例题2 三角形面积计算公式

万能公式的应用例题应用例题1：计算三角形的面积已知一个三角形，边长分别为8cm、10cm和12cm，求其面积。

解析：根据海伦公式，三角形的面积可以通过已知的三条边长来计算。

海伦公式的表达式如下：面积=√(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s为三角形周长的一半，a、b、c为三角形的三条边长。

根据已知条件，三角形的三条边长分别为8cm、10cm和12cm。

我们可以计算出周长s的值：s=(8+10+12)/2=15使用海伦公式计算三角形的面积：面积=√(15(15-8)(15-10)(15-12))=√(15*7*5*3)= √1575 ≈ 39.68 cm²因此，这个三角形的面积约为39.68 cm²。

应用例题2：计算圆的周长和面积已知一个圆的半径为5cm，求其周长和面积。

解析：根据已知条件，圆的半径为5cm，可以计算出其周长：≈ 31.4159 cm圆的面积可以通过圆的半径计算，公式为πr²。

根据已知条件，圆的半径为5cm，可以计算出其面积：应用例题3：计算矩形的周长和面积已知一个矩形的长为8cm，宽为6cm，求其周长和面积。

解析：矩形的周长计算公式为2(长+宽)。

根据已知条件，矩形的长为8cm，宽为6cm，可以计算出其周长：周长=2(8+6)=2(14)= 28 cm矩形的面积计算公式为长*宽。

根据已知条件，矩形的长为8cm，宽为6cm，可以计算出其面积：面积=8*6= 48 cm²因此，这个矩形的周长为28 cm，面积为48 cm²。

应用例题4：计算梯形的面积已知一个梯形，上底长为5cm，下底长为10cm，高为8cm，求其面积。

解析：梯形的面积计算公式为(上底+下底)*高/2根据已知条件，梯形的上底长为5cm，下底长为10cm，高为8cm，可以计算出其面积：面积=(5+10)*8/2=15*8/2=120/2= 60 cm²因此，这个梯形的面积为60 cm²。

例谈三角形面积公式S=pr三角形是初中数学中的基本图形，其面积公式是数学教学中学生必须掌握的知识点之一、三角形面积公式的普适性和实际应用广泛，被广泛运用于建筑、工程、地理等诸多领域。

本文将围绕三角形的面积公式展开讨论，深入阐述其内涵、应用以及相关的例题。

首先，我们来看一下三角形面积公式的表达形式：S=pr。

其中，S代表三角形的面积，p代表三角形的周长，r代表三角形的内切圆半径。

三角形面积公式的推导和证明可以通过分割法、面积对称法以及余弦定理等多种方法进行，但为了篇幅的限制，本文不对这些内容展开讨论。

三角形面积公式的内涵是将三角形的面积与其周长、内切圆半径之间建立起了关系。

根据公式可知，三角形的面积与周长成正比，即面积越大，周长越长。

这说明了在给定周长下，面积是有最大值的；而在给定面积下，周长是有最小值的。

另外，三角形的面积与内切圆半径成正比，半径越大，面积也越大。

三角形面积公式的应用非常广泛。

首先，在实际生活中，三角形的面积公式可以用于测量地理图形的面积，比如湖泊、花坛等。

其次，在建筑设计中，三角形的面积公式可用于计算建筑物的地板面积，方便工程师进行设计规划。

此外，三角形面积公式还可以应用于制图、制表等工作中。

接下来，我们将通过一些例题来进一步说明三角形面积公式的应用。

例题1：已知三角形的周长为6cm，内切圆半径为2cm，求三角形的面积。

解：根据三角形面积公式S=pr，将已知条件代入公式：S = 6cm × 2cm = 12cm²所以，三角形的面积为12平方厘米。

例题2：已知等边三角形的面积为16根号3平方厘米，求其周长。

解：由等边三角形的特性可知，三边长度相等，用a表示。

根据三角形面积公式S=pr，将已知条件代入公式16根号3=p×a/3解得：a = 3根号3 cm所以，三角形的周长为9根号3厘米。

通过以上两个例题，我们可以看出三角形面积公式的直接应用。

通过已知的条件，我们可以使用该公式求解未知的量。

初中计算三角形的面积三角形的面积是初中数学中的基本知识之一，是计算几何中的重要内容。

它能帮助我们更好地理解和运用三角形的概念和性质。

本文将介绍三角形面积的计算方法，并通过实例演示。

一、基本原理三角形面积的计算可以通过多种方法实现，其中较为常用的是利用底边和高，及两边夹角的正弦定理。

我们假设三角形的底边为a，高为h，两边夹角为A，则三角形的面积S可由以下公式计算得出：S = 1/2 * a * h二、计算步骤接下来，我们将通过一个具体的实例来演示如何计算三角形的面积。

例题：已知三角形ABC，底边AB为6cm，高CD为4cm。

求三角形ABC的面积。

解题步骤：1. 给出已知条件：底边AB = 6cm，高CD = 4cm；2. 根据公式S = 1/2 * a * h，代入已知条件，得到 S = 1/2 * 6cm *4cm = 12cm²；3. 因此，三角形ABC的面积为12平方厘米。

通过以上步骤，我们可以得出三角形ABC的面积为12平方厘米。

三、实例演练在实际解题中，常常会遇到需要计算三角形面积的问题。

下面，我们通过一些实例来进一步掌握面积计算的方法。

例题1：已知三角形DEF，底边DE = 8cm，高DG = 5cm。

求三角形DEF的面积。

解题步骤：1. 给出已知条件：底边DE = 8cm，高DG = 5cm；2. 根据公式S = 1/2 * a * h，代入已知条件，得到 S = 1/2 * 8cm *5cm = 20cm²；3. 所以，三角形DEF的面积为20平方厘米。

例题2：已知三角形XYZ，底边XY = 10cm，两边夹角X = 60°。

求三角形XYZ的面积。

解题步骤：1. 给出已知条件：底边XY = 10cm，两边夹角X = 60°；2. 根据公式S = 1/2 * a * h，其中a=XY=10cm，h为XY边对应的高；3. 由正弦定理sin60° = h/XY，解得h=10cm*sin60° = 10cm*√3/2 =5√3 cm；4. 代入已知条件，得到S = 1/2 * 10cm * 5√3 cm = 25√3 cm²，结果化简为约43.3平方厘米。

2022-2023学年五年级数学上册典型例题系列之第二单元：三角形面积的实际应用专项练习（解析版）1．一个三角形的面积是15平方米，它的底是10米，则它的高是多少米？【答案】3米【分析】三角形的面积＝底×高÷2，据此用三角形的面积乘2，再除以底即可求出高。

【详解】15×2÷10＝30÷10＝3（米）答：它的高是3米。

【点睛】本题考查三角形的面积。

牢记并灵活运用三角形的面积公式是解题的关键。

2．一块三角形地的底是10米，高是6米，一共收蔬菜960千克。

这块地平均每平方米收蔬菜多少千克？【答案】32千克【分析】根据三角形的面积公式：底×高÷2，把数代入公式即可求出三角形地的面积，由于一共收蔬菜960千克，用收蔬菜的质量除以三角形地的面积即可求解。

【详解】10×6÷2＝60÷2＝30（平方米）960÷30＝32（千克）答：这块地平均每平方米收蔬菜32千克。

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式并灵活运用。

3．三角形的面积是216平方厘米，底是24厘米。

底边上的高是多少厘米？【答案】18厘米【分析】根据三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2；高＝三角形面积×2÷底，代入数据，即可解答。

【详解】216×2÷24＝432÷24＝18（厘米）答：底边上的高是18厘米。

【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。

4．一块三角形麦田，底长80米，高60米，如果每公顷收小麦5吨，这块地能收小麦多少吨？【答案】1.2吨【分析】根据三角形面积公式：底×高÷2，求出这块三角形麦田的面积；1公顷＝10000平方米，把平方米化成公顷，再乘5，就是这块地能收小麦的吨数。

【详解】80×60÷2＝4800÷2＝2400（平方米）2400平方米＝0.24公顷0.24×5＝1.2（吨）答：这块地能收小麦1.2吨。

五年级上册数学小报三角形和平行四边形的面积第二单元五年级上册数学小报第二单元：三角形和平行四边形的面积一、三角形的面积计算公式1. 三角形的面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高 ÷ 2。

例题：如图所示，底边长度为6cm，高为4cm，求三角形的面积。

```** ** * ** * * *```解答：三角形的面积 = 6cm × 4cm ÷ 2 = 12cm²。

二、平行四边形的面积计算公式2. 平行四边形的面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高。

例题：如图所示，底边长度为5cm，高为3cm，求平行四边形的面积。

```______/ \\______/```解答：平行四边形的面积 = 5cm × 3cm = 15cm²。

三、练习题1. 如图所示，底边长度为8cm，高为6cm，求三角形的面积。

```** ** * ** * * *```答案：三角形的面积 = 8cm × 6cm ÷ 2 = 24cm²。

2. 如图所示，底边长度为10cm，高为4cm，求平行四边形的面积。

```________/ \\________/```答案：平行四边形的面积 = 10cm × 4cm = 40cm²。

小结：本单元我们学习了三角形和平行四边形的面积计算公式，并通过例题和练习题进行了实际操作。

在计算面积时，记得根据形状选择正确的计算公式，并按照公式计算得出结果，最后记得加上所使用的单位。

希望大家能够充分掌握并灵活运用这些知识！。

三角形的面积和周长在几何学中，三角形是最基本的形状之一，它由三条边和三个角组成。

计算三角形的面积和周长是我们常见的几何问题之一。

本文将介绍如何求解三角形的面积和周长，并提供相关的计算公式和例题。

一、三角形的面积计算三角形的面积计算是通过底长和高（或两边夹角）进行计算的。

以下是常见的三角形面积计算公式：1. 通过底长和高计算当我们已知三角形的底长和高时，可以用以下公式计算面积：面积 = 底长 ×高 ÷ 2例如，假设三角形的底长为5cm，高为8cm，那么它的面积可以计算为：面积 = 5cm × 8cm ÷ 2 = 40cm²2. 通过两边夹角和边长计算当我们已知两边夹角和两边的长度时，可以用以下公式计算面积：面积 = 1/2 ×边1 ×边2 × sin(夹角)其中，sin表示正弦函数。

例如，假设我们已知三角形两边的长度分别为5cm和8cm，夹角为60度，那么它的面积可以计算为：面积= 1/2 × 5cm × 8cm × sin(60°) ≈ 17.32cm²二、三角形的周长计算三角形的周长计算是通过三边的长度进行计算的。

周长 = 边1 + 边2 + 边3例如，假设三角形的三边长度分别为3cm、4cm和5cm，那么它的周长可以计算为：周长 = 3cm + 4cm + 5cm = 12cm三、案例分析接下来，我们通过几个实例来进一步说明如何计算三角形的面积和周长。

案例一：已知三角形的底长为6cm，高为9cm，求其面积和周长。

解析：根据底长和高的公式计算面积：面积 = 6cm × 9cm ÷ 2 = 27cm²由于题目未给出两边的长度，无法计算周长。

案例二：已知三角形的边1长度为7cm，边2长度为9cm，夹角为45度，求其面积和周长。

解析：根据两边夹角和边长的公式计算面积：面积= 1/2 × 7cm × 9cm × sin(45°) ≈ 22.57cm²根据三边长度计算周长：周长 = 7cm + 9cm + 边3由于题目未给出边3的长度，无法计算周长。

六年级数学三角形的面积计算六年级数学：三角形的面积计算三角形是数学中的重要概念，在几何学中起到了关键作用。

了解如何计算三角形的面积对于解决与三角形相关的问题具有重要意义。

本文将介绍六年级学生如何计算三角形的面积，并提供一些例题来帮助理解。

计算三角形面积方法一：基础公式计算三角形面积最常用的方法是使用三角形的基础公式：面积=底边长度x高/2。

这个公式适用于所有类型的三角形。

以下是一个计算三角形面积的例子：例题1：已知三角形的底边长度为6cm，高为4cm，求其面积。

解答：根据基础公式，面积=6cm×4cm/2=12cm²。

因此，三角形的面积为12平方厘米。

计算三角形面积方法二：海伦公式在某些情况下，我们无法直接获得三角形的高。

这时，可以使用海伦公式来计算三角形面积。

海伦公式的形式为：面积=√(p×(p-a)×(p-b)×(p-c))，其中p是三角形的半周长，a、b、c分别是三角形的三边长度。

例题2：已知三角形的三边分别为3cm、4cm和5cm，求其面积。

解答：首先计算半周长p=(3cm+4cm+5cm)/2=6cm。

然后使用海伦公式，面积=√(6cm×(6cm-3cm)×(6cm-4cm)×(6cm-5cm))=√(6cm×3cm×2cm×1cm)=√36cm²=6cm²。

因此，三角形的面积为6平方厘米。

计算三角形面积方法三：直角三角形特殊公式对于直角三角形，有一个特殊的公式用于计算面积。

特殊公式为：面积=直角边1×直角边2/2。

例题3：已知直角三角形的直角边1为4cm，直角边2为3cm，求其面积。

解答：根据特殊公式，面积=4cm×3cm/2=6cm²。

因此，直角三角形的面积为6平方厘米。

通过学习以上三种方法，我们可以计算各种类型的三角形的面积。

第08讲 拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：典型例题剖析高频考点一：求三角形面积（定值问题） 高频考点二：根据三角形面积求其它元素高频考点三：求三角形面积最值 高频考点四：求三角形面积取值范围第三部分：高考真题感悟1、三角形面积的计算公式：①12S =⨯⨯底高； ②111=sin sin sin 222S ab C ac B bc A ==； ③1()2S a b c r =++（其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，r 是三角形ABC 的内切圆半径）； ④4abcS R=(其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，R 是三角形ABC 的外接圆半径). 2、三角形面积最值：核心技巧：利用基本不等式222()22a b a b ab ++≤≤，再代入面积公式. 3、三角形面积取值范围：核心技巧：利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.高频考点一：求三角形面积（定值问题）1．（2022·河南·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos cos c C a B b B C =-+.(1)求角C ；(2)若6c =，ABC 的面积6sin S b B =，求S .2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()sin sin sin sin sin sin 3sin sin A B C A B C A B+++-=.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 外接圆的面积为12π，6b =，求ABC 的面积.3．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2B Ca C +=. (1)求角A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且33CD BD ==，π6BAD ∠=，求△ABC 的面积.4．（2022·河南三门峡·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos ba C c A C +=.(1)求tan C ；(2)若3c =，16sin sin 27A B =，求ABC 的面积.5．（2022·全国·高三专题练习）在①()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，②sin sin 2B C b a B +=，③2tan tan tan B bA B c=+中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________． (1)求角A 的大小；(2)已知2AB =，D 为AB 中点，且2CD ab =，求ABC 面积．高频考点二：根据三角形面积求其它元素1．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量,sin c a x B b c -⎛⎫=⎪+⎝⎭，,sin b c y A c a -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，且x y ；π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入横线上并解答．在锐角三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，． (1)求角C ；(2)若ABC 的面积为2a b +的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos b a c B =-(1)求C 的大小；(2)若ABC 的面积为cos2cos2A B +的值.3．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））如图，在ABC 中，2AC =，120ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点.(1)若CAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，求BD 的长；(2)若D 是边AB 的中点，ABC 的面积为CD 的长.4．（2022·河南郑州·高一期中）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量(2,3a a =，(,sin )b c C =，且a b ∥． (1)求角A(2)若c ＝2，且△ABC AC 边上的中线BM 的大小．5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos cos sin a B C A C a -=-.以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O .(1)求A ；(2)若a =123O O O ABC 的周长.高频考点三：求三角形面积最值1．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）ABC ∆中，60,A a =︒=(1)若2b c =，求(2)求三角形面积的最大值2．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（理））在ABC 中，b ，c 分别为内角B ，C 的对边长，设向量cos ,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且有22m n ⋅=．(1)求角A 的大小；(2)若a =3．（2022·上海·高三专题练习）已知()21cos cos 2f x x x x =-+. （1）若ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围；（2）设ABC 的三边分别是a ，b ，c ，周长为2，若()12f B =-，求ABC 面积的最大值.4．（2022·河南·高三阶段练习（理））在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()(),2,cos ,cos m a b c n B A =-=，且m n ⊥.（1）求角A 的大小；（2）若ABC 外接圆的半径为2，求ABC 面积的最大值.5．（2022·福建省厦门第六中学高一阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．6．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知等腰三角形ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin b A B =，c (c ＋b )＝(a ＋b )(a －b )． (1)求A 和b ；(2)若点E ，F 分别是线段BC (含端点)上的动点，且BF ＞BE ，在运动过程中始终有3EAF π∠=，求△EAF 面积的最小值．7．（2022·福建·厦门双十中学高一期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC 区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC 周围筑起护栏.已知40m AC =，BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒.(1)若20m AM =时，求护栏的长度（△MNC 的周长）；(2)当ACM ∠为何值时，鱼塘△MNC 的面积最小，最小面积是多少？8．（2022·上海徐汇·二模）某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形ABC 的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，90BAC ∠=︒，20AB AC ==（单位：米），E 、F 为BC 上的两点，且45EAF ∠=︒，AEF 区域为休息区，ABE △和ACF 区域均为活动区．设()045EAB αα∠=<<︒．(1)求AE 、AF 的长（用α的代数式表示）；(2)为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当α为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？高频考点四：求三角形面积取值范围1．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）已知ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，且()sin sin sin b c B c C a A -+=，cos cos 1b C c B +=.(1)求A 和a 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积的取值范围.2．（2022·四川绵阳·高一期中）在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，且2tan tan tan B bA B c=+．(1)求角A 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，2b =，求ABC 面积的取值范围．3．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习）ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎪⎝⎭，且//m n .(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且a =ABC 的面积的取值范围.4．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin a b A Cc A B--=+． (1)求角B 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求ABC 的面积S 的取值范围．5．（2022·广东茂名·高一阶段练习）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin A B a cC a b--=+．(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 的面积S 的取值范围．6．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2sin a bB AC c c+=．(1)求角C 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围．7．（2022·江苏省苏州第十中学校高一期中）已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()2cos cos a b C c B -= (1)求角C(2)若2a =，3b =，CD 为角C 的平分线，求CD 的长； (3)若cos cos 4a B b A +=，求锐角ABC 面积的取值范围.1．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC 的周长为4+条件③：ABC2．（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．3．（2017·上海·高考真题）已知函数()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．4．（2013·湖北·高考真题（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．5．（2015·山东·高考真题（理））设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.。