右，希腊人已散布于地中海与黑海沿岸的大部分地区，正是在这一带掀起了新的数学浪潮。
• 这些海滨移民具有两大优势：
在所有的正多面体中，正十二面体的作图是最为诱人的问题，因为它是由正五边形围成，而其他正多面体都是以三角形或正方形为界面，正五边形的作图则与著名的“黄金分割”问题有关.

数学史选讲(第二讲)古希腊数学

二、毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯（约公元前 572 年～公元前 497 年）出生于爱奥尼亚沿海靠近小亚细亚西海岸的萨摩斯岛，据说曾师从泰勒斯。年轻时曾到埃及和巴比伦留学，可能到过印度，返希腊后居住在离米利都不远的地方。
公元前 530 年开始组建自己的学派，后迁居南部意大利的希腊油港克罗托内。在这里他创办了著名的毕达哥拉斯学校，并发展成一个有秘密仪式和盟约、组织严密的团体。由于毕达哥拉斯政治上倾向贵族统治、反对民主制度，以致后来意大利的民主力量摧毁了该学校建筑并迫使该团体解散，毕达哥拉斯本人也于 75 岁时被杀死。毕达哥拉斯学派形式上解散了，但实际继续存在至少二百年之久。
一、希腊数学的先行者
• 爱奥尼亚学派：也称米利都学派。代表人物泰勒斯（Thales 约公元前 625 年～公元前 547 年）是古希腊最早的哲学家与科学家，号称希腊哲学鼻祖，又称希腊科学之父，还被称为古希腊的 7 个聪明人之一。 • 泰勒斯出生于小亚细亚的沿海城市米利都，他长期生活于此并组织了古希腊最早的学派。他年轻时游历过叙利亚、埃及、巴比伦等很多地方。由于他多方面的才华，使他享有政治家、律师、工程师、实业家、哲学家、数学家、天文学家、社会活动家等声誉。
三、欧几里得与《原本》
亚历山大里亚的欧几里得（约公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－前 283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品,是几何学的奠基人。
形式逻辑的建立

《数学史》古希腊数学 ppt课件

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2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰落
通常从公元前30-公元6世纪的这一段时期，称为希腊数学的“亚历山大后期”。
亚历山大后期的希腊几何，已失去前期的光辉。这一时期开始阶段唯一值得一提的是几何学家海伦（Heron，公元前1世纪公元1世纪间），代表作《量度》，主要讨论各种几何图形的面积和体积的计算，其中包括后来以它的名字命名的三角形面积公式
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总评
▪ 《圆锥曲线论》可以说是希腊演绎几何的最高成就。阿波罗尼奥斯用纯几何的手段达到了今日解析几何的一些主要结论，这是令人惊叹的。
▪ 另一方面，这种纯几何的形式，也使其后数千年间的几何学裹足不前。几何学中的新时代，要到 17世纪，笛卡尔等人打破希腊式的演绎传统后，才得以来临。
▪ 此书集前人之大成，且提出很多新的性质。他推广了梅内赫莫斯（公元前4 世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称。
▪ 书中已有坐标制思想。他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发。他在解释太阳系内5大行星的运动时，提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密的地心说提供了工具。
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《圆锥曲线论》中包含了许多即使是按今天的眼光看也是很深奥的结果，尤其突出的是第5卷关于从定点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，其中实质上提出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线的概念，它们是近代微分几何的课题。
第3、4卷中关于圆锥曲线的极点与极限的调和性质的论述，则包含了射影几何的萌芽思想。
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亚历山大里亚时期的希腊数学

数学史--第二讲-古希腊数学--课件

• 崛起于意大利半岛中部的罗马民族，在公元前1世纪完全征服希腊各国夺得了地中海地区的霸权，建立了强大的罗马帝国。唯理的希腊文明被务实的罗马文明所取代。同影响深远的罗马法典和气势恢弘的罗马建筑相比，罗马人在数学领域却谈不上有什么显赫的功绩。
• 通常把公元前30年到公元6世纪(641年，阿拉伯人占领亚历山大）称为希腊数学的“亚历山大后期”。
趣事
• 欧几里得是希腊论证几何的集大成者。 • 在公元前300年左右，欧几里得受托勒密一世之邀到亚
历山大，成为亚历山大学派得奠基人。据说受托勒密曾问欧几里德有无学习几何的捷径？欧几里德回答说：“几何学无王者之道”。 • 有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这些我能获得什么呢？”欧几里德叫来一个仆人吩咐说：“ 给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中捞点什么”。－－欧几里德反对狭隘的实用观点
毕达哥拉斯学派的数学成就
• 数的研究完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角形数”、“正方形数”、 “五角形数”等等；勾股数：
• 几何成就欧几里得《原本》第8卷附注指出五个正多面体的作图的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学生，深受毕达哥拉斯学派影响）。一般认为，欧几里得《原本》第1卷和第2卷的大部分资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。
其贡献涉及几何学和天文学。最重要的数学成就是在前人基础上创立了相当完美的圆锥曲线论。《圆锥曲线论》就是这方面的系统总结。
评价：
（1）他对圆锥曲线的研究所达到的高度，直到17世纪笛卡尔和帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。
（2）他的工作中包含了近代微分几何的课题和射影几何学的萌芽思想。

(完整版)数学史(第2章古希腊数学)

第2章古代希腊数学主题：希腊文化与理论数学的起源人类理性思维的形成在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。

概述：希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。

三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。

同时也有对前人进行评述和整理工作。

主要成就：1 论证数学的鼻祖及主要贡献：泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。

毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。

普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。

其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。

（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。

以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。

（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。

该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。

（4）发现了不可公度量。

评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。

加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。

不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。

高中数学人教A版选修3-1第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者课件(共30张PPT)

古希腊
希腊数学发展的历史可分为三个阶段：
第一阶段：从公元前700年到前323年又称为古典时期或雅典时期.即从泰勒斯的伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止；
第二阶段：是亚历山大时期，从公元前323年欧几里德起到公元前30年是全盛时期；
第三阶段：从公元前30年到公元600
年，又称为亚历山大后期—衰弱时期，
亚历山大大帝
柏拉图
导入新课
希腊的数学内容包括算术（含代数）、几何学和三角学.
古希腊人学术辩论风气较浓，都有一批学者在一二位杰出人物的领导下活动，这类组织称为学派.这时期出现了泰勒斯学派（伊奥尼亚学派）、毕达哥拉斯学派等几个著名学派以及许多著名的数学家.
数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来说，在古希腊学者登场之前是不存在的.
——泰勒斯定理
到来年的橄榄必定大丰收，于是在头年 WZ//XY 吗？ PQ//RS 吗？
公元前6世纪以后，由于经济和政治的进步，自然科学和数学得到高度发展. 泰勒斯约活了77岁，人们纪念他的成就，在他坟墓雕像上，树碑立传歌颂这位距今已有2500多年的科学家：
的冬天租下了本地所有榨油机，由于没泰勒斯生于伊奥尼亚的米利都，出身奴隶主贵族家庭，政治地位显贵，生活富足.
他献身于科学，却招来非议，为此他写了一首诗回答这些人：
多说话并不表示有才智，去找出一件唯一智慧的东西吧，去选择一件唯一美好的东西吧，这样就钳住许多饶舌汉的嘴.
泰勒斯还游访过巴比伦、埃及等古代文明国家，学到了那里的数学知识和天文学知识，晚年则转向哲学，他几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动领域，被尊为“希腊七贤”之首.
---M·克莱因
伊奥尼亚学派
亚里士多德学派

《希腊数学》课件

柏拉图数学
柏拉图是古希腊一位伟大的哲学家和数学家，他的数学思想对后世产生了深远的影响。
欧几里得几何
欧几里得几何是古希腊数学中的重要分支，它建立了几何学的基本公理和定理体系。
希腊数学的成就
奥米几多尔定理
希腊数学的奥秘之一，它不仅解决了直角三角形的问题，还拓展了数学的应用领域。
阿基米德螺线
阿基米德螺线是一个美丽而奇特的数学曲线，通过它，阿基米德探索了数学和物理的奥秘。
柏拉图立体
柏拉图立体是一组几何体，具有完美的对称性，它代表了古希腊数学的丰硕成果。
希腊数学的影响
1
古代文明中的地位
希腊数学在古代文明中的地位举足轻重，它不仅推动了科学与人文的发展，还深刻影响了艺术与哲学。
2
对现代科学的贡献
希腊数学为现代科学奠定了坚实基础，它的思想和方法在数学、物理、工程等领域中得到广泛应用。
3
希腊数学的传承Байду номын сангаас发展
虽然古希腊已经不存在，但希腊数学的思想和成就在后世得到传承与发展，为数学界做出了巨大贡献。
结论
希腊数学作为人类文明的瑰宝之一，对现代科学和文化产生了深远影响。它的数学方法和思想将永远影响着我们的世界。
《希腊数学》PPT课件
希腊数学是古希腊文明中的杰出成就之一，对现代科学发展产生深远影响。本课件将介绍希腊数学的概念、历史背景，以及其重要性和贡献。
希腊数学的发展
奥米几多尔定理
奥米几多尔定理是希腊数学中最著名的定理之一，它揭示了直角三角形边长关系的普遍规律。
毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯定理是一个简洁而优雅的几何定理，它描述了直角三角形中两直角边平方和等于斜边平方的关系。

数学史概论 ppt课件

(正8边形面积–正4边形面积)
>1/2(圆面积–正4边形面积)
数学史概论
31
欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。
穷竭法(卷 XII)
数学史概论
37
比例的定义：设 A, B, C, D是任意四个量, 其中A 和B同类(即均为线段、角或面积等), C和D同类. 如果对于任何两个正整数 m 和n ,关系m A n B 是否成立, 相应地取决于关系m C n D是否成立, 则称A与B 之比等于C与D 之比,即四量 A, B, C, D 成比例.
希波克拉底：解决了化月牙形为方
安提芬：
首先提出用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为
方。他从圆内接正方形开始，将边数逐次加倍，并一直进
行下去，则随着圆面积的逐渐“穷竭”，将得到一个边长
极其微小的内接正多边形。1882林德曼π的超越性。
数学史概论
18
倍立方: 即求一个立方体,使其体积等于已知立方体的两倍
第一次数学危机
2 是一个不可公度的数
数学史希概论帕苏斯 Hippasus(公元前470年左14右）
1
2
b
c
a
1
c2a2b2
勾股定理导致了无理量的发现. 假设直角三角形是等腰的,直
角边是1，那么弦是 2 ，它不可能用任何的“数”(有理数)
表示出来，即直角边与弦是不数学可史概通论约的．

《数学史》古希腊数学(2)

几何《原本》第四卷
第四卷，有16个命题，主要论述圆的内接和外切图形
命题12 作已给圆的外切正五边形。
命题15 作已给圆的内接正六边形。
几何《原本》第五卷
第五卷，讲比例论，是以欧多克斯的工作为基础。
命题1 如果某些量依次是另一些量的倍量，则前者之和是后者之和
的同倍量。
即如果ma,mb,……，mc是a,b,……,c的倍量，则
直角三角形斜边上的多边形，其面积为两条直角边上与之相似的多边形面积之和。
学园便是全部的生活
欧几里得(Euclid)是古希腊著名数学家、欧氏几何学的开创者。欧几里得生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。
欧几里得与几何《原本》
《原本》的内容
“原本”原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。这本著作用公理法对当时的数学知识作系统化、理论化的总结。共分13卷，包括5条公理、5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。
那么，何谓公理？何谓公设呢？
公理与公设
命题47 直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上两个正方形之和。命题48 若三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则其他两边的夹角是直角。
G H
F
A
K
B
C
L D
E
几何《原本》第二卷
第二卷的突出内容是对代数几何化的贡献。
①两数相加看成把一线段加上另一线段的长。 ②两数的乘积看成两边长等于两数的矩形的面积。
《原本》各卷内容一览表
几何《原本》第一卷
第一卷给出了一些最基本的定义（119个），5个公设和5个公理。定义 1.点是没有部分的那种东西。

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1、任何圆周都被其直径平分； 2、等腰三角形的两底角相等； 3、两相交直线形成的对顶角相等； 4、若已知三角形的一边和两邻角，则三角形完全确定；
即如果一三角形有两邻角和一边与对应三角形的对应角、边相等，则这两个三角形全等。 5、泰勒斯定理：半圆上的圆周角是直角。
毕达哥拉斯（约前580－前497）是希腊论证数学的另一鼻祖。生于靠近小亚细亚的萨默斯岛，年轻时曾游历埃及和巴比伦，甚至可能到过印度，年过半百后回到故乡并开始讲学，约前520年左右移居西西里岛，后定居于当时的大希腊（现意大利的克洛托内）建立了今天所称的毕达哥拉斯秘密宗教学派，致力于哲学和数学的研究。在大希腊，毕达哥拉斯赢得了很高的声誉，产生了相当达的政治影响，但却引起敌对派的嫉恨，终被暴徒杀害。今天人们对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普洛克卢斯等人关于希腊数学著作的评注。
2.1 论证数学的发端
2.1.1 泰勒斯和毕达哥拉斯 2.1.2 雅典时期的希腊数学
2.2 黄金时代－亚历山大学派
2.2.1 欧几里德和几何《原本》 2.2.2 阿基米德的数学成就 2.2.3 阿波罗尼奥斯和《圆锥曲线论》
2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰落
2.1论证数学的发端
2.1.1.泰勒斯和毕达哥拉斯泰勒斯（约前625－547）是所知最早的希腊数学家
• 雅典学派（柏拉图学派）：柏拉图（前427－前347）创立，后著名数学家欧多克斯（前408－前307）率徒加入。
• 亚里士多德学派（吕园学派）：由柏拉图的生亚里士多德（前384－前322）于公元前335年创立。相传亚里士多德曾作过亚历山大大帝的老师。前面提到的《几何学史》的作者欧多谟斯是亚里士多德的学生。
毕达哥拉斯学派的数学成就
• 数的研究完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角形数”、“正方形数”、 “五角形数”等等；勾股数：
• 几何成就欧几里得《原本》第8卷附注指出五个正多面体的作图的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学生，深受毕达哥拉斯学派影响）。一般认为，欧几里得《原本》第1卷和第2卷的大部分资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。
第二讲古希腊数学
• 公元前600年－公元600年间(公元641年，阿拉伯人占领亚历山大城）
• 古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚及非洲北部等地。
• 古希腊人也叫海仑人，其历史可追溯到前2000年，先在希腊半岛定居，到前600年左右后逐步扩张到上述地区。作为海滨移民，他们具有典型的开拓精神，对于所接触的事物，不愿因袭传统；其次他们身处两大河谷文明毗邻之地，易于涉取那里的文化。
因为毕达哥拉斯学派的许多几何证明都是建立在任何量都是可公度的基础上，所以引发了第一次数学危机。
• 数字神秘主义
例如：偶数是可分解的、从而也是容易消失的、阴性的、属于地上的，代表黑暗和邪恶。奇数是不可分解的、阳性的、属于天上的，代表光明和善良。
• 证明的思想
例如：勾股定理的证明，推测毕达哥拉斯从铺地砖中获得了启发。
2.1.2.雅典时期的希腊数学波希战争（前492－前449）后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派林立，主要有：
• 伊利亚学派：主要活动在伊利亚（意大利的南端）地区，主要代表人物是芝诺。
• 诡辩学派（智人学派）：以希比阿斯（前460－）、安提丰、布里松等为代表。
毕达哥拉斯学派的数学思想
• 万物皆数
这里的数是整数或整数之比。“人们所知道的一切事物中都包含数；因此，没有数既不可能表达，也不可能理解任何事物。”
任何量都可以表示成两个整数之比。在几何上即任何两个线段，总能找到第三个线段，以它为单位可以讲给定的两个线段分为整数段。希腊人称之这两线段是 “可公度的”。据说该学派的希帕图斯首先发现了正方形的对角线和一条边的不可公度性，这导致了无理数的发现，动摇了毕达哥拉斯学派的信条。
（二）. 无限性概念的早期探索 • 伊利亚学派的芝诺提出四个著名的悖论，触及到无限
性、连续性等深刻的概念，给学术界以极大的震动。 1、二分法，一物从甲地到乙地，永远不能到达。因为想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过这一半，必须先通过一半的一半，这样分下去，永无止境。结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进一步； 2、阿基琉斯(善跑英雄)追龟说，阿基琉斯追乌龟，永远追不上。因为当他追到乌龟的出发点时，龟已向前爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段。这样永远重复下去，总也追不上；
上述诸多学派以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下三个方面：
（一）. 三大几何问题 1、三等分角； 2、倍立方体，即求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍； 3、化圆为方，即求作一正方形，使其面积等于一已知圆。
• 这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。
• 希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。
• 诡辩学派的希比阿斯为了三等分任意角而发明了“割圆曲线”。
• 柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题发现了圆锥曲线。
• 诡辩学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形。安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合。
和论证几何学的鼻祖.出生于小亚细亚的爱奥尼亚，将埃及的几何研究引进希腊，他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河。注：关于泰勒斯在数学上的贡献的证据来自于公元5 世纪的普洛克鲁斯所著的《欧几里德原本第一卷评注》引述约公元前330年欧多谟斯（亚里士多德的学生）所撰《几何学史》的内容。
泰勒斯的贡献：