四川省甘孜藏族自治州2020年高考数学二模试卷(理科)(I)卷

2020年高考（理科）数学二诊试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x |log 2（x ﹣1）＜2}，B ＝N ，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4 }C ．{1，2，3，4 }D ．{0，1，2，3，4 }2．设i 为虚数单位，复数z ＝（a +i ）（1﹣i ）∈R ，则实数a 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．23．等比数列{a n }，若a 3＝4，a 15＝9，则a 9＝（ ） A ．±6B ．6C ．﹣6D ．1324．曲线x 2＝4y 在点（2，t ）处的切线方程为（ ） A ．y ＝x ﹣1B ．y ＝2x ﹣3C ．y ＝﹣x +3D ．y ＝﹣2x +55．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．i ＞5B ．i ＞8C ．i ＞10D ．i ＞126．若双曲线x 24−y 2b =1的离心率e =√72，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．2√3B ．.2C ．.√3D ．.17．若a ∈R ，则“a ＝3“是“x （1+ax ）5的展开式中x 3项的系数为90“的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．将函数f (x)=√3sin2x −cos2x 向左平移π6个单位，得到g （x ）的图象，则g （x ）满足（ ） A ．图象关于点（π12，0）对称，在区间(0，π4)上为增函数B ．函数最大值为2，图象关(π3，0)于点对称 C ．图象关于直线x =π6对称，在[π12，π3]上的最小值为1 D ．最小正周期为π，g （x ）＝1在[0，π4]有两个根9．若函数f （x ）的图象如图所示，则f （x ）的解析式可能是（ ）A ．f(x)=e x +xx B ．f(x)=1−x 2xC ．f(x)=e x −x 2xD ．f(x)=x+1x 210．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，2AB ＝3AA 1＝6，A 1P →=2PB 1，点T 在棱AA 1上，若TP ⊥平面PBC ．则TP →⋅B 1B →=（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣211．已知a ＝log 1213，b ＝（1213）1314，c ＝log 1314，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b12．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数：从第三项起，每一项都等于前面所有项之和（例如：1，3，4，8，16…）．则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为．14．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），并且当0≤x≤1时，f（x）＝2x﹣1，则f（123）＝15．已知平面向量a→，b→的夹角为π3，a→=(√3，1)，且|a→−b→|=√3则|b→|=16．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一．函数D（x）={1，x为有理数0，x为无理数，称为狄里克雷函数．则关于D（x）有以下结论：①D（x）的值域为[0，1]；②∀x∈R，D（﹣x）＝D（x）；③∀T∈R，D（x+T）＝D（x）；④D(1)+D(√2)+D(√3)+⋯+D(√2020)=45；其中正确的结论是（写出所有正确的结论的序号）三、解答题（共5小题，满分60分）17．传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性．三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行．呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩．某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P （K 2≥k ）0.100 0.050 0.010 0.001k2.7063.8416.63510.82818．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AB ＝2，PD ＝t （t ＞0）． （1）若t ＝2，证明：平面DMA ⊥平面PBC ；（2）若三棱锥C ﹣DBM 的体积为43，求二面角B ﹣DM ﹣C 的余弦值．19．如图，在平面四边形ABCD 中，∠D =2π3，sin ∠BAC ＝cos ∠B =513，AB ＝13． （1）求AC ；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．20．设f （x ）＝（a ﹣4）log a x −3a−1x +3a−1（a ＞0且a ≠1）．（1）证明：当a ＝4时，lnx +f （x ）≤0；（2）当x ≥1时f （x ）≤0，求整数a 的最大值．（参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61，ln 7≈1.95）21．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点和右焦点，椭圆C 的离心率为√55，A，B 是椭圆C 上两点，点M 满足BM →=12BA →． （1）求C 的方程；（2）若点M 在圆x 2+y 2＝1上，点O 为坐标原点，求OA →⋅OB →的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =ty =t （t 为参数），直线l 与曲线C ：（x ﹣1）2+y 2＝1交于A 、B 两点． （1）求|AB |的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为(2√2，3π4)，求点P 到线段AB 中点M 的距离． [选修4-5：不等式选讲]23．设f （x ）＝|x |﹣2|x ﹣a |（a ＞0）．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥﹣1的解集； （2）若f （x ）≤1，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A ＝{x |log 2（x ﹣1）＜2}，B ＝N ，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4 }C ．{1，2，3，4 }D ．{0，1，2，3，4 }【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 解：∵集合A ＝{x |log 2（x ﹣1）＜2}＝{x |1＜x ＜5}， B ＝N ，∴A ∩B ＝{2，3，4}． 故选：B ．2．设i 为虚数单位，复数z ＝（a +i ）（1﹣i ）∈R ，则实数a 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得a 值． 解：∵z ＝（a +i ）（1﹣i ）＝（a +1）+（1﹣a ）i ∈R ， ∴1﹣a ＝0，即a ＝1． 故选：A ．3．等比数列{a n }，若a 3＝4，a 15＝9，则a 9＝（ ） A ．±6B ．6C ．﹣6D ．132【分析】由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同可得． 解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同， 等比数列{a n }，若a 3＝4，a 15＝9，则a 92＝a 3•a 15＝36， ∴a 9＝6， 故选：B ．4．曲线x 2＝4y 在点（2，t ）处的切线方程为（ ） A ．y ＝x ﹣1B ．y ＝2x ﹣3C ．y ＝﹣x +3D ．y ＝﹣2x +5【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x ＝2处的导数，求出t ，再由直线方程的点斜式得答案．解：由x 2＝4y ，得y =14x 2，则y ′=12x ，∴y ′|x ＝2＝1，又t =14×22=1，∴曲线x 2＝4y 在点（2，t ）处的切线方程为y ﹣1＝1×（x ﹣2）， 即y ＝x ﹣1． 故选：A ．5．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．i ＞5B ．i ＞8C ．i ＞10D ．i ＞12【分析】由循环体的功能看出，这是一个求奇数数列前n 项和的程序框图，注意这是一个直到型循环结构．解：由题意知，该循环体的算法功能是求数列等差数列1，3，5，7，……前n 项和，并将符合题意的结果S 输出． 令n(1+2n−1)2=25，解得n ＝5．所以加到第5项，显然第五项是9．故判断框内填：i ＞10． 故选：C ． 6．若双曲线x 24−y 2b 2=1的离心率e =√72，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．2√3B ．.2C ．.√3D ．.1【分析】求得双曲线的a ＝2，由离心率公式解得b ，求出渐近线方程和焦点，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值． 解：双曲线x 24−y 2b 2=1的a ＝2，c =√4+b 2，由e =c a =√72，解得b =√3．渐近线方程为y ＝±√32x ，即为√3x ±2y ＝0， 则双曲线的右焦点（√7，0）到渐近线的距离是√3⋅√7√3+4=√3．故选：C ．7．若a ∈R ，则“a ＝3“是“x （1+ax ）5的展开式中x 3项的系数为90“的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】利用通项公式即可得出．解：（1+ax ）5的展开式中通项公式T k +1=∁5k a k x k， 令k ＝2，可得：x 3项的系数为∁52a 2＝90，解得：a ＝±3．∴“a ＝3“是“x （1+ax ）5的展开式中x 3项的系数为90“的充分不必要条件． 故选：B ．8．将函数f (x)=√3sin2x −cos2x 向左平移π6个单位，得到g （x ）的图象，则g （x ）满足（ ） A ．图象关于点（π12，0）对称，在区间(0，π4)上为增函数B ．函数最大值为2，图象关(π3，0)于点对称 C ．图象关于直线x =π6对称，在[π12，π3]上的最小值为1 D ．最小正周期为π，g （x ）＝1在[0，π4]有两个根【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：将函数f (x)=√3sin2x −cos2x =2sin （2x −π6）的图象向左平移π6个单位，得到g （x ）＝2sin （2x +π6）的图象， 故g （x ）的最大值为2，最小正周期为2π2=π．令x =π12，求得g （x ）=√3，故g （x ）的图象不关于点（π12，0）对称，故A 不正确；令x =π3，求得g （x ）＝1，故g （x ）的图象不关于点（π3，0）对称，故B 不正确；令x =π6，求得g （x ）＝2，为最大值，故g （x ）的图象关于直线x =π6对称， 在[π12，π3]上，2x +π6∈[π3，5π6]，g （x ）的最小值为1，故C 正确；在[0，π4]上，2x +π6∈[π6，2π3]，由g （x ）＝1，可得sin （2x +π6）=12，此时，2x +π6=π6，∴x ＝0，故g （x ）＝1在[0，π4]上仅有一个实数根，故D 错误， 故选：C ．9．若函数f （x ）的图象如图所示，则f （x ）的解析式可能是（ ）A ．f(x)=e x +xxB ．f(x)=1−x 2xC ．f(x)=e x −x 2xD ．f(x)=x+1x 2【分析】根据题意，由排除法分析选项中函数的图象，排除A 、B 、D ，即可得答案． 解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，f(x)=e x +x x=e xx +1，当x →﹣∞时，f （x ）→1，不符合题意； 对于B ，f （x ）=1−x 2x，有f （1）＝0，不符合题意；对于D ，f （x ）=x+12，在区间（﹣∞，﹣1）上，f （x ）＜0，在区间（﹣1，0）上，f （x ）＞0，不符合题意； 故选：C ．10．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，2AB ＝3AA 1＝6，A 1P →=2PB 1，点T 在棱AA 1上，若TP ⊥平面PBC ．则TP →⋅B 1B →=（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【分析】先根据已知得到TP ⊥PB ，且AP ＝2，BP ＝1；再利用向量的三角形法则对所求一步步转化即可求解．解：因为长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，2AB ＝3AA 1＝6，A 1P →=2PB 1，点T 在棱AA 1上，且TP ⊥平面PBC ． ∴TP ⊥PB ，且AP ＝2，BP ＝1；∴TP →⋅B 1B →=TP →•（B 1P →+PB →）=TP →•B 1P →+0＝（TA 1→+A 1P →）•B 1P →=TA 1→•B 1P →+A 1P →•B 1P →=A 1P →•B 1P →=2×1×cos180°＝﹣2； 故选：D ．11．已知a ＝log 1213，b ＝（1213）1314，c ＝log 1314，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b【分析】作差即可得出log 1314−log 1213=log 1314⋅log 1312−1log 1312，而根据基本不等式即可得出log 1314•log 1312＜1，从而可得出a ＞c ＞1，并容易得出b ＜1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．解：log 1314−log 1213=log 1314−1log 1312=log 1314⋅log 1312−1log 1312， ∵log 1314⋅log 1312＜(log 1314+log 13122)2=(log 131682)2＜1， ∴log 1314＜log 1213，且log 1314＞1，(1213)1314＜(1213)0=1，∴a ＞c ＞b ． 故选：D ．12．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数：从第三项起，每一项都等于前面所有项之和（例如：1，3，4，8，16…）．则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ）A．3B．4C．5D．6【分析】根据超级斐波那契数列的定义，用等比数列通向公式表达该数列第三项起的式子，在正整数的限制下，计算某一项为2020即可．解：由题意，根据超级斐波那契数列的定义及首项为2，设第二项为m，则该级斐波那契数列：第一项：2；第二项：m；第三项：2+m；第四项：2（2+m）；第五项：22（2+m）；……第n项：2n﹣3（2+m）．（n≥3）由题，该级斐波那契数列的某一项为2020．n＝2时，m＝2020成立；n≥3时，令2n﹣3（2+m）＝2020，∵m为正整数，n也为正整数，∴符合题意的情况有以下三种：n＝3，m＝2018；n＝4，m＝1008；n＝5，m＝503．综上所述，首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数共有4种．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为25．【分析】基本事件总数n=C52=10，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C41=4，由此能求出甲被选中的概率．解：从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，基本事件总数n=C52=10，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C41=4，∴甲被选中的概率P=mn=410=25．故答案为：25．14．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），并且当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x ﹣1，则f （123）＝ ﹣1【分析】由已知可得函数的周期 T ＝4，然后结合周期及已知函数解析式可求． 解：由定义在R 上的奇函数f （x ），即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 又因为f （1+x ）＝f （1﹣x ）＝﹣f （x ﹣1）， 所以f （x +2）＝﹣f （x ），所以f （x +4）＝f （x ），可知函数的周期T ＝4， 因为当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x ﹣1，则f （123）＝f （31×4﹣1）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣1． 故答案为：﹣1．15．已知平面向量a →，b →的夹角为π3，a →=(√3，1)，且|a →−b →|=√3则|b →|= 1【分析】根据平面向量的数量积求夹角和模长即可． 解：由a →=（√3，1），得|a →|=√3+1=2，又平面向量a →，b →的夹角为π3，且|a →−b →|=√3，所以(a →−b →)2=a →2−2a →•b →+b →2=4﹣2×2×|b →|×cos π3+|b →|2=3，化简得|b →|2−2|b →|+1＝0， 解得|b →|=1． 故答案为：1．16．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一．函数D （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，称为狄里克雷函数．则关于D （x ）有以下结论：①D （x ）的值域为[0，1]； ②∀x ∈R ，D （﹣x ）＝D （x ）； ③∀T ∈R ，D （x +T ）＝D （x ）；④D(1)+D(√2)+D(√3)+⋯+D(√2020)=45； 其中正确的结论是 ② （写出所有正确的结论的序号） 【分析】①可由题意求出值域，②分类讨论，有理数，无理数，分别证明，③实数加减时，可是有理数，可是无理数，可举例知其错， ④从已给的去取值中找出所有的有理数个数，可求结果． 解：①由题意知值域为{0，1}，①错；②如果x 为有理数，﹣x 也为有理数，D （﹣x ）＝D （x ）＝1； 如果x 为无理数，﹣x 也为无理数，D （﹣x ）＝D （x ）＝0； 故②∀x ∈R ，D （﹣x ）＝D （x ），②对；③实数加减时，可能是有理数，可能是无理数，例如取x =√2，T =−√2，则D （x +T ）＝1≠D （x ）＝0，③错；④x ＝1，√2，√3，…，√2020，则x 只有取1，2，3，…，44=√1936，共44个有理数，即只有44个数使D （x ）＝1，④错； 故答案为②三、解答题（共5小题，满分60分）17．传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性．三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行．呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩．某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：戴口罩 不戴口罩 青年人 50 10 中老年人2020（1）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P （K 2≥k ）0.100 0.050 0.010 0.001k2.7063.8416.63510.828【分析】（1）由已知表格中的数据求得K 2，结合临界值表得结论；（2）直接利用二项分布的概率计算公式求解．解：（1）由题意可知，K 2=100(50×20−20×10)260×40×70×30=80063≈12.698＞10.828．∴有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关；（2）由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为13，中老年人的概率为23．∴5人未戴口罩，恰有2人是年轻人的概率为P =C 32(13)2(23)3=80243． 18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AB ＝2，PD ＝t （t ＞0）． （1）若t ＝2，证明：平面DMA ⊥平面PBC ；（2）若三棱锥C ﹣DBM 的体积为43，求二面角B ﹣DM ﹣C 的余弦值．【分析】（1）推导出AD ⊥PD ，AD ⊥DC ，从而AD ⊥平面PDC ，推导出DM ⊥PC ，从而PC ⊥平面ADM ，由此能证明平面DMA ⊥平面PBC ；（2）过M 作MN ∥PD ，交DC 于N ，推导出MN ⊥平面ABCD ，由三棱锥C ﹣DBM 的体积为43，解得PD ＝4，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B ﹣DM ﹣C 的余弦值．解：（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥PD ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ⊥DC ， ∵PD ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面PDC ，△PDC 中，t ＝PD ＝DC ＝2，M 为PC 的中点， ∴DM ⊥PC ，∵AD ∩DM ＝D ，∴PC ⊥平面ADM ， ∵PC ⊂平面PBC ，∴平面DMA ⊥平面PBC ；（2）解：过M 作MN ∥PD ，交DC 于N ，如图， ∵M 是PC 中点，∴MN ∥=12PD ，∴MN =12t ，∵PD ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ， ∵三棱锥C ﹣DBM 的体积为43，∴V C ﹣DBM ＝V M ﹣DBC =13S △DBC ⋅MN =13×12×22×t 2=43，解得t ＝PD ＝4， ∵PD 、DA 、DC 两两垂直，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则D （0，0，0），B （2，2，1），C （0，2，0），M （0，1，2）， 设平面DBM 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DB →=2x +2y =0n →⋅DM →=y +2z =0，取x ＝2，得n →=（2，﹣2，1）， 平面DMC 的法向量m →=（1，0，0）， 设二面角B ﹣DM ﹣C 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=23，∴二面角B ﹣DM ﹣C 的余弦值为23．19．如图，在平面四边形ABCD 中，∠D =2π3，sin ∠BAC ＝cos ∠B =513，AB ＝13． （1）求AC ；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．【分析】（1）由sin ∠BAC ＝cos ∠B =513，可得AC ⊥BC ，再由AB 的值，进而求出AC ； （2）四边形的面积分成2个三角形的面积，三角形ABC 为直角三角形，由（1）可得S△ABC面积，在三角形ADC 中由余弦定理及均值不等式可得AD •DC 的最大值，代入面积公式可得S △ADC 的最大值，进而求出S ABCD 的最大值． 解：（1）在三角形ABC 中，sin ∠BAC ＝cos ∠B =513，可得AC ⊥BC ， AB ＝13，所以BC ＝AB •cos B ＝13⋅513=3，AC ＝AB •sin B ＝13⋅1213=12， 所以AC ＝12．（2）S ABCD ＝S △ABC +S △ADC =12AC ⋅AB +12AD •CD •sin D =12⋅12⋅5+12⋅√32AD •CD ＝30+√34•AD •CD ，在三角形ADC 中，由余弦定理AC 2＝AD 2+CD 2﹣2AD •DC •cos 2π3≥2AD •DC +DC ＝3AD•DC ，所以3AD •DC ≤AC 2＝122，所以AD •DC ≤48，所以S ABCD ≤30+√34•48＝30+12√3，所以四边形ABCD 面积的最大值为30+12√3．20．设f （x ）＝（a ﹣4）log a x −3a−1x +3a−1（a ＞0且a ≠1）． （1）证明：当a ＝4时，lnx +f （x ）≤0；（2）当x ≥1时f （x ）≤0，求整数a 的最大值．（参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61，ln 7≈1.95）【分析】（1）将a ＝4代入，令g （x ）＝lnx +f （x ）＝lnx ﹣x +1（x ＞0），利用导数求函数g （x ）的最大值小于等于0即可得证； （2）求导得f′(x)=a−4lna⋅x −3a−1，然后分0＜a ＜1，1＜a ≤4及a ＞4三种情况讨论，利用导数结合零点存在性定理即可得出结论．解：（1）证明：当a ＝4时，令g （x ）＝lnx +f （x ）＝lnx ﹣x +1（x ＞0），则g′(x)=1x −1=1−xx， ∴当0＜x ＜1时，g ′（x ）＞0，g （x ）单增，当x ＞1时，g ′（x ）＜0，g （x ）单减， ∴g （x ）≤g （1）＝0， ∴lnx +f （x ）≤0； （2）f′(x)=a−4lna⋅x −3a−1， 当0＜a ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）在[1，+∞）单调递增，则f （x ）≥f （1）＝0，不合题意；当1＜a ≤4时，f ′（x ）＜0，f （x ）在[1，+∞）单调递减，则f （x ）≤f （1）＝0，满足题意；当a ＞4时，令f ′（x ）＝0，解得x =(a−4)(a−1)3lna ，记x 0=(a−4)(a−1)3lna，∴f （x ）在（0，x 0）单调递增，在（x 0，+∞）单调递减， 又f （1）＝0，要使f （x ）≤0在[1，+∞）上恒成立，需使x 0≤1，即(a−4)(a−1)3lna≤1，即3lna ﹣a 2+5a ﹣4≥0，令h （a ）＝3lna ﹣a 2+5a ﹣4（a ＞4），则h′(a)=3a−2a +5＜0， ∴h （a ）在（4，+∞）上单调递减，又h （5）＝3ln 5﹣4≈3×1.61﹣4＞0，h （6）＝3ln 6﹣10＜3×3﹣10＝﹣1＜0， ∴由零点存在性定理可知，存在a 0∈（5，6），使得h （a 0）＝0， ∴4＜a ≤a 0，综上，1＜a ≤a 0，且a 0∈（5，6），故当x ≥1时，使得f （x ）≤0恒成立的整数a 的最大值为5． 21．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点和右焦点，椭圆C 的离心率为√55，A，B 是椭圆C 上两点，点M 满足BM →=12BA →． （1）求C 的方程；（2）若点M 在圆x 2+y 2＝1上，点O 为坐标原点，求OA →⋅OB →的取值范围． 【分析】（1）依题意可得，c =1，a =√5，b =2，由此可得椭圆方程； （2）易知M 为AB 的中点，当AB 与x 轴垂直时，易求得OA →⋅OB →=−115，当AB 与x 轴不垂直时，设出直线方程y ＝kx +m ，并与椭圆方程联立，由韦达定理及点M 在圆上，可得m 2=(4+5k 2)225k 2+16，再利用平面向量数量积公式，化简后用变量k 表示出OA →⋅OB →，通过换元，利用双勾函数的性质可得OA →⋅OB →的取值范围，综合即可得解． 解：（1）由题意可知，c =1，c a =√55，则a =√5，b 2=a 2−c 2=4，∴椭圆的方程为x 25+y 24=1；（2）由BM →=12BA →可知，M 为AB 的中点，又点M 在圆x 2+y 2＝1上，①当AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝±1，将其代入椭圆方程x 25+y 24=1中，得y =±4√55，∴A(±1，4√55)，B(±1，−4√55)，∴OA →⋅OB →=1−165=−115； ②当AB 与x 轴不垂直时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为y ＝kx +m ，将其代入椭圆方程x 25+y 24=1中，消y 并整理得，（4+5k 2）x 2+10kmx +5m 2﹣20＝0，则x 1+x 2=−10km 4+5k2，x 1x 2=5m 2−204+5k2，设M （x 0，y 0），则x 0=x 1+x 22=−5km 4+5k 2，y 0=y 1+y 22=k(x 1+x 2)+2m 2=4m4+5k2， ∵M 在圆x 2+y 2＝1上， ∴x 02+y 02=1，即(−5km 4+5k2)2+(4m 4+5k2)2=1，∴m 2=(4+5k 2)225k 2+16，∴OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)⋅5m 2−204+5k2−km ⋅10km 4+5k2+m 2=9m 2−20k 2−204+5k2=9×(4+5k 2)225k 2+16−20k 2−204+5k2，设t ＝4+5k 2，5k 2＝t ﹣4（t ≥4），则x 1x 2+y 1y 2=9t 5t−4−4t −4=95−4t−4t −4=95−4t+(5−4t )−9， 设z =5−4t ∈[4，5)，则x 1x 2+y 1y 2=9z+z −9， 由双勾函数的性质可知，h(z)=9z+z −9在[4，5）上为增函数， ∴−114≤h(z)＜−115，即x 1x 2+y 1y 2∈[−114，−115)． 综上，OA →⋅OB →的取值范围为[−114，−115]． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =ty =t （t 为参数），直线l 与曲线C ：（x ﹣1）2+y 2＝1交于A 、B 两点． （1）求|AB |的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为(2√2，3π4)，求点P 到线段AB 中点M 的距离． 【分析】（1）直接利用转换关系的应用求出结果．（2）利用一元二次方程的解法和两点间的距离公式的应用求出结果．解：（1）直线l 的参数方程为{x =ty =t （t 为参数），转换为直角坐标方程为：x ﹣y ＝0． 直线l 与曲线C ：（x ﹣1）2+y 2＝1交于A 、B 两点． 所以：圆心（1，0）到直线x ﹣y ＝0的距离d =1√2=√22． 则：|AB |＝2√1−(22)2=√2．（2）把直线x ﹣y ＝0代入曲线C ：（x ﹣1）2+y 2＝1的方程得到2x 2﹣2x ＝0，解得x ＝0或1，所以交点的坐标为A （0，0），B （1，1），所以M （12，12），P 的极坐标为(2√2，3π4)，转换为直角坐标为（﹣2，2）， 所以|PM |=√(−2−12)2+(2−12)2=√342．[选修4-5：不等式选讲]23．设f （x ）＝|x |﹣2|x ﹣a |（a ＞0）．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥﹣1的解集； （2）若f （x ）≤1，求a 的取值范围．【分析】（1）将a ＝1代入，利用零点分段法，可将函数的解析式化成分段函数的形式，进而分类讨论各段上f （x ）≥﹣1的解，最后综合讨论结果，可得不等式f （x ）≥﹣1的解集．（2）利用零点分段法，可将函数的解析式化成分段函数的形式，结合一次函数的单调性可分析出函数的f （x ）的单调性，进而求出函数f （x ）的最大值，得到实数a 的取值范围．解：（1）f （x ）＝|x |﹣2|x ﹣1|≥﹣1，∴{x −2≥−1x ≤0或{3x −2≥−10＜x ＜1或{−x +2≥−1x ≥1，分别解得x ∈∅或13≤x ＜1或1≤x ≤3，综上所述不等式的解集为[13，3]．（2）由f （x ）={x −2a ，x ≤03x −2a ≥1，0＜x ＜a −x +2a ，x ≥a，则f （x ）在（﹣∞，a ）上单调递增，在（a ，+∞）上单调递减， ∴当x ＝a 时，f （x ）取最大值a ， 若f （x ）≤1，则0＜a ≤1， 故a 的取值范围为（0，1]．。

四川省甘孜藏族自治州（新版）2024高考数学部编版模拟(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（）．A．B．C．D．第(2)题设偶函数满足，则A．B．C．D．第(3)题已知函数，若将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列说法正确的是（）A．的最小正周期为B．将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称C．当取得最值时，D．当时，的值域为第(4)题使得，则的函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数取值范围为（）A．B．C．D．第(5)题质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，当和从圆与轴正半轴的交点同时出发，且点的角速度是点的角速度大小的2倍.当点第一次运动到射线与圆的交点时，点运动到点处，此时等于（）A．B．C．D．第(6)题已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（）A．B．C．D．第(7)题设，则的大小关系为（）A．B．C．D．第(8)题设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于A．B．或2C．2D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的部分图像如图所示，则（）A．B．C ．在上单调递增D．若为偶函数，则第(2)题如图，棱长为2的正方体中，点是棱的中点，则下列结论中正确的是（）A．点到平面距离相等B ．若平面，且与所成角是，则点的轨迹是椭圆C．三棱锥的外接球的表面积为D．若线段，则的最小值是第(3)题如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法正确的是（）A．与垂直B．是异面直线与的公垂线段，C．异面直线与所成的角为D．异面直线与间的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题样本数据24，8，35，23，7，10，11，30的60%分位数为______.第(2)题我们通常称离心率为的双曲线为“黄金双曲线”，写出一个焦点在x轴上，对称中心为坐标原点的“黄金双曲线”C的标准方程________．第(3)题已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求C；(2)求的最大值．第(2)题已知函数.（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；（2）已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，求的面积.第(3)题全球新冠肺炎疫情反反复复，国家卫健委专家建议大家出门时佩戴口罩.为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某市质监局从药店随机抽取了500包某种品牌的口罩，测量其一项质量指标值，如下：质量指标值频10451101651204010数(1)求这500包口罩质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)从质量指标值在的口罩中，按分层抽样抽取5包，从这5包中随机抽取2包，求两包口罩的质量指标值分别在和内的概率.第(4)题已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围第(5)题在中，角所对的边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)若，求的面积．。

四川省甘孜藏族自治州2020版高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站一次只能停靠一辆汽车),有一位乘客等候4路或8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·吉林期中) 若直线l的斜率k的取值范围为[﹣1，1]，则其倾斜角α的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二下·河南期中) 下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过（）x0123y1357A . 点（2，2）B . 点（1.5，2）C . 点（1，2）D . 点（1.5，4）4. （2分）与直线关于轴对称的直线方程为（）A .B .C .D .5. （2分）给出下列三个问题：①从高二（3）班60名学生中，抽出8名学生去参加座谈②将全年级学号尾数为5的同学的作业收来检查③甲乙丙三个车间生产了同一种产品分别为60件，40件、30件，为了解产品质量，取一个容量为13的样本调查则以上问题适宜采用的抽样方法分别是（）A . 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样B . 简单随机抽样、分层抽样、系统抽样C . 系统抽样、分层抽样、简单随机抽样D . 系统抽样、简单随机抽样、分层抽样6. （2分） (2017高三下·深圳月考) 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·钦州港期末) 已知圆O的方程为x2+y2=4，P是圆O上的一个动点，若线段OP的垂直平分线总是被平面区域|x|+|y|≥a覆盖，则实数a的取值范围是（）A . 0≤a≤2B .C . 0≤a≤1D . a≤18. （2分）若直线（3a+2）x﹣3y+8=0和直线3x+（a+4）y﹣7=0相互垂直，则a的值为（）A . 0B . 1C . 0或1D . 0或﹣19. （2分）(2016·安徽模拟) 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A . 4B . 5C . 6D . 710. （2分）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

甘孜藏族自治州2020版中考数学二模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共13题；共26分)1. （2分） (2020七上·扬州期末) 在3.14159，4，1.1010010001，，π，中，无理数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）如图，已知∠DAE=∠B，∠DAB=∠C，则下列结论不成立的是（）A . AD∥BCB . ∠B=∠CC . ∠DAB+∠B="180°"D . AB∥CD3. （2分）随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占为7×10-7平方毫米，这个数用小数表示为（）A . 0.000007B . 0.000070C . 0.0000700D . 0.00000074. （2分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A . 正方体B . 长方体C . 三棱柱D . 三棱锥5. （2分） (2019七下·蜀山期中) 下列计算中，正确是（）A . （π﹣3.14）0＝1B . （x﹣2）2＝x2﹣4C . ﹣a3•（﹣a）2＝a6D . （﹣ x2y）3＝﹣ x6y36. （2分） (2017八下·容县期末) 若＝－a ，则a的取值范围是（）A . －3≤a≤0B . a≤0C . a＜0D . a≥－37. （2分）(2018·福清模拟) 在一次数学阶段考试中，某小组7名同学的成绩（单位：分）分别是65，80，70，90，95，100，70，这组数据的众数是（）A . 90B . 85C . 80D . 708. （2分）函数y=中自变量x的取值范围是（）A . x≤3B . x≥3C . x≠3D . x=39. （2分）有两边相等的三角形的两边长为3cm,5cm,则它的周长为（）A . 8cmB . 11cmC . 13cmD . 11cm或13cm10. （2分）如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，OM=，则sin∠CBD的值等于（）A .B .C .D .11. （2分）已知(x+3)2+|3x+y+m|=0中，y为负数，则m的取值范围是（）A . m＞9B . m＜9C . m＞-9D . m＜-912. （2分） (2016九上·宝丰期末) 在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A . y=3（x+1）2+2B . y=3（x+1）2﹣2C . y=3（x﹣1）2+2D . y=3（x﹣1）2﹣213. （2分） (2020九上·醴陵期末) 已知二次函数y=ax2+bx+c（）的图像如图所示，则下列结论：（1）ac>0;（2）方程ax2+bx+c=0的两根之积小于0；（3）a+b+c<0；（4）ac+b+1 <0,其中符合题意的个数（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共6题；共6分)14. （1分） (2018七上·桥东期中) 已知代数式的值是1，则代数式值是________.15. （1分） (2017九上·文安期末) 某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y= x2+ x（x＞0），若该车某次的刹车距离为9m，则开始刹车时的速度为________ m/s．16. （1分） (2018九上·金山期末) 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，那么cosA=________．17. （1分） (2017八下·东营期末) 直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为________．18. （1分） (2016七下·新余期中) 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为________．19. （1分） (2017九下·无锡期中) 如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．三、解答题 (共7题；共71分)20. （5分）(2017·思茅模拟) 先化简，再求值：（1﹣）÷ ．其中a为自己喜欢的有理数．21. （10分）(2016·南山模拟) 今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．对雾霾了解程度的统计表：对雾霾的了解程度百分比A．非常了解5%B．比较了解mC．基本了解45%D．不了解n请结合统计图表，回答下列问题．对雾霾天气了解程度的条形统计图对雾霾天气了解程度的扇形统计图（1）本次参与调查的学生共有________人，m=________，n=________；（2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是________度；（3）请补全图1示数的条形统计图________；（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从“非常了解”态度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．22. （10分） 2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦，也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．（1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因（2）若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．23. （10分） (2019七下·岳池期中) 为全力推进农村公路快速发展，解决农村“出行难”问题，现将A、B、C三村连通的公路进行硬化改造（如图所示），铺设成水泥路面．已知B村在A村的北偏东65°方向上，∠ABC=100°．（1） C村在B村的的什么方向上？（2）甲、乙两个施工队分别从A村、C村向B村施工，两队的施工进度相同，A村到B村的距离比C到B村的距离多600米，甲队用了9天完成铺设任务，乙队用了6天完成铺设任务，求两段公路的总长．24. （11分） (2016八上·揭阳期末) 一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车．设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题：（1）甲乙两地之间的距离为________千米；（2）求快车和慢车的速度；（3）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.25. （10分）(2017·石景山模拟) 如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE=AF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠EAF=60°，CF=2，求AF的长．26. （15分）(2017·济宁模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．参考答案一、选择题 (共13题；共26分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、填空题 (共6题；共6分)14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共7题；共71分)20-1、21-1、21-2、21-3、21-4、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、26-1、26-2、。

2020年第二次全国大联考【四川卷】理科数学试卷考试时间：120分钟；满分150分第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合231{|(1),},22A x x x x =-≤-∈R ,NB =则集合B A I 的真子集个数为（ ）A. 3B. 4C. 7D. 82．已知,2i z +=（i 是虚数单位），z 的共轭复数是z ，则=⋅-|)23(|z z （ ） A.5B. 25C. 4D. 33．已知向量)2,1(=，)0,1(-=，b a +λ与b a -垂直，则实数λ的值为（ ） A.1B. 31-C. 31D. 1-4. 已知回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=，样本点的中心为),(y x ，若回归直线的斜率估计值为2，且∑==10130i ix，∑==10150i i y ，则回归直线方程为（ ）A ．32ˆ-=x yB ．42ˆ-=x yC ．12ˆ-=x yD ．22ˆ+=x y 5. “1=k ”是“函数xxk k x f e1e )(+-=（k 为常数）在定义域上是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件 6. 设]3,0[∈x ，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中 随机取一个数a ，"0102"≥-a 的概率为（ ）A ．32 B ．65 C ．75 D ．74 7. 如图是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（ ） A ．3326a π B ．386a π C ．36a πD ．336a π 8. 已知2->a ，若圆1O ：01582222=---++a ay x y x ，圆2O ：04422222=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（ ）A ．),3[]1,2(+∞--YB ．),3()1,35(+∞--Y C ．),3[]1,35[+∞--Y D ．),3()1,2(+∞--Y9. 已知b ax x x f ++=2)(，422)(2--=x x x g ，若|)(||)(|x g x f ≤对任意x ∈R 恒成立，则xa xb -+1||||的取值范围为（ ） A. ]223,(--∞ B. ),223[]223,(+∞+--∞Y C. ),223[+∞+ D.]223,223[+-10. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，34125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ） A. ]210,1( B. ]537,1( C. ]210,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.cos75cos15sin15sin 75︒-︒=︒+︒.12. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若564318a a a a --=+，则=8S .13. 设771067)2()2(+++++=+x a x a a x x Λ，则=3a .14. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-,04,0,01y x y x x 则y x y x ++22的取值范围为 .15. 已知a 为正整数，7424)(2-+-+=a x ax ax x f ，若)(x f y =至少有一个零点0x 且0x 为 整数，则a 的取值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为，，，c b a 且 )3(sin ))(sin (sin c b C a b B A -=-+. (Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ) 若,2=a ABC ∆的面积为,3求c b ,.17. （本小题满分12分）自2020年1月26日悄悄上线后，微信红包迅速流行开来，其火爆程 度不亚于此前的“打飞机”小游戏，数据显示，从除夕开始至初一16时，参与抢微信红包的用户超过500万，总计抢红包7500万次以上.小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微 信红包，每次发1个.（Ⅰ）若小张发放10元红包3个，求小王恰得到2个的概率； （Ⅱ）若小张发放4个红包，其中5元的一个，10元的两个，15元的一个，记小明所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望．18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中， ⊥PA 平面ABCD ，AD PA =，底面ABCD 为正方形，E 为DP 的中点，PC AF ⊥于F . （Ⅰ）求证：⊥PC 平面AEF ； （Ⅱ）求二面角E AC B --的余弦值.19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且56,673==S a ，数列}{n b 前n项和为n T ，且0232=+-n n b T . (Ⅰ)求数列{}n a ，}{n b 的通项公式；(Ⅱ)设，为偶数为奇数⎩⎨⎧=n b n a c n n n ,,求数列}{n c 的前n 项和n Q . 20. （本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，离心率为23，且与抛物线x y 342=有 共同的焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为椭圆C 上异于1A 、2A 的动点，直线1A P 、2A P 分别交直线l 4:=x 于M 、N 两点，设d 为M 、N 两点之间的距离，求d 的最小值．21. （本小题满分14分）已知函数.1e )(--=ax x f x（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为,2b x y +=求实数b a ,的值； （Ⅱ）求)(x f 在),0[+∞上的最小值；（Ⅲ）证明：n nn n n n )2(1e e)12(31-<-+++Λ。

2020届四川省凉山州高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则AB =（ ）A ．{}2345，，， B ．{}234，， C ．{}1234，，， D ．{}01234，，，， 【答案】B【解析】解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解. 【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N =由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=， 故选：B. 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.2．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．-1C ．0D ．2【答案】A【解析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题. 3．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ）A ．±6B ．6C ．-6D ．132【答案】B【解析】根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【详解】由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ⋅=，所以96a ===±，而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =， 故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题. 4．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =- B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+【答案】A【解析】将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程. 【详解】曲线24x y =，即214y x =， 当2x =时，代入可得21124t =⨯=，所以切点坐标为()2,1，求得导函数可得12y x '=， 由导数几何意义可知1212k y ='=⨯=， 由点斜式可得切线方程为12y x -=-，即1y x =-， 故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.5．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >【答案】C【解析】根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i 的值，进而得判断框内容. 【详解】根据循环程序框图可知，0,1S i == 则1,3S i ==，4,5S i ==， 9,7S i ==， 16,9S i ==， 25,11S i ==，此时输出S ，因而9i =不符合条件框的内容，但11=i 符合条件框内容，结合选项可知C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.6．若双曲线22214x y b -=的离心率72e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．3B ．2C 3D ．1【答案】C【解析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【详解】双曲线22214x y b -=的离心率2e =，则2a =，c e a ==，解得c =()，所以b ===则双曲线渐近线方程为y x =20y ±=，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d ==，故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.7．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C kkk a x+⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果. 【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立. 故选:B. 【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.8．将函数()2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ） A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 【答案】C【解析】由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【详解】函数()2cos 2f x x x =-，则()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移6π个单位， 可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由正弦函数的性质可知，()g x 的对称中心满足2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，所以A 、B 选项中的对称中心错误；对于C ，()g x 的对称轴满足22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，所以图象关于直线6x π=对称；当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，所以C 正确；对于D ，最小正周期为22ππ=，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图象与性质可知，2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时仅有一个解为0x =，所以D 错误； 综上可知，正确的为C ， 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.9．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=【答案】A【解析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.10．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据线面垂直的性质，可知TP PB ⊥；结合112A P PB =即可证明11PTA BPB ∆≅∆，进而求得1TA .由线段关系及平面向量数量积定义即可求得1TP B B ⋅.【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==， 点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC . 则TP PB ⊥，112A P PB = 则11PTA BPB ∠=∠，所以11PTA BPB ∆≅∆， 则111TA PB ==，所以11cos TP B B TP B B PTA ⋅=⋅⋅∠2222212221⎛⎫=+⨯=- +⎝， 故选：D. 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题. 11．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】D【解析】由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解. 【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅((lg13lg130lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >， 综上可知a c b >>， 故选：D. 【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.12．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】根据定义，表示出数列的通项并等于2020.结合n 的正整数性质即可确定解的个数. 【详解】由题意可知首项为2，设第二项为t ，则第三项为2t +，第四项为()22t +，第五项为()222t +⋅⋅⋅第n 项为()322,*,n t n t N -+∈、且3n ≥，则()3222020n t -+=， 因为2202025101=⨯⨯， 当3n -的值可以为0,1,2； 即有3个这种超级斐波那契数列， 故选：A. 【点睛】本题考查了数列新定义的应用，注意自变量的取值范围，对题意理解要准确，属于中档题.二、填空题13．从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________. 【答案】25【解析】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有14C 种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有25C 种方法,根据公式即可求得概率. 【详解】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有14C 种方法, 从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有25C 种方法,1425125C P C ⨯==. 故答案为:25. 【点睛】本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.14．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，并且当01x ≤≤时()21x f x =-，则()123f =___【答案】1-【解析】根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数()f x 对称轴及周期性，进而由01x ≤≤的解析式求得()123f 的值.【详解】()f x 满足()()11f x f x +=-，由函数对称性可知()f x 关于1112x xx ++-==对称，且令1x x =+，代入可得()()2f x f x +=-，由奇函数性质可知()()f x f x -=-，所以()()2f x f x +=- 令2x x =+，代入可得()()()42f x f x f x +=-+=， 所以()f x 是以4为周期的周期函数， 则()()()()123431111f f f f =⨯-=-=-当01x ≤≤时()21xf x =-， 所以()11211f =-=，所以()()12311f f =-=-，故答案为：1-. 【点睛】本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题. 15．已知平面向量a ，b 的夹角为3π,(3,1)a =，且||3a b -=，则||b =____ 【答案】1【解析】根据平面向量模的定义先由坐标求得a ，再根据平面向量数量积定义求得a b ⋅；将a b -化简并代入即可求得||b .【详解】(3,1)a =，则()32a ==，平面向量a ，b 的夹角为3π，则由平面向量数量积定义可得1cos 232a b a b b b π⋅=⋅=⨯⨯=，根据平面向量模的求法可知2223a b a a b b -=-⋅+=，2423b b -+=，解得1b =， 故答案为：1. 【点睛】本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题. 16．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数1,()0,x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，称为狄里克雷函数.则关于()D x 有以下结论:①()D x 的值域为[]01，;②()(),x R D x D x ∀∈-=; ③()(),T R D x T D x ∀∈+=;④(1)(2020)45;D D D D ++++=其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号) 【答案】②【解析】根据新定义，结合实数的性质即可判断①②③理数个数，即可确定④. 【详解】对于①，由定义可知，当x 为有理数时()1D x =；当x 为无理数时()0D x =，则值域为{}0,1，所以①错误；对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足()(),x R D x D x ∀∈-=，所以②正确；对于③，因为T R ∈，当x 为无理数时，x T +可以是有理数，也可以是无理数，所以③()(),T R D x T D x ∀∈+=错误；对于④，由定义可知(1)(2020)D D D D ++++2(1)(44)(2)(3)(2020)D D D D D D D D D =+++++++++44=，所以④错误；综上可知，正确的为②. 故答案为：②. 【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题.三、解答题17．传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：（1）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）有99.9%的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关. （2）80243【解析】(1) 根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值2K ,从而由参考数据作出判断.(2) 因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为13，是老年人的概率为23.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果. 【详解】（1）由题意可知()221005020201080012.69810.8286040703063K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99.9%的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.（2）由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为13，是老年人的概率为23.5∴人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率2325128033243P C ⎛⎫==⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查独立性检验及独立重复事件的概率求法,难度一般.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，2AB =，()0PD t t =>.（1）若2t =，证明：平面DMA ⊥平面PBC ； （2）若三棱锥C DBM -的体积为43，求二面角B DM C --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）23【解析】(1)由已知可证得AD ⊥平面PDC ,则有AD PC ⊥,在PDC △中,由已知可得DM PC ⊥,即可证得PC ⊥平面ADM ,进而证得结论.(2) 过M 作//MN PD 交DC 于N ,由M 为PC 的中点,结合已知有MN ⊥平面ABCD .则1433C DBM M DBC DBC V V S MN --==⋅=△,可求得4t =.建立坐标系分别求得面DBM 的法向量()2,2,1n =-,平面DMC 的一个法向量为()1,0,0m =,利用公式即可求得结果. 【详解】 （1）证明：PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AD PD ∴⊥,又四边形ABCD 为正方形，AD DC ∴⊥.又PD 、DC ⊂平面PDC ，且PD DC D ⋂=，AD ∴⊥平面PDC .AD PC ∴⊥.PDC △中，2t PD DC ===，M 为PC 的中点， DM PC ∴⊥.又AD 、DM ⊂平面ADM ，ADDM D =，PC ∴⊥平面ADM .PC ⊂平面PBC ，∴平面DMA ⊥平面PBC .（2）解：过M 作//MN PD 交DC 于N ，如图M 为PC 的中点，1//2MN PD ∴，12MN t ∴=. 又PD ⊥平面ABCD ，MN ∴⊥平面ABCD .21114233223C DBM M DBC DBC t V V S MN --==⋅=⨯⨯⨯=△，4t ∴=.所以4PD =,又PD 、DA 、DC 两两互相垂直，以DP 、DA 、DC 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.()0,0,0D ，()2,2,1B ，()0,2,0C ，()0,1,2M设平面DBM 的法向量(),,n x y z =，则00n DB DM DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020x y y z +=⎧⎨+=⎩. 令1z =，则2x =，2y =-.()2,2,1n ∴=-. 平面DMC 的一个法向量为()1,0,0m =22cos ,133m n m n m n⋅∴===⨯⋅. ∴二面角B DM C --的余弦值为23.【点睛】本题考查面面垂直的证明方法,考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法,难度一般.19．如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，5sin cos 13BAC B ∠=∠=，13AB =.（1）求AC ；（2）求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）12；（2）12330S =【解析】（1）根据同角三角函数式可求得cos sin BAC B ∠=∠，结合正弦和角公式求得()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠，即可求得2BCA π∠=，进而由三角函数（2）设,,AD x DC y ==根据余弦定理及基本不等式，可求得xy 的最大值，结合三角形面积公式可求得ADC S ∆的最大值，即可求得四边形ABCD 面积的最大值. 【详解】（1）5sin cos 13BAC B ∠=∠=， 则由同角三角函数关系式可得2512cos sin 11313BAC B ⎛⎫∠=∠=-= ⎪⎝⎭，则()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠sin co cos sin s B B AC B AC B ∠+∠⋅=⋅∠∠551212113131313=⨯⨯=+，则2BCA π∠=，所以12sin 131213AC AB B =⋅=⨯=. （2）设,,AD x DC y ==在DAC ∆中由余弦定理可得2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠，代入可得22144x y xy =++，由基本不等式222x y xy +≥可知1442xy xy -≥，即48xy ≤，当且仅当x y == 由三角形面积公式可得1sin 2ADC S xy ADC ∆=∠14822≤⨯⨯=1125302ACB S ∆=⨯⨯=，所以四边形ABCD 面积的最大值为30S =. 【点睛】本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题.20．设33()(4)log (01).11a f x a x x a a a a =--+>≠--且 （1）证明:当4a =时，()ln 0x f x +≤；（2）当1x ≥时()0f x ≤，求整数a 的最大值.（参考数据：20.69,3 1.10ln ln ≈≈，5 1.61,7 1.95ln ln ≈≈）【答案】（1）证明见解析；（2）5a =.【解析】（1）将4a =代入函数解析式可得()1f x x =-+，构造函数()ln 1g x x x =-+，求得()g x '并令()0g x '=，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由()max 0g x =即可证明()0g x ≤恒成立，即不等式得证.（2）对函数求导，变形后讨论当1a >时的函数单调情况：当()()413ln a a a--≤时，可知满足题意；将不等式化简后构造函数()2543ln ,1g a a a a a =-+->，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为()3g ，分别依次代入检验()()()()3,4,5,6g g g g ⋅⋅⋅的符号，即可确定整数a 的最大值；当()()413ln a a a-->时不满足题意，因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论. 【详解】（1）证明：当4a =时代入()f x 可得()1f x x =-+， 令()ln 1g x x x =-+，()0,x ∈+∞， 则()111xg x x x-'=-=， 令()0g x '=解得1x =，当()0,1x ∈时()0g x '>，所以()ln 1g x x x =-+在()0,1x ∈单调递增， 当()1,x ∈+∞时()0g x '<，所以()ln 1g x x x =-+在()1,x ∈+∞单调递减， 所以()()max 1ln1110gx g ==-+=，则()ln 10g x x x =-+≤，即()ln 0x f x +≤成立. （2）函数33()(4)log (01).11a f x a x x a a a a =--+>≠--且 则()()()41343ln (),1ln 11ln a a xa af x x x a a x a a----'=-=≥--，若1a >时，当()()413ln a a a--≤时，()0f x '<，则()f x 在[)1,+∞时单调递减，所以()()10f x f ≤=，即当1x ≥时()0f x ≤成立； 所以此时需满足()()1413ln a a a a >⎧⎪--⎨≤⎪⎩的整数解即可，将不等式化简可得2543ln a a a -+≤， 令()2543ln ,1g a a a a a =-+->则()()()2213325325,1a a a a g a a a a a a+---'=--==> 令()0g a '=解得3a =，当()1,3a ∈时()0g a '<，即()g a 在()1,3a ∈内单调递减， 当()3,a ∈+∞时()0g a '>，即()g a 在()3,a ∈+∞内单调递增， 所以当3a =时()g a 取得最小值，则()2335343ln 323ln 30g =-⨯+-=--<，()2445443ln 43ln 40g =-⨯+-=-<，()2555543ln543ln543 1.610g =-⨯+-=-≈-⨯<， ()()2665643ln 6103ln 2ln3103 1.790g =-⨯+-=-+≈-⨯>所以此时满足2543ln a a a -+≤的整数a 的最大值为5a =； 当()()413ln a a a-->时，在()()411,2ln a a x a⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦时()0f x '>，此时()()10f x f >=，与题意矛盾，所以不成立.因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论， 综上所述，当1x ≥时()0f x ≤，整数a 的最大值为5a =. 【点睛】本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断函数值法符号，综合性强，属于难题.21．已知12(),100(1)F F -，，分别是椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和右焦点，椭圆C 的离心率为5AB 、是椭圆C 上两点，点M 满足12BM BA =. (1)求C 的方程；(2)若点M 在圆221x y +=上，点O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】（1）22154x y +=；（2）1111,45⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中,,a b c 的关系，即可求得,,a b c 的值，进而得椭圆的标准方程.（2）设出直线AB 的方程为y kx m =+，由题意可知M 为AB 中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出1212,x x x x +，由判别式>0∆可得2254k m +>；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简OA OB ⋅可得2114OA OB AB ⋅=-，代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点M 的坐标，代入圆的方程221x y +=，化简可得()2222542516k mk +=+，代入数量积公式并化简，由换元法令21t k =+，代入可得()()()20812051259t t OA OB t t -⋅=-⨯--，再令1s t =及52s ω=-，结合函数单调性即可确定1625950ωω++的取值范围，即确定()()()20851259t t t t ---的取值范围，因而可得OA OB ⋅的取值范围.【详解】（1）12(),100(1)F F -，，分别是椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和右焦点， 则1c =，椭圆C则15c e a a ===解得a = 所以222514b a c =-=-=，所以C 的方程为22154x y +=.（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，点M 满足12BM BA =，则M 为AB 中点，点M 在圆221x y +=上，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆方程22154y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()22254105200k x kmx m +++-=，所以212122210520,,5454km m x x x x k k --+==++则()()()222104545200km k m ∆=-⨯+⨯->，化简可得2254k m +>，而()()OA OB OM MA OM MB ⋅=+⋅+2OM OM MB MA OM MA MB =+⋅+⋅+⋅22OM MB =-2114AB =-由弦长公式代入可得22111144OA OB AB ⋅=-=-2211454k k +=-⨯+⎝⎭M 为AB 中点，则()121222254,,225454M M k x x b x x kmm x y k k +++-====++点M 在圆221x y +=上，代入化简可得()2222542516k mk +=+，所以()22222154180454k k m OA OB k ++-⋅=-⨯⨯+ ()()()()222212012120542516k k k k ++=-⨯++ 令21t k =+，则()()()20812051259t t OA OB t t -⋅=-⨯--，1t ≥，令1,01s s t=<≤，则()()()()()82020820819512595259525t t s tt t s s t t ---==----⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()4525259s s s -=--令[)52,3,5s ωω=-∈，则52s ω-=， 所以()()()()()4521616255259559950s s s ωωωωω-==--++++，因为()25950f ωωω=++在[)3,5ω∈内单调递增，所以1643,252516950ωω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++， 即()()()20843,512592516t t t t -⎛⎤∈ ⎥--⎝⎦所以()()()2081111120,5125945t t OA OB t t -⎡⎫⋅=-⨯∈--⎪⎢--⎣⎭ 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程求法，直线与椭圆的位置关系综合应用，由韦达定理研究参数间的关系，平面向量的线性运算与数量积运算，弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用，计算量大，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线l 与曲线:C ()2211x y -+=交于A B 、两点.(1)求AB 的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离. 【答案】（1;（2. 【解析】（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，结合垂径定理即可求得AB 的长；（2）将P 的极坐标化为直角坐标，将直线方程与圆的方程联立，求得直线与圆的两个交点坐标，由中点坐标公式求得M 的坐标，再根据两点间距离公式即可求得PM .【详解】（1）直线l 的参数方程为x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)， 化为直角坐标方程为y x =，即0x y -=直线l 与曲线:C ()2211x y -+=交于A B 、两点.则圆心坐标为()1,0，半径为1，则由点到直线距离公式可知d=所以2AB==（2）点P的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标可得()2,2-，直线l的方程与曲线C的方程联立()2211y xx y=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，化简可得20x x-=，解得0,1x x==，所以A B、两点坐标为()()001,1，、，所以11,22M⎛⎫⎪⎝⎭，由两点间距离公式可得PM==【点睛】本题考查了参数方程与普通方程转化，极坐标与直角坐标的转化，点到直线距离公式应用，两点间距离公式的应用，直线与圆交点坐标求法，属于基础题.23．设()()20f x x x a a=-->（1）当1a=时，求不等式()1f x≥的解集；（2）若()1f x≤，求a的取值范围.【答案】（1）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）(]0,1【解析】(1)通过讨论x的范围,得到关于x的不等式组,解出取并集即可.(2)去绝对值将函数()f x写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由()1f x≤恒成立求得结果.【详解】解：（1）当1a=时，()21f x x x=--，()1f x≥-即21xx<⎧⎨-≥-⎩或01321xx≤≤⎧⎨-≥-⎩或121xx>⎧⎨-+≥-⎩解之得113x≤≤或13x<≤，即133x≤≤∴不等式的解集为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由题意得：()()()()2,032,02,x a x f x x a x a x a x a ⎧-<⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩∴当0x <时()()20f x x a a =->为减函数，显然()1f x ≤恒成立.当0x a ≤≤时，()32f x x a =-为增函数，()()max 1f x f a a ==≤，01a ∴<<当x a >时，()2f x x a =-+为减函数，()1f a a =<01a ∴<<综上所述：使()1f x ≤恒成立的a 的取值范围为(]0,1.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查不等式恒成立问题中求解参数问题,考查分类讨论思想,转化思想,属于中档题.。

四川省甘孜藏族自治州2024高三冲刺（高考数学）人教版真题(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则等于（）A．B．C．D．第(2)题的展开式中各项系数之和为，则该展开式中常数项为（）A．B．C．D．第(3)题设复数的共轭复数为，满足（为虚数单位），则（）A．B．C．D．第(4)题已知直线两两异面，且，，下列说法正确的是（）A．存在平面，使，，且，，B．存在平面，使，，且，，C．存在唯一的平面，使，且与所成角相等D．存在平面，使，，且第(5)题如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上的动点，下列说法错误的是（）A．平面B．C．异面直线AP与所成的角的最小值为D．三棱锥的体积为定值第(6)题已知非零向量，的夹角为，，，则的最小值为（）A．2B．C．1D．第(7)题已知点在棱长为的正方体的外接球的球面上，当的面积最大时，过，，三点的平面截正方体各面所得截线的长度之和的值为（）A．B．C．D．第(8)题已知复数满足，则的虚部是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列命题中是真命题的是（）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“，都有”的否定是“，使得”C．不等式成立的一个必要不充分条件是或D．当时，方程组有无穷多解第(2)题新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段.某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（）A．甲同学的体温的极差为0.5℃B．甲同学的体温的众数为36.3℃C．乙同学的体温的中位数与平均数不相等D．乙同学的体温比甲同学的体温稳定第(3)题近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）的销量已跃居全球首位，同时我国也加大了新能源汽车公共充电桩的建设，以解决新能源汽车的充电困境.下面是我国2021年9月至2022年8月这一年来公共充电桩累计数量统计图，则针对这12个月的数据，下列说法正确的是（）A．这12个月以来，我国公共充电桩累计数量一直保持增长态势B．这12个月我国公共充电桩累计数量的中位数低于123万台C．这12个月我国公共充电桩的月平均累计数量超过115万台D．2022年6月我国公共充电桩累计数量的同比增长率最大三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是______________．第(2)题已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则__________；当取最小值时，的面积为__________．第(3)题已知椭圆与双曲线焦点重合，则该双曲线的离心率为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，已知曲线及曲线．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，点的横坐标构成数列．(1)试求与之间的关系，并证明：；(2)若，求的通项公式．第(2)题已知函数.(1)若最小值为0，求的值；(2)，若，证明.第(3)题如图1，在Rt中，，.D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求与平面所成角的余弦值；（Ⅲ）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．第(4)题在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．(1)求角B的大小；(2)求的取值范围．第(5)题已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.(1)求的方程；(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.。

2020年西藏高考理科数学仿真模拟试题二（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}2log (1)2A x x =-<，{}16B x x =-<<，则A B ⋂= ( ) A. {}15x x -<< B. {}16x x -<< C. {}15x x <<D. {}16x x <<2. 复数i z a b =+（,a b R ∈）满足2i(1)z z =-，则a b +=( ) A. 35-B. 15-C.15D.353. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B. C.D.4. 为了计算满足的最大正整数，设置了如下图所示的程序框图，若判断框中填写的是“”，则输出框中应填（ ）A. 输出B. 输出C. 输出D. 输出5. 已知函数()cos x xf x e=，则()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为( ) A. 10x y ++= B. 10x y +-=C. 10x y -+=D. 10x y --=6. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知 P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ） A. 10B. 9C. 8D. 77. 为了得到函数sin y x =的图像，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6π个单位 B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位C. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移6π个单位D. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位8. 若,a b 是从集合{}1,1,2,3,4-中随机选取两个不同元素，则使得函数()5ab f x x x =+是奇函数的概率为（ ） A.320B.310C.925D.359．已知命题2:233p x x a ++≥恒成立，命题():21xq y a =-为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是（ ） A ．1223a <≤ B ．102a <<C ．121a << D ．23a £10．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,)x m ∈-∞，都有()1f x <，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11.倾斜角为15°的直线l 经过原点且和双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右两支交于A ，B 两点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.)+∞B. )+∞C. D. 12.曲线()xf x ke-=在x=0处的切线与直线x-2y-1=0垂直，则12,x x 是()()ln g x f x x =-的两个零点，则（ ）A.12211x x e e << B. 12211x x e << C. 1211x x e<< D. 212e x x e <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考数学第二次监测试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]2．若复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则＝（）A．B．C．1+3i D．﹣1﹣3i3．已知向量＝（1+λ，2），＝（3，4），若∥，则实数λ＝（）A．B．C．D．4．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．若（2x+）6展开式的常数项为160，则a＝（）A．1B．2C．4D．87．若过点P（，1）的直线l是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条对称轴，将直线l绕点P旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．18．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）A．4πB．C．16πD．与点C的位置有关9．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．12．已知O为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线x2＝4y上，则直线OB的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为．14．已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l不是平面α，β的交线．给出下列结论：①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α；③平面β内一定存在直线与直线l平行；④平面β内一定存在直线与直线l异面．其中所有正确结论的序号是．15．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹”．设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且，△ABC的面积为，则c＝．16．若关于x的不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，则ab的最大值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2，等差数列{b n}中，b1＝20，b3＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝．记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前10项的和T10．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD ＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．21．已知函数f（x）＝．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞0，并指出a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．解：由x2﹣4x+3＞0解得x＜1或x＞3，则A＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），所以（∁U A）∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．2．若复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则＝（）A．B．C．1+3i D．﹣1﹣3i【分析】由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z＝1+2i，得．故选：B．3．已知向量＝（1+λ，2），＝（3，4），若∥，则实数λ＝（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出4（1+λ）﹣2×3＝0，然后解出λ即可．解：∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得．故选：C．4．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．【分析】法一：结合诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解；法二：由已知结合两角差的余弦公式展开后，利用同角平方关系即可求解．解：法一：根据已知，有．法二：由得，两边平方得，所以，即．故选：A．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可知f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；再对比选项C和D，比较f（x）与x的大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；当x＞0时，，排除选项C．故选：D．6．若（2x+）6展开式的常数项为160，则a＝（）A．1B．2C．4D．8【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160求得实数a的值．解：二项式（2x+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•26﹣r•a r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，可得r＝3；故二项式展开式的常数项为，解得a＝1．故选：A．7．若过点P（，1）的直线l是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条对称轴，将直线l绕点P旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．1【分析】由已知可得点P在圆C上，且圆心C在直线l上，求得PC＝2．画出图形，利用勾股定理求得半弦长，则直线l'被圆C截得的弦长可求．解：由题意知，点P在圆C上，且圆心C在直线l上，∴PC＝2．如图，设l'与圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，则在Rt△PHC中，，故直线l'被圆C截得的弦长．故选：B．8．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）A．4πB．C．16πD．与点C的位置有关【分析】如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，可得SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理可得R．解：如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，则SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．易知SO＝3，．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理得（3﹣R）2+＝R2，解得R ＝2．故球面面积为4πR2＝16π．故选：C．9．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可得每位学生选择三个锻炼项目有种，则总的选择方式有种，其中甲、乙的选择方式有种，故甲不选A、乙不选B项目的概率为或．解：法一：每位学生选择三个锻炼项目有种，则4人总的选择方式共有种，其中甲、乙的选择方式有种，其余两人仍有种，故甲不选A、乙不选B项目的概率为．法二：只考虑甲、乙的选择，不加限制均为3种，受到限制后均为2种，而甲乙的选择相互独立，故甲不选A、乙不选B项目的概率为．故选：B．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．【分析】作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，结合图象求出△MNP 为等腰直角三角形，即可求解结论．解：作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点．设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P．根据正弦函数图象的对称性，易知△MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高PQ＝2A，所以斜边MN＝4A，则y＝A sinωx周期T＝4A．由，有，所以．故选：D．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：由题知f（x）的定义域为（﹣1，1），且，所以f（﹣x）＝ln＝﹣ln+x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上单调递减．由f（2a）+f（a﹣1）＞0，可知f（2a）＞﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），于是有，解得．故选：C．12．已知O为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线x2＝4y上，则直线OB的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．【分析】画出图形，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1+x2，y1+y2），通过，推出直线OB的斜率的表达式，利用基本不等式求解即可．解：如图，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1+x2，y1+y2），依题意，四边形OABC为矩形，则，即x1x2+y1y2＝0，所以，即x1x2＝﹣16，从而，直线OB的斜率＝，．当且仅当，即时等号成立，故．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为3．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解真假，得到目标函数的最小值即可．解：不等式组表示的可行域是以（2，0），A（1，1），（3，1）为顶点的三角形及其内部，如图：当目标函数z＝2x+y过点A（1，1）时，目标函数在y轴是的的截距取得最小值，此时z取得最小值，z取得最小值3．故答案为：3．14．已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l不是平面α，β的交线．给出下列结论：①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α；③平面β内一定存在直线与直线l平行；④平面β内一定存在直线与直线l异面．其中所有正确结论的序号是①②④．【分析】利用直线与平面的位置关系结合图形、逐个判断，即可得出答案．解：设平面α∩β＝a，①存在b⊂平面β，且b∥a，所以a∥平面α，故正确，②存在c⊂平面β，且c⊥a，所以c⊥平面α，故正确，③若l与两平面的交线相交，则平面β内不存在直线与直线l平行，则③错误；④由以上图可知存在平面β内一定存在直线与直线l异面．故④正确，故答案：①②④．15．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹”．设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且，△ABC的面积为，则c＝．【分析】直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．解：由已知，不妨设b＝2a，由，，解得a＝1，则b＝2，据余弦定理有，所以．故答案为：16．若关于x的不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，则ab的最大值是e．【分析】由不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，且x＞0，可化为．设，求导可得f'（x）＝，令f'（x）＝0可得x＝e2，可得在（0，e2）和（e2，+∞）函数f（x）的单调性，求出函数f（x）的最大值．结合图象可得f（x）在的图象的下面恒成立，则的图象与函数f（x）的图象相切时，ab取到最大值，进而求出ab的最大值．解：由a≠0，x＞0，原不等式可化为恒成立，设，则，当x∈（0，e2）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（e2，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减．所以，f（x）在x＝e2处取得极大值，且为最大值；且x＞e时，f（x）＞0．结合图象可知，的图象恒在f（x）的图象的上方，显然a＜0不符题意；当a＞0时，ab为直线的横截距，其最大值为f（x）的横截距，再令f（x）＝0，可得x＝e，所以ab取得最大值为e．此时a＝e2，，直线与f（x）在点（e，0）处相切，ab的最大值为e．故答案为：e．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2，等差数列{b n}中，b1＝20，b3＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝．记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前10项的和T10．【分析】（1）对于数列{a n}：当n＝1时，由题设条件求出a1，再由当n≥2时，由S n ＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减整理得a n＝2a n﹣1，进而说明数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，从而求得a n；对于数列{b n}：先设出等差数列{b n}的公差d，再由题设条件求出d，即可求得b n．（2）先由（1）求得c n，再求出T10即可．解：（1）对于数列{a n}，当n＝1时，由S n＝2a n﹣2得a1＝2；当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减整理得a n＝2a n﹣1，所以数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式．设等差数列{b n}的公差为d，则b3﹣b1＝16﹣20＝4＝2d，解得d＝﹣2，所以数列{b n}的通项公式b n＝22﹣2n．综合以上知：a n＝2n，b n＝22﹣2n；（2）由（1）知：c n＝a n*b n＝＝，所以T10＝a1+a2+a3+b4+b5+b6+…+b10＝＝．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．【分析】（1）根据表中数据求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用回归方程计算x＝28时的值；（2）根据残差图中对应点分布情况判断该回归方程的拟合效果．解：（1）设月生长量y与月平均气温x之间的线性回归方程为，计算，所以，所以y关于x的线性回归方程为；当x＝28时，＝1.05×28﹣6.63＝22.77（cm），所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm．（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，所以该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）法一：在线段PB上取靠近点P的四等分点G，可得，由此证明四边形DEGF为平行四边形，可得DF∥EG，进而得证；法二：在线段BC上取靠近点B的四等分点H，可得HF∥PB，由此证明HF∥平面PBE，再证明四边形DEBH为平行四边形，可得DH∥平面PBE，综合可得平面DFH∥平面PBE，再利用面面平行的性质定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBE及平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式直接求解即可．解：（1）法一：依题意得BE＝2，BC＝4，．…………………………（1分）如图，在线段PB上取靠近点P的四等分点G，连接FG，EG，因为，所以．所以．……………………………………所以四边形DEGF为平行四边形，可得DF∥EG．…………………………又DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，．………………………………所以DF∥平面PBE．………………………………法二：如图，在线段BC上取靠近点B的四等分点H，连接FH，DH，因为，所以HF∥PB．又HF⊄平面PBE，PB⊂平面PBE，所以HF∥平面PBE．……………………………………依题意得BE＝2，BC＝4，，而，所以．所以四边形DEBH为平行四边形．所以DH∥EB．又DH⊄平面PBE，EB⊂平面PBE，所以DH∥平面PBE．………………………………而DH⊂平面DFH，FH⊂平面DFH，DH∩FH＝H，所以平面DFH∥平面PBE．因为DF⊂平面DFH，所以DF∥平面PBE．………………………………（2）由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．又因为平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，所以EC⊥平面PBE．……………………………………以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系E﹣xyz，则E（0，0，0），，，B（2，0，0），由，得．…………………………………………则，．设平面PCD的法向量为，则，令y＝1，则，故可取．………………………………又EC⊥平面PBE，可取平面PBE的一个法向量为，．…………………………则＝．所以，平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．………………………………20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．【分析】（1）利用，求解轨迹方程即可．（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，通过直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．转化求解即可．解：（1）由，得4y2＝4﹣x2，即．故轨迹C的方程为：．（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，直线BN的方程为②，所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．而＝，因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．所以，探究发现的结论是正确的．21．已知函数f（x）＝．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞0，并指出a的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f'（﹣1）＝ea﹣1由已知列式求得a值，求出导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，关键导函数在本题区间段内的符号，可得原函数的单调性；（2）当a＞0时，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．结合f（﹣1）＞0，f （﹣2）＜0，可得f（x）只有一个零点，不符合题意．若0＜a＜1，利用导数研究其单调性可知f（x）最多只有一个零点，不符合题意．若a＞1时，利用导数求其极小值，根据极小值大于0，可得f（x）最多只有一个零点，不符合题意．当a＜0时，利用导数证明f（x）始终有两个零点x1，x2，不妨令x1＜0，x2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣f （﹣x），再求导数证明f（x1）＜f（﹣x2）．结合f（x）的单调性得x1＞﹣x2，即x1+x2＞0．解：（1）由题，则f'（﹣1）＝ea﹣1＝e﹣1，得a＝1，此时，由f'（x）＝0，得x＝0．则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，且f'（0）＝0，所以f（x）为R上的增函数；证明：（2）①当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝0或x＝lna，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．由，f（﹣2）＝﹣e2+2＜0，∴f（x）只有一个零点，不符合题意．若0＜a＜1，则x＜lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；lna＜x＜0时，f'（x）＜0，f （x）为减函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．而f（x）极小＝f（0）＝a＞0，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．若a＞1时，则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，得，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．②当a＜0时，由f'（x）＝0，得x＝0，由x≤0，得f'（x）≤0，f（x）为减函数，由x＞0，得f'（x）＞0，f（x）为增函数，则f（x）极小＝f（0）＝a＜0．又x→﹣∞时，f（x）＞0，x→+∞时，f（x）＞0，∴当a＜0时，f（x）始终有两个零点x1，x2，不妨令x1＜0，x2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x），∴，由于x＞0时，e x﹣e﹣x＞0，又a＜0，则F'（x）＝ax（e x﹣e﹣x）＜0恒成立，∴F（x）为（0，+∞）的减函数，则F（x）＜F（0）＝f（0）﹣f（0）＝0，即f（x）＜f（﹣x），故有f（x2）＜f（﹣x2）．又x1，x2是f（x）的两个零点，则f（x1）＝f（x2），∴f（x1）＜f（﹣x2）．结合f（x）的单调性得x1＞﹣x2，∴x1+x2＞0，且a的取值范围是（﹣∞，0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）消去参数t，得曲线C1的直角坐标方程为，则曲线C1的极坐标方程为．消去参数θ，得曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（2）射线的极坐标方程为，．联立，得，所以；由，得ρB＝2cosα，则|OB|＝2cosα，因此＝．由，得．所以，当，即时，．故的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．【分析】（1）化分段函数，求出每段的值域即可求出函数f（x）的值域；（2）根据（1）求出M＝3，再根据基本不等式即可证明．解：（1）当x＜﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣2x＝﹣3x﹣3，此时f（x）∈（6，+∞）；当﹣3≤x≤0时，f（x）＝x+3﹣2x＝﹣x+3，此时f（x）∈[3，6]；．当x＞0时，f（x）＝x+3+2x＝3x+3，此时f（x）∈（3，+∞），综上，函数f（x）的值域为[3，+∞）．（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为3，则M＝3，即a+b+c＝3．因为≥36．其中，当且仅当，b＝1，取“＝”．又因为a+b+c＝3，所以．。