圆的有关性质2020年中考数学学霸专题(答案版)

中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。

考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。

2020-2021中考数学圆的综合的综合热点考点难点及详细答案一、圆的综合1．如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD．(1)如图(1),求证:AD∥BC；(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；(3)在(2)的条件下,若DG平分∠ADC,GE=53,tan∠ADF=43,求⊙O的半径。

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）129【解析】试题分析：(1)连接AC．由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论．（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE，DN=BE．由圆内接四边形的性质得到∠NDC=∠B．即可证明ΔABE≌ΔCND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论．（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE．再证明ΔCDE是等边三角形，ΔBGE是等边三角形，通过解三角形ABE，得到AB，HB，AH，HE的长，由EC=DE=AB，得到HC的长．在Rt△AHC中，由勾股定理求出AC的长．作直径AP，连接CP，通过解△APC即可得出结论．试题解析：解：(1)连接AC．∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC．（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，∴DN=BE．∵ABCD是圆内接四边形，∴∠NDC=∠B．∵AB=CD，∴ΔABE≌ΔCND，∴AE=CN．∵DN=AD，AF=FC，∴DF=1CN，∴AE=2DF．2（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE．∵DF∥CN，∴∠ADF=∠ANC，∴∠AEB=∠ADF，∴tan∠AEB= tan∠ADF=43，DG平分∠ADC，∴∠ADG=∠CDG．∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∠NDC=∠DCE．∵∠ABC=∠NDC，∴∠ABC=∠DCE．∵AB∥DG，∴∠ABC=∠DEC，∴∠DEC=∠ECD=∠EDC，∴ΔCDE是等边三角形，∴AB=DE=CE．∵∠GBC=∠GDC=60°，∠G=∠DCB=60°，∴ΔBGE是等边三角形，BE= GE=53．∵tan∠AEB= tan∠ADF=43，设HE=x，则AH=43x．∵∠ABE=∠DEC=60°，∴∠BAH=30°，∴BH=4x，AB=8x，∴4x+x=53，解得：x=3，∴AB=83，HB=43，AH=12，EC=DE=AB=83，∴HC=HE+EC=383+=93．在Rt△AHC中，AC=222212(93)AH HC+=+=343．作直径AP，连接CP，∴∠ACP=90°，∠P=∠ABC=60°，∴sin∠P=AC AP，∴3432129sin6032ACAP===︒，∴⊙O的半径是129．2．如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．（1）求证：∠ABD=2∠BDC；（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）92DE =. 【解析】【分析】 （1）连接AD ，如图1，设∠BDC =α，∠ADC =β，根据圆周角定理得到∠CAB =∠BDC =α，由AB 为⊙O 直径，得到∠ADB =90°，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到∠ACE =∠ADC ，等量代换得到∠ACE =∠CAE ，于是得到结论； （3）如图2，连接OC ，根据圆周角定理得到∠COB =2∠CAB ，等量代换得到∠COB =∠ABD ，根据相似三角形的性质得到OH =5，根据勾股定理得到AB =22AD BD +=26，由相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）连接AD ．如图1，设∠BDC =α，∠ADC =β，则∠CAB =∠BDC =α，∵点C 为弧ABD 中点，∴¶AC =¶CD，∴∠ADC =∠DAC =β，∴∠DAB =β﹣α， ∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB =90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD =90°﹣∠DAB =90°﹣（β﹣α），∴∠ABD =2α，∴∠ABD =2∠BDC ；（2）∵CH ⊥AB ，∴∠ACE +∠CAB =∠ADC +∠BDC =90°，∵∠CAB =∠CDB ，∴∠ACE =∠ADC ，∵∠CAE =∠ADC ，∴∠ACE =∠CAE ，∴AE =CE ；（3）如图2，连接OC ，∴∠COB =2∠CAB ，∵∠ABD =2∠BDC ，∠BDC =∠CAB ，∴∠COB =∠ABD ，∵∠OHC =∠ADB =90°，∴△OCH ∽△ABD ，∴12OH OC BD AB ==， ∵OH =5，∴BD =10，∴AB 22AD BD +，∴AO =13，∴AH =18，∵△AHE ∽△ADB ，∴AH AE AD AB =，即1824=26AE ，∴AE =392，∴DE =92．【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图1，将长为10的线段OA 绕点O 旋转90°得到OB ，点A 的运动轨迹为»AB ，P 是半径OB 上一动点，Q 是»AB 上的一动点，连接PQ.发现：∠POQ ＝________时，PQ 有最大值，最大值为________；思考：（1）如图2，若P 是OB 中点，且QP ⊥OB 于点P ，求»BQ的长； （2）如图3，将扇形AOB 沿折痕AP 折叠，使点B 的对应点B′恰好落在OA 的延长线上，求阴影部分面积；探究：如图4，将扇形OAB 沿PQ 折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切，切点为C ，若OP ＝6，求点O 到折痕PQ 的距离．【答案】发现： 90°，2； 思考：（1）103π=；（2）2+100；（3）点O 到折痕PQ 30【解析】 分析：发现：先判断出当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，即可得出结论；思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论； （2）先在Rt △B'OP 中，OP 22−10)2=（10-OP ）2，解得2−10，最后用面积的和差即可得出结论．探究：先找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，证明四边形OCO′B 是矩形，由勾股定理求O′B ，从而求出OO′的长，则OM=1230详解：发现：∵P 是半径OB 上一动点，Q 是»AB 上的一动点，∴当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，此时，∠POQ=90°，PQ=22OA OB +=102； 思考：（1）如图，连接OQ ，∵点P 是OB 的中点，∴OP=12OB=12OQ ． ∵QP ⊥OB ，∴∠OPQ=90° 在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP=12OP OQ =， ∴∠QOP=60°，∴l BQ =6010101803ππ⨯=； （2）由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝102，在Rt △B'OP 中，OP 2+(102−10)2=（10-OP ）2解得OP=102−10，S 阴影=S 扇形AOB -2S △AOP =290101210(10210)3602π⨯-⨯⨯⨯- ＝25π−1002+100；探究：如图2，找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，则OM=O′M ，OO′⊥PQ ，O′P=OP=3，点O′是¼B Q '所在圆的圆心，∴O′C=OB=10，∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切于C 点，∴O′C ⊥AO ，∴O′C ∥OB ，∴四边形OCO′B 是矩形，在Rt △O′BP 中，O′B=226425-=， 在Rt △OBO′K ，OO′=2210(25)=230-，∴OM=12OO′=12×230=30， 即O 到折痕PQ 的距离为30．点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=180n R π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．4．如图，已知在△ABC 中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P 在AB 边上，⊙P 的半径为定长.当点P 与点B 重合时，⊙P 恰好与AC 边相切；当点P 与点B 不重合时，⊙P 与AC 边相交于点M 和点N ．（1）求⊙P 的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM 与△PCN 是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，⊙P 与边AC 相切，则BD 就是⊙P 的半径，利用解直角三角形得出BD 与AD 的关系，再利用勾股定理可求得BD 的长； （2）如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，根据垂径定理得出MN=2MH ，PM=PN ，再利用勾股定理求出PH 、AH 、MH 、MN 的长，从而求出AM 、NC 的长，然后求出AM MP 、PN NC 的值，得出AM MP =PN NC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∵⊙P 与边AC 相切，∴BD 就是⊙P 的半径，在Rt △ABD 中，tanA= 1BD 2AD =， 设BD=x ，则AD=2x ， ∴x 2+(2x)2=152，解得：x=35，∴半径为35；（2）相似，理由见解析，如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∴PH 垂直平分MN ，∴PM=PN ，在Rt △AHP 中，tanA=12PH AH =， 设PH=y ，AH=2y ，y 2+（2y ）2=（65）2解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴3535AM MP ==，35PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.5．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 12，求AB 和FC 的长．【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF =【解析】 分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：⑴证明：连结OC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠BAC=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠B=∠FCA∴∠FCA+∠OCA=90°即∠OCF=90°∵C 在⊙O 上∴CF 是⊙O 的切线⑵∵AE=4，tan ∠ACD12AE EC = ∴CE=8 ∵直径AB ⊥弦CD 于点E∴»»AD AC =∵∠FCA ＝∠B∴∠B=∠ACD=∠FCA∴∠EOC=∠ECA∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE ⊥AB∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE= 即106=8CF ∴40CF 3= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.6．已知：如图，△ABC 中，AC=3，∠ABC=30°．（1）尺规作图：求作△ABC 的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；（2）求（1）中所求作的圆的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB 的垂直平分线；②作线段BC 的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O 为圆心，OA 长为半圆画圆，则圆O 即为所求作的圆． 如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC ＝3，如图弦AC 所对的圆周角是∠ABC =30°，所以圆心角∠AOC =60°，所以∆AOC 是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．（2）连接OA，OB．∵AC=3，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴圆的半径是3，∴圆的面积是S=πr2=9π．7．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=12AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．（1）∠C的最大度数为；（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：∵sin∠OCP=OPOC=2 4=12，∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°，故答案为：30°；（2）有最大值，理由：∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=12OC•OP=12×6×3=9；（3）连结AP，BP，如图2，在△OAP与△OBD中，OA ODAOP BODOP OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，∵PC=DB，∴AP=PC，∵PA=PC，∴∠A=∠C，∵BC=12AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，在△APB和△CPO中，AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．8．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）3π【解析】【分析】（1）与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．（2）根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．【详解】解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．（2）∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP=30°，∵∠A=90°，∴BP=2APRt△ABP中,AB=3，由勾股定理可得：AP=3，∴S⊙P=3π9．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．(1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；(2)若»CD的长为134π，求“回旋角”∠CPD的度数；(3)若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．【答案】(1)∠CPD是直径AB的“回旋角”，理由见解析；(2)“回旋角”∠CPD的度数为45°；(3)满足条件的AP的长为3或23．【解析】【分析】（1）由∠CPD、∠BPC得到∠APD，得到∠BPC＝∠APD，所以∠CPD是直径AB的“回旋角”；（2）利用CD弧长公式求出∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，利用∠CPD为直径AB的“回旋角”，得到∠APD＝∠BPC，∠OPE＝∠APD，得到∠OPE+∠CPD+∠BPC ＝180°，即点D ，P ，E 三点共线，∠CED ＝12∠COD ＝22.5°， 得到∠OPE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，则∠APD ＝∠BPC ＝67.5°，所以∠CPD ＝45°；（3）分出情况P 在OA 上或者OB 上的情况，在OA 上时，同理（2）的方法得到点D ，P ，F 在同一条直线上，得到△PCF 是等边三角形，连接OC ，OD ，过点O 作OG ⊥CD 于G ，利用sin ∠DOG ，求得CD ，利用周长求得DF ，过O 作OH ⊥DF 于H ，利用勾股定理求得OP ，进而得到AP ；在OB 上时，同理OA 计算方法即可【详解】∠CPD 是直径AB 的“回旋角”，理由：∵∠CPD ＝∠BPC ＝60°，∴∠APD ＝180°﹣∠CPD ﹣∠BPC ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BPC ＝∠APD ，∴∠CPD 是直径AB 的“回旋角”；(2)如图1，∵AB ＝26，∴OC ＝OD ＝OA ＝13，设∠COD ＝n°，∵»CD 的长为134π， ∴13131804n ππ=n ∴n ＝45，∴∠COD ＝45°，作CE ⊥AB 交⊙O 于E ，连接PE ，∴∠BPC ＝∠OPE ，∵∠CPD 为直径AB 的“回旋角”，∴∠APD ＝∠BPC ，∴∠OPE ＝∠APD ，∵∠APD+∠CPD+∠BPC ＝180°，∴∠OPE+∠CPD+∠BPC ＝180°，∴点D ，P ，E 三点共线，∴∠CED ＝12∠COD ＝22.5°， ∴∠OPE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠APD ＝∠BPC ＝67.5°，∴∠CPD ＝45°，即：“回旋角”∠CPD 的度数为45°，(3)①当点P 在半径OA 上时，如图2，过点C 作CF ⊥AB 交⊙O 于F ，连接PF ， ∴PF ＝PC ，同(2)的方法得，点D ，P ，F 在同一条直线上，∵直径AB的“回旋角”为120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，∴△PCF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，连接OC，OD，∴∠COD＝120°，过点O作OG⊥CD于G，∠COD＝60°，∴CD＝2DG，∠DOG＝12√∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝1332∴CD＝133√，∵△PCD的周长为24+133√，∴PD+PC＝24，∵PC＝PF，∴PD+PF＝DF＝24，过O作OH⊥DF于H，∴DH＝1DF＝12，2在Rt△OHD中，OH＝225-=OD DH在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝10，∴AP＝OA﹣OP＝3；②当点P在半径OB上时，同①的方法得，BP＝3，∴AP＝AB﹣BP＝23，即：满足条件的AP的长为3或23．【点睛】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论10．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴PO，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．11．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2) 求证：∠ACF=90°；(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.图1 图2【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2π【解析】试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（1）BE=FH．理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF（SAS）∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°过E作EN⊥AC于点NRt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt△ENA中，EN =又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30°∴AE=Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°=2π·4·（90°÷360°）=2π考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数12．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若CD＝2，AC＝4，BD＝6，求⊙O的半径．【答案】（1）详见解析；（235.【解析】【分析】(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD⊥AD ，从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，∵OF⊥BD∴DF＝BF＝12BD＝3∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°∴AD22AC CD5∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°∴△BFO∽△ACD∴BFAC = OB AD即3425∴OB＝352∴⊙O的半径为35．【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键13．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是半圆⊙O上的点，连接AC，BC，点E是AC的中点，点F是射线OE上一点．（1）如图1，连接FA，FC，若∠AFC＝2∠BAC，求证：FA⊥AB；（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA，FG，FG与AC相交于点P，且AF＝FG．①试猜想∠AFG和∠B的数量关系，并证明；②连接OG，若OE＝BD，∠GOE＝90°，⊙O的半径为2，求EP的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．理由见解析；②PE 3．【解析】【分析】（1）证明∠OFA＝∠BAC，由∠EAO+∠EOA＝90°，推出∠OFA+∠AOE＝90°，推出∠FAO＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．连接FC．由FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．因为»»AG AG，推出∠GFA＝2∠ACG，再证明∠ACG＝∠ABC．②图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．想办法证明∠GFA＝120°，求出EF，OF，OG即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵»»AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠ACG，∴∠GFA＝2∠ABC．②如图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．∵BD ＝OE ，∠CDB ＝∠AEO ＝90°，∠B ＝∠AOE ，∴△CDB ≌△AEO （AAS ），∴CD ＝AE ，∵EC ＝EA ，∴AC ＝2CD ．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 222213AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 603AH ︒=， 在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴134233=， ∴PE 3． 【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于C 点，AC 平分∠DAB ． （1）求证：AD ⊥CD ；（2）若AD ＝2，AC=6，求⊙O 的半径R 的长．【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】试题分析：（1）连接OC ，由题意得OC ⊥CD ．又因为AC 平分∠DAB ，则∠1=∠2=12∠DAB ．即可得出AD ∥OC ，则AD ⊥CD ； （2）连接BC ，则∠ACB =90°，可证明△ADC ∽△ACB ．则2AD AC AC R ，从而求得R ． 试题解析：（1）证明：连接OC ，∵直线CD 与⊙O 相切于C 点，AB 是⊙O 的直径，∴OC ⊥CD ．又∵AC 平分∠DAB ，∴∠1=∠2=12∠DAB ． 又∠COB =2∠1=∠DAB ，∴AD ∥OC ，∴AD ⊥CD ．（2）连接BC ，则∠ACB =90°，在△ADC 和△ACB 中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB =90°，∴△ADC ∽△ACB ． ∴2AD AC AC R = ∴R =2322AC AD =15．如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，过点C 作⊙O 的切线CP 交BA 的延长线于点P ，连接AE ．（1）求证：PC=PD ；（2）若AC=5cm ，BC=12cm ，求线段AE ，CE 的长．【答案】(1)见解析 (2) EC=1722 AE=1322【解析】 试题分析：（1）如图1中，连接OC 、OE ．利用等角的余角相等，证明∠PCD =∠PDC 即可；（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．首先证明Rt △AEF ≌Rt △BEH ，推出AF =BH ，设AF =BH =x ，再证明四边形CFEH 是正方形，推出CF =CH ，可得5+x =12﹣x ，推出x =72，延长即可解决问题； 试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC 、OE ．∵AB 直径，∴∠ACB =90°，∴CE 平分∠ACB ，∴∠ECA =∠ECB =45°，∴¶AE =¶BE，∴OE ⊥AB ，∴∠DOE =90°．∵PC 是切线，∴OC ⊥PC ，∴∠PCO =90°．∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ．∵∠PCD +∠OCE =90°，∠ODE +∠OEC =90°，∠PDC =∠ODE ，∴∠PCD =∠PDC ，∴PC =PD ．（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．∵CE 平分∠ACB ，EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ，∴EH =EF ，∠EFA =∠EHB =90°．∵¶AE =¶BE，∴AE =BE ，∴Rt △AEF ≌Rt △BEH ，∴AF =BH ，设AF =BH =x ．∵∠F =∠FCH =∠CHE =90°，∴四边形CFEH 是矩形．∵EH =EF ，∴四边形CFEH 是正方形，∴CF =CH ，∴5+x =12﹣x ，∴x =72，∴CF =FE =172，∴EC 2CF 172，AE 22EF AF +2217722（）（）+132 点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

圆的有关性质一.选择题1.（2020•黑龙江省哈尔滨市•3分）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接A D.CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（）A．25°B．20°C．30°D．35°【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵AB为圆O的切线，∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，∵∠ADC＝35°，∴∠AOB＝2∠ADC＝70°，∴∠ABO＝90°﹣70°＝20°．故选：B．【点评】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．2.（2020•黑龙江省牡丹江市•3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接B D．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．【解答】解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC ＝2∠BDC ＝100°， ∵，∴∠BOC ＝∠AOC ＝100°，∴∠ABC ＝∠AOC ＝50°，∴∠ADC ＝180°﹣∠ABC ＝130°．故选：B ．【点评】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．3.（2020•广东省广州市•3分）往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽48AB cm ，则水的最大深度为（ ）A. 8cmB. 10cmC. 16cmD. 20cm【答案】C【解析】【分析】 过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ，根据垂径定理即可求得AD 的长，又由⊙O 的直径为52cm ，求得OA 的长，然后根据勾股定理，即可求得OD 的长，进而求得油的最大深度DE 的长．【详解】解：过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ，由垂径定理得：11482422AD AB cm ==⨯=， ∵⊙O 的直径为52cm ，∴26OA OE cm ==，在Rt AOD ∆中，由勾股定理得：2222=2624=10O m O A D A D c -=-，∴261016DE OE OD cm =-=-=，∴油的最大深度为16cm ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．4 （2020年内蒙古通辽市3分）7.如图，,PA PB 分别与O 相切于,A B 两点，72P ∠=︒，则C ∠=( )A. 108︒B. 72︒C. 54︒D. 36︒【答案】C【解析】【分析】 连接O A.OB ，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP 的内角和为360°，即可推出∠AOB 的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C 的度数．【详解】解：连接O A.OB ，∵直线P A.PB分别与⊙O相切于点A.B，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∵∠P=72°，∴∠AOB=108°，∵C是⊙O上一点，∴∠ACB=54°．故选：C．【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果．5. （2020•江苏省常州市•2分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A.B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确BC的最大值为⊙O的直径的长是解题的关键．6.（2020•河北省•2分）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，O C．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°﹣65°＝115°．故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．∠为7 （2020•湖南省张家界·3分）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BCD∠的度数为（）120︒，则BODA. 100︒B. 110︒C. 120︒D. 130︒【答案】C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．8 （2020•江苏省淮安市•3分）如图，点A.B.C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（）A．54°B．27°C．36°D．108°【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质求出∠ABO＝∠BAO，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠ACB＝54°，∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO ＝（180°﹣∠AOB）＝36°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题的关键．9. （2020•江苏省南京市•2分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A 的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）【分析】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE.PF、PD，延长EP与CD 交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE.PF、PD，延长EP 与CD交于点G，则PE⊥y轴，PF⊥x轴，∵∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∵PE＝PF，PE∥OF，∴四边形PEOF为正方形，∴OE＝OF＝PE＝OF＝5，∵A（0，8），∴OA＝8，∴AE＝8﹣5＝3，∵四边形OACB为矩形，∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∴EG∥AC，。

2020届中考数学 几何专题：与圆有关的性质（含答案）一、选择题1.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B ＝60°，则∠CAO 的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°2.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB＝，则弦AB 所对圆周角的度数为（）A.30°B.60° C.30°或150° D.60°或120°3.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为，则弦AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．94.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ）A ．28°B ．56°C ．60°D ．62°5.如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝BD ，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53 96.如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB ＝80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°7.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70o ，∠C ＝50o，那么sin ∠AEB 的值为( )A. B. C. D.8.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米， 拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．5米9.如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA 、OB ，若∠ABO＝25°，则∠C 的度数为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°10.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）．213322233A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．1米11.如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）12.如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是（ ）A ．AD ＝BDB ．∠ACB ＝∠AOEC ．D ．OD ＝DE13.如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的 长是（ ）A ．B ．C ．D ．14．如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2OA AB BO --OP s t s t AE BE =O A ． B ．C ．D ．15．如图，⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O的半径为，则弦CD 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使BP ＝AB ，PC 切半圆O 于点C ，点D 是上和点C 不重合的一点，则的度数为 .2.如图，在⊙O 中，∠ACB ＝20°，则∠AOB ＝______度.3.如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，则 度． cm 33cm 23cm 9cm 12AC D ∠17040A ∠=∠=°，°，C ∠=4.在⊙O 中，已知⊙O 的直径AB 为2，弦AC 长为，弦AD 长为．则DC 2＝______5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD∥AC ，若BD ＝1，则BC 的长为6.已知的直径为上的一点，，则＝ _ ．7.如图，的半径弦点为弦上一动点，则点到圆心的最短距离是 cm ．8.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为上一点，若∠CEA ＝，则∠ABD ＝°.9.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠A CO ＝32°，则∠COB 的度数等于 ． 32O ⊙8cm AB C =，O ⊙30BAC ∠=°BC cm O 5cm OA =，8cm AB =，P AB P O BC 28BABCD 1三、解答题1.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ＝BF ；（2）若AD ＝2，⊙O 的半径为3，求BC 的长．2.已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标为．求⊙O 1的半径．3.已知：如图，⊙O 的直径AD ＝2，，∠BAE ＝90°．(1)求△CAD 的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P ，那么点P 落在四边形ABCD 区域的概率是多少？5图2 BC CD DE ==4.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：.【参考答案】选择题1. B2.DBF BG BC ⋅=23. C4. D5. B6. A7. D8. B9. C10. D11. C12. D13. D14. A15. A16. B填空题1. 30°2. 403. 304.5. 26. 47. 38. 289. 64º解答题1. 证明：（1） 连结AC ，如图。

2020中考数学专题复习圆的性质与计算（含答案）一、选择题（本大题共7道小题）1. 如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为()A.32°B.31°C.29°D.61°2. 如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，若AB=10，AC=8，则BD的长为 ()A.2B.4C.2D.4.83. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π) ()A.8-πB.16-2πC.8-2πD.8-π4. 如图，已知AB是☉O的直径，点P在BA的延长线上，PD与☉O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4，BC=6，则PA的长为()A.4B.2C.3D.2.55. 如图，将☉O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若☉O的半径为3，则的长为()A.πB.πC.2πD.3π6. 如图，在半径为的☉O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD的长是()A.2B.2C.2D.47. 如图，AB为☉O的直径，BC为☉O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD.下列结论:①CD是☉O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED·BC=BO·BE.其中正确结论的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（本大题共5道小题）8. 如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2，则☉O的半径是.9. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为.10. 如图，☉O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧上.若∠BAC=66°，则∠EPF等于度.11. 如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6 cm，则该莱洛三角形的周长为cm.12. 如图，以AB为直径的☉O与CE相切于点C，CE交AB的延长线于点E，直径AB=18，∠A=30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)①=;②扇形OBC的面积为π;③△OCF∽△OEC;④若点P为线段OA上一动点，则AP·OP有最大值20.25.三、解答题（本大题共5道小题）13. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.以AC为直径作☉O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.(1)求证:DE是☉O的切线.(2)若DE=，∠C=30°，求的长.14. 如图所示，☉O的半径为4，点A是☉O上一点，直线l经过点A.P是☉O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l于点B，交☉O于点E，直径PD 的延长线交直线l于点F，点A是的中点.(1)求证:直线l是☉O的切线;(2)若PA=6，求PB的长.15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作☉O，点D为☉O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与☉O的位置关系，并说明理由;(2)若BE=2，DE=4，求☉O的半径及AC的长.16. 如图，过☉O外一点P作☉O的切线PA，切☉O于点A，连接PO并延长，与☉O交于C，D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC，CM.(1)求证:CM2=MN·MA;(2)若∠P=30°，PC=2，求CM的长.17. 如图，AB是☉O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作☉O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12，BD=5，求☉O的半径.2020中考数学专题复习圆的性质与计算-答案一、选择题（本大题共7道小题）1. 【答案】A[解析]记线段OP交☉O于点F.连接CO，CF，∵∠A=119°，∴∠BFC=61°，∴∠BOC=122°，∴∠COP=58°.∵CP与圆相切于点C，∴OC⊥CP，∴在Rt△OCP中，∠P=90°-∠COP=32°，故选A.2. 【答案】C[解析]∵AB是直径，∴∠C=90°，∴BC==6.∵OD⊥AC，∴CD=AD=AC=4，∴BD==2，故选C.3. 【答案】C[解析]在边长为4的正方形ABCD中，BD是对角线，∴AD=AB=4，∠BAD=90°，∠ABE=45°，∴S△ABD=·AD·AB=8，S扇形ABE==2π，∴S阴影=S△ABD-S扇形ABE=8-2π.故选C.4. 【答案】A[解析]如图，连接OD.∵PC切☉O于点D，∴OD⊥PC.∵☉O的半径为4，∴PO=PA+4，PB=PA+8.∵OD⊥PC，BC⊥PD，∴OD∥BC，∴△POD∽△PBC，∴=，即=，解得PA=4.故选A.5. 【答案】C[解析]连接OA，OB，过点O作OD⊥AB交于点E，由题可知OD=DE=OE=OA，在Rt△AOD中，sin A==，∴∠A=30°，∴∠AOD=60°，∠AOB=120°，∴的长==2π，故选C.6. 【答案】C[解析]过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB，OD，OE，如图所示，则DF=CF，AG=BG=AB=3，∴EG=AG-AE=2.在Rt△BOG中，OG===2，∴EG=OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG=45°，OE=OG=2.∵∠DEB=75°，∴∠OEF=30°，∴OF=OE=.在Rt△ODF中，DF===，∴CD=2DF=2.故选C.7. 【答案】A[解析]连接DO，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠COB=∠COD，∴△COD≌△COB，∴∠ODC=∠OBC，∵BC为☉O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴CD是☉O的切线，故①正确;∵OB=OD，∠COB=∠COD，∴CO⊥DB，故②正确;∵∠EDA+∠ADO=90°，∠DBA+∠DAO=90°，∴∠EDA=∠DBA，∴△EDA∽△EBD，故③正确;∵△EDA∽△EBD，∴=，易证△COB∽△BAD，∴=，∴=，∴=，即ED·BC=BO·BE，故④正确.因此本题选A.二、填空题（本大题共5道小题）8. 【答案】2[解析]连接OC，则OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°.∵OB⊥CD，CD=2，∴CH=，∴OH=1，∴OC=2.9. 【答案】4π[解析]设此圆锥的底面半径为r，由题意可得2πr=，解得r=2，故这个圆锥的底面圆的面积为4π.10. 【答案】57[解析]连接OE，OF.∵☉O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，∴OF⊥AC，OE⊥AB，∴∠BAC+∠EOF=180°，∵∠BAC=66°，∴∠EOF=114°.∵点P在优弧上，∴∠EPF=∠EOF=57°.故填:57.11. 【答案】6π[解析]以正三角形的顶点为圆心，边长为半径画弧，这三段弧的半径为6 cm，圆心角为60°，每段弧长为=2π(cm)，所以周长为2π×3=6π(cm).12. 【答案】①③④[解析]∵AB是☉O的直径，CD⊥AB，∴=，故①正确.∵∠A=30°，∴∠COB=60°，∴扇形OBC的面积=·π·2=π，故②错误.∵CE是☉O的切线，∴∠OCE=90°，∴∠OCE=∠OFC，又∵∠EOC=∠COF，∴△OCF∽△OEC，故③正确.设AP=x，则OP=9-x，∴AP·OP=x(9-x)=-x2+9x=-x-2+，∴当x=时，AP·OP取最大值，=20.25，故④正确.故答案为①③④.三、解答题（本大题共5道小题）13. 【答案】解:(1)证明:如图，连接OD，∵OC=OD，AB=AC，∴∠1=∠C，∠C=∠B.∴∠1=∠B.∵DE⊥AB，∴∠2+∠B=90°.∴∠2+∠1=90°，∴∠ODE=90°，∴DE为☉O的切线. (2)连接AD，∵AC为☉O的直径，∴∠ADC=90°.∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，BD=CD.∴∠AOD=60°.∵DE=，∴BD=CD=2，∴OC=2，∴的长=π×2=π.14. 【答案】解:(1)证明:连接OA.∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA.∵点A是的中点，∴=，∴∠DPA=∠APB，∴∠OAP=∠APB.∴OA∥PB.∵PB⊥l，∴OA⊥l，∴直线l是☉O的切线.(2)连接AD，∵PD是直径，∴∠PAD=90°，∴∠PAD=∠PBA.又∵∠DPA=∠APB，∴△PAD∽△PBA，∴=，即=，∴PB=.15. 【答案】解:(1)直线CD与☉O相切.理由如下:连接CO.∵点D在圆上，∴OD=OB，又∵CD=CB，CO=CO，∴△COD≌△COB(SSS).∵∠ABC=90°，∴∠ODC=∠ABC=90°，∴OD⊥DC，∴直线CD与☉O相切.(2)设☉O的半径为x，∵DE=4，∴OE=4-x.在Rt△OBE中，BE2+BO2=OE2，即22+x2=(4-x)2，解得x=1.5，∴OD=OB=1.5.AB=2OB=3.∵CB，CD是圆的切线，∴CB=CD.则设CB=CD=y，在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，即y2+42=(y+2)2，解得y=3，∴BC=3.在Rt△ABC中，AC==3.16. 【答案】解:(1)证明:∵在☉O中，点M是半圆CD的中点，∴∠CAM=∠DCM，又∵∠CMA是△CMN和△AMC的公共角，∴△CMN∽△AMC，∴=，∴CM2=MN·M A.(2)连接OA，DM，∵PA是☉O的切线，∴∠PAO=90°，又∵∠P=30°，∴OA=PO=(PC+CO).设☉O的半径为r，∵PC=2，∴r=(2+r)，解得r=2.又∵CD是直径，∴∠CMD=90°，∵点M是半圆CD的中点，∴CM=DM，∴△CMD是等腰直角三角形，∴在Rt△CMD中，由勾股定理得CM2+DM2=CD2，∴2CM2=(2r)2=16，∴CM2=8，∴CM=2.17. 【答案】解:(1)证明:如图①，∵DC⊥OA，∴∠1+∠3=90°.∵BD为切线，∴OB⊥BD，∴∠2+∠5=90°.∵OA=OB，∴∠1=∠2.∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，∴DE=DB.(2)如图②，作DF⊥AB于F，连接OE，∵DB=DE，∴EF=BE=3.在Rt△DEF中，EF=3，DE=BD=5，∴DF==4，∴sin∠DEF==.∵∠AOE=∠DEF，∴在Rt△AOE中，sin∠AOE==，∵AE=6，∴AO=.即☉O的半径为.。

2020-2021中考数学圆的综合的综合热点考点难点附答案解析一、圆的综合1．如图，⊙A 过▱OBCD 的三顶点O 、D 、C ，边OB 与⊙A 相切于点O ，边BC 与⊙O 相交于点H ，射线OA 交边CD 于点E ，交⊙A 于点F ，点P 在射线OA 上，且∠PCD=2∠DOF ，以O 为原点，OP 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（0，﹣2）． （1）若∠BOH=30°，求点H 的坐标； （2）求证：直线PC 是⊙A 的切线；（3）若，求⊙A 的半径．【答案】（1）（12）详见解析；（3）53. 【解析】 【分析】（1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH ，OM ，即可得出结论； （2）先判断出∠PCD=∠DAE ，进而判断出∠PCD=∠CAE ，即可得出结论；（3）先求出OE ═3，进而用勾股定理建立方程，r 2-（3-r ）2=1，即可得出结论．【详解】（1）解：如图，过点H 作HM ⊥y 轴，垂足为M ． ∵四边形OBCD 是平行四边形， ∴∠B=∠ODC∵四边形OHCD 是圆内接四边形 ∴∠OHB=∠ODC ∴∠OHB=∠B ∴OH=OB=2 ∴在Rt △OMH 中， ∵∠BOH=30°，∴MH=12OH=1，∴点H 的坐标为（1 （2）连接AC ． ∵OA=AD ， ∴∠DOF=∠ADO ∴∠DAE=2∠DOF∵∠PCD=2∠DOF ， ∴∠PCD=∠DAE ∵OB 与⊙O 相切于点A ∴OB ⊥OF ∵OB ∥CD ∴CD ⊥AF ∴∠DAE=∠CAE ∴∠PCD=∠CAE∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90° ∴直线PC 是⊙A 的切线； （3）解：⊙O 的半径为r ．在Rt △OED 中，DE=12CD=12OB=1， ， ∴OE ═3∵OA=AD=r ，AE=3﹣r ．在Rt △DEA 中，根据勾股定理得，r 2﹣（3﹣r ）2=1解得r=53．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键．2．图1和图2，半圆O 的直径AB=2，点P （不与点A ，B 重合）为半圆上一点，将图形延BP 折叠，分别得到点A ，O 的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C ∥AB ，如图1，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．试题解析：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E，OE=BE，∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，∴A′C与半圆O相切；（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2，连接AO′，则可知BO′=AB，∴∠O′AB=30°，∴∠ABO′=60°，∴α=30°，（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．3．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．（1）求证：∠ACE=∠DCE；（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数；（3）若AC=4，23CDFCOESS∆∆=，求CF的长．【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（3【解析】【分析】（1）易证∠OEC =∠OCE ，∠OEC =∠ECD ，从而可知∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G ，易证∠AGC =∠B +∠BAG =60°，由于OE ∥BC ，所以∠AEO =∠AGC =60°，所以∠EAO =∠AEO =60°； （3）易证12COE CAES S=，由于23CDF COES S=，所以CDF CAES S =13，由圆周角定理可知∠AEC =∠FDC =90°，从而可证明△CDF ∽△CEA ，利用三角形相似的性质即可求出答案． 【详解】（1）∵OC =OE ，∴∠OEC =∠OCE ．∵OE ∥BC ，∴∠OEC =∠ECD ，∴∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G ．∵∠AGC 是△ABG 的外角，∴∠AGC =∠B +∠BAG =60°． ∵OE ∥BC ，∴∠AEO =∠AGC =60°． ∵OA =OE ，∴∠EAO =∠AEO =60°． （3）∵O 是AC 中点，∴12COE CAES S=． 23CDF COES S=，∴CDF CAES S=13． ∵AC 是直径，∴∠AEC =∠FDC =90°． ∵∠ACE =∠FCD ，∴△CDF ∽△CEA ，∴CFCACF【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．4．如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB=CD ． (1)如图(1),求证:AD ∥BC ；(2)如图(2),点F 是AC 的中点,弦DG ∥AB,交BC 于点E,交AC 于点M,求证:AE=2DF ； (3)在(2)的条件下,若DG 平分∠∠,求⊙O 的半径。

2020年九年级数学中考第二轮专题训练圆1、已知：如图，⊙O的直径A B与弦C D相交于E，＝，⊙O的切线B F与弦A D的延长线相交于点F．（1）求证：C D∥B F．（2）连接B C，若⊙O 的半径为4，cos∠BCD ＝，求线段A D、C D的长．2、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）判断D E与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）如果⊙O的直径为9，cos B＝，求D E的长．3、如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以A B为直径作⊙O，点D 为⊙O上一点，且C D＝C B，连接D O并延长交C B的延长线于点E．（1）判断直线C D与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及A C的长．4、如图，BC 是⊙O的直径，CE 是⊙O的弦，过点E 作⊙O 的切线，交C B的延长线于点G，过点B作B F⊥G E于点F，交C E的延长线于点A．（1）求证：∠ABG＝2∠C；（2）若G F＝33，GB＝6，求⊙O的半径．5、如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，P是C D延长线上的点，且A P＝A C．（1）求证：A P是⊙O的切线；（2）若A C＝3，求P D 的长．6、如图，在矩形A B C D中，CD＝2，AD ＝4，点P在B C上，将△A B P沿A P折叠，点B 恰好落在对角线A C上的E点，O为A C上一点，⊙O经过点A，P（1）求证：BC 是⊙O的切线；（2）在边C B上截取C F＝C E，点F是线段B C的黄金分割点吗？请说明理由．7、已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，点O在A B上，以O为圆心，O A 长为半径的圆与A C，A B分别交于点D，E，且∠CB D＝∠A．（1）判断直线B D与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若B C＝2，B D＝，求的值．8、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．9、如图，在△A B C中，A B＝A C，以A B为直径的⊙O分别交B C、A C于点D、E，连接E B交O D于点F．（1）求证：O D⊥B E；（2）若D E＝，A B＝，求A E的长．10、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线D F是⊙O的切线；（2）求证：B C2＝4C F•A C；（3）若⊙O的半径为 4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．11、如图，A B是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为O D延长线上一点，且∠C A E＝2∠C，AC 与B D交于点H，与O E交于点F．（1）求证：AE 是⊙O的切线；（2）若DH＝9，tan C＝，求直径A B的长．12、已知Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以A B为直径作⊙O交A C于点D，连接B D．（1）如图 1，若BD ：CD ＝3：4，AD ＝3，求⊙O的直径A B的长；（2）如图 2，若E是B C的中点，连接E D，请你判断直线E D与⊙O的位置关系，并证明你的结论．13、如图，△A B C内接于⊙O，A B为直径，作O D⊥A B交A C于点D，延长B C，O D交于点F，过点C作⊙O的切线C E，交O F于点E．（1）求证：E C＝E D；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦A C的长．14、以坐标原点为圆心，1 为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过 1 秒后点P运动到点（2，0），此时P Q 恰好是⊙O的切线，连接O Q．求∠Q O P的大小；（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q 再经过 5 秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．15、如图，已知半径为 1 的⊙O1 与x轴交于A，B两点，O M 为⊙O1 的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y＝﹣x2+b x+c的图象经过A，B两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线O M的函数解析式；（3）线段O M 上存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△O O1M 相似．请问有几个符合条件的点P 并分别求出它们的坐标．16、（1）方法选择如图①，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D，A B＝B C＝A C．求证：B D＝A D+C D．小颖认为可用截长法证明：在D B上截取D M＝A D，连接A M…小军认为可用补短法证明：延长C D至点N，使得D N＝A D…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究 1】如图②，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D，B C是⊙O的直径，A B＝A C．试用等式表示线段A D，B D，C D之间的数量关系，井证明你的结论．【探究 2】如图③，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D．若B C是⊙O的直径，∠ABC ＝30°，则线段A D，B D，C D之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D．若B C是⊙O的直径，B C：A C：A B＝a：b：c，则线段A D，B D，C D之间的等量关系式是．17、如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以B C上一点O为圆心作圆与A B相切于点D，与B C分别交于点F、N，连接D F并延长交A C的延长线点E．（1）求证：A E＝A D；（2）过点D作D H⊥B C于点B，连接A F并延长交⊙O于点G，连接D G，若D O平分∠G D H．求证：∠A F D＝2∠D F N；（3）在（2）的条件下，延长D G交A E的延长线于点P，连接P F并延长交⊙O于点M，若FM＝5，FH ＝9，求O H的长．参考答案1、（1）证明：∵直径A B平分，∴AB⊥CD．∵BF与⊙O相切，AB是⊙O的直径，∴A B⊥B F．∴C D∥B F．（2）解：连接BD，BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在Rt△ADB中，∵cos∠BAF＝c os∠BCD＝，AB＝4×2＝8．∴AD＝AB •c o s∠BAF＝8×＝6．∵AB⊥CD于E，在Rt△AED中，c os∠BAF＝c os∠BCD＝，sin∠BAF＝．∴DE＝AD •s i n∠BAF＝6×．∵直径A B平分，∴C D＝2D E＝3．2、解：（1）答：D E是⊙O的切线．证明：连接O D，A D，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，即A D⊥B C，∵O D＝O A，∴∠O D A＝∠O A D，∴∠O A D＝∠C A D，∴∠O D A＝∠C A D，又∵D E⊥A C，∴∠EDA+∠CAD＝90°，∴∠EDA+∠ODA＝90°，即：O D⊥D E，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，∵cos∠B＝＝，AB＝9，∴B D＝C D＝3，在Rt△CDE中，∵cos∠C＝，∴CE＝CD•cos∠C＝3•cos∠B＝3×＝1，∴D E＝＝2．3、（1）证明：连接O C．∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△O C B≌△O C D（S S S），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△O B E中，∵O E2＝E B2+O B2，∴（4﹣r）2＝r2+22，∴r＝1.5，∵tan∠E＝＝，∴＝，∴CD＝BC＝3，在Rt△ABC中，A C＝＝＝3．∴圆的半径为1.5，AC 的长为3．4、（1）证明：连接O E，∵EG是⊙O的切线，∴O E⊥E G，∵B F⊥G E，∴O E∥A B，∴∠A＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠O E C＝∠C，∴∠A＝∠C，∵∠ABG＝∠A+∠C，∴∠ABG＝2∠C；（2）解：∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，∵GF＝3，GB＝6，∴B F＝＝3，∵BF∥OE，∴△B G F∽△O G E，∴＝，∴＝，∴OE＝6，∴⊙O的半径为 6．5、解：（1）证明：连接O A，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°，∴∠AOP＝60°，又∵A P＝A C，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝90°，即O A⊥A P，∵点A在⊙O上，∴AP是⊙O的切线．（2）解：连接A D，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴AD＝AC∙tan30°＝，C D＝2A D＝2，∴D O＝A O＝C D＝，在Rt△P A O中，由勾股定理得：P A2+A O2＝P O2，∴32+（）2＝（P D+）2，∵PD的值为正数，∴P D＝．6、解：（1）连接O P，则∠P A O＝∠A P O，而△A E P是由△A B P沿A P折叠而得：故A E＝A B＝4，∠O A P＝∠P A B，∴∠BAP＝∠OPA，∴AB∥OP，∴∠OPC＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）C F＝C E＝A C﹣A E＝﹣4＝2﹣2，＝，故：点F是线段B C的黄金分割点． 7、解：（1）直线B D与⊙O相切．证明：如图 1，连接O D．∵OA＝OD，∴∠A＝∠A D O．∵∠C＝90°，∴∠CBD +∠CDB＝90°．又∵∠C B D＝∠A，∴∠ADO+∠CDB＝90°．∴∠ODB＝90°．∴直线BD与⊙O相切．（2）解法一：如图 1，连接DE．∵∠C＝90°，BC＝2，BD＝∴．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°．∴．∵∠CBD＝∠A，∴＝＝．∵AE＝2AO，∴＝．解法二：如图 2，过点O作OH⊥AD于点H．∴．∴∵∠C＝90°，BC＝2，BD＝∴．∵∠CBD＝∠A，∴＝＝．∴＝．8、（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，∵点F是ED的中点，∴CF＝EF＝DF，∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OD⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，∴CF与⊙O相切；（2）解：∵OD⊥AB，AC⊥BD，∴∠AOE＝∠ACD＝90°，∵∠AEO＝∠DEC，∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，∵A O＝B O，∴A D＝B D，∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，∴∠ADB＝45°，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD．9、证明：（1）连接A D．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∵A B＝A C，∴D C＝D B．∵O A＝O B，∴O D∥A C．∴∠OFB＝∠AEB＝90°，∴OD⊥BE．（2）设AE＝x，∵OD⊥BE，∴可得OD是BE的中垂线，∴DE＝DB，∴∠1＝∠2，∴B D＝E D＝，∵O D⊥E B，∴F E＝F B．∴O F＝A E＝，D F＝O D﹣O F＝．在Rt△DFB 中，；在Rt△OFB 中，；∴＝．解得，即．10、解：（1）如图所示，连接O D，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF是⊙O的切线；（2）连接A D，则A D⊥B C，则A B＝A C，则D B＝D C＝，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，而∠D F C＝∠A D C＝90°，∴△C F D∽△C D A，∴C D2＝C F•A C，即B C2＝4C F•A C；（3）连接O E，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△O A E＝A E×O E sin∠O E A＝×2×O E×cos∠O E A×O E sin∠O E A＝4，S ＝﹣S ＝×π×42﹣4 ＝﹣4 ．阴影部分S扇形OAE △OAE11、解：（1）∵D是的中点，∴OE⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF＝90°，∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠CAE＝∠AOE，∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠O D B，∴∠O D B＝∠C，∴tan C＝tan∠ODB＝＝，∴设HF＝3x，DF＝4x，∴DH＝5x＝9，∴x＝，∴D F＝，H F＝，∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD，∴△D F H∽△C F D，∴＝，∴C F＝＝，∴A F＝C F＝，设O A＝O D＝x，∴O F＝x﹣，∵A F2+O F2＝O A2，∴（）2+（x﹣）2＝x2，解得：x＝10，∴OA＝10，∴直径AB的长为 20．12、解：（1）如图，∵A B是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．则∠CDB＝∠ADB＝90°．∴∠C+∠CBD＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°．∴∠C＝∠A B D．∴△A D B∽△B D C．∴．∵BD：CD＝3：4，AD＝3，∴BD＝4．在Rt△A B D中，A B＝；（3 分）（2）直线E D与⊙O相切．证明：如图，连接O D．由（1）得∠BDC＝90°．∵E是BC的中点，∴D E＝B E＝B C，∴∠E D B＝∠E B D，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．∵∠OBD+∠EBD＝90°，∴∠ODB+∠EDB＝∠ODE＝90°．∵点D在⊙O上，且OD⊥DE∴ED是⊙O的切线．（5 分）13、（1）证明：连接O C，∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，∴OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠ACE+∠A＝90°，∵OD⊥AB，∴∠ODA+∠A＝90°，∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE+∠A＝90°，∴∠CDE＝∠ACE，∴EC＝ED；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，∴∠CDE +∠ECF＝90°，∵∠CDE +∠F＝90°，∴∠ECF＝∠F，∴E C＝E F，∵EF＝3，∴EC＝DE＝3，∴O E＝＝5，∴OD＝OE﹣DE＝2，在Rt△OAD中，A D＝＝2，在Rt△AOD 和Rt△ACB 中，∵∠A＝∠A，∠A C B＝∠A O D，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴，即，∵∴O C ＝ ＝ ．． ∴A C ＝ ．14、解：（1）如图一，连接A Q ．由题意可知：O Q ＝O A ＝1．∵OP ＝2，∴A 为 OP 的中点．∵PQ 与⊙O 相切于点 Q ，∴△O Q P 为直角三角形．∴．即△OAQ 为等边三角形．∴∠QOP ＝60°．（2）由（1）可知点 Q 运动 1 秒时经过的弧长所对的圆心角为 30°，若 Q 按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过 5 秒，则 Q 点落在⊙O 与 y 轴负半轴的交点处（如图二）．设 直线 P Q 与⊙O 的另外一个交点为 D ，过 O 作 OC ⊥QD 于点 C ，则 C 为 QD 的中点．∵∠QOP ＝90°，OQ ＝1，OP ＝2，∴Q P ＝． ， ∵O C ⊥Q D ，O Q ＝1，O C ＝ ，∴Q C ＝＝ ．∴QD ＝15、解：（1）∵圆心的坐标为O1（2，0），⊙O1 半径为 1，∴A（1，0），B（3，0），∵二次函数y＝﹣x2+b x+c的图象经过点A，B，∴可得方程组，解得：，∴二次函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．（2）过点M作M F⊥X轴，垂足为F．∵O M是⊙O1 的切线，M为切点，∴O1M⊥O M（圆的切线垂直于经过切点的半径）．在R T△O O1M中，sin∠O1O M＝＝，∵∠O1O M为锐角，∴∠O1O M＝30°，∴O M＝O O1•cos30°＝，在R T△M O F中，OF＝OM •cos30°＝．MF＝O M sin30°＝．∴点M坐标为（），设切线O M的函数解析式为y＝k x（k≠0），由题意可知＝k，∴k＝，∴切线O M的函数解析式为y＝x（3）两个，①过点A作A P1⊥x轴，与O M交于点P1，可得 Rt△A P1O∽Rt△M O1O（两角对应相等两三角形相似），P1A＝O A•tan∠A O P1＝，∴P1（1，）；②过点A作A P2⊥O M，垂足为，过P2 点作P2 H⊥O A，垂足为H．可得 Rt△O P2A∽Rt△O1 M O（两角对应相等两三角形相似），在Rt△O P2A中，∵OA＝1，∴P2＝O A•cos30°＝，在Rt△O P2 H中，O H＝O P2•cos∠A O P2＝，P2H＝O P2 •sin∠A O P2＝，P2（，），∴符合条件的P点坐标有（1，），（，）．16、解：（1）方法选择：∵A B＝B C＝A C，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AM＝AD，∵∠ABM＝∠ACD，∵∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△A B M≌△A C D（A A S），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；（2）类比探究：如图②，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，过A作A M⊥A D交B D于M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴D M＝A D，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠ABM＝∠ACD，∴△A B M≌△A C D（A A S），∴BM＝CD，∴B D＝B M+D M＝C D+A D；【探究 2】如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，过A作A M⊥A D交B D于M，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠AMD＝30°，∴MD＝2AD，∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，∴△ABM∽△ACD，∴＝，∴B M＝C D，∴B D＝B M+D M＝C D+2A D；故答案为：B D＝C D+2A D；（3）拓展猜想：B D＝B M+D M＝C D+A D；理由：如图④，∵若B C是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，过A作AM⊥AD交BD于M，∴∠MAD＝90°，∴∠B A M＝∠D A C，∴△A B M∽△A C D，∴＝，∴B M＝C D，∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°，∴△ADM∽△ACB，∴＝＝，∴D M＝A D，∴B D＝B M+D M＝C D+A D．故答案为：B D＝C D+A D17、解：（1）证明：∵∠A C B＝90°∴∠E+∠CFE＝∠ACB＝90°∵∠CFE＝∠OFD∴∠E+∠OFD＝90°∵AB切⊙O于D∴OD⊥AB∴∠ODF+∠ADE＝90°∵OD＝OF∴∠OFD＝∠ODF∴∠E＝∠ADE∴AE＝AD（2）证明：连接D N∵DO平分∠GDH∴设∠ODG＝∠ODH＝α，设∠FDG＝β，则∠FDH＝2α+β∵OF＝OD∴∠DFN＝∠ODF＝α+β∵DH⊥FN∴∠DHF＝90°∴∠DFN+∠FDH＝90°，即α+β+2α+β＝3α+2β＝90°∵FN为⊙O直径∴∠FDN＝90°∴∠DNF＝90°﹣∠DFN＝90°﹣（2α+β）＝3α+2β﹣（α+β）＝2α+β∴∠G＝∠DNF＝2α+β∵∠AFD＝∠G+∠FDG＝2α+β+β＝2α+2β∴∠AFD＝2∠DFN（3）过O作O Q∥A B交F M于点Q∵∠AEF+∠EFC＝90°，∠DFN+∠FDH＝90°，∠EFC＝∠DFN∴∠AEF＝∠FDH＝2α+β∴∠ADE＝∠AEF＝2α+β∴∠FAD＝180°﹣∠AFD﹣∠ADF＝2（3α+2β）﹣（2α+2β）﹣（2α+β）＝2α+β 即∠F A D＝∠A D F∴AF＝DF∴F在AD的垂直平分线上∵∠AEF＝∠FGD＝2α+β，∠AFE＝∠DFG∴∠EAF＝∠FDG＝β∴∠PAD＝∠PDA＝β+（2α+β）＝2α+2β∴PA＝PD∴P在A D的垂直平分线上即P M垂直平分A D∴OQ⊥FM∴∠OQF＝90°，FQ＝F M＝∵OQ∥AB∴∠FOQ＝∠B∵∠B+∠DOH＝∠DOH+∠ODH＝90°∴∠B＝∠ODH∴∠F O Q＝∠O D H在△F O Q与△O D H中∴△FOQ≌△ODH（AAS）∴OH＝FQ＝。

第四篇图形的性质专题22圆的有关性质知识点名师点晴垂径定理1．垂径定理能运用垂径定理解决有关问题．2．垂径定理逆定理能运用垂径定理的逆定理解决有关问题．圆心角、弧、弦之间相等关系的定理1．圆心角了解圆心角的概念2．圆心角、弧、弦之间相等关系的定理应用弧、弦、圆心角的关系进行证明和计算．圆周角1．圆周角了解圆周角的概念2．圆周角的定理理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．归纳1：垂径定理及其推论基础知识归纳：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．基本方法归纳：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．注意问题归纳：这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【例1】（2019湖北省黄冈市，第7题，3分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（¶AB），点O是这段¶AB的中点，点D是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m【答案】A．【分析】根据题意，可以推出AD=BD=20，若设半径为r，则OD=r﹣10，OB=r，结合勾股定理可推出半径r的值．【详解】∵OC⊥AB，∴AD=DB=20m．在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r得：r2=（r﹣10）2+202，解得：r=25m，∴这段弯路的半径为25m．故选A．【点睛】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB 的长度．考点：垂径定理的应用．归纳2：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理基础知识归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．基本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．【例2】（2019辽宁省葫芦岛市，第9题，3分）如图，在⊙O中，∠BAC=15°，∠ADC=20°，则∠ABO 的度数为（）A．70°B．55°C．45°D．35°【答案】B．【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数．【详解】连接OA、OC．∵∠BAC=15°，∠ADC=20°，∴∠AOB=2（∠ADC+∠BAC）=70°．∵OA=OB（都是半径），∴∠ABO=∠OAB12（180°﹣∠AOB）=55°．故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．考点：圆心角、弧、弦的关系．归纳3：圆周角定理基础知识归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．基本方法归纳：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．注意问题归纳：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．【例3】（2019浙江省温州市，第22题，10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点E在BC边上，且CA=CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE=4，CD38AB时，求⊙O的直径长．【答案】（1）证明见解析；（2）35．【分析】（1）连接AE，由∠BAC=90°，得到CF是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠AED=90°，即GD ⊥AE，推出CF∥DG，推出AB∥CD，于是得到结论；（2）设CD =3x ，AB =8x ，得到CD =FG =3x ，于是得到AF =CD =3x ，求得BG =8x ﹣3x ﹣3x =2x ，求得BC =6+4=10，根据勾股定理得到AB =8=8x ，求得x =1．在Rt △ACF 中，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）连接AE ．∵∠BAC =90°，∴CF 是⊙O 的直径．∵AC =EC ，∴CF ⊥AE ．∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED =90°，即GD ⊥AE ，∴CF ∥DG ．∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD =90°，∴∠ACD +∠BAC =180°，∴AB ∥CD ，∴四边形DCFG 是平行四边形；（2）由CD 38=AB ，设CD =3x ，AB =8x ，∴CD =FG =3x ． ∵∠AOF =∠COD ，∴AF =CD =3x ，∴BG =8x ﹣3x ﹣3x =2x ． ∵GE ∥CF ，∴23BE BG EC GF ==． ∵BE =4，∴AC =CE =6，∴BC =6+4=10，∴AB 22106=-=8=8x ，∴x =1．在Rt △ACF 中，AF =10，AC =6，∴CF 2236=+=35，即⊙O 的直径长为35．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．垂径定理；3．圆周角定理；4．三角形的外接圆与外心．【2019年题组】一、选择题1．（2019广西贵港市，第9题，3分）如图，AD 是⊙O 的直径，¶¶AB CD =，若∠AOB =40°，则圆周角∠BPC 的度数是（ ）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】B．【分析】根据圆周角定理即可求出答案．【详解】∵¶¶AB CD=，∠AOB=40°，∴∠COD=∠AOB=40°．∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，∴∠BOC=100°，∴∠BPC12=∠BOC=50°．故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．考点：1．圆心角、弧、弦的关系；2．圆周角定理．2．（2019内蒙古赤峰市，第10题，3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC=30°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】D．【分析】由圆周角定理得到∠AOC=2∠ADC=60°，然后由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求得∠BOC的度数．【详解】如图，∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2∠ADC=60°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴¶¶AC BC=，∴∠AOC=∠BOC=60°．故选D．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用定理进行推理是解答此题的关键．考点：1．垂径定理；2．圆心角、弧、弦的关系；3．圆周角定理．3．（2019广西梧州市，第11题，3分）如图，在半径为13的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD的长是（）A．6B．10C．11D．3【答案】C．【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF=CF，AG=BG12=AB=3，得出EG=AG﹣AE=2，由勾股定理得出OG22OB BG=-=2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG=45°，OE2=2OEF=30°，由直角三角形的性质得出OF12=OE2=DF11，即可得出答案．【详解】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF=CF，AG=BG12=AB=3，∴EG=AG﹣AE=2．在Rt△BOG中，OG22139OB BG=--=2，∴EG=OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG=45°，OE2=2．∵∠DEB=75°，∴∠OEF=30°，∴OF12=OE2=在Rt△ODF中，DF2213211OD OF=-=-=∴CD=2DF11故选C．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．考点：1．勾股定理；2．垂径定理．4．（2019湖北省十堰市，第8题，3分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，若BA 平分∠DBE ，AD =5，CE 13=，则AE =（ ）A ．3B ．32C ．43D ．23【答案】D ．【分析】连接AC ，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1=∠CDA ，∠2=∠3，从而得到∠3=∠CDA ，所以AC =AD =5，然后利用勾股定理计算AE 的长．【详解】连接AC ，如图，∵BA 平分∠DBE ，∴∠1=∠2．∵∠1=∠CDA ，∠2=∠3，∴∠3=∠CDA ，∴AC =AD =5．∵AE ⊥CB ，∴∠AEC =90°，∴AE 22225(13)AC CE =-=-=23．故选D ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．考点：1．勾股定理；2．垂径定理；3．圆内接四边形的性质．5．（2019吉林省，第5题，2分）如图，在⊙O 中，¶AB 所对的圆周角∠ACB =50°，若P 为¶AB 上一点，∠AOP =55°，则∠POB 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°【答案】B ．【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB 的度数，进而由角的和差求得结果．【详解】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°．∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°．故选B ．【点睛】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．考点：1．圆心角、弧、弦的关系；2．圆周角定理．6．（2019四川省广元市，第6题，3分）如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ，连接BD ，BC ，且AB =10，AC =8，则BD 的长为（ ）A ．5B ．4C ．13D ．4.8【答案】C ．【分析】先根据圆周角定理得∠ACB =90°，则利用勾股定理计算出BC =3，再根据垂径定理得到CD =AD 12=AC =4，然后利用勾股定理计算BD 的长． 【详解】∵AB 为直径，∴∠ACB =90°，∴BC 222254AB AC =-=-=3． ∵OD ⊥AC ，∴CD =AD 12=AC =4．在Rt △CBD 中，BD 2246=+=13 故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．考点：1．勾股定理；2．垂径定理；3．圆周角定理．7．（2019四川省成都市，第9题，3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为¶DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（）A．30°B．36°C．60°D．72°【答案】B．【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【详解】如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD3605︒==72°，∴∠CPD12=∠COD=36°．故选B．【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．考点：1．圆周角定理；2．正多边形和圆．8．（2019四川省眉山市，第10题，3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO=22.5°，OC=6，则CD的长为（）A ．62B ．32C ．6D ．12【答案】A ．【分析】先根据垂径定理得到CE =DE ，再根据圆周角定理得到∠BOC =2∠A =45°，则△OCE 为等腰直角三角形，所以CE 22=OC =32，从而得到CD 的长． 【详解】∵CD ⊥AB ，∴CE =DE ．∵∠BOC =2∠A =2×22.5°=45°，∴△OCE 为等腰直角三角形，∴CE 22=OC 22=⨯6=32，∴CD =2CE =62．故选A ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．考点：1．垂径定理；2．圆周角定理．9．（2019山东省威海市，第12题，3分）如图，⊙P 与x 轴交于点A （﹣5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ．若∠ACB =60°，则点C 的纵坐标为（ ）A 133B ．23+C ．2D ．2 2【答案】B ．【分析】连接P A ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，根据圆周角定理得到∠APB =120°，根据等腰三角形的性质得到∠P AB =∠PBA =30°，由垂径定理得到AD =BD =3，解直角三角形得到PD 3=P A =PB =PC 3CE 22124PC PE =-=-=2，于是得到结论．【详解】连接P A ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ．∵∠ACB =60°，∴∠APB =120°．∵P A =PB ，∴∠P AB =∠PBA =30°．∵A （﹣5，0），B （1，0），∴AB =6，∴AD =BD =3，∴PD 3=，P A =PB =PC =23．∵PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，∠AOC =90°，∴四边形PEOD 是矩形，∴OE =PD 3=，PE =OD =2，∴CE 22124PC PE =-=-=22，∴OC =CE +OE =223+，∴点C 的纵坐标为223+． 故选B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 考点：1．坐标与图形性质；2．垂径定理；3．圆周角定理．10．（2019滨州，第6题，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，若∠BCD =40°，则∠ABD 的大小为（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°【答案】B ．【分析】连接AD ，先根据圆周角定理得出∠A 及∠ADB 的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．【详解】连接AD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．∵∠BCD =40°，∴∠A =∠BCD =40°，∴∠ABD =90°﹣40°=50°．故选B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．考点：圆周角定理．11．（2019山东省潍坊市，第11题，3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB35=，DF=5，则BC的长为（）A．8B．10C．12D．16【答案】C．【分析】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明∠ADE=∠DAC得到FD=F A=5，再根据正弦的定义计算出EF=3，则AE=4，DE=8，接着证明△ADE∽△DBE，利用相似比得到BE=16，所以AB=20，然后在Rt△ABC 中利用正弦定义计算出BC的长．【详解】连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，而∠DCA=∠ABD，∴∠DAC=∠ABD．∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE=90°，而∠ADE+∠BDE=90°，∴∠ABD=∠ADE，∴∠ADE=∠DAC，∴FD=F A=5．在Rt△AEF中，∵sin∠CAB35EFAF==，∴EF=3，∴AE2253=-=4，DE=5+3=8．∵∠ADE=∠DBE，∠AED=∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：B E=AE：D E，即8：B E=4：8，∴BE=16，∴AB=4+16=20．在Rt△ABC中，∵sin∠CAB35BCAB==，∴BC=2035⨯=12．故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．考点：1．圆心角、弧、弦的关系；2．圆周角定理；3．解直角三角形．¶BC上两点，连接BD，CE并延长交12．（2019聊城，第8题，3分）如图，BC是半圆O的直径，D，E是于点A，连接OD，OE．如果∠A=70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°【答案】C．【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°﹣∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可．【详解】连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°﹣∠A=20°，∴∠DOE=2∠ACD=40°．故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．考点：圆周角定理．13．（2019山东省菏泽市，第6题，3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF=FD【答案】C．【分析】由圆周角定理和角平分线得出∠ADB =90°，∠OBC =∠DBC ，由等腰三角形的性质得出∠OCB =∠OBC ，得出∠DBC =∠OCB ，证出OC ∥BD ，选项A 成立；由平行线的性质得出AD ⊥OC ，选项B 成立；由垂径定理得出AF =FD ，选项D 成立；△CEF 和△BED 中，没有相等的边，△CEF 与△BED 不全等，选项C 不成立，即可得出答案．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，BC 平分∠ABD ，∴∠ADB =90°，∠OBC =∠DBC ，∴AD ⊥BD ．∵OB =OC ，∴∠OCB =∠OBC ，∴∠DBC =∠OCB ，∴OC ∥BD ，选项A 成立；∴AD ⊥OC ，选项B 成立；∴AF =FD ，选项D 成立；∵△CEF 和△BED 中，没有相等的边，∴△CEF 与△BED 不全等，选项C 不成立．故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．考点：1．全等三角形的判定；2．圆周角定理．14．（2019广西柳州市，第6题，3分）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是（ ）A ．∠B B ．∠C C ．∠DEBD ．∠D【答案】D ．【分析】直接利用圆周角定理进行判断．【详解】∵∠A 与∠D 都是¶BC所对的圆周角，∴∠D =∠A ． 故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．考点：圆周角定理．15．（2019江苏省镇江市，第15题，3分）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，·¶DC CB ．若∠C=110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【答案】A．【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．【详解】连接AC．∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°﹣∠C=70°．∵·¶DC CB=，∴∠CAB12=∠DAB=35°．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°﹣∠CAB=55°．故选A．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．考点：1．圆心角、弧、弦的关系；2．圆周角定理；3．圆内接四边形的性质．16．（2019湖北省宜昌市，第12题，3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC=40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】A．【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可得到∠A 的度数．【详解】∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°﹣40°﹣40°=100°，∴∠A12=∠BOC=50°．故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．考点：圆周角定理．17．（2019湖北省襄阳市，第10题，3分）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP=2OP B．CD=2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB【答案】A．【分析】利用圆周角定理得到∠ACD=90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD=OB，则可求出∠A=30°．在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP为△ACD的中位线，则CD=2OP，原式可对B选项进行判断；同时得到OB=2OP，则可对D选项进行判断．【详解】∵AD为直径，∴∠ACD=90°．∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD∥OB，CD=OB．在Rt△ACD中，sinA12CDAD==，∴∠A=30°．在Rt△AOP中，AP3=，所以A选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；∴AP=CP，∴OP为△ACD的中位线，∴CD=2OP，所以B选项的结论正确；∴OB=2OP，∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质．考点：1．三角形中位线定理；2．平行四边形的性质；3．垂径定理；4．圆周角定理．18．（2019甘肃省，第8题，3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=（）A．54°B．64°C．27°D．37°【答案】C．【分析】由∠AOC=126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【详解】∵∠AOC=126°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC=54°，∴∠CDB12=∠BOC=27°．故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．考点：1．圆心角、弧、弦的关系；2．圆周角定理．19．（2019甘肃省天水市，第9题，4分）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C．【分析】根据菱形的性质得到∠ACB12=∠DCB12=（180°﹣∠D）=50°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=80°，由三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∠D=80°，∴∠ACB12=∠DCB12=（180°﹣∠D）=50°．∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=80°，∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=30°．故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．考点：1．菱形的性质；2．圆周角定理．20．（2019甘肃省白银市，第9题，3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【答案】C．【分析】设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．【详解】设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的2倍，即AB2=OA，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠ASB12=∠AOB=45°．故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．考点：圆周角定理．21．（2019西藏，第8题，3分）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=2，则半径OB等于（）A．1B2C．2D．2【答案】B．【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB 是等腰直角三角形，进而得出答案．【详解】∵半径OC ⊥弦AB 于点D ，∴¶¶AC BC =，∴∠E 12=∠BOC =22.5°，∴∠BOD =45°，∴△ODB 是等腰直角三角形． ∵AB =2，∴DB =OD =1，则半径OB 等于：22112+=．故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB 是等腰直角三角形是解题的关键． 考点：1．勾股定理；2．垂径定理；3．圆周角定理．22．（2019贵州省安顺市，第8题，3分）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）A ．13B ．22C ．223D ．24 【答案】D ．【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC =∠CDO ，等量代换即可．【详解】作直径CD ．在Rt △OCD 中，CD =6，OC =2，则OD 22CD OC =-=42，tan ∠CDO 24OC OD ==，由圆周角定理得：∠OBC =∠CDO ，则tan ∠OBC 2=． 故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．考点：1．坐标与图形性质；2．圆周角定理；3．解直角三角形．23．（2019贵州省贵阳市，第6题，3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A．【分析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD()621806-⨯︒==120°，BC=CD，∴∠CBD12=（180°﹣120°）=30°．故选A．【点睛】本题考查了正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．考点：1．圆周角定理；2．正多边形和圆．24．（2019辽宁省沈阳市，第9题，2分）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD=24，则sin∠ACD的值是（）A．1213B．125C．512D．513【答案】D．【分析】首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD边的长，然后求得∠B的正弦即可求得答案．【详解】∵AB是直径，∴∠ADB=90°．∵⊙O的半径是13，∴AB=2×13=26，由勾股定理得：A D=10，∴sin∠B1052613 ADAB===．∵∠ACD=∠B，∴sin∠ACD=sin∠B5 13 =．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．25．（2019辽宁省营口市，第7题，3分）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB=70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°【答案】A．【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到∠BAC=90°，∠ACB=∠ADB=70°，然后利用互余计算∠ABC的度数．【详解】连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°．∵∠ACB=∠ADB=70°，∴∠ABC=90°﹣70°=20°．故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．考点：圆周角定理．26．（2019陕西，第9题，3分）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】B．【分析】连接FB，得到∠FOB=140°，求出∠EFB，∠OFB即可．【详解】连接FB．∵∠AOF=40°，∴∠FOB=180°﹣40°=140°，∴∠FEB12∠FOB=70°∵EF=EB∴∠EFB=∠EBF=55°．∵FO=BO，∴∠OFB=∠OBF=20°，∴∠EFO=∠EBO，∠EFO=∠EFB﹣∠OFB=35°．故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．考点：1．圆心角、弧、弦的关系；2．圆周角定理．二、填空题27．（2019四川省宜宾市，第15题，3分）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB=∠CDB=60°，AC3，则⊙O的面积是．【答案】4π．【分析】由∠A=∠BDC，而∠ACB=∠CDB=60°，所以∠A=∠ACB=60°，得到△ACB为等边三角形，又AC=23，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．【详解】∵∠A=∠BDC，而∠ACB=∠CDB=60°，∴∠A=∠ACB=60°，∴△ACB为等边三角形．∵AC=23，∴圆的半径为2，∴⊙O的面积是4π．故答案为：4π．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．考点：圆周角定理．28．（2019四川省广元市，第14题，3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P 为⊙O上的动点，且∠BPC=60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是．【答案】633+【分析】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值=PM，解直角三角形即可得到结论．【详解】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值=PM．∵OM⊥AC，∠A=∠BPC=60°，⊙O的半径为6，∴OP=OA=6，∴OM32=OA32=⨯3，∴PM=OP+OM3P到AC距离的最大值是633+．．故答案为：633【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．考点：1．圆周角定理；2．三角形的外接圆与外心；3．动点型；4．最值问题；5．综合题．29．（2019四川省雅安市，第15题，3分）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD=21°，则∠A的度数为．【答案】69°．【分析】直接利用圆周角定理得出∠BCD=90°，进而得出答案．【详解】∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°．∵∠CBD=21°，∴∠A=∠D=90°﹣21°=69°．故答案为：69°．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题的关键．考点：1．圆周角定理；2．三角形的外接圆与外心．30．（2019天津，第18题，3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．（1）线段AB的长等于；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠P AC=∠PBC=∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】（1）17；（2）答案见解析． 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）如图，取圆与网格的交点E ，F ，连接EF 与AC 交于一点，则这一点是圆心O ，AB 与网格线相交于D ，连接DO 并延长交⊙O 于点Q ，连接QC 并延长，与B ，O 的连线相交于点P ，连接AP ，于是得到结论．【详解】（1）AB 221172()2=+=． 故答案为：172； （2）如图，取圆与网格的交点E ，F ，连接EF 与AC 交于一点，则这一点是圆心O ，AB 与网格线相交于D ，连接DO 并延长交⊙O 于点Q ，连接QC 并延长，与B ，O 的连线相交于点P ，连接AP ，则点P 满足∠P AC =∠PBC =∠PCB ．故答案为：取圆与网格的交点E ，F ，连接EF 与AC 交于一点，则这一点是圆心O ，AB 与网格线相交于D ，连接DO 并延长交⊙O 于点Q ，连接QC 并延长，与B ，O 的连线相交于点P ，连接AP ，则点P 满足∠P AC =∠PBC =∠PCB ．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，勾股定理，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键． 考点：1．勾股定理；2．圆周角定理；3．作图—复杂作图．31．（2019安徽省，第13题，5分）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，CD ⊥AB 于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．【答案】2．【分析】连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到结论．【详解】连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°．∵⊙O的半径为2，∴CE=4，∴BC12=CE=2．∵CD⊥AB，∠CBA=45°，∴CD22=BC2=．故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．考点：1．圆周角定理；2．三角形的外接圆与外心．32．（2019山东省东营市，第16题，4分）如图，AC是⊙O的弦，AC=5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【答案】522．【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【详解】∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN12=AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B'，连接CB'．∵AB'是⊙O的直径，∴∠ACB'=90°．∵∠ABC=45°，AC=5，∴∠AB'C=45°，∴AB'4522ACsin===︒52，∴MN最大522=．故答案为：52．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．考点：1．三角形中位线定理；2．圆周角定理；3．动点型；4．最值问题．33．（2019青岛，第12题，3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°．【答案】54．【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠F AD=18°，于是得到结论．。

2020年全国中考数学试题分类（11）——圆一．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）1．（2020•广安）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A．40°B．60°C．56°D．68°二．圆周角定理（共9小题）2．（2020•巴中）如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠ACB＝45°，AB=2√2，则⊙O的半径OA的长是（）A．√2B．2 C．2√2D．33．（2020•贵港）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°̂上任意一4．（2020•临沂）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为BB 点．则∠CED的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°5．（2020•陕西）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（）A．25°B．30°C．40°D．50°6．（2020•兰州）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC＝（）A ．40°B ．60°C ．70°D ．80°7．（2020•阜新）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是圆周上的两点，若∠ABC ＝38°，则锐角∠BDC 的度数为（ ）A ．57°B ．52°C ．38°D ．26°8．（2020•赤峰）如图，⊙A 经过平面直角坐标系的原点O ，交x 轴于点B （﹣4，0），交y 轴于点C （0，3），点D 为第二象限内圆上一点．则∠CDO 的正弦值是（ ）A ．35B ．−34C ．34D ．45 9．（2020•眉山）如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，BC ＝CD ，∠DAC ＝35°，∠ACD ＝45°，则∠ADB的度数为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°10．（2020•河池）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 都在⊙O 上，∠1＝55°，则∠2＝ °．三．圆内接四边形的性质（共2小题）11．（2020•广西）如图，已知四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，BD 平分∠ABC ，DH ⊥AB 于点H ，DH =√3，∠ABC＝120°，则AB+BC的值为（）A．√2B．√3C．2 D．√512．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．四．点与圆的位置关系（共1小题）13．（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为．五．三角形的外接圆与外心（共3小题）14．（2020•赤峰）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（）A．3πB．4πC．6πD．9π̂的长为．15．（2020•锦州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝30°，AC＝6，则BB16．（2020•黄石）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，̂的长等于．作△ABC的外接圆，则BB六．直线与圆的位置关系（共1小题）17．（2020•泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为．七．切线的性质（共4小题）18．（2020•桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC 的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°19．（2020•眉山）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线P A、PB，点A、B为切点，连接AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D．已知P A＝6，AC＝8，则CD的长为．20．（2020•呼和浩特）已知AB为⊙O的直径且长为2r，C为⊙O上异于A，B的点，若AD与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形AOC的顶角为120度，则CD=12r，②若△AOC为正三角形，则CD=√32r，③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则CD＝r，④无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为．21．（2020•济南）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．八．切线的判定与性质（共9小题）22．（2020•兰州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，点C是AB的中点，以OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若OC＝2，求OA的长．23．（2020•西藏）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．24．（2020•葫芦岛）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．25．（2020•镇江）如图，▱ABCD 中，∠ABC 的平分线BO 交边AD 于点O ，OD ＝4，以点O 为圆心，OD 长为半径作⊙O ，分别交边DA 、DC 于点M 、N ．点E 在边BC 上，OE 交⊙O 于点G ，G 为BB̂的中点． （1）求证：四边形ABEO 为菱形；（2）已知cos ∠ABC =13，连接AE ，当AE 与⊙O 相切时，求AB 的长． 26．（2020•宁夏）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，点D 为AC 上一点，以CD 为直径的⊙O 交AB 于点E ，连接CE ，且CE 平分∠ACB ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）连接DE ，若∠A ＝30°，求BB BB ．27．（2020•烟台）如图，在▱ABCD 中，∠D ＝60°，对角线AC ⊥BC ，⊙O 经过点A ，B ，与AC 交于点M ，连接AO 并延长与⊙O 交于点F ，与CB 的延长线交于点E ，AB ＝EB ．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝2√3，求BB ̂的长（结果保留π）．28．（2020•广东）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，AB 是⊙O 的直径，CO 平分∠BCD ．（1）求证：直线CD 与⊙O 相切；（2）如图2，记（1）中的切点为E ，P 为优弧BB̂上一点，AD ＝1，BC ＝2．求tan ∠APE 的值．29．（2020•株洲）AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM＝∠BAC＝α．（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE=53，若⊙O的半径为1，cosα=34，求AG•ED的值．30．（2020•潍坊）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BB̂的中点，过点C作CE ⊥AD，垂足为E，连接AC．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．九．三角形的内切圆与内心（共1小题）31．（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（）A．h＝R+r B．R＝2r C．r=√34a D．R=√3 3a一十．正多边形和圆（共7小题）32．（2020•济南）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为．33．（2020•黄石）匈牙利著名数学家爱尔特希（P．Erdos，1913﹣1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则∠ADO的度数是．34．（2020•株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为尺．（结果用最简根式表示）35．（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．̂上一点（点P与点D，点E不重合），连36．（2020•绥化）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为BB接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于度．37．（2020•成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线F A1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，BB 1̂，B 1B 1̂，B 1B 1̂，B 1B 1̂，B 1B 1̂，B 1B 1̂，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 ．38．（2020•通辽）中心为O 的正六边形ABCDEF 的半径为6cm ，点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm /s 的速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动，连接PB ，PE ，QB ，QE ，设运动时间为t （s ）．（1）求证：四边形PBQE 为平行四边形；（2）求矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比．一十一．弧长的计算（共4小题）39．（2020•盘锦）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 为线段OB 上的一点，OE ：EB ＝1：√3，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，连接OF 交⊙O 于点G ，若BF ＝2√3，则BB̂的长是（ ） A ．B 3 B ．B 2 C ．2B 3 D ．3B 440．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD 中，AB =√3，BC ＝2，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧交边BC 于点E ，连接AE ，则BB̂的长为（ ） A ．4B 3 B ．π C ．2B 3 D ．B 3 41．（2020•潍坊）如图，四边形ABCD 是正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的．其中：BB 1̂的圆心为点A ，半径为AD ；B 1B 1̂的圆心为点B ，半径为BA 1；B 1B 1̂的圆心为点C ，半径为CB 1；B 1B 1̂的圆心为点D ，半径为DC 1；⋯BB 1̂，B 1B 1̂，B 1B 1̂，B 1B 1̂，…的圆心依次按点A ，B ，C ，D 循环．若正方形ABCD 的边长为1，则B 2020B 2020̂的长是 ．42．（2020•河南）如图，在扇形BOC 中，∠BOC ＝60°，OD 平分∠BOC 交BB̂于点D ，点E 为半径OB 上一动点．若OB ＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．一十二．扇形面积的计算（共6小题）43．（2020•山西）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC ＝BD ＝12cm ，C ，D 两点之间的距离为4cm ，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）A ．80πcm 2B ．40πcm 2C ．24πcm 2D ．2πcm 244．（2020•日照）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB ⊥CD 于点E ，若CD ＝6√3，AE ＝9，则阴影部分的面积为（ ） A ．6π−92√3 B ．12π﹣9√3C ．3π−94√3D ．9√3 45．（2020•西藏）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上的一点，OD ⊥AC ，垂足为D ，延长OD 与半圆O 交于点E ．若AB ＝8，∠CAB ＝30°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．43π−√3B ．43π﹣2√3C ．83π−√3D ．83π﹣2√3 46．（2020•呼伦贝尔）若一个扇形的弧长是2πcm ，面积是6πcm 2，则扇形的圆心角是 度．47．（2020•鄂尔多斯）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠BCD ＝30°，CD ＝2√3，则阴影部分面积S 阴影＝ ．48．（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为 ．（结果保留π）一十三．圆锥的计算（共1小题）49．（2020•广东）如图，从一块半径为1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m ．一十四．圆的综合题（共1小题）50．（2020•呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比√5−12≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE ，圆心为O ，OA 与BE 交于点H ，AC 、AD 与BE 分别交于点M 、N ．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）（1）求证：△ABM 是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN 的形状；（2）求证：BB BB =BB BB ，且其比值k =√5−12；（3）由对称性知AO ⊥BE ，由（1）（2）可知BB BB 也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．2020年全国中考数学试题分类（11）——圆参考答案与试题解析一．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）1．【解答】解：如图，连接OC，∵AO∥DC，∴∠ODC＝∠AOD＝68°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝68°，∴∠COD＝44°，∴∠AOC＝112°，∴∠B=12∠AOC＝56°．故选：C．二．圆周角定理（共9小题）2．【解答】解：根据圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵AB＝2√2，OA＝OB，∴2OA2＝AB2，∴OA＝OB＝2，故选：B．3．【解答】解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．∵∠D＝180°﹣∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠D＝100°，故选：A．4．【解答】解：连接OD、OE，∵OC＝OA，∴△OAC是等腰三角形，∵点D为弦AC的中点，∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，设∠BOE ＝x ，则∠COE ＝100°﹣x ，∠DOE ＝100°﹣x +40°， ∵OC ＝OE ，∠COE ＝100°﹣x ，∴∠OEC ＝∠OCE ＝40°+12x ，∵OD ＜OE ，∠DOE ＝100°﹣x +40°＝140°﹣x ，∴∠OED ＜20°+12x ， ∴∠CED ＝∠OEC ﹣∠OED ＞（40°+12x ）﹣（20°+12x ）＝20°，∵∠CED ＜∠ABC ＝40°，∴20°＜∠CED ＜40°故选：C ．5．【解答】解：∵BC ∥OA ，∴∠ACB ＝∠A ＝25°，∠B ＝∠AOB ＝2∠ACB ＝50°，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD ＝90°，∴∠D ＝90°﹣∠B ＝90°﹣50°＝40°，故选：C ．6．【解答】解：∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝20°，∴∠ABC ＝90°﹣20°＝70°，∴∠ADC ＝∠ABC ＝70°，故选：C ．7．【解答】解：连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ABC ＝38°，∴∠BAC ＝90°﹣∠ABC ＝52°，∴∠BDC ＝∠BAC ＝52°．故选：B ．8．【解答】解：连接BC ，如图，∵B （﹣4，0），C （0，3），∴OB ＝4，OC ＝3，∴BC =√32+42=5，∴sin ∠OBC =BB BB =35， ∵∠ODC ＝∠OBC ，∴sin ∠CDO ＝sin ∠OBC =35．故选：A ．9．【解答】解：∵BC ＝CD ， ∴BB̂=BB ̂， ∵∠ABD 和∠ACD 所对的弧都是BB̂， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝35°，∵∠ABD ＝∠ACD ＝45°，∴∠ADB ＝180°﹣∠BAD ﹣∠ABD ＝180°﹣70°﹣45°＝65°． 故选：C ．10．【解答】解：如图，连接AD ．∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠1＝∠ADE ，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为35．三．圆内接四边形的性质（共2小题）11．【解答】解：延长BA 到E ，使AE ＝BC ，连接DE ，如图，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD =12∠ABC =12×120°＝60°，∵∠DAC ＝∠DBC ＝60°，∠DCA ＝∠DBA ＝60°，∴△DAC 为等边三角形，∴DA ＝DC ，在△ADE 和△BCD 中，{BB =BB BBBB =BBBB BB =BB ，∴△ADE ≌△BCD （SAS ），∴∠E ＝∠DBC ＝60°，而∠DBA ＝60°，∴△DBE 为等边三角形，∵DH ⊥AB ，∴BH ＝EH ，在Rt △BDH 中，BH =√33DH =√33×√3=1，∴BE ＝2BH ＝2，∴AB +BC ＝2．故选：C ．12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 内接于圆．∴∠ABC +∠ADC ＝180°，∵∠ABC ＝60°，∴∠ADC ＝120°，∵DB 平分∠ADC ，∴∠ADB ＝∠CDB ＝60°，∴∠ACB ＝∠ADB ＝60°，∠BAC ＝∠CDB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BCA ＝∠BAC ，∴△ABC 是等边三角形．（2）过点A 作AM ⊥CD ，垂足为点M ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为点N ． ∴∠AMD ＝90°，∵∠ADC ＝120°，∴∠ADM ＝60°，∴∠DAM ＝30°，∴DM =12AD ＝1，AM =√BB 2−BB 2=√22−12=√3，∵CD ＝3，∴CM ＝CD +DM ＝1+3＝4，∴S △ACD =12CD •AM =12×3×√3=3√32，Rt △AMC 中，∠AMD ＝90°，∴AC =√BB 2+BB 2=√3+16=√19，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC =√19，∴BN =√32BC =√572，∴S △ABC =12×√19×√572=19√34， ∴四边形ABCD 的面积=19√34+3√32=25√34， ∵BE ∥CD ，∴∠E +∠ADC ＝180°，∵∠ADC ＝120°，∴∠E ＝60°，∴∠E ＝∠BDC ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠EAB ＝∠BCD ，在△EAB 和△DCB 中，{∠B =∠BBBBBBB =BBBB BB =BB，∴△EAB ≌△DCB （AAS ），∴△BDE 的面积＝四边形ABCD 的面积=25√34． 四．点与圆的位置关系（共1小题）13．【解答】解：如图，连接BE ，BD ．由题意BD =√22+42=2√5，∵∠MBN ＝90°，MN ＝4，EM ＝NE ，∴BE =12MN ＝2，∴点E 的运动轨迹是以B 为圆心，2为半径的弧， ∴当点E 落在线段BD 上时，DE 的值最小，∴DE 的最小值为2√5−2．（也可以用DE ≥BD ﹣BE ，即DE ≥2√5−2确定最小值） 故答案为2√5−2．五．三角形的外接圆与外心（共3小题）14．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线， ∴BD ＝CD ，AD ⊥BC ，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴点O 是△ABC 外接圆的圆心，∵OA ＝3，∴△ABC 外接圆的面积＝πr 2＝π×32＝9π．故选：D ．15．【解答】解：连接OC ，OA ．∵∠AOC ＝2∠ABC ，∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝OC ＝AC ＝6，∴BB ̂的长=60⋅B ⋅6180=2π， 故答案为2π．16．【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形， ∴AB ＝2√5，AC =√10，BC =√10，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴∠A ＝∠B ＝45°，∴连接OC ，则∠COB ＝90°，∵OB =√5，∴BB̂的长为：90⋅B ×√5180=√52π， 故答案为：√52π． 六．直线与圆的位置关系（共1小题）17．【解答】解：∵直线a ⊥b ，O 为直线b 上一动点， ∴⊙O 与直线a 相切时，切点为H ，∴OH ＝1cm ，当点O 在点H 的左侧，⊙O 与直线a 相切时，如图1所示：OP ＝PH ﹣OH ＝4﹣1＝3（cm ）；当点O 在点H 的右侧，⊙O 与直线a 相切时，如图2所示：OP ＝PH +OH ＝4+1＝5（cm ）；∴⊙O 与直线a 相切，OP 的长为3cm 或5cm ，故答案为：3cm 或5cm ．七．切线的性质（共4小题）18．【解答】解：∵AC 与⊙O 相切于点A ，∴AC ⊥OA ，∴∠OAC ＝90°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ．∵∠O ＝130°，∴∠OAB=180°−BB2=25°，∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．故选：B．19．【解答】解：连接OB，如图，∵P A、PB为⊙O的切线，∴PB＝P A＝6，OB⊥PC，OA⊥P A，∴∠CAP＝∠CBO＝90°，在Rt△APC中，PC=√BB2+BB2=√62+82=10，∴BC＝PC﹣PB＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OC＝8﹣r，在Rt△BCO中，42+r2＝（8﹣r）2，解得r＝3，∴OA＝3，OC＝5，在Rt△OP A中，OP=√BB2+BB2=√32+62=3√5，∵CD⊥PO，∴∠CDO＝90°，∵∠COD＝∠POA，∠CDO＝∠P AO，∴△COD∽△POA，∴CD：P A＝OC：OP，即CD：6＝5：3√5，∴CD＝2√5．故答案为2√5．20．【解答】解：①如图1，∵∠AOC＝120°，∴∠CAO＝∠ACO＝30°，∵CD和圆O相切，AD⊥CD，∴∠OCD＝90°，AD∥CO，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝30°，∴CD=12AC，∵C为⊙O上异于A，B的点，∴AC＜AB，∴CD≠12r，故①错误；②如图2，过点A作AE⊥OC，垂足为E，若△AOC为正三角形，∠AOC＝∠OAC＝60°，AC＝OC＝OA＝r，∴∠OAE＝30°，∴OE=12AO，AE=√32AO=√32r，∵四边形AECD为矩形，∴CD＝AE=√32r，故②正确；③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，如图3，∴AD＝CD，而∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，又∠OCD＝90°，∴∠ACO＝∠CAO＝45°∴∠DAO＝90°，∴四边形AOCD为矩形，∴CD＝AO＝r，故③正确；④如图4，过点C作CE⊥AO，垂足为E，连接DE，∵OC⊥CD，AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠CAD＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠CAD＝∠CAO，∴CD＝CE，在△ADC和△AEC中，∠ADC＝∠AEC＝90°，CD＝CE，AC＝AC，∴△ADC≌△AEC（HL），∴AD＝AE，∴AC垂直平分DE，则点D和点E关于AC对称，即点D一定落在直径上，故④正确．故正确的序号为：②③④，故答案为：②③④．21．【解答】解：（1）证明：连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD ＝90°，∴∠ACD +∠ACO ＝90°，∵AD ⊥DC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠ACO ＝∠DAC ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠DAC ＝∠OAC ，∴AC 是∠DAB 的角平分线；（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠D ＝∠ACB ＝90°，∵∠DAC ＝∠BAC ，∴Rt △ADC ∽Rt △ACB ，∴BB BB =BB BB ，∴AC 2＝AD •AB ＝2×3＝6，∴AC =√6．八．切线的判定与性质（共9小题）22．【解答】（1）证明：∵OA ＝OB ，点C 是AB 的中点，∴OC ⊥AB ，∵OC 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线；（2）∵△AOB 是等腰直角三角形，点C 是AB 的中点，∴OC ⊥AB ，AB ＝2OC ＝4，∵12OA 2=12BB ⋅BB ， ∴OA =√2×4=2√2．23．【解答】（1）证明：连接OD ，OE ，∵AD 切⊙O 于A 点，AB 是⊙O 的直径，∴∠DAB ＝90°，∵AD ＝DE ，OA ＝OE ，OD ＝OD ，∴△ADO ≌△EDO （SSS ），∴∠OED ＝∠OAD ＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：过C 作CH ⊥AD 于H ，∵AB 是⊙O 的直径，AD 和BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，∴∠DAB ＝∠ABC ＝∠CHA ＝90°，∴四边形ABCH 是矩形，∴CH ＝AB ＝12，AH ＝BC ＝4，∵CD 是⊙O 的切线，∴AD ＝DE ，CE ＝BC ，∴DH ＝AD ﹣BC ＝AD ﹣4，CD ＝AD +4，∵CH 2+DH 2＝CD 2，∴122+（AD ﹣4）2＝（AD +4）2，∴AD ＝9．24．【解答】（1）证明：连接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∵∠EDA＝∠ACD，∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴直线DE是⊙O的切线．（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，∵AC是直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，∴AC2＝AD2+CD2＝62+82＝100，∴AC＝10，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵BBB∠BBB=BB BB，∴BB=BBB45°⋅BB=5√2，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∵在Rt△ADF中，AD＝6，∵BBB∠BBB=BB BB，∴BB=BBB45°⋅BB=3√2，∴BB=BB=3√2，在Rt△ABF中，BB2=BB2−BB2=(5√2)2−(3√2)2=32，∴BB=4√2，∴BB=BB+BB=7√2．解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．∴∠DBH＝90°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ABD＝90°﹣∠DBC，∠CBH＝90°﹣∠DBC，∴∠ABD＝∠CBH，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠BCH＝180°，∴∠BAD＝∠BCH，∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBH（ASA），∴AD ＝CH ，BD ＝BH ，∵AD ＝6，CD ＝8，∴DH ＝CD +CH ＝14，在Rt △BDH 中，∵BD 2＝DH 2﹣BH 2，BD ＝BH ，则BD 2＝98．∴BB =7√2．25．【解答】解：（1）证明：∵G 为BB̂的中点， ∴∠MOG ＝∠MDN ．∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AO ∥BE ，∠MDN +∠A ＝180°，∴∠MOG +∠A ＝180°，∴AB ∥OE ，∴四边形ABEO 是平行四边形．∵BO 平分∠ABE ，∴∠ABO ＝∠OBE ，又∵∠OBE ＝∠AOB ，∴∠ABO ＝∠AOB ，∴AB ＝AO ，∴四边形ABEO 为菱形；（2）如图，过点O 作OP ⊥BA ，交BA 的延长线于点P ，过点O 作OQ ⊥BC 于点Q ，设AE 交OB 于点F ，则∠P AO ＝∠ABC ，设AB ＝AO ＝OE ＝x ，则∵cos ∠ABC =13，∴cos ∠P AO =13，∴BB BB =13，∴P A =13x ， ∴OP ＝OQ =2√23x当AE 与⊙O 相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F 为切点，∴在Rt △OBQ 中，由勾股定理得：(43B )2+(2√23B )2=82， 解得：x ＝2√6（舍负）．∴AB 的长为2√6．26．【解答】（1）证明：连接OE ，如图1所示：∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE ＝∠BCE ，又∵OE ＝OC ，∴∠ACE ＝∠OEC ，∴∠BCE ＝∠OEC ，∴OE ∥BC ，∴∠AEO ＝∠B ，又∵∠B ＝90°，∴∠AEO ＝90°，即OE ⊥AE ，∵OE 为⊙O 的半径，∴AE 是⊙O 的切线；（2）解：连接DE ，如图2所示：∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DEC ＝90°，∴∠DEC ＝∠B ，又∵∠DCE ＝∠ECB ，∴△DCE ∽△ECB ，∴BB BB =BB BB ，∵∠A ＝30°，∠B ＝90°，∴∠ACB ＝60°，∴∠DCE =12∠ACB =12×60°＝30°，∴BB BB =cos ∠DCE ＝cos30°=√32，∴BB BB =√32．27．【解答】（1）证明：连接OB ，连接OM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC ＝∠D ＝60°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，∵BE ＝AB ，∴∠E ＝∠BAE ，∵∠ABC ＝∠E +∠BAE ＝60°，∴∠E ＝∠BAE ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠OAB ＝30°，∴∠OBC ＝30°+60°＝90°，∴OB ⊥CE ，∴EC 是⊙O 的切线；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ＝2√3，过O 作OH ⊥AM 于H ，则四边形OBCH 是矩形，∴OH ＝BC ＝2√3，∴OA =BB BBB60°=4，∠AOM ＝2∠AOH ＝60°，∴BB ̂的长度=60⋅B ×4180=4B 3． 28．【解答】（1）证明：作OE ⊥CD 于E ，如图1所示：则∠OEC ＝90°，∵AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，∴∠OBC ＝180°﹣∠DAB ＝90°，∴∠OEC ＝∠OBC ，∵CO 平分∠BCD ，∴∠OCE ＝∠OCB ，在△OCE 和△OCB 中，{∠BBB =∠BBBBBBB =BBBB BB =BB，∴△OCE ≌△OCB （AAS ），∴OE ＝OB ，又∵OE ⊥CD ，∴直线CD 与⊙O 相切；（2）解：作DF ⊥BC 于F ，连接BE ，如图2所示：则四边形ABFD 是矩形，∴AB ＝DF ，BF ＝AD ＝1，∴CF ＝BC ﹣BF ＝2﹣1＝1，∵AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴AD 、BC 是⊙O 的切线，由（1）得：CD 是⊙O 的切线，∴ED ＝AD ＝1，EC ＝BC ＝2，∴CD ＝ED +EC ＝3，∴DF =√BB 2−BB 2=√32−12=2√2，∴OB=√2，∵CO平分∠BCD，∴CO⊥BE，∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠BCH，∵∠APE＝∠ABE，∴∠APE＝∠BCH，∴tan∠APE＝tan∠BCH=BBBB=√22．29．【解答】（1）证明：连接OC，如图①，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠BCM＝∠A，∴∠OCB+∠BCM＝90°，即OC⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）解：如图②，∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，∴AB＝2，∵cos∠BAC=BBBB=BBBB=34，即BB2=34，∴BB=3 2，∵∠AFE＝∠ACE，∠GFH＝∠AFE，∴∠GFH＝∠ACE，∵DH⊥MN，∴∠GFH+∠AGC＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠AGC，又∵∠DEC＝∠CAG，∴△EDC∽△ACG，∴BB BB =BB BB ，∴BB ⋅BB =BB ⋅BB =32×53=52．30．【解答】解：（1）连接BF ，OC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB ＝90°，即BF ⊥AD ，∵CE ⊥AD ，∴BF ∥CE ，连接OC ，∵点C 为劣弧BB ̂的中点，∴OC ⊥BF ，∵BF ∥CE ，∴OC ⊥CE ，∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 的切线；（2）连接OF ，CF ，∵OA ＝OC ，∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∵点C 为劣弧BB ̂的中点，∴BB ̂=BB ̂，∴∠FOC ＝∠BOC ＝60°，∵OF ＝OC ，∴∠OCF ＝∠COB ，∴CF ∥AB ，∴S △ACF ＝S △COF ，∴阴影部分的面积＝S 扇形COF ，∵AB ＝4，∴FO ＝OC ＝OB ＝2，∴S 扇形FOC =60⋅B ×22360=23B ， 即阴影部分的面积为：23B ． 九．三角形的内切圆与内心（共1小题）31．【解答】解：如图，∵△ABC 是等边三角形，∴△ABC 的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O ，设OE ＝r ，AO ＝R ，AD ＝h ，∴h ＝R +r ，故A 正确；∵AD ⊥BC ，∴∠DAC =12∠BAC =12×60°＝30°，在Rt △AOE 中，∴R ＝2r ，故B 正确；∵OD ＝OE ＝r ，∵AB ＝AC ＝BC ＝a ，∴AE =12AC =12a ，∴（12a ）2+r 2＝（2r ）2，（12a ）2+（12R ）2＝R 2， ∴r =√3B 6，R =√33a ，故C 错误，D 正确；故选：C ．一十．正多边形和圆（共7小题）32．【解答】解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r ，∴120B ×B 2360×2＝24π，解得r ＝6．则正六边形的边长为6．33．【解答】解：由题意知点A 、B 、C 、D 为正五边形任意四个顶点，且O 为正五边形中心， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD =360°5=72°，∴∠AOD ＝360°﹣3∠AOB ＝144°，又∵OA ＝OD ，∴∠ADO =180°−BBBB 2=180°−144°2=18°， 故答案为：18°．34．【解答】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D＝90°，CD＝DE，∴CE为直径，∠ECD＝45°，由题意得AB＝2.5，∴CE＝2.5﹣0.25×2＝2，∴CD＝CE⋅BBB∠BBB=2×√22=√2，∴正方形CDEF周长为4√2尺．故答案为：4√2．35．【解答】解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BF，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°=√3，∴BF＝2BT＝2√3，∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF=12•EF•BF=12×2×2√3=2√3，故答案为2√3．36．【解答】解：连接OC、OD，如图所示：∵ABCDE是正五边形，∴∠COD=360°5=72°，∴∠CPD=12∠COD＝36°，∵DG⊥PC，∴∠PGD＝90°，∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54．37．【解答】解：BB 1̂的长=60⋅B ⋅1180=B 3，B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅2180=2B 3， B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅3180=3B 3，B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅4180=4B 3，B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅5180=5B 3， B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅6180=6B 3，∴曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度=B 3+2B 3+⋯+6B 3=21B 3=7π， 故答案为7π．38．【解答】（1）证明：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝F A ，∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠D ＝∠DEF ＝∠F ，∵点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm /s 速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动， ∴AP ＝DQ ＝t ，PF ＝QC ＝6﹣t ，在△ABP 和△DEQ 中，{BB =BBBB =BB BB =BB ，∴△ABP ≌△DEQ （SAS ），∴BP ＝EQ ，同理可证PE ＝QB ，∴四边形PEQB 为平行四边形．（2）解：连接BE 、OA ，则∠AOB =360°6=60°，∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝6，BE ＝2OB ＝12，当t ＝0时，点P 与A 重合，Q 与D 重合，四边形PBQE 即为四边形ABDE ，如图1所示： 则∠EAF ＝∠AEF ＝30°，∴∠BAE ＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE 是矩形，即四边形PBQE 是矩形．当t ＝6时，点P 与F 重合，Q 与C 重合，四边形PBQE 即为四边形FBCE ，如图2所示： 同法可知∠BFE ＝90°，此时四边形PBQE 是矩形．综上所述，t ＝0s 或6s 时，四边形PBQE 是矩形，∴AE =√122−62=6√3，∴矩形PBQE 的面积＝矩形ABDE 的面积＝AB ×AE ＝6×6√3=36√3；∵正六边形ABCDEF 的面积＝6△AOB 的面积＝6×14矩形ABDE 的面积＝6×14×36√3=54√3， ∴矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比=23．一十一．弧长的计算（共4小题）39．【解答】解：连接OD 、BD ，∵在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝∠C ＝45°，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵OA ＝OB ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°，∴∠AOD ＝∠ABC ，∴OD ∥FC ，∴△DOE ∽△FBE ，∴BB BB =BB BB ，∵OB ＝OD ，OE ：EB ＝1：√3，∴tan ∠BOF =BB BB =√3， ∴∠BOF ＝60°，∴BF ＝2√3，∴OB ＝2，∴BB̂的长=60B ×2180=23π， 故选：C ．40．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，∠B ＝90°，∴AE ＝AD ＝2，∵AB =√3，∴cos ∠BAE =BB BB =√32， ∴∠BAE ＝30°，∴∠EAD ＝60°，∴BB̂的长=60⋅B ×2180=2B 3， 故选：C ．41．【解答】解：由图可知，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD ＝AA 1＝1，BA 1＝BB 1＝2，……，AD n ﹣1＝AA n ＝4（n ﹣1）+1，BA n ＝BB n ＝4（n ﹣1）+2，故B 2020B 2020̂的半径为BA 2020＝BB 2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，B 2020B 2020̂的弧长=90180×8078B =4039B ． 故答案为：4039π．42．【解答】解：如图，作点D 关于OB 的对称点D ′，连接D ′C 交OB 于点E ′，连接E ′D 、OD ′， 此时E ′C +E ′D 最小，即：E ′C +E ′D ＝CD ′，由题意得，∠COD ＝∠DOB ＝∠BOD ′＝30°，∴∠COD ′＝90°，∴CD ′=√BB 2+BB′2=√22+22=2√2，BB ̂的长l =30B ×2180=B 3， ∴阴影部分周长的最小值为2√2+B 3=6√2+B 3． 故答案为：6√2+B 3．一十二．扇形面积的计算（共6小题）43．【解答】解：如图，连接CD ．∵OC ＝OD ，∠O ＝60°，∴△COD 是等边三角形，∴OC ＝OD ＝CD ＝4cm ，∴S 阴＝S 扇形OAB ﹣S 扇形OCD =60⋅B ⋅162360−60⋅B ⋅42360=40π（cm 2）， 故选：B ．44．【解答】 解：∵AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB ⊥CD 于点E ， ∴CE ＝DE =12BB =3√3． 设⊙O 的半径为r ，在直角△OED 中，OD 2＝OE 2+DE 2，即B 2=(9−B )2+(3√3)2， 解得，r ＝6，∴OE ＝3，∴cos ∠BOD =BB BB =36=12，∴∠EOD ＝60°，∴B 扇形BBB =16B ×36=6B ，B BB △BBB =12×3×3√3=92√3，∴B 阴影=6B −92√3，故选：A ．45．【解答】解：∵OD ⊥AC ， ∴∠ADO ＝90°，BB̂=BB ̂，AD ＝CD ， ∵∠CAB ＝30°，OA ＝4，∴OD =12OA ＝2，AD =√32OA ＝2√3， ∴图中阴影部分的面积＝S 扇形AOE ﹣S △ADO =60⋅B ×42360−12×2√3×2=8B 3−2√3，故选：D ．46．【解答】解：设圆心角都度数为n 度，扇形的面积=12BB =6π，解得：r ＝6，又∵B =BB ×6180=2π， ∴n ＝60．故答案为：60．47．【解答】解：连接OC ．∵AB ⊥CD ，∴BB̂=BB ̂，CE ＝DE =√3， ∴∠COB ＝∠BOD ，∵∠BOD ＝2∠BCD ＝60°，∴∠COB ＝60°，∵OC ＝OB ＝OD ，∴△OBC ，△OBD 都是等边三角形，∴OC ＝BC ＝BD ＝OD ，∴四边形OCBD 是菱形，∴OC ∥BD ，∴S △BDC ＝S △BOD ，∴S 阴＝S 扇形OBD ，∵OD =BB BBB60°=2，∴S 阴=60⋅B ⋅22360=2B 3，故答案为2B 3． 48．【解答】解：S 扇形=90⋅B ⋅42360=4π， 故答案为：4π．一十三．圆锥的计算（共1小题）49．【解答】解：如图，连接OB ，OC ，OA ，∵OB ＝OA ，OA ＝OC ，AB ＝AC ，∴△ABO ≌△ACO （SSS ），∴∠BAO ＝∠CAO ＝60°，∵AO ＝BO ，∴△ABO 是等边三角形，∴AB ＝AO ＝1，由题意得，阴影扇形的半径为1m ，圆心角的度数为120°， 则扇形的弧长为：120B ×1180， 而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有： 2πr =120B ×1180， 解得，r =13，故答案为：13． 一十四．圆的综合题（共1小题）50．【解答】解：（1）连接圆心O 与正五边形各顶点， 在正五边形中，∠AOE ＝360°÷5＝72°，∴∠ABE =12∠AOE ＝36°，同理∠BAC =12×72°＝36°，∴AM ＝BM ，∴△ABM 是等腰三角形且底角等于36°，∵∠BOD ＝∠BOC +∠COD ＝72°+72°＝144°，∴∠BAD =12∠BOD ＝72°， ∴∠BNA ＝180°﹣∠BAD ﹣∠ABE ＝72°，∴AB ＝NB ，即△ABN 为等腰三角形；（2）∵∠ABM ＝∠ABE ，∠AEB =12∠AOB ＝36°＝∠BAM ， ∴△BAM ∽△BEA ，∴BB BB =BB BB ，而AB ＝BN ， ∴BB BB =BB BB ，设BM ＝y ，AB ＝x ，则AM ＝AN ＝y ，AB ＝AE ＝BN ＝x ，∵∠AMN ＝∠MAB +∠MBA ＝72°＝∠BAN ，∠ANM ＝∠ANB ， ∴△AMN ∽△BAN ，∴BB BB =BB BB ，即B B =B −B B ，则y 2＝x 2﹣xy ，两边同时除以x 2，得：(B B )2=1−B B ，设B B=t ， 则t 2+t ﹣1＝0，解得：t =√5−12或−1−√52（舍）， ∴BB BB =BB BB =B B =√5−12； （3）∵∠MAN ＝36°，根据对称性可知：∠MAH ＝∠NAH =12∠MAN ＝18°， 而AO ⊥BE ，∴sin18°＝sin ∠MAH =BB BB =12BB BB =12(B −B )B =B −B 2B =12×B B −12=12×√5−1−12=√5−14．。