高二数学费尔马大定理.docx

费马大定理的证明与应用费马大定理，又称费马猜想，是数学史上一项著名的未解问题，它由法国数学家费尔马在17世纪提出。

费马大定理表述如下：对于任何大于2的自然数n，方程xⁿ + yⁿ = zⁿ都没有正整数解。

本文将介绍费马大定理的证明过程，并探讨其在数学领域的应用。

一、费马大定理的证明费马大定理的证明历经数学界多位杰出数学家的尝试，其中最著名的是安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明。

在1994年，怀尔斯发表了一篇震动数学界的论文，证明了费马大定理。

怀尔斯的证明主要依赖于椭圆曲线和模形式理论的深入研究。

他运用了数学领域的许多高深的工具和技巧，最终成功地证明了费马大定理。

怀尔斯的证明过程非常复杂，涉及多个数学分支的交叉应用。

他利用了数论、代数几何、复分析和模形式等多个领域的理论，通过构建了一种新的数学对象，即模形式的自守L函数，并运用了模形式的整数性质以及所谓的“维澄群”的性质。

这个复杂而精妙的证明过程展示了数学家们在解决难题上的智慧和坚持，也让人们更加信服费马大定理的正确性。

二、费马大定理的应用1. 密码学领域费马大定理在密码学领域有着广泛的应用。

其中一个重要的应用是基于椭圆曲线密码学的算法，而椭圆曲线密码学的基础正是椭圆曲线理论。

费马大定理的证明中用到的椭圆曲线理论为密码学提供了可靠的数学基础，使得密码系统更加安全和可靠。

2. 算术基本定理的一种证明费马大定理的证明过程中，怀尔斯使用了模形式的概念和相关的数学工具，其中一部分内容恰好可以用来证明算术基本定理。

算术基本定理也被称为质因数分解定理，它指出任何一个大于1的整数都可以唯一地分解成质数的乘积。

因此，费马大定理的证明在某种程度上间接地证明了算术基本定理的正确性。

3. 数学领域的研究与发展费马大定理的证明对于数学领域的发展与研究具有重要影响。

它不仅推动了椭圆曲线和模形式等数学分支的发展，也激发了数学家们对于其他难题的思考与探索。

费马大定理的证明过程中所运用的数学工具和技巧，丰富了数学领域的理论体系，为数学家们提供了新的思路和方法。

费尔马大定理我们知道，勾股定理公式（毕达哥拉斯方程）x2+y2=z2有整数解，即能找到三个整数x、y、z，使x2+y2=z2成立。

那么对于方程x n+y n=z n（n>2），是否有整数解呢？大约是在1637年，法国业余数学家皮埃尔.德.费马令人惊讶地宣称，方程x n+y n=z n（n>2）根本没有解存在。

他的这个论断写在他阅读的公元前三世纪的希腊数学家丢番图的《算术》的页边处，他写到：不可能将一个立方数写成两个立方数之和，或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。

这是一个异乎寻常的结论，但是费马相信他能够证明这个结论。

在列出这个结论的第一个边注后面，这个常常只叙述问题而将问题的解答隐藏起来的天才数学家草草写下一个附加的评注，这个评注苦恼了一代又一代的数学家们：我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。

他的话暗示人们，他由于发现这个“十分美妙”的证明而特别愉快，但却不屑费神写出这个论证的细节，从不介意去发表它。

他从未与任何人谈过他的证明，然而不管他如何谦逊和无心于此，费马大定理（就像后世人们所称呼的那样）终将在未来的几个世纪闻名于全世界。

由于费马与数学界人士不相往来，他的各种发现处于被永远遗失的危险之中。

幸运的是，费马的长子克来孟—塞缪尔意识到他父亲的业余爱好所具有的重要意义，决心不让世界失去父亲的发现。

他花了5年的时间收集他父亲的注记和信件，检查那本《算术》书的页边空白处草草写下的字迹。

那条被称为费马大定理的边注只是涂写在这本书中的许多由灵感而生的思想之一。

1670年，克来孟—塞缪尔出版了《附有P.de费马的评注的丢番图的算术》。

费马的注记包含了整整一系列的定理。

不幸的是，对这些评注或者根本没有任何解释，或者仅仅给出对证明的一点点提示。

其中略微透露出的带有挑逗性的逻辑推理，足以使数学家们毫不怀疑费马已经有了证明的方法，而补全所有的细节就作为一种挑战留给了数学家们。

费尔马大定理及其证明近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂。

在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。

其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。

它们被称为近代三大数学难题。

300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。

费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。

这被认为是“20世纪最重大的数学成就”。

费尔马大定理的由来故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。

丢番图活动于公元250年前后。

1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程2x＋2y＝2z的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。

我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。

”费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。

1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。

后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理。

用数学语言来表达就是：形如n x＋n y＝n z 的方程，当n大于2时没有正整数解。

费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”。

1601年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。

童年时期是在家里受的教育。

长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。

从1648年起，担任图卢兹市议会议员。

他酷爱数学，把自己所有的业余时间都用于研究数学和物理。

由于他思维敏捷，记忆力强，又具备研究数学所必须的顽强精神，所以，获得了丰硕的成果，使他跻身于17世纪大数学家之列。

艰难的探索起初，数学家想重新找到费尔马没有写出来的那个“美妙证法”，但是谁也没有成功。