第27章 圆与正多边形 知识点整理

正多边形和圆一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。

二、知识要点1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。

（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

2、正多边形的对称性（1）、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

24.3正多边形和圆一、填空题1． 在一个圆中，如果︒60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________.2． 正n 边形的中心角的度数是_______.3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________.4． 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________.二、选择题5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）.（A ） 两角互余 （B ）两角互补 （C ）两角互余或互补 （D ）不能确定6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）.（A ）2：1 （B ）1：2 （C ）4:3 （D ）2:37．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）21 （D ）41 8．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．已知：如图48-1，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影部分面积为（ ）.（A ）（1-π）a 2 （B ）1-π（C ）44π- （D ）44π-a 21. 3；2. n o360；3. ∏2；4. 2:3； DBABD。

一、圆的知识点总结确定圆的条件1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心(定点)，确定圆的位置；②半径(定长)，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．2. 过已知点作圆⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C、、三点不共线时，、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．⑷过n()4n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．4. 三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.（一）圆的基本性质1、圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆．2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。

27.6正多边形与圆知识点1 正多边形的相关概念（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

（2）正多边形和圆：把一个圆n等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。

正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

（3）正多边形是对称图形。

当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。

（4）与正多边形有关的概念：a正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心；b正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径；c正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。

正n边形的每个中心角都等于360/n，正n边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n.d正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。

正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的中心.正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形每一边所对的外接圆圆心角叫做正多边形的中心角．例题1圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化 例题2正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 例题3正n 边形是 对称图形，它的对称轴有 条 。

例题4正n 边形的每个内角是 ，每个中心角是 。

知识点2 正多边形的计算1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心。

2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角。

3.在正n 变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n 边形的半径，底边是正n 边形的边，顶角是正n 边形的中心角；底边上的高是正n 边形的内切圆的半径，它的长是正n 边形的边心距。

初中数学知识点：正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了，本站编辑为此特为大家整理了正多边形和圆知识点，希望可以帮助大家复习，预祝大家取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD)，已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(，结果精确到1mm)答案：300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可.解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中，AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是：2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是：300mm.同步练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为 ____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于 cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、计算1.已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距 .3.已知圆内接正三角形边心距为 2cm，求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ，求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.15.已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该圆内接正三角形的面积.16.已知圆O内接正n边形边长为an，⊙O半径为R，试用an，R表示此圆外切正n边形边长bn.。

第27章圆与正多边形【考点清单】一、基本概念及性质1.不在同一直线上的三点确定一个圆；2.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；3.圆是中心对称图形，对称中心是圆心；4.在平面上，经过给定两点的圆有无数个，这些圆的圆心联结这两点的线段的垂直平分线上；5.三角形的外心是这个三角形的外接圆的圆心；6.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，都等于这个外接圆的半径；7.直角三角形的外心在斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部；8.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心；9.三角形的内心到三角形的三边的距离相等；10.基本概念：弧、弦、圆心角、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等圆、同心圆、切线、割线、圆心距（线段）、连心线（直线）；正多边形的半径、边心距、中心角；11.等弧：能够重合的两条弧称为等弧。

（长度相等的弧不一定是等弧。

）12.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

13.正n边形（n≥3）：正n边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；当n为奇数时，正n边形是旋转对称图形，不是中心对称图形，最小旋转角=360/n 当n为偶数时，正n边形是中心对称图形；正n边形的内角和：180（n-2）一个内角180（n-2）/n 或者180-（360/n）外角和360°一个外角360°/n每一个正n边形都有一个外接圆和一个内切圆14.点与圆的位置关系（d——点和圆心的距离）15.直线与圆的位置关系（d——圆心到直线的距离）Ex R取何值，圆O与线段AB有一个交点？两个交点？没有交点？R=1，AO取何值时，圆O与线段AB有一个交点？两个交点？没有交点？16.圆与圆的位置关系（d——两圆心之间的距离）图形两圆的位置关系d、R1、R2之间的关系图形两圆的位置关系d、R1、R2之间的关系同心圆d=0二、尺规作图17.作一个圆的圆心：任取非平行的两条弦，作它们的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点即圆心；18.三角形的外心：作任意两边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即三角形的外心；19.三角形的内心：作三角形的任意两个内角的平分线，这两条角平分线的交点即三角形的内心；20.作一个圆的内接正三边形、四边形、六边形、八边形；三、计算21.圆中的相关计算：第一步：常添的辅助线：半径，弦心距，公共弦；第二步：用好垂径定理、四等定理、等腰三角形三线合一性质进行说理；第三步：抓住半径，半弦和弦心距构成的直角三角形OAD，运用勾股定理或三角比进行计算；22.圆中计算的几种类型：（1）已知半径OA，∠AOB，求OD、AB；利用三角比求OD、AD、AB；（2）已知AB和CD，求半径；设半径为R，则OD=R-CD，利用OA²=OD²+AD²求出R；（3）已知半径R和AC，求AB;利用两个直角三角形AD²=AO²-OD²AD²=AC²-CD²得AO²-OD²=AC²-CD²，设OD为x，得R²-x²=AC²-(R-x)²吗，求出x，最后利用勾股定理求AD，从而利用垂径定理得出AB；（4）求三个两两外切的圆的半径设元，根据R1+R2=d 列出方程求解。

圆与正多边形知识点《圆与正多边形知识点：数学世界里的奇妙组合》嘿，大家可别小看了圆与正多边形这些知识点啊，它们就像是数学世界里的一对奇妙好搭档！先来说说圆吧，那家伙就像是个超级圆滑的“老油条”。

圆可是个很有特点的存在，无论从哪个角度看它，都是那副完美的模样，找不到一点儿瑕疵。

它的周长和面积公式就像是它的独门秘籍，只要你掌握了，就能轻松算出它的各种信息。

正多边形呢，就像是一群规规矩矩的“乖孩子”。

它们有着整齐的边和角，每一条边都像士兵站队一样整齐，每一个角都像时钟的指针那样精确。

和圆比起来，正多边形可就老实多了，没那么多弯弯绕绕。

每次学到圆和正多边形的知识点，我就感觉自己像是走进了一个神奇的几何世界。

记得有一次，老师在黑板上画了一个大大的圆，然后开始讲它的性质，我那时候就感觉这个圆就像是个会变魔术的家伙，一会儿能这样，一会儿能那样。

还有正多边形，老师让我们数它的边和角的时候，我就感觉自己像是在跟一群小娃娃打交道，特别有意思。

而且，圆和正多边形在生活中的应用那可多了去了。

比如说，轮子是圆的吧，这样车子才能跑得又稳又快。

正多边形呢，像蜂巢就是正六边形的，勤劳的小蜜蜂可真是天生的几何大师啊！学这些知识点的时候，有时候也会犯迷糊。

比如说，会把周长和面积的公式弄混啦，或者搞不清正多边形的内角和外角的关系啦。

不过没关系，这都是学习的过程嘛。

就像我们走路一样，偶尔也会摔个跤，但是爬起来拍拍屁股，继续往前走就好啦。

总之，圆与正多边形知识点就像是数学世界里的一道亮丽风景线。

它们既有趣又实用，让我们在探索数学奥秘的道路上增添了许多乐趣和挑战。

所以啊，大家可千万别小瞧了它们，好好去探索它们的奇妙之处吧！也许在这个过程中，你会发现自己对数学的热爱更深了呢！。