苏教版中考数学压轴题：动点问题完整版

苏教版九年级上册数学 压轴解答题试题（WORD 版含答案）一、压轴题1．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长．（3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．2．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ．（1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ；②如图3，弦AB 与弦CD 不相交：③如图4，点B 与点C 重合．3．数学概念若点P 在ABC ∆的内部，且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等，则称P 是ABC ∆的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ABC ∆的“强等角点”. 理解概念（1）若点P 是ABC ∆的等角点，且100APB ∠=，则BPC ∠的度数是 .（2）已知点D 在ABC ∆的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足180BDC BAC ∠+∠<，作BCD ∆的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当BCD ∆的边满足下面的条件时，求证：P 是ABC ∆的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，DB DC =②如图②，BC BD =深入思考（3）如图③，在ABC ∆中，A ∠、B 、C ∠均小于120，用直尺和圆规作它的强等角点Q .（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）4．如图, AB 是⊙O 的直径,点D 、E 在⊙O 上,连接AE 、ED 、DA ,连接BD 并延长至点C ,使得DAC AED ∠=∠．（1）求证: AC 是⊙O 的切线；（2）若点E 是BC 的中点, AE 与BC 交于点F ，①求证: CA CF；②若⊙O的半径为3，BF=2,求AC的长．5．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1/cm s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2/cm s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于226cm？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．6．如图，已知矩形ABCD中，BC=2cm，AB=23cm，点E在边AB上，点F在边AD上，点E由A向B运动，连结EC、EF，在运动的过程中，始终保持EC⊥EF，△EFG为等边三角形．（1）求证△AEF∽△BCE；（2）设BE的长为xcm，AF的长为ycm，求y与x的函数关系式，并写出线段AF长的范围；（3）若点H是EG的中点，试说明A、E、H、F四点在同一个圆上，并求在点E由A到B 运动过程中，点H移动的距离．7．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，tan B＝34，OB＝8．（1）求OA、AB的长；（2）点Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD，QC．①当t为何值时，点Q与点D重合？②若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．8．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．9．（2015秋•惠山区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的⊙A的圆心与坐标原点O重合，线段BC的端点分别在x轴与y轴上，点B的坐标为（6，0），且sin∠OCB=．（1）若点Q 是线段BC 上一点，且点Q 的横坐标为m ．①求点Q 的纵坐标；（用含m 的代数式表示）②若点P 是⊙A 上一动点，求PQ 的最小值；（2）若点A 从原点O 出发，以1个单位/秒的速度沿折线OBC 运动，到点C 运动停止，⊙A 随着点A 的运动而移动．①点A 从O→B 的运动的过程中，若⊙A 与直线BC 相切，求t 的值；②在⊙A 整个运动过程中，当⊙A 与线段BC 有两个公共点时，直接写出t 满足的条件． 10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，连结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．（1）若ED ＝BE ，求∠F 的度数：（2）设线段OC ＝a ，求线段BE 和EF 的长（用含a 的代数式表示）；（3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长．11．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ，连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）.（2）求证：BF DF ⊥.（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明.12．如图，抛物线2)12(0y ax x c a =-+≠交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ．直线122y x =-经过点,B C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一动点，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于M ．设点P 的横坐标是t ．①当PCM ∆是直角三角形时，求点P 的坐标；②当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，求直线解析式y kx b =+（,k b 可用含t 的式子表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【解析】【分析】（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的性质得12AH BH AB ==，求得CD 、FD ； （2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定理得32QM AM x ==，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论； （3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当4273x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ．【详解】解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x =∴4AB x =∴在Rt ABQ △中，225BQ AQ AB x =+= ∵OD m ⊥，m l ⊥∴//OD l∵OB OQ =∴122AH BH AB x === ∴2CD x =∴332FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q∴3AP AQ x ==∵4PC =∴64CQ x =+过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：∵90BAQ ∠=︒∴//OM AB∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒∴点O 是BQ 的中点 ∴1322QM AM AQ x ===∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-=+ ∵1522OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形∴13x =，25x =-（不合题意，舍去）∴39AP x ==∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9．（3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF =①点P 在A 点的右侧时，如图：∴243x x +=∴4x =∴312AP x ==②点P 在A 点的左侧时I.当点C 在Q 右侧时i.当 407x <<时，如图：∵47DE x =-，3DF x =∴473x x -=∴25x =∴635AP x x ==ii.当4273x ≤<时，如图：∵74DE x =-，3DF x =∴743x x -=∴1x =（不合题意，舍去）II. 当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，如图：∵74DE x =-，3DF x =∴743x x -=∴1x =∴33AP x ==∴综上所述，当12AP =或65AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形． 故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【点睛】本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题．2．（1）60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．【解析】【分析】（1）根据AD BD ⊥得到AB 是直径，连接OC 、OD ，发现等边三角形，再根据圆周角定理求得30EBD ∠=︒，再进一步求得E ∠的度数；（2）分别画出三种图形，图2中，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可以求得；图3中，根据三角形的外角的性质和圆周角定理可以求得；图4中，根据切线的性质发现直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得．【详解】 解：（1）连接OC 、OD ，如图：∵AD BD ⊥∴AB 是直径∴1OC OD CD ===∴OCD 是等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DBE ∠=︒∴60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OD 、OC 、AC ，如图：∵1OD OC CD ===∴OCD 为等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DAC ∠=︒∴30EBD ∠=︒∵90ADB ∠=︒∴903060E ∠=︒-︒=︒②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OC 、OD ，如图：∵AD BD ⊥∴AB 是直径∴1OC OD CD ===∴OCD 是等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DBE ∠=︒∴903060BED ∠=︒-︒=︒③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：如图：∵当点B 与点C 重合时，则直线BE 与O 只有一个公共点 ∴EB 恰为O 的切线∴90ABE ∠=︒∵90ADB ∠=︒，1CD =，2AD =∴30A ∠=︒∴60E ∠=︒．故答案是：（1）60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、圆内接四边形的性质．此题主要是能够根据圆周角定理的推论发现AB 是直径，进一步发现等边COD △，从而根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质求解．3．（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤【解析】【分析】（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．【详解】（1）（i ）若APB ∠=BPC ∠时，∴BPC ∠=APB ∠=100°（ii ）若BPC CPA ∠=∠时， ∴12BPC CPA ∠=∠=（360°－APB ∠）=130°； （iii ）若APB ∠=CPA ∠时，BPC ∠=360°－APB ∠－CPA ∠=160°， 综上所述：BPC ∠=100°、130°或160°故答案为：100、130或160．（2）选择①：连接,PB PC∵DB DC =∴=DB DC∴BPD CPD ∠=∠∵180APB BPD ∠+∠=，180APC CPD ∠+∠=∴APB APC ∠=∠∴P 是ABC ∆的等角点．选择②连接,PB PC∵BC BD =∴BC BD =∴BDC BPD ∠=∠∵四边形PBDC 是圆O 的内接四边形，∴180BDC BPC ∠+∠=∵180BPD APB ∠+∠=∴BPC APB∠=∠∴P是ABC∆的等角点（3）作BC的中垂线MN，以C为圆心，BC的长为半径作弧交MN与点D，连接BD，根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC∴△BCD为等边三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分线交MN于点O以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆∴∠BQC=180°－∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=12（360°－∠BQC）=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如图③，点Q即为所求．（4）③⑤．①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心假设∠BAC=60°，∠ACB=30°∵点O是△ABC的内心∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=12∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=12∠ACB=15°∴∠AOC=180°－∠CAO －∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO －∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO －∠BCO=120°显然∠AOC ≠∠AOB ≠∠BOC ，故①错误；②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误； ③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；④由（3）可知，点Q 为△ABC 的强等角，但Q 不在BC 的中垂线上，故QB ≠QC ，故④错误；⑤由（3）可知，当ABC ∆的三个内角都小于120时，ABC ∆必存在强等角点Q ． 如图④，在三个内角都小于120的ABC ∆内任取一点'Q ，连接'Q A 、'Q B 、'Q C ，将'Q AC ∆绕点A 逆时针旋转60到MAD ∆，连接'Q M ，∵由旋转得'Q A MA =，'Q C MD =，'60Q AM ∠=∴'AQ M ∆是等边三角形．∴''Q M Q A =∴'''''Q A Q B Q C Q M Q B MD ++=++∵B 、D 是定点，∴当B 、'Q 、M 、D 四点共线时，''Q M Q B MD ++最小，即'''Q A Q B Q C ++最小．而当'Q 为ABC ∆的强等角点时，'''120AQ B BQ C CQ A AMD ∠=∠=∠==∠， 此时便能保证B 、'Q 、M 、D 四点共线，进而使'''Q A Q B Q C ++最小．故答案为：③⑤．【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形综合大题，掌握“等角点”和“强等角点”的定义、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形中心角公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．4．（1）详见解析；（2）①详见解析；②8【解析】【分析】（1）先得到90ADB ∠=︒，利用圆周角定理得到DBA DAC ∠=∠，即可证明AC 是切线；（2）①利用等弧所对的圆周角相等，得到BAE DAE ∠=∠，然后得到CFA CAF ∠=∠，即可得到结论成立；②设AC CF x ==，利用勾股定理，即可求出AC 的长度.【详解】（1）证明： ∵AB 是⊙O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴90DBA DAB ∠+∠=︒，∵DEA DBA ∠=∠,DAC DEA ∠=∠，∴DBA DAC ∠=∠，∴90DAC DAB ∠+∠=︒，∴90CAB ∠=︒，∴AC 是⊙O 的切线；（2）① ∵点E 是弧BD 的中点，∴BAE DAE ∠=∠，∵CFA DBA BAE ∠=∠+∠，CAF CAD DAE ∠=∠+∠，∴CFA CAF ∠=∠∴CA CF =；② 设CA CF x ==，在Rt ABC ∆中，2BC x =+，CA x =，6AB =，由勾股定理可得222(2)6x x +=+，解得：8x =，∴8AC =.【点睛】本题考查了切线的判定，等角对等边，以及勾股定理，要证直线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．5．（1）BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -；（2）当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由见解析.【解析】【分析】（1）根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，可以求得BQ ,PB .（2）用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值，运用勾股定理求得PQ 为22(5)(2)t t -+＝25据此求出t 值.（3）根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在，利用长方形ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可，有PBQ △的面积为4，由此求得t 值.【详解】解：（1）点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，故BQ 为2tcm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，AB ＝5cm ，故PB 为()5t cm -.（2）由题意得：22(5)(2)t t -+＝25，解得：1t ＝0，2t ＝2；当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由如下：长方形ABCD 的面积是：56⨯＝()230cm ，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ，则PBQ △的面积为3026-＝()24cm ，()15242t t -⨯⨯=， 解得：1t ＝4（不合题意舍去），2t ＝1．即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．【点睛】本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t 的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t 值.6．（1）详见解析；（2）21y 2x =-,302AF ≤≤；(3)3. 【解析】【分析】（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得AF AEBE BC =，2y x x =，即212y x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，602AH sin AB =︒=，可进一步求AH. 【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°，∴∠AEF +∠AFE =90°，∵EF ⊥CE ，∴∠AEF +∠BEC =90°，∴∠AFE =∠BEC ，∴△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BEC 得AF AE BE BC =，232y x x -=， ∴2132y x x =-+， ∵2132y x x =-+=213(3)22x --+， 当3x =时，y 有最大值为32， ∴302AF ≤≤； （3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ，在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点，∴∠EHF =90°，∴ME =MF =MH ，在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ，∴MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；如图2，连接AH ，∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30°∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°，如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，3602AH sin AB =︒=， ∵AB =23∴AH =3， 所以点H 移动的距离为3．【点睛】此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．7．（1）OA ＝6，AB ＝10；（2）3011；（3）0<t≤1813或3011<t≤5． 【解析】（1）在Rt △AOB 中，tan B ＝34，OB ＝8，即可求解； （2）利用△ACD ∽△ABO 、AD +OQ ＝OA ，即可求解； （3）分QC 与圆P 相切、QC ⊥OA 两种情况，求解即可．【详解】解：（1）在Rt △AOB 中，tan B ＝34，OB ＝8， ∴34OA OB = ，∴OA ＝6，则AB ＝10； （2）OP ＝AP ﹣t ，AC ＝2t ，∵AC 是圆直径，∴∠CDA ＝90°，∴CD ∥OB ，∴△ACD ∽△ABO ，∴AC AD AB AO = ，即： 2,106t AD = ∴AD ＝65t ， 当Q 与D 重合时，AD +OQ ＝OA ， ∴66,5t t += 30.11t ∴= （3）当QC 与圆P 相切时，∠QAC ＝90°，∵OQ ＝AP ＝t ，∴AQ ＝6﹣t ，AC ＝2t ，∵∠A ＝∠A ，∠QCA ＝∠ABO ，∴△AQC ∽△ABO ，∴,AQ AC AB AO = 即：62106t t -= ，18.13t ∴= ∴当18013t <≤时，圆P 与QC 只有一个交点， 当QC ⊥OA 时，D 、Q 重合，由（1）知： 30.11t =∴30511t <≤时，圆P 与线段QC 只有一个交点， 故：当圆P 与线段只有一个交点，t 的取值范围为：18013t <≤或30511t <≤. 【点睛】本题为圆的综合题，涉及到圆与直线的关系、三角形相似等知识点，（3）是本题的难点，要注意分析QC 和圆及线段的位置关系分类求解．8．（1）见解析；（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，见解析；（3）AH ﹣1+1．【分析】（1）在AC上截取AG＝BC，连接FA，FG，FB，FC，证明△FAG≌△FBC，根据全等三角形的性质得到FG＝FC，根据等腰三角形的性质得到EG＝EC，即可证明.（2）在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，证明△FCG≌△FCB，根据全等三角形的性质得到FG＝FB，得到FA＝FG，根据等腰三角形的性质得到AE＝GE，即可证明.（3）分点P在弦AB上方和点P在弦AB下方两种情况进行讨论.【详解】解：（1）如图2，在AC上截取AG＝BC，连接FA，FG，FB，FC，∵点F是AFB的中点，FA＝FB，在△FAG和△FBC中，,FA FBFAG FBCAG BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAG≌△FBC（SAS），∴FG＝FC，∵FE⊥AC，∴EG＝EC，∴AE＝AG+EG＝BC+CE；（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE，理由：如图3，在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，∵点F是AFB的中点，∴FA＝FB，FA FB=,∴∠FCG＝∠FCB，在△FCG和△FCB中，,CG CBFCG FCBFC FC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCG≌△FCB（SAS），∴FG＝FB，∴FA＝FG，∵FE⊥AC，∴AE＝GE，∴CE＝CG+GE＝BC+AE；（3）在Rt△ABC中，AB＝2OA＝4，∠BAC＝30°，∴12232BC AB AC===，，当点P在弦AB上方时，如图4，在CA上截取CG＝CB，连接PA，PB，PG，∵∠ACB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵∠PAB＝45°，∴∠PBA＝45°＝∠PAB，∴PA＝PB，∠PCG＝∠PCB，在△PCG和△PCB中，,CG CBPCG PCBPC PC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCG≌△PCB（SAS），∴PG＝PB，∴PA＝PG，∵PH ⊥AC ， ∴AH ＝GH ，∴AC ＝AH+GH+CG ＝2AH+BC ， ∴2322AH =+， ∴31AH =-，当点P 在弦AB 下方时，如图5， 在AC 上截取AG ＝BC ，连接PA ，PB ，PC ，PG∵∠ACB ＝90°，∴AB 为⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∵∠PAB ＝45°，∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ，∴PA ＝PB ，在△PAG 和△PBC 中，,AG BC PAG PBC PA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PAG ≌△PBC （SAS ），∴PG ＝PC ，∵PH ⊥AC ，∴CH ＝GH ，∴AC ＝AG+GH+CH ＝BC+2CH ，∴2322CH ，=+ ∴31CH =-，∴()233131AH AC CH =-=--=+， 即：当∠PAB ＝45°时，AH 的长为31- 或3 1.+【点睛】考查弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，注意分类讨论思想方法在解题中的应用.9．（1）①﹣m+8；②PQ 最小=OQ 最小﹣1=3.8；（2）①t=时，⊙A 与直线BC 相切；②＜t≤5或7≤t≤15时，⊙A与线段BC有两个公共点．【解析】试题分析：（1）①根据正切的概念求出BC=10，OC=8，运用待定系数法求出直线BC的解析式，根据函数图象上点的坐标特征解得即可；②作OQ⊥AB交⊙A于P，则此时PQ最小，根据三角形面积公式计算即可；（2）①根据切线的性质和相似三角形的性质计算即可；②结合图形、运用直线与圆的位置关系定理解答．解：（1）①∵点B的坐标为（6，0），tan∠OCB=，∴BC=10，OC=8，设直线BC的解析式为y=kx+b，，解得，∵点Q的横坐标为m，∴点Q的纵坐标为﹣m+8；②如图1，作OQ⊥AB交⊙A于P，则此时PQ最小，×AB×OQ=×BO×CO，解得，OQ=4.8，∴PQ最小=OQ最小﹣1=3.8；（2）①如图2，⊙A与直线BC相切于H，则AH⊥BC，又∠BOC=90°，∴△BHA∽△BOC，∴=，即=，解得，BA=，则OA=6﹣=，∴t=时，⊙A与直线BC相切；②由（2）①得，t=时，⊙A与直线BC相切，当t=5时，⊙A经过点B，当t=7时，⊙A经过点B，当t=15时，⊙A经过点C，故＜t≤5或7≤t≤15时，⊙A与线段BC有两个公共点．考点：圆的综合题．10．（1）30°；（2）EF=；（3）CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．【解析】试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；（2）首先证明△HBO≌△COD（AAS），进而利用△COD∽△CBF，得出比例式求出EF的长；（3）分别利用①当PB=PE，不合题意舍去；②当BE=EP，③当BE=BP，求出即可．试题解析：（1）如图1，连接EO，∵∴∠BOE=∠EOD，∵DO∥BF，∴∠DOE=∠BEO，∵BO=EO，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，∵CF⊥AB，∴∠FCB=90°，∴∠F=30°；（2）如图1，作HO⊥BE，垂足为H，∵在△HBO和△COD中，∴△HBO≌△COD（AAS），∴CO=BH=a，∴BE=2a，∵DO∥BF，∴△COD∽△CBF，∴∴，∴EF=；（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，∴∠COD=∠DOE，∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，若△PEB为等腰三角形，设CO=x，∴OP=OC=x，则PE=EO-OP=4-x，由（2）得：BE=2x，①当PB=PE，不合题意舍去；②当BE=EP，2x=4-x，解得：x=，③当BE=BP，作BM⊥EO，垂足为M，∴EM=PE=，∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，∴△BEM∽△DOC，∴，∴，整理得：x2+x-4=0，解得：x=（负数舍去），综上所述：当CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．考点：圆的综合题．11．（1）45°+α；（2）证明见解析；（3）2BF+CF.【解析】【分析】（1）过点A作AG⊥DF于G，由轴对称性质和正方形的性质可得AE=AD，∠BAP=∠EAF，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠EAG=∠DAG，即可得∠FAG=12∠BAD=45°，∠DAG+∠BAP=45°，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案；（2）由（1）可得∠FAG=12∠BAD=45°，由AG⊥PD可得∠APG=45°，根据轴对称的性质可得∠BPA=∠APG=45°，可得∠BFD=90°，即可证明BF⊥DF；（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，由∠BFD=∠BCD=90°可得B、F、C、D四点共圆，根据圆周角定理可得∠FBC=∠FDC，∠DFC=∠DBC=45°，根据平行线的性质可得∠FDC=∠DCH，根据角的和差关系可得∠ABF=∠BCH，由轴对称性质可得BF=EF，可得△BEF是等腰直角三角形，即可得∠BEF=45°，2BF，即可证明∠BEF=∠DFC，可得BH//FC，即可证明四边形EFCH是平行四边形，可得EH=FC，EF=CH，利用等量代换可得CH=BF，利用SAS可证明△ABF≌△BCH，可得AF=BH，即可得AF、BF、CF的数量关系.【详解】（1）过点A作AG⊥DF于G，∵点B关于直线AF的对称点为E，四边形ABCD是正方形，∴AE=AB，AB=AD=DC=BC，∠BAF=∠EAF，∴AE=AD，∵AG⊥FD，∴∠EAG=∠DAG，∴∠BAF+∠DAG=∠EAF+∠EAG，∵∠BAF+∠DAG+∠EAF+∠EAG=∠BAD=90°，∴∠BAF+∠DAG=∠GAF=45°，∴∠DAG=45°-α，∴∠ADF=90°-∠DAG=45°+α.（2）由（1）得∠GAF=45°，∵AG⊥FD，∴∠AFG=45°，∵点E、B关于直线AF对称，∴∠AFB=∠AFE=45°，∴∠BFG=90°，∴BF⊥DF.（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，∵∠BFD=∠BCD=90°，∴B、F、C、D四点共圆，∴∠FDC=∠FBC，∠DFC=∠DBC=45°，∵CH//FD，∴∠DCH=∠FDC，∴∠FBC=∠DCH，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠ABC+∠FBC=∠BCD+∠DCH，即∠ABF=∠BCH，∵点E、B关于直线AF对称，∴BF=EF，∵∠BFE=90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BEF=45°，2BF，∴∠BEF=∠DFC，∴FC//BH，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=FC，CH=BF，在△ABF和△BCH中，AB BCABF BCH BF CH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴2BF+CF.【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、圆周角定理、四点共圆的判定及全等三角形的判定与性质，正确得出B 、F 、C 、D 四点共圆并熟练掌握圆周角定理及轴对称的性质是解题关键.12．（1）211242y x x =--；（2）①P (2，−2)或(-6，10)，②1122y x =-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++ 【解析】【分析】（1）利用一次函数与坐标轴交点的特征可求出点B ，C 的坐标，根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；（2）①由PM ⊥x 轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑： （i ）当∠MPC=90°时，PC //x 轴，利用二次函数可求出点P 的坐标；（ii ）当∠PCM=90°时，设PC 与x 轴交于点D ，易证△BOC ∽△COD ，利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标，根据点C ，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线PC 的解析式，联立直线PC 和抛物线的解析式，通过解方程组可求出点P 的坐标；②在ACM 中，如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等，则该直线应为ACM 的中位线，分开求解三条中位线方程即可求解．【详解】解：（1）因为直线交抛物线于B 、C 两点，∴当x =0时，y =12x −2=−2， ∴点C 的坐标为(0，−2)；当y =0时，12x −2=0， 解得：x =4，∴点B 的坐标为(4，0)．将B 、C 的坐标分别代入抛物线，得：2144022a c c ⎧⨯-⨯+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：142a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为211242y x x =--． （2）①∵PM ⊥x 轴，M 在直线BC 上， ∴∠PMC 为固定角且不等于90，∴可分两种情况考虑，如图1所示：（i ）当∠MPC=90时，PC //x 轴，∴点P 的纵坐标为﹣2，将y p =-2，代入抛物线方程可得：2112242x x --=-解得： x 1=2，x 2=0（为C 点坐标，故舍去），∴点P 的坐标为(2，−2)；（ii ）当∠PCM=90°时，设PC 与x 轴交于点D ， ∵∠OBC+∠OCB=90°，∠OCB+∠OCD=90°，∴∠OBC=∠OCD ，又∵∠BOC=∠COD=90°，∴BOC ∽COD （AAA ），∴OD OC OC OB =，即OD=2OC OB， 由（1）知，OC=2，OB=4，∴OD=1，又∵D 点在X 的负半轴∴点D 的坐标为(-1，0)，设直线PC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 是常数)，将C(0，−2)，D(-1，0)代入直线PC 的解析式，得：20b k b =-⎧⎨-+=⎩，解得：22k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线PC 的解析式为y =-2x −2，联立直线PC 和抛物线方程，得：22122142x x x -=---， 解得：x 1=0，y 1=−2，x 2=-6，y 2=10，点P 的坐标为(-6，10)，综上所述：当PCM 是直角三角形时，点P 的坐标为(2，−2)或(-6，10)；②如图2所示，在ACM 中，如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等，则该直线应为ACM 的中位线；（a ）当以CM 为底时，过A 点做CM 的平行线AN ，直线AN 平行于CM 且过点A ，则斜率为12，AN 的方程为：1(+2)2y x =，则中位线方程式为：1122y x =-； （b ）当以AM 为底时，因为M 为P 点做x 轴垂线与CB 的交点，则M 的横坐标为t ，且在直线BC 上，则M 的坐标为：1,22M t t -（），其中4t >，则AM 的方程为：44+242t t y x t t --=++，过C 点做AM 的平行线CQ ，则CQ 的方程为：4224t y x t -=-+ ，则中位线方程式为：4412424t t y x t t --=+-++； （c ）当以AC 为底时，AC 的方程式为：2y x =--，由b 可知M 的坐标为：1,22M t t -（），过M 做AC 的平行线MR ，则MR 的方程为：322y x t =-+-，则中位线方程式为：324y x t =-+-； 综上所述：当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，直线解析式为：1122y x =-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++． 【点睛】本题考查了一次函数坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质等，解题的关键是掌握三角形的顶点到中位线的距离相等．。

初二数学期中复习专题一：动点问题3、动点中的旋转问题1、如图，在等边△ABC 中，AC＝9，点O 在AC 上，且AO＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是．2、如图所示：一副三角板如图放置，等腰直角三角板ABC 固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D 处，且可以绕点D 旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H 始终在边AB、BC 上．（1）在旋转过程中线段BG 和CH 大小有何关系？证明你的结论．（2）若AB＝BC＝4cm，在旋转过程中四边形GBHD 的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．（3）若交点G、H 分别在边AB、BC 的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论．3、如图1，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A、C 分别在DG 和DE 上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2 证明你的结论；②若BC＝DE＝4，当AE 取最大值时，求AF 的值．4、点的移动问题4、如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B、P 在直线a 的异侧，BM⊥直线a 于点M，CN⊥直线a 于点N，连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM＝PN；（2）若直线a 绕点A 旋转到图3 的位置时，点B、P 在直线a 的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．5、在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D 从点B 出发沿射线BC 移动，以AD 为边在AB 的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．（1）如图1，若点D 在BC 边上，则∠BCE＝°；（2）如图2，若点D 在BC 的延长线上运动．①∠BCE 的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE 的面积为．6、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．7、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为1 米，∠B＝90°，BC＝4 米，AC＝8 米，当正方形DEFH 运动到什么位置时，即当AE＝米时，有DC2＝AE2+BC2．8、【新知学习】如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”．【简单运用】（1）下列三个三角形，是智慧三角形的是（填序号）；（2）如图1，已知等边三角形ABC，请用刻度尺在该三角形边上找出所有满足条件的点D，使△ABD 为“智慧三角形”，并写出作法；【深入探究】（3）如图2，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF＝CD，试判断△AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；【灵活应用】（4）如图3，等边三角形ABC 边长5cm．若动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿△ABC 的边AB ﹣BC﹣CA 运动．若另一动点Q 以2cm/s 的速度从点B 出发，沿边BC﹣CA﹣AB 运动，两点同时出发，当点Q首次回到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t（s），那么t为．（s）时，△PBQ为“智慧三角形”．动点问题压轴题1、【解答】解：∵∠A+∠APO＝∠POD+∠COD，∠A＝∠POD＝60°，∴∠APO＝∠COD，在△APO 和△COD 中，，∴△APO≌△COD（AAS），即AP＝CO，∵CO＝AC﹣AO＝6，∴AP＝6．故答案为6．2、【解答】解：（1）BG和CH为相等关系，如图1，连接BD，∵等腰直角三角形ABC，D 为AC 的中点，∴DB＝DC＝DA，∠A＝∠DBH＝45°，BD⊥AC，∵∠EDF＝90°，∴∠ADG+∠GDB＝90°，∴∠BDG+∠BDH＝90°，∴∠ADG＝∠HDB，∴在△ADG 和△BDH 中，，∴△ADG≌△BDH（ASA），∴AG＝BH，∵AB＝BC，∴BG ＝HC ，（2） ∵等腰直角三角形 ABC ，D 为 AC 的中点，∴DB ＝DC ＝DA ，∠DBG ＝∠DCH ＝45°，BD ⊥AC ，∵∠GDH ＝90°，∴∠GDB +∠BDH ＝90°，∴∠CDH +∠BDH ＝90°，∴∠BDG ＝∠HDC ，∴在△BDG 和△CDH 中，，∵△BDG ≌△CDH （ASA ），∴S 四边形 DGBH ＝S △BDH +S △GDB ＝S △ABD ，∵DA ＝DC ＝DB ，BD ⊥AC ，∴S △ABD ＝ S △ABC ，∴S 四边形 DGBH ＝S △ABC ＝4cm 2，∴在旋转过程中四边形 GBHD 的面积不变，（3） 当三角板 DEF 旋转至图 2 所示时，（1）的结论仍然成立，如图 2，连接 BD ，∵BD ⊥AC ，AB ⊥BH ，ED ⊥DF ，∴∠BDG ＝90°﹣∠CDG ，∠CDH ＝90°﹣∠CDG ，∴∠BDG ＝∠CDH ，∵等腰直角三角形 ABC ，∴∠DBC ＝∠BCD ＝45°，∴∠DBG ＝∠DCH ＝135°，∴在△DBG 和△DCH 中，，∴△DBG ≌△DCH （ASA ），∴BG ＝CH ．3、.【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG 就可以得出结论；（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG 就可以得出结论；②由①可知BG＝AE，当BG 取得最大值时，AE 取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．【解答】解：（1）BG＝AE．理由：如图1，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D 是BC 的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵四边形DEFG 是正方形，∴DE＝DG．在△BDG 和△ADE 中，，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG＝AE．故答案为：BG＝AE；（2）①成立BG＝AE．理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC 中，D 为斜边BC 中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB＝90°．∵四边形EFGD 为正方形，∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，∴∠ADG+∠ADE＝90°，∴∠BDG＝∠ADE．在△BDG 和△ADE 中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG＝AE；②∵BG＝AE，∴当BG 取得最大值时，AE 取得最大值．如图3，当旋转角为270°时，BG ＝AE．∵BC＝DE＝4，∴BG＝2+4＝6．∴AE＝6．在Rt△AEF 中，由勾股定理，得AF＝＝，∴AF＝2 ．4、【解答】证明：（1）①如图2：∵BM⊥直线a 于点M，CN⊥直线a 于点N，∴∠BMA＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，又∵P 为BC 边中点，∴BP＝CP，在△BPM 和△CPE 中，，∴△BPM≌△CPE，（ASA）②∵△BPM≌△CPE，∴PM＝PE∴PM＝ME，∴在Rt△MNE 中，PN＝ME，∴PM＝PN；（2）成立，如图3．延长MP 与NC 的延长线相交于点E，∵BM⊥直线 a 于点M，CN⊥直线a 于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，又∵P 为BC 中点，∴BP＝CP，在△BPM 和△CPE 中，，∴△BPM≌△CPE，（ASA）∴PM＝PE，∴PM＝ME，则Rt△MNE 中，PN＝ME，∴PM＝PN．5、【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰Rt△，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．在△ACE 和△ABD 中，，∴△ACE≌△ABD（SAS）；∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°；故答案为：90；（2）①不发生变化．∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，在△ACE 和△ABD 中∴△ACE≌△ABD（SAS）∴∠ACE＝∠ABD＝45°∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°∴∠BCE 的度数不变，为90°；② 11746、【解答】解：（1）90°．理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD 与△ACE 中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，∴∠BCE＝∠B+∠ACB，又∵∠BAC＝90°∴∠BCE＝90°；（2）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD 与△ACE 中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°；②当点D 在射线BC 上时，α+β＝180°；理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵在△ABD 和△ACE 中∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°，∴α+β＝180°；当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α＝β．理由：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∵在△ADB 和△AEC 中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE，即α＝β．7、【解答】解：如图，连接CD，假设AE＝x，可得EC＝8﹣x．∵正方形DEFH 的边长为1 米，即DE＝1 米，∴DC2＝DE2+EC2＝1+（8﹣x）2，AE2+BC2＝x2+16，∵DC2＝AE2+BC2，∴1+（8﹣x）2＝x2+16，解得：x＝，所以，当AE＝米时，有DC2＝AE2+BC2．故答案是：．8、【解答】解：（1）因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，所以①是“智慧三角形”．故答案为①（2）用刻度尺分别量取AC、BC 的中点D、D′．点D、D′即为所求．（3）结论：△AEF 是“智慧三角形“．理由如下：如图，设正方形的边长为4a∵E 是BC 的中点∴BE＝EC＝2a，∵CF＝CD∴FC＝a，DF＝4a﹣a＝3a，在Rt△ABE 中，AE2＝（4a）2+（2a）2＝20a2在Rt△ECF 中，EF2＝（2a）2+a2＝5a2在Rt△ADF 中，AF2＝（4a）2+（3a）2＝25a2∴AE2+EF2＝AF2∴△AEF 是直角三角形，∠AEF＝90°∵直角三角形斜边AF 上的中线等于AF 的一半∴△AEF为“智慧三角形”．（4）如图3 中，①当点P 在线段AB 上，点Q 在线段BC 上时，若∠PQB＝90°，则BP＝2BQ，∴5﹣t＝4t，解得t＝1．若∠BPQ＝90°，则BQ＝2PB，∴2t＝2（5﹣t）∴t＝．②当点Q在线段AC上时，不存在“智慧三角形”．③当点P 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上时，若∠PQB＝90°，则BP＝2BQ，∴t﹣5＝2（15﹣2t），∴t＝7，若∠QPB＝90°，则BQ＝2PB，∴15﹣2t＝2（t﹣5），∴t＝，综上所述，满足条件的t 的值为1 或或或7．故答案为1 或或或7．。

初中数学动点问题及练习题附参考答案专题一：建立动点问题的函数解析式函数提醒了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于*一个点或*图形的有条件地运动变化,引起未知量与量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.则,我们怎样建立这种函数解析式呢"下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。

二、应用比例式建立函数解析式。

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。

专题二：动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

〕动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、以动态几何为主线的压轴题。

〔一〕点动问题。

〔二〕线动问题。

〔三〕面动问题。

二、解决动态几何问题的常见方法有:1、特殊探路，一般推证。

2、动手实践，操作确认。

3、建立联系，计算说明。

三、专题二总结，本大类习题的共性：1．代数、几何的高度综合〔数形结合〕；着力于数学本质及核心容的考察;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数．2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。

专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考察学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.1 以双动点为载体，探求函数图象问题。

中考专题训练 动点问题例1. 如图， 在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =． 点P 从点B 出发， 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动， 与此同时， 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发， 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移， 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时， 点P 与直线m 同时停止运动， 设运动时间为t 秒(0)t >．（1） 当2t =时， 连接DE 、DF ，求证： 四边形AEDF 为菱形；（2） 在整个运动过程中， 所形成的PEF ∆的面积存在最大值， 当PEF ∆的面积最大时， 求线段BP 的长；（3） 是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在， 请求出此时刻t 的值；若不存在， 请说明理由 ．【解答】（1） 证明： 当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点， 如答图 1 所示 ． 又EF AD ⊥ ，EF ∴为AD 的垂直平分线，AE DE ∴=，AF DF =．AB AC = ，AD BC ⊥于点D ，AD BC ∴⊥，B C ∠=∠．//EF BC ∴，AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=，AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形 ．（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽， ∴EF AH BC AD =，即82108EF t -=，解得：5102EF t =-． 221155510(10)210(2)10(0)222223PEF S EF DH t t t t t t ∆==-=-+=--+<< ， ∴当2t =秒时，PEF S ∆存在最大值， 最大值为210cm ，此时36BP t cm ==．（3） 解： 存在 ． 理由如下：①若点E 为直角顶点， 如答图 3①所示，此时//PE AD ，2PE DH t ==，3BP t =．//PE AD ，∴PE BP AD BD =，即2385t t =，此比例式不成立， 故此种情形不存在； ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示，此时//PF AD ，2PF DH t ==，3BP t =，103CP t =-．//PF AD ，∴PF CP AD CD =，即210385t t -=，解得4017t =；③若点P 为直角顶点，如答图③所示 ．过点E 作EM BC ⊥于点M ，过点F 作FN BC ⊥于点N ，则2EM FN DH t ===，////EM FN AD ．//EM AD ，∴EM BM AD BD =，即285t BM =，解得54BM t =， 57344PM BP BM t t t ∴=-=-=． 在Rt EMP ∆中， 由勾股定理得：2222227113(2)()416PE EM PM t t t =+=+=． //FN AD ，∴FN CN AD CD =，即285t CN =，解得54CN t =， 5171031044PN BC BP CN t t t ∴=--=--=-． 在Rt FNP ∆中， 由勾股定理得：22222217353(2)(10)85100416PF FN PN t t t t =+=+-=-+． 在Rt PEF ∆中， 由勾股定理得：222EF PE PF =+， 即：2225113353(10)()(85100)21616t t t t -=+-+ 化简得：21833508t t -=， 解得：280183t =或0t =（舍 去） 280183t ∴=． 综上所述， 当4017t =秒或280183t =秒时，PEF ∆为直角三角形 ．例2. 如图， 在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板Rt ABC ∆和Rt ADC ∆拼在一起，使斜边AC 完全重合， 且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，90ABC ADC ∠=∠=︒，30CAD ∠=︒，4AB BC cm ==（1） 填空：AD =　)cm ，DC = ()cm（2） 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发， 且分别在AD ，CB 上沿A D →，C B →方向运动， 当N 点运动到B 点时，M 、N 两点同时停止运动， 连接MN ，求当M 、N 点运动了x 秒时， 点N 到AD 的距离 （用 含x 的式子表示）（3） 在 （2） 的条件下， 取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设PMN ∆的面积为2()y cm ，在整个运动过程中，PMN ∆的面积y 存在最大值， 请求出y 的最大值 ．（参考数据sin 75︒=sin15︒=【解答】解： （1）90ABC ∠=︒ ，4AB BC cm ==，AC ∴===，90ADC ∠=︒ ，30CAD ∠=︒，12DC AC ∴==，AD ∴==；故答案为：，；（2） 过点N 作NE AD ⊥于E ，作NF DC ⊥，交DC 的延长线于F ，如图所示：则NE DF =，90ABC ADC ∠=∠=︒ ，AB BC =，30CAD ∠=︒，45ACB ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，180456075NCF ∴∠=︒-︒-︒=︒，15FNC ∠=︒，sinFC FNCNC ∠=，NC x=，FC x∴=，NE DF x∴==+，∴点N到ADx+；（3）sinFN NCFNC ∠=，FN x∴=，P为DC的中点，PD CP∴==PF x∴=PMN∴∆的面积y=梯形MDFN的面积PMD-∆的面积PNF-∆的面积111)) 222x x x x=+-+--+2x x=+，即y是x的二次函数，0<，y∴有最大值，当x==时，y=．例3. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，2BC =，边BC 在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO BD ⊥，垂足为O ，连接OA 、OP ．（1） 请直接写出线段BC 在平移过程中， 四边形APQD 是什么四边形？（2） 请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系， 并加以证明；（3） 在平移变换过程中， 设OPB y S ∆=，(02)BP x x =……，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值 ．【解答】（1） 四边形APQD 为平行四边形；（2）OA OP =，OA OP ⊥，理由如下：四边形ABCD 是正方形，AB BC PQ ∴==，45ABO OBQ ∠=∠=︒，OQ BD ⊥ ，45PQO ∴∠=︒，45ABO OBQ PQO ∴∠=∠=∠=︒，OB OQ ∴=，在AOB ∆和OPQ ∆中，AB PQABO PQO BO QO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB POQ SAS ∴∆≅∆，OA OP ∴=，AOB POQ ∠=∠，90AOP BOQ ∴∠=∠=︒，OA OP ∴⊥；（3） 如图， 过O 作OE BC ⊥于E ．①如图 1 ，当P 点在B 点右侧时，则2BQ x =+，22x OE +=， 1222x y x +∴=⨯，即211(1)44y x =+-， 又02x ……，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ；②如图 2 ，当P 点在B 点左侧时，则2BQ x =-，22x OE -=， 1222x y x -∴=⨯ ，即211(1)44y x =--+， 又02x ……，∴当1x =时，y 有最大值为14； 综上所述，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ．例4. 如图， 在平面直角坐标系中，O 为原点， 四边形ABCO 是矩形， 点A ，C 的坐标分别是(0,2)A 和C ，0)，点D 是对角线AC 上一动点 （不 与A ，C 重合） ，连结BD ，作DE DB ⊥，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．（1） 填空： 点B 的坐标为 ；（2） 是否存在这样的点D ，使得DEC ∆是等腰三角形？若存在， 请求出AD 的长度；若不存在， 请说明理由；（3）①求证：DE DB =； ②设AD x =，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式 （可 利用①的结论） ，并求出y 的最小值 ．【解答】解： （1） 四边形AOCB 是矩形，2BC OA ∴==，OC AB ==90BCO BAO ∠=∠=︒，B ∴2)．故答案为2)．（2） 存在 ． 理由如下：2OA = ，OC =，tan AO ACO OC ∠== ， 30ACO ∴∠=︒，60ACB ∠=︒①如图 1 中， 当E 在线段CO 上时，DEC ∆是等腰三角形， 观察图象可知， 只有ED EC =，30DCE EDC ∴∠=∠=︒，60DBC BCD ∴∠=∠=︒，DBC ∴∆是等边三角形，2DC BC ∴==，在Rt AOC ∆中，30ACO ∠=︒ ，2OA =，24AC AO ∴==，422AD AC CD ∴=-=-=．∴当2AD =时，DEC ∆是等腰三角形 ．②如图 2 中， 当E 在OC 的延长线上时，DCE ∆是等腰三角形， 只有CD CE =，15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒，75ABD ADB ∴∠=∠=︒，AB AD ∴==，综上所述， 满足条件的AD 的值为 2 或（3）①如图 1 ，过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ，交OC 于N ，(0,2)A 和C ，0)，∴直线AC 的解析式为2y x =+，设(,2)D a +，2DN ∴=+，BM a =90BDE ∠=︒ ，90BDM NDE ∴∠+∠=︒，90BDM DBM ∠+∠=︒，DBM EDN ∴∠=∠，90BMD DNE ∠=∠=︒ ，BMD DNE ∴∆∆∽，∴DE DN BD BM ===②如图 2 中， 作DH AB ⊥于H ．在Rt ADH ∆中，AD x = ，30DAH ACO ∠=∠=︒，1122DH AD x ∴==，AH x ==，BH x ∴=， 在Rt BDH ∆中，BD ==，DE ∴==， ∴矩形BDEF的面积为22612)y x x ==-+，即2y x =-+，23)y x ∴=-+，0>，3x ∴=时，y ．例5. 已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图 1 ，连接BC ．（1） 填空：OBC ∠= 60 ︒；（2） 如图 1 ，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3） 如图 2 ，点M ，N 同时从点O 出发， 在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动， 当两点相遇时运动停止， 已知点M 的运动速度为 1.5 单位/秒， 点N 的运动速度为 1 单位/秒， 设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？【解答】解： （1） 由旋转性质可知：OB OC =，60BOC ∠=︒，OBC ∴∆是等边三角形，60OBC ∴∠=︒．故答案为 60 ．（2） 如图 1 中，4OB = ，30ABO ∠=︒，122OA OB ∴==，AB ==11222AOC S OA AB ∆∴==⨯⨯=BOC ∆ 是等边三角形，60OBC ∴∠=︒，90ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒，AC ∴==2AOC S OP AC ∆∴===．（3）①当803x <…时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则sin 60NE ON x =︒= ，11 1.522OMN S OM NE x x ∆∴==⨯ ，2y x ∴=．83x ∴=时，y 有最大值， 最大值=． ②当843x <…时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动 ．作MH OB ⊥于H ． 则8 1.5BM x =-，sin 60 1.5)MH BM x =︒=- ，212y ON MH x ∴=⨯⨯=+．当83x =时，y 取最大值，y < ③当4 4.8x <…时，M 、N 都在BC 上运动， 作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==，12y MN OG ∴== ，当4x =时，y 有最大值， 最大值=，综上所述，y 有最大值， ．。

专题2.1 数轴上的动点问题【典例1】如图，数轴上，点A 表示的数为−11，点B 表示的数为−1，点C 表示的数为9，点D 表示的数为17，在点B 和点C 处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A 和点D 在数轴上相距28个长度单位，动点P 从点A 出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q 从点D 出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA 和射线CD 上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B 到C 速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C 到B 速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t 秒，问：（1）动点P 从点A 运动至D 点需要时间为_________秒；（2）P 、Q 两点到原点O 的距离相同时，求出动点P 在数轴上所对应的数；（3）当Q 点到达终点A 后，立即调头加速去追P ，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q 追上点P 时，求出它们在数轴上对应的数．（1）根据AB 、BC 、CD 三段的路程分别除以每段速度即可计算出答案；（2）分P 在AB ，Q 在CD ；P 在AB ，Q 在CO ，P 在BO ，Q 在CO ；P 、Q 相遇；P 在OC ，Q 在OB ；P 在OC ，Q 在BA ；进行讨论计算即可；（3）根据点Q 到A 时间，点P 位置，与点P 到C 时间，点Q 位置，得出Q 在射线CD 上追上P ，分别将P 、Q 所表示的数表示出来，列方程，解答即可．解：（1）∵点A 表示的数为−11，点B 表示的数为−1，点C 表示的数为9，点D 表示的数为17，∴AB =-1-（-11）=10，BC =9-（-1）=10，CD =17-9=8，∴动点P 从点A 运动至D 点需要时间为：102+101+82=5+10+4=19（秒），故答案为：19；（2）①当P 在AB ，Q 在CD 时，P 所表示的数为：-11+2t ，Q 所表示的数为：17-2t ∵P 、Q 两点到原点O 的距离相同，∴(-11+2t )+(17-2t )=6，此时该方程无解；②当P 在AB ，Q 在CO 时，P 所表示的数为：-11+2t ，Q 所表示的数为9−4t−=25−4t ，∵P 、Q 两点到原点O 的距离相同，∴(-11+2t )+(25-4t )=0，解得：t =7＞5，此时：P 不在AB 上，故不符合题意，舍去；③当P 在BO ，Q 在CO 时，P 所表示的数为：-1+t−t−6 ，Q 所表示的数为：9−4t−=25−4t ，∵P 、Q 两点到原点O 的距离相同，∴(t -6)+(25-4t )=0，解得：t =193＞6 ，此时：P 不在BO 上，故不符合题意，舍去；④当P 、Q 相遇时，P 、Q 均在BC 上，此时P 所表示的数为：-1+=t−6 ，Q 所表示的数为：9−4t−=25−4t ，∵P 、Q 两点到原点O 的距离相同，∴t -6=25-4t ，解得：t =315，∴25−4t =25−4×315=15，此时：P 所表示的数为：15，Q 所表示的数为：15；⑤当P 在OC ，Q 在OB 时，P 所表示的数为：-1+t−=t−6 ，Q 所表示的数为： 9−4t−=25−4t ，∵P 、Q 两点到原点O 的距离相同，∴(t -6)+(25-4t )=0，解得：t =193，t−6=193−6=13，此时：P 所表示的数为：13 ，Q 所表示的数为：−13 ，⑥当P 在OC ，Q 在BA ，P 所表示的数为：-1+=t−6 ，Q 所表示的数为： −1−2t−82=−1−2t +8+5=12−2t∵P 、Q 两点到原点O 的距离相同，∴(t -6)+(12-2t )=0，解得：t =6 ，此时：P 所表示的数为：0，Q 所表示的数为：0 ，Q 不在AB 上，故，故不符合题意，舍去综上所述：P 所表示的数为15或13，（3）∵Q 到达A 点所需时间为82+104+102=4+2.5+5=11.5 （秒），此时P 到达的点表示的数是：-11+5×2+1+1×（11.5-5-1）=4.5 ，又∵P 到达点所C 需时间为102+101=15 （秒），此时Q 到达的点是：-11+103×3+2×（15−11.5-103）=13 ，点Q 在BO 上，∴Q 在射线CD 上追上P ，此时P 所表示的数为：-11+10+10+2（t -15）=2t-21 ，Q 所表示的数为： −11+10+10+3t−11.5−103−5=3t−50.5，∴2t−21=3t−50.5，∴t =29.5，∴9+2(29.5-15)=9+29=38，此时P 所表示的数为：38 ，Q 所表示的数为：38．1．（2022秋·吉林松原·七年级统考期末）如图，已知数轴上点A 表示的数为10，点B 与A 点距离16个单位，且在点A 的左边，动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t (t >0)秒．（1）数轴上点B表示的数为___________，点P表示的数为___________（用含t的式子表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．①求点P运动多少秒追上点Q？②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数．【思路点拨】（1）由已知得OA=10，则OB=AB−OA=6，即得出数轴上点B所表示的数；由动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可求出AP=5t，从而可求出点P表示的数；（2）①设点P运动t秒时和Q相遇，根据等量关系得到5t=16+3t，然后求解即可；②分点P未超过点Q和点P超过点Q两种情况讨论，设运动时间为t，根据题意得到16+3t−5t=6和16+3t+6=5t两个方程，求解即可．【解题过程】（1）∵数轴上点A表示的数为10，∴OA=10，∴OB=AB−OA=6．∵点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为−6；∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴AP=5t，∴点P所表示的数为10−5t．故答案为：−6，10−5t；（2）①设点P运动t秒时和Q相遇，则5t=16+3t，解得：t=8，∴点P运动8秒追上点Q；②设当点P运动时间为t秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度，当P不超过Q，则16+3t−5t=6，解得：t=5；此时点P表示的数为10−5t=−15当P超过Q，则16+3t+6=5t，解得t=11；此时点P表示的数为10−5t=−45综上所述：t=5点P表示的数为−15或t=11点P表示的数为−45．2．（2023秋·重庆大渡口·七年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数−30，−16，4，两条动线段PQ和MN，PQ=2，MN=3，如图，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始一直向右匀速运动，线段PQ同时以每秒2个单位的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到C 时，线段PQ立即以相同的速度返回，当点P运动到点A时，线段MN，PQ立即同时停止运动，设运动时间为t 秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变，且点P总在点Q的左边，点M总在点N的左边）（1）当t为何值时，点Q和点N重合？（2）在整个运动过程中，线段PQ和MN重合部分长度能否为1，若能，请求出此时点P表示的数；若不能，请说明理由．【思路点拨】（1）分两种情况讨论，追及时等量关系为：点Q行走的路程−N行走的路程=AB；返回后相遇等量关系为：点Q行走的路程+N行走的路程=AC+BC；（2）分两种情况讨论，追及时点Q超过点M一个单位长度和点Q超过点N一个单位长度时都符合线段PQ和MN重合部分长度能为1；返回后相遇时点Q离点N一个单位长度和点Q离点M一个单位长度时都符合线段PQ 和MN重合部分长度能为1；据此求得t的值，从而求得点P的范围．【解题过程】（1）解：①追及时，Q到达点C的时间为[4−(−30)]÷2=17（秒）依题意得：2t−t=−16−(−30)，解得：t=14，符合题意②返回后相遇，依题意得：2t+t=4−(−16)+4−(−30)，即：3t=54，解得：t=18，符合题意；答：当t=14或t=18时，点Q和点N重合；（2）解：①追及时点Q超过点M一个单位长度：2t−t=−16−3−(−30)+1，即，解得：t=12，此时P点表示的数为：−30−2+2×12=−6；②追及时点Q 超过点N 一个单位长度：2t−t =−16−(−30)+1，解得：t =15，此时P 点表示的数为：−30−2+2×15=−2；③返回后相遇时点Q 离点N 一个单位长度：2t +t =4−(−30)+4−(−16)−1，即：3t =53，解得：t =533，此时P 点表示的数为：4−2−2×−17=23④返回后相遇时点Q 离点M 一个单位长度：2t +t =4−(−30)+4−(−16)+2，即：3t =56，解得：t =563，此时P 点表示的数为：4−2−2×−17=−43综上：点P 表示的数为：−6、−2、23或−43．3．（2022秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图、点A 、B ，C 是数轴上分别表示数-6，2，13的点，两只电子蚂蚁甲乙分别以3个单位秒和1个单位秒的速度同时从点A 、点B 出发，其中甲刚开始沿数轴的正方向运动，当运动到点C 时，立即以相同的速度反向运动，乙始终沿数轴的负方向运动．（1）求电子蚂蚁甲与乙从开始出发到第一次相遇所经过的时间．（2）当电子蚂蚁甲反向运动追上电子蚂蚁乙时，求此时乙在数轴上所表示的数．（3）在电子蚂蚁甲、乙开始运动的同时，若在点C 处存在一只电子蚂蚁丙以2个单位秒的速度沿数轴的负方向运动，求经过多少秒后甲恰好位于乙、丙的正中间？【思路点拨】（1）先求出AB 的长度，然后利用路程=速度×时间，即可求出时间；（2）先求出甲到达点C 时的时间和甲乙相距的路程，然后求出甲追上乙的时间，再求出乙表示的数即可；（3）根据题意，需要分类讨论，然后分别求出每一种情况的时间，即可得到答案．【解题过程】解：（1）根据题意，则AB =2−(−6)=8，∴甲乙第一次相遇的时间为：8÷(3+1)=2s ；（2）根据题意，AC =13−(−6)=19，∴甲到达点C的时间为：19÷3=193s，∴此时甲乙之间的距离为：13−2+193×1=523；∴甲与乙第二次相遇的时间为：193+523÷(3−1)=193+263=15s；∴此时乙在数轴上所表示的数为：2−15×1=−13；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当甲向数轴正方向运动时，则设时间为t，得甲的位置是：−6+3t，乙的位置是：2−t；丙的位置是：13−2t，∵甲恰好位于乙、丙的正中间，∴(−6+3t)−(2−t)=(13−2t)−(−6+3t)，解得：t=3s；当甲向数轴负方向运动时，则由（2）可知，当甲追上乙时，时间为15秒，且此时乙所在的位置为−13，∴丙所在点表示的数为：13−15×2=−17，∴此时丙和乙的距离为：−13−(−17)=4，设甲追上乙后，再过m秒达到乙和丙的中间，则甲的位置为：−13−3m，乙的位置为：−13−m，丙的位置为：−17−2m，∴(−13−3m)−(−17−2m)=(−13−m)−(−13−3m)，解得：m=43，∴时间为：15+43=1613s；综合上述，则经过t=3或t=1613秒后甲恰好位于乙、丙的正中间．4．（2022秋·四川绵阳·七年级校考期中）已知多项式−m2n2−2中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出A、B、C；（2）若甲、乙、丙三个动点分别以A、B、C三点同时出发沿着数轴负方向运动，它们的速度分别是12，2，34（单位长度/秒）,当乙追上丙时,乙是否追上了甲？为什么？（3）在数轴上是否存在一点P ，使P 到A 、B 、C 的距离和等于10？若存在,请求出点P 对应的数；若不存在,请说明理由．【思路点拨】（1）根据单项式的系数，多项式的次数，常数项的定义即可求解；（2）先求出AB =5,AC =1,BC =6，设乙追上甲用了x 秒，列方程2x−12x =5，解得x =103，设乙追上丙用了y 秒，列方程2y−34y =6，解得y =245，根据103<245，即可得到当乙追上丙时，乙已经追上了甲；（3）设点P 表示的数为m ，分点P 在点C 左侧、点P 在A 、C 之间、点P 在A 、B 之间、点P 在点B 右侧四种情况分类讨论，求出m 的值，并进行检验，问题得解．【解题过程】（1）解：由题意得多项式−m 2n 2−2含字母项为−m 2n 2，系数为-1，多项式次数为4，常数项为-2，所以a =−1，b =4，c =−2，数轴上点A 、B 、C 位置如图：（2）解：由题意得，AB =4−(−1)=5,AC =−1−(−2)=1,BC =4−(−2)=6，设乙追上甲用了x 秒，由题意得2x−12x =5，解得x =103，设乙追上丙用了y 秒，由题意得2y−34y =6，解得y =245，因为103<245，所以当乙追上丙时，乙已经追上了甲；（3）解：设点P 表示的数为m ，①当点P 在点C 左侧时，由题意得(−2−m )+(−1−m )+(4−m )=10，解得m =−3；②当点P 在A 、C 之间时，由题意得[m−(−2)]+(−1−m )+(4−m )=10，解得m =−5，因为−5<−2，所以m =−5不合题意；③当点P 在A 、B 之间时，由题意得[m−(−2)]+[m−(−1)]+(4−m )=10，解得m =3；④当点P 在点B 右侧时，由题意得[m−(−2)]+[m−(−1)]+(m−4)=10，解得m =113，因为113<4，所以m =113不合题意．所以点P 对应的数是-3或3．5．（2022秋·重庆·七年级校联考期中）已知数轴上有A 、B 两点，分别用a 、b 表示，且关于x 、y 的多项式2x a +5y 2+(b−3)y 为三次单项式．（1）求出a 、b 的值，并在数轴上标注A 、B 两点；（2）若动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动；同时动点P 从A 点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点P 到达原点后立即向左运动（只改变方向，不改变速度大小），则经过多长时间动点P 与动点Q 到原点的距离相等；（3）在（2）的条件下，P 、Q 出发的同时，又有一动点M 从B 点出发，以每秒3.5个单位长度的速度向左运动，则经过多长时间，动点P 、Q 、M 互为余下两点的中点？（请直接写出答案）【思路点拨】（1）根据单项式的概念，求出字母a 、b 的值，然后在数轴上标注A 、B 两点即可；（2）分两种情况讨论：①当t ≤43秒时，点P 是向右运动；②当t >43秒时，点P 是向左运动；分别列式计算即可；（3）当t =1413秒时，点P 与Q 相遇，当t >43秒时，点P 开始向左运动；故分三种情况进行讨论：①当t ≤1413秒时，点P 是向右运动，此时点M 为中点；②当1413<t ≤43秒时，点P 是向右运动，此时点P 为中点；③当t >43秒时，点P 是向左运动，此时点P 为中点；分别列方程进行求解即可．【解题过程】（1）解：∵关于x 、y 的多项式2x a +5y 2+(b−3)y 为三次单项式，∴a +5+2=3, b−3=0，∴a =−4, b =3，如图所示，在数轴上标注的A 、B 两点；（2）解：设经过时间为t 秒，①当t ≤43秒时，点P 是向右运动，若动点P 与动点Q 到原点的距离相等，则4−3t =3−2t ，解得，t =1（秒）；②当t >43秒时，点P 是向左运动，若动点P 与动点Q 到原点的距离相等，则3t−4=3−2t ，解得，t =75；故，经过1秒或75秒时，动点P 与动点Q 到原点的距离相等；（3）解：依题，当−4+3t =3−3.5t 时，即当t =1413秒时，点P 与M 相遇，当t >43秒时，点P 开始向左运动；①当t ≤1413秒时，点P 是向右运动，点P 表示−4+3t ，点M 表示3−3.5t ，点Q 表示3−2t ，此时点M 为中点，∴3−3.5t−(−4+3t)=3−2t−(3−3.5t)，∴t =78（秒）；②当1413<t ≤43秒时，点P 是向右运动，此时点P 为中点，∴−4+3t−(3−3.5t)=3−2t−(−4+3t)，∴t =2823（秒）；③当t >43秒时，点P 是向左运动，此时点P 为中点，点P 表示4−3t ，∴4−3t−(3−3.5t)=3−2t−(4−3t)，∴t =4（秒）综上所述，当经过78秒时，点M 为P 、Q 中点，当经过2823秒或4秒时，点P 为M 、Q 中点．6．（2022秋·江苏·七年级期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别为-4和8．（1）A、B两点之间的距离为_______；（2）若数轴上点C到A的距离是到B的距离的3倍，则称点C为A、B两点的伴侣点，求A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是多少？（3）如图，如果点P和点Q分别从点A、B同时出发，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位．①当P、Q两点相向而行相遇时，点P在数轴上对应的数是________；②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距3个单位长度?【思路点拨】（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）设A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是x．根据CA=3CB列出方程|x+4|=3|x−8|，解方程即可；（3）①先求出P、Q两点相向而行相遇时所需的时间，再求出点P在数轴上对应的数即可；②设点P出发t秒后，与点Q之间相距3个单位长度．由于AB=12>3，由于点P和点Q分别从点A、B同时出发，且点P的运动速度小于点Q的运动速度，所以它们同时向右运动时P、Q两点之间的距离>3．然后分两种情况进行讨论：Ⅰ)P、Q两点相向而行，Ⅱ)P、Q两点都向左运动．根据PQ=3列出方程，求解即可．【解题过程】解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别为−4、8，∴A、B两点之间的距离为：8−(−4)=12．故答案为12；（2）设A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是x．∵数轴上点C到A的距离是到B的距离的3倍，∴CA=3CB，∴|x+4|=3|x−8|，∴x+4=3(x−8)，或x+4=−3(x−8)，解得x=14，或x=5．故A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是14或5；（3）①当P、Q两点相向而行相遇时，所需时间为：1226=32（秒)，此时点P 在数轴上对应的数是：−4+2×32=−1．故答案为−1；②设点P 出发t 秒后，与点Q 之间相距3个单位长度．分两种情况：（Ⅰ）P 、Q 两点相向而行，此时点P 对应的数为−4+2t ，点Q 对应的数为8−6t ，∵PQ =3，∴|−4+2t−(8−6t)|=3，∴8t−12=3，或8t−12=−3，解得t =158，或t =98；（Ⅱ）P 、Q 两点都向左运动，此时点P 对应的数为−4−2t ，点Q 对应的数为8−6t ，∵PQ =3，∴|−4−2t−(8−6t)|=3，∴4t−12=3，或4t−12=−3，解得t =154，或t =94．综上所述，点P 出发158或98或154或94秒后，与点Q 之间相距3个单位长度．7．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上点A 表示的数是−1；点B 在点A 的右侧，且到点A 的距离是6；点C 在点A 与点B 之间，且到点B 的距离是到点A 距离的2倍．（1）点B 表示的数是________；点C 表示的数是__________；（2）若点P 从点A 出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点B 出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒、在运动过程中．当t 为何值时点P 与点Q 之间的距离为2?（3）在（2）的条件下，若点P 与点C 之间的距离表示为PC ，点Q 与点B 之间的距离表示为QB ．在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC−QB =1?若存在，请求出此时点P 表示的数；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据两点间的距离公式可求点B 表示的数；根据线段的倍分关系可求点C 表示的数；（2）分点P 与点Q 相遇前，点P 与点Q 相遇后两种情况讨论即可求解；（3）分点P 在点C 左侧时，点P 在点C 右侧时两种情况讨论即可求解．【解题过程】（1）解：（1）点B 表示的数是−1+6=5；∵CB =2CA ，设点C 表示的数为c ，∴5−c =2[c−(−1)]，解得c =1，故答案为：5，1；（2）点P 与点Q 相遇前，由题意得，2t +t =6−2，解得t =43；点P 与点Q 相遇后，由题意得，2t +t =6+2解得t =83．故当t 为43或83时，点P 与点Q 之间的距离为2；（3）当点P 在点C 左侧时，PC =2−2t ，QB =t ，∵PC−QB =1，∴2−2t−t =1，解得t =13．∴PC =2−2t =43此时点P 表示的数是1−43=−13；当点P 在点C 右侧时，PC =2t−2，QB =t ，∵PC−QB =1，∴2t−2−t=1，解得t=3．∴PC=2t−2=4，此时点P表示的数是1+4=5．或5．综上所述，在运动过程中，存在某一时刻使得PC−QB=1，此时点P表示的数为−138．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−12，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记为L AC=32．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在水平轴AO，BC上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒．（1）当t=4秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？（2）当M，N两点相遇时，求运动时间t的值．（3）若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________．【思路点拨】（1）先计算出AO，BC的长度，再计算出经过4秒，点M和点N运动的路程，即可求解；（2）根据相遇时，两点的路程和等于总路程，即可求解；（3）根据题意，进行分类讨论即可．【解题过程】（1）解：根据题意可得：AO=0−(−12)=12，BC=20−12=8，当t=4秒时，点M的运动路程：2t=8<12，点N的运动路程：2t=8，∴经过4秒，点M在AO上，点N和点B重合，∴点M表示的数为：−12+8=−4，点N表示的数为：20−8=12，∴M、N两点距离为：12−(−4)=16．∴M，N两点在数轴上相距16个单位长度．（2）由（1）可得：AO=12，BC=8，∴点M到点O需要时间：122=6秒，点N到点B需要时间：82=4秒，当相遇时：12+3(t−6)+8+(t−4)=32，解得：t=8.5．（3）∵P与O，B两点相距的长度相等，∴点P为表示的数为6，∴点A与点P距离为6−(−12)=18，点C与点P距离为20−6=14，∵M，N与点P相距的长度之和等于6，∴点M和点N都在OB上，①当点M在OP上，点N在BP上时：∵PM=18−12−3(t−6)，PN=14−8−(t−4)，∴18−12−3(t−6)+14−8−(t−4)=6，解得：t=3，②当点M在PB上，点N在BP上时：∵PM=12+3(t−6)−18，PN=14−8−(t−4)，∴12+3(t−6)−18+14−8−(t−4)=6，解得：t=10；综上：t=3或t=10．9．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数−24，−10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=____，PC=____．（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，则点P出发17秒后QA=____，PQ=_____．（3）在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．【思路点拨】（1）先求出点P表示的数为−24+t，然后用数轴上两点间的距离公式计算即可；（2）先分别求出QA=3(t−14),PA=t，然后再计算，当t=17s时QA、PQ的距离即可；（3）分四种情况讨论：①当点P在Q右侧，点Q没有追上点P时；②当点P在Q左侧，点Q追上点P 后；③当点Q到达点C后，点P在Q左侧时；④当点Q到达点C后，点P在Q右侧时．然后分别进行计算求解即可．【解题过程】（1）解：∵动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，∴点P表示的数为−24+t，∴PA=−24+t−(−24)=t，PC=10−(−24+t)=34−t；故答案为：t, 34−t；（2）解：∵当点P运动到B点时，∴t=14，此时点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，∴QA=3(t−14)，∴当t=17s时，QA=3(t−14)=3×(17−14)=9，PQ=t−3(t−14)=42−2t=42−2×17=8；故答案为：9，8；（3）解：分四种情况进行讨论：①当点P在Q右侧，点Q没有追上点P时，点P：−24+t，点Q：−24+3(t−14)，依题，有−24+t−[−24+3(t−14)]=2，解得t=20，∴−24+t=−24+20=−4，∴点P表示的数为：−4；②当点P在Q左侧，点Q追上点P后，依题有，−24+3(t−14)−(−24+t)=2，解得t=22，∴−24+t=−24+22=−2，③当点Q到达点C后，点P在Q左侧时，QA=34−[3(t−14)−34]=110−3t，∴110−3t−t=2，解得t=27，∴−24+t=−24+27=3，∴点P表示的数为：3；④当点Q到达点C后，点P在Q右侧时，∴t−(110−3t)=2，解得t=28，∴−24+t=−24+28=4，∴点P表示的数为：4；综上所述，在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能够为2个单位，此时点P表示的数为：−4,−2, 3, 4．10．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−2，B点对应的数为4．（1）A、B间的距离是______；若数轴上点M到点B的距离是4，则点M对应的数为______；（2）若点N也是数轴上的点，点N到点A的距离是点N到原点的距离的1，求点N对应的数；2（3）若动点P从B点出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动，同时另一动点Q从A点出发，以4个单位长度/秒的速度在数轴上运动，若两动点经过t秒时，PQ=8，求此时点P对应的数是多少？【思路点拨】（1）根据两点间的距离公式可求出A、B间的距离，分两种情况可求出点M对应的数；（2）分两种情况可求出点N对应的数；（3）先由（1）得到AB=6，再分6种情况根据两点距离公式列出方程可得答案．【解题过程】（1）解：AB=4−(−2)=6，当点M在点B左侧时，点M对应的数为4−4=0，当点M在点B右侧时，点M对应的数为4+4=8，故答案为6，8或4．（2）解：∵“点N 到点A 的距离是点N 到原点的距离的12”，∴点N 在负半轴上，设点N 表示的点为x ，当点N 在点A 右侧时，x−(−2)=12(0−x )，解得x =−43，当点N 在点A 左侧时，−2−x =12(0−x )，解得x =−4，∴点N 对应的数为−43或−4．（3）解：由（1）得AB =6，当P ，Q 都向左运动时，4t +6−2t =8，解得t =1，此时P 运动了2个单位长度，点P 对应的数是4−2=2；当P ，Q 都向右运动时，P ，Q 相遇前，2t +6−4t =8，解得t =−1，故不存在，P ，Q 相遇后，4t−2t−6=8，解得t =7，此时P 运动了14个单位长度，点P 对应的数是4+14=18；当Q 向左运动， P 向右运动时，4t +6+2t =8，解得t =13，此时P 运动了23个单位长度，点P 对应的数是4+23=143；当P 向左运动， Q 向右运动时，P ，Q 相遇前，∵AB =6，∴P ，Q 相遇前不存在PQ =8，P ，Q 相遇后，4t +2t−6=8，解得t =73，此时P 运动了143个单位长度，点P 对应的数是4−143=−23；综上可知，此时点P 对应的数是2或18或143或−23．11．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）如图：在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，点C 表示数c ，其中b 是最小的正整数，且多项式(a +3)x 3+4x 2+9x +2是关于x 的二次多项式，一次项系数为c ．（1）a = ，b = ，c = ；（2）动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点Q 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，则当点P 与Q 相遇时，它们运动了多少秒?相遇点对应的数是多少?（3）若点A 、点B 和点C 分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动时，小明同学发现：m ⋅BC +3AB 的值是个定值，求此时m 的值．【思路点拨】（1）根据多项式与单项式的概念即可求出答案；（2）由（1）中数据求出AC 长度，设当点P 与Q 相遇时，它们运动了x 秒，列方程求解即可；（3）分两种情形讨论解答：①当点C 在点B 右侧时，②当点C 在点B 左侧时，设三点运动的时间为t 秒，依据图形分别表示出线段BC ，AB 的长度，代入m ⋅BC +3AB 中，整理后利用m ⋅BC +3AB 的值是个定值可令t 的系数为0即可求出答案．【解题过程】（1）解：∵b 是最小的正整数，∴b =1，∵多项式(a +3)x 3+4x 2+9x +2是关于x 的二次多项式，∴a +3=0，∴a=−3，∴多项式为：4x2+9x+2，∵它的一次项系数为c，∴c=9，∴a=−3，b=1，c=9，故答案为：−3，1，9；（2）解：由（1）知线段AC长为9−(−3)=12，∵设当点P与Q相遇时，它们运动了x秒，则4x+2x=12，解得x=2，∴当点P与Q相遇时，它们运动了2秒；9-2×2=5，∴相遇点对应的数是5；（3）解：当点C在点B右侧时：设三点运动的时间为t秒，则m⋅BC+3AB=m(9−4t−1+t)+3(1−t+3+2t)=8m+12+3t(1−m)，∵m⋅BC+3AB的值是个定值，∴1−m=0，∴m=1，即当m=1时，m⋅BC+3AB为定值20，当点C在点B左侧时：设三点运动的时间为t秒，则m⋅BC+3AB=m[1−t−(9−4t)]+3(1−t+3+2t)=−8m+12+3t(1+m)，∵m⋅BC+3AB的值是个定值，∴1+m=0，∴m=−1，即当m=−1时，m⋅BC+3AB为定值20，综上所述：当m=±1时，m⋅BC+3AB为定值20．12．（2022秋·福建泉州·七年级统考期中）我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如，点A与点B之间的距离记作AB.如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为−20、24，（1）直接写出：AB=______；（2）若有M、N两个小球分别从A、B两处同时出发，两小球的运动速度分别为2个单位/秒、5个单位/秒，设运动时间为t秒钟．①若N小球从点B向右运动，则此时点N表示的数为______，NA=______；（请用含t的代数式表示）②若M、N两小球同时向左运动，MN=4，求t的值？③若M小球向右运动，N小球向左运动，同时D小球从原点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，在M小球和D小球相遇前的运动过程中，是否存在数m，使得DM+mDN为定值？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）直接用点B表示的数减去点A表示的数即可；（2）①根据N小球运动的速度和时间计算即可；②根据题意，用含t的代数式分别表示出点M和点N的数，再由MN=4即可解出t的值；③表示出点D表示的数，算出当M和N小球相遇时的时间，由此表示出DM、DN，根据DM+mDN为定值求出m即可．【解题过程】（1）解：由题意得AB=24−(−20)=24+20=44,故答案为：44；（2）解：∵小球从点B向右运动，运动速度为5个单位/秒，运动时间为t秒钟，∴此时点N表示的数为24+5t，∴NA=24+5t−（−20）=44+5t，故答案为：24+5t，44+5t；②∵M、N两小球同时向左运动，M小球从A处出发，运动速度为2个单位/秒，运动时间为t秒钟，N小球从B 处出发，运动速度为5个单位/秒，运动时间为t秒钟，∴点M表示的数为−（20+2t），点N表示的数为24−5t，∴MN=|44−3t|，当44−3t=4时，解得t=40，3当44−3t=−4时，解得t=16，∴当MN=4时，t=40或t=16；3③∵D小球从原点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，∴点D 表示的数为−6t ，当M 和N 小球相遇时，有2t +6t =20，解得t =52，在M 小球和D 小球相遇前的运动过程中，有DM =−6t−（−20+2t ）=20−8t ，DN =24−5t−（−6t ）=24+t ，则DM +mDN =20−8t +m （24+t ）=20+24m +（m−8）t ，∵DM +mDN 为定值，∴m−8=0，∴m =8，∴当m =8时，DM +mDN 为定值．13．（2022秋·全国·七年级专题练习）探究与发现：|a−b |表示a 与b 之差的绝对值，实际上也可理解为a 与b 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x−3|的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示有理数3的点之间的距离．(1)如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且AB =20，则数轴上点B 表示的数 ；（1）若|x−8|=2，则x = ．（2）拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题：动点P 从O 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t (t >0)秒．求当t 为多少秒时？A ，P 两点之间的距离为2；（3）数轴上还有一点C 所对应的数为30，动点P 和Q 同时从点O 和点B 出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C 点运动，点Q 到达C 点后，再立即以 同样的速度返回，点P 到达点C 后，运动停止．设运动时间为t (t >0)秒．问当t 为多少秒时？P ，Q 之间的距离为4【思路点拨】（1）利用数轴上两点间的距离公式，找出点B 表示的数；（2）利用绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离），去掉绝对值符号；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（4）分0<t <215，215≤t <6或t ≥6三种情况，找出关于t 的一元一次方程．【解题过程】（1）数轴上点B 表示的数=8−20=−12．。

2020年中考数学压轴题之动点产生的定值和最值专题Word版无答案中考数学压轴题专题动点产生的定值与最值问题中考数学压轴题——动点产生的定值与最值问题目录第1 讲角为定值的常规解法第2 讲角为定值的高级解法第3 讲边为定值的动点问题第4 讲线段的和或差为定值的动点问题第5 讲比值为定值的动点问题第6 讲乘积为定值的动点问题第7 讲面积为定值的动点问题第8 讲动点产生的几何最值问题【几何法证明角为定值】（1）三角形内角和定理（2）三角形外角定理第 1 讲 角为定值的常规解法（3）等腰三角形底角相等（4）直角三角形两锐角互余（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（6）平行四边形的对角相等、邻角互补（7）等腰梯形底角相等（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点 O,∠MON=90°，点 A 、B 分别在射线 OM 、 ON 上移动，AC 是△BAO 的角平分线，BD 为∠ABN 的角平分线，AC 与 BD 的反向延长线交于 点 P.试问：随着点 A 、B 位置的变化，∠APB 的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB 的度数；若发生变化，求出变化范围。

、【例】如图所示,O 的直径 AB=4,点 P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作 O 的切线,切点为 C ， 连接 AC.(1)若∠CPA=30°，求 PC 的长；(2)若点 P 在 AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交 AC 于点 M ，你认为∠CMP 的大小是否发 生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小。

【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求解具体角为定值的问题。

【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。

中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题例1：在△ABC 中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积；(2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发，沿射线CB 也向点B 方向运动。

如果点P 的速度是4CM/秒，点Q 的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC 的面积的一半？(3)在第（2）问题前提下，P ,Q 两点之间的距离是多少？例2: ()已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点， P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A →B → C →E 运动，到达点E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，（1）写出y 与x 的关系式 (2)求当y ＝13时，x 的值等于多少？例3：如图1 ，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿梯形的边由B →C → D → A 运动，设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y , 如果关于x 的函数y 的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ）A ．32B ．18C ．16D ．10ACB By例4：直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．例5：已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．例6：如图（3），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．（1）求边BC 的长；（2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；图（3）BC PQBA MN（3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

专题: 函数的动点问题例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD的面积y（单位：cm 2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．同类题型1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A． B．C．D．同类题型1.2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A 出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．同类题型1.3 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，一个以点B为顶点的60°角绕点B旋转，这个角的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P、Q，设DP＝x，DQ＝y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．例2．如图，等边△ABC 的边长为2cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AC 向点C 运动，到达点C 停止；同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB －BC 向点C 运动，到达点C 停止，设△APQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是 （ ）A ．B ．C ．D ． 同类题型2.1 如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE －ED －DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm/s ．若P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A ．AE ＝12cmB ．sin ∠EBC ＝74C ．当0＜t ≤8时，y ＝72t 2 D ．当t ＝9s 时，△PBQ 是等腰三角形 同类题型2.2 矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发以每秒2个单位长的速度沿BA －AD －DCD 的方向运动到C 点停止，动点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 方向运动到C 点停止，假设P 、两点同时出发，运动时间是t 秒，y ＝S △PBQ ，则y 与t 的函数图象大致是 （ ）A ．B ．C ．D ．同类题型2.3 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B →C →D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A．B．C．D．例3．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A． B．C． D．同类题型3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l 从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．同类题型3.2（2015秋﹒荆州校级月考）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ．设AP ＝x ，当△APQ 的面积为14 3 时，则x 的值为 （ ）A ．2 21B ．2 21 或14C ．2或2 21 或14D ．2或14同类题型3.3 如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为____________．例4．如图，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，四边形DEFG 为矩形，DE ＝2 3 cm ，EF ＝6cm ，且点C 、B 、E 、F 在同一条直线上，点B 与点E 重合．Rt △ABC 以每秒1cm 的速度沿矩形DEFG 的边EF 向右平移，当点C 与点F 重合时停止．设Rt △ABC 与矩形DEFG 的重叠部分的面积为y cm 2，运动时间xs ．能反映y cm 2与xs 之间函数关系的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．同类题型4.1 如图，菱形ABCD 的边长为1，菱形EFGH 的边长为2，∠BAD ＝∠FEH ＝60°点C 与点E 重合，点A ，C （E ），G 在同一条直线上，将菱形ABCD 沿C ⇒G 方向平移至点A 与点G 重合时停止，设点C 、E 之间的距离为x ，菱形ABCD 与菱形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是 （ ）A． B．C．D．同类题型4.2 如图，等边△ABC的边AB与正方形DEFG的边长均为2，且AB与DE在同一条直线上，开始时点B与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x，△ABC与正方形DEFG重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．同类题型4.3 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．参考答案例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD的面积y（单位：cm 2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．解：由图②可知点P从A点运动到B点的时间为10s，又因为P点运动的速度为1cm/s，所以AB＝10×1＝10（cm），由AD＝9可知点P在边BC上的运动时间为9s，所以a＝10＋9＝19；分别过B点、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．由图②知S△ABD＝36，则12×9×BE＝36，解得BE＝8，在直角△ABE中，由勾股定理，得AE＝AB 2－BE2＝6．易证△BAE≌△CDF，则BE＝CF＝8，AE＝DF＝6，AF＝AD＋DF＝9＋6＝15．在直角△ACF中，由勾股定理，得CA＝AF 2＋CF2＝17，则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17s，所以b＝19＋17＝36，a＋b＝19＋36＝55．同类题型1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A ．B ．C ．D ．解：∵AE ⊥EF ，∴∠AEB ＋∠FCE ＝90°∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠C ＝90° AB ＝BC ＝4， ∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠FCE ， ∴△ABE ∽△ECF ，∴AB EC ＝BEFC， ∵BE ＝x ，FC ＝y ，∴EC ＝4－x ，则有44－x ＝xy，整理后得y ＝－14x 2 ＋x 配方后得到y ＝－14（x －2）2＋1从而得到图象为抛物线，开口朝下，顶点坐标为（2，1）． 选C ．同类题型1.2如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A →D →C →E 运动，则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3， ∴CD ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝3，∵点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，∴CE ＝23×3＝2，①点P 在AD 上时，△APE 的面积y ＝12x ﹒2＝x （0≤x ≤3），②点P 在CD 上时，S △APE ＝S _(梯形AECD )－S _(△ADP )－S _(△CEP )， ＝12（2＋3）×2－12×3×（x －3）－12 ×2×（3＋2－x ）， ＝5－32x ＋92 －5＋x ，＝－12x ＋92，∴y ＝－12x ＋92（3＜x ≤5），③点P 在CE 上时，S △APE ＝12×（3＋2＋2－x ）×2＝－x ＋7，∴y ＝－x ＋7（5＜x ≤7）， 选A ．同类题型1.3 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，一个以点B 为顶点的60°角绕点B 旋转，这个角的两边分别与线段AD 的延长线及CD 的延长线交于点P 、Q ，设DP ＝x ，DQ ＝y ，则能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠ADB ＝∠BDC ＝60°， ∴∠BDQ ＝∠BDP ＝120°， ∵∠QBP ＝60°， ∴∠QBD ＝∠PBC ， ∵AP ∥BC ， ∴∠P ＝∠PBC ， ∴∠QBD ＝∠P ， ∴△BDQ ∽△PDB ， ∴DQ BD ＝BD PD ，即y 2＝2x ， ∴xy ＝4，∴y 与x 的函数关系的图象是双曲线， 选A ．例2．如图，等边△ABC 的边长为2cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AC 向点C 运动，到达点C 停止；同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB －BC 向点C 运动，到达点C 停止，设△APQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题得，点Q 移动的路程为2x ，点P 移动的路程为x ， ∠A ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝2，①如图，当点Q 在AB 上运动时，过点Q 作QD ⊥AC 于D ，则 AQ ＝2x ，DQ ＝ 3 x ，AP ＝x ，∴△APQ 的面积y ＝12×x ×3x ＝32x 2（0＜x ≤1），即当0＜x ≤1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故A 、B 排除；②如图，当点Q 在BC 上运动时，过点Q 作QE ⊥AC 于E ，则CQ ＝4－2x ，EQ ＝23－ 3 x ，AP ＝x ，∴△APQ 的面积y ＝12×x ×（23－3x ）＝－32x 2＋ 3 x （1＜x ≤2），即当1＜x ≤2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故C 排除，而D 正确； 选D ．同类题型2.1 如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE －ED －DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm/s ．若P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A ．AE ＝12cmB ．sin ∠EBC ＝74C ．当0＜t ≤8时，y ＝72t 2 D ．当t ＝9s 时，△PBQ 是等腰三角形解：A 、分析函数图象可知，当点Q 到达点C 时，点P 到达点E 处， ∴BC ＝BE ＝2×8＝16cm ，ED ＝2×2＝4cm ，∴AE ＝AD －ED ＝BC －ED ＝16－4＝12cm ，故A 正确； B 、作EF ⊥BC 于点F ，如图，由函数图象可知，BC ＝BE ＝16cm ，BF ＝AE ＝12cm ， 由勾股定理得，EF ＝47 cm ，∴sin ∠EBC ＝EF BE ＝4716＝74，故B 正确；C 、作PM ⊥BQ 于点M ，如图，∵BQ ＝BP ＝2t ，∴y ＝S △BPQ ＝12BQ ﹒PM ＝12BQ ﹒BP ﹒sin ∠EBC ＝12×2t ﹒2t ﹒74＝72t 2．故C 正确；D 、当t ＝9s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点，设为N ，如图所示，连接NB ，N C ． 此时AN ＝14，ND ＝2，由勾股定理求得：NB ＝211 ，NC ＝229 ， ∵BC ＝16，∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形．故D 错误； 选D ．同类题型2.2 矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发以每秒2个单位长的速度沿BA －AD －DCD 的方向运动到C 点停止，动点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 方向运动到C 点停止，假设P 、两点同时出发，运动时间是t 秒，y=S △PBQ ，则y 与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 解：①当0＜t ≤3时，△PBQ 是Rt △，y ＝12×t ×2t ＝t 2；②当3＜t ≤7时，y ＝12 ×t ×6＝3t ；③当7＜t ≤8时，y ＝12t （20－2t ）＝－t 2＋10t ；④当8＜t ≤10时，y ＝12×8（20－2t ）＝80－8t ；观察各选项可知，y 与t 的函数图象大致是选项D ． 选D ．同类题型2.3 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B →C →D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，∴点O 到BC 的距离＝12 AB ＝4，到CD 的距离＝12AD ＝6， ∵点M 是BC 的中点，∴CM ＝12BC ＝6， ∴点Q 到达点C 的时间为6÷1＝6秒，点P 到达点C 的时间为12÷1＝12秒，点Q 到达点D 的时间为（6＋8）÷1＝14秒，①0≤t ≤6时，点P 、Q 都在BC 上，PQ ＝6，△OPQ 的面积＝12×6×4＝12； ②6＜t ≤12时，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，C P ＝12－t ，CQ ＝t －6，S △OPQ ＝S △COP ＋S △COQ －S △PCQ ，＝12×（12－t ）×4＋12×（t －6）×6－12×（12－t ）×（t －6）， ＝12t 2 －8t ＋42， ＝12（t －8）2 ＋10， ③12＜t ≤14时，PQ ＝6，△OPQ 的面积＝12×6×6＝18； 纵观各选项，只有B 选项图形符合．选B ．例3．如图，正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，P 是对角线BE 上一动点，过点P 作直线l 与BE 垂直，动点P 从B 点出发且以1cm/s 的速度匀速平移至E 点．设直线l 扫过正六边形ABCD EF 区域的面积为S （cm 2 ），点P 的运动时间为t （s ），下列能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意得：BP ＝t ，如图1，连接AC ，交BE 于G ，Rt △ABG 中，AB ＝6，∠ABG ＝60°，∴∠BAG ＝30°，∴BG ＝12 AB ＝3，由勾股定理得：AG ＝62－32＝3 3 ，∴AC ＝2AG ＝6 3 ，当0≤t ≤3时，PM ＝ 3 t ，∴MN ＝2 3 t ，S ＝S △BMN ＝12MN ﹒PB ＝12﹒3t 2＝32t 2，所以选项A 和B 不正确；如图2，当9≤t ≤12时，PE ＝12－t ，∵∠MEP ＝60°，∴tan ∠MEP ＝PM PE ， ∴PM ＝ 3 （12－t ），∴MN ＝2PM ＝2 3 （12－t ），∴S ＝S _(正六边形)－S _(△EMN )，＝2×12（AF ＋BE ）×AG －12MN ﹒PE ， ＝（6＋12）×33－12×2 3 （12－t ）（12－t ）， ＝543－3（144－24t ＋t 2 ），＝－3t 2＋243t －90 3 ，此二次函数的开口向下，所以选项C 正确，选项D 不正确；选C ．同类题型3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：①当0≤t ≤4时，S ＝12×t ×t ＝12t 2 ，即S ＝12t 2 ．该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B 、C 错误；②当4＜t ≤8时，S ＝16－12×（8－t ）×（8－t ）＝－12t 2 ＋8t －16． 该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A 错误．选D ．同类题型3.2（2015秋﹒荆州校级月考）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ．设AP ＝x ，当△APQ 的面积为14 3 时，则x 的值为（ ）A ．2 21B ．2 21 或14C ．2或2 21 或14D ．2或14解：当点Q 在AC 上时，∵∠A ＝30°，AP ＝x ，∴PQ ＝x tan30°＝33x ， ∴S ＝12×AP ×PQ ＝12×x ×33＝36x 2＝14 3 解得：x ＝221 或x ＝－221 （舍去），当点Q 在BC 上时，如下图所示：∵AP ＝x ，AB ＝16，∠A ＝30°，∴BP ＝16－x ，∠B ＝60°，∴PQ ＝BP ﹒tan60°＝ 3 （16－x ）．∴S ＝12AP ×PQ ＝32x 2＋83x ＝14 3 ， 解得：x ＝2（舍去）或x ＝14．选B ．同类题型3.3 如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为____________．解：①当AB ＞4时如图1，由图可知：OE ＝4，OF ＝8，DG ＝3 2 ，∴EF ＝AG ＝OF －OE ＝4∵直线解析式为：y ＝－x∴∠AGD ＝∠EFD ＝45°∴△AGD 是等腰直角三角形∴DH ＝GH ＝22DG ＝22×3 2 ＝3， ∴AH ＝AG －GH ＝4－3＝1，∴AD ＝DH 2＋AH 2＝32＋12＝10 ；②当AB ＝4时，如图2，由图可知：OI ＝4，OJ ＝8，KB ＝3 2 ，OM ＝9，∴IJ ＝AB ＝4，IM ＝AN ＝5，∵直线解析式为：y ＝－x ， ∴△KLB 是等腰直角三角形， ∴KL ＝BL ＝22KB ＝3， ∵AB ＝4，∴AL ＝AB －BL ＝1，T 同①得，DM ＝MN ，∴过K 作KM ∥IM ，∴tan ∠DAN ＝KL AL ＝3，∴AM ＝DM tan ∠DAN ＝DM 3， ∴AN ＝AM ＋MN ＝43DM ＝5， ∴DM ＝MN ＝154， ∴AM ＝AN －MN ＝5－154＝54， ∴AD ＝AM 2＋DM 2＝5104，故答案为10 或5104．例4．如图，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，四边形DEFG 为矩形，DE ＝2 3 cm ，EF ＝6cm ，且点C 、B 、E 、F 在同一条直线上，点B 与点E 重合．Rt △ABC 以每秒1cm 的速度沿矩形DEFG 的边EF 向右平移，当点C 与点F 重合时停止．设Rt △ABC 与矩形DEFG 的重叠部分的面积为y cm 2 ，运动时间xs ．能反映y cm 2 与xs 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C． D ．解：已知∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，∴AB ＝4，由勾股定理得：AC ＝2 3 ，∵四边形DEFG 为矩形，∠C ＝90，∴DE ＝GF ＝2 3 ，∠C ＝∠DEF ＝90°，∴AC ∥DE ，此题有三种情况：（1）当0＜x ＜2时，AB 交DE 于H ，如图∵DE ∥AC ，∴EHAC ＝BEBC ，即EH 23＝x ﹒12 ，解得：EH ＝ 3 x ，所以y ＝12﹒3x ﹒x ＝32x 2，∵x y 之间是二次函数，所以所选答案C 错误，答案D 错误，∵a ＝32 ＞0，开口向上；（2）当2≤x ≤6时，如图，此时y ＝12×2×23＝2 3 ， （3）当6＜x ≤8时，如图，设△ABC 的面积是s 1 ，△FNB 的面积是s 2 ，BF ＝x －6，与（1）类同，同法可求FN ＝3X －6 3 ，∴y ＝s 1－s 2 ，＝12×2×23－12×（x －6）×（3X －6 3 ）， ＝－32x 2＋63x －16 3 ， ∵-32＜0， ∴开口向下，所以答案A 正确，答案B 错误，选A ．同类题型4.1 如图，菱形ABCD 的边长为1，菱形EFGH 的边长为2，∠BAD ＝∠FEH ＝60°点C 与点E 重合，点A ，C （E ），G 在同一条直线上，将菱形ABCD 沿C ⇒G 方向平移至点A 与点G 重合时停止，设点C 、E 之间的距离为x ，菱形ABCD 与菱形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由菱形ABCD 、EFGH 边长为1，2可得：AC ＝2AB ×sin30°＝ 3 ，EG ＝2 3（1）当菱形ABCD 移动到点A 与点E 重合的过程，即0≤x ≤ 3 时，重合部分的菱形的两条对角线长度分别为：x ，2×x 2×tan30°＝3x 3∴y ＝12﹒x ﹒3x 3＝36x 2（2）当菱形ABCD 移动到点C 与点G 重合的过程，重合部分的菱形面积不变，即3＜x ≤2 3 时，y ＝S 菱形ABCD ＝12×1×3＝32； （3）当菱形ABCD 移动到点A 与点G 重合的过程，即23＜x ≤33时，重合部分的菱形的两条对角线长度分别为： 3 －x ，2×3－x 2×tan30°＝3(3－x )3y ＝12×（3－x ）×3(3－x )3＝36（3－x ）2 ． 由（1）（2）（3）可以看出图象应该是y ＝36x 2 图上像0≤x ≤ 3 时的部分，y ＝32 图象上3＜x ≤2 3 时的部分，y ＝36（3－x ）2 图象上23＜x ≤33时的部分组成． 选D ．同类题型4.2 如图，等边△ABC 的边AB 与正方形DEFG 的边长均为2，且AB 与DE 在同一条直线上，开始时点B 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点B 与点E 重合为止，设BD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：设BD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，当B 从D 点运动到DE 的中点时，即0≤x ≤1时，y ＝12×x ×3x ＝32x 2 ． 当B 从DE 中点运动到E 点时，即1＜x ≤2时，y ＝3－12（2－x ）×3（2－x ）＝－32x 2＋23x － 3 由函数关系式可看出D 中的函数图象与所求的分段函数对应．选D ．同类题型4.3 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F ⇒H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：DF ＝x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y y ＝12DF 2＝12x 2（0≤x ＜ 2 ）；②y ＝1（2≤x ＜2 2 ）；③∵BH ＝3 2 －x∴y ＝12BH 2＝12x 2－32x ＋9（22≤x ＜3 2 ）．综上可知，图象是选B ．。

2024年中考数学高频压轴题训练——圆-动点问题1．“同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题．（1）【知识理解】如图1，圆O 的内接四边形ACBD 中，60ABC ∠=︒，BC AC =，①BDC ∠=；DAB ∠DCB ∠（填“>”，“=”，“<”）②将D 点绕点B 顺时针旋转60︒得到点E ，则线段DB DC DA ，，的数量关系为．（2）【知识应用】如图2，AB 是圆O 的直径，1tan 2ABC ∠=，猜想DA DB DC ，，的数量关系，并证明；（3）【知识拓展】如图3，已知2AB =，A B ，分别是射线DA DB ，上的两个动点，以AB 为边往外构造等边ABC ，点C 在MDN ∠内部，若120D ∠=︒，直接写出四边形ADBC 面积S 的取值范围．2．如图1，对于PMN 的顶点P 及其对边MN 上的一点Q ，给出如下定义：以P 为圆心，PQ 为半径的圆与直线MN 的公共点都在线段MN 上，则称点Q 为PMN 关于点P 的内联点．在平面直角坐标系xOy 中：（1）如图2，已知点(70)A ，，点B 在直线1y x =+上．①若点(34)B ，，点(30)C ，，则在点O ，C ，A 中，点是AOB 关于点B 的内联点；②若AOB 关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围；（2）已知点(20)D ，，点(42)E ，，将点D 绕原点O 旋转得到点F ．若EOF 关于点E 的内联点存在，直接写出点F 横坐标m 的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（B C ''，分别是B C ，的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233A B C B C B C ，，，，，，的横､纵坐标都是整数．在线段112233B C B C B C ，，中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0A t ，，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，12AB AC ==，．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．4．已知：点C 为⊙O 的直径AB 上一动点，过点C 作CD ⊥AB ，交⊙O 于点D 和点E ，连接AD 、BD ，∠DBA 的角平分线交⊙O 于点F ．（1）若DF ＝BD ，求证：GD ＝GB ；（2）若AB ＝2cm ，在（1）的条件下，求DG 的值；（3）若∠ADB 的角平分线DM 交⊙O 于点M ，交AB 于点N ．当点C 与点O 重合时，AD BD DM+＝；据此猜想，当点C 在AB （不含端点）运动过程中，AD BD DM +的值是否发生改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于ABC 和直线l 给出如下定义：若ABC 的一条边关于直线l 的对称线段PQ 是O 的弦，则称ABC 是O 的关于直线l 的“关联三角形”，直线l 是“关联轴”．（1）如图1，若ABC 是O 的关于直线l 的“关联三角形”，请画出ABC 与O 的“关联轴”（至少画两条）；（2）若ABC 中，点A 坐标为(23)，，点B 坐标为(41)，，点C 在直线3y x =-+的图像上，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，求点C 横坐标的取值范围；（3）已知A ，将点A 向上平移2个单位得到点M ，以M 为圆心MA 为半径画圆，B ，C 为M 上的两点，且2AB =（点B 在点A 右侧），若ABC 与O 的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC 最大时AC 的长．6．如图，在⊙O 中，AB 为弦，CD 为直径，且AB ⊥CD ，垂足为E ，P 为 AC 上的动点（不与端点重合），连接PD ．（1）求证：∠APD ＝∠BPD ；（2）利用尺规在PD 上找到点I ，使得I 到AB 、AP 的距离相等，连接AD （保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI ＝180°；（3）在（2）的条件下，连接IC 、IE ，若∠APB ＝60°，试问：在P 点的移动过程中，IC IE 是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知线段AB 和点P ，给出如下定义：若PA PB =且点P 不在线段AB 上，则称点P 是线段AB 的等腰顶点．特别地，当90APB ∠≥︒时，则称点P 是线段AB 的非锐角等腰顶点．（1）已知点(20)A ，，(42)B ，．①在点(40)C ，，(31)D ，，(15)E -，，(05)F ，中，是线段AB 的等腰顶点的是▲；②若点P 在直线3(0)y kx k =+≠上，且点P 是线段AB 的非锐角等腰顶点，求k 的取值范围；（2）直线33y x =-+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ．⊙P 的圆心为(0)P t ，，半径为，若⊙P 上存在线段MN 的等腰顶点，请直接写出t 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．（1）当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；（2）当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CPOQ的值．9．综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．思考探索（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B '落在MN 上，折痕为EC ，连接DB '，如图2．①点B '在以点E 为圆心，的长为半径的圆上；②B M '=；③DB C ' 为三角形，请证明你的结论．（2）拓展延伸当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点B ）折叠后，点B 的对应点B '落在正方形ABCD 内部或边上．①ABB ' 面积的最大值为；②连接AB '，点P 为AE 的中点，点Q 在AB '上，连接PQ AQP AB E ∠=∠'，，则2B C PQ '+的最小值为．10．在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T （半径为r ）外一点P 引它的一条切线，切点为Q ，若0＜PQ≤2r ，则称点P 为⊙T 的伴随点．（1）当⊙O 的半径为1时，①在点A(4，0)，B(0，)，C(1，)中，⊙O 的伴随点是▲；②点D 在直线y ＝x+3上，且点D 是⊙O 的伴随点，求点D 的横坐标d 的取值范围；（2）⊙M 的圆心为M(m ，0)，半径为2，直线y ＝2x ﹣2与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点，直接写出m 的取值范围．11．定义：在平面直角坐标系xOy 中，点P 为图形M 上一点，点Q 为图形N 上一点．若存在OP OQ =，则称图形M 与图形N 关于原点O “平衡”．（1）如图，已知⊙A 是以()1,0为圆心，2为半径的圆，点()1,0C -，()2,1D -，()3,2E ．①在点C ，D ，E 中，与⊙A 关于原点O “平衡”的点是；②点H 为直线y x =-上一点，若点H 与⊙A 关于原点O “平衡”，点H 的横坐标的取值范围为：；（2）如图，已知图形G 是以原点O 为中心，边长为2的正方形．⊙K 的圆心在x 轴上，半径为2．若⊙K 与图形G 关于原点O “平衡”，请直接写出圆心K 的横坐标的取值范围．12．阅读下列材料，并按要求解答相关问题：【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．如图1，若AB 是一条定线段，且90APB ∠=︒，则所有满足条件的直角顶点P 组成的图形是定边AB 为直径的O （直径两端点A 、B 除外）（1）已知：如图2，四边形ABCD 是边长为8的正方形，点E 从点B 出发向点C 运动，同时点F 从点C 出发以相同的速度向点D 运动，连接AE ，BF 相交于点P ．①当点E 从点B 运动到点C 的过程中，APB ∠的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出APB ∠的度数．②当点E 从点B 运动到点C 的过程中，点P 运动的路径是（）A ．线段；B ．弧；C ．半圆；D ．圆③点P 运动的路经长是▲．（2）已知：如图3，在图2的条件下，连接CP ，请直接写出E 、F 运动过程中，CP 的最小值．13．对于平面内的图形1G 和图形2G ，记平面内一点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()60A ，，(0B ．（1）在()30R ，，()20S ，，(1T 三点中，点A 和点B 的等距点是；（2）已知直线2y =-．①若点A 和直线2y =-的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为▲；②若直线y a =上存在点A 直线2y =-的等距点，求实数a 的取值范围；（3）记直线AB 为直线1l ，直线2l ：33y x =-，以原点O 为圆心作半径为r 的O ．若O 上有m 个直线1l 和直线2l 的等距点，以及n 个直线1l 和y 轴的等距点（0m ≠，0n ≠），求m n ≠时，求r 的取值范围．14．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．15．如图，在ABC 中，AB BC =，30CAB ∠=︒，8AC =，半径为2的O 从点A 开始（如图1）沿直线AB 向右滚动，滚动时始终与直线AB 相切（切点为D ），当O 与ABC 只有一个公共点时滚动停止，作OG AC ⊥于点G ．（1）图1中，O 在AC 边上截得的弦长AE =；（2）当圆心落在AC 上时，如图2，判断BC 与O 的位置关系，并说明理由．（3）在O 滚动过程中，线段OG 的长度随之变化，设AD x =，OG y =，求出y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记为d(M ，N)，特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d(M ，N)＝0．已知：如图，点A(2-，0)，B(0，．（1）如果⊙O 的半径为2，那么d(A ，⊙O)＝，d(B ，⊙O)＝．（2）如果⊙O 的半径为r ，且d （⊙O ，线段AB ）=0，求r 的取值范围；（3）如果C(m ，0)是x 轴上的动点，⊙C 的半径为1，使d （⊙C ，线段AB ）<1，直接写出m 的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P m n ，，我们称直线y mx n =+为点P 的关联直线.例如，点()24P ，的关联直线为24y x =+．（1）已知点()12A ，．①点A 的关联直线为；②若O 与点A 的关联直线相切，则O 的半径为；（2）已知点()02C ，，点()0.D d ，点M 为直线CD 上的动点．①当2d =时，求点O 到点M 的关联直线的距离的最大值；②以()11T -，为圆心，3为半径作.T 在点M 运动过程中，当点M 的关联直线与T 交于E ，F 两点时，EF 的最小值为4，请直接写出d 的值．18．在平面直角坐标系xOy 中，给定圆C 和点P ，若过点P 最多可以作出k 条不同的直线，且这些直线被圆C 所截得的线段长度为正整数，则称点P 关于圆C 的特征值为.k 已知圆O 的半径为2，（1）若点M 的坐标为()11，，则经过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为，点M 关于圆O 的特征值为；（2）直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，若线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，求b 的取值范围；（3）点T 是x 轴正半轴上一点，圆T 的半径为1，点R ，S 分别在圆O 与圆T 上，点R 关于圆T 的特征值记为r ，点S 关于圆O 的特征值记为.s 当点T 在x 轴正轴上运动时，若存在点R ，S ，使得3r s +=，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．答案解析部分1．【答案】（1）60︒；=；DC DB DA=+（2）解：在AB 上取一点E ，使ADE BDC ∠=∠，如图所示：∵AB 是圆O 的直径，1tan 2ABC ∠=，∴1tan 2AC ABC BC BC =∠⋅=，∴在Rt ACB 中，52AB BC ==，∵ BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∵ADE BDC ∠=∠，∴ADE CDB ∽，∴ADAECD CB =，∴AD CB CD AE ⋅=⋅，∵ AD AD =，∴DBA DCA ∠=∠，∵ADE CDE CDB CDE ∠-∠=∠-∠，即ADC BDE ∠=∠，∴BDE CDA ∽，∴BDBECD AC =，∴BD AC CD BE ⋅=⋅，∴()AD CB AC BD CD AE CD BE CD AE BE CD AB⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅，∴AB CD AC DB AD BC ⋅=⋅+⋅，∴122BC CD BC DB AD BC ⋅=⋅+⋅，∴5122CD DB AD ⋅=⋅+，∴5122CD DB AD =+，即2DB AD =+，故答案为：2DB AD =+．（3）解：∵A B ，分别是射线DA DB ，上的两个动点，120D ∠=︒，ABC 是等边三角形，∴四边形ADBC 的两个对角180ADB ACB ∠+∠=︒，∴构造四边形ADBC 的外接圆，∴根据四边形外接圆的性质可得：当点A 和点D 重合时，四边形ADBC 面积S 最小；当CD AB ⊥时，四边形ADBC 面积S 最大，①当点A 和点D 重合时，四边形ADBC 面积S 最小，∵CBD 时等边三角形，且2AB =，∴60CBD ∠=︒，2AB BD BC ===∴1sin 602CBD S BC BD =⋅⋅⋅= ，②当CD AB ⊥时，四边形ADBC 面积S 最大，∵CBD 时等边三角形，且2AB =，∴30ACD ∠=︒，2AC =，∴tan 233AD ACD AC =∠⋅==，∴11232322233ADC S AD DC =⋅⋅=⨯= ，∴23ADC ADBC S S == 四边形；433S <≤．2．【答案】（1）解：①O ，C ②当点B 的坐标为（0，1）时，如图，此时以BO 为半径的B 与线段OA 相切于点O ，∴点O 是OAB 关于点B 的内联点；当点B 移动到在y 轴左侧时，作图发现B 与x 轴有相交，且有一个交点不在线段OA 上，∴不再有OAB 关于点B 的内联点；当点B 的坐标为（7，8）时，以BA 为半径的B 与x 轴相切于点A ，∴点A 是OAB 关于点B 的内联点；当点B 直线x=7的右侧时，以BA 为半径的B 与x 轴相交，且有一个交点不在线段OA 上∴不再有OAB 关于点B 的内联点；综上所述，若AOB 关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围为18n ≤≤；（2）80m 555m -≤≤≤≤或3．【答案】（1）22B C （2）解：由题意可得：当BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”时，则有AB C '' 是等边三角形，且边长也为1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C ''与y 轴的交点为D ，连接OB '，易得B C y ''⊥轴，∴12B D DC ''==，∴32OD ==，32==，∴OA =，∴t =；当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的OA =，∴t =；（3）当1min OA =时，此时BC =；当2max OA =时，此时2BC =．4．【答案】（1）证明：∵CD ⊥直径AB ，∴ BDBE =，∵DF ＝BD ，∴ DFBD =，∴ BEDF =，∴∠1＝∠2，∴DG ＝BG（2）解：∠DBA 的角平分线交⊙O 于点F ，∴∠2＝∠3，由（1）知，∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠3，∵∠BCD ＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠4＝90°﹣∠2﹣∠3＝30°，∵AB ＝2，∴BD ＝1，在Rt △BCD 中，∠1＝30°，∴BC ＝12BD ＝12，在Rt △BCG 中，∠3＝30°，∴CG ＝＝6，∴BG ＝2CG ＝33，由（1）知，DG ＝BG ＝33（3）5．【答案】（1）解：如图1，作BM ⊥x 轴，垂足为M ，根据题意AB=AE=EF=BF=，且∠EFO=∠BFM=45°，∴∠EFB=90°，∴四边形ABFE 是正方形，∴边AE ，BF 的中点所在直线就是ABC 与O 的一条“关联轴”；∵O 的半径为1，∴，且∠EFG=90°，∴四边形EFGH 是正方形，∵∠EFG+∠EFB=180°，∴B 、F 、G 三点共线，∴直线EF 是ABC 与O 的一条“关联轴”．（2）解：如图2，根据A （2，3），B （4，1），C （4，1），计算2=，故AB 不能落在圆的内部；过点A 作AN ⊥y 轴，垂足为N ，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时0C x =；作点B 关于x 轴的对称点P ，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时4C x =，综上所述，点C 横坐标的范围是04C x ≤≤．（3）解：OC 的最小值为2-；OC 最大，根据勾股定理，AC=4.6．【答案】（1）证明：∵直径CD ⊥弦AB ，∴ AD BD=，∴∠APD=∠BPD ；（2）解：如图，作∠BAP 的平分线，交PD 于I ，证：∵AI 平分∠BAP ，∴∠PAI=∠BAI ，∴∠AID=∠APD+∠PAI=∠APD+BAI ，∵ AD BD=，∴∠DAB=∠APD ，∴∠DAI=∠DAB+∠BAI=∠APD+∠BAI ，∴∠AID=∠DAI ，∵∠AIP+∠DAI=180°，∴∠AIP+∠DAI=180°；（3）解：如图2，连接BI ，AC ，OA ，OB ，∵AI 平分∠BAP ，PD 平分∠APB ，∴BI 平分∠ABP ，∠BAI=12∠BAP ，∴∠ABI=12∠ABP ，∵∠APB=60°，∴∠PAB+∠PBA=120°，∴∠BAI+∠ABI=12（∠BAP+∠ABP ）=60°，∴∠AIB=120°，∴点I 的运动轨迹是 AB ，∴DI=DA ，∵∠AOB=2∠APB=120°，∵AD ⊥AB ，∴ AD BD=，∴∠AOB=∠BOD=60°，∵OA=OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴AD=AO ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DAC=90°，∵CD ⊥AB ，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠CAD ，∵∠ADC=∠ADE ，∴△ADE ∽△CDA ，∴AD DE CD AD=，∴AD 2=DE•CD ，∵DI′=DI=AD ，∴DI 2=DE•CD ，∵∠I′DE 是公共角，∴△DIE ∽△DCI ，∴2IC CD IE DI==．7．【答案】（1）解：①C(4，0)，E(-1，5)；②（Ⅰ）当点(40)，在直线3y kx =+上时，430k +=，34k =-；（Ⅱ）当点(31)，在直线3y kx =+上时，331k +=，23k =-；（Ⅲ）当点(22)，在直线3y kx =+上时，232k +=，12k =-；结合图象可得3142k -≤≤-且23k ≠-；（2）解：直线333y x =-+与x 轴的交点M 坐标为()30，，与y 轴交点N 的坐标为(03，，∴tan 3NMO ∠=，∴30NMO ∠=︒，如图，作出线段MN 的垂直平分线，如图为两个临界情况：，利用待定系数法求得MN 垂直平分线解析式为y =，∴(0R -，，12230ORQ P RQ ∠=∠=︒，∴1112PR PQ ==，2222P R P Q ==，∴(10P ，(20P -，，∴t -≤<．8．【答案】（1）A 、B 、D（2）解：如图，依题意作⊙O 的“等直三角形”△TQP∴TQ=PQ ，∠TQP=90°过Q 点作MH //x 轴，交y 轴于M 点，过点P 作PH ⊥MH 于H 点∴∠TMQ=∠QHP=90°∴∠TQM+∠MTQ=∠TQM+∠HQP=90°∴∠MTQ=∠HQP∴△TMQ ≌△QHP （AAS ）∴TM=QH ，MQ=HP设Q （x ，y ）∴HM=MQ+QH=MQ+TM=x+3-y ，PH=MQ=x∴P （x-y+3，x+y ）∵C （3，0）∴∵∴CP OQ ．9．【答案】（1）BE ；3332-；等边；证明：B′D=BC CD ==，∴△DB'C 为等边三角形（2）310．【答案】（1）B ，C ；解：②如图2中，设点D 的坐标为(3)d d +，当过点D 的切线长为22r =时，OD ==由两点之间的距离公式得：OD =解得1221d d =-=-，结合图象可知，点D 的横坐标d 的取值范围是21d -≤≤-；（2）解：对于22y x =-当0y =时，220x -=，解得1x =，则点E 的坐标为(10)E ，当0x =时，2y =-，则点F 的坐标为(02)F -，⊙M 的半径为2，⊙M 的圆心为(0)M m ，24r ∴=，OM m=由题意，由以下两种情况：如图3-1中，点M 在点E 的右侧设FT 是⊙M 的切线则有两个临界位置：4FT =和点E 对应的切线长为0当4FT =时，则4OM m FT ===当点E 对应的切线长为0，即2EM =12EM m ∴=-=解得3m =结合图象得，当34m <≤时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点②如图3-2和3-3中，点M 在点E 的左侧则有如下两个临界位置：如图3-2，设ET 是⊙M 的切线，连接MT ，则90MTE ∠=︒当4ET =时，2222245EM MT ET =+=+此时15m -=解得15m =-如图3-3，当⊙M 在直线EF 的左侧与EF 相切时，设切点为T ，连接MT∵(10)(02)E F -，，，∴12OE OF ==，∴22125EF =+=∵EF 是切线∴EF MT⊥∴90MTE FOE ∠=∠=︒∵MET FEO∠=∠∴MTE FOE~ ∴EM MTEF OF =，即22=解得EM =，即1m -=解得1m =-结合图象得，当11m -≤<-时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点综上，m 的取值范围是11m -≤<-或34m <≤．11．【答案】（1）点C 、D ；22H x -≤≤-或22H x ≤≤（2）解： 图形G 是以原点O 为中心，边长为2的正方形，∴原点O 到正方形的最短距离是1d =，最长距离是d =，⊙K 与图形G 关于原点O “平衡”，∴原点O 到⊙K 上一点的距离1d ≤≤，⊙K 的圆心在x 轴上，半径为2，∴当⊙K 在x 轴正半轴时，圆心K 的横坐标的取值范围为：22x -≤≤+，当⊙K 在x 轴负半轴时，圆心K 的横坐标的取值范围为：22x --≤≤，综上所述，圆心K 的横坐标的取值范围22x -≤≤+或22x --≤≤．12．【答案】（1）解：①90°；②B ；③2π（2）解：413．【答案】（1）S(2，0)（2）解：①（4，0）或（8，0）；②如图，设直线y a =上的点Q 为点A 和直线2y =-的等距点，连接QA ，过点Q 作直线2y =-的垂线，垂足为点C ．点Q 为点A 和直线2y =-的等距点，QA QC ∴=．22QA QC ∴=．点Q 在直线y a =上，∴可设点Q 的坐标为()Q x a ，．()()22262x a a ∴-+=--⎡⎤⎣⎦．整理得2123240x x a -+-=．由题意得关于x 的方程2123240x x a -+-=有实数根．()()()212413241610a a ∴∆=--⨯⨯-=+≥．解得1a ≥-．（3）解：如图．直线l 1和直线l 2的等距点在直线l 3：33y x =-+上，直线l 1和y 轴的等距点在直线4l y =+：或33y x =+上，点O 与l 4的距离为32，点O 与l 3的距离为，点O 与l 5的距离为3，当r ＜时，n=0不符合题意，当r=时，m=2，n=0，符合题意，当＜r ＜3时，m=n=2，不符合题意，当r≥3时，m=2，n=3或4，符合题意，综上所述，r=或r≥3.14．【答案】（1）C（2）解：∵P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．∴AP ＝BP ＝＝2，如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点K 1、K 2、K 3、K 4，∵OP＝OG＝1，OE∥AB，∴PE＝AE＝，∴OE＝12AG＝1，∴K1（﹣1﹣，0），k2（1﹣，0），k3（﹣1，0），k4（1+，0），∵点K为点P与线段AB的共圆点，∴﹣1﹣≤x k≤1﹣或﹣1≤x k≤1+（3）解：分两种情况：①如图3，当M在点A的左侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝12x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，y＝12x+3＝0，x＝﹣6，∴ON＝3，OH＝6，∵tan∠EHF＝ON EFOH FH＝36＝12，设EF＝a，则FH＝2a，EH＝a，∴OE＝6﹣a，Rt △OEP 中，OP ＝1，EP ＝a ，由勾股定理得：EP 2＝OP 2+OE 2，∴2221(6)a =+-，解得：a ＝2+（舍去）或2，∴QG ＝2OE ＝2（6﹣a ）＝﹣3+2，∴m≤3﹣2；②如图4，当M 在点A 的右侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线y ＝12x+3相切于点F ，连接EF ，则EF ⊥FH ，同理得QG ＝3+2，∴m≥3+2，综上，m 的取值范围是m≤3﹣2或m≥3+215．【答案】（1）2（2）解：BC 与O 相切；理由：如图2，过点O 作OH BC ⊥于H ，连接OD ，∵O 与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥，在Rt AOD 中，30BAC ∠=︒，∴24OA OD ==，∵8AC =，∴4OC =，在ABC 中，AB BC =，∴30C BAC ∠=∠=︒，在Rt OHC 中，30C ∠=︒，∴122OH OC OD ===，∴BC 与O 相切，（3）解：①当点O 在AC 的左侧时，连接OD 交AC 于F ，如备用图1，∵O 与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥，∵OG AC ⊥，∴30FOG BAC ∠=∠=︒，在Rt FDA 中，tan FD BAC AD ∠=，∴tan 3FD AD BAC x =⋅∠=，∴23OF x =-，在Rt FOG 中，331cos 2322y OG OF FOG ⎛⎫==⋅∠=-⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭，即12y x =-+，此时x 的取值范围为0x ≤≤；②当点O 在AC 的右侧时，连接DO 并延长交AC 于F ，如备用图2，同①的方法得，33FD x =，∴23OF x =-，∵FD AB ⊥，∴90BAC AFD ∠+∠=︒，∴30FOG BAC ∠=∠=︒，在Rt FOG 中，331cos 2322y OG OF FOG x x ⎛⎫==⋅∠=-⨯- ⎪⎪⎝⎭，即12y x =-，此时x 的取值范围为1433x ≤≤．16．【答案】（1）0；2-（2）解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵点A(2-，0)，B(0，．∴2OA OB ==，，∴4AB ==，∵1122OA OB AB OD ⋅=⋅，∴112422OD ⨯⨯=⨯⨯∴DO =，∵d （⊙O ，线段AB ）=0，∴当⊙O 的半径等于OD 时最小，当⊙O 的半径等于OB 时最大，∴r r ≤≤（3）43423m -<<-17．【答案】（1）2y x =+（2）解：①当2d =时，()20D ，，设直线CD 的解析式为：y kx b =+，()02C ，，202k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为：y x =-+，设点M 的坐标为()2m m -+，，∴点M 的关联直线为：()212y mx m m x =-+=-+，∴点M 的关联直线经过定点()12N ，，如图2，过点O 作直线2y mx m =--+的垂线，垂足为H ，连接ON ，ON OH ∴≥，∴当点H与点N重合时，OH最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，∴点O到点M=；2 d=②或2 3-18．【答案】（1）；3（2）解：设点G是O的特征值为4的点，∴经过一点G且弦长为4(最长弦)的直线有1条，弦长为3的直线有2条，弦长为2的直线有且只有1条， 经过点G的直线被O截得的弦长的最小值为2，=，∴关于O的特征值为4的所有点都在以O为半径的圆周上，直线y x b=+分别与x，y轴交于点A、B，()0A b∴-，，()B b，，OA OB b∴==，45OBH∴∠=︒，当0b>时，线段AB与以O为半径的圆相切时，点G特征值为4，设切点为为H，连接OH，则OH=，OB∴==，b∴=，设以O 为半径的圆与y 轴正半轴的交点记为1B ，则1OB =，当线段AB 与以O 1B 时，可得b =，b ≤≤同理可求当0b <时，b ≤≤，综上，b b b ≤≤-≤（3）当372122t -≤≤+时，存在点R ，S ，使得3r s +=。

2021中考数学 压轴专题训练之动点问题1. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，A (3，33)，B (9，53)，C (14，0)．动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA －AB－BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，52(单位长度/秒)．当P ，Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动． (1)求AB 所在直线的函数表达式．(2)如图2，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值．(3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．图1 图22. 如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点N ，过A 点的直线l :y=kx+n 与y 轴交于点C ，与抛物线y=-x 2+bx+c 的另一个交点为D ，已知A (-1，0)，D (5，-6)，P 点为抛物线y=-x 2+bx+c 上一动点(不与A ，D 重合).(1)求抛物线和直线l 的解析式;(2)当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE+PF 的最大值;(3)设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由.3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．4. 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．5. 如图①，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=ax 2-2ax -8a 与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，-4).(1)点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ，线段AC 的长为 ，抛物线的解析式为 .(2)点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点.如果在x 轴上存在点Q ，使得以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标.①6. 如图，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．7. 如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =． （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？8. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．9. 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．10. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为(8，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y 轴，求MN的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．11. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝kx(k＞0)的图象交于点A(m，8)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－kx＞0的解集；(3)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．13. 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14. 如图，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．15. 如图，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ． （1）用含m 的式子表示a ； （2）求证：ADAE为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．16. 如图，二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是.(2)直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点(不与点D，C重合)，点N 的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA，DB分别交于点P，Q，使得△DPQ与△DAB相似.①当n=时，求DP的长;②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围.17. 已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E ，若73tan =∠DPE ，求四边形BDEP 的面积．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝－x 2＋2x ＋8的图象与一次函数y ＝－x ＋b 的图象交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为－7.点P 是二次函数图象上A 、B 两点之间的一个动点(不与点A 、B 重合)，设点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D . (1)求b 及sin ∠ACP 的值；(2)用含m 的代数式表示线段PD 的长；(3)连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在，直接写出m 的值；如果不存在，请说明理由．19. 如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．20. 已知平面直角坐标系中两定点A (－1, 0)、B (4, 0)，抛物线y ＝ax 2＋bx －2（a≠0）过点A 、B ，顶点为C ，点P (m , n )（n ＜0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围；（3）若m ＞32，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜52）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得顺次首尾连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．2021中考数学 压轴专题训练之动点问题-答案一、解答题（本大题共20道小题）1. 【答案】【思维教练】(1)设一次函数解析式，将已知点A 、B 的坐标值代入求解即可；(2)S △CPQ ＝12·CP·Q y ，CP ＝14－t ，点Q 在AB 上，Q y 即为当x ＝t 时的y 值，代入化简得出S 与t 的函数关系式，化为顶点式得出最值；(3)垂直平分线过顶点需以时间为临界点分情况讨论，当Q 在OA 上时，过点C ；当Q 在AB 上时，过点A ；当Q 在BC 上时，过点C 和点B ，再列方程并求解．解图1解：(1)把A(3，33)，B(9，53)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧3k ＋b ＝33，9k ＋b ＝53，解得⎩⎨⎧k ＝33，b ＝23，∴y ＝33x ＋23；(3分)(2)在△PQC 中，PC ＝14－t ，∵OA ＝32＋（33）2＝6且Q 在OA 上速度为3单位长度/s ， AB ＝62＋（23）2＝43且Q 点在AB 上的速度为3单位长度/s ， ∴Q 在OA 上时的横坐标为t ，Q 在AB 上时的横坐标为32t ， PC 边上的高线长为33t ＋2 3.(6分)所以S ＝12(14－t )(32t ＋23)＝－34t 2＋532t ＋143(2≤t ≤6)．当t ＝5时，S 有最大值为8134.(7分)解图2(3)①当0＜t ≤2时，线段PQ 的中垂线经过点C(如解图1)．可得方程(332t )2＋(14－32t )2＝(14－t )2.解得t 1＝74，t 2＝0(舍去)，此时t ＝74.(8分)解图3②当2＜t ≤6时，线段PQ 的中垂线经过点A(如解图2)． 可得方程(33)2＋(t －3)2＝[3(t －2)]2.解得t 1＝3＋572，∵t 2＝3－572(舍去)，此时t ＝3＋572. ③当6＜t ≤10时，(1)线段PQ 的中垂线经过点C(如解图3)．可得方程14－t ＝25－52t ，解得t ＝223.(10分)解图4(2)线段PQ 的中垂线经过点B(如解图4)．可得方程(53)2＋(t －9)2＝[52(t －6)]2. 解得t 1＝38＋2027，t 2＝38－2027(舍去)． 此时t ＝38＋2027.(11分) 综上所述，t 的值为74，3＋572，223，38＋2027.(12分)【难点突破】解决本题的关键点在于对PQ 的垂直平分线过四边形顶点的情况进行分类讨论，在不同阶段列方程求解．2. 【答案】[分析] (1)将点A ，D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解; (2)设出P 点坐标，用参数表示PE ，PF 的长，利用二次函数求最值的方法.求解; (3)分NC 是平行四边形的一条边或NC 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.解:(1)将点A ，D 的坐标代入y=kx +n 得:解得:故直线l 的表达式为y=-x -1.将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式， 得解得故抛物线的表达式为:y=-x 2+3x +4. (2)∵直线l 的表达式为y=-x -1，∴C (0，-1)，则直线l 与x 轴的夹角为45°，即∠OAC=45°， ∵PE ∥x 轴，∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF ∥y 轴，∴∠EPF=90°，∴∠EFP=45°.则PE=PF .设点P 坐标为(x ，-x 2+3x +4)， 则点F (x ，-x -1)，∴PE +PF=2PF=2(-x 2+3x +4+x +1)=-2(x -2)2+18，∵-2<0，∴当x=2时，PE +PF 有最大值，其最大值为18. (3)由题意知N (0，4)，C (0，-1)，∴NC=5，①当NC 是平行四边形的一条边时，有NC ∥PM ，NC=PM. 设点P 坐标为(x ，-x 2+3x +4)，则点M 的坐标为(x ，-x -1)， ∴|y M -y P |=5，即|-x 2+3x +4+x +1|=5， 解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0)，则点M 坐标为(2+，-3-)或(2-，-3+)或(4，-5);②当NC 是平行四边形的对角线时，线段NC 与PM 互相平分. 由题意，NC 的中点坐标为0，，设点P 坐标为(m ，-m 2+3m +4)， 则点M (n'，-n'-1)， ∴0==，解得:n'=0或-4(舍去n'=0)， 故点M (-4，3).综上所述，存在点M ，使得以N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形，点M 的坐标分别为: (2+，-3-)，(2-，-3+)，(4，-5)，(-4，3).3. 【答案】（1）212y x x =-+。