高中数学第三章直线与方程3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课时作业 新人教A版

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定知识导图学法指导1.本节的重难点是直线平行和垂直的判定，注意平行和垂直的条件．2．判断直线的位置关系时，要注意斜率不存在的情形．3．当直线的斜率含参数时，要对参数进行分类讨论高考导航两条直线平行与垂直的判定是高考考查的重点，一般不单独考查，常与其他知识(直线方程等)综合考查，分值4～6分.知识点一两条直线平行设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示1. l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．2．当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90 °，则l1∥l2.知识点二两条直线垂直图示对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1与l2两直线的斜率一个不存在，另一个为0时，则l1与l2的位置关系是垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( )(2)若l1∥l2，则k1＝k2.( )(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．[2019·蚌埠市淮上区校级检测]给出下列说法：①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行，其中说法正确的个数为( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不正确；若两直线平行，那么它们的斜率可能都不存在，②不正确；显然③正确；若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，④不正确．答案：A3．已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则直线l2的斜率为( )A. 3 B．－ 3C.33D．－33解析：因为l 1∥l 2，所以kl 2＝kl 1＝tan30°＝33. 答案：C4．已知直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＝2，l 1⊥l 2，则k 2＝________. 解析：∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，∴k 2＝－1k 1＝－12.答案：－12类型一 两条直线的平行关系例1 (1)[2019·衡水检测]直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (1,2)，B (a －1,3)，l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．－3B ．1 C.103 D.74(2)已知l 1经过点A (－3,3)，B (－8,6)，l 2经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－212，6，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－3，求证：l 1∥l 2. 【解析】 (1)直线l 2的斜率k 2＝3－2a －1－1＝1a －2，∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，∴1a －2＝34，∴a＝103. (2)证明：直线l 1的斜率为k 1＝6－3－8－－3＝－35，直线l 2的斜率为k 2＝6－－3－212－92＝－35，因为k 1＝k 2，且k AN ＝3－－3－3－92＝－45，所以l 1与l 2不重合，所以l 1∥l 2. 【答案】 (1)C (2)见解析两直线平行⇔根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况．方法归纳判断两条不重合直线是否平行的步骤跟踪训练1 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3,23)，N (－2，－33)． 解析：(1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．直接结合斜率公式，比较所给直线的斜率关系，确定其位置关系．类型二 两条直线的垂直关系例2 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直．(1)l 1经过点A (－3，－4)，B (1,3)，l 2经过点M (－4，－3)，N (3,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,10)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．【解析】 (1)k 1＝3－－41－－3＝74，k 2＝1－－33－－4＝47，k 1k 2＝1，∴l 1与l 2不垂直．(2)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴；k 2＝40－4010－－10＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.直线斜率均存在时，直接计算所给直线的斜率，通过比较它们的斜率之间的关系，确定其位置关系，有一条直线斜率不存在时，可比较两直线的倾斜角大小，确定其位置关系．方法归纳使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤(1)首先查看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则将点的坐标代入斜率公式．(2)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，要应用斜率公式对参数进行讨论．总之，l 1与l 2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l 1⊥l 2；l 1与l 2斜率都存在时，满足k 1·k 2＝－1.跟踪训练2 已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( )A ．(0，－6)B ．(0,7)C ．(0，－6)或(0,7)D ．(－6,0)或(7,0) 解析：由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1，即y ＋52·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y －66＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)，故选C. 答案：C若斜率均存在，求出斜率，利用l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1进行判断，但要注意斜率不存在的特殊情况．类型三 直线平行与垂直关系的应用,,例3 已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，求第四个顶点D 的坐标．【解析】 设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )， 因为AD ⊥CD ，AD ∥BC ， 所以k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC .所以⎩⎪⎨⎪⎧y －1x －0·y －2x －3＝－1，y －1x －0＝2－03－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1不合题意，舍去．所以第四个顶点D 的坐标为(2,3).计算k AB ，k CD ，k BC ，k DA ，再结合两条直线平行、垂直的判定求解即可． 方法归纳利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．跟踪训练3 已知A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD 的形状．解析：由题意，可得k AB ＝0－11－0＝－1，k CD ＝3－22－3＝－1，k BC ＝2－03－1＝1，k DA ＝3－12－0＝1，∵k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，∴AB ∥CD ，BC ∥DA ， ∴四边形ABCD 为平行四边形． 又∵k AB ·k BC ＝－1，∴直线AB 与BC 垂直，即∠ABC ＝90°， ∴四边形ABCD 为矩形．利用几何图形各边所在直线的斜率可以确定各边所在直线是否相互平行或垂直，从而判定几何图形的形状.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列命题中，正确的是( ) A ．斜率相等的两条直线一定平行B ．若两条不重合的直线l 1，l 2平行，则它们的斜率一定相等C ．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝2不平行D ．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3平行解析：A 错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B 错误，当两条不重合的直线l 1，l 2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C 错误，直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D 正确，由于直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的斜率分别为k 1＝1－2，k 2＝－12＋1＝1－2，则k 1＝k 2，所以l 1∥l 2. 答案：D2．由三条直线l 1：2x －y ＋2＝0，l 2：x －3y －3＝0和l 3：6x ＋2y ＋5＝0围成的三角形是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形解析：kl 2＝13，kl 3＝－3，∴kl 2·kl 3＝－1，∴l 2⊥l 3.答案：A3．若两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1解析：因为两条直线平行，则a ＝2－a ，得a ＝1. 答案：B4．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1aB ．aC ．－1aD ．－1a或不存在解析：当a ≠0时，由l 1⊥l 2得k 1·k 2＝a ·k 2＝－1，∴k 2＝－1a；当a ＝0时，l 1与x 轴平行或重合，则l 2与y 轴平行或重合，故直线l 2的斜率不存在．∴直线l 2的斜率为－1a或不存在．答案：D5．下列直线中，与已知直线y ＝－43x ＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0解析：先看斜率，A 、D 选项中斜率为－34，排除掉；直线与y 轴交点需在y 轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B 选项符合．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．[2019·山东省济南市校级月考]若经过两点A (2,3)，B (－1，x )的直线l 1与斜率为1的直线l 2平行，则x ＝________.解析：设直线l 1的斜率为k ，则k ＝3－x 3.∵l 1∥l 2，∴k ＝1＝3－x3，∴x ＝0.答案：07．已知在平行四边形ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)，则点D 的坐标为____________．解析：设D (a ，b )，由平行四边形ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6，所以D (－1,6)．答案：(－1,6)8．已知直线l 过点(－2，－3)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________． 解析：直线2x －3y ＋4＝0的斜率为23，又直线l 与该直线垂直，所以直线l 的斜率为－32.又直线l 过点(－2，－3)，因此直线l 的方程为3x ＋2y ＋12＝0. 答案：3x ＋2y ＋12＝0三、解答题(每小题10分，共20分)9．根据给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)；(2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)； (3)l 1经过点A (－1,6)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)．解析：(1)由题意知l 1的斜率不存在，且l 1不是y 轴，l 2的斜率也不存在，l 2恰好是y 轴，所以l 1∥l 2.(2)由题意知k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，虽然k 1＝k 2，但是k EG ＝4－13－0＝1，即E ，F ，G ，H 四点共线，所以l 1与l 2重合．(3)直线l 1的斜率k 1＝2－61－－1＝－2，直线l 2的斜率k 2＝1－－12－－2＝12，k 1k 2＝－1，故l 1与l 2垂直．10．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行． 解析：(1)由k AB ＝m －32m 2＝－1，得2m 2＋m －3＝0，解得m ＝－32或1. (2)由－7－20－3＝3及垂直关系，得m －32m 2＝－13，解得m ＝32或－3.(3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或－1. 经检验m ＝－1，m ＝34均符合题意．[能力提升](20分钟，40分)11．直线l 1的倾斜角为α，l 1⊥l 2，则直线l 2的倾斜角不可能为( ) A ．90°－α B ．90°＋α C ．|90°－α| D ．180°－α解析：(1)当α＝0°时，l 2的倾斜角为90°(如图1) (2)当0°<α<90°时，l 2的倾斜角为90°＋α.(如图2) (3)当α＝90°时，l 2的倾斜角为0°.(如图3)(4)当90°<α<180°时，l 2的倾斜角为α－90°.(如图4)答案：D12．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .解析：设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0，所以直线CD 的斜率存在． 则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1， 所以4·－2－0－1－x ＝－1，解得x ＝－9.答案：(－9,0)13．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5×1＋11－5＝－1，解得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5×m －12－1＝－1，解得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC＝－1，即m ＋12－5×m －12－1＝－1，解得m ＝±2.综上，m 的值为－7，－2,2或3.14．已知四点A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．解析：由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－－4＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－－4＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD ，因为k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．。

高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定课时作业新人教A版必修2【选题明细表】知识点、方法题号两直线平行关系1、2、6、9两直线垂直关系3、4、7、10、12 两直线平行、垂直关系的应用5、8、11、13基础巩固1.下列说法正确的是( C )(A)如果两条直线平行,则它们的斜率相等(B)如果两条直线垂直,则它们的斜率互为负倒数(C)如果两条直线的斜率之积为-1,则两条直线垂直(D)如果两条直线的斜率不存在,则该直线一定平行于y轴解析:如果两条直线平行,斜率存在时会相等,还有斜率不存在的情况,故A错;同理B错;如果两条直线的斜率不存在,则该直线一定平行于y轴或与y轴重合,故D错;只有C正确,故选C.2.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是( B )(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2解析:因为MN∥PQ,所以k MN=k PQ,即=,解得m=-1,故选B.3.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( C )(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)以A点为直角顶点的直角三角形(D)以B点为直角顶点的直角三角形解析:如图所示,易知k AB==-,k AC==,由k AB·k AC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形,故选C.4.若点A(0,1),B（,4）在直线l1上,l1⊥l2,则直线l2的倾斜角为( C )(A)-30°(B)30° (C)150°(D)120°解析:k AB==,故l1的倾斜角为60°,l1⊥l2,所以l2的倾斜角为150°,故选C.5.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是( B )(A)梯形 (B)平行四边形(C)菱形 (D)矩形解析:如图所示,易知k AB=-,k BC=0,k CD=-,k AD=0,k BD=-,k AC=,所以k AB=k CD,k BC=k AD,k AB·k AD=0,k AC·k BD=-,故AD∥BC,AB∥CD,AB与AD不垂直,BD与AC不垂直.所以四边形ABCD为平行四边形.故选B.6.已知△ABC中,A(0,3)、B(2,-1),E、F分别为AC、BC的中点,则直线EF的斜率为. 解析:因为E、F分别为AC、BC的中点,所以EF∥AB.所以k EF=k AB==-2.答案:-27.已知直线l1过点A(-2,3),B(4,m),直线l2过点M(1,0),N(0,m-4),若l1⊥l2,则常数m的值是.解析:由l1⊥l2得,k AB·k MN=-1,所以·=-1,解得m=1或6.答案:1或68.已知在▱ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标;(2)试判断▱ABCD是否为菱形.解:(1)设D(a,b),由四边形ABCD是平行四边形,得k AB=k CD,k AD=k BC,即解得所以D(-1,6).(2)因为k AC==1,k BD==-1,所以k AC·k BD=-1.所以AC⊥BD.所以▱ABCD为菱形.能力提升9.已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则m的值为( D )(A)1 (B)0 (C)0或2 (D)0或1解析:m=0时,直线AB与CD斜率均不存在,互相平行;m≠0时,=,解得m=1,故选D.10.已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为( C )(A)(0,-6) (B)(0,7)(C)(0,-6)或(0,7) (D)(-6,0)或(7,0)解析:由题意可设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以AP⊥BP,且直线AP与直线BP的斜率都存在.又k AP=,k BP=,k AP·k BP=-1,即·（-）=-1,解得y=-6或y=7.所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7),故选C.11.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1⊥l2,则b= ;若l1∥l2,则b= .解析:若l1⊥l2,则k1k2=-1,即-=-1,b=2,若l1∥l2,则Δ=9+8b=0,b=-.答案:2 -12.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD=5 m,宽AB=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D和BC上一点M,试确定M的位置,使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直.解:如图所示,以点B为坐标原点,BC、BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.由AD=5,AB=3,可得C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0),因为AC⊥DM,所以k AC·k DM=-1,所以·=-1,即x==3.2,即BM=3.2 m时,两条小路所在直线AC与DM相互垂直.探究创新13.已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求D点的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列).解:设所求点D的坐标为(x,y),如图,由于k AB=3,k BC=0,所以k AB·k BC=0≠-1,即AB与BC不垂直,故AB,BC都不可作为直角梯形的直角腰.①若CD是直角梯形的直角腰,则BC⊥CD,AD⊥CD.因为k BC=0,所以CD的斜率不存在,从而有x=3.又k AD=k BC,所以=0,即y=3.此时AB与CD不平行.故所求点D的坐标为(3,3).②若AD是直角梯形的直角腰,则AD⊥AB,AD⊥CD.因为k AD=,k CD=,由于AD⊥AB,所以·3=-1.又AB∥CD,所以=3.解上述两式可得此时AD与BC不平行.综上可知,使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或（,）.。

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、基础过关1．下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 A解析 当k 1＝k 2时，两直线平行或重合，所以①不成立；在②中，斜率可能不存在，所以不成立；在④中，两直线也可能重合，所以不成立；因此，只有③正确．2．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值为( )A ．－8B ．0C ．2D ．10答案 A解析 由两直线平行，又直线斜率存在．∴有4－m m ＋2＝－2，m ＝－8. 3．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．－45°D ．120° 答案 B解析 由l 1⊥l 2及k 1＝tan 45°＝1，知l 2的斜率k 2＝－1，∴l 2的倾斜角为135°.4．已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1 答案 D解析 当AB 与CD 斜率均不存在时，m ＝0，此时AB ∥CD ，当k AB ＝k CD 时，m ＝1，此时AB ∥CD .5．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ，②AB ⊥CD ，③AC ∥BD ，④AC ⊥BD .其中正确的序号是________．答案 ①④解析 ∵k AB ＝－35，k CD ＝－35， k AC ＝14，k BD ＝－4， ∴k AB ＝k CD ，k AC ·k BD ＝－1，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .6．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.答案 2 －98解析 若l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－b 2＝－1，∴b ＝2. 若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，Δ＝9＋8b ＝0，∴b ＝－98. 7.△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解 若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.二、能力提升8．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( )A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对答案 B解析 k AB ＝k DC ，k AD ≠k BC ，k AD ·k AB ＝－1，故构成的图形为直角梯形．9．已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为________． 答案 (－19，－62)解析 设A (x ，y )，∵AC ⊥BH ，AB ⊥CH ，且k BH ＝－15，k CH ＝－13， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＋6＝5，y －1x －2＝3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－19，y ＝－62. 10．已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A 、B 为直径作圆，与x 轴有交点C ，则交点C 的坐标是________．答案 (1,0)或(2,0)解析 设以A 、B 为直径的圆与x 轴的交点为P (x,0)，∵k PB ≠0，k P A ≠0，∴k P A ·k PB ＝－1，即0－3x ＋1·0－2x －4＝－1， ∴(x ＋1)(x －4)＝－6，而x 2－3x ＋2＝0.∴x ＝1或x ＝2，∴P 点坐标为(1,0)或(2,0)．11.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、P (1，t )、Q (1－2t,2＋t )、R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．解 由斜率公式得k OP ＝t －01－0＝t ， k QR ＝2－(2＋t )－2t －(1－2t )＝－t －1＝t ， k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ，k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t＝－1t . ∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ .∴四边形OPQR 为平行四边形．又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ，故四边形OPQR 为矩形．12.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问如何在BC 上找到一点M ，使得两条小路所在直线AC 与DM 相互垂直？解 如图所示，以点B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系．由AD ＝5，AB ＝3，可得C (5,0)，D (5,3)，A (0,3)．设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ，所以k AC ·k DM ＝－1，所以3－00－5·3－05－x＝－1，即x ＝165＝3.2， 即BM ＝3.2 m 时，两条小路所在直线AC 与DM 相互垂直．三、探究与拓展13.已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4，2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．解 ∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形：(1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ，由图可知：A (2，－1)．(2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ，⎩⎪⎨⎪⎧ k AD ＝k BC k AD ·k AB ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n －2m －2＝3－1，n －2m －2·n ＋1m －5＝－1，∴⎩⎨⎧ m ＝165n ＝－85.综上⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝－1或⎩⎨⎧ m ＝165n ＝－85.。

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．若直线1l 与2l 的斜率相等，则12l l //B ．若直线1l 与2l 互相平行，则它们的斜率相等C ．在直线1l 与2l 中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则1l 与2l 定相交D ．若直线1l 与2l 的斜率都不存在，则12l l //2．过点(1,2)A 和点()3,2B -的直线与x 轴的位置关系是（ ）A ．相交但不垂直B ．平行C ．重合D ．垂直 3．已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l （ ） A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直 4．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()5,1A -，()1,1B ，()2,3C ，则其形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判断 5．（多选题）（2020山东泰安一中高二期中）下列说法错误．．的是（ ） A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两条直线的斜率之积为一1D ．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行6．（多选题）已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为 ( )A ．1B ．0C ．2D ．-1二、填空题7．（2020江西赣州三中高二期中）已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝_____；若直线l 1⊥l 2，则a ＝_______8．（2020全国高二课时练）直线1l 的倾斜角为45，直线2l 过()2,1A --，()3,4B ，则直线1l 与2l 的位置关系为______.9.（2020甘肃省武威八中高二月考）已知点A （－2，－5），B （6,6），点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为 .10．已知1,0A ，()3,2B ，()0,4C ，点D 满足AB CD ⊥，且//AD BC ，则点D 的坐标为______三、解答题11．（2020山东潍坊三中高二期中）判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系．(1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)；(3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)；(4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．12．（2020湖南衡阳五中高二月考）已知在平行四边形ABCD 中，(1,2),(5,0),(3,4)A B C . （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.参考答案一、选择题1．【答案】C【解析】对于A, 若直线1l 与2l 的斜率相等，则12l l //或1l 与2l 重合；对于B ，若直线1l 与2l 互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在；对于D ，若1l 与2l 的斜率都不存在，则12l l //或1l 与2l 重合.2．【答案】B【解析】,A B 两点的纵坐标都等于2 ∴直线AB 方程为：2y =∴直线AB 与x 轴平行.3． 【答案】A 【解析】直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点 ∴直线1l 的斜率：141138k +==-+ 直线2l 的倾斜角为135 ∴直线2l 的斜率：2tan1351k ==-，121k k ∴⋅=-， 12l l ∴⊥.4．【答案】A 【解析】由题意得：111152AB k +==--；31221BC k -==-,1AB BC k k ∴⋅=-,AB BC ∴⊥ , ABC ∆∴为直角三角形.5．【答案】ACD【解析】当两直线都与x 轴垂直时，两直线平行，但它们斜率不存在．所以A 错误．由直线倾斜角定义可知B 正确，当一条直线平行x 轴，一条平行y 轴，两直线垂直，但斜率之积不为-1，所以C 错误，当两条直线斜率都不存在时，两直线平行，所以D 错误，故选B ． 6．【答案】AB【解析】 当AB 与CD 斜率均不存在时，2,11m m m =+= 故得m=0，此时两直线平行；此时AB ∥CD ，当k AB =k CD 时，12m m m +=，得到m=1，此时AB ∥CD.故选AB ． 二、填空题7．【答案】5； 53.【解析】直线l 2的斜率k=221a --=a ﹣2．（1）∵l 1∥l 2，∴a ﹣2=3，即a ＝5 （2）∵直线l 1⊥l 2，∴3k=﹣1，即3（a ﹣2）=﹣1，解得a=53． 8．【答案】平行或重合【解析】1l 倾斜角为45， 1l ∴的斜率11k =，2l 过点()2,1A --，()3,4B ， 2l ∴的斜率241132k +==+，12k k =， 1l ∴与2l 平行或重合. 9.【答案】（0，－6）或（0,7）【解析】设点P 的坐标为（0，y ）．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，又k AP ＝，k BP ＝，k AP ·k BP ＝－1，所以·＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为（0，－6）或（0,7）．10．【答案】()10,6-【解析】设(),D x y ，则2131AB k ==-，422033BC k -==--，4CD y k x -=，1AD y k x =- AB CD ∵⊥，//AD BC 411213AB CD AD BC y k k x y k k x -⎧⋅=⨯=-⎪⎪∴⎨⎪===-⎪-⎩，解得：106x y =⎧⎨=-⎩，即：()10,6D - 三、解答题11．解：(1)k 1＝－10，k 2＝＝，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴，k 2＝＝0， 则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.(3)k 1＝＝－1，k 2＝＝－1，∴k 1＝k 2. 又k AM ＝＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2.(4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.12．解：(1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴k AB＝k CD，k AD＝k BC，∴，解得.∴D(－1,6)．(2)∵k AC＝＝1，k BD＝＝－1，∴k AC·k BD＝－1.∴AC⊥BD.∴▱ABCD为菱形．。