Hardy空间的原子分解及其上算子的有界性

Hardy空间的原子分解及其上算子的有界性【摘要】设00，关于φ的极大函数M■定义为M■f（x）=sup■φ■*f（x），其中f是任意的缓增分布S′，我们称f∈H■（R■），如果M■f（x）∈L■（R■）。

Fefferman和Stein在文献[1]中还给出了非切向极大函数和大极大函数等刻画，并断言上述定义与φ的选取无关（只要■φ≠0）且H■是拟Banach空间。

显然当P>1时，H■=L■。

我们称Y是p■次拟Banach空间，如果其对应的拟范数‖·‖■满足三角不等式：‖f+g‖■■≤‖f‖■■+‖g‖■■，其中f，g∈Y。

注意到1次拟Banach空间就是Banach空间。

Coifman在文献[2]给出了原子和原子Hardy空间的定义。

定义设0<p≤1≤q≤∞，p<q，s≥s■，其中s■=[n（1/p-1）]是不超过n（1/p-1）的最大整数。

我们称函数a为（p，q，s）原子，如果a∈L■（R■），且满足：（1）supp a？奂Q；（2）{■■a（x）■dx}■≤Q■；（3）■a（x）x■dx=0，对一切多重指标α满足α≤s。

容易证明（p，q，s）原子属于H■。

反之，f是H■中的缓增分布S′当且仅当f=■λ■a■，其中a■是（p，q，s）原子，s≥s■且■λ■■<∞。

分解f=■λ■a■的含义是在缓增分布意义下说的。

定义‖f‖■=inf{（■λ■■）■}，其中下确界取遍上述所有的分解。

可证上述定义的两种拟范数是等价的，即‖f‖■≈‖f‖■。

定义有限原子Hardy空间H■■是由所有（p，q，s）原子的有限线性组合的全体，并赋予相应的拟范数‖f‖■=inf{（■λ■■）■，f=■λ■a■}，其中下确界取遍上述所有的分解。

该空间在H■里是稠密的。

特别的，我们定义H■■是由所有连续（p，∞，s）原子的有限线性组合的全体组成，并赋予对应的范数‖f‖■。

当1<p<∞，很多线性算子和次线性算子在L■上有界，但是p=1时并不成立。

带变量核的抛物型Littlewood-Paley算子在 Hardy 空间上的有界性白莉红【摘要】利用原子分解理论给出了一类带变量核的抛物型 Littlewood-Paley 算子gφ在 Hardy 空间Hp（Rn）（2α2α+1< p1）上的有界性。

%In this paper,Boundedness of Parabolic Littlewood-Paley Operators with Variable Kernels is obtained on Hardy spaces Hp(Rn)( 2α2α +1 < p1)by using the atomic decomposition theory.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】7页(P10-16)【关键词】Littlewood-Paley算子;变量核;Hardy空间;原子分解【作者】白莉红【作者单位】甘肃建筑职业技术学院基础课部，兰州 730050【正文语种】中文【中图分类】O174.21 引言及主要结果关于经典的Marcinkiewicz积分算子及其交换子有界性的研究已经取得了比较丰富的成果，例如参见文献［13 −17］.作者在文献［18］中给出了g∂在广义Morrey空间上的有界性.随后，Niu-Tao［19−20］证明了粗糙核带参数型的Marcinkiewicz函数在L2（Rn）上的有界性和抛物型Marcinkiewicz积分算子在Trieble-Lizorkin空间上的有界性质.受以上结果的启发，本文对带变量核的抛物型Littlewood-Paley算子g∂在Hardy空间上的有界性进行了论证.2 定理的证明从而?得证.至此我们完成了定理的证明.【相关文献】［1］ E.FABESE，RIVIERE N.Singular integralswith mixed homogeneity［J］.Studia Mathematica，1966，27：19 −38.［2］ GRAFAKOS L，STEFANOV A.Lp bounds for singular interal and maximal singular integralswith toungh kernels［J］.Indiana Univ Math，1998，31：455 −469.［3］ NAGEL A，RIVIERE N.On Hilbert transform along curves II［J］.JAmer Math，1976，98：395 −403.［4］ CHENW G，HUG E.Weak typ（H1，L1）estimate for amultilinear singular integraloperators［J］.Advin Math（China），2001，30（1）：63 −69.［5］ Chen Y，Ding Y.Lp bounds for the commutator of parabolic singular integral with rough kernels［J］.Potential Analysis，2007，27：313 −334.［6］ CHEN Y P，DING Y，FAN D S.A parabolic singular integralwith rough kernel［J］.JAust Math Soc，2008，84：163 −179.［7］ CHEN Y P，DING pacteness of the commutators of parabolic singular integrals［J］.Sciin Math（China），2010，53（10）：2633 −2648.［8］ CHEN D X，LU SZ.On the parabolic singular integral andmaximal operatorswith rough kernel belonging to Fβ（Sn−1）［J］.Adv in Math（China），2010，39（5）：629 −639.［9］牛耀明，陶双平.抛物型奇异积分算子在 Triebel-Lizorkin空间的有界性［J］.数学学报，2011，54（6）：893−900.［10］ TAO SP，NIU YM.Boundedness for parabolic singular integralswith rough kernel and its commutators on Triebel-Lizorkin space［J］.Acta Mathematica Sinica，English Series，2011，27（9）：1783 −1802.［11］ Madych W R.On Littlewood-Paley functions［J］.Studia Math，1974，50：43 −63.［12］ Ding Y.Xue Q，Yabuta K.Parabolic Littlewood-Paley g-functions with rough kernels ［J］.Acta Math Sinica（English Serise），2008，24：2049 −2060.［13］ Stein EM.On the functions of Littlewood-Paley，Lusin and Marcinkiewicz［J］.Trans Amer Math Soc，1958，88：430 −460.［14］ Benedek A，Calderon A，Panzone R.Convolution operators on Banach value functions［J］.Proc Nat Acad.Sci.，1962，48：256 −365.［15］ Sakamoto M ，Yubuta K.Boundedness of Marcinkiewicz function［J］.Studia.Math.，1999，135：103 −142.［16］ Ding Y，Fan D，Pan Y.Lp boundness ofMarcinkiewicz integralwith Hardy space function kernel［J］.Acta Mathematical Sinia（English Series），2000，16（4）：593−600.［17］ Al-Salman A，Al-Qassem H，Cheng L.Lp bounds for the function of Marcinkiewicz ［J］.Math Res Letter，2002，9：697 −700.［18］陈艳萍，丁勇.广义 Morrey空间上带变量核的 Littlewood-Paley算子［J］.数学物理学报，2009，26（3）：630 −642.［19］牛耀明，陶双平.粗糙核带参数的抛物型Marcinkiewicz函数的一个注［J］.纯粹数学与应用数学，2010，26（5）：735−744.［20］ NIU Y M ，TAO SP.Boundedness of parabolic singular integrals and Marcinkiewicz integrals on Triebel-Lizorkin spaces［J］.Anal Theory Appl，2011，27（1）：59 −75.［21］ LU SZ.Four Lectures on RealHp spaces［M］.New York：Worid scientific Publishing Co Pte Ltd，1995.［22］ Duoandikoetxea Javier.Fourier Analysis［M ］.New York：American Mathematics Society，2001.［23］ Calderon A ，Zygmund A.On singular integrals with variable kernels［J］.Applicable Anal，1977，78（7）：221 −238.［24］ Calderon A，Zygmund A.Singular integral operators and differential equations ［J］.Amer JMath，1957，79：901 −921.。