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大学高数期末考试题

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高等数学（上）期中测试题一 填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上） 1.设1(1),0(),0x x x f x x ax ⎧⎪-<=⎨⎪+≥⎩在(,)-∞+∞上处处连续，则a =---。

解()()11110lim 1lim 1xxx x x x e -----→→⎧⎫⎡⎤-=+-=⎨⎬⎣⎦⎩⎭()0lim x x a a +→+=,有连续性有a =-1e2. 已 知(3)2f '=,则 0(3)(3)lim 2h f h f h→--=1-。

解 已知()0(3)(3)3lim2h f f h f h→--'==则00(3)(3)1(3)(3)lim lim 22h h f h f f f h h h→→----=- ()1132122f '=-⋅=-⨯=- 3.函数()2cos f x x x =+在[0,]2π上的最大值为6π+解 令()12sin 0f x x '=-=得6x π=()026622f f f ππππ⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则最大值为6π+4. 设5(sin )5(1cos )x t t y t =+⎧⎨=-⎩， 则t dy dx=0,22t d y dx==120解()5sin 051cos t t t dy dy tdtdx dxt dt======+22t t t dy d dy dx d d y dx dt dx dx dxdt===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭==()()()22cos 1cos sin 1cos 151cos 20t t t t t t =+++==+5. 设1(0)xy xx +=>，则y '=()1ln xx x x x ++解 两边取对数有()ln 1ln y x x =+两边关于x 求导得1ln y x x y x'+=+,整理后即得结果6. 设函数()y y x =由方程cos()0x y xy ++=确定，则dy =sin 11sin y xy dx x xy --。

解 对方程两边关于x 求导 得:()()1-sin 0y xy y xy ''+⋅+=sin 11sin y xy y x xy -'=- 则dy =sin 11sin y xy dx x xy--7. 曲线2xy e-=在点(0,1)M 处的曲率K=25解 2022xx x y e -=='=-=- 20044xx x y e-==''==则()()332222425112y k y ''===⎡⎤'++-⎣⎦ 8.函数()xf x xe =在01x =处的二阶泰勒公式为()f x =()()()()2333211126e e e e x x x ξξ++-+-+-解 由()()()n xfx n x e=+,代入泰勒公式即得二．选择题：（每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里） 1.当0x →时，下列函数中为无穷小的函数是（D ）。

A. lg sin x ； B.1cos x ； C. 1sin x； D. 12x e-。

解0.limlg sin x A x →=-∞ 01.limcos x B x →不存在01.limsin x C x→不存在 210.lim 0x x D e -→=2.设21sin ,0()0,0x f x xx ≠=⎪=⎩，则()f x 在点0x =处（C ）。

A. 极限不存在； B. 极限存在，但不连续； C ．连续，但不可导； D. 可导。

解由()201lim sin 00x f x →== 则()f x 在点0x =处连续又()()()21sin 00limlimx x f x f x f x x→→-'==-201limsin x x→=不存在 则()f x 在点0x =处不可导3.设arccos sin 2x y =，则1()2y '=（A ）。

A. 12-；B. 2-；C. 12；D. 2。

解1212arccos 111cos 222x x x y ==⎛⎫'=⋅⋅=- ⎪⎝⎭4.曲线cos sin x t t y t t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程是（ B ）。

A. 4()848y x ππππ-+-=-+；B. 4()848y x ππππ+-=--+ ； C. y x =；D.y x =-。

解444sin cos 4cos sin 4t t t dy dy t t t dt dx dxt t tdtπππππ===++===--则切线方程为442442y x ππππ⎛⎫+-⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭5.已知函数2cos xy ex =+，则(40)y=（A ）。

A.4022cos xe x ⋅+； B. 4022sin xex ⋅+；C.2cos xex +； D. 2sin xe x +。

解()()()()222cos cos 2n n xn xn e ex x π⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭则即得结果A6.曲线53y x x=+的凹区间是（B ）。

A.(,0)-∞； B. [0,]+∞； C.(,)-∞+∞； D. 以上都不对。

解2133552101333y x y x-'''=+=⋅=当()0,+x ∈∞时,y <0'',则曲线是凹的7.若()(),()f x f x x -=-∞<<+∞，在(,0)-∞内()0f x '>且()0f x ''<，则在(0,)+∞内有（ C ）。

A.()0,()0f x f x '''><； B. ()0,()0f x f x '''>>； C.()0,()0f x f x '''<<； D. ()0,()0f x f x '''<>。

解 设()0,x ∈+∞ 则(),0x -∈-∞()()()()--f x f x f x f x ''=∴-=Q又()()()-00f x f x f x '''>∴=--<Q由()()-f x f x ''''= 且 ()0f x ''-< 则()0f x ''<8. 函 数()y f x =对 一 切x 满足2()3[()]xf x x f x '''+1x e -=- ，若0()0f x '=，0(0)x ≠则（ B ）。

A.0()f x 是()f x 的极大值； B.0()f x 是()f x 的极小值；C.0,0(())x f x 是曲线()y f x =的拐点；D.0()f x 不是()f x 的极值，00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点。

解()000011x x x e e f x x x e---''== 当()0000x f x ''<>， 当()0000x f x ''>>也即()00f x ''≠，则0x x =不是拐点又()00f x ''>,则0()f x 是()f x 的极小值三．解答题：1.求函数2ln ()xf x x=的单调区间与极值。

（8分）解 定义区间为()0,+∞,令()2212ln ln x x x x f x x ⋅⋅-'=222ln ln 0x x x-==有1x = 或者 2x e=则在2(0,1][,)e +∞单调减少,在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调增加极小值:()10f =, 极大值:()224fe e= 2.求下列极限。

（每小题6分）(1) 0111lim()sin tan x x x x→- 解 原式200111cos 112lim ()lim sin 2x x x x x x x x →→-==⋅=(2) 1lncos(1)lim 1sin 2x x xπ→--解 应用洛比塔法则,有原式()()11sin 1cos 1limcos22x x x xππ→⎡⎤--⎣⎦-=-()()2211tan 1sec1limlimcossin 2222x x x x xxππππ→→--==⎛⎫- ⎪⎝⎭24π-=3.确定函数11()1xxf x e-=-的间断点，并指出间断点所属的类型。

（8分）解 函数在x 0,x=1=处无定义. 由于 010lim 110xxx e e -→⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故()0lim x f x →=∞,从而0x =是()f x 的无穷间断点又11lim ,lim 11x x x xx x+-→→=-∞=+∞--,故 1111lim 0,lim xxxxx x e ee e+--∞+∞--→→====+∞所以()()10,11f f -+==,因此1x =是()f x 的跳跃间断点4.（8 分 ） 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1(0)(1)0,()12f f f ===，证明：(1) 存在1(,1)2η∈，使()f ηη=； (2) 存在(0,1)ξ∈，使得()()1f f ξξξ'-+=。

证(1) 设()()F x f x x =-由()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导则()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,可导 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上111111022222F f ⎛⎫⎛⎫=-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()1110110F f =-=-=-<由零点定理,在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少存在一点η,使()0F η=即()f ηη=(2)设()()xfx x G x e -=,()G x 在[]0,η上连续,在()0,η内可导,且()()00000fG e -==.Word 资料 ()()0f G e ηηηη-== 则在()0,η内至少存在一点ξ,使 ()()()210f e fe G e ξξξξξξξ'⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦'== 即()()10f e f e ξξξξξ'⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦则 ()()1f f ξξξ'-+=因为()()0,0,1η⊆,则()0,1ξ∈,即结论成立。

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西安工业大学高数期末考试题附标准答案试题

西安工业大学高数期末考试题附标准答案试题

高等数学(H)期末参考答案、填空题(每小题 3分，共36 分)u = ln ..x 2• y 2• z 2，则它在点 M °(1, -1,1)处地方向导数地最大值为f (x, y) =2x 2 ax xy 22y 在点(1, -1)处取得极值，则常数 a =「5.7.设平面曲线L 为下半圆周y 二 - .1 - x28.设匕为曲面z = . x 2 y 2在0岂z 乞1地部分，贝U I I xdS 二0 .10.设y 1, y 2, y 是微分方程 9 p(x)y ' q(x)y 二f (x)地三个不同地解，且 y —社=常 y 2 -y 3数，则微分方程地通解为C’y , -y 2) • C 2(y 2 - y 3) * % .2 21 2，贝U [ (x + y ) ds = (1 -ds = ? 4 兀=三5.空 线 y 2 二 2x, z 2 = 1「x 在点 (>,J 处地切线方程为1 x --2 1=_y -1 .2 z ―— 2 1 一 2i 22 2x _x 26.改变积分次序：I dx ,f (x, y)dy -1 1 • 1 _y°dy 亠口？ f(x,y)dx .L 1 1.lim 1 —X f1 xy-V二 lim i 1 — xy丿劣xy 丿 Jlim 1 丄 阚Ixy 丿Hr 12.函数z二z(x, y)由方程e^ sin 》=0确定，则 —=xcyF yF1 y-cos- x x xz xeco 显X ~2 xz x e3.设函数4.设函数 9.设 f (x) n -xe1,--•：：： x ■ 0 ,则其以2兀为周期地傅里叶级数在处收敛于 0 岂 x ：二'11.函数f(x) =1 展开为x 地幕级数地形式为 a 」yx n(-2, 2).2—x n^2n41112.微分方程y y = xe x地通解为Cx - xe xx-------二、计算下列各题(每小题6分，共18分)1•设z 二f(y,e xy)，y =(x)，其中f,「均为一阶可微函数，求 x解:虫=f 「yx 2 yf 2 e xy( y xy)dxx二2f 2 e xy( (x) X : (x))x2.求曲面z =4(x 2y 2)与平面z = 2所围立体地体积. 2解：所围立体在xoy 面地投影域D ： x2• y 2_ 4，所围立体地体积V = M[4_；(x 2+y 2)] _2Rxdy = 2JJdxdy —1 2二.22d ： r rdr =8 二-4 二-4 ■:解：设曲面在第一卦限地切点地坐标为M (x, y, z)，令F (x, y,z) = x 22y 23z 2「66，则切平面地法向量n = (F x , F y , F Z )M 二(2x, 4y, 6z),已知平面x y ^1地法向量n 1 =(1, 1, 1)依题意n//ni ，即 空=41 =央令t1 1 1代入曲面方程中解地 x =6, y =3, z=2，即切点坐标为 M (6, 3, 2). 三、计算下列各题(每小题6分，共18分)1.设门是由锥面.x 2 y 2与半球面z= J -x 2 -y 2围成地空间区域,dz dx(x 2 y 2)dxdyD3.在曲面x 2 2y 23z-66上第一卦限部分求一点，使该点地切平面与 已知平面2x s(x)_ (1 _x)2 _1 xx2(5 (1))，1s(2)二x+ x 2_ I X(2n-1)于 . n 1 2 _(1 - X) 1 x=2边界地外侧，求曲面积分[jxdydz- ydzdx • zdxdy .Q(x, y,z)=y ， R(x, y,z) = z ，由高斯公式有cP cQcR ■i I xdydz ydzdx zdxdy 二 ()dv ¥ ¥r rr L\、x _y_z= 3 ! i idv = 3 o dr °4d [；r 2sin ： drQ=3 2 二(1 2) [=(2-、2)二 2 3 13 572.写出级数--飞 N •…地通项，判别该级数地敛散性.若级数收敛时，试求其和2 2 2 2limUnl^im 1,n = u n n=2 2n —12由比值审敛法知该级数收敛.令解：已知 P(x, y,z) = x , 解：该数项级数地通项为 U n 二2n -1 2n;级数为正项级数，由于s(x) oOoo八(2n -1) x n= 2x'二 nxn -1oOn=2x®(x)-s 2(x) x (—1,1)，x :: Xo3(t)dt 二 I 。

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

大学高数期末试题及答案

大学高数期末试题及答案

大学高数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = sin(x)答案：C2. 函数f(x) = 2x + 1在x=2处的导数是：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B3. 曲线y = x^2 + 1在点(1, 2)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 定积分∫(0到1) x dx的值是：A. 0.5B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是______。

答案：12. 函数y = ln(x)的不定积分是______。

答案：xln(x) - x + C3. 微分方程dy/dx + y = e^(-x)的通解是______。

答案：y = -e^(-x) + Ce^(-x)4. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是______。

答案：x = 1, x = 2三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 3的极值。

答案：函数f(x)的导数为f'(x) = 2x - 4。

令f'(x) = 0，解得x = 2。

将x = 2代入原函数，得到f(2) = 3，这是函数的极小值。

2. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。

答案：根据定积分的性质，∫(0到π) sin(x) dx = [-cos(x)](0到π) = -cos(π) + cos(0) = 2。

四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明函数f(x) = x^3在R上是连续的。

答案：对于任意实数x，有f(x) = x^3。

因为多项式函数在其定义域内处处连续，所以f(x) = x^3在R上是连续的。

高数期末考试题大题及答案

高数期末考试题大题及答案

高数期末考试题大题及答案一、极限题目1：求函数 \( f(x) = \frac{3x^2 - x}{x^2 + 2} \) 在 \( x \to \infty \) 时的极限。

解答：首先，我们可以通过分子分母同时除以 \( x^2 \) 来简化函数：\[ f(x) = \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x^2}} \]当 \( x \to \infty \) 时，\( \frac{1}{x} \) 和\( \frac{2}{x^2} \) 都趋向于 0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3 \]二、导数与微分题目2：求函数 \( g(x) = x^3 - 2x^2 + x \) 的导数。

解答：使用幂函数的导数规则，我们有：\[ g'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]三、积分题目3：计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \)。

解答：首先，我们需要找到 \( x^2 \) 的原函数，即：\[ F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]然后，我们可以计算定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]四、无穷级数题目4：判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) 的收敛性。

解答：该级数可以重写为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\right) \]这是一个交错级数，我们可以通过比较测试来判断其收敛性。

由于每一项都是正的且递减，我们可以得出结论，该级数是收敛的。