高二数学均值定理

高二数学均值定理试题1.若正数，满足，则的最小值为．【答案】9【解析】=(当且仅当,即时,“＝”成立)【考点】基本不等式2.当时，的最小值是．【答案】1【解析】当时,当且仅当时取等号.所以答案为1.【考点】基本不等式的应用.3.已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，求椭圆离心率的最小值为【答案】【解析】因为∠F1PF2＝90°，所以,因为，且，可解的。

因为，整理的，即，所以【考点】椭圆的概念和离心率问题，基本不等式4.若正实数满足，则+的最小值是( )A．4B．6C．8D．9【答案】D【解析】由，得，当且公当，即，时，取等号.所以正确答案是D.【考点】基本不等式5.已知，则的最小值为．【答案】【解析】因为，，且，所以.【考点】1.基本不等式；2.指数幂的运算.6.设，若，则的最大值是_________.【答案】【解析】利用基本不等式解决，但是注意基本不等式的条件是一正二定三相等.而所以我们要将平方，用重要不等式解决可以避开范围的问题.由已知条件我们可得即.所以最大值为【考点】基本不等式、不等式7.下列结论正确的是（）A．当且时，；B．当时，；C．当时，的最小值为2；D．当时，无最大值；【答案】B【解析】基本不等式的应用要把握：一正二定三相等.A选项中0<x<1时lg x<0.所以A选项不成立.C选项中当取到最小值时x=1.所以不包含在中.所以排除C. D选项中是关于x递增的代数式，当x=2时取到最大值.所以排除D.B选项符合了一正二定三相等的条件.故选B.【考点】1.基本不等式的应用.2.对数知识，函数的单调性知识.8.若正数满足，则的最小值是__________.【答案】5【解析】所以3x+4y=(3x+4y)=【考点】1.基本不等式的应用.2.构造等式一边是1.9.设则以下不等式中不恒成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】对于Ａ：．对于Ｂ：，显然不等式,所以不恒成立.对于Ｃ：.对于Ｄ：当时，显然；当时，所以恒成立．【考点】基本不等式的性质，作差法判断值的大小．点评：掌握基本不等式的成立的条件：a>0,b>0，则;直接比较两个数大小不易比较时，可考虑作差法比较.10.设，，则三数（）A．至少有一个不小于2B．都大于2C．至少有一个不大于2D．都小于2【答案】A【解析】，，至少有一个不小于2 11.设的最大值为（）A．B．C．D．1【答案】D【解析】本题主要考查的是均值不等式。

高二数学均值定理的应用试题答案及解析1.已知a>0,b>0,a+b=2,则的最小值是（）A．B．4C．D．5【答案】Ｃ【解析】因为a>0,b>0,a+b=2，所以，当且仅当时＂＝＂成立，故选Ｃ．【考点】基本不等式．2.下列各式中，最小值等于2的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】A不正确，例如：，的符号相反时，式子的最小值不可能等于2；B不正确，由于，但等号不可能成立，故最小值不是2；C不正确，当时，它的最小值显然不是2；D正确，因为，当且仅当时，等号成立．故选D．【考点】基本不等式．3.已知圆的切线l与两坐标轴分别交于点A，B两点，则（O为坐标原点）面积的最小值为．【答案】【解析】因为切线l与两坐标轴分别交于点A，B两点,所以切线有斜率,并且不等于0,所以设其为,所以,所以的面积等于.因为直线为切线,所以,即,所以,代入面积公式,可得,根据均值不等式,可知当且仅当时,取得最小值.【考点】直线与圆相切,均值不等式.4.某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为的三段式污水处理池，池高为1，如果池的四周墙壁的建造费单价为元，池中的每道隔墙厚度不计，面积只计一面，隔墙的建造费单价为元，池底的建造费单价为元，则水池的长、宽分别为多少米时，污水池的造价最低？最低造价为多少元？【答案】污水池的长宽分别为, 时造价最低，为元．【解析】设污水池的宽为，则长为，水池的造价为元，则由题意知：定义域为，,利用基本不等式即可求得其最值．试题解析：设污水池的宽为，则长为，水池的造价为元，则由题意知：定义域为，当且仅当，取“=”，此时长为，即污水池的长宽分别为, 时造价最低，为元．【考点】本题考查了基本不等式的应用．5.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大.最大面积是多少?【答案】故当长宽都为9m时,面积最大为81.【解析】本题考查周长为定值的矩形面积最大的问题.应用基本不等式求得最大值.试题解析：解:设矩形的长宽分别为,则有,,面积,当且仅当时取“＝”,故当长宽都为9m时,面积最大为81.【考点】基本不等式的应用.6.设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数()．A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【答案】C【解析】将三个式子相加，构造出均值不等式的形式，由均值不等式可得a+b+c≥6，从而推出a，b，c的范围．因为x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，那么可知a+b+c=∴a，b，c至少有一个不小于2．故选C．【考点】基本不等式点评：基本不等式是高考重点考查的知识点之一，应用基本不等式时，要熟练掌握不等式成立的条件与重要不等式的变形．7.函数，当时，函数有最大值为_________.【答案】-3,-8.【解析】因为,当x=-3时，f(x)取得最大值，最大值为-8.8.当时，下列函数中最小值为2的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为当时，故，而，选项D中，不能取得最小值为2，选C9.当＞0时，函数的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】当＞0时，函数,选B10.若，则当且仅当= 时，函数的最大值为；【答案】0，【解析】解：因为x=0时，则，故填写11.（本题满分10分）已知，对，恒成立，求的取值范围。

高二数学均值定理的应用试题答案及解析1.设x>0，y>0，z>0，a=x+，b=y+，c=z+，则a，b，c三数A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【答案】C【解析】由于三者的地位彼此相同，三者的地位彼此也相同.因此设,则，即至少有一个不小于2.【考点】基本不等式.2.设，若，则的最小值为____________.【答案】9.【解析】∵①，同理②，③，①+②+③，可得，当且仅当时，“=”成立，故的最小值为9.【考点】基本不等式求最值.3.设a>0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是()A．a2＋b2＋2≥2a＋2b B．C．＋≥2D．a3＋b3≥2ab2【答案】D【解析】A可变为，一定成立；B 由已知，结合对数函数的性质一定成立；C由已知，结合基本不等式，知一定成立；故选D.考点:对数函数，基本不等式.4.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大.最大面积是多少?【答案】故当长宽都为9m时,面积最大为81.【解析】本题考查周长为定值的矩形面积最大的问题.应用基本不等式求得最大值.试题解析：解:设矩形的长宽分别为,则有,,面积,当且仅当时取“＝”,故当长宽都为9m时,面积最大为81.【考点】基本不等式的应用.5.若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为（）A．8B．12C．16D．20【答案】C【解析】因为，直线始终平分圆的周长，所以圆心（-4，-1）在直线上，从而，4a+b=1，所以，，故选C。

【考点】本题主要考查直线与圆的位置关系，均值定理的应用。

点评：小综合题，本解法通过“1”的代换，创造了应用均值定理的条件。

应用均值定理，“一正，二定，三相等”缺一不可。

6.求使≤(x＞0，y＞0)恒成立的的最小值【答案】【解析】本题主要考查了基本不等式的综合．（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数；（2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．先将题设的不等式平方后，同时利用基本不等式综合可求得a的最小值满足的等式求得a．解法一由于的值为正数，将已知不等式两边平方，得x+y+2≤2(x+y)，即2≤(2－1)(x+y)，①∴x，y＞0，∴x+y≥2，②当且仅当x=y时，②中有等号成立比较①、②得的最小值满足2－1=1，∴2=2，= (因＞0)，∴的最小值是解法二设∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (当x=y时“=”成立)，7.下列各式中，最小值等于的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为选项A中没有说明x,y是同号，因此不成立选项B中，由于，使用均值不等式时，等号不成立，因此错误。

均值定理公式总结及应用1. 均值定理概述均值定理是微积分中的重要定理之一，它通过使用积分的均值来描述函数与其在某个区间上的平均值之间的关系。

均值定理有多种形式，其中最为常见的两种是拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的形式如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个介于a和b之间的c，使得f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均斜率，即：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于多元函数。

柯西中值定理的形式如下：设函数f(x, y)和g(x, y)在闭区域D上连续，并在开区域D上可微，则存在一个介于D内部的点c，使得：[f(x1, y1) - f(x2, y2)] / [g(x1, y1) - g(x2, y2)] = [∂f/∂x(c)] /[∂g/∂x(c)] = [∂f/∂y(c)] / [∂g/∂y(c)]4. 均值定理的应用均值定理在微积分中有许多应用。

以下是一些常见的应用例子：确定函数在某个区间的存在性和唯一性通过使用柯西中值定理，可以确定一个连续函数在某个区间内的存在性和唯一性。

求函数在某个区间上的最值通过使用拉格朗日中值定理，可以在一个区间上求一个函数的最大或最小值，从而简化计算过程。

证明不等式通过使用柯西中值定理，可以证明一些常见的不等式，例如柯西-施瓦茨不等式和拉格朗日中值定理。

求定积分通过使用拉格朗日中值定理，可以将定积分转化为函数平均值的形式，从而简化计算过程。

5. 总结均值定理是微积分中的重要工具，它通过使用函数的平均值来描述函数在某个区间上的性质。

拉格朗日中值定理和柯西中值定理是常见的均值定理形式，它们在函数存在性、最值求解、不等式证明和定积分计算等方面都有重要应用。

高二数学均值定理的应用试题答案及解析1.若，，且，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A当时，就不成立；对于B当时，就不成立；对于C当时，就不成立，只有D正确，它满足均值不等式，故选择D.【考点】均值不等式及应用.2.已知正数满足，则的最小值为 _____________.【答案】18【解析】由于正数满足，则当且仅当时，上式等号成立；故应填入：18．【考点】基本不等式.3.下列各式中，最小值等于2的是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】A不正确，例如：，的符号相反时，式子的最小值不可能等于2；B不正确，由于，但等号不可能成立，故最小值不是2；C不正确，当时，它的最小值显然不是2；D正确，因为，当且仅当时，等号成立．故选D.【考点】基本不等式．4.设a>0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是()A．a2＋b2＋2≥2a＋2b B．C．＋≥2D．a3＋b3≥2ab2【答案】D【解析】A可变为，一定成立；B 由已知，结合对数函数的性质一定成立；C由已知，结合基本不等式，知一定成立；故选D.考点:对数函数，基本不等式.5.已知正数满足，则的最小值为 .【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时，取得最小值，最小值为．【考点】本题主要考查了对于基本不等式的掌握．6.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大.最大面积是多少?【答案】故当长宽都为9m时,面积最大为81.【解析】本题考查周长为定值的矩形面积最大的问题.应用基本不等式求得最大值.试题解析：解:设矩形的长宽分别为,则有,,面积,当且仅当时取“＝”,故当长宽都为9m时,面积最大为81.【考点】基本不等式的应用.7.设，且，则有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为.设，且，排除A,C,同时，故选B8.当时，下列函数中最小值为2的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为当时，故，而，选项D中，不能取得最小值为2，选C9.．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由题意，投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），∴3a+2b=2，∴2≥2∴ab≤（当且仅当a=时取等号）∴ab的最大值为故选D．10.已知，则的最小值是（）A．2B．C．4D．【答案】C【解析】解：因为，则，故最小值是4，选C11.求使≤(x＞0，y＞0)恒成立的的最小值【答案】【解析】本题主要考查了基本不等式的综合．（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数；（2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．先将题设的不等式平方后，同时利用基本不等式综合可求得a的最小值满足的等式求得a．解法一由于的值为正数，将已知不等式两边平方，得x+y+2≤2(x+y)，即2≤(2－1)(x+y)，①∴x，y＞0，∴x+y≥2，②当且仅当x=y时，②中有等号成立比较①、②得的最小值满足2－1=1，∴2=2，= (因＞0)，∴的最小值是解法二设∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (当x=y时“=”成立)，12.下列各式中，最小值等于的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为选项A中没有说明x,y是同号，因此不成立选项B中，由于，使用均值不等式时，等号不成立，因此错误。

均值定理六个公式的推导
均值定理是公认的代数学科中重要的定理，它对于理解和分析代数问题中的等式有着重要意义。

自古以来，从古希腊到现代，人们已经研究均值定理并推导出了六个定理，它们分别是：均值定理一、均值定理二、均值定理三、均值定理四、均值定理五、均值定理六。

本文就均值定理的六个定理的推导进行讨论。

第一个定理：如果一个多项式的所有项和恒等于零，则它的展开式的二次项系数等于它的第二项与最后一项的乘积除于二。

推导：假设该多项式由如下形式组成：
P(x)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n=0
因为P(x)=0，所以
a0+a1x+a2x^2+...+anx^n=0
移项可得：
a2x^2+a1x+a0=-a3x^3-a4x^4-....-anx^n
现在，两边同时乘以x^2
a2x^4+a1x^3+a0x^2=-a3x^5-a4x^6-....-anx^(n+2) 再把有x^4的一面移到另一面，得到：
a2x^4=-a3x^5-a4x^6-....-anx^(n+2)+a1x^3+a0x^2 现在，将有x^5的一边两边同时除以x^2
a2=-a3x+a4x^2+....+anx^(n-2)+a1x+a0
再把有一次项的一面都移到另一边，得到
a2=-a3x+a4x^2+....+anx^(n-2)-a1x-a0
从上面的公式可以看出，多项式P(x)的二次项系数a2等于它的第二项a1 与最后一项an的乘积除于二，即：
a2=a1*an/2
因此得证第一个均值定理的推导。

高二数学均值定理的应用试题答案及解析1.设x>0，y>0，z>0，a=x+，b=y+，c=z+，则a，b，c三数A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【答案】C【解析】由于三者的地位彼此相同，三者的地位彼此也相同.因此设,则，即至少有一个不小于2.【考点】基本不等式.2.已知a>0,b>0,a+b=2,则的最小值是（）A．B．4C．D．5【答案】Ｃ【解析】因为a>0,b>0,a+b=2，所以，当且仅当时＂＝＂成立，故选Ｃ．【考点】基本不等式．3.设，若，则的最小值为____________.【答案】9.【解析】∵①，同理②，③，①+②+③，可得，当且仅当时，“=”成立，故的最小值为9.【考点】基本不等式求最值.4.的最大值和最小值的乘积为；【答案】【解析】当时，，所以，当时，的最大值和最小值的乘积为.【考点】基本不等式求最值5.下列不等式一定成立的是( )A．（）B．（）C．（）D．（）【答案】D【解析】A：因为，错；B：当sinx<0时显然不成立。

错；C：当x<0时，不等式不成立，错；D:因为.【考点】基本不等式的应用。

点评：.利用基本不等式求最值，要注意其适用条件，一正二定三取等，三者缺一不可。

6.已知为正实数，且，若对于满足条件的恒成立，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为为正实数，且，那么可知，所以，因此可知c小于a+b的最小值即可，故有c的取值范围是，选A.【考点】本试题主要考查了均值不等式的求解最值的运用。

点评：解决该试题的关键是能将c分离开来，转换为c恒成立即可，只要求解c小于等于a+b的最小值即可。

7.下列命题正确的是（）A．B．对任意的实数,都有恒成立.C．的最大值为2D．的最小值为2【答案】D【解析】因为A、中，所以可知，对于无理数的比较可以采用有理化或者平方的思想得到。

故错误。

高二数学均值定理试题答案及解析1.设椭圆＋＝1和x轴正半轴交点为A，和y轴正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，那么四边形OAPB面积最大值为()A．ab B．ab C．ab D．2ab【答案】B【解析】设，则有，即；又因为，即，所以。

=，所以，即，故B正确。

【考点】椭圆基本性质，基本不等式，分割法求面积2.若正实数满足，则+的最小值是( )A．4B．6C．8D．9【答案】D【解析】由，得，当且公当，即，时，取等号.所以正确答案是D.【考点】基本不等式3.已知，且.则的最小值为_____________.【答案】【解析】，当且仅当时等号成立.【考点】均值不等式的应用4.下列结论正确的是（）A．当且时，；B．当时，；C．当时，的最小值为2；D．当时，无最大值；【答案】B【解析】基本不等式的应用要把握：一正二定三相等.A选项中0<x<1时lg x<0.所以A选项不成立.C选项中当取到最小值时x=1.所以不包含在中.所以排除C. D选项中是关于x递增的代数式，当x=2时取到最大值.所以排除D.B选项符合了一正二定三相等的条件.故选B.【考点】1.基本不等式的应用.2.对数知识，函数的单调性知识.5.若正数满足，则的最小值是__________.【答案】5【解析】所以3x+4y=(3x+4y)=【考点】1.基本不等式的应用.2.构造等式一边是1.6.设若的最小值为（）A． 8B． 4C．1D．【答案】B【解析】本题显然要先求出之间满足的关系，是与的等比中项，得，即，∴．由基本不等式得，即，时取等号．∴．选B．【考点】基本不等式．7.在中，,的面积，则与夹角的取值范围为的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】故选A.8.设且则此四个数中最大的是（）ＡＢＣＤ【答案】C【解析】根据基本不等式知，在根据b＞a＞0，且得b＞＞a，故四个数，2ab，，b中可以通过比较与b的大小确定之间的大小关系，通过作差法b-=b （）-=a（b-a）＞0，故而b最大根据基本不等式知：，∵b＞a＞0，且∴b＞＞a∵∴四个数，2ab，，b中最大的是b故选C本题考查了多个数的比较大小，可采用分组比较大小，减小比较的范围，本题也可采用特殊值法进行求解9.已知，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略10.设，，则三数（）A．至少有一个不小于2B．都大于2C．至少有一个不大于2D．都小于2【答案】A【解析】，，至少有一个不小于211.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查基本不等式，，，故A、B选项都是错误的。