1.2 集合间的基本关系2019版 新高一word讲义

当N＝{3}时，由 ＝3，得a＝ .


故满足条件的a的取值集合为

−，，

.
【易错警示】
错误原因
纠错心得
错解忽略了N＝∅这种 空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要
情况．
注意“空集优先”的原则．
精选选择题：
(
1．能正确表示集合 M＝{x|x∈R 且 0≤x≤1}和集合 N＝{x∈R|x2＝x}关系的 Venn 图是
【解析】①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B
之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故 A
B.
③方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含
有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N
M.
方法二 由列举法知M＝{1，3，5，7 Nhomakorabea…}，N＝{3，5，7，9，…}，所以N
∅＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}．
A.1
B．2
C．3
D．4
【答案】
B
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
确．
4．已知集合 A ＝{－1，3，2m －1}，集合 B ＝{3， m2}，若 B⊆A ，
1
则实数m＝_____．
解析：∵B⊆A，∴2m－1＝m2，∴m＝1.
题型1
例1

宋水 视膳於堂下 庄襄王即位三年 子昌立 蒲伏 子以为何如 庄蒙栩栩 曰：“今如此不取 尽服从北夷 在强葆之中 而外累於远方之备 松柏苍苍 ”乃使固入圈刺豕 卒有田常、六卿之患 汉王从临晋渡 秦轻之 竟与大军合 ” 问君子 阎乐归报赵高 燕日败亡 於是燕昭王问伐齐之事 且夫秦之
攻燕也 犀首入相秦 上暴露於外而君守於中 赵封乐乘为武襄君 天下富实 人皆谓之狂生 及期 秦欲伐齐 是时 重耳甚卑 诸城未下者 作司马相如列传第五十七 过赵 忠臣进谏 陷彼两贤 乱昆鸡 楚往迎妇 ”於是公子泣 外畏齐、楚兵 此所谓得埶而益彰者乎 遂以亡天下 曰：‘谁为此计者乎
其少年 ”缪公曰：“其君是恶 首十一级 曰：“此国有贤不齐者五人 而郅都为守 乃称疾不朝 射伤王 今释阿房宫弗就 军渭北 於是上许和亲 甾害绝息 偩爱矜功 主远客 ”原过既至 知伯文子谓赵鞅曰：“范、中行虽信为乱 孝元好诗 二年 字子羽 及贾诛赵氏 诸侯震恐 否则已 谚曰‘死者复
生 用太宰嚭计 平公卒 诗云“匪兕匪虎 决通川防 不妨百姓 而前将军广、右将军食其军别从东道 齐人败吴 其次驺衍 杀其将军 天子贺 姓琇氏 惠后生叔带 居家室忧 言於秦昭王曰：“客新有从山东来者曰蔡泽 力田畜 以尝使大夏 功实天赞 主地 会韩人郑国来间秦 单于有太子名冒顿 且
离 养卒为御而归 为之尽力用兵 通夜郎道 十一年 阴养死士 与人言 魏使公子卬将而击之 若韩听 三十二万 天下岂以我为贪淮南王地邪 ”鋗人曰：“新王下法 牍以尺一寸 汤问其事 子朝为臣 乃详狂为奴 嘉与士大夫更始 事兄伯如事父 乃令祠官礼之 三十一年 及楚之先 伍胥未至吴而疾 欃
檀木兰 母不能制 二年 东取咸阳 往往通渠置田 然所以彊者 有棺而无椁 十年 故韩王信复与胡骑入居参合 春申君相二十五年 使刑徒三千人皆伐湘山树 阳虎得亡 世益衰 非人情 临菑城守不敢出 此所谓毋望之福也 韩必起兵以救之 熿炳煇煌 子舍立 而利几恐 色赤而有角 相穰侯攻魏 人必

与集合Q {x | ax 1 0}, 满足Q P
求a的取值组成的集合A
例5、已知A {x | 2 x 5}，B {x | a 1 x 2a 1}， 且B A，求a的取值范围。
系如1 N,1 N, N R,
Φ R,{1} {1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集 合，Φ是不含任何元素的集合如
Φ {0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
例1、判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并 说明理由
(1)A 1,2,3, B {x | x是8的约数｝；
（2）A {x | x是长方形｝， B {x | x是两条对角线相等的平行四边形｝
D为这个班全体学生组成的集合 （3）E={x | x是两边相等的三角形},
F={x| x是等腰三角形} ． （1）中，集合A的任何 一个元素都是集合B的元素。 我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A （2）中的集合C与集合D也有这种关系
定 义： 一般地,对于两个集合A与B，如果集合 A中的任何一个元素都是集合B的元素,就 称集合A为集合B的子集（subset）
1.2 集合间的基本关系
温故知新
1.集合、元素 2.集合元素的特性：确定性、互异性，无序性 3.集合的表示方法：列举法、描述法
4.常用数集： N, N *, Z, Q, R
观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：
(1)A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}; (2) C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，
的子集。空集是任何非空集合的真子集。
完成课本第8页的思考
个结论
①空集是任何集合的子集Φ A
②空集是任何非空集合的真子集 ΦA ③任何一个集合是它本身的子集，即

（2）点集、数集（重点：代表元素）
5.常用数集： N , N（ * N ), Z , Q, R
梦里能达到的地方，总有一天，脚步也能达到
学习目标： 1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 2. 理解子集、真子集、空集的概念； 3. 能使用 Venn 图表达集合间的关系，体会数形结合的思想. 教学重点： 集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念，空集的概念. 教学难点： 元素与子集，即属于与包含之间的区别.
们学习集合这一章的辅助手段。
子集
梦里能达到的地方，总有一天，脚步也能达到
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B
中的元素，就称集合A为集合B的子集。
记作: A B(或B A） 读作： “A含于B” (或“B包含A”)
符号语言： 对任意x A, 有 x B,则 A B。
集合和集合的关系
梦里能达到的地方，总有一天，脚步也能达到
已知集合A={x|-2≤x≤5}.(1)若B⊆A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数m的取值范 围;(2)若A⊆C且C⊆B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围.
集合和集合的关系
梦里能达到的地方，总有一天，脚步也能达到
【 情景导入】
梦里能达到的地方，总有一天，脚步也能达到
问题1 上一节我们学习了集合，对于这个新的研究对象，接 下来该如何研究呢？比如要研究些什么？用什么方法研究？
实数有相等关系
实数有大小关系
如：5=5
如：5<7,5>3
类比 “实数” ➢ 回顾实数研究了哪些内容：实数间的关系、实数的运算等
集合与集合之间呢？
Venn图 （1） 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （2） 上述集合A与B之间的关系用Venn图可表示为：

(2) 解析： ∵ {x | x²=0}是集合。即集合{x | x=0} ∵ 0是元素 ∴ 0 ∈ {x | x²=0}
(3) 解析： ∵ {x∈R | x²+1=0}，中x²+1=0无解
∴ {x∈R | x²+1=0}是∅ ∴ ∅⊆ {x∈R | x²+1=0} 或 ∅= {x∈R | x²+1=0}
课后作业
5、解答题 （1）设m,n∈Z, 若P={1，-m}, W={m, n}，P=W。
求m-2n的值 （2）已知集合A={x| -4<x<9}, 集合B={-2<2x<m}，
且B是A的真子集。求m的范围
低头是题海 抬头是未来
THANKS
(3) A={x∈N+| x是4与10的公倍数}, B={x | x=20m，m∈N+}
三、课堂练习
课堂练
3.判断下列两个集合之间的关系 (1)A={x | x<0}, B={x | x<1}
(1) 解析：
B A
中的元素，且集合B中至少 有一个元素不属于集合A。 则A是B的真子集。
集合B: ∵z∈N，令z=0, 1, 2, 3... ∴x=0, 6, 12, 18... ∴B={x | x=0, 6, 12, 18...}
∴ B是A的真子集。B ⫋A，或者A ⫌B
三、课堂练习
课堂练
3.判断下列两个集合之间的关系 ---P9 (3) A={x∈N+| x是4与10的公倍数}, B={x | x=20m，m∈N+}
集合A中的元素个数<集合B中的元素个数 集合A中的元素都是集合B中的元素。
情景3-我班学生： 集合C为我班的男学生，集合D为我班全体学生。 请问：集合C和集合D有什么关系？ 集合C中的元素都是集合D中的元素。

新教材必修第一册1.2：集合间的基本关系课标解读：1.子集的含义.（理解）2.真子集的含义.（理解）3.集合相等的含义.（理解）4.空集的含义.（理解）5.Veen图.（了解）学习指导：1.准确理解子集的概念，把握子集与真子集之间的关系.2.注意灵活运用集合的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）分析解决有关问题.3.谨防掉进“空集”陷阱.4.本节难点是对相似概念及符号的理解，例如：区别元素与集合，属于与包含等概念及其符号表示.知识导图：教材全解知识点1：Veen图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Veen图.例1-1：用Veen图表示集合之间的关系：}xxB=，是平行四边形xA=x|{|}{是菱形，xxD=是矩形xC=x}|}.，{|{是正方形答案：知识点2：子集例2-2：给出下列说法：①任意集合必有子集；②若集合BA⊆，则A中元素的个数一定少于集合B中的元素个数；③若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，集合C是集合D的子集，则集合A是集合D的子集；④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B，则集合B是集合A的子集，其中正确的是（）A. ②③B.①③④C.①③D.①②④ 答案：B例2-3：设集合}1,1{},,3,1{2+-==a a B a A ，且A B ⊆，则a 的值为 . 答案：-1或2知识点3：集合的相等一般地，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等，记作A=B.也就是说，若B A ⊆且A B ⊆，则A=B.例3-4：集合},12|{Z n n x x X ∈+==，},14|{z k k y y Y ∈±==，试证明Y X =. 答案：（1）设X x ∈0，则,1200+=n x 且.0Z n ∈①若0n 是偶数，可设Z m m n ∈=,20，则Z m m x ∈+=,140，∴Y x ∈0②若0n 是奇数，可设Z m m n ∈-=,120，则Z m m m x ∈-=+-=,141)12(20，∴Y x ∈0 ∴不论0n 是奇数还是偶数，都有Y x ∈0. ∴Y X ⊆. （2）设Y y ∈0，则.,141400000Z k k y k y ∈-=+=，或∵Z k k k y k k y ∈+-⋅=-=+⋅=+=00000001)12(21412214，，或， ,12,200Z k Z k ∈-∈ ∴X y ∈0，则X Y ⊆ 由（1）（2）得，Y X =. 知识点4：真子集例4-5：在“新冠肺炎”疫情期间，某社区男、女党员自发组成自愿者队伍，参加社区防疫工作.若集合A={参与防疫工作的志愿者}，集合B={参与防疫工作的男党员}，集合C={参与防疫工作的女党员}，则下列关系正确的是（ ） A. B A ⊆ B. C B ⊆ C.A C ⊄ D.B ⫋A 答案：D例4-6：指出下列各组集合之间的关系： （1）)};1,1(),1,1(),1,1(),1,1{(},1,1{----=-=B A （2）}6,3,2{=A ，B=}12|{的约数是x x ；（3）}|{}|{是等腰三角形，是等边三角形x x B x x A ==； （4）},12|{+∈-==N n n x x M ，},12|{+∈+==N n n x x N .答案：（1）A 与B 无包含关系；（2）A ⫋B ；（3）A ⫋B ；（4）N ⫋M .知识点5：空集 1.空集的定义一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2.空集的性质（1）空集是任何集合的子集；（2）空集的任何非空集合的真子集，即∅⫋A （A 为非空集合）. 由上述性质可知空集只有一个子集，即它本身. 辨析明理：∅、0、{0}、{ ∅}之间的关系：例5-7：下面四个集合中，表示空集的是（ ）. A. {0} B.},01|{2R x x x ∈=+ C.},01|{2R x x x ∈>- D.},,0|),{(22R y R x y x y x ∈∈=+ 答案：B例5-8:若集合==+-=}02|{2m x x x A ∅，则实数m 的取值范围是（ ） A.1-<m B.1<m C.1>m D.1≥m 答案：C知识点6：有限集合的子集个数 对于集合A 的子集我们有如下结论： 集合AA的所有子集子集个数 真子集个数 非空真子集个数}{a ∅,}{a 122= 1 0 },{b a ∅,}{a ,}{b ,},{b a 224=3 2 },,{c b a∅,}{a ,}{b ,}{c ,},{b a ,},{c a ,},{c b ,},,{c b a328=76猜想：A=},...,,{21n a a a n 2 12-n 22-n例6-9：已知集合},,01234|),{(++∈∈<-+=N y N x y x y x A ，则集合A 的子集个数为（ ）.A.3B.4C.7D.8 答案：D例6-10：已知集合M 满足}2,1{⫋M }5,4,3,2,1{⊆，则有满足条件的集合M 的个数是（ ）.A.6B.7C.8D.9 答案：B知识点7：集合的图示法 1.Veen 图（1）用Veen 图表示集合间基本关系，如图所示：（2）用Veen图表示集合之间的关系：A⫋B⫋C可表示为如图：2.数轴法对于由连续实数组成的集合，通常用数轴表示，这也属于集合表示的图示法.在数轴上，若端点值是集合中元素，则用实心点表示；若端点值不是集合中的元素，则用空心点表示.集合}3<-xx≤xx与用数轴分别表示如图：{{≥}5|1|例7-11：图中反映的是“文学作品”、“散文”、“小说”、“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容：A为；B为；C为；D为 .答案：{小说} {文学作品} {叙述散文} {散文}例7-12：已知集合A=}2{<≤-xx，则集合A与B的关系是 .|2{-≥x|x，集合B=}8答案：B⫋A题型与方法例13：指出下列各组集合之间的关系： （1）}.50|{},51|{<<=<<-=x x B x x A （2）}.,4|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈==∈==（3）}.,2)1(1|{},0|{2Z n x x B x x x A n∈-+===-= （4）}.0,00,0|),{(},0|),{(<<>>=>=y x y x y x B xy y x A 或 （5）}.,54|),{(},,1|{22++∈+-==∈+==N a a a x y x B N a a x x A答案：（1）B ⫋A ；（2）B ⫋A ；（3）A=B ；（4）A=B ；（5）B A ⊆；（6）A ⫋B.例14：已知集合}|{},3,2,1{A x x Y A ⊆==，则下列结论错误的是（ ） A.Y ⊆}1{ B.Y A ∈ C.∅Y ⊆ D.{∅}⫋Y 答案：A变式训练：已知集合},612|{},312|{},,61|{Z c c x x C Z b b x x B Z a a x x A ∈+==∈-==∈+==，，则A ，B ，C 满足的关系是（ ）A. A=B ⫋CB. A ⫋B=CC. A ⫋B ⫋CD.B ⫋C ⫋A 答案：B题型2：确定集合的子集、真子集例15：设}0)45)(16(|{22=++-=x x x x A ，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集.答案：集合A 的子集为：∅、{-4}、{-1}、{4}、{-4、-1}、{-4、4}、{-1、4}、{-4、-1、4}，集合A 的真子集为：∅、{-4}、{-1}、{4}、{-4、-1}、{-4、4}、{-1、4}.例16：已知集合A={1,3,5},则集合A 的所有非空子集的元素之和为 . 答案：36变式训练：已知集合A=}065|{},033|{22=+-∈==++∈x x R x B x x R x ，A P ⊆⫋B ，求满足条件的集合P. 答案：∅或{2}或{3}例17：已知}012|{},082|{222=-++∈==+-∈=a ax x R x B x x R x A ，若A=B ，则实数a 的取值范围为 . 答案：}44|{>-<a a a 或例18：已知集合}.121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A （1）若B ⫋A ，求实数m 的取值范围； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.答案：（1）}.3|{≤m m （2）不存在m 使得B A ⊆.变式训练：已知}|{},31|{a x x B x x A <=<<-=，若B A ⊄，则实数a 的取值范围是（ ）. A.}3|{<a a B.}3|{≤a a C.}1|{->a a D.}1|{-≥a a 答案：A例19：已知集合},|{},,12|{},1,1|{2A x x z z C A x x y y B R a a a x x A ∈==∈-==∈->≤≤-=且，是否存在实数a 使得B C ⊆？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案：当1=a 时，B C ⊆易错题型易错1：混淆属于关系和包含关系例20：已知集合A={0,1}，B=}|{A x x ⊆，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是（ ） A.A B ⊆ B.A ⫋B C.B ⫋A D.B A ∈ 答案D易错2：忽略对参数的讨论例21：已知集合},0)1(|{},0|{22=--===x a x x F x x E 判断集合E 和F 的关系. 答案：①当1=a 时，E=F ；②当1≠a 时，E ⫋F.易错3：忽略空集例22：已知集合A={-1,1},B=A B ax x x ⊆+=若},1|{,则实数a 的所有可能取值组成的集合为（ ）.A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1} 答案：D易错4：利用数轴求参数范围时，忽略端点值是否能取到例23：已知集合},31|{},54|{R a a x a x B x x x A ∈+≤≤+=-<≥=或，若A B ⊆，则a 的取值范围为 .答案：}38|{≥-<a a a 或创新升级例24：已知非空集合21A A ，是集合A 的子集，若同时满足两个条件：（1）若21A a A a ∉∈，则；（2）若12A a A a ∉∈，则，则称),(21A A 是集合A 的“互斥子集”，并规定),(21A A 与),(12A A 为不同的“互斥子集组”，则集合A={1，2，3，4}的不同“互斥子集组”的个数是 . 答案：50组感知高考考向1：集合间关系判定及应用例25：已知集合A={1,2,3}，B={2,3}，则（ ）A.A=BB.A B ∈C.A ⫋BD.B ⫋A答案：D例26：已知集合A=},1{a ，B={1，2，3}，那么（ ）.A.若3=a ，则B A ⊆B.若B A ⊆，则3=aC.若3=a ，则B A ⊄D.若B A ⊆，则2=a 答案：C 考向2 ：子集的个数 例27:已知集合A=},023|{2R x x x x ∈=+-，B=},50|{N x x x ∈<<，则满足条件B C A ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4答案:D基础巩固：1.已知下列四个命题：①；则且若C A C B B A ⊆⊆⊆,②且若B A ⊆B ⫋C ，则A ⫋C ；③若A ⫋B 且B ⊆C ，则A ⫋C ；④若A ⫋B 且B ⫋C ，则A ⫋C.其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42.满足M a ⊆}{⫋},,,{d c b a 的集合M 共有（ ）A.6个B. 7个C. 8个D.15个3.已知集合U=R ，则正确表示集合U ，M={-1,0,1},N=}0|{2=+x x x 之间的Veen 图是（）.4.集合M=},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则（ ）A.N M =B.N ⫋MC.M ⫋ND.M 与N 没有相同的元素5.设结合A={-1,1}，集合B=},1|{R a ax x ∈=，则使得A B ⊆的a 的所有取值构成的集合是 .6.已知7.已知集合A=}.52|{≤≤-x x（1）若}126{-≤≤-=⊆m x m B B A ，，求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得A=B ，}126{-≤≤-=m x m B ？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由.综合提升：8.集合A=},,1{y x ，B=}2,,1{2y x ，若A=B ，则实数x 的取值集合为（ ） A.{21} B.{2121-，} C.{210，} D.{21210-，，}9.下列四个结合中，是空集的是（ ）A.}33|{=+x xB.},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C.}0|{2≤x xD.},01|{2R x x x x ∈=+-10.集合},54|{2R a a a x x A ∈+-==，},344|{2R b b b y y B ∈++==，则下列关系正确的是（ ）. A. A=B B.B ⫋A C.A B ⊆ D.A B ⊄11.同时满足①}5,4,3,2,1{⊆M ，②M a M a ∈-∈6,且的非空集合M 的个数为（ ）A. 16B.15C. 7D. 612.若一个集合中含有n 个元素，则称该元素集合为“n 元集合”，已知集合}4,3,21,2{-=A ，则其“2元子集”的个数为（ ）A. 6B. 8C. 9D. 1013.设集合A=}023|{2=+-x x x ，集合B=},04|{2为常数a a x x x =+-，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 .14.已知集合A=}40|{≤<∈x Z x ，若A M ⊆，且M 中至少有一个偶数，则这样的集合M 的个数为 .15.若规定E=},...,,{1021a a a 的子集},...,,{21ni i i a a a 为E 的第k 个子集，其中1112...2221---+++=ni i i k ，则：（1）},{31a a 是E 的第 个子集；（2）E 的第211个子集为 .16.已知三个集合}02|{}01|{},023|{222=+-==-+-==+-=bx x x C a ax x x B x x x A ，，同时满足B ⫋A ，C ⊆A 的实数b a ,是否存在？若存在，求出b a ,的所有值；若不存在，请说明理由.参考答案1. D2. B3. B4. C5. {-1,0,1}6. }41|{≤a a7. （1）}43|{≤≤m m ；（2）不存在.8. A9. D10.B11.C12.A13.}4|{≥a a14. 1215.（1）5；（2）},,,,{87521a a a a a .16.存在2222,23,2<<-===b a b a 或满足要求.。

(3)集合{a1, a2 , , an }的子集个数是 __2_n____； 真子集的个数是 _2_n____1_； 非空真子集的个数是 _2_n____2__ .
温故知新：
1、集合中元素的三个特性: 确定性、互异性、无序性
2、元素与集合的关系 和
元素与集合的关系是个体与总体的关系
3、集合按元素个数分类： 有限集，无限集
4、集合的表示方法： 自然语言法 列举法 描述法
一、新课讲解
思考：下面两个集合的元素之间有何关系
集合A
集合B
集合A中的每一个元素都在集合B内
∴关于 x 的方程 x2－2ax＋b＝0 的根只能是－1 或 1， 但要注意方程有两个相等根的条件是 Δ＝0.
∵B＝{x|x2－2ax＋b＝0}⊆A＝{－1,1}，且 B≠Ø，
∴B＝{－1}或 B＝{1}或 B＝{－1,1}．
当 B＝{－1}时， Δ＝4a2－4b＝0 且 1＋2a＋b＝0，解得 a＝－1，b＝1. 当 B＝{1}时， Δ＝4a2－4b＝0 且 1－2a＋b＝0，解得 a＝b＝1.
√(2)A {1}, B {1,2},C {1,2,3}, 则 A B, B C, 且 A C；
对于集合 A，B，C，如果 A B, B C ，那么 A C ；
√(3)给定非空集合A={1,2,3}，则 A. A
空集是任何非空集合的真子集.
二、新课讲解 5、三个结论
(1)任何一个集合是它本身的子集，即 A A ； (2)对于集合 A，B，C，如果 A B, B C ，那么 A C ；
并规定：空集是任何集合的子集.
例：方程 x2 1 的实数根组成的集合：{x R | x2 1} 不等式 x2 1 1 的实数解：{x R | x2 1 1}

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一
说集合B包含集合A，或者说集合A包含于集合B。
个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.
记作： ⊆ (或 ⊇ ) 读作：A包含于B（或B包含A）
1
集合的包含与子集
【对子集的理解】
（1）若A⊆B，则有任意，得
（2）当集合A中存在不属于集合B的元素时，我们就
B={0,1，2}
你能发现集合之间有什么关系吗？
3
集合相等
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元
素，且集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A
和集合B相等，记作：A=B
也就是说，若 ⊆ ，且 ⊆ ，则A=B
用于证明两集合相等
【举例说明】
①若集合A：0~10之间的质数；集合B={2，3，5，7}，则A=B
【注意】①表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，
A
B
它可以是圆、矩形、椭圆、也可以是其他封闭曲线
②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图
时要注意区分大小关系。
1.已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则(
A.P∈Q
B.P⊆Q
C.Q⊆P
C
)
D.Q∈P
2.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则(
A.B⊆A
B.A⊆B
C.B<A
D.A<B
A
)
3.A和B两个集合的大小情况如图所示，则A和B的关系是（
A. ∈
C. ⊆
B. ∈
D. ⊆
B
A
D
）
01

集合间的基本关系例1 确定整数x 、y ，使得{2,}{7,4}x x y +=.例2 例1 写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.例3 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x =->与{|250}B x x =-≥；（2）设集合A ={0,1}，集合{|}B x x A =⊆，则A 与B 的关系如何？说明 判断两个集合之间的关系时，（1）若能用列举法表示出集合，则可根据各个集合的元素构成情况直接判断；（2）若不能用列举法表示集合，则可以根据（集或真子集的）定义进行判断.空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.例4 已知集合{}2|(2)430,A x a x x x =-+-=∈R 有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围，并写出集合A 的子集.说明 一般，若集合含有n 个元素，则共有2n 个子集（21n -个真子集），其中有一个是空集.例5 已知集合{}260P x x x =+-=∣，{10}Q xax =+=∣.若Q P ⊆，求满足条件时实数a 的所有取值组成的集合.说明 解决此类问题的一般步骤有：第一步，化简集合，即尽可能地将给定的集合化简，这样我们就能搞清楚集合的元素是什么；第二步，根据子集或真子集的定义，分别写出子集或真子集（不要遗忘空集）；第三步，根据子集或真子集的不同情况分别进行分类讨论.例5 已知集合{}510|<+<=ax x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=221|x x B . （1）若A B ⊆，求a 的取值范围.（2）若B A ⊆，求a 的取值范围.（3）集合A 与集合B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，说明理由.例6 已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ⊆，求实数p 、q 所满足的条件学习检测1.用适当的符号填空：{1,}1-________{}2|10,x x x -=∈R ； {0}________{}2|10,x x x +=∈R . 2.集合{1,2,3}的子集共有________个.3.写出集合{(2,1),(1,2)}--的所有子集：________________________.4.已知集合{1,3,}{3,4}A m B =-=，.若B A ⊆，则实数m =________.5.已知集合{|12}{|}A x x B x x a =<<=>，，B={x |x >a }.若A ⫋B ，则实数a 的取值范围是_____________.6.满足{}a ⫋{,,}M a b c ⊆的所有集合M 共有_________个.7.已知集合A B A C ⊆⊆，，且{0,1,2,3,4,5}B =，{}0,2,4,6,8C =，则满足条件的所有集合A 共有______.8.已知a 、b ∈R ，集合{1,,}A a b a =+，0,,b B b a⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若A B =，则b a -的值是（ ） A.1； B.-1； C.2； D.-2.9.已知集合{}2230A y y y =--=∣，{}220B x x ax b =-+=∣（a 、b 均为实数）.若非空集合B A ⊆，则a b +的值是（ ）A.12或-2；B.-2或0；C.2或2或0；D.12或-2或010.若1,1x A A x ∈∈-且,则称集合A 为“和谐集”.已知集合1122,1,,0,1,,,2,3,223M ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，则集合M 的子集中，“和谐集”的个数为11.已知集合{}52|≤<-=x x A ，{}121|-<≤+=m x m x B ，且B A ⊆.求实数m 的取值范围并用集合表示.12.给定集合A 和B ，定义运算“⊗”：{|,,}A B x x m n m A n B ⊗==-∈∈.若{}4,5,6A =，{}1,2,3B =：（1）写出A B ⊗，并求集合A B ⊗中的所有元素之和；（2）写出集合A B ⊗的所有子集.13.已知集合}),12(51{Z k k x x M ∈+==，},5154{Z k k x x N ∈±==,则集合NM ,之间的关系为（ ）A N M ⊆ B M N ⊆ C N M = D N M ≠14、已知集合B A ⊆，},)412({Z k k x x B ∈+==π,},)214({Z k k x x C ∈+==π,那么集合A 与C 的关系为_____15、设集合{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=，A B ⊆求实数a 的取值范围。

C.M {(x, y) | x y 1},N {y | x y 1}
D.M {1, 2},N {(1, 2)}
实数有相等关系，大小关系，
如2=2，2<3，4>3等等，类比实
数之间的关系，那么集合间有
什么关系？
问题：
观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？
1.A={1，3，5，7}；B={1，2，3，4，5，6，7}；
2.C= {二中高一7班的男生} ；D= {二中高一7班的学生} ；
3. E={x|x2－1=0}；F={－1，1}.
4.G={x|x是两边相等的三角形}；H={x|x是等腰三角形}；
集合A 中的任何一个元素都是集合B的元素.
同理，集合C与集合 D也有这种关系.
D．S＝{x||x|≤ 3，x∈N}
D
回顾本节课你有什么收获？
1.子集：A B 任意x∈A x∈B.
2.真子集: A B A B，但存在 x0∈B且 x0 A.
3.集合相等：A＝B AB且BA.
4.性质: ①A；若A非空， 则 A.
②AA.
③AB，BCAC.
（3）图示法．
集合的分类
1.有限集：含有有限个元素的集合
如：{(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)}
注：只含一个元素的集合叫单元素集
2.无限集：含有无限个元素的集合
3.空集：不含任何元素的集合
1、用适当的方法表示下列集合： 学以致用
（1）小于10的正偶数集；
（2）方程
x 2 x 1 0 的解集：
②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.
由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,

一般地，集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有 2n-1个.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1．满足关系{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合的个数是( C )
A．6个
B．7个
C．8个
D．9个
2．集合{a,b,c}的真子集共有个( A )
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
学习目标
课堂总结
概念生成
对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集
合A的子集，那么称集合A与集合B相等. 记作:A=B． 即:A⊆B,且B⊆A,则A=B.
可用Venn图表示，如图:
A (B)
学习目标
新课讲授
课堂总结
例2.下列各组中的集合是否相等，为什么？
(1){3,5},{5,3};
√
(2){7,2},{(2,7)};
，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}. 上述8个子集，其中除了{0,1,2}，其余7个都是真子集.
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结提升
写集合子集的一般方法： 先写空集，然后按照集合元素从少到多的顺序写出来，一直到集合 本身.写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集.
×
(3){y|y=x2, x∈R};{x|y=x2,x∈R};
×
(4)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}.
×
学习目标
新课讲授
课堂总结
真子集 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的 真子集，记作：A⫋B（或B⫌A），读作： “A真含于B（或“B真包含A”). 可用Venn图授

概念讲解
文字语言
定 子集 义 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中
的元素，称集合A为集合B的子集.记作A⊆B（或B⊇A）读作“A包含于B”
（或“B包含A”）
符号语言
概念讲解
定 Venn图 义
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。
集合A与集合B的包含关系，可用右图表示
概念辨析
都表示没有 的意思
都是集合
∅是集合， 0是实数
∅不含任何元 素，{0}含有 一个元素0
0 ∉∅
∅ ⫋ {0}
都是集合
∅不含任何元素，{∅}是一个集合，它 是由集合组成的一个集合，含有一个 元素，这个元素是∅
∅ ⫋ {∅} 或 ∅ ∈ {∅}
03 集合间关系的应用
概念讲解
类型一：子集个数
BA
或 B（A）
A⊆B
概念讲解 思考2：观察下列两个集合 ，并指出它们元素间的关系
集合A中的元素和集合B中的元素是一样的．
概念讲解
文字语言
定 集合相等 义 一般地,如果集合A的任何一个元素
集合B的元素,同时集合B的任何一
个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作
Venn图
B（A）
符号语言 图形语言
概念讲解 解：(1)因为A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},B⊆A所以①当B=⌀时,m+1>2m-1, 解得m<2,
综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤解3}得.(22)≤因m为≤3A. ⊆C且C⊆B,所以A⊆B,则
解得3≤m≤4, 所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}.
解：由{1,2}⫋ M⊆{1,2,3,4,5}可以确定集合 M 中必含有元素 1,2,且含有元素

当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.
(2)
集合
⌀
{a}
{a,b}
{a,b,c}
集合的子集
⌀
⌀,{a}
⌀,{a},{b},{a,b}
⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
子集的个数
1
2
4
8
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2 ?真子集的个数
及非空真子集的个数是2 -2.
确定集合的子集、真子集
设A={x(x-16)(x+5x+4)=0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集？
解：由(x2-16)(x2+5x+4)=0，得(x-4)(x+1)(x+4)2=0，解方程得x=-4或x=-1
或x=4.
故集合A={-4,-1,4}.由0个元素构成的子集为∅;
由1个元素构成的子集为{-4}，{-1}，{4};
由2个元素构成的子集为{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4};
由3个元素构成的子集为{-4,-1,4}.
因此集合A的子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4}，{4,-1,4}.
真子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4}.
知识讲解
2.填空
一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B
的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作
A=B.
也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
3.做一做

A
B C
课堂小结：
（1） ⊆ .（类比 ≤ ）
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）若 ⊆ , ⊆ ,则 ⊆ （类比 ≤ ， ≤ 则 ≤ ）
（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子
集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0．
换而言之，
追问2
A⊆A与A⫋A有何区别？
A⊆A包含A=A与A⫋A两种情况。
思考 以下哪个Venn图满足A⊆B？
B
1-1
1-3
A
A
B
B
B（A）
A
1-2
1-4
思考
集合{x∈R|x2+1=0}中含有多少个元素？
空集
一般地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为∅，
并规定：空集是任何集合的子集。
追问1
追问1
根据子集的定义，请判断A是否为A的子集？
任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A
A
B
Venn图示
追问2 第三组集合E={x|x是两条边相等的三角形}和F={x|x是
等腰三角形}的关系与前两组有什么不同？
集合EF中的任何一个元素都是集合E中的元素。
问题4 与实数中的结论“若a≥b, 且b≥a, 则a=b”相类比，根
m＋1＞－2，

或2m－1≤5，

m＋1≤2m－1，
总结
请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：
（1）两个集合之间有哪些关系，你能举例说明吗?
（2）集合的基本关系有哪些性质?我们是如何发现这些性质的?
（3）我们研究了哪个特殊集合?你能举例说明吗?
（4）“属于”与“包含”有什么区别?

(1) B {x | x A} ；
(2) C {(x, y) | x, y A} ;
(3) D {x | x A} .
【练习2】.判断下列两个集合之间的关系.
(1)M {x | x k 1 , k Z}, N {x | x k 1 , k Z};
一般地，对于两个集合A、B，如果集合 A的任意一个元素都是集合B的元素,则称集合 A为集合B的子集，记为A B 或 B A ，读
作 “ 集合A包含于集合B” 或“集合B包含集合A”
符号语言：若 任意 c A则 c B
图形语言（Venn图）： B
A（B）
A
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A 时，记作 A B ( 或 B A )
（3）A x | x a2 2a 4 ，B y | y b2 4b 3
（4）A 0,1，B x | x A
例2、写出集合{a,b,c}的所有子集，并指出其 中哪些是它的真子集.
猜测集合A含有n个元素时，集合A子集的个数．
结论：一般地，若集合A中有n个元素，则集合 A有2n 个子集, 2n -1个非空子集,2n -1个真子集， 2n -2个非空真子集。
四 课堂小结 （1）子集及真子集的定义及记号； （2）子集及真子集的性质；
空集∅是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集.
（3）两个集合相等的等价定义； （4）一个集合的子集及真子集的个数； （5）如何正确表示方程及不等式的解集； （6）分类讨论的思想: 先特殊后一般.
【练习1】 设集合 A {0,1, 2}，则用适当的符号 表示集合A与下列集合的关系：
1.2.1集合间的基本关系
观察下列集合A与B
(1) A={-1，1}，B={-1，0，1，2}

1.2集合间的基本关系 一、本节知识点讲解【知识点1】集合间的基本关系1. 集合与集合之间的 “相等”关系：如果集合A 是集合B 的子集)(B A ⊆,且集合B 是集合A 的子集)(A B ⊆,此时集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此。

集合A 与集合B 相等。

记作A=B 。

2. 真子集：若集合B A ⊆，但存在元素A x B x ∉∈且,，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。

记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）。

3. 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A 。

(2)对于集合A ，B ，C ，若A ⊆B ，且B ⊆C ，则A ⊆C 。

(3)“A ⊆B ”的含义：若x ∈A 就能推出x ∈B 。

(4)集合A 是集合B 的子集不能理解为集合A 是由集合B 中的“部分元素”组成的，因为集合A 可能是空集，也可能是集合B 。

(5)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N ，而不能写成{0}∈N ； “∈”只能用于元素与集合之间，如0∈N ，而不能写成0⊆N 。

(6){0}是含有一个元素的集合。

(7)∅是不含任何元素的集合，因此∅{0}，注意不能写成∅＝{0}，∅∈{0}。

(8)已知集合A 有个()2≥n n 元素，则它有n 2个子集，它有个12-n 真子集，它有12-n 个非空子集，它有22-n 个非空真子集。

【题型1】集合的相等【例1】下列集合中与{2，3}是同一集合的是（ ）A ．{{2}，{3}}B ．{（2，3）}C ．{（3，2）}D ．{3，2}【变式1】下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）A ．M ＝{（3，2）}，N ＝{（2，3）}B ．M ＝{3，2}，N ＝{2，3}C ．M ＝{（x ，y ）|x +y ＝1}，N ＝{y |x +y ＝1}D ．M ＝{1，2}，N ＝{（1，2）}【变式2】已知集合A ={x|y =1x }，B ={y|y =1x }，C ={(x ，y)|y =1x }，下列结论正确的是（ ）A ．A ＝BB ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C【变式3】集合A ＝{0，3}，集合B ＝{x |x （x ﹣a ）＝0}，若A ＝B ，则a 的值为（ ）A ．0B ．3C ．﹣3D ．0或3【例2】已知集合A ＝{0，1，a 2}，B ＝{1，0，2a +3}，若A ＝B ，则a 等于（ ）A ．﹣1或3B ．0或﹣1C ．3D ．﹣1【变式1】已知a 、b 为实数，若集合{b a ，1}与{a ，0}表示同一集合，则a +b 等于（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．±1【变式2】设a，b∈R，集合A＝{1，a+b，a}，B＝{0，ba，b}，若A＝B，则b﹣a（）A．2B．﹣1C．1D．﹣2【变式3】若{a2，0，﹣1}＝{a，b，0}，则a2017+b2017的值为（）A．0B．1C．﹣1D．2【小结】【题型2】集合间的基本关系【例1】已知A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，则集合A与集合B的关系是（）A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．B⊈A【变式1】已知集合P＝{﹣1，0，1，2}，Q＝{﹣1，0，1}，则（）A．P∈Q B．P⊆Q C．Q⊆P D．Q∈P【变式2】已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞0}，B＝{x|0＜x＜1}，则（）A．A＝B B．A⫋B C．B⫋A D．A⊆B【变式3】集合P＝{x|y＝x2}，集合Q＝{y|y＝x2}，则P与Q的关系为（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P＝Q D．以上都不正确【例2】设集合M＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，N＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，则（）A．M＝N B．M⫋N C．N⫋M D．N⊆M【变式1】设集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}，则（）A．M⫋N B．M⫋N C．M＝N D．以上都不正确【变式2】集合A＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，B＝{y|y＝4k±1，k∈Z}，则A与B的关系为（）A．A⊊B B．A⊋B C．A＝B D．A≠B【变式3】已知集合A={x|x=k+16，k∈N}，B={x|x=m2−13，m∈N}，C={x|x=n2+16，n∈N}，则集合A、B、C的大小关系是（）A．A⫋C⫋B B．C⫋A⫋B C．A⫋B＝C D．A⫋B⫋C【例3】满足{1}⊆A⫋{1，2，3}的集合A的个数为（）A．2B．3C．8D．4【变式1】满足{1}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数为（）A．5B．6C．7D．8【变式2】满足条件{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}的集合A有（）种A．4B．7C．8D．16【变式3】满足{1，2，3}⊊A⊆{1，2，3，4，5}的集合A的个数为（）A．1B．2C．3D．4【小结】【题型3】集合关系中的参数取值问题【例1】已知集合A＝{0，x}，B＝{0，2，4}，若A⊆B，则实数x的值为（）A．0或2B．0或4C．2或4D．0或2或4【变式1】已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，1，a+1}，且A⊆B，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．2【变式2】已知集合A＝{1+x2，x}，B＝{1，2，3}，且A⊆B，则实数x的值是（）A．﹣1B．1C．3D．4【变式3】设集合A＝{a，b}，B＝{0，a2，﹣b2}，若A⊆B，则a﹣b＝（）A．﹣2B．2C．﹣2或2D．0【例2】已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}．若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]【变式1】已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x≤a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞．﹣1）D．（﹣∞．﹣1]【变式2】设集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A，B有公共元素，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a≤2B．a＞2C．a≥﹣1D．a＞﹣1【变式3】设A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|2a≤x≤a+3}，若B真包含于A，则实数a的取值范围是（）A．[1，3]B．（3，+∞）∪{1}C．{1}D．（3，+∞）【小结】【题型4】空集【例1】下列集合中，结果是空集的为（）A．{x∈R|x2﹣4＝0}B．{x|x＞9或x＜3}C．{（x，y）|x2+y2＝0}D．{x|x＞9且x＜3}【变式1】下列集合中，是空集的是（）A．{x|x+2＝0}B．{x|x2+1＝0，x∈R}C．{x|x＜1}D．{（x，y）|y2＝﹣x2，x，y∈R}【变式2】设集合A＝{x|ax2﹣ax﹣1＞0}若A为空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣4，0]C．[﹣4，0）D．[﹣4，0]【变式3】若关于x的不等式a（1﹣x）＞3x+2的解集为∅，则实数a的取值范围为（）A．a≥﹣3B．a≤﹣3C．a＝﹣3D．a＞﹣3【例2】集合{0}与∅的关系是（）A．{0}⫋∅B．{0}∈∅C．{0}＝∅D．{0}⊆∅【变式1】给出下列关系式：①√2∈Q；②{1，2}＝{（1，2）}；③2∈{1，2}；④∅⊆{0}，其中正确关系式的个数是（）A．0B．1C．2D．3【变式2】下列四个关系：①{a，b}⊆{b，a}；②{0}＝∅；③∅∈{0}；④0∈{0}，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3】现有五个判断：2⊆{1，2}，∅∈{0}，{1}∈{1，2}，{√5}⊆Q，∅⫋{0}．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【小结】【题型5】子集与真子集【例1】已知A ＝{1，9}，B ＝{2，0}，则集合A ∪B 的真子集的个数是（ ）A ．16B ．4C ．15D ．8【变式1】已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，4，5}，C ＝A ∩B ，则C 的子集共有（ ）A ．2个B ．3个C ．8个D ．4个【变式2】设集合A ＝{x |x 2﹣x ＝0}，则集合A 的真子集的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式3】集合M ={y|y =√4−x 2，x ∈Z}的真子集的个数为（ ）A ．7B ．8C ．31D ．32【小结】二、当堂检测一．选择题（共5小题）1．已知M ＝{x |x 2﹣x ≤0}，N ＝{x |x−1x ≤0}，则集合M 、N 之间的关系为（ ）A．M∩N＝∅B．M＝N C．N⫋M D．M⫋N2．已知集合M＝{x|（x﹣1）2≤0}，N＝{x|x＞0}，则（）A．N⊆M B．M⊆N C．M∩N＝∅D．M∪N＝R3．集合M＝{x|x＜16}，N＝{x|x2＜16}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M⊆∁R N D．N⊆∁R M4．集合{x|﹣1＜x＜3，x∈N*}的非空子集个数为（）A．3B．4C．7D．85．已知集合A＝{x|x∈Z|﹣x2+x+2＞0}，则集合A的子集个数为（）A．4B．5C．6D．8二．填空题（共2小题）6．已知复数a，b满足集合{﹣a，b}＝{a2，b+1}，则ab＝7．已知集合M满足{3，4}⊆M⊆{3，4，5，6}，则满足条件的集合M有个．三．解答题（共2小题）8．已知P＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若S是P的子集，求m的取值范围．9．设非空集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为B．（Ⅰ）当a＝0时，求集合A，B；（Ⅱ）当A⊆B时，求实数a的取值范围．三、家庭作业一．选择题（共5小题）1．下列关系式中，正确的是（）A．π∈Q B．{（0，1）}⊆{0，1}C．∅∈{∅}D．{2}∈{1，2}2．下列各式中，正确的个数是（）①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{2，1，0}；③∅⊆{0，1，2}；④∅＝{0}；⑤{0，1}＝{（0，1）}；⑥0＝{0}．A．1B．2C．3D．43．已知集合A＝{x|y=√(x−1)(5−x)，x∈Z}，则集合A的真子集个数为（）A．32B．4C．5D．314．集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a﹣1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．0≤a≤1D．0＜a＜15．集合M＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n+1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m+1，m∈Z}之间的关系是（）A．S⫋P⫋M B．S＝P⫋M C．S⫋P＝M D．P＝M⫋S二．填空题（共4小题）6．已知集合A＝{x|2＜x≤11}，B＝{x|2x﹣a＞0}．若A⊆B，则实数a的取值范围为．7．设集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2k﹣1≤x≤2k+1}，且A⊇B，则实数k的取值范围是．8．若关于关于x的方程ax2+2x+1＝0的解集有唯一子集，则实数a的取值范围是．9．设集合{a，ba，1}={a2，a+b，0}，则a2014+b2015＝．三．解答题（共2小题）10．已知集合A＝{a，a﹣1}，B＝{2，y}，C＝{x|1＜x﹣1＜4}．（1）若A＝B，求y的值；（2）若A⊆C，求a的取值范围．11．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤4}，B＝{x|2m﹣1＜x＜m+1}，且B⊆A．求实数m的取值范围．1.2集合间的基本关系一、本节知识点讲解【知识点1】集合间的基本关系4.集合与集合之间的“相等”关系：如果集合A 是集合B 的子集)(B A ⊆,且集合B 是集合A 的子集)(A B ⊆,此时集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此。