§6.1 特殊和式的极限--定积分的概念

第六章 求总量的问题——定积分
§6.1 特殊和式的极限 ——定积分的概念
一、 抽象定积分概念的两个现实原型 1.求曲边梯形的面积 2.求变力所作的功
原型1. 求曲边梯形的面积
如图,曲边梯形由连续曲线y=f(x) ( f(x)≥0), x轴与两条直线x=a, x=b所 围成 y y=f(x) S=?
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
1 2
i 1 n
f ( )x
i i i 1 n 2
n
n
2 i
x i x i x i
2 i 1
n
i )2 1 1 ( n n n3 i 1
Hale Waihona Puke 1 n( n 1)( 2n 1) i n3 6 i 1
1 (1 1 )(2 1 ) 6 n n
路程的精确值
s lim v ( i )t i
t 0 i 1
n
上述三个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
二、 定积分的概念
分割、近似求和、取极限
定积分的定义 设函数f(x)在[a,b]上有界,用点a=x0 <x1<x2< ...<xn1<xn=b将[a,b]分割成n个 子区间, 各子区间的长度为 xi=xixi1 (i=1,2,...,n).在每个子区间上任取一点i n (ixi),作乘积f(i)xi的和式 f ( i )xi 记=max{xi},当0时, f ( i )xi
即

b
n
注意: (1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关

b
a
f ( x )dx f (t )dt f ( u)du
b b a a
(2)定义中区间的分法和i的取法是任意的 (3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在 时,称f(x)在区间[a,b]上可积,否则不可积
曲边梯形面积为:
S lim f ( i )xi
0
i 1 n
原型2 求变力所作的功 F m a o x b 设质点m受水平力F的作用沿x轴由 点a移动到点b 若F是常量,则它对质点所作的功为: W=F(ba) 若F不是常量,而是质点所在位置x的连 续函数F=F(x),如何求对质点所作的功?
b b a a a
性质3(对积分区间的可加性) b c b f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a a c
性质4

b
a
dx b a
性质5 若在[a,b] (a<b)上f(x)≥0,则

b
a
f ( x )dx 0
性质6(保序性) 若在[a,b](a<b)上f(x)≤g(x),则
（1）分割 a t0 t1 t 2 t n1 t n b
t i t i t i 1
部分路程值
n
si v( i )t i
某时刻的速度
（2）近似求和 （3）取极限
s v ( i )t i
i 1
t max{ t1 , t 2 ,, t n }
(1)当a=b时,
a b a
f ( x )dx 0 f ( x )dx f ( x )dx
a b
说明: 在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小
性质1 a kf ( x )dx k a f ( x )dx (k为常数) 性质2 b b b [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx

b a
b
a
f ( x )dx g( x )dx
b a b
性质7(定积分的绝对值不等式)
| f ( x )dx | | f ( x ) |dx (a b)
a
∵|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|
| f ( x ) |dx f ( x )dx | f ( x ) |dx


小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取极限
积零为整
取极限
精确值——定积分
3. 定积分的性质
在每个小区间[xi1, a o xi]上任取一点i
x1
xi1 xi xn1
i
b
x
以[xi1,xi]为底, f(i)为高的小矩形面积为 Si=f(i)xi
曲边梯形面积的近似值为
S f ( i )xi
i 1 n
当分割无限加细,即小区间的最大 长度=max{x1,x2,...,xn}0时,

b
a
f ( x )dx f ( )(b a )
——积分中值公式
积分中值定理的几何意义
f ( )
y f()
o a
1 a f ( x )dx ba
b
b
若f(x)在[a,b]上连续 且非负,则f(x)在[a, b] 上的曲边梯形的面积 等于与该曲边梯形同 x 底,以f( )为高的矩形 面积
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
如图, 在区间[a, b]内插入n1个分点 a=x0<x1<x2< ...<xn1<xn=b 把区间[a,b]分成n 个小区间[xi1,xi], 长度为xi=xixi1 y

1
0
x dx lim i xi
2
2
n
0
(0n)
i 1
lim1 (1 1 )(2 1 ) n 6 n n
1 3
三、 求定积分过程中的辩证思维
四、 可积条件
定理1(可积的必要条件) 若函数f(x)在 [a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.
注： 无界函数一定不可积
i 1 n i 1
的极限存在,并且其极限值与[a,b]的分法
以及i的取法无关,则该极限值称为函数 b f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 f ( x )dx
a
积分上限
f ( x )dx lim f ( i )xi 0 a i 1 被 被积 积 积 积 分 积 积分 分 分 元 函 表变 号 和 素 数 达量 积分下限 式 [a,b]:积分区间
例2 比较积分值 e dx和 0 xdx 的大小
x 0
2
2
解: 令f(x)=exx , x[2,0] ∵f(x)>0
∴ex>x
e dx xdx
0 x 0 2 2
e dx xdx
x 0 0
2
2
1 dx 的值 例3 估计积分 3 0 3 sin x 1 f ( x) 解: 3 3 sin x x[0,],有 0≤sin3x≤1 1 1 1 3 4 3 sin x 3 1dx 1 dx 1dx 0 3 sin3 x 0 4 0 3 1 0 3 sin3 xdx 3 4
o a
bx
用矩形面积近似代替曲边梯形面积
y y
o a b x b x o a (九个小矩形) (四个小矩形) 显然,小矩形越多,矩形总面积越接 近曲边梯形面积
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
b b b a a a
性质8(有界性) 设m, M分别是f(x)在[a,b] 上的最小值和最大值,则
m(b a ) f ( x )dx M (b a )
b a
此性质可用于估计积分值的大致范围 性质9(积分中值定理) 若函数f(x)在[a,b] 上连续,则在[a,b]上至少存在一点,使得

例4 设f(x)可导,且 lim f ( x ) 1 ,求 x x2 3 f ( t )dt lim t sin x x t
解: 由积分中值定理知,有[x, x+2],使 x 2 3 f ( t )dt sin 3 f ( )( x 2 x ) x t sin t x2 lim t sin 3 f ( t )dt x x t 3 f ( ) 2 lim 3 f ( ) 2 lim sin =6
有界函数不一定可积
定理2 (可积的充分条件) 若f(x)是闭区间 [a,b]上的连续函数,或者是闭区间[a,b]上
的单调函数,或者是[a,b]上只有有限个间
断点的有界函数,则f(x)在[a,b]上可积
五、 定积分的性质
使用上的方便,规定

b
a
f ( x )dx 只有当a<b时才有意义,为了
b
(2)当a>b时,
0
i 1 n
原型3
求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v v (t )是 时 间 间 隔 [a , b ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.