特殊的平行四边形中考试题汇编

挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编专题07特殊平行四边形综合的压轴真题训练一．平行四边形的性质1．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（）A．4＜m＜3+B．3﹣＜m＜4C．2﹣＜m＜3D．4＜m＜4+【答案】A【解答】解：可得C（，），A（4，0），B（4+，），∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4，∴x＝y+4，直线AC的解析式为：y＝﹣，∴x＝4+y﹣2y，∴点F的横坐标为：y+4，点E的横坐标为：4+y﹣2y，∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣2y）＝2，∵EP＝3PF，∴PF＝EF＝y，∴点P的横坐标为：y+4﹣y，∵0＜y＜，∴4＜y+4﹣y＜3+，故答案为：A．2．（2022•无锡）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD 上，∠EBA＝60°，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，设∠ADB＝x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，∴∠CBD＝∠ADB＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠DAB＝，∴x+＝105°，∴x＝30°，∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，∵BH⊥AD，∴BD＝2BH，DH＝BH，∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，∴∠AEB＝45°，∴EH＝BH，∴DE＝BH﹣BH＝（﹣1）BH，∵AB＝＝＝（﹣）BH＝CD，∴＝，故选：D．二．矩形的性质3．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC 上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣2【答案】D【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝AD＝2，∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值为﹣2．故选：D．4．（2022•丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，且a＞b．（1）若a，b是整数，则PQ的长是；（2）若代数式a2﹣2ab﹣b2的值为零，则的值是．【答案】a﹣b；3+2．【解答】解：（1）由图可知：PQ＝a﹣b，故答案为：a﹣b；（2）∵a2﹣2ab﹣b2＝0，∴a2﹣b2＝2ab，（a﹣b）2＝2b2，∴a＝b+b（负值舍），∵四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，∴EP＝，EN＝，则＝＝＝＝＝＝3+2．故答案为：3+2．5．（2022•宿迁）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，某一时刻，动点E 从点M 出发，沿MA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时，动点F 从点N 出发，沿NC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF ，过点B 作EF 的垂线，垂足为H ．在这一运动过程中，点H 所经过的路径长是．【答案】π【解答】解：如图1中，连接MN 交EF 于点P ，连接BP ．∵四边形ABCD 是矩形，AM ＝MD ，BN ＝CN ，∴四边形ABNM 是矩形，∴MN ＝AB ＝6，∵EM ∥NF ，∴△EPM ∽△FPN ，∴＝＝＝2，∴PN＝2，PM＝4，∵BN＝4，∴BP＝＝＝2，∵BH⊥EF，∴∠BHP＝90°，∴点H在BP为直径的⊙O上运动，当点E与A重合时，如图2中，连接OH，ON．点H的运动轨迹是．此时AM＝4，NF＝2，∴BF＝AB＝6，∵∠ABF＝90°，BH⊥AF，∴BH平分∠ABF，∴∠HBN＝45°，∴∠HON＝2∠HBN＝90°，∴点H的运动轨迹的长＝＝π．故答案为：π．6．（2022•西宁）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．【答案】5或4【解答】解：如图所示，①当AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE＝AE＝5；②当P1E＝AE＝5时，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝，∴底边AP1＝；综上所述：等腰三角形AEP1的底边长为5或4；故答案为：5或4．三．正方形的性质和判定7．（2022•泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（）A．B．C．D．1【答案】B【解答】解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，∴四边形BHFK是正方形，∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，∴∠DEA＝∠EFH，∵∠A＝∠EHF＝90°，∴△DAE∽△EHF，∴，∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，∴AE＝1，BE＝2，设FH＝a，则BH＝a，∴，解得a＝1；∵FK⊥CB，DC⊥CB，∴△DCN∽△FKN，∴，∵BC＝3，BK＝1，∴CK＝2，设CN＝b，则NK＝2﹣b，∴，解得b＝，即CN＝，∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，∴△ADE∽△BEM，∴，∴，解得BM＝，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3﹣﹣＝，故选：B．8．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．B．2C．2D．4【答案】C【解答】解：如图，连接AE，∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，∴d1+d2+d3最小值为AC，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，故选：C．9．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【答案】5+【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．10．（2022•安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F 作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：（1）∠FDG＝°；（2）若DE＝1，DF＝2，则MN＝．【答案】45°【解答】解：由题知，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEB+∠GEF＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠GEF＝∠ABE，在△ABE和△GEF中，，∴△ABE≌△GEF（AAS），∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，即DG+DE＝AE+DE，∴DG＝AE，∴DG＝GF，即△DGF是等腰直角三角形，∴∠FDG＝45°，故答案为：45°；（2）∵DE＝1，DF＝2，由（1）知，△DGF是等腰直角三角形，∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝2+1＝3，延长GF交BC延长线于点H，∴CD∥GH，∴△EDM∽△EGF，∴，即，∴MD＝，同理△BNC∽△BFH，∴，即，∴，∴NC＝，∴MN＝CD﹣MD﹣NC＝3﹣﹣＝，故答案为：．11．（2022•达州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持∠EBF＝45°，连接EF，PF，PD．下列结论：①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；③PQ＝P A+CQ；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为2﹣2，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④⑤【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCP＝∠DCP＝45°，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB＝PD，故①正确，∵∠PBQ＝∠QCF＝45°，∠PQB＝∠FQC，∴△PQB∽△FQC，∴＝，∠BPQ＝∠CFQ，∴＝，∵∠PQF＝∠BQC，∴△PQF∽△BQC，∴∠QPF＝∠QBC，∵∠QBC+∠CFQ＝90°，∴∠BPF＝∠BPQ+∠QPF＝90°，∴∠PBF＝∠PFB＝45°，∴PB＝PF，∴△BPF是等腰直角三角形，故④正确，∵∠EPF＝∠EDF＝90°，∴E，D，F，P四点共圆，∴∠PEF＝∠PDF，∵PB＝PD＝PF，∴∠PDF＝∠PFD，∵∠AEB+∠DEP＝180°，∠DEP+∠DFP＝180°，∴∠AEB＝∠DFP，∴∠AEB＝∠BEH，∵BH⊥EF，∴∠BAE＝∠BHE＝90°，∵BE＝BE，∴△BEA≌△BEH（AAS），∴AB＝BH＝BC，∵∠BHF＝∠BCF＝90°，BF＝BF，∴Rt△BFH≌Rt△BFC（HL），∴∠BFC＝∠BFH，∵∠CBF+∠BFC＝90°，∴2∠CBF+2∠CFB＝180°，∵∠EFD+∠CFH＝∠EFD+2∠CFB＝180°，∴∠EFD＝2∠CBF，故②正确，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCT，连接QT，∴∠ABP＝∠CBT，∴∠PBT＝∠ABC＝90°，∴∠PBQ＝∠TBQ＝45°，∵BQ＝BQ，BP＝BT，∴△BQP≌△BQT（SAS），∴PQ＝QT，∵QT＜CQ+CT＝CQ+AP，∴PQ＜AP+CQ，故③错误，连接BD，DH，∵BD＝2，BH＝AB＝2，∴DH≥BD﹣BH＝2﹣2，∴DH的最小值为2﹣2，故⑤正确，故答案为：①②④⑤．12．（2022•南通）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB＝3．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG＝，则△OEM的周长为．【答案】3+3【解答】解：如图，连接BD，过点F作FH⊥CD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，∠A＝∠ADC＝90°，∵tan∠ABG＝＝，∴AG＝，DG＝2，∴BG＝＝＝2，∵∠BAG＝∠DEG＝90°，∠AGB＝∠DGE，∴△BAG∽△DEG，∴＝＝，∠ABG＝∠EDG，∴＝＝，∴DE＝，EG＝，∴BE＝BG+EG＝2+＝，∵∠ADH＝∠FHD＝90°，∴AD∥FH，∴∠EDG＝∠DFH，∴∠ABG＝∠DFH，∵BG＝DF＝2，∠A＝∠FHD＝90°，∴△BAG≌△FHD（AAS），∴AB＝FH，∵AB＝BC，∴FH＝BC，∵∠C＝∠FHM＝90°，∴FH∥CB，∴＝＝1，∴FM＝BM，∵EF＝DE+DF＝+2＝，∴BF＝＝4，∵∠BEF＝90°，BM＝MF，∴EM＝BF＝2，∵BO＝OD，BM＝MF，∴OM＝DF＝，∵OE＝BD＝×6＝3，∴△OEM的周长＝3++2＝3+3，解法二：辅助线相同．证明△BAG≌△FHD，推出AB＝HF＝3，再证明△FHM≌△BCM，推出CM＝HM＝，求出BD，DF，BF，利用直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，可得结论．故答案为：3+3．13．（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC 时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE 是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【答案】①②③④【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，∴当AB＝AC时，AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．四．菱形的性质14．（2022•丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G．若cos B＝，则FG的长是（）A．3B．C．D．【答案】B【解答】解：方法一，如图，过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD于点Q，∵菱形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cos B＝＝，∴BH＝1，∴AH＝＝＝，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线，∴AE＝AB＝4，∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠FAG，∵FG∥AD，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠F AG＝∠AFG，∴GA＝GF，设GA＝GF＝x，∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴DF＝AG＝x，cos D＝cos B＝＝，∴DQ＝x，∴FQ＝＝＝x，＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，∵S梯形CEAD∴×（2+4）×＝（2+x）×（﹣x）+（x+4）×x，解得x＝，则FG的长是．或者：∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴四边形AGFD的等腰梯形，∴GA＝FD＝GF，则x+x+x＝4，解得x＝，则FG的长是．方法二：如图，作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M，∵菱形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cos B＝＝，∴BH＝1，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线，∴AE＝AB＝4，所以AE＝AB＝EM＝CM＝4，设GF＝x，则AG＝x，GE＝4﹣x，由GF∥BC，∴△MGF∽△MEC，∴＝，解得x＝．故选：B．15．（2022•甘肃）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（）A．B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：在菱形ABCD中，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，设AB＝a，由图2可知，△ABD的面积为3，∴△ABD的面积＝a2＝3，解得：a1＝2，a2＝﹣2（舍去），故选：B．。

特殊的平行四边形1.(2019·海南中考)如图,在▱ABCD 中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处,若∠B=60°,AB=3,则△ADE的周长为( C )A.12B.15C.18D.21【解析】选C.方法一:在▱ABCD 中,由将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处,得∠ACD=∠ACE=90°,DC=CE=AB=3,AE=AD,∴DE=6,∵∠B=60°,∴∠D=60°,∠CAD=30°,∴AD=AE=2CD=6,∴△ADE的周长为6+6+6=18.方法二:在▱ABCD 中,由将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处,得AE=AD, DC=CE=AB=3,∴DE=6,∵∠B=60°,∴∠B=∠D=∠E=60°,∴△ADE是等边三角形,∴AD=AE=ED=6,∴△ADE的周长为6+6+6=18.2.(2019·河池中考)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE延长线上,添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件是( B )A.∠B=∠FB.∠B=∠BCFC.AC=CFD.AD=CF【解析】选B.∵在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=AC.A、根据∠B=∠F不能判定AB∥CF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.B、根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB,即CF∥AD,由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形,故本选项正确.C、根据AC=CF,AC∥DF,不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.D、根据AD=CF,FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.3.(2019·天津中考)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形ABCD的周长等于( C )A. B.4 C.4 D.20【解析】选C.∵A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),∴AB==,∵四边形ABCD是菱形,∴菱形的周长为4.4.(2019·临沂中考)如图,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是( A )A.OM=ACB.MB=MOC.BD⊥ACD.∠AMB=∠CND【解析】选A.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵对角线BD上的两点M,N满足BM=DN,∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,∴四边形AMCN是平行四边形,∵OM=AC,∴MN=AC,∴四边形AMCN是矩形.5.(2019·绍兴中考)正方形ABCD的边AB上有一动点E,以EC为边作矩形ECFG,且边FG过点D.在点E从点A移动到点B的过程中,矩形ECFG的面积 ( D )A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变【解析】选D.∵在正方形ABCD和矩形ECFG中,∠DCB=∠FCE=90°,∠F=∠B=90°,∴∠DCF=∠ECB,∴△BCE∽△FCD,∴=,∴CF·CE=CB·CD,∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等.6.(2019·广州中考)如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为 ( A )A.4B.4C.10D.8【解析】选A.连接AE,设AC交EF于O,依题意,有AO=OC,∠AOF=∠COE,∠OAF=∠OCE,所以△OAF≌△OCE,所以EC=AF=5,因为EF为线段AC的中垂线,所以EA=EC=5,又BE=3,由勾股定理,得:AB=4,所以AC===4.7.(2019·达州中考)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,△BEO的周长是8,则△BCD的周长为16 .【解析】∵▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴BO=DO=BD,BD=2OB,∴O为BD中点.∵点E是AB的中点,∴AB=2BE,BC=2OE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∴CD=2BE.∵△BEO的周长为8,∴OB+OE+BE=8,∴BD+BC+CD=2OB+2OE+2BE=2(OB+OE+BE)=16,∴△BCD的周长是16.答案:168.(2019·株洲中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC的中点,若EF=1,则AB= 4 .【解析】∵E,F分别为MB,BC的中点,∴EF是△BCM的中位线,∴CM=2EF=2,∵∠ACB=90°,CM 是斜边AB上的中线,∴AB=2CM=4.答案:49.(2019·武汉中考)如图,在▱ABCD中,E,F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD=63°,则∠ADE的大小为21°.【解析】设∠ADE=x,∵AE=EF,∠ADF=90°,∴DE=AF=AE=EF,∠DAE=∠ADE=x,∵AE=EF=CD,∴DE=CD,∴∠DCE=∠DEC=2x.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠BCA=x,∴∠DCE=∠BCD-∠BCA=63°-x,∴2x=63°-x,解得:x=21°,即∠ADE=21°. 答案:21°10.(2019·北部湾中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,已知BO=4,S=24,则AH= .菱形ABCD【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴BO=DO=4,AO=CO,AC⊥BD,∴BD=8,=AC×BD=24,∴AC=6,∵S菱形ABCD∴OC=AC=3,∴BC==5,=BC×AH=24,∴AH=.∵S菱形ABCD答案:11.(2019·菏泽中考)如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是8.【解析】如图,连接BD交AC于点O,∵四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC,OD=OB=OA=OC,∵AE=CF=2,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,∴四边形BEDF为平行四边形,又BD⊥EF,∴四边形BEDF为菱形,∴DE=DF=BE=BF,∵AC=BD=8,OE=OF==2,由勾股定理得:DE===2,∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2=8.答案:812.(2019·广安中考)如图,点E是▱ABCD的CD边的中点,AE,BC的延长线交于点F,CF=3,CE=2,求▱ABCD的周长.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠F,∠D=∠ECF.又ED=EC,∴△ADE≌△FCE(AAS).∴AD=CF=3,DE=CE=2.∴DC=4.∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+DC)=14.13.(2019·扬州中考)如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=6,BE=8,DE=10.(1)求证:∠BEC=90°.(2)求cos∠DAE.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB,AD=BC,DC∥AB,∴∠DEA=∠EAB,∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAB,∴∠DAE=∠DEA,∴AD=DE=10,∴BC=10.∵CE2+BE2=62+82=100=BC2,∴△BCE是直角三角形,∠BEC=90°.(2)由(1)知,AB=DC=DE+CE=16,∵AB∥CD,∴∠ABE=∠BEC=90°,∴AE===8,∴cos∠DAE=cos∠EAB===.14.(2019·荆门中考)如图,已知平行四边形ABCD中,AB=5,BC=3,AC=2.(1)求平行四边形ABCD的面积.(2)求证:BD⊥BC.【解析】(1)作CE⊥AB,交AB的延长线于E,设BE=x,CE=h,在Rt△CEB中:x2+h2=9 ①在Rt△CEA中:(5+x)2+h2=52 ②联立①②解得:x=,h=,∴平行四边形ABCD的面积为AB·h=12.(2)如图,作DF⊥AB,垂足为F,∵△ADF≌△BCE,∴AF=BE=,BF=,DF=,在Rt△DFB中:BD2=DF2+BF2=+=16,∴BD=4,又∵BC=3,DC=5,DC2=BD2+BC2,∴BD⊥BC.15.(2019·长沙中考)如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF.(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD,∵DE=CF,∴AE=DF,在△BAE和△ADF中,∴△BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF.(2)由(1)得:△BAE≌△ADF,∴∠EBA=∠FAD,∴∠GAE+∠AEG=90°,∴∠AGE=90°,∵AB=4,DE=1,∴AE=3,∴BE===5,在Rt△ABE中,AB×AE=BE×AG,∴AG==.16.(2019·海南中考)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证:△PDE≌△QCE.(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB=PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠D=∠BCD=90°,∴∠ECQ=90°=∠D, ∵E是CD的中点,∴DE=CE.又∵∠DEP=∠CEQ,∴△PDE≌△QCE.(2)①如图,由(1)可知△PDE≌△QCE,∴PE=QE=PQ.又∵EF∥BC,∴PF=FB=PB.∵PB=PQ,∴PF=PE,∴∠1=∠2.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,∴在Rt△ABP中,F是PB的中点,∴AF=BP=FP,∴∠3=∠4.又∵AD∥BC,EF∥BC,∴∠1=∠4. ∴∠2=∠3.又∵PF=FP,∴△APF≌△EFP. ∴AP=EF,又∵AP∥EF,∴四边形AFEP是平行四边形.②四边形AFEP不一定为菱形,∵AP不一定等于AF,只有当AP=BP时,才有四边形AFEP为菱形.。

初中数学试卷马鸣风萧萧18.2 特殊的平行四边形 2一．填空题（共14 小题）1．（ 2015?苏州）如图，在△ ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点 F 作FG∥ CD ，交 AC 边于点 G，连接 GE．若 AC=18 ， BC=12 ，则△ CEG 的周长为．2．（ 2015?铜仁市）如图，∠ ACB=9O °， D 为 AB 中点，连接DC 并延长到点E，使 CE= CD，过点 B 作BF ∥DE 交 AE 的延长线于点F．若 BF=10 ，则 AB 的长为．3．（ 2015?淮安）如图， A ， B 两地被一座小山阻隔，为测量 A ，B 两地之间的距离，在地面上选一点C，连接 CA ， CB ，分别取 CA ， CB 的中点 D 、 E，测得 DE 的长度为 360 米，则 A 、 B 两地之间的距离是米．4．（ 2015?梅州）如图，在 ?ABCD 中，BE 平分∠ ABC ，BC=6 ，DE=2 ，则 ?ABCD 的周长等于．5．（ 2015?大连）如图，在 ?ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O，AB=10cm ， AD=8cm ， AC ⊥ BC，则 OB= cm．6．（2015?桂林）如图，以?ABCO 的顶点 O 为原点，边OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，顶点A 、 C 的坐标分别是（2， 4）、（3， 0），过点 A 的反比例函数y=的图象交BC 于 D ，连接 AD ，则四边形AOCD 的面积是．7．（ 2015?湖北）在 ?ABCD 中，AD=BD ，BE 是 AD 边上的高，∠ EBD=20 °，则∠ A 的度数为．8．（ 2015?临沂）如图，在?ABCD 中，连接 BD ，AD ⊥ BD ，AB=4 ，sinA=，则?ABCD的面积是．9．（ 2015?曲靖）若平行四边形中两个内角的度数比为1： 2，则其中较大的内角是度．10．（2015?镇江）如图， ?ABCD 中， E 为 AD 的中点， BE ，CD 的延长线相交于点F，若△ DEF 的面积为1，则 ?ABCD 的面积等于．马鸣风萧萧11．（ 2015?百色）如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点O，BC=9 ，AC=8 ，BD=14 ，则△AOD的周长为．12．（ 2015?十堰）如图，分别以Rt△ ABC 的直角边AC 及斜边AB 为边向外作等边△ ACD、等边△ ABE，EF⊥ AB ，垂足为F，连接DF，当= 时，四边形ADFE 是平行四边形．13．（2015?牡丹江）如图，四边形添一个即可），使四边形ABCDABCD 的对角线相交于点是平行四边形．O，AO=CO ，请添加一个条件（只14．（ 2015?赤峰）如图，四边形点 F，请你只添加一个条件：ABCD 中， AD ∥ BC，E 是 DC 上一点，连接使得四边形BDFC 为平行四边形．BE 并延长交AD 延长线于二．解答题（共16 小题）15．（ 2015?自贡）如图，在△ ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点．求证：DE BC．（ 2）已知：如图，DE 是△ ABC 的中位线，求证：DE ∥ BC ， DE= BC．17．（ 2015?邵阳）如图，等边△ ABC 的边长是2，D 、E 分别为 AB 、AC 的中点，延长 BC 至点 F，使 CF=BC ，连接 CD 和 EF．（1）求证： DE=CF ；（2）求 EF 的长．18．（ 2015?呼和浩特）如图，?ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点O，AE=CF ．（1）求证：△ BOE≌△ DOF；（2）若 BD=EF ，连接 DE 、 BF，判断四边形 EBFD 的形状，无需说明理由．19．（ 2015?郴州）如图， AC 是?ABCD 的一条对角线，过 AC 中点 O 的直线分别交 AD ， BC 于点 E， F．（ 1）求证：△ AOE ≌△ COF；（ 2）当 EF 与 AC 满足什么条件时，四边形AFCE 是菱形？并说明理由．20．（ 2015?自贡）在 ?ABCD 中，∠ BCD 的平分线与BA 的延长线相交于点E，BH ⊥ EC 于点 H，求证：CH=EH ．21．（ 2015?武汉）如图，已知点 A （﹣ 4，2）， B（﹣ 1，﹣ 2），平行四边形 ABCD 的对角线交于坐标原点O．（1）请直接写出点 C、 D 的坐标；（2）写出从线段 AB 到线段 CD 的变换过程；（3）直接写出平行四边形 ABCD 的面积．22．（ 2015?北京）在 ?ABCD 中，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E，点 F 在边 CD 上， DF=BE ，连接 AF ， BF．（1）求证：四边形 BFDE 是矩形；（2）若 CF=3 ，BF=4 ， DF=5 ，求证： AF 平分∠ DAB ．23．（ 2015?南宁）如图，在 ?ABCD 中， E、 F 分别是 AB 、 DC 边上的点，且AE=CF ，（ 1）求证：△ ADE ≌△ CBF．（ 2）若∠ DEB=90 °，求证：四边形DEBF 是矩形．24．（ 2015?广元）求证：平行四边形的对角线互相平分（要求：根据题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）．25．（2015?潜江）如图， ?ABCD 放置在平面直角坐标系中，已知点A（ 2，0）， B（ 6， 0），D（ 0，3），反比例函数的图象经过点C．（ 1）求反比例函数的解析式；（ 2）将 ?ABCD 向上平移，使点 B 恰好落在双曲线上，此时 A，B ，C，D 的对应点分别为 A ′，B′，C′，D′，且 C′D′与双曲线交于点 E，求线段 AA ′的长及点 E 的坐标．26．（ 2015?通辽）如图，在平行四边形 ABCD 中，若 AB=6 ，AD=10 ，∠ ABC 的平分线交 AD 于点 E，交 CD 的延长线于点 F，求 DF 的长．27．（ 2015?广西）如图，在 ?ABCD 中， E、 F 为对角线 AC 上的两点，且AE=CF ，连接 DE、 BF ，（1）写出图中所有的全等三角形；（2）求证： DE∥ BF．28．（2015?锦州）如图，△ ABC 中，点 D，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE， AD ，点 F 在 BA 的延长线上，且AF= AB ，连接 EF，判断四边形ADEF 的形状，并加以证明．29．（ 2015?徐州）如图，点 A ，B， C， D 在同一条直线上，点 E， F 分别在直线 AD 的两侧，且 AE=DF ，∠ A= ∠D ，AB=DC ．（ 1）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（ 2）若 AD=10 ， DC=3，∠ EBD=60 °，则 BE=时，四边形BFCE 是菱形．30．（ 2015?黄冈）已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，E， F 为对角线 AC 上两点，且 AE=CF ，DF∥ BE ．求证：四边形ABCD 为平行四边形．18.2 特殊的平行四边形 2参考答案与试题解析一．填空题（共14 小题）1．（ 2015?苏州）如图，在△ ABC 中， CD 是高， CE 是中线， CE=CB ，点 A 、D 关于点 F 对称，过点 F 作FG∥ CD ，交 AC 边于点 G，连接 GE．若 AC=18 ， BC=12 ，则△ CEG 的周长为 27 ．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质．分析：先根据点 A 、D 关于点 F 对称可知点 F 是 AD 的中点，再由 CD ⊥ AB ，FG∥ CD 可知 FG 是△ACD 的中位线，故可得出 CG 的长，再根据点 E 是 AB 的中点可知 GE 是△ ABC 的中位线，故可得出 GE 的长，由此可得出结论．解答：解：∵点A、 D 关于点 F 对称，∴点 F 是 AD 的中点．∵CD⊥ AB ， FG∥CD，∴FG 是△ ACD 的中位线， AC=18 ， BC=12 ，∴CG= AC=9 ．∵点 E 是 AB 的中点，∴GE 是△ ABC 的中位线，∵ CE=CB=12 ，∴GE= BC=6 ，∴△ CEG 的周长 =CG+GE+CE=9+6+12=27 ．故答案为： 27．点评：本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．2．（ 2015?铜仁市）如图，∠ ACB=9O °， D 为 AB 中点，连接DC 并延长到点E，使 CE= CD，过点 B 作BF ∥DE 交 AE 的延长线于点F．若 BF=10 ，则 AB 的长为8．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：先根据点 D 是 AB 的中点，BF∥ DE 可知 DE 是△ ABF 的中位线，故可得出 DE 的长，根据 CE= CD可得出 CD 的长，再根据直角三角形的性质即可得出结论．解答：解：∵点 D 是 AB 的中点， BF∥ DE ，∴DE 是△ ABF 的中位线．∵ BF=10 ，∴DE= BF=5 ．∵CE= CD，∴CD=5，解得 CD=4 ．∵△ ABC 是直角三角形，∴AB=2CD=8 ．故答案为： 8．点评：本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．3．（ 2015?淮安）如图， A ， B 两地被一座小山阻隔，为测量 A ，B 两地之间的距离，在地面上选一点C，连接 CA ，CB，分别取 CA ，CB 的中点 D、E，测得 DE 的长度为360 米，则 A 、B 两地之间的距离是720 米．考点：三角形中位线定理．专题：应用题．分析：首先根据D、 E 分别是 CA ，CB 的中点，可得DE 是△ ABC 的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE∥ AB ，且 DE=，再根据DE 的长度为360 米，求出 A 、 B 两地之间的距离是多少米即可．解答：解：∵ D、E分别是CA，CB的中点，∴ DE 是△ ABC 的中位线，∴ DE∥ AB ，且 DE=，∵ DE=360 （米），∴ AB=360 ×2=720（米）．即 A 、B 两地之间的距离是720 米．故答案为： 720．点评：此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（ 2015?梅州）如图，在 ?ABCD 中， BE 平分∠ ABC ，BC=6 ， DE=2 ，则 ?ABCD 的周长等于20．考点：平行四边形的性质．分析：根据四边形ABCD 为平行四边形可得AE ∥ BC ，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE= ∠AEB ，继而可得 AB=AE ，然后根据已知可求得结果．解答：解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ AE ∥ BC ， AD=BC ，AD=BC ，∴∠ AEB= ∠ EBC ，∵BE 平分∠ ABC ，∴∠ABE= ∠EBC ，∴∠ABE=∠AEB ，∴AB=AE ，∴ AE+DE=AD=BC=6 ，∴ AE+2=6 ，∴ AE=4 ，∴ AB=CD=4 ，∴ ?ABCD 的周长 =4+4+6+6=20 ，故答案为： 20．点评：本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ ABE= ∠AEB ．5．（ 2015?大连）如图，在?ABCD 中，AC ，BD 相交于点 O，AB=10cm ，AD=8cm ，AC ⊥ BC，则 OB= cm．考点：平行四边形的性质；勾股定理．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=8cm ， OA=OC= AC ，由勾股定理求出AC ，得出 OC，再由勾解答：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=8cm ， OA=OC= AC ，∵AC ⊥ BC，∴∠ ACB=90 °，∴ AC===6，∴ OC=3 ，∴OB===；故答案为：．点评：本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．6．（2015?桂林）如图，以?ABCO 的顶点 O 为原点，边OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，顶点A 、 C 的坐标分别是（2， 4）、（3， 0），过点 A 的反比例函数y=的图象交BC 于 D ，连接 AD ，则四边形AOCD 的面积是9．考点：平行四边形的性质；反比例函数系数k 的几何意义．分析：先求出反比例函数和直线BC 的解析式，再求出由两个解析式组成方程组的解，得出点 D 的坐标，得出 D 为 BC 的中点，△ ABD 的面积 =平行四边形ABCD 的面积，即可求出四边形AOCD 的面积．解答：解：∵四边形ABCD 是平行四边形， A 、C 的坐标分别是（2， 4）、（ 3， 0），∴点 B 的坐标为：（ 5， 4），把点 A （ 2， 4）代入反比例函数y=得：k=8，∴反比例函数的解析式为：y=；设直线 BC 的解析式为： y=kx+b ，把点 B （5， 4），C（ 3，0）代入得：，解得： k=2， b=﹣ 6，∴直线 BC 的解析式为： y=2x ﹣ 6，解方程组得：，或（不合题意，舍去），∴点 D 的坐标为：（ 4， 2），即D为BC的中点，∴△ ABD 的面积 =平行四边形ABCD 的面积，∴四边形 AOCD 的面积 =平行四边形ABCO 的面积﹣△ABD 的面积 =3×4﹣×3×4=9；故答案为： 9．点评：本题考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形和三角形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．7．（ 2015?湖北）在 ?ABCD 中，AD=BD ，BE 是 AD 边上的高，∠ EBD=20 °，则∠ A 的度数为55°或 35° ．考点：平行四边形的性质．分析：首先求出∠ ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出∠ A 的度数．解答：解：情形一：当 E 点在线段AD 上时，如图所示，∵BE 是 AD 边上的高，∠ EBD=20 °，∴∠ ADB=90 °﹣ 20°=70 °，∵AD=BD ，∴∠ A= ∠ ABD= =55 °．情形二：当 E 点在 AD 的延长线上时，如图所示，∵ BE 是 AD 边上的高，∠ EBD=20 °，∴∠ BDE=70 °，∵ AD=BD ，∴∠ A= ∠ ABD=∠ BDE=70°=35 °．故答案为： 55°或 35°．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出∠ ADB的度数是解题关键．8．（ 2015?临沂）如图，在 ?ABCD 中，连接 BD ，AD ⊥ BD ，AB=4 ，sinA=，则?ABCD的面积是3．考点：平行四边形的性质；解直角三角形．分析：先由三角函数求出BD ，再根据勾股定理求出AD ， ?ABCD 的面积 =AD ?BD ，即可得出结果．解答：解：∵ AD⊥BD，∴∠ ADB=90 °，∵AB=4 ， sinA= ，∴BD=AB ?sinA= =4× =3 ，∴AD===，∴ ?ABCD 的面积 =AD ?BD=3；故答案为： 3．点评：本题考查了平行四边形的性质、三角函数、勾股定理以及平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．9．（ 2015?曲靖）若平行四边形中两个内角的度数比为1： 2，则其中较大的内角是120度．考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质得出AB ∥ CD ，推出∠ B+∠ C=180°，根据∠ B：∠ C=1 ：2，求出∠ C 即可．解答：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥ CD，∴∠B+∠ C=180 °，∵∠B ：∠ C=1： 2，∴∠ C=×180°=120°，故答案为： 120．点评：本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．10．（2015?镇江）如图， ?ABCD 中， E 为 AD 的中点， BE ，CD 的延长线相交于点F，若△ DEF 的面积为1，则 ?ABCD 的面积等于4．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：通过△ ABE ≌△ DFE 求得△ ABE 的面积为 1，通过△FBC ∽△ FED，求得四边形 BCDE 的面积为 3，然后根据 ?ABCD 的面积 =四边形 BCDE 的面积 +△ABE 的面积即可求得．解答：解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥ BC， AB ∥CD ，AD=BC ，∵AB ∥ CD，∴∠ A=∠ EDF，在△ABE 和△DFE 中，，∴△ ABE ≌△ DFE （ SAS），∵△ DEF 的面积为1，∴△ ABE 的面积为1，∵AD ∥ BC，∴△ FBC ∽△ FED ，2∴=（）∵AE=ED= AD ．∴ ED= BC，∴= ，∴四边形 BCDE 的面积为 3，∴?ABCD 的面积 =四边形 BCDE 的面积 +△ABE 的面积 =4 ．故答案为 4．点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形全等的性质和三角形相似的性质是解题的关键．11．（ 2015?百色）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O，BC=9 ，AC=8 ，BD=14 ，则△AOD 的周长为 20 ．考点：平行四边形的性质．分析：首先根据平行四边形的对边相等、对角线互相平分，求出AD 、OA 、OD 的长度，代入AD+OA+OD 计算即可求出所填答案．解答：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ， OA=OC ，OB=OD ，∵ BC=9 ， BD=14 ，AC=8 ，∴AD=9 ， OA=4 ， OD=7 ，∴△ AOD 的周长为： AD+OA+OD=20．故答案为： 20．点评：本题用到的知识点是平行四边形的性质，利用性质（平行四边形的对边相等、对角线互相平分）进行计算是解此题的关键．12．（ 2015?十堰）如图，分别以Rt△ ABC 的直角边AC 及斜边 AB 为边向外作等边△ ACD、等边△ ABE，EF⊥ AB ，垂足为F，连接 DF，当=时，四边形ADFE 是平行四边形．考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质．分析：由三角形 ABE 为等边三角形， EF 垂直于 AB ，利用三线合一得到EF 为角平分线，得到∠ AEF=30 °，进而确定∠ BAC= ∠ AEF ，再由一对直角相等，及 AE=AB ，利用 AAS 即可得证△ ABC ≌△ EAF ；由∠ BAC 与∠ DAC 度数之和为90°，得到 DA 垂直于 AB ，而 EF 垂直于 AB ，得到 EF 与 AD 平行，再由全等得到EF=AC ，而 AC=AD ，可得出一组对边平行且相等，即可得证．解答：解：当= 时，四边形 ADFE 是平行四边形．理由：∵= ，∴∠ CAB=30 °，∵△ ABE 为等边三角形，EF⊥ AB ，∴EF 为∠ BEA 的平分线，∠ AEB=60 °，AE=AB ，∴∠ FEA=30 °，又∠ BAC=30 °，∴∠ FEA= ∠ BAC ，在△ABC 和△EAF 中，，∴△ ABC ≌△ EAF （AAS ）；∵∠ BAC=30 °，∠ DAC=60 °，∴∠ DAB=90 °，即 DA ⊥ AB ，∵△ ABC ≌△ EAF ，∴EF=AC=AD ，∴四边形 ADFE 是平行四边形．故答案为：．点评：此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．13．（ 2015?牡丹江）如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点添一个即可），使四边形 ABCD 是平行四边形．O，AO=CO ，请添加一个条件BO=DO （只考点：平行四边形的判定．专题：开放型．分析：根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可．解答：解：∵ AO=CO，BO=DO，∴四边形 ABCD 是平行四边形．故答案为： BO=DO ．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．14．（ 2015?赤峰）如图，四边形点 F，请你只添加一个条件：ABCD 中， AD ∥ BC，E 是BD ∥ FC使得四边形BDFCDC 上一点，连接为平行四边形．BE 并延长交AD 延长线于考点：平行四边形的判定．分析：利用两组对边互相平行的四边形是平行四边形，进而得出答案．解答：解：∵ AD∥BC，当BD∥ FC时，∴四边形 BDFC 为平行四边形．故答案为： BD ∥ FC．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键．15．（ 2015?自贡）如图，在△ ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点．求证：DE BC．考点：三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据 D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，得出= ，即可证明△ ADE ∽△ ABC ，从而得出结论即可．解答：证明：∵ D 是AB 中点 E 是AC 中点∴=， =，∴= ，又∵∠ A= ∠A，∴△ ADE ∽△ ABC ，∴= = ，∠ ADE= ∠B∴BC=2DE ， BC ∥ DE，即： DE BC．点评：本题考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．16．（ 2015?茂名）补充完整三角形中位线定理，并加以证明：（ 1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；（ 2）已知：如图，DE 是△ ABC 的中位线，求证：DE ∥ BC ， DE= BC．考点：三角形中位线定理．分析：（1）根据三角形的中位线定理填写即可；（ 2）延长 DE 到 F，使 FE=DE ，连接 CF，利用“边角边”证明△ ADE 和△ CFE 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ A= ∠ ECF，全等三角形对应边相等可得 AD=CF ，然后求出四边形 BCFD 是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．马鸣风萧萧故答案为：平行于第三边，且等于第三边的一半；（ 2）证明：如图，延长DE 到 F，使 FE=DE ，连接 CF，在△ADE 和△CFE 中，，∴△ ADE ≌△ CFE（ SAS），∴∠ A= ∠ ECF， AD=CF ，∴CF∥ AB ，又∵ AD=BD ，∴CF=BD ，∴四边形 BCFD 是平行四边形，∴DF∥ BC ， DF=BC ，∴DE∥ BC ， DE= BC ．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和平行四边形．17．（ 2015?邵阳）如图，等边△ ABC 的边长是2，D 、E 分别为 AB 、AC 的中点，延长 BC 至点 F，使 CF=BC ，连接 CD 和 EF．（1）求证： DE=CF ；（2）求 EF 的长．考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．分析：（1）直接利用三角形中位线定理得出DE BC ，进而得出DE=FC ；（ 2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF ，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF 的长．解答：（1）证明：∵ D、E分别为AB、AC的中点，∴DE BC ，∵延长 BC 至点 F，使 CF= BC，∴DE FC，即DE=CF ；（2）解：∵ DE FC，∴四边形 DEFC 是平行四边形，∴DC=EF ，∵D 为 AB 的中点，等边△ ABC 的边长是 2，∴ AD=BD=1 ，CD ⊥ AB ，BC=2，∴ DC=EF= ．点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，得出 DE BC 是解题关键．18．（ 2015?呼和浩特）如图，?ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点O，AE=CF ．（1）求证：△ BOE≌△ DOF；（2）若 BD=EF ，连接 DE 、 BF，判断四边形 EBFD 的形状，无需说明理由．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）先证出OE=OF ，再由 SAS 即可证明△ BOE ≌△ DOF ；EBFD 是矩（ 2）由对角线互相平分证出四边形EBFD 是平行四边形，再由对角线相等，即可得出四边形形．解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ， OB=OD ，∵ AE=CF ，∴ OE=OF ，在△BOE 和△DOF 中，，∴△ BOE ≌△ DOF（ SAS）；（ 2）解：四边形EBFD 是矩形；理由如下：∵OB=OD ， OE=OF，∴四边形 EBFD 是平行四边形，∵BD=EF ，点评：本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．AD ，BC 于点E， F．19．（ 2015?郴州）如图， AC 是?ABCD 的一条对角线，过AC 中点 O 的直线分别交（ 1）求证：△ AOE ≌△ COF；（ 2）当 EF 与 AC 满足什么条件时，四边形AFCE 是菱形？并说明理由．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．分析：（1）由平行四边形的性质得出AD ∥ BC ，得出∠ EAO= ∠ FCO，由 ASA 即可得出结论；（2）由△AOE ≌△ COF，得出对应边相等 AE=CF ，证出四边形 AFCE 是平行四边形，再由对角线 EF⊥ AC ，即可得出四边形 AFCE 是菱形．解答：（ 1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥ BC，∴∠ EAO= ∠ FCO，∵O 是 OA 的中点，∴ OA=OC ，在△AOE 和△COF 中，，∴△ AOE ≌△ COF（ ASA ）；（2）解： EF⊥AC 时，四边形 AFCE 是菱形；理由如下：∵△ AOE ≌△ COF，∴ AE=CF ，∵AE∥CF，∴四边形 AFCE 是平行四边形，∵ EF⊥AC ，∴四边形 AFCE 是菱形．点评：本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20．（ 2015?自贡）在 ?ABCD 中，∠ BCD 的平分线与BA 的延长线相交于点E，BH ⊥ EC 于点 H，求证：CH=EH ．考点：平行四边形的性质．专题：证明题．分析：根据平行四边形的性质和已知条件易证△ EBC 是等腰三角形，由等腰三角形的性质：三线合一即解答：证明：∵在□ABCD中，BE∥ CD，∴∠ E=∠2，∵CE 平分∠ BCD ，∴∠ 1=∠ 2，∴∠ 1=∠ E，∴ BE=BC ，又∵ BH ⊥ BC，∴ CH=EH （三线合一）．点评：本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，证题的关键是得到△ EBC 是等腰三角形．21．（ 2015?武汉）如图，已知点 A （﹣ 4，2）， B（﹣ 1，﹣ 2），平行四边形 ABCD 的对角线交于坐标原点O．（1）请直接写出点 C、 D 的坐标；（2）写出从线段 AB 到线段 CD 的变换过程；（3）直接写出平行四边形 ABCD 的面积．考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质；平移的性质．分析：（ 1）利用中心对称图形的性质得出C， D 两点坐标；（ 2）利用平行四边形的性质以及结合平移的性质得出即可；（ 3）利用 S ABCD的可以转化为边长为； 5 和 4 的矩形面积，进而求出即可．解答：解：（ 1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴四边形 ABCD 关于 O 中心对称，∵ A （﹣ 4， 2），B （﹣ 1，﹣ 2），∴ C（ 4，﹣ 2），D （ 1， 2）；（ 2）线段 AB 到线段 CD 的变换过程是：绕点 O 旋转 180°；（ 3）由（ 1）得： A 到 y 轴距离为： 4， D 到 y 轴距离为： 1，A 到 x 轴距离为： 2，B 到 x 轴距离为：2，∴ S ABCD的可以转化为边长为； 5 和 4 的矩形面积，∴ S ABCD =5×4=20．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及中心对称图形的性质，根据题意得出S ABCD的可以转化为矩形面积是解题关键．22．（ 2015?北京）在 ?ABCD 中，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E，点 F 在边 CD 上， DF=BE ，连接 AF ， BF．（1）求证：四边形 BFDE 是矩形；（2）若 CF=3 ，BF=4 ， DF=5 ，求证： AF 平分∠ DAB ．考点：平行四边形的性质；角平分线的性质；勾股定理的逆定理；矩形的判定．专题：证明题．分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AB 与 CD 的关系，根据平行四边形的判定，可得行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（ 2）根据平行线的性质，可得∠DFA= ∠ FAB ，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF= 角平分线的判定，可得答案．BFDE 是平∠DFA ，根据解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥ CD．∵BE∥ DF ， BE=DF ，∴四边形 BFDE 是平行四边形．∵DE⊥ AB ，∴∠ DEB=90 °，∴四边形 BFDE 是矩形；（2）解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ∥ DC，∴∠ DFA= ∠ FAB ．在 Rt△ BCF 中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5 ，∴∠ DAF= ∠ DFA ，∴∠ DAF= ∠ FAB ，即 AF 平分∠ DAB ．点评：本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF= ∠DFA 是解题关键．23．（ 2015?南宁）如图，在 ?ABCD （ 1）求证：△ ADE ≌△ CBF．（ 2）若∠ DEB=90 °，求证：四边形中， E、 F 分别是DEBF 是矩形．AB 、DC 边上的点，且AE=CF ，考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．专题：证明题．分析：（1）由在?ABCD中，AE=CF，可利用SAS 判定△ ADE ≌△ CBF．（ 2）由在 ?ABCD 中，且 AE=CF ，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，又由∠DEB=90 °，可证得四边形DEBF 是矩形．DEBF马鸣风萧萧解答：证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB ，∠ A= ∠ C，在△ADE 和△CBF 中，，∴△ ADE ≌△ CBF （SAS）．（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD ， AB ∥CD ，∵ AE=CF ，∴BE=DF ，∴四边形 ABCD 是平行四边形，∵∠ DEB=90 °，∴四边形 DEBF 是矩形．点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有一个角是直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形ABCD 是平行四边形是关键．24．（ 2015?广元）求证：平行四边形的对角线互相平分（要求：根据题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：首先根据题意画出图形，再写出命题的已知和求证，最后通过证明三角形全等即可证明命题是正确的．解答：已知：平行四边形ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点O，求证： OA=OC ， OB=OD证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥ BC， AD=BC ，∴∠ 1=∠ 2，在△AOD 和△COB 中，∴△ AOD ≌△ COB（ AAS ），∴OA=OC ， OB=OD ．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟记平行四边形的各种性质以及全等三角形的各种判定的各种方法．25．（2015?潜江）如图， ?ABCD 放置在平面直角坐标系中，已知点A（ 2，0）， B（ 6， 0），D（ 0，3），反比例函数的图象经过点C．（ 1）求反比例函数的解析式；（ 2）将 ?ABCD 向上平移，使点 B 恰好落在双曲线上，此时 A，B ，C，D 的对应点分别为 A ′，B′，C′，D′，且 C′D′与双曲线交于点 E，求线段 AA ′的长及点 E 的坐标．考点：平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．专题：计算题．分析：（1）由A与B的坐标求出AB 的长，根据四边形ABCD 为平行四边形，求出DC 的长，进而确定出 C 坐标，设反比例解析式为y=，把C坐标代入求出k 的值，即可确定出反比例解析式；（ 2）根据平移的性质得到 B 与 B′横坐标相同，代入反比例解析式求出B′纵坐标得到平移的距离，即为AA ′的长，求出D′纵坐标，即为E 纵坐标，代入反比例解析式求出 E 横坐标，即可确定出 E 坐标．解答：解：（1）∵ ?ABCD中，A（2，0），B（6，0），D（0，3），∴AB=CD=4 ，DC ∥ AB ，∴C（ 4，3），设反比例解析式为y=，把C坐标代入得：k=12，则反比例解析式为y=；（ 2）∵ B（ 6， 0），∴把 x=6 代入反比例解析式得：y=2 ，即 B ′（ 6， 2），∴平行四边形ABCD 向上平移 2 个单位，即AA ′=2，∴D′（0，5），把 y=5 代入反比例解析式得：x=，即E（，5）．点评：此题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．26．（ 2015?通辽）如图，在平行四边形 ABCD 中，若 AB=6 ，AD=10 ，∠ ABC 的平分线交 AD 于点 E，交 CD 的延长线于点 F，求 DF 的长．考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．分析：首先根据平行四边形的性质可得AB=DC=6 ，AD=BC=10 ，AB ∥ DC，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明∠2=∠ 3，根据等角对等边可得BC=CF=10 ，再用 CF﹣ CD 即可算出DF 的长．解答：解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB=DC=6 ，AD=BC=10 ， AB ∥DC．∵AB ∥ DC，∴∠ 1=∠ 3，又∵ BF 平分∠ ABC ，∴∠ 1=∠ 2，∴∠2=∠ 3，∴BC=CF=10 ，∴DF=CF ﹣ DC=10 ﹣ 6=4．点评：此题主要考查了平行线的性质，以及平行线的性质，关键是证明∠2=∠ 3 推出 BC=CF ．27．（ 2015?广西）如图，在 ?ABCD 中， E、 F 为对角线 AC 上的两点，且AE=CF ，连接 DE、 BF ，（1）写出图中所有的全等三角形；（2）求证： DE∥ BF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（ 1）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AD=CB ，AB ∥ CD ，AD ∥ CB ，证出内错角相等∠BAF= ∠DCE ，∠DAE= ∠BCF ，由 SSS 证明△ABC ≌△ CDA ；由 SAS 证明△ABF ≌△ CDE；由 SAS 证明△ ADE ≌△ CBF （SAS）；（ 2）由△ABF ≌△△ CDE ，得出对应角相等∠AFB= ∠ CED ，即可证出DE ∥ BF ．．解答：（1）解：△ABC≌△ CDA，△ ABF≌△△ CDE，△ ADE≌△ CBF；理由如下：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ， AD=CB ， AB ∥ CD，AD ∥。

特殊平行四边形考点1：菱形的性质与判定1．（2021·安徽中考真题）如图.在菱形ABCD 中.2AB =.120A ∠=︒.过菱形ABCD 的对称中心O 分别作边AB .BC 的垂线.交各边于点E .F .G .H .则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．33B ．23+C ．23+D ．13+【答案】A【分析】 依次求出OE =OF =OG =OH .利用勾股定理得出EF 和OE 的长.即可求出该四边形的周长．【详解】∵HF ∵BC ,EG ∵AB ,∵∵BEO =∵BFO =90°.∵∵A =120°.∵∵B =60°.∵∵EOF =120°.∵EOH =60°.由菱形的对边平行.得HF ∵AD ,EG ∵CD .因为O点是菱形ABCD的对称中心.∵O点到各边的距离相等.即OE=OF=OG=OH.∵∵OEF=∵OFE=30°.∵OEH=∵OHE=60°.∵∵HEF=∵EFG=∵FGH=∵EHG=90°.所以四边形EFGH是矩形；设OE=OF=OG=OH=x.∵EG=HF=2x.()2223EF HG x x x==-=.如图.连接AC.则AC经过点O.可得三角形ABC是等边三角形.∵∵BAC=60°.AC=AB=2,∵OA=1,∵AOE=30°.∵AE=1 2 .∵x=OE2213 12⎛⎫-=⎪⎝⎭∵四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=33 23223233 x x+=+=,故选A．2．（2021·陕西中考真题）如图.在菱形ABCD 中.60ABC ∠=︒.连接AC 、BD .则AC BD的值为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．33【答案】D【分析】设AC 与BD 的交点为O .由题意易得1,2ABD CBD ABC AB BC ∠=∠=∠=.,,AC BD BO DO AO CO ⊥==.进而可得∵ABC 是等边三角形.3BO AO =.然后问题可求解．【详解】解：设AC 与BD 的交点为O .如图所示：∵四边形ABCD 是菱形. ∵1,2ABD CBD ABC AB BC ∠=∠=∠=.,,AC BD BO DO AO CO ⊥==.∵60ABC ∠=︒.∵∵ABC 是等边三角形.∵30,ABO AB AC ∠=︒=. ∵12AO AB =. ∵223OB AB AO OA -=. ∵23,2BD OA AC AO ==. ∵3323AC BD OA==； 故选D ．3．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）菱形ABCD 中.对角线10, 24AC BD ==.则菱形的高等于___________． 【答案】12013【分析】过A 作AE ∵BC .垂足为E .根据菱形的性质求出菱形边长.再利用菱形的面积公式得到方程.解之可得AE ．【详解】解：如图.过A 作AE ∵BC .垂足为E .即AE 为菱形ABCD 的高.∵菱形ABCD 中.AC =10.BD =24.∵OB =12BD =12.OA =12AC =5. 在Rt ∵ABO 中.AB =BC 22125+=13.∵S 菱形ABCD =12AC BD BC AE ⨯⨯=⨯.∵11024132AE ⨯⨯=⨯.解得：AE=120 13.故答案为：120 13．4．（2021·江苏镇江·中考真题）如图.四边形ABCD是平行四边形.延长DA.BC.使得AE ＝CF.连接BE.DF．（1）求证：ABE CDF△≌△；（2）连接BD.∵1＝30°.∵2＝20°.当∵ABE＝°时.四边形BFDE是菱形．【答案】（1）见解析；（2）当∵ABE＝10°时.四边形BFDE是菱形【分析】（1）根据平行四边形的性子和“SAS”可证∵ABE∵∵CDF；（2）先证明四边形BFDE 是平行四边形.再通过证明BE ＝DE .可得结论．【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形.∵AB ＝CD .∵BAD ＝∵BCD .∵∵1＝∵DCF .在∵ABE 和∵CDF 中.1AE CF DCF AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩. ∵∵ABE ∵∵CDF （SAS ）；（2）当∵ABE ＝10°时.四边形BFDE 是菱形.理由如下：∵∵ABE ∵∵CDF .∵BE =DF .AE =CF .∵BF =DE .∵四边形BFDE 是平行四边形.∵∵1=30°.∵2=20°.∵∵ABD =∵1-∵2=10°.∵∵DBE =20°.∵∵DBE =∵EDB =20°.∵BE =DE .∵平行四边形BFDE 是菱形.故答案为10．5．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图.在平行四边形ABCD 中.对角线AC 与BD 相交于点O .过点O 的直线EF 与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）请再添加一个条件.使四边形BFDE 是菱形.并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）EF ∵BD 或EB ＝ED .见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF ≌.则可得到AE ＝CF ；（2）连接BF .DE .由AOE COF ≌.得到OE = OF .又AO =CO .所以四边形AECF 是平行四边形.则根据EF ∵BD 可得四边形BFDE 是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∵OA ＝OC .BE ∵DF∵∵E ＝∵F在∵AOE 和∵COF 中E F AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵AOE COF ≌()AAS∵AE＝CF（2）当EF∵BD时.四边形BFDE是菱形.理由如下：如图：连结BF.DE∵四边形ABCD是平行四边形∵OB＝OD≌∵AOE COF=∵OE OF∵四边形BFDE是平行四边形∵EF∵BD.∵四边形BFDE是菱形⨯的正方形网格中.网格线的交点称为格点. 6．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图.在77B在格点上.每一个小正方形的边长为1．（1）以AB为边画菱形.使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．（2）计算你所画菱形的面积．【答案】（1）答案不唯一.见解析；（2）6或8或10（答案不唯一）【分析】（1）根据菱形的定义并结合格点的特征进行作图；（2）利用菱形面积公式求解．【详解】解：（1）根据题意.菱形ABCD即为所求（2）图1中AC=2.BD=6∵图1中菱形面积1266 2=⨯⨯=．图2中.AC 224442.BD 22222+=∵图2中菱形面积1224282=⨯=． 图3中.222425AC BD =+=∵图3菱形面积12525102=⨯=．考点2：矩形的性质与判定7．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图.在ABC 中.AC BC =.矩形DEFG 的顶点D 、E 在AB 上.点F 、G 分别在BC 、AC 上.若4CF =.3BF =.且2DE EF =.则EF 的长为________．【答案】125【分析】根据矩形的性质得到GF ∵AB .证明∵CGF ∵∵CAB .可得72x AB =.证明∵ADG ∵∵BEF .得到AD =BE =34x .在∵BEF 中.利用勾股定理求出x 值即可． 【详解】解：∵DE =2EF .设EF =x .则DE =2x . ∵四边形DEFG 是矩形.∵GF∵AB.∵∵CGF∵∵CAB.∵44437GF CFAB CB===+.即247xAB=.∵72x AB=.∵AD+BE=AB-DE=722xx-=32x.∵AC=BC.∵∵A=∵B.又DG=EF.∵ADG=∵BEF=90°.∵∵ADG∵∵BEF（AAS）.∵AD=BE=1322x⨯=34x.在∵BEF中.222BE EF BF+=.即222 33 4x x⎛⎫+=⎪⎝⎭.解得：x=125或125-（舍）.∵EF=12 5.故答案为：125．8．（2021·山东泰安市·中考真题）如图.将矩形纸片ABCD折叠（AD AB>）.使AB落在AD上.AE为折痕.然后将矩形纸片展开铺在一个平面上.E点不动.将BE边折起.使点B落在AE上的点G处.连接DE.若DE EF=.2CE=.则AD的长为________．【答案】422+【分析】根据矩形的性质和正方形的性质.证明BEF GEF ≅△△.从而2BF FG ==.又因为)21AG FG AE EG AB ==-=.代入求解即可． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是矩形,AB AB '=.∵AB CD =,AD BC =,90B C ∠=∠=,且四边形ABEB '是正方形.∵AB BE =.∵BE CD =.又∵DE EF =.∵BEF CDE ≅△△.∵2BF CE ==又∵BEF GEF ≅△△（折叠.∵2BF FG ==.BE GE =,90FGE B ∠=∠= .设AB x =,则2AE x =. ∵)21AG AE GE AE BE AE AB x =-=-=-=. 又∵AE 是正方形ABEB '对角线.∵45GAF ∠= .∵45AFG ∠= .∵FG AG = . ∵()212x = .解得：222x =.即222AB BE == . ∵2222422AD BC BE EC ==+=+=+ 故答案为：4+229．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图.O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点.M 是AD 的中点.若AB=5.AD=12.则四边形ABOM 的周长为_______.【答案】20．【详解】∵AB ＝5.AD ＝12.∵根据矩形的性质和勾股定理.得AC ＝13.∵BO 为R ｔ∵ABC 斜边上的中线∵BO ＝6.5∵O 是AC 的中点.M 是AD 的中点.∵OM 是∵ACD 的中位线∵OM ＝2.5∵四边形ABOM 的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20故答案为2010．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图.点C 是BE 的中点.四边形ABCD 是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；.求证：四边形ACED是矩形．（2）如果AB AE【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点.得到AD∵CE.AD=CE.从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE.从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∵AD∵BC.且AD=BC．∵点C是BE的中点.∵BC=CE.∵AD=CE.∵AD∵CE.∵四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形.∵AB=DC.∵AB=AE.∵DC =AE .∵四边形ACED 是平行四边形.∵四边形ACED 是矩形．考点3：正方形的性质与判定11．（2021·重庆中考真题）如图.正方形ABCD 的对角线AC .BD 交于点O .M 是边AD 上一点.连接OM .过点O 做ON ∵OM .交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是1.则AB 的长为（ ）A ．1B 2C ．2D ．22【答案】C【分析】 先证明()MAO NDO ASA ≅.再证明四边形MOND 的面积等于.DAO 的面积.继而解得正方形的面积.据此解题．【详解】解：在正方形ABCD 中.对角线BD ∵AC .90AOD ∴∠=︒ON OM ⊥90MON ∴∠=︒AOM DON ∴∠=∠又45,MAO NDO AO DO ∠=∠=︒=()MAO NDO ASA ∴≅MAO NDO S S ∴=四边形MOND 的面积是1.1DAO S ∴=∴正方形ABCD 的面积是4.24AB ∴=2AB ∴=故选：C ．12．（2021·重庆中考真题）如图.把含30°的直角三角板PMN 放置在正方形ABCD 中.30PMN ∠=︒.直角顶点P 在正方形ABCD 的对角线BD 上.点M .N 分别在AB 和CD 边上.MN 与BD 交于点O .且点O 为MN 的中点.则AMP ∠的度数为（ ）A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°【答案】C【分析】 根据斜边中线等于斜边一半.求出∵MPO =30°.再求出∵MOB 和∵OMB 的度数.即可求出AMP ∠的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形中.∵∵MBO =∵NDO =45°.∵点O 为MN 的中点∵OM =ON .∵∵MPN =90°.∵OM =OP .∵∵PMN =∵MPO =30°.∵∵MOB =∵MPO+∵PMN =60°.∵∵BMO =180°-60°-45°=75°.180753075AMP ∠=︒-︒-︒=︒.故选：C ．13．（2021·四川自贡市·中考真题）如图.在正方形ABCD 中.6AB =.M 是AD 边上的一点.:1:2AM MD =．将BMA △沿BM 对折至BMN △.连接DN .则DN 的长是（ ）A ．52B ．58C ．3D 65 【答案】D【分析】延长MN 与CD 交于点E.连接BE.过点N 作NF CD ⊥.根据折叠的正方形的性质得到NE CE =.在Rt MDE 中应用勾股定理求出DE 的长度.通过证明MDE NFE ∽.利用相似三角形的性质求出NF 和DF 的长度.利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图.延长MN 与CD 交于点E.连接BE.过点N 作NF CD ⊥.∵6AB =.M 是AD 边上的一点.:1:2AM MD =. ∵2AM =.4DM =.∵将BMA △沿BM 对折至BMN △.四边形ABCD 是正方形. ∵90BNE C ∠=∠=︒.AB AN BC ==.∵Rt BNE Rt BCE ≌(HL).∵NE CE =.∵2EM MN NE NE =+=+.在Rt MDE 中.设DE x =.则628ME x x =-+=-. 根据勾股定理可得()22248x x +=-.解得3x =. ∵3NE DE ==.5ME =.∵NF CD ⊥.90MDE ∠=︒.∵MDE NFE ∽. ∵25EF NF NE DE MD ME ===. ∵125NF =.95EF =. ∵65DF =.∵2265+. DN DF NF故选：D．。

中考数学专题复习《特殊平行四边形综合题》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 在平行四边形ABCD 中 AB AD ≠ ()0180A αα∠=︒<<︒ 点E F G H 分别是AB BC CD DA 的中点 连接EF FG GH HE 当α从锐角逐渐增大到钝角的过程中 四边形EFGH 的形状的变化依次为（ ）A ．平行四边形→菱形→平行四边形B ．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形 2．如图 平行四边形ABCD 中 16AB = 12AD = 60A ∠=︒E 是边AD 上一点 且8AE =F 是边AB 上的一个动点 将线段EF 绕点E 逆时针旋转60︒ 得到EG 连接BG CG 则BG CG +的最小值是（ ）.A ．4B ．415C ．421D 373．图1是一张菱形纸片ABCD 点,EF 是边,AB CD 上的点．将该菱形纸片沿EF 折叠得到图2 BC 的对应边B C ''恰好落在直线AD 上．已知60,6B AB ∠=︒= 则四边形AEFC '的周长为（ ）A ．24B ．21C ．15D ．124．如图 在矩形ABCD 中 8AB = 6BC = 点H 是AC 的中点 沿对角线AC 把矩形剪开得到两个三角形 固定ABC 不动 将ACD 沿AC 方向平移 （A '始终在线段AC 上）得到A C D '''△ 连接HD ' 设平移的距离为x 当HD '长度最小时 平移的距离x 的值为（ ）A ．710B ．185C ．75D ．2455．如图 Rt ABC △中 90C ∠=︒ 30A ∠=︒ 9AC = D 为AB 中点 以DB 为对角线长作边长为3的菱形DFBE 现将菱形DFBE 绕点D 顺时针旋转一周 旋转过程中当BF 所在直线经过点A 时 点A 到菱形对角线交点O 之间的距离为（ ）A B C D 6．中国结寓意团圆 美满 以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴 小陶家有一个菱形中国结装饰．测得8cm,6cm BD AC ==．则该菱形的面积为（ ）A ．224cmB ．248cmC ．210cmD ．212cm7．如图 在矩形ABCD 中 点O M 分别是,AC AD 的中点 3,5OM OB == 则AD 的长为（ ）A ．12B ．10C ．9D ．88．如图 已知正方形ABCD 和正方形BEFG 且A B E 三点在一条直线上 连接CE 以CE 为边构造正方形CPQE PQ ，交AB 于点M 连接CM 设APM BCM αβ∠=∠=，．若点Q B F 三点共线 tan tan n αβ= 则n 的值为（ ）A ．12 B ．23 C ．35 D ．67二 填空题9．如图 矩形ABCD 中 BE BF 将ABC ∠三等分 连接EF ．若90BEF ∠=︒ 则:AB BC 的比值为 ．10．如图 四边形ABCD 是边长为6的正方形 点E 在直线BC 上 若2BE = 连接AE 过点A 作AF AE ⊥ 交直线CD 于点F 连接EF 点H 是EF 的中点 连接BH 则BH = ．11．如图 在平行四边形ABCD 中 对角线AC BD 、相交于点O 在不添加任何辅助线的情况下 请你添加一个条件 使平行四边形ABCD 是菱形．12．如图 在矩形ABCD 中 2AB = 对角线AC 与BD 交于点O 且120AOD ∠=︒ DE OC ∥ CE OD ∥ 则四边形OCED 的周长为 ．13．如图 在菱形ABCD 中 2BD BC == 点E 是BC 的中点 点P 是对角线AC 上的动点 连接PB PE 则PB PE +的最小值是 ．三 解答题14．如图 在菱形ABCD 中 连接AC 过B 作BE BA ⊥交AC 于点E 过D 作DF DC ⊥交AC 于点F ．(1)求证：ADF CBE △≌△(2)若12AD = 60DAB ∠=︒ 求EF 的长．15．已知：在梯形ABCD 中 AD BC ∥ 90ABC ∠=︒ 6AB = :1:3BC AD = O 是AC 的中点 过点O 作OE OB ⊥ 交BC 的延长线于点E ．(1)当BC EC =时 求证：AB OE =(2)设BC a = 用含a 的代数式表示线段BE 的长 并写出a 的取值范围(3)连结OD DE 当DOE 是以DE 为直角边的直角三角形时 求BC 的长．16．如图 平行四边形ABCD 中 点E 是对角线AC 上一点 连接BE DE ， 且BE DE =．(1)求证：四边形ABCD 是菱形(2)若5AB = tan 2BAC ∠= 求四边形ABCD 的面积．17．已知：矩形ABCD 中 动点M 在BC 边上（不与点B C 、重合） MN AM ⊥交CD 于点N 连接DM ．(1)如图1 若DM 平分ADC ∠ 求证：BM CN =(2)如图2 若2,3AB BC == 动点M 在移动过程中 设BM 的长为,x CN 的长为y ①则y 与x 之间的函数关系式为______①线段CN 的最大值为______．18．如图1 正方形ABCD 和正方形QMNP M 是正方形ABCD 的对称中心 MN 交AB 于F QM 交AD 于E ．(1)猜想：ME 与MF 的数量关系为______(2)如图2 若将原题中的“正方形”改为“菱形” 且NMQ ABC 其它条件不变 探索线段ME 与线段MF 的数量关系 并说明理由(3)如图3 若将原题中的“正方形”改为“矩形” 且:1:2AB BC = 其它条件不变 直接写出：线段ME 与线段MF 的数量关系为______．参考答案：1．A2．C3．C4．C5．D6．A7．D8．B93：10．24211．AC BD ⊥12．8133①点E 是BC 的中点14．（1）解：①菱形ABCD①ADC CBA ∠=∠ AD BC = DAC BCA ∠=∠①BE BA ⊥ DF DC ⊥①90CDF ABE ∠=∠=︒①ADC CDF CBA ABE ∠-∠=∠-∠ 即：ADF CBE ∠=∠①()ASA ADF CBE ≌（2）解：①60DAB ∠=︒ 12AD = ①11603022BAE BAD ∠=∠=⨯︒=︒ 12AB CD AD === 33123AC AB ===①cos30ABAE===︒同理FC=BE CE==AC AE CE∴=+=①EF AE FC AC=+-==故答案为：15．（1）证明：90ABC∠=︒O是AC的中点OB OC∴=OBC OCB∴∠=∠OE BC⊥90BOEBC EC=CO BC∴=BC BO∴=90ABC BOE∠=∠=︒()ASAABC EOB∴≌AB EO∴=（2）解：OBC OCB∠=∠ABC BOE∠=∠ABC EOB∴∽∴BC ACOB BE=BC a=6AB=AC∴∴1a=236(06)2aBE aa+∴=<<（3）解：设BC a=则3AD a=①当90OED∠=︒时延长BO交AD于点G90BOE =︒∠BOE OED ∴∠=∠∴BG ED ∥//BE AD∴四边形BGDE 是平行四边形 BE DG ∴=BC AD ∥ ∴BCCOAG AO =BC AG a ∴== ∴23632a a a a +=-23a ∴= ①当90ODE ∠=︒时 分别过点O E 作OM AD ⊥ EN AD ⊥ 垂足分别为MNOMD DNE ∴∠=∠ MOD EDN ∠=∠OMD DNE ∴∽ ∴OMMDDN EN = 1122AM CB a ==52MD a ∴=2236365322a a DN AN AD a a a +-=-=-=∴253236562aa a=-a ∴=．综上所述BC 的长为 16．（1）证明：如图 连接BD 交AC 于O①平行四边形ABCD①BO DO =①BO DO = OE OE = BE DE = ①()SSS BOE DOE ≌①BEO DEO ∠=∠①AE AE = BEA DEA ∠=∠ BE DE = ①()SAS BEA DEA ≌①AB AD =①四边形ABCD 是菱形（2）解：①tan 2BAC ∠= ①2BO AO= 即2BO AO = ①四边形ABCD 是菱形①AC BD ⊥ 22AC AO BD BO ==，由勾股定理得 AB =解得 2AO =①48AC BD ==， ①1162ABCD S AC BD =⨯=四边形 ①四边形ABCD 的面积为16． 17．（1）解：在矩形ABCD 中 ,90AB CD B C ADC =∠=∠=∠=︒ DM 平分ADC ∠1452CDM ADC ∴∠=∠=︒ 45CDM CMD ∴∠=∠=︒CM CD AB ∴==90,BAM AMB MN AM ∠+∠=︒⊥90AMB CMN ∴∠+∠=︒BAM CMN ∴∠=∠()ABM MCN ASA ∴≌BM CN ∴=（2）解：①设BM 的长为,x CN 的长为y 则3MC x =- 由（1）得 ,,90BAM CMN AB CD B C ∠=∠=∠=∠=︒ ABM MCN ∴∽AB BM MC CN∴= 23x x y∴=- 213(03)22y x x x ∴=-+<< 故答案为：213(03)22y x x x =-+<< ①当32x =时 y 有最大值 最大值为98． 即线段CN 的最大值为98． 故答案为：98． 18．（1）解：①正方形ABCD 和正方形QMNP①90AMD EMF ∠=∠=︒ ,45DM AM ADM FAM =∠=∠=︒ DME AMF ∴∠=∠()ASA MDE MAF ∴≌ME MF ∴=．故答案为：相等．（2）解：过点M 作MH AD ⊥于H MG AB ⊥于G ．①M 是菱形ABCD 的对称中心 ①M 是菱形ABCD 对角线的交点 ①AM 平分BAD ∠①MH MG =．①QMN B ∠=∠①180EMF BAD ∠+∠=︒． 又90MHA MGF ∠=∠=︒ ①180HMG BAD ∠+∠=︒ ①EMF HMG ∠=∠①EMH FMG ∠=∠． ①MHE MGF ∠=∠①()ASA MHE MGF ≌ ①ME MF =．（3）解：过点M 作MH AD ⊥于HMG AB ⊥于G ．①QMN ABC ∠=∠①90BAD EMF ∠=∠=︒． 又①90MHA MGA ∠=∠=︒ ①90HMG ∠=︒．①EMF HMG ∠=∠①EMH FMG ∠=∠．①MHE MGF ∠=∠①MHE MGF △△∽①ME MH MF MG=．又①M是矩形ABCD的对称中心①M是矩形ABCD对角线的交点．又①MG AB⊥①MG BC∥且12MG BC=．同理可得12 MH AB=①2ME MF=．。

特殊的平行四边形一、选择题1.如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm3.在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C 点作BD CE ⊥于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①FH AF =；②BF BO =；③CH CA =；④ED BE 3=，正确的 ( D)A ．②③B ．③④C ．①②④D ．②③④4．如图1，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC 等于（ D ） A ．20B ．15C ． 10D ．56.）如图，矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，则AE 的长是（ D ）A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.47.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（ C ）A ．AD BC '=B ．EBD EDB ∠=∠C ．ABE CBD △∽△ D ．sin AEABE ED∠=8.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是CA .12 B . 14 C . 15 D . 1109. 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确 的个数为（ A ）CD C 'A BEBACDNE①DE =3cm ； ②EB =1cm ； ③2A BCD 15S cm =菱形． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个10.如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ C ） A ．1 B ．34 C ．23D ．211．如图2，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ A ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm12.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ C ）A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形13．如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ B ）．A ．2B ．4π-C ．πD ．π1-14．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ D ）A ． 23cmB ． 24cmC ．2D ． 215.（杭州市）如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ D ）A ．35°B ．45°C ．50°D ．55°A DEP C BFDDBC ANMOAC D图2 GB C AB C16.如图，一块砖的外侧面积为x ，那么图中残留部分墙面的面积为( B )A ．4x A ．12x A ．8x A ．16x17. 如图(八)，长方形ABCD 中，E 点在BC 上，且AE 平分∠BAC 。

2023中考数学 几何专题：特殊的平行四边形（含答案）例1 矩形的性质（1）如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α=∠________度．（2）矩形边长为10和15，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）A ．6和9B ．5和10C ．4和11D ．7和8（3） 如图，矩形ABCD中，120AOD BC ∠=︒=，，则下列结论：①AOB △是等边三角形②130∠=︒③3cm AB =④6cm AC =⑤2ABCD S =矩形．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．②③④⑤D ．①②③④⑤(4) 如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点，AE BD ⊥，垂足为E．若2OD OE AE =，则DE 的长为________．【答案】（1）30；（2）B ；（3）D ；（4）3例2 矩形模型 （1）如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE BD ⊥，垂足为E ，:3:1DAE BAE ∠∠=，则EAC ∠的度数为_______．α60°lm DCBAO 1DC BA第14题图E OCBDAA B（2）如图所示，矩形ABCD 内一点P 到A 、B 、C 的长分别是2、3、4，则PD 的长为_______．（3）已知，如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，如果3AB =，4AD =，那么PE+PF=_______．【答案】（1）45︒；（2（3）125例3 矩形的判定（1）在四边形ABCD 中，AB DC =，AD BC =．请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形．你添加的条件是________．（写出一种即可）【答案】AC BD =或AB BC ⊥或90ABC =︒∠（答案不唯一）（2）如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于点M ，若MA=MC ，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN 是矩形．证明：∵CN ∥AB ， ∴∠DAC=∠NCA ， 在△AMD 和△CMN 中，∵∠DAC ＝∠NCA ，MA ＝MC ，∠AMD ＝∠CMN ∴△AMD ≌△CMN （ASA ）， ∴AD=CN ． 又∵AD ∥CN ，∴四边形ADCN 是平行四边形． 又∵∠BAN=90度，∴四边形ADCN 是矩形．（3）如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分PDCBAABCDPEF线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．【答案】∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB CD ∥，AD BC ∥∵AQ 、BN 分别是DAB ∠、ABC ∠的平分线 ∴180BAD ABC ∠+∠=︒ ∴90QPN ∠=︒同理90PQM QMN MNP ∠=∠=∠=︒ ∴四边形PQMN 是矩形．例4 （1）如图，已知菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若6AC =，4BD =，则菱形ABCD 的周长是（ ）A ．24B ．16C．D．（2）如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的高DE 为（ ） A ．2.4cmB ．4.8cmC ．5cmD ．9.6cm（3）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，则△DEF 的周长为_______（4）如图，把菱形ABCD 沿AH 折叠，使B 点落在BC 上的E 点处，若70B =︒∠，则AED ∠的大小为（ ）NMQPDCBAODC BAA ．60︒B ．55︒C ．65︒D ．70︒ （5）如图，在菱形ABCD 中，80BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，点F 为垂足，连接DE ，则CDE ∠=（ ）A ．80︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒（6）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 是对角线AC 上的一个动点，点E 是AB 边上的中点，则PB PE +的最小值为（ ）A ．2B．C． D ．4【答案】（1）C ；（2）B ；（3）（4）B ；（5）D ；（6）B能力提升例5 菱形的判定（1）已知：如图，平行四边形的对角线、相交于点，且，，求证：平行四边形是菱形；ABCDEHFABCDEABCD AC BD O 10AB =5AO =BO =ABCD【答案】∵在中，,， ∴ ∴是直角三角形∴平行四边形是菱形．AOB △10AB =5AO=BO =222AB AO BO =+AOB △AC BD ⊥ABCD（2）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．【答案】∵∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，DE ⊥AB ， ∴DC=DE ，∠CAD=∠EAD ，∠CDF+∠CAD=90°， ∵CH 是AB 边上的高， ∴CH ⊥AB ，∴CH ∥DE ，∠AFH+∠EAD=90°， ∴∠CDF=∠AFH ， ∵∠CFD=∠AFH ， ∴∠CDF=∠CFD ， ∴CF=DC ， ∴CF=DE ，∴四边形CDEF 是平行四边形， ∴四边形CDEF 是菱形．例6 （1）如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上任意一点，过E 作EF ⊥BC 于F ，作EG ⊥CD 于G ，若正方形ABCD 的周长为m ，则四边形EFCG 的周长为（2）如图，AC 为正方形ABCD 的对角线，E 为AC 上一点，联结EB ，ED ，当126BED ∠=°时，EDA ∠的度数为（ ）A ．54°B ．27°C ．36°D ．18°(3)已知正方形ABCD ，以AB 为边构造等边ABP ∆，那么DCP ∠=HF DECBAEDCB A【答案】（1）2m；（2）D ；（3）15°或75° 例7 下列说法不正确的是（ ） A ．有一个角是直角的菱形是正方形 B ．两条对角线相等的菱形是正方形 C ．对角线互相垂直的矩形是正方形D ．四条边都相等的四边形是正方形【答案】D练1 （1）如图，矩形ABCD 中，3AB =，两条对角线AC 、BD 所夹的钝角为120︒，则对角线BD 的长为________(2) 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 ．【答案】（1）6 ；（2）10cm练2 （1）下列说法不能判定四边形是矩形的是（ ） A ．三个角是直角的四边形 B ．四个角都相等的四边形 C ．对角线相等的平行四边形 D ．对角线垂直且相等的四边形 【答案】D（2）已知：如图，M 为▱ABCD 的AD 边上的中点，且MB=MC ， 求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ．∵AM=DM ，MB=MC ， ∴△ABM ≌△DCM ． ∴∠A=∠D ． ∵AB ∥CD ，∴∠A+∠D=180°． ∴∠A=90°．∴▱ABCD 是矩形．练3 （1）如图：在菱形ABCD 中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为_______；BC 上的高为_____（2）菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较长的对角线的长度为 【答案】（1）5、245；（2）练4 如图．矩形的对角线相交于点．，． ⑴ 求证：四边形是菱形；⑵ 若，菱形的面积为ABCD 的面积．【答案】⑴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是矩形∴（矩形对角线相等且互相平分）∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）⑵ABCD S练5 四边形ABCD 是正方形，延长BC 至E ，使CE AC =，连结AE 交CD 于F ，那么AFC ∠的度数为________．【答案】112.5°ABCD O DE AC ∥CE BD ∥OCED 30ACB ∠=︒OCED OEDC BADE AC ∥CE BD ∥OCED ABCD OC OD =OCED 12OCD OCED S S =△菱形FED CBA。

专题11 平行四边形与特殊的平行四边形一．选择题1．（2022·四川内江）如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）A．2B．4C．6D．8【答案】B【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠CBM＝∠CMB，利用等边对等角即可得MC＝BC＝8，进而可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，∴MC＝BC＝8，∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，掌握其相关性质是解题的关键．2．（2022·内蒙古赤峰）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）A ．四边形ABCD 周长不变B ．AD CD =C ．四边形ABCD 面积不变 D ．AD BC=【答案】D【分析】由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案．【详解】解：由题意可知，∵//AB CD ，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =；故D 符合题意；随着一张纸条在转动过程中，AD 不一定等于CD ，四边形ABCD 周长、面积都会改变；故A 、B 、C 不符合题意；故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等．3．（2022·黑龙江大庆）如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在E 处．若156∠=︒，242∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．108︒B ．109︒C ．110︒D ．111︒【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质，得出AB CD ，根据平行线的性质，得出156ABE ∠=∠=︒，根据折叠得出1282ABD ABE ∠=∠=︒，根据三角形内角和得出∠A 的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ，156ABE ∴∠=∠=︒，根据折叠可知，ABD EBD ∠=∠，∴11562822ABD ABE ∠=∠=⨯︒=︒，242∠=︒ ，∴1802110A ABD ∠=︒-∠-∠=︒，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条件求出28ABD ∠=︒是解题的关键．4．（2022·广东）如图，在ABC 中，4BC =，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】D【分析】利用中位线的性质即可求解．【详解】∵D 、E 分比为AB 、AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴12DE BC =，∵BC =4，∴DE =2，故选：D ．【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键．5．（2022·广东）如图，在ABCD 中，一定正确的是（ ）A ．AD CD=B ．AC BD =C ．AB CD =D ．CD BC=【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB =CD ，AD =BC 故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．6．（2022·江苏无锡）如图，在 ABCD 中，AD BD =，105ADC ∠= ，点E 在AD 上，60EBA ∠= ，则ED CD的值是（ ）A．23B．12CD【答案】D【分析】过点B作BF⊥AD于F，由平行四边形性质求得∠A=75°，从而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，则△BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，设BF=EF=x，则BD=2x，DF，DE=DF-EF=）x，AF=AD-DF=BD-DF=（x，继而求得AB2=AF2+BF2=（2x2+X2=（x2，从而求得DEAB=AB=CD，即可求得答案．【详解】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，∵ ABCD，∴CD=AB，CD∥AB，∴∠ADC+∠BAD=180°，∵105ADC∠= ∴∠A=75°，∵∠ABE=60°，∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，∵BF⊥AD，∴∠BFD=90°，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴BF=FE，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=75°，∴∠ADB=30°，设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF，∴DE=DF-EF=）x，AF=AD-DF=BD-DF=（x，由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2x2+x2=（x2，∴2212 DEAB==∴DEAB=，∵AB =CD ，∴DE CD =D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，过点B 作BF ⊥AD 于F ，构建直角三角形与等腰直角三角形是解题的关键．7．（2022·山东烟台）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）A ．正方形B ．正六边形C ．正八边形D ．正十边形【答案】C【分析】设这个外角是x °，则内角是3x °，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．【详解】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，∴设这个外角是x °，则内角是3x °，根据题意得：x +3x ＝180°，解得：x ＝45°，360°÷45°＝8（边），故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．8．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，点E 是DA 中点，F 是对角线AC 上一点，且45DEF ∠=︒，则:AF FC 的值是（ ）A．3B 1+C ．1D ．2【答案】D 【分析】取AC 的中点M ，连接EM 设2,CD x =由中位线性质可得1//,,,2EM CD EM CD EM x ==再根据60DAB ∠=︒，45DEF ∠=︒可得出,FM EM x ==从而得到FC 的长，即可得到:AF FC 的结果．【详解】解：如图所示：取AC 的中点M ，连接EM ，DM ，设2,CD x =∵点E 是DA 中点，∴EM 是ACD △的中位线，1//,,2EM CD EM CD ∴=,EM x ∴=60,DAB ∠=︒ 四边形ABCD 是菱形，30DAC DCA EMA ∴∠=∠=∠=︒，∠AMD =90°，45DEF ∠=︒453015,EFM ∴∠=︒-︒=︒301515FEM ∠=︒-︒=︒，15,EFM FEM ∴∠=∠=︒,FM EM x ∴==2,30,CD DA x CAD ACD ==∠=∠=︒ ∴DM =12AD x =，∴AM =,AC ∴=,AM ∴=,FC x x ∴=-=-2AF FC ∴===故选：D ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键．9．（2022·贵州黔东南）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ，则DF 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D 1【答案】D 【分析】过点A 分别作AG ⊥BC 于点G ，AH ⊥DF 于点H ，可得四边形AGFH 是矩形，从而得到FH =AG ，再由△ABC 为等边三角形，可得∠BAG =30°，BG =1，从而得到FH =，再证得∠DAH =∠BAG =30°，然后根据直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图，过点A 分别作AG ⊥BC 于点G ，AH ⊥DF 于点H ，∵DF ⊥BC ，∴∠GFH =∠AHF =∠AGF =90°，∴四边形AGFH 是矩形，∴FH =AG ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC =60°，BC =AB =2，∴∠BAG =30°，BG =1，∴AG =，∴FH =在正方形ABED 中，AD =AB =2，∠BAD =90°，∴∠DAH =∠BAG =30°，∴112DH AD ==，∴1DF DH FH =+=．故选：D 【点睛】本题主要考查了等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．10．（2022·海南）如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若:1:2,BF CE EF ==，则菱形ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4C ．5D 【答案】B 【分析】过C 作CM ⊥AB 延长线于M ，根据:1:2BF CE =设,2BF x CE x ==，由菱形的性质表示出BC =4x ，BM =3x ，根据勾股定理列方程计算即可．【详解】过C 作CM ⊥AB 延长线于M ，∵:1:2BF CE =∴设,2BF x CE x==∵点E 是边CD 的中点∴24CD CE x==∵菱形ABCD ∴4CD BC x ==，CE ∥AB∵EF ⊥AB ，CM ⊥AB ∴四边形EFMC 是矩形∴CM EF ==，2MF CE x ==∴BM =3x在Rt △BCM 中，222BM CM BC +=∴222(3)(4)x x +=，解得1x =或1x =-（舍去）∴44CD x ==故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．11．（2022·江苏无锡）下列命题中，是真命题的有（ ）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形 ④四边相等的四边形是菱形A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】B 【分析】直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．【详解】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误；③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；④四边相等的四边形是菱形，正确．故选：B ．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键．12．（2022·广西玉林）若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 一定是( )A ．互相平分B ．互相垂直C ．互相平分且相等D ．互相垂直且相等【答案】D【分析】由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项．【详解】解：如图所示，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 边AD 、DC 、BC 、AB 的中点，∴11////,////,,22EF AC GH EH BD FG EF GH AC EH FG BD ====，∴四边形EFGH 是平行四边形，对于A 选项：对角线互相平分，四边形EFGH 仍是平行四边形，故不符合题意；对于B 选项：对角线互相垂直，则有EF EH ⊥，可推出四边形EFGH 是矩形，故不符合题意；对于C 选项：对角线互相平分且相等，则有EF EH =，可推出四边形EFGH 是菱形，故不符合题意；对于D 选项：对角线互相垂直且相等，则有EF EH ⊥，EF EH =，可推出四边形EFGH 是正方形，故符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定是解题的关键．13．（2022·内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上，120ABC ∠=︒，点()30A -,，点E 是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD PE +的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．D 【答案】A 【分析】直线AC 上的动点P 到E 、D 两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D 关于直线AC 的对称点B ，连接BE ，则线段BE 的长即是PD +PE 的最小值．【详解】如图：连接BE ，，∵菱形ABCD ，∴B 、D 关于直线AC 对称，∵直线AC 上的动点P 到E 、D 两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE 长度即是PD +PE 的最小值．，∵菱形ABCD ，120ABC ∠=︒，点()30A -,，∴60,30CDB DAO ∠=︒∠=︒，3OA =，∴OD AD DC CB ====∴△CDB 是等边三角形 ∴BD =∵点E 是CD 的中点，∴12DE CD =且BE ⊥CD ，∴3BE ==故选：A ．【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．14．（2022·内蒙古包头）如图，在矩形ABCD 中，AD AB >，点E ，F 分别在,AD BC 边上，,EF AB AE AB =∥，AF 与BE 相交于点O ，连接OC ，若2BF CF =，则OC 与EF 之间的数量关系正确的是（ ）A ．2OC =B 2EF =C ．2OC =D ．OC EF=【答案】A 【分析】过点O 作OM ⊥BC 于点M ，先证明四边形ABFE 是正方形，得出MF CF OM ==，再利用勾股定理得出OC =，即可得出答案．【详解】过点O 作OM ⊥BC 于点M ，90OMC ∴∠=︒，四边形ABCD 是矩形，90ABC BAD ∴∠=∠=︒，,EF AB AE AB = ∥，90ABC BAD AEF ∴∠=∠=︒=∠，∴四边形ABFE 是正方形，45,AFB OB OF ∴∠=︒=，12MF BF OM ∴==，2BF CF = ，MF CF OM ∴==，由勾股定理得OC ===，2OC ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．15．（2022·黑龙江）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -=；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（ ）A ．①②④⑤B ．①②③⑤C ．①②③④D ．①③④⑤【答案】B 【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：①通过证明()DOF COE ASA ≌ 得到EC =FD ，再证明()EAC FBD SAS ≌ 得到∠EAC =∠FBD ，从而证明∠BPQ =∠AOQ =90°，即AE BF ⊥；②通过等弦对等角可证明45OPA OBA ∠=∠=︒；③通过正切定义得tan BE BP BAE AB AP ∠==，利用合比性质变形得到CE BP AP BP BE ⋅-=，再通过证明AOP AEC ∽ 得到OP AE CE AO ⋅=，代入前式得OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅，最后根据三角形面积公式得到AE BP AB BE ⋅=⋅，整体代入即可证得结论正确；④作EG ⊥AC 于点G 可得EG ∥BO ，根据tan EG EG CAE AG AC CG∠==-，设正方形边长为5a ，分别求出EG 、AC 、CG 的长，可求出3tan 7CAE ∠=，结论错误；⑤将四边形OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用()DOF COE ASA ≌ ，可证明S 四边形OECF =S △COE +S △COF = S △DOF +S △COF =S △COD 即可证明结论正确．【详解】①∵四边形ABCD 是正方形，O 是对角线AC 、BD 的交点，∴OC =OD ，OC ⊥OD ，∠ODF =∠OCE =45°∵OE OF ⊥∴∠DOF +∠FOC =∠FOC +∠EOC =90°∴∠DOF =∠EOC 在△DOF 与△COE 中ODF OCE OC ODDOF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DOF COE ASA ≌ ∴EC =FD ∵在△EAC 与△FBD 中45EC FD ECA FDB AC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()EAC FBD SAS ≌ ∴∠EAC =∠FBD又∵∠BQP =∠AQO ∴∠BPQ =∠AOQ =90°∴AE ⊥BF 所以①正确；②∵∠AOB =∠APB =90°∴点P 、O 在以AB 为直径的圆上∴AO 是该圆的弦∴45OPA OBA ∠=∠=︒所以②正确；③∵tan BE BP BAE AB AP ∠==∴AB AP BE BP =∴AB BE AP BP BE BP --=∴AP BP CE BP BE -=∴CE BP AP BP BE⋅-=∵,45EAC OAP OPA ACE ∠=∠∠=∠=︒∴AOP AEC ∽ ∴OP AO CE AE =∴OP AE CE AO ⋅=∴OP AE BP AP BP AO BE ⋅⋅-=⋅∵1122ABE AE BP AB BE S ⋅=⋅= ∴AE BP AB BE⋅=⋅∴OP AB BE AB AP BP OP AO BE AO⋅⋅-===⋅所以③正确；④作EG ⊥AC 于点G ，则EG ∥BO ，∴EG CE CG OB BC OC==设正方形边长为5a ，则BC =5a ，OB =OC，若:2:3BE CE =，则23BE CE =，∴233BE CE CE ++=∴35CE BC =∴35CE EG OB BC =⋅==∵EG ⊥AC ，∠ACB =45°，∴∠GEC =45°∴CG =EG∴3tan 7EG EG CAE AG AC CG ∠==-所以④错误；⑤∵()DOF COE ASA ≌ ，S 四边形OECF =S △COE +S △COF∴S 四边形OECF = S △DOF +S △COF = S △COD∵S △COD =14ABCD S 正方形∴S 四边形OECF =14ABCD S 正方形所以⑤正确；综上，①②③⑤正确，④错误，故选 B【点睛】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键．16．（2022·江苏泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 一边作正方形DEFG .设DE =d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2，d 3，则d 1＋d 2＋d 3的最小值为( )AB ．2C ．D ．4【答案】C 【分析】连接CF 、CG 、AE ，证()ADE CDG SAS ∆≅∆可得AE CG =，当A 、E 、F 、C 四点共线时，即得最小值；【详解】解：如图，连接CF 、CG 、AE ，∵90ADC EDG ∠=∠=︒∴ADE CDG∠=∠在ADE ∆和CDG ∆中，∵AD CD ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADE CDG SAS ∆≅∆∴AE CG =∴DE CF CG EF CF AE++=++当EF CF AE AC ++=时，最小，AC ===∴d 1＋d 2＋d 3的最小值为C ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键．17．（2022·四川广安）如图，菱形ABCD 的边长为2，点P 是对角线AC 上的一个动点，点E 、F 分别为边AD 、DC 的中点，则PE + PF 的最小值是（ ）A ．2BC ．1.5D【答案】A【解析】【分析】取AB 中点G 点，根据菱形的性质可知E 点、G 点关于对角线AC 对称，即有PE =PG ，则当G 、P 、F 三点共线时，PE +PF =PG +PF 最小，再证明四边形AGFD 是平行四边形，即可求得FG =AD ．【详解】解：取AB 中点G 点，连接PG ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，且边长为2，∴AD =DC =AB =BC =2，∵E 点、G 点分别为AD 、AB 的中点，∴根据菱形的性质可知点E 、点G 关于对角线AC 轴对称，∴PE =PG，∴PE +PF =PG +PF ，即可知当G 、P 、F 三点共线时，PE +PF =PG +PF 最小，且为线段FG ，如下图，G 、P 、F 三点共线，连接FG ，∵F 点是DC 中点，G 点为AB 中点，∴1122DF DC AB AG ===，∵在菱形ABCD 中，DC AB ∥，∴DF AG ∥，∴四边形AGFD 是平行四边形，∴FG =AD =2，故PE +PF 的最小值为2，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E 点关于AC 的对称点是解答本题的关键．18．（2022·辽宁营口）如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF EC ⊥，垂足为F ，若1,2CD CF ==，则线段AE 的长为（ ）A 2B 1C ．13D ．12【答案】A【分析】先证明△BFC ≌△CDE ，可得DE =CF =2，再用勾股定理求得CE AD =BC 求得AE 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC =AD ，∠ABC =∠D =90°，AD ∥BC ，∴∠DEC =∠FCB ，∵BF EC ⊥，∴∠BFC =∠CDE ，∵把BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，∴BC =EC ，在△BFC 与△CDE 中，DEC FCB BFC CDEBC EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFC ≌△CDE （AAS ），∴DE =CF =2，∴CE ===∴AD =BC =CE∴AE =AD -DE2，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．19．（2022·湖北恩施）如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°，AD =10cm ，BC =8cm ，点P 从点D 出发，以1cm/s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（ ）A ．当4s t =时，四边形ABMP 为矩形B ．当5s =t 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD PM =时，4s t =D ．当CD PM =时，4s t =或6s【答案】D【分析】计算AP 和BM 的长，得到AP ≠BM ，判断选项A ；计算PD 和CM 的长，得到PD ≠CM，判断选项B ；按PM =CD ，且PM 与CD 不平行，或PM =CD ，且PM ∥CD 分类讨论判断选项C 和D ．【详解】解：由题意得PD =t ，AP =AD -PD =10-t ，BM =t ，CM =8-t ，∠A =∠B =90°，A 、当4s t =时，AP =10-t =6 cm ，BM =4 cm ，AP ≠BM ，则四边形ABMP 不是矩形，该选项不符合题意；B 、当5s t 时，PD =5 cm ，CM =8-5=3 cm ，PD ≠CM ，则四边形CDPM 不是平行四边形，该选项不符合题意；作CE ⊥AD 于点E ，则∠CEA =∠A =∠B =90°，∴四边形ABCE 是矩形，∴BC =AE =8 cm ，∴DE =2 cm ，PM =CD ，且PQ 与CD 不平行，作MF ⊥AD 于点F ，CE ⊥AD 于点E ，∴四边形CEFM 是矩形，∴FM =CE ；∴Rt △PFM ≌Rt △DEC （HL ），∴PF =DE =2，EF =CM =8-t ，∴AP =10-4-(8-t )=10-t ，解得t =6 s ；PM =CD ，且PM ∥CD ，∴四边形CDPM 是平行四边形，∴DP =CM ，∴t =8-t ，解得t =4 s ；综上，当PM =CD 时，t =4s 或6s ；选项C 不符合题意；选项D 符合题意；故选：D ．【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，应注意分类讨论，求出所有符合条件的t 的值．20．（2022·湖北恩施）如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，分别以B 、D 为圆心，大于12B D 的长为半径画弧，两弧交于P 、Q 两点，作直线PQ ，分别与AD 、BC 交于点M 、N ，连接BM 、DN ．若4=AD ，2AB =．则四边形MBND 的周长为（ ）A ．52B ．5C ．10D ．20【答案】C【分析】先根据矩形的性质可得90,A AD BC ∠=︒ ，再根据线段垂直平分线的性质可得,BM DM BN DN ==，根据等腰三角形的性质可得,MDB MBD NBD NDB ∠=∠∠=∠，从而可得MBD NDB ∠=∠，根据平行线的判定可得BM DN ，然后根据菱形的判定可得四边形MBND 是菱形，设(0)BM DM x x ==>，则4AM x =-，在Rt ABM 中，利用勾股定理可得x 的值，最后根据菱形的周长公式即可得．【详解】解： 四边形ABCD 是矩形，90,A AD BC ∴∠=︒ ，MDB NBD ∴∠=∠，由作图过程可知，PQ 垂直平分BD ，,BM DM BN DN ∴==，,MDB MBD NBD NDB ∴∠=∠∠=∠，MBD NDB ∴∠=∠，BM DN ∴ ，∴四边形MBND 是平行四边形，又BM DM = ，设(0)BM DM x x ==>，则4AM AD DM x =-=-，在Rt ABM 中，222AB AM BM +=，即2222(4)x x +-=，解得52x =，则四边形MBND 的周长为5444102BM x ==⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．二．填空题21．（2022·广西梧州）如图，在ABC 中，90ACB ∠= ，点D ，E 分别是,AB AC 边上的中点，连接,CD DE ．如果5m AB =，3m BC =，那么CD DE +的长是_______m ．【答案】4【分析】由D 、E 分别是AB 和AC 的中点得到DE 是△ABC 的中位线，进而得到1322DE BC ==，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到1522DC AB ==，由此即可求出CD DE +．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 和AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴1322DE BC ==，∵90ACB ∠= ，∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：1522DC AB ==，∴35422CD DE +=+=，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，属于基础题，熟练掌握中位线定理是解决本题的关键．22．（2022·贵州毕节）如图，在Rt ABC 中，90,3,5BAC AB BC ∠=︒==，点P 为BC 边上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为_________．【答案】125##2.4【分析】利用勾股定理得到BC 边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP 最短即为PQ 最短，利用垂线段最短得到点P 的位置，再证明∽'P CAB C O △△利用对应线段的比得到OP '的长度，继而得到PQ 的长度．【详解】解：∵90,3,5BAC AB BC ∠=︒==，∴4AC ==，∵四边形APCQ 是平行四边形，∴PO ＝QO ，CO ＝AO ，∵PQ 最短也就是PO 最短，∴过O 作BC 的垂线OP '，∵'=∠∠ACB P CO 90'∠=∠=︒CP O CAB ,∴∽'P CAB C O △△,∴'=CO OP BC AB，∴253'=OP ，∴6=5'OP ，∴则PQ 的最小值为122=5'OP ，故答案为：125．【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．23．（2022·山东烟台）如图1，△ABC 中，∠ABC ＝60°，D 是BC 边上的一个动点（不与点B ，C 重合），DE ∥AB ，交AC 于点E ，EF ∥BC ，交AB 于点F ．设BD 的长为x ，四边形BDEF 的面积为y ，y 与x 的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P 的坐标为（2，3），则AB 的长为 _____．【答案】【分析】根据抛物线的对称性知，BC ＝4，作FH ⊥BC 于H ，当BD ＝2时，▱BDEF 的面积为3，则此时BFAB ＝2BF ，即可解决问题．【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），∴x ＝4时，y ＝0，∴BC ＝4，作FH ⊥BC 于H ，当BD ＝2时，▱BDEF 的面积为3，∵3＝2FH ，∴FH ＝32，∵∠ABC ＝60°，∴BF ＝32sin 60 ∵DE ∥AB ，∴AB ＝2BF ＝故答案为：【点睛】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC ＝4是解题的关键．24．（2022·山东临沂）如图，在正六边形ABCDEF 中，M ，N 是对角线BE 上的两点，添加下列条件中的一个：①BM EN =；②FAN CDM ∠=∠；③AM DN =；④AMB DNE ∠=∠．能使四边形AMDN 是平行四边形的是__________（填上所有符合要求的条件的序号）．【答案】①②④【分析】根据正六边形的性质，依次结合题给的条件，先证有关三角形是否全等，再证四边形AMDN 是平行四边形．【详解】解：由正六边形的性质知：∠ABM =∠DEN ，AB =DE ，∠BAF =∠CDE ，①若BM =EN ，在△ABM 和△DEN 中，BM EN ABM DEN AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABM DEN ≌（SAS ），∴AM =DN ，∠AMB =∠DNE ，∴∠AMN =∠DNM ，∴AM ∥DN ，∴四边形AMDN 是平行四边形；②若FAN CDM ∠=∠，则∠BAN =∠EDM ，在ABN 和DEM △中，BAN EDM AB DEABM DEN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABN DEM △≌△(ASA)，∴AN =DM ，∠ANM =∠DMN ，∴AN ∥DM∴四边形AMDN 是平行四边形；③若AM DN =，结合条件AB =DE ，∠ABM =∠DEN ，SSA 无法证明ABM DEN ≌，也就无法证明四边形AMDN 是平行四边形；④若AMB DNE ∠=∠，在△ABM 和△DEN 中，AMB DNE ABM DEN AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABM DEN ≌（AAS ），∴AM =DN ，∠AMB =∠DNE ，∴∠AMN =∠DNM ，∴AM ∥DN ，∴四边形AMDN 是平行四边形；综上所述，①②④符合题意．故答案为：①②④．【点睛】此题考查了正六边形的性质、全等三角形的判定以及平行四边形的判定．解题的关键是熟练运用上述知识逐一进行判断．25．（2022·江苏泰州）正六边形一个外角的度数为____________．【答案】60︒##60度【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360°解答即可．【详解】∵正六边形的外角和是360°，∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°，故答案为：60°．【点睛】本题主要考查多边形的外角和及正多边形外角度数的计算，掌握多边形外角和等于360°是解答本26．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，垂足为O ，AB CD ，要使四边形ABCD 为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可）【答案】AB =CD 或AD ∥BC 或OA =OC 或OB =OD 等（只需写出一个条件即可）【分析】由菱形的判定方法进行判断即可．【详解】解：可以添加的条件是：AB ＝CD ，理由如下：∵AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；也可以添加条件是：AD BC ∥，利用如下：∵AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；也可以添加的条件是OA =OC ，利用如下：∵AB CD ，∴OAB OCD ∠=∠，OBA ODC ∠=∠，∴OAB OCD ∆∆≌（AAS ），∴AB =CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；也可以添加的条件是OB =OD ，利用如下：∴OAB OCD ∠=∠，OBA ODC ∠=∠，∴OAB OCD ∆∆≌（AAS ），∴AB =CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．故答案为：AB =CD 或AD ∥BC 或OA =OC 或OB =OD 等．（只需写出一个条件即可）【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，熟记“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，是解题的关键．27．（2022·海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，,30AE AF EAF =∠=︒，则AEB ∠=___________︒；若AEF 的面积等于1，则AB 的值是___________．【答案】 60 【分析】由正方形的性质证明ABE ADF ≅ ，即可得到BAE DAF ∠=∠，再由30EAF ∠=︒可得30BAE DA F F EA ∠=∠=∠=︒，即可求出AEB ∠．设BE x =，表示出AEF 的面积，解方程即可．【详解】∵正方形ABCD∴90B D BAD ∠=∠=∠=︒，AB AD DC CB===∵AE AF=∴Rt ABE Rt ADF ≅ （HL ）∴BAE DAF ∠=∠，BE DF=∵30EAF ∠=︒，90BAE DA F F EA ∠+∠+∠=︒∴30BAE DA F F EA ∠=∠=∠=︒∴60AEB ∠=︒设BE x =∴),,1AB DF BE x CE CF x =====∴AEF ABE ADF CEFABCD S S S S S =--- 正方形211222AB AB BE CE CF =-⋅⨯-⋅21)1)1)2x x x =⋅-⋅2x =∵AEF 的面积等于1∴21x =，解得1x =，1x =-（舍去）∴AB ==故答案为：60【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、30°直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．28．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点E 在OB 上，连接AE ，点F 为CD 的中点，连接OF ，若AE BE =，3OE =，4OA =，则线段OF 的长为___________．【答案】【分析】先根据菱形的性质找到Rt △AOE 和Rt △AOB ，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC 的长，再根据中位线性质，求出OF 的长．【详解】已知菱形ABCD ，对角线互相垂直平分，∴AC ⊥BD ，在Rt △AOE 中，∵OE =3，OA =4，∴根据勾股定理得5AE ==，∵AE =BE ，∴8OB AE OE =+=，在Rt △AOB 中AB ==，即菱形的边长为∵点F 为CD 的中点，点O 为DB 中点，∴12OF BC ==．故答案为【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．29．（2022·山东青岛）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中ABC ∠的度数是__________︒．【答案】60【分析】先确定∠BAD 的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出∠ABC 的度数．【详解】如图，∵∠BAD =∠BAE =∠DAE ，∠BAD +∠BAE +∠DAE =360°，∴∠BAD =∠BAE =∠DAE =120°，∵BC ∥AD ，∴∠ABC =180°-120°=60°，故答案为：60．【点睛】本题考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，解题关键是理解题意，求出∠BAD 的度数．30．（2022·江苏常州）如图，将一个边长为20cm 的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD ，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm 时才会断裂．若60BAD ∠=︒，则橡皮筋AC _____断裂（填“会”或“不会” 1.732≈）．【答案】不会【分析】设扭动后对角线的交点为O ，根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的性质及条件，得出ABD △为等边三角形，利用勾股定理算出AO =AC ，再比较即可判断．【详解】解：设扭动后对角线的交点为O ，如下图：60BAD ∠=︒ ，根据正方形的性质得，得出扭动后的四边形四边相等为菱形，20AD AB ==，ABD ∴ 为等边三角形，20BD ∴=，1102BO BD ∴==，AO ∴==根据菱形的对角线的性质：234.64AC AO ==≈，34.6436< ，AC ∴不会断裂，故答案为：不会．【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形、勾股定理，解题的关键是要掌握菱形的判定及性质．31．（2022·贵州铜仁）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在∠DCE内作射钱CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF，则BD的长为______（结果保留很号）．【答案】【分析】连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．【详解】解：如图，连接AC交BD于点H，由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，又∵∠ECM=30°，∴∠DCF=50°，∵DF⊥CM，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=40°，又∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠HDC=40°，在△CDH和△CDF中，CHD CFDHDC FDCDC DC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDH ≌△CDF （AAS ），∴DH =DF ，∴DB =2DH =故答案为：．【点睛】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出∠HDC =∠FDC 是这个题最关键的一点．32．（2022·湖北十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF ，AG 分别架在墙体的点B ，C 处，且AB AC =，侧面四边形BDEC 为矩形，若测得55FBD ∠=︒，则A ∠=_________︒．【答案】110【分析】根据矩形的性质可得90DBC ∠=︒，求出35ABC ∠=︒，根据等边对等角可得35ACB ABC ∠=∠=︒，然后根据三角形内角和定理即可求解．【详解】 四边形BDEC 为矩形90DBC ∴∠=︒55FBD ∠=︒，905535ABC ∴∠=︒-︒=︒AB AC=35ACB ABC ∴∠=∠=︒180110A ABC ACB ∴∠=︒-∠-=︒故答案为：110．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．33．（2022·湖北随州）如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，连接EF ．如图2，将△AEF 绕点A 逆时针旋转角()090θθ<<︒，使EF AD ⊥，连接BE 并延长交DF 于点H ，则∠BHD 的度数为______，DH 的长为______．。

中考专题特殊平行四边形练习题（一）含参考答案第一部分选择题部分（一）1.(2019·呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为( )2.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF的度数为( )A.50°B.60°C.70°D.80°3.如图,在△ABC中,AB=AC.将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是 ( )A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形4.如图,在四边形ABCD中,E是AB上的一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,P,Q,M,N分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四边形MNPQ是 ( )A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定5.(2019·赤峰)如图,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是( )A.2.5B.3C.4D.56.如图,E是正方形ABCD的对角线AC上的一点,AF ⊥BE于点F,交BD于点G,则下列结论中,不成立的是( )A.AG=BEB.△ABG≌△BCEC.AE=DGD.∠AGD=∠DAG7.(2018·临沂)如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则下列说法:①若AC=BD,则四边形EFGH 为矩形;②若AC ⊥BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是 ( )A.1B.2C.3D.48.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,并且∠DAC=60°,∠ADB=15°,E是边AD上一动点,延长EO交BC于点F.当点E从点D向点A移动的过程中(点E与点D,A不重合),四边形AFCE的变化是( )A.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D.平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形9.如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12cm，EF=16cm,则边AD的长是 ( )A.12cmB.16cmC.20cmD.28cm10. (2019·绵阳)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,已知点O(0,0),A(4,0),∠AOC=60°,则对角线的交点E的坐标为 ( )二、填空题11.如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(4,0),(-1,0),点D在y轴上,则点C 的坐标是 .12.如图,在菱形ABCD中,AC交BD于点O,DE ⊥BC于点E,连接OE.若∠ABC=140°,则∠OED的度数为 .13.如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC的平分线与∠BAD的平分线相交于点G，∠EAD的平分线与∠ADF的平分线相交于点I，∠ABC的平分线与∠ADF的平分线相交于点H，则四边形AGHI的形状是 .14.如图是某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥ BC,AD=1500m.小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为 m.15.如图，有一张边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折后展开，设折痕为EF，再沿过点D的折痕将∠A翻折,使得点A落在EF上的点H处,折痕DG交AE于点G,则△HGD的面积为 .三、解答题16.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.求证:BD=EC.17.如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点E处,EC交AD于点F.(1)求证:△AEF≌△CDF;(2)若AB=4,BC=8,求图中涂色部分的面积.18.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交BC于点G,连接AG.(1)求证:△ABG≌△AFG;(2)求BG的长.19.如图,在矩形ABCD中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A停止,同时,点Q从点B出发向点C运动,运动到点C停止,点P,Q的速度都是1cm/s.连接PQ,AQ,CP.设点P,Q运动的时间为t s.(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形?(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形?(3)求(2)中菱形AQCP的周长和面积.20.(2019·通辽)如图①,P是正方形ABCD内的一点,连接CP,将线段CP绕点C按顺时针方向旋转90°,得到线段CQ,连接BP,DQ.(1)求证:△BCP≌△DCQ.(2)延长BP交直线DQ于点E.①如图②,求证:BE⊥DQ;②如图③，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由.中考专题 特殊平行四边形练习题（一）含参考答案（第一部分）一、1.C2.B3.B4.B5.A6.D7.A8.B9.C 10.D二、11.(-5,3) 12.20° 13.矩形三、16.∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=CD,AB ∥CD.又∵BE=AB,∴BE=CD,BE ∥CD.∴四边形BECD 是平行四边形.∴BD=EC17(1)∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB=CD,∠B=∠D=90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处, ∴∠E=∠B,AE=AB.∴AE=CD,∠E=∠D.在△AEF 和△CDF 中,∴△AEF ≌△CDF（2）∵四边形ABCD 是矩形,∴AD=BC=8,AB=CD=4.由折叠的特征,得CE=BC=8,AE=AB=CD=4. ∵△AEF ≌△CDF,∴AF=CF,EF=DF.在Rt △CDF 中,由 DF ²+CD ²=CF ²,得 DF 2+42=(8-DF)2. ∴DF=3.∴AF=AD-DF=5 S 涂色部分=21AF*CD=10 18（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠B=∠D=90°,AD=AB.由折叠的性质,可知DE=EF,AD=AF,∠AFE=∠D=90°, ∴∠AFG=90°=∠B,AB=AF.又∵AG=AG,∴△ABG ≌△AFG(2)∵△ABG ≌△AFG, ∴BG=FG.设BG=FG=x,则GC=6-x. ∵ E 为CD 的中点 ∴CE=DE=EF=3. ∴EG=x+3.在Rt △EGC 中,CE 2+CG 2=EG 2,∴32+(6-x)2=(x+3)2, 解得x=2.∴BG=219. 19（1）∵在矩形ABCD 中,AB=8cm,BC=16cm,∴BC=AD=16cm,AB=CD=8cm.由已知,得BQ=DP=t cm,AP=CQ=(16-t) cm.在矩形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC.当BQ=AP时,四边形ABQP为矩形,∴t=16-t,解得t=8.∴当t为8时,四边形ABQP是矩形（2）∵AP=CQ,AP∥CQ,∴四边形AQCP为平行四边形∴当AQ=CQ时,四边形AQCP为菱形，即 82+t2=(16-t)2, 解得t=6.∴当t为6时,四边形AQCP是菱形当t=6时,AQ=CQ=CP=AP=16-6=10(cm),∴菱形AQCP的周长为4×10=40(cm),面积为10×8=80(cm²)20(1) ∵线段CP绕点C按顺时针方向旋转90°至CQ,∴∠PCQ=90°,CP=CQ.∵四边形ABCD为正方形,∴BC=DC,∠BCD=90°.∴∠BCP=∠DCQ.∴△BCP≌△DCQ（2）①由(1),知△BCP≌△DCQ,∴∠CBP=∠CDQ.如图,设BE交CD于点M.∵∠BMC=∠EMD,∴易得∠DEM=∠BCM=90°.∴BE⊥DQ②△DEP为等腰直角三角形理由:∵△BCP≌△DCQ,△BCP为等边三角形,∴CP=CD,∠BPC=∠QDC=∠BCP=60°.∴∠PCD=∠BCD-∠BCP=90°-60°=30°∴∠CPD=∠CDP=75°.∴∠EPD=∠EDP=180° -60° -75° =45°.∴EP=ED,∠PED=90°.∴△DEP为等腰直角三角形.特殊平行四边形第二部分一、选择题1.(2019·无锡)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.内角和为360°B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直2.(2019·攀枝花)下列结论中，错误的是( )A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形3.(2019·贵阳)如图,菱形ABCD的周长是4cm,∠ABC=60°,那么这个菱形的对角线AC的长为( )A.1 cmB.2cmC.3cmD.4 cm4.(2018·宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥ AB,EI⊥ AD,FH⊥AB,FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中涂色部分的面积为( )A.15.(2018·大连)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=5,AC=6,则BD的长为( )A.8B.7C.4D.36.(2019·鄂尔多斯)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ABE，则∠BED的度数为( )A.15°B.35°C.45°D.55°7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=6cm,则AB的长为( )A.3cmB.6cmC.10cmD.12cm8.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,AF ⊥BC,垂足为F,∠ADE=30°,DF=4,则BF的长为( )A.4B.89.如图,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPB的度数为( )A.18°B.36°C.72°D.54°10.如图，在锐角三角形ABC中，延长BC到点D，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB,∠ACD 的平分线于E,F两点,连接AE,AF.下列结论:①OE=OF;②CE=CF;③若CE=12,CF=5,则OC的长为6;④当AO=CO时,四边形AECF是矩形.其中、正确的有 ( )A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(每小题3分，共15分)11.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.若∠E=50°,则∠BAO的度数为°.12.如图,E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60°,则四边形EFGH的面积为cm².13.如图,把菱形ABCD沿AH折叠,使点B落在BC上的点E处.若∠B=70°,则∠EDC的度数为 .14.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF 的长为 .15.(2018·扬州)如图,四边形OABC是矩形,点A的坐标为(8,0),点C的坐标为(0,4),把矩形OABC沿OB折叠,点C落在点D处,则点D的坐标为 .三、解答题(共55分)16.(10分)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥ BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.17.(10分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.18.(10分)(2019·宁波)如图,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD 上.(1)求证:BG=DE;(2)若E为AD的中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.19.(12分)如图,在▱ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,AE=CG,AH=CF,且EG平分∠HEF.(1)求证:△AEH≌△CGF;(2)若∠EFG=90°,求证:四边形EFGH是正方形.20.(13分)如图,将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠,使点C刚好落在线段AD上,且折痕分别与边BC,AD相交,设折叠后点C，D的对应点分别为G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB=3,BC=9,求线段CE长度的取值范围.第二部分参考答案一、1.C2.B3.A4.B5.A6.C7.A8.D9.C 10.C二、11.40 13.15°三、16.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.又∵AM⊥BE,∴∠BEO+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE.∴∠BEO=∠AFO.∴△BOE≌△AOF.∴OE=OF17 (1) ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF(2)∵四边形ABCD是矩形,,∴△AOB是等边三角形.∴OA=AB=6.∴AC=2OA=12.在Rt△ABC中,∴矩形ABCD的面积为18.(1)如图,连接EG.∵四边形EFGH是矩形,∴EG=FH,EH=FG,EH∥FG.∴∠GFH=∠EHF∴∠BFG=∠DHE.∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC.∴∠GBF=∠EDH.∴△BGF≌△DEH.∴BG=DE（2）∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BC,AD∥BC.∵E为AD的中点,∴AE=ED.∵BG=DE,∴AE=BG.又AE∥BG,∴四边形ABGE是平行四边形.∴AB=EG=FH=2.∴菱形ABCD的周长为2×4=819.(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.又∵AE=CG,AH=CF,∴△AEH≌△CGF（2）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD,∠B=∠D.∵AE=CG,AH=CF,∴BE=DG,DH=BF.∴△BEF≌△DGH.∴EF=GH.又∵△AEH≌△CGF,∴EH=GF.∴四边形EFGH为平行四边形.∴EH∥FG.∴∠HEG=∠FGE.∵EG平分∠HEF,∴∠HEG=∠FEG.∴∠FGE=∠FEG.∴GF=EF.∴四边形EFGH是菱形.又∵∠EFG=90°,∴四边形EFGH是正方形20.(1)四边形CEGF是菱形由折叠,知EF是CG的垂直平分线,∠CEF=∠GEF,∴FC=FG,EC=EG.又∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠GFE=∠CEF.∴∠GFE=∠GEF.∴GF=EG.∴EG=FG=FC=EC.∴四边形CEGF是菱形（2）如图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形,此时CE的长度最小,且CE=CD=AB=3. 如图②,当点G与点A重合时,CE的长度最大.设CE=x,则AE=CE=x,BE=9-x.在Rt△ABE中,∵AB2+BE2=AE2,∴32+(9-x)2=x2,解得x=5.∴CE=5.∴线段CE长度的取值范围是3≤CE≤5。

2014-2023北京中考真题数学汇编特殊的平行四边形上述结论中，所有正确结论的序号是（A．①②B．①③2．（2015北京中考真题）如图，公路的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（A．0.5km B．0.6km二、填空题3．（2021北京中考真题）如图，在矩形即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是4．（2019北京中考真题）在矩形重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．6．（2013北京中考真题）如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，则四边形ABOM 的周长为.三、证明题7．（2022北京中考真题）在ABC 中，90ACB ∠= ，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC =(1)如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥；(2)连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．8．（2022北京中考真题）如图，在ABCD Y 中，AC BD ，交于点O ，点E F ，在AC 上，AE CF =．(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形；(2)若,BAC DAC ∠=∠求证：四边形EBFD 是菱形．9．（2020北京中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF ⊥AB ，OG ∥EF ．（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若AD =10，EF =4，求OE 和BG 的长．10．（2015北京中考真题）在 ABCD BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5 11．（2018北京中考真题）如图，在正方形DE，点A关于直线DE的对称点为的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE13．（2017北京中考真题）如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD BC ∥，2AD BC =，90ABD Ð=°，E 为AD 的中点，连接BE ．(1)求证：四边形BCDE 为菱形；(2)连接AC ，若AC 平分BAD ∠，1BC =，求AC 的长．14．（2017北京中考真题）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S 矩形NFGD =S △ADC -（S △ANF +S △FGC ），S 矩形EBMF =S △ABC -（____________+____________）．易知，S △ADC =S △ABC ，_____________=______________，______________=_____________．可得S 矩形NFGD =S 矩形EBMF ．15．（2016北京中考真题）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AC=AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．（1）求证：BM=MN ；（2）∠BAD=60°，AC 平分∠BAD ，AC=2，求BN 的长．四、作图题16．（2020北京中考真题）在ABC 中，∠C=90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点．E 为直线上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，设,AE a BF b ==，求EF 的长（用含,a b 的式子表示）；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．17．（2014北京中考真题）在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE ，DE ，其中DE 交直线AP 于点F ．（1）依题意补全图1．（2）若20PAB ∠=︒，求ADF ∠的度数．（3）如图2，若4590PAB ︒<∠<∠︒，用等式表示线段AB ，FE ，FD 之间的数量关系，并证明．∴DF AC a b ==+，∵DF DE <，∴a b c +<，①正确，故符合要求；∵EAB BCD ≌△△，∴BE BD =，CD AB a ==，AE =∵90CBD CDB ∠+∠=︒，∴90∠+∠=︒CBD ABE ，EBD ∠=∴BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，22BE AB AE =+∵AB AE BE +>，∴22a b a b +>+，②正确，故符合要求；由勾股定理得222DE BD BE =+，即∴()2222c a b a b =⨯+<+，③正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．D【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．【详解】解：根据题意可得，AM =1.2∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC 设OA=x，OB=y，由题意得：51x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得：∴AC=2OA=6，BD=2OB∴菱形ABCD的面积=1 2故答案为12．【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．6．20【分析】先由5AB=，【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（17．（1）图形见解析（2）25°（【分析】（1）按照题意补全图形（2）连接AE，根据轴对称性和正方形的性质可得∠（3）连接AE、BF、BD，根据轴对称性和正方形的性质可得∠∠BFD=∠BAD=90°，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：（1）补全图形如图所示：（2）连接AE，。