数列的通项的和,分别求出每个数列的和,从
而求出原数列的和.
例1
求下面数列的前 n 项和: 1 1 1 1+1,a+4, 2+7,…, n-1+3n-路点拨】
1 1 1 【解】 Sn= (1+ 1)+( + 4)+ ( 2+ 7)+…+ ( n-1+ 3n a a a - 2) 1 1 1 = (1+ + 2+…+ n-1)+ [1+4+ 7+…+(3n-2)]. a a a 1 1 1 令 Bn= 1+ + 2+…+ n-1, a a a an-1 ∴当 a= 1 时, Bn= n;当 a≠ 1 时, Bn= n n- 1, a -a 3n-1 n Cn= 1+ 4+ 7+…+(3n- 2)= . 2
【名师点评】
利用错位相减法求和时,转化为
等比数列求和.若公比是参数(字母),则应先对参
数加以讨论,一般情况下分等于1和不等于1两种
情况分别进行求和.
裂项相消法求和 裂项相消是将数列的项分裂为两项之差,通过
求和相互抵消,从而达到求和的目的.
例3 (2011 年博州质检 )已知数列 {an}中, a1= 1,
错位相减法求和 一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比 数列,求数列{an· bn}的前n项和时,可采用错位 相减法.
例2
知数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an
-an-1,…是首项为1,公比为a的等比数列. (1)求an; (2)如果a=2,bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项 和 S n.
等比数列,再求解.
4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩 下首尾若干项. 5.倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和
公式的推导过程的推广).