第3次课 函数的概念

映射
（1）映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B
→为从集合A到集合B的一个映射.
（2）象与原象：给定一个集合A到集合B的映射，且如果元素a（a∈A）和元素b（b∈）对应，则元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.
给定一个集合A到集合B的映射，当使得集合B中的元素在A中都有原象，则这样的映射成为“满射”.
（3）映射f:A B
→的三个特性：
①存在性：对于A中的任一元素a，必存在元素b作为它的象：(a)
a b f
→=
②唯一性：A中每个元素a的象f(a)是唯一的，即(a)(b)
a b f f
=⇒=
③封闭性：A中每个元素a的象f(a)必须在B中，f（a）∈B
（4）一一映射：设A、B是两个非空的集合，f：A B
→是集合A到集合B的映射如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做从A到B的一一映射.
下列那些是表示映射？
⑶⑷
函数及其表示
知识点1：函数的概念
（1）背景：初中已经学过函数的概念———描述变量之间的依赖关系
（2）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种对应关系f , 使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y = f(x) , x ∈A ，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f （x ）|x ∈A}叫做函数的值域. 例：设集合M={x|0≤x ≤2},N={y|0≤x ≤2}，那么下面4个图形中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）
A ．①②③④
B ．①②③
C ．②③
D ．② 知识点2：函数的构成要素
（1）定义域：x 叫做自变量，x 的取值范围为定义域，定义域是集合，也就是集合A.（根本） （2）值域：y 叫做函数值，y 函数值的集合为值域， 值域是集合B 的子集. （3）对应关系（对应法则）：对应关系f 是核心
表4.2 初中已学的常用函数的定义域、值域
（4）区间的概念
研究函数时常会用到区间的概念, 定义域和值域都是取值范围.为方便写作引入区间的概念
表4.3 区间的概念和性质
-∞,+ ∞,引入了无穷大的概念. 例：把下列数集用区间表示：
（1）{x|x ≥2} （2）{x|x<0} （3）{-1<x<1或2≤x<6} （5）相等函数的判断
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等 注：判断两个函数是否相等，与用哪个字母表示无关 例：下列函数中哪个与函数y=x 相等 （1）2
2
x x
练习：
1、判断下列各组函数是否相等 （1）f （x ）=x 2
+1,g （x ）=|x|+1
（2）f （x ）=x 2
-x+1,g （x ）= f （x ）=t 2
-t+1
2、下列函数中，不满足f （2x ）=2f （x ）的是（ ）
A.f （x ）=|x|
B.f （x ）=x-|x|
C.f （x ）=x+1
D. F （x ）=-x . ☆（6）函数定义域的求解 ①分式中分母不为0 ②偶次根式中被开方数非负 ③整式中定义域为实数集R
④由实际问题确定的函数，其定义域受实际问题的约束
注：在求函数定义域之前，不能对函数解析式进行变形，否则可能引起函数定义域的变化 例1：求下列函数的定义域
（1）
(x)f =
（2）1（x ）2f x
+
- 例2：把长度为16的细铁丝围成一个长方形，设这个长方形的一个边长是x ，长方形的面积是y ，把y 表示为x 的函数，并求出这个函数的定义域.
例3：（1）已知函数f （x ）的定义域为[1,3],求函数f （2x+1）的定义域 （2）已知函数f （2x+1）的定义域为[1,3],求函数f （x ）的定义域 练习：
1、设全集R ，函数(x)f =
M,则C R M 为（ ）
A.[-1，1]
B.（-1，1）
C.（-∞，-1]∪[1,+∞）
D. （-∞，-1）∪（1,+∞）
2、函数(x)f =的定义域为
3、函数(x)
f =
的定义域为 （用区间表示）
4、（1）已知函数f （x ）的定义域为[0,4],求函数f （x 2
）的定义域 （2）已知函数f （2x-1）的定义域为[-1,1],求函数f （x-2）的定义域 ☆（7）求函数值域的常用方法
①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域 例：求函数2
21x y +=
的值域 ②配方法：通常适用于二次函数 例：求函数51042+++=x x y 的值域
③换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域
例：求函数1-+=x x y 的值域
④分离常数法：注意到分式的分子、分目的结构特点，分离出一个常数 例：求函数1+=x x y 的值域
练习：
1、函数216x y -=的值域是（ ）
A.[0，+∞）
B.[0,4]
C.[0,4）
D.（0,4）
2、设函数x x f +=14)(，若f （a ）=2，则a=
3、已知函数1)(-=x x f ，若f （a ）=3，则a=
4、求下列函数的值域
（1）1-=x y （2）)3,0[,322∈+-=x x x y （3）1
22
+=x x y
（4）x x y 212-+=
综合练习
1、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A.3
9)(2
--=x x x f 与3+=x y B.12-=x y 与1+=x y
C.)0(0≠=x x y 与)0(1≠=x y
D.Z x x y ∈+=,12与Z x x y ∈=,1-2
2、函数1
4)(2
--=x x x f 的定义域为（ ）
A.[-2,2]
B.（-2,2）
C.[-2,1）∪（1,2]
D. （-2,1）∪（1,2） 3、函数1
45)(-+=x x x f 的值域是（ ）
A.（-∞，5）
B.（5，+∞）
C.（-∞，5）∪（5，+∞）
D.（-∞，1）∪（1，+∞） 4、已知函数)(x f y =的定义域是（0,1），则函数)(2x f y =的定义域是（ ）
A.（-1,0）
B.（-1，0）∪（0，1）
C.（0,1）
D.[0，1] 5、已知函数x
x f -=
21)(的定义域为M ，函数2)(+=x x f 的定义域为N ，则M ∩N=（ ） A.[-2，+∞） B.（-∞，2） C.（-2,2） D.[-2,2）
6、若函数43)(2--=x x x f 的定义域为[0,m],值域为]4,425[--，则m 的取值范围是（ ）
A.（0,4]
B.]4,425[--
C.]3,23[
D.]2
3[∞+
7、已知函数f （2x+1）的定义域为)21,2(-，则f （x ）的定义域为（ ）
A.)41,23( -
B.)2
3,1(- C.（-3,2） D.（-3,3） 8、已知集合A 是函数x
x x x f 11)(2
2-+-=的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B 的子集的个数是（ ）
A.4
B.6
C.8
D.16
9、已知函数52)(2+-=x x x f 的定义域为A ，值域为B ，则集合A 与B 的关系是
10、函数x
x x f 23)1()(0
-+=的定义域是
11、函数x x x f -+=142)(的值域为 12、函数x x x f -++=211)(的定义域是
13、求下列函数的定义域
42113)()2(;2
36
)()1(2+-+-=+-=x x x f x x x f
14、求函数1
262)(--+=x x x f 的定义域，并用区间表示
15、已知函数416)(+--=x x x f
（1）求函数)(x f 的定义域 （2）求f （-1），f （2）的值
16、求下列函数的值域
{}
1)()2(5,4,3,2,1,12)()1(+=
∈+=x x
x f x x x f
17、已知函数1)1(2
1)(2+-=x x f 的定义域与值域都是[1,b]（b>1）,求实数b 的值。