专题利用定积分定义求极限

定积分的定义法求极限：
用定积分定义求极限的方法如下：
分子齐（都是1次或0次），分母齐（都是2次），分母比分子多一次。

定积分定义求极限是1/n趋近于0，积分下限是0，n/n是1，积分上限是1。

“极限”是数学中的分支，微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

洛必达法则。

此法适用于解0/0型和8/8型等不定式极限，但要注意适用条件（不只是使用洛必达法则要注意这点，数学本身是逻辑性非常强的学科，任何一个公式，任何一条定理的成立都是有使其成立的前提条件的，不能想当然的随便乱用。

定积分法：此法适用于待求极限的函数为或者可转化为无穷项的和与一个分数单位之积，且这无穷项为等差数列，公差即为那个分数单位。

当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x)在区间上的定积分.记作/abf(x)dx即/abf(x)dx＝limn>00[f(r1)+...+f(rn)]，这里，a与b叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。

2018考研数学：利用定积分的定义求极限对于多项求和再取极限的题目初次接触往往会觉得无从下手，考试中高度紧张的情况下甚至会选择直接放弃。

像下面这样，多项的乘积求和的形式统称为“积和式”.在学过定积分的定义后，会发现积和式的形式与定积分“分割、近似、求和、取极限”类似，当遇到积和式求极限的题目，自然想到能不能将其转化为求函数的定积分来简化计算。

由以上例子可知，利用定积分的定义来计算“积和式”的极限，大大减少了计算量，从而有效节省了解题时间.这类题目不仅考查数列极限的知识点，而且考查了定积分的定义，因此，在历年考试中受到出题人的“青睐”，在复习过程中应该特别引起重视，相信会得到很好的复习效果，对大家的复习大有帮助!赠送以下资料数学解题方法与技巧全汇总，考试就能派上用场！很多同学总是特别头疼数学成绩，要知道数学题只要掌握了方法，就能够迅速提升。

距离高考还有99天，小编特地为大家整理了一份高中数学老师都推荐的数学解题方法，这里面的21种方法涵盖了高中数学的方方面面，可以说是高中数学解题方法大综合，各位同学一定要记得收藏哦！解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。

因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。

配方法的主要根据有：换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。

换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。

专题1——利用定积分定义求极限 (1) 哎呀，这可是个大问题啊！今天我们来聊聊一个特别重要的数学概念——极限。

你们知道吗？极限可是数学里的灵魂啊！它就像是我们生活中的大佬，总是能解决我们遇到的各种难题。

极限到底是什么呢？别着急，我给大家慢慢道来。

我们要明白什么是定积分。

定积分就像是一种加法，它可以把无穷多个小矩形拼接起来，形成一个更大的矩形。

这个更大的矩形的面积就是我们要找的那个数。

这个过程可能会遇到一个问题——无穷多个小矩形怎么才能拼成一个大矩形呢？这时候，我们就需要用到极限的概念了。

极限就像是一个桥梁，它可以帮助我们把无穷多个小矩形联系起来。

当我们把无穷多个小矩形的面积相加时，如果结果是一个无限大的数，那么我们就可以说这个数是无穷大；如果结果是一个有限的数，那么我们就可以说这个数是有限的。

而极限就是帮助我们确定这个数到底是无穷大还是有限的。

怎么求极限呢？其实，求极限的方法有很多种。

这里我给大家介绍一种最简单、最直接的方法——四分之法。

具体操作方法就是：把分子和分母都除以同一个非零常数，然后再求极限。

这样做的好处是，可以简化我们的计算过程，让我们更容易地找到答案。

求极限并不是一件容易的事情。

有时候，我们需要通过一些巧妙的方法来突破困境。

比如说，我们可以利用“夹逼定理”来求极限。

这个定理告诉我们，如果一个函数在某个区间内单调递增或单调递减，那么它在这个区间内的极限就是它的端点值。

这样一来，我们就可以通过比较两个端点值的大小来求出函数在这个区间内的极限了。

还有一种求极限的方法叫做“洛必达法则”。

这个法则适用于那些形式比较复杂的极限问题。

它的操作方法是：先对分子和分母分别求导，然后再求极限。

这样做的好处是，可以帮助我们找到隐藏在复杂表达式中的规律，从而更容易地求出极限。

求极限是数学中的一个重要概念，也是我们解决实际问题的关键。

虽然求极限的过程可能会遇到很多困难，但是只要我们掌握了正确的方法，就一定能够攻克这些难关。

浅谈用定积分的定义解决极限问题王涛（周恩来政府管理学院 政治学与行政学 0612723）摘 要：数学是一门锻炼人的逻辑思维能力的科目。

我们在学习数学的过程中经常遇到的是计算题和证明题，掌握一定的方法和技巧对于我们快速地解出题目是非常有帮助的。

有些方法和技巧其实是对定义、概念深入理解所得到的。

本文主要探讨用定积分的定义来解决求极限的问题。

关键词：定积分的定义；定积分；极限；曲边梯形的面积在高等数学的学习中，微积分的学习占有很大的比重，地位也是很重要的。

微积分分为微分学和积分学，而微分运算与积分运算之间是互为逆运算的关系。

我们通常把微分运算看作正向运算，而把积分运算看作是微分的逆运算，在以往的实际学习上我们也可以看出这点：加减法，乘除法，平方开方，指数对数，三角函数反三角函数等等。

而在高等数学的学习中我们首先接触的是微分，然后是积分；从掌握程度上，我们对于正向运算的掌握程度可能要好于逆向运算，不管是学习的速度还是做题的准确性，正向运算可能都要好于逆向运算。

然而正逆运算是互通的，熟练掌握这两种运算对于增加解题方法，做到融会贯通都是很有帮助的。

下面就来介绍用积分学中定积分的定义来解决微分学中极限的问题。

我们一般在求解极限问题时，经常用到的方法是：极限的定义、性质，几种重要极限、洛必达法则、泰勒公式等。

但这些方法都局限于微分学中，没有超越微分学的范围，而我们知道微分与积分是互为逆运算的，那么运用积分学的方法来解决极限问题是否可行？答案是肯定的。

用定积分的定义就是解决极限问题的又一方法。

要用定积分的定义来求解极限问题，我们首先要弄清定积分的定义。

定积分的定义：设函数y =)(x f 定义在区间[]b a ,上有界，在[]b a ,上任意插入分点：a =n n x x x x ＜＜＜＜110-⋯=b ,令i x ∆=1--i i x x ，又任取[∈i ξi i x x ,1-], i =1,2,…n .作和式i ni i n x f I ∆∑==)(1ξ，令{}i ni x x ∆=∆≤≤m a x 1，如果当0→∆i x 时，和式n I 的极限存在，且此极限与[]b a ,的分法及i ξ的取法无关，则称函数)(x f 在[]b a ,上是可积的，并称该极限值为)(x f 在[]b a ,上的定积分，记作⎰b adx x f )(，即i ni i b ax x f dx x f ∆=∑⎰=→∆)()(10lim ξ.其中函数)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[]b a ,称为积分区间。

考研数学：用定积分定义计算极限的方法和技巧求极限是考研数学中的一个重要考点，每年都考，因此，各位考生应该学会如何熟练地求极限。

求极限的方法很多，包括：利用四则运算、两个准则、两个重要公式、变量代换、等价代换、恒等变形（指数化，有理化，三角变换等）、洛必达法则、泰勒公式、导数定义、定积分定义、中值定理和无穷级数。

为了帮助各位考生掌握好求极限的各种方法，文都考研辅导老师会向大家逐步地介绍这些方法，今天将向大家介绍如何用定积分定义求极限的方法，供各位考生参考。

用定积分定义求极限的基本思路：根据定积分的定义：若()f x 在[,]a b 上可积，则01lim()()nbiiak f x f x dx λξ→=∆=∑⎰，其中1max{}i i n x λ≤≤=∆，若取(),i i b a b a kx a n nξ--∆==+，则得1()lim []()nb a n k b a k b af a f x dx n n→∞=--+=∑⎰，特别是，当0,1a b ==时，1011lim ()=()n n k kf f x dx n n →∞=∑⎰。

如果所求极限可以转化为这些和式的极限形式，则可以运用定积分定义计算极限。

适用情形：利用定积分定义计算极限，主要用于n 项和式（或可以化为n 项和式）的极限计算，n 项和式中的每项须具有同样的表示形式（是某个函数()f x 的函数值），如果是分式，则分子的次数须相同，分母的次数须相同，且分母的次数须比分子的次数高1次。

一般求解步骤：1）先对和式进行恒等变形化简，使之符合11()n k k f n n =∑或1()[]nk b a k b af a n n =--+∑的表示形式；2）利用定积分的性质计算出积分值；3）由定积分值得出原和式的值（有时结合使用夹逼准则）。

典型例题：例1.求2lim+nn →∞+解：2lim+n In →∞=+111lim nn i n →∞==⎰，令tan x t =，则2444000sec sec ln sec tan ln(1sec tI dt tdt t ttπππ===+=+⎰⎰例2.求1lim()(1)nn k kn k n k →∞=+++∑ 解：先进行恒等变形化简，然后用定积分定义计算极限，具体过程如下：11()()(1)1nnk k k k kn k n k n k n k ===-=++++++∑∑ 112233()()()()1223341n nn n n n n n n n n n -+-+-++-=+++++++++1121nk n n kn =-++∑，1112122n n n=→++，1100111111lim lim ln(1)ln 211nn n n k k dx x k n k n x n→∞→∞===⋅==+=+++∑∑⎰，所以，原式=1ln 22- 例3. 求2sinsinsinlim (+++)1112n n n n n n n n n πππ→∞+++ 解：此题须结合夹逼准则求极限：112sinsinsin11sin +++sin 11112nn i i n i i n n n n n n n n n n n πππππ==≤≤++++∑∑，1011112lim sin lim sin sin 11n n n ni i i n i xdx n n n n n ππππ→∞→∞===⋅==++∑∑⎰，由夹逼准则得，所求极限为2π 例4. 求limn n→∞解：此题表达式是乘积的形式，通过指数化方法可以化为n 项和的形式：11011limlnln 12lim lim()nn i ixdxn n nn n nI e e n n nn→∞=→∞→∞∑⎰==⋅⋅⋅==，1111ln lim ln lim[(ln )]lim [ln 1+]=1xdx xdx x x dx εεεεεεεεε+++→→→==-=---⎰⎰⎰，故1I e -= 上面就是考研数学中如何用定积分定义求极限这类问题的解题方法，供考生们参考借鉴。

专题1——利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：① 是n →∞时的极限② 极限运算中含有连加符号1n i =∑在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为b a n-（即定义中的i x ∆），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n--++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n-+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i ii f x ξ=∆∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰。

（取左端点时1lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n→∞=--+-=∑⎰） 注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑⎰。