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第四节数列求和[考纲传真］ 1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2。
掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．1．公式法（1)等差数列的前n项和公式：S n＝错误!＝na＋错误!d;1（2)等比数列的前n项和公式：S n＝错误!2．几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：①错误!＝错误!－错误!;②错误!＝错误!错误!；③错误!＝错误!－错误!。
(3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法:如果一个数列｛a n｝与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．(5)并项求和法:一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1）n f（n）类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝（100＋99）＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.[常用结论]常用求和公式(1）1＋2＋3＋4＋…＋n＝错误!。
(2）1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2。
(3）2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.（4）12＋22＋…＋n2＝n n＋12n＋16.［基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．（正确的打“√",错误的打“×”)(1)已知等差数列{a n｝的公差为d,则有错误!＝错误!错误!。
（）（2)当n≥2时，错误!＝错误!错误!.( ）（3）求S n＝a＋2a2＋3a3＋…＋na n之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( ）（4）如果数列｛a n｝是周期为k(k为大于1的正整数）的周期数列，那么S km＝mS k。
第4讲第五章数列数列求和教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源知一谋梳理‘1.等差数列的前〃项和公式.n（n—1）f n（如+给）M-- dS n= ----------- = 2-2・等比数列的前〃项和公式如（1一/）3. —些常见数列的前〃项和公式................. n (H+1) (1)1+2+3+4+ ••• + «=- ；n1 (2)1+ 3+5+7 ——(In-1)= ____________n2+n(3)2+ 4+ 6 + 8 ------- 2n= __________ .要点整食F1.辨明两个易误点(1)使用裂项相消法求和时，要注哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点•(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.2.数列求和的常用方法⑴倒序相加法如果一个数列｛冷｝的前〃项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前…项和即可用倒序相加法，如等差数列的前〃项和即是用此法推导的. (2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前〃项和就是用此法推导的.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(4)分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减.(5)并项求和法一个数列的前«项和，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如1)75)类型，可采用两项合并求解.•6H I +…+I +I +I+911) +(SI+M—) + …+ 0+9 —) +(s +Tr —) +(E+ Z —)+1HZI +91 —SI + ・・・ +9 —s +TT —E+z —I Hus“拓灌91 Q Z J O 8 ・H 6 V(V FUSIM—)+・・・+Tr —E+z —I L、s srn ,us^e ®G fe s(・31^®・I2.（必修5 P47习题23 B 组T4改编）数列仏｝中，, “ di ）'若S"｝的前兀项和痔豈|，则项数"为（B解析：a n =— =丄,n 5十1) n « + 1C.111A. 2 014B. 2 015C. 2 016D. 2 017%=r+¥_¥+…+丄齐2 23 n n + 1w + 1 n + 1 2 016n 2 015— 2 2 3所以n=2 015.3.等差数列⑺“｝的通项公式为砒=加+1,其前〃项的和为s“，则数列｛严｝的前10项的和为（C ）A. 120B. 100D. 70C. 75解析：因为Sn="（如丁""）-=班〃+2）,= 75.4-若数列何｝的通项公式为a n=2n+2n-1,则数列｛日｝的前门项和为2〃+】+宀2 n- —•解析：s“==l—："）+冬（1+加T）=2”+】-2+/21 — 225.已知数列｛為｝的前门项和为S n fia n =n-2^则気= (n-l)2w+1+2解析：S zz =lX2+2X22+3X23+- + nX2,z,① 所以 2S W =1X22+2X23+3X24H ---------- n X2n+1,②①一②得一 S /2 = 2 + 22+ 2sH -------------- F 2n- nX2n +所以S 旳=(〃一1)2心+2・2X (1—2")1-2-nX2，z+1,典例剖析▼考点突破*考点一分组转化法求和(2015•高考福建卷)等差数列仙冲，血=4,血+⑴求数列｛如的通项公式;名师导悟以例说法(2)设b n=2a n—2+n,求价+方2+加 ------- 方io的值. ［解］（1）设等差数列S”｝的公差为么由已知得j 3］+3〃）+（O1+6J） =15,所以為=如+（兀_1）〃="+2・•101ZHES +HZHSS +(Z—HZ )Hz・ Z —I -- + ------------- H01 X (01+1)r z —1) z (01 + …+E +z +1)+(0IZ + …+gz +jZ +z ) H(01+0IZ) + :・+(E +m z )+(z +zz ) + (I +z ) H 0G +・m 4鼠£+・Z L G龜旦1)«(0分组转化法求和的常见类型⑴若a n =b n 土c”，且血｝, ｛c“｝为等差或等比数列，可采用 分组求和法求｛给｝的前n 项和； ｛c“｝是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.(2)通项公式为5=伪奇数,〃为偶数的数列，其中数列血｝,跟踪训练1•已知等比数列｛©｝中，首项©=3,公比？＞1,j}c且3（给+2+切—10©+i=0（〃UN ）•(1)求数列｛给｝的通项公式；⑵设仏+屛是首项为1,公差为2的等差数列,求数列血｝的通项公式和前n项和解：（1）因为3（如2+如一10“卄1=0, 所以丸“『+如—10為冷=0,即3『一10g+3=0.因为公比q>b所以0=3.又首项«i=3，所以数列｛如的通项公式为给=3：(2)因为札+止“｝是首项为1,公差为2的等差数列,所以方“+如“=l+2(〃一1).即数列血｝的通项公式为b=2n-1-3”一1,前兀项和8“ = 一（1+3+乎+…+ 3"一1）+[1+3+…+ （2〃一1） = -i（3«-l）+Z考点二错位相减法求和（2015•高考湖北卷）设等差数列仏｝的公差为d,前〃项和为S/等比数列&2｝的公比为？•已知bi=a v方2=2,⑴求数列仏｝, ｛/｝的通项公式;⑵当〃＞1时，记0=2,求数列｛"｝的前〃项和几・［解］⑴由题意有10如+45〃=100,2,即20,a,=2n — l, 心一或=g (2n+79),亦=9・(^)由知u n= 2n—1,叽=2” S 故c”=驴，于是几=1+寸+¥+召+专+・・・+寻二①1” 1 I 3 | 5 | 7 | | 2n-3丨2n~l^尹=尹云+云+〒+•••+〒+〒■•②①―②可得1" d 1 I ! 1一几=2-—- —H ----- b-^2 2 2 22 2" 2H _ 2〃+ 3故T n=62〃T •2n— 1_ 2n + 32n =3 F_，跟踪引练2•已知函数f(x)=x2+bx为偶函数，数列｛©｝满足«w+1=2/(«z—1)+1,且如=3, a n>l.令心=log2仏一1)・(1)证明：数列｛仇+1｝为等比数列；(2)® c tl=nb n9求数列｛。
