【全国百强校】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题

哈师大附中2018—2019学年度上学期期末考试高三理科数学一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解方程组，得．故．选D．2.若双曲线的一个焦点为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为双曲线的一个焦点为，所以，故选B.3.已知且则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设与的夹角为，向量在方向上的投影为故选4.已知等差数列满足:且成等比数列,则数列的前项和为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】由成等比数列列方程求出，再利用等差数列的前项和公式求解。

【详解】设等差数列的公差为，则，，又成等比数列,所以，即：，解得：或当时，数列的前项和为：，当时，数列的前项和为：，故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，等比数列概念及等差数列求和公式，属基础题。

5.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：先求出函数的定义域，结合函数图象进行排除，再利用特殊值的符号得到答案．详解：令，得或，故排除选项A、D，由，故排除选项C，故选B．点睛：本题考查函数的图象和性质等知识，意在考查学生的识图能力．6. 下列命题正确的是（）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.7.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为2,动点满足当不共线时，面积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；则：设，两边平方并整理得：，．面积的最大值是选A8.设函数则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，则有f（1﹣2x）+f（x）＞0⇒f（1﹣2x）＞﹣f（x）⇒f（1﹣2x）＞f（﹣x）⇒1﹣2x＞﹣x，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）＝2x﹣2﹣x，则f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，又由f（x）＝2x﹣2﹣x，其导数为f′（x）＝（2x+2﹣x）ln2＞0，则函数f（x）在R上为增函数，则f（1﹣2x）+f（x）＞0⇒f（1﹣2x）＞﹣f（x）⇒f（1﹣2x）＞f（﹣x）⇒1﹣2x＞﹣x，解可得：x＜1，即不等式的解集为（﹣∞，1）；故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的单调性以及奇偶性，属于基础题．9.在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，利用、表示出，再利用表示出，求出λ与μ，然后利用对勾函数的单调性求的取值范围．【详解】如图所示，△ABC中，，∴（），又点E在射线AD（不含端点）上移动，设k，0＜k＜1，∴，又，∴，∴．∵在（0，1）上单调递减，∴λ的取值范围为（，+∞），故选：C．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与基本不等式的应用问题，是中档题．10.已知函数的图象的一个对称中心为且则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数图象的对称中心为列方程，由整理出方程并求解，联立方程组表示出，结合及得到的范围，从而求解。

哈师大附中2017-2018学年度高三上学期期中考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}|3A x x =<，{}|20B x x =-≤，那么集合=B A A ．(],3-∞B ．(),3-∞C ．[)2,3D ．(]3,2-2．已知不共线的向量,a b ，||2,||3==a b ，()1⋅-=a b a ，则||-=a bAB ． CD 3．等差数列{}n a 中，35710133()2()24a a a a a ++++=，则这个数列的前13项和为A ．13B ．26C ．52D ．156 4．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 A ．133π B ． 7π C ．11πD ． 12π5．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度，所得图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值是 A ．13B ．1C ．53D ． 2 6．设tan()2πα+=，则sin()cos()sin()cos()αππααππα-+-=+--A ．13B ．1C ．3D ． -17．设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知241a a =，37,S =则5S = A ．152 B ．314 C ．334D ．1728．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(),f x f x +=-且(1)2f =，则(2013)(2015)f f += A ．-2 B ．0 C ．2D ．49．已知函数()3sin ,f x x x π=-:(0,),()02p x f x π∀∈<，则A ．p 是真，00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥ B ．p 是真，:(0,),()02p x f x π⌝∀∈>C ．p 是假，:(0,),()02p x f x π⌝∀∈≥D ．p 是假，00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥10．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是A ．(],1-∞-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若co s (2)c o s c a B a b A -=-，则ABC∆的形状是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12．已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且(2)()k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等差数列{}n a 中，12342,4a a a a +=+=，则56a a += ． 14．设α为锐角，若3cos(),65πα+=则sin()12πα-= ． 15．已知向量)2,2(=，)1,4(=，在x 轴上存在一点P 使⋅有最小值，则点P 的坐标是 ．16．在平面直角坐标系xoy 中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．已知点(),P x y 是角θ终边上一点，()0OP r r =>，定义()ryx f -=θ．对于下列说法：①函数()f θ的值域是⎡⎣； ②函数()f θ的图象关于原点对称；③函数()fθ的图象关于直线34x π=对称； ④函数()f θ是周期函数，其最小正周期为2π；⑤函数()fθ的单调递减区间是32,2,.44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦其中正确的是 ．（填上所有正确的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）P A B CD E17．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1110,910n n a a S +==+. （Ⅰ）求证：{lg }n a 是等差数列； （Ⅱ）设12(lg )(lg )n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本题满分12分）已知向量m 2(2cos x =n (1,sin 2),x =函数()f x =⋅m n ． （Ⅰ）求函数()f x 的图象的对称中心和单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()3,1,f C c ab ===且a b >，求,a b 的值．19．（本题满分12分）四棱锥P -ABCD 中，直角梯形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，∠APD =60°，P A =CD =2PD =2AB =2，且平面PDA ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面BDE 所成角的大小．20．（本题满分12分）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=1，E 为BC 中点． （Ⅰ）求证：C 1D ⊥D 1E ；（Ⅱ）在棱AA 1上是否存在一点M ，使得BM ∥平面AD 1E ? 存在，说明理由；（Ⅲ）若二面角B 1-AE -D 1的大小为90°，求AD 的长．21．（本题满分12分）设函数()()1ln 2++=x a x x f ，其中0≠a ．（Ⅰ）当1-=a 时，求曲线()x f y =在原点处的切线方程；（Ⅱ）试讨论函数()x f 极值点的个数； （Ⅲ）求证：对任意的*N n ∈，不等式()3112ln +>⎪⎭⎫⎝⎛++n n n n 恒成立．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．(本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲已知AB 是半圆O 的直径，AB =4，点C 是半圆O 上一点，过C 作半圆O 的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于D ，交半圆于E ，DE =1．（Ⅰ）求证：AC 平分∠BAD ； （Ⅱ）求BC 的长．23．(本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2sin ,0,.2πρθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:20l x -=垂直，根据（Ⅰ）中的参数方程，确定点D 的坐标． 24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲（Ⅰ）已知不等式28x t t +-≤的解集是{}54x x -≤≤，求实数t 的值； （Ⅱ）已知实数,,x y z 满足22211249x y z ++=，求x y z ++的最大值．哈师大附中2015-2016学年度高三上学期期中考试数学（理科）答案1-6：BABADC 7-12：BAACDB13、 6 14、1015、（3，0） 16、 ①③④ 17．（1）当2≥n 时，由1091+=+n n S a ，得1091+=-n n S a ，相减得：n n a a 101=+当1=n 时，11210100109a S a ==+=，∴)(10*1N n a a n n ∈=+，n n n a a a lg 1)10lg(lg 1+==∴+， 1lg lg 1=-∴+n n a a ，又1lg 1=a {}n a lg ∴是首项为1，公差为1的等差数列. L L 6‘（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=111212n n n n b n ，则11111212231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭L =12+n nL L 12‘18、解：（1）2()2cos 2cos212==+f x x x x x 2sin(2)16π=++x L L2‘令2,6ππ+=∈x k k Z ，,212ππ∴=-∈k x k Z ，∴对称中心为,1212ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭k k Z L L 4‘ 令222,262πππππ-≤+≤+∈k x k k Z ，∴,36ππππ-≤≤+∈k x k k Z∴增区间：,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z L L 6‘（2）()2sin 2136π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭f C C ，sin 216π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭C ，E DCBAD 1C 1B 1A 1MN z yxMA 1B 1C 1D 1A B C DE 0π<<Q C ，132,666πππ∴<+<C 262ππ∴+=C 6π∴=C ， LL 8‘ ()2222222cos 2=+-=+=+-c a b ab C a ba b ab 1,==Q c ab ，2∴+=a b =ab 且>a b ，2,∴==a bL L 12‘19、解：（1）2,1,60,==∠=o Q PA PD PAD2222cos 3∴=+-⋅∠=AD PA PD PA PD PAD ，∴=AD ，222∴=+PA AD PD∴⊥PD AD ，又⊂Q PD 平面PDA ，平面PDA I 平面=ABCD AD ，平面PDA ⊥平面ABCD ，∴⊥PD 平面AL L 6‘（2）⊥Q AD CD ，∴以,,DA DC DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系1(0,0,0),(0,0,1),(0,1,),2D P E B 1(0,1,),2∴==uuu ruu ur DE DB ，设平面BDE的一个法向量为(,,)=r n x y z，则1020⎧+=⎪+=y z y ，令1=x ，(1∴=r n cos ,∴〈〉==uu u r r DP n ，设直线PD 与平面BDE 所成的角为θ，sin θ=∴直线PD与平面BDE所成的角为60.oL L 12‘20．方法一：证明：（1）连D 1C ，长方体中，EC ⊥平面DCC 1D 1，∴EC ⊥DC 1∵AB=AA 1，∴正方形DCC 1D 1中，D 1C ⊥DC 1 又EC ∩D 1C=C ，∴DC 1⊥平面ECD 1∵D 1E ⊂面ECD 1，∴C 1D ⊥D 1E L L 4‘解：（2）存在点M 为AA 1中点，使得BM ∥平面AD 1E ．证明：取A 1D 1中点N ，连，NB∵E 为BC 中点，∴∴四边形BED 1N BN ∥D 1E 又BN ⊄平面AD 1E ，D 1E ⊂平面AD 1E ∴BN ∥平面AD 1E∵AD 1，MN ⊄平面AD 1E ，AD 1⊂平面AD 1E ∴MN ∥平面AD 1E∵BN ∩MN=N ，∴平面BMN ∥平面AD 1E ∵BM ⊂平面BMN ，∴BM ∥平面AD 1En n n n n n n n m m m m m m 此时，112AM AA = L L 8‘ 方法二： 证明：（1）以D 为原点，如图建立空间直角坐标系D-xyz ，设AD=a ，则D(0,0,0)，A(a ,0,0)，B(a ,1,0)，B 1(a ,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E(2a,1,0)， ∴11(0,1,1),(,1,1)2aC D D E =--=-uuu r uuu r ，∴110C D D E ⋅=uuu r uuu r ，∴C 1D ⊥D 1E L L 4‘解：（2）设1AMh AA =，则(,0,)M a h ，∴(0,1,)B M h =-u u u r ，1(,1,0),(,0,1)2a AE AD a =-=-uu u r uuu r ，设平面AD 1E 的法向量 (,,)x y z =，则1020a AE x y AD ax z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩uu u r uuu r，∴平面AD 1E 的一个法向量 (2,,2)aa = ∵BM ∥平面AD 1E ，∴BM ⊥uuu r ，即20BM a ah ⋅=-=u u u r ，∴12h =即在存在AA 1上点M ，使得BM ∥平面AD 1E ，此时112AM AA =．L L 8‘ 解：（3）设平面B 1AE 的法向量 (,,)x y z '''=，1(,1,0),(0,1,1)2aAE AB =-=uu u r uuu r 则1020a AE x y AB y z ⎧''⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩uu u r uuu r，∴平面B 1AE 的一个法向量 (2,,)aa =- ∵二面角B 1-AE-D 1的大小为90°，∴ ⊥ ，∴ 22420a a ⋅=+-= ∵a >0，∴a =2，即AD=2． L L 12‘21．解：（1）当1-=a 时，()()1ln 2+-=x x x f ，则()112'+-=x x x f，()10'-=∴f ∴曲线()x f y =在原点处的切线方程为x y -= L L 2‘（２）()1,122122'->+++=++=x x a x x x a x x f ，令()1,222->++=x a x x x g 当21>a 时，0<∆，所以()x g >０，则()x f '>０，所以()x f 在()+∞-,1上为增函数， 所以无极值点； 当21=a 时，0=∆，所以()x g ≥０，则()x f '≥０，所以()x f 在()+∞-,1上为增函数，所以无极值点； 当21<a 时，0>∆，令()x f '=０，则22111a x ---=，22112a x -+-= 当210<<a 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈21,11x ，⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∈,212x ，此时有２个极值点； 当0<a 时，()1,1-∞-∈x ，()+∞∈,02x ，此时有１个极值点；综上：当21≥a 时，无极值点； 当210<<a 时，有２个极值点；当0<a 时，有１个极值点； L L 8‘（３）对于函数()2ln(1)f x x x =-+，令函数()332()ln(1)h x x f x x x x =-=-++则()32213(1)3211x x h x x x x x +-'=-+=++，()[0,)0x h x '∈+∞>当时，，所以函数()h x 在[0,)+∞上单调递增，又(0)0,(0,)h x =∴∈+∞时，恒有()(0)0h x h >= 即23ln(1)<++x x x 恒成立.取11+=n x ，则有()()321111111ln +-+>⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n 恒成立， 即不等式()3112ln +>⎪⎭⎫⎝⎛++n n n n 恒成立. L L 12‘ 22.解：(1)连接OC, 因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA因为CD 为半圆O 的切线,所以OC ⊥CD, 因为AD ⊥CD,所以OC ∥AD,所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD, 所以AC 平分∠BAD………………5分 (2)连接CE,有(1)知∠OAC=∠CAD,所以BC=CE.因A,B,C,D 四点共圆,故∠ABC=∠CED,因为AB 是半圆O 的直径, 所以∠ACB 是直角, Rt △CDE 相似于Rt △ACB,DE:CE=CB:AB,BC=2.………………10分 23. 解 (I )半圆C 的普通方程为;[]2220,0,1,x y y x +-=∈ ………………2分半圆C 的参数方程为cos ,,1sin .22x y αππαα=⎧⎛⎫⎡⎤∈-⎨⎪⎢⎥=+⎣⎦⎝⎭⎩为参数 ………………5分 (II )设点D 对应的参数为α,则点D 的坐标为()cos ,1sin αα+且,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 由(1)可知半圆C 的圆心是C(0,1),因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直,故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等,(1sin )1tan cos ααα+-==即,,,226πππαα⎡⎤∈-∴=⎢⎥⎣⎦………………8分所以点D 的坐标为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭………………10分24.解 (I )28,80,8+≤++≥≥-x t t t t 得所以 ,828,44,t x t t t x --≤+≤+--≤≤由()8f x ≤的解集是{}54,x x -≤≤得45,1t t --=-=(II )由柯西不等式得()()222221491234923y z y zx x x y z⎛⎫⎛⎫++++≥++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()228,x y z x y z ≥++-≤++≤当且仅当320123zyx ==>即22224949y z y z x x ==++=>0且,亦即x y z ===时(()max x y z ++=。

哈师大附中2018 年高三第三次模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，找到两集合的公共元素即可.详解：或，，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A又属于集合B的元素的集合.2. 已知为虚数单位,=( ）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先利用复数模的定义求出，从而利用可得结果.详解：根据复数模的定义可得，故选A.点睛：本题主要考查复数模的定义以及复数的简单运算，属于简单题.3. 已知等差数列,则数列的公差( ）A. 0B. 1C. -1D. 2【答案】B详解：，，，可得，故选B.点睛：本题主要考查等差数列的定义与下标性质，意在考查对基本概念与基本性质掌握的熟练程度，属于简单题.4. 与椭园共焦点且渐近线方程为的双曲线的标准方程为( ）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由椭圆方程可得椭圆的焦点，从而可得双曲线的焦点，结合双曲线渐近线方程可求得，从而可得结果.详解：的焦点坐标为，双曲线焦点，可得，由渐近线方程为，得，，双曲线的标准方程为，故选D.点睛：求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.5. 已知互不相同的直线和平面,则下列命题正确的是( ）A. 若与为异面直线,,则B. 若.则C. 若, 则D. 若.则【答案】C.【解析】分析：对于，可利用面面平行的判定定理进行判断；对于，可利用线面平行的判定定理进行判断；对于，可利用面面垂直的性质进行判断.详解：若与为异面直线，，则与平行或相交，错，排除；若，则与平行或异面，错，排除；若，则或相交，错，排除，故选C.点睛：本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.6. 执行下面的程序框图，若,则输出的=( ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：执行程序框图，输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第三次循环，；，退出循环，输出，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7. 已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三视图，作出几何体的直观图，观察截得几何体的结构特征，利用正三角形与直角三角形面积公式以及正方形面积公式计算即可.详解：由三视图可知正方体边长为，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示，故该几何体的表面积为：，故选B. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8. 设点满足约束条件,且,则这样的点共有( ）个A. 12B. 11C. 10D. 9【答案】A【解析】分析：由约束条件画出可行域，根据可行域，利用,可逐一写出满足条件的点，从而可得结果.详解：画出表示的可行域，由图可知，满足，得，共有，，共个，故选A.点睛：本题主要考查利用二元一次不等式组所表示的平面区域解决线性规划的应用，数形结合思想的应用和运算求解能力，本题关键在于正确作出二元一次不等式组所表示的可行域和准确找出满足条件的点，属于中档题．9. 动直线与圆交于点,则弦最短为( ）A. 2B.C. 6D.【答案】D【解析】分析：首先判断出直线经过定点，可得在圆内，从而可得当时，最短，利用勾股定理可得结果.详解：直线化为直线过定点，可得在圆内，当时，最短，由，可得，，，故选D.点睛：探索曲线过定点的常见方法：可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点).10. 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。

2017-2018学年黑龙江省哈师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：（每小题5分，共60分，只有一个选项是正确的）1．（5分）复数的虚部是（）A．﹣B．C．D．2．（5分）已知：，则A∩B=（）A． B．C．（0，4） D．3．（5分）等差数列{a n}中，a3+a9=10，则该数列的前11项和S11=（）A．58 B．55 C．44 D．334．（5分）设命题p：函数的最小正周期为π；命题q：函数关于直线对称，则下列判断正确的是（）A．¬p为为真B．q为真C．p∧q为真D．p∨q为真5．（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6．（5分）下列不等式一定成立的是（）A．B．C．a3+b3≥a2b+ab2（a，b∈R）D．a4+b4≥a3b+ab3（（a，b∈R）7．（5分）正三棱柱ABC﹣A 1B1C1（底面是正三角形，侧棱与底面垂直），，则AB1与BC1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）向量的夹角为120°，C在∠AOB内，，若，则λ=（）A．B．C．1 D．29．（5分）等比数列{a n}的前n项和为，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．10．（5分）已知某个几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，f（x﹣1）和f（x+1）分别为奇函数和偶函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）=﹣x2+2x+3，若函数g（x）=f（x）﹣k 在（（﹣5，7）上有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．（0，4） B．（﹣4，4）C．（﹣4，0）D．（0，2）12．（5分）表面积为16π的球内接一个正三棱柱，则此三棱柱体积的最大值为（）A．4 B． C．8 D．二．填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最小值为．14．（5分）函数f（x）=cos2x+sinx+1的最小值为，最大值为．15．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∩β=m，n∥α，n∥β，则n∥m；③若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的是．（填上所有正确的序号）16．（5分）已知平面向量的夹角余弦值为，，若平面向量满足，则．三．解答题：（共六道大题，满分70分）17．（10分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣1．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）求f（x）的单调递减区间．18．（12分）在数列{a n}中，a1=4，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，若数列{b n}是递增数列，求λ的取值范围．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C⊥底面ABC，∠ACB=120°，A1C=AC=BC=2，D为AB中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求A1D与平面A1C1B所成角的正弦值．21．（12分）四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，平面PDA⊥平面ABCD，平面PDC ⊥平面ABCD．（1）求证：PD⊥AC；（2）若，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．22．（12分）已知函数．（1）求f（x）的极值点；（2）当a=2时，函数f（x）在[1，t]（t＞1）上的最大值是f（t），求t的最小整数值．2017-2018学年黑龙江省哈师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（每小题5分，共60分，只有一个选项是正确的）1．（5分）复数的虚部是（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵=，∴复数的虚部是．故选：C．2．（5分）已知：，则A∩B=（）A． B．C．（0，4） D．【解答】解：，可得A={x|0＜x＜4}，B={x|2x﹣2≥3}={x|x≥}，则A∩B={x|≤x＜4}=[，4）．故选：A．3．（5分）等差数列{a n}中，a3+a9=10，则该数列的前11项和S11=（）A．58 B．55 C．44 D．33【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中，a3+a9=10，则a1+a11=a3+a9=10，则S11=×（a1+a11）×11=55；故选：B．4．（5分）设命题p：函数的最小正周期为π；命题q：函数关于直线对称，则下列判断正确的是（）A．¬p为为真B．q为真C．p∧q为真D．p∨q为真【解答】解：命题p：函数=sin2x﹣cos2x+cos2x+=sin2x，函数的最小正周期为：π；所以命题p是真命题；￢p是假命题；命题q：当时，函数==cos=0，函数没有取得最值，所以命题q是假命题；则￢q是真命题；可知：p∨q为真命题；故选：D．5．（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得函数y=sin（2x+1）的图象，故选：C．6．（5分）下列不等式一定成立的是（）A．B．C．a3+b3≥a2b+ab2（a，b∈R）D．a4+b4≥a3b+ab3（（a，b∈R）【解答】解：lg（x2+）≥lgx，（当且仅当x=时取得等号），故A不正确；x＞0时，x+≥2；x＜0时，x+≤﹣2．故B不正确；a3+b3﹣a2b﹣ab2=a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a﹣b）2（a+b）由a，b∈R，不能确定（a﹣b）2（a+b）的符号，故C不正确；a4+b4﹣a3b﹣ab3=a3（a﹣b）+b3（b﹣a）=（a﹣b）（a3﹣b3）=（a﹣b）2（a2+ab+b2），由（a﹣b）2≥0，a2+ab+b2=（a+）2+b2≥0，则（a﹣b）2（a2+ab+b2）≥0，故D正确．故选：D．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A 1B1C1（底面是正三角形，侧棱与底面垂直），，则AB1与BC1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面是正三角形，侧棱与底面垂直），，以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=1，则A（0，0，0），B1（，，1），B（，0），C1（0，，1），=（，，1），=（﹣，，1），∵•=﹣+=0，∴AB1⊥BC1，∴AB1与BC1所成的角为90°．故选：D．8．（5分）向量的夹角为120°，C在∠AOB内，，若，则λ=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：，则•=2•+λ2，∴||•||cos90°=2||•||cos120°+λ||2，0=2×2×1×（﹣）+4λ，解得：λ=，故选：B．9．（5分）等比数列{a n}的前n项和为，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为，则：a=﹣2．故：a n=S n﹣S n﹣1=2•3n﹣2﹣2•3n﹣1+2=4•3n﹣1．当n=1时符合上式，则：．所以：，则：，=，=，故选：A．10．（5分）已知某个几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥S﹣ABC，其中，平面SAB⊥平面ABC，△SAB是边长为2的等边三角形，S在底面AC的射影D是AB中点，AC=BC，CD=2，如图，∴SD⊥平面ABC，且SD==，∴该几何体的体积：V===．故选：B．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，f（x﹣1）和f（x+1）分别为奇函数和偶函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）=﹣x2+2x+3，若函数g（x）=f（x）﹣k 在（（﹣5，7）上有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．（0，4） B．（﹣4，4）C．（﹣4，0）D．（0，2）【解答】解：f（x）是定义在R上的函数，f（x﹣1）和f（x+1）分别为奇函数和偶函数，可得函数的图象关于（﹣1，0）对称，并且关于x=1对称，当x∈[﹣1，1]时，f（x）=﹣x2+2x+3，则（﹣5，7）上的函数的图象，如图：函数g（x）=f（x）﹣k在（（﹣5，7）上有四个零点，可知函数y=f（x）与y=k的图象有4个交点，结合函数的图象可知：k∈（﹣4，0）．故选：C．12．（5分）表面积为16π的球内接一个正三棱柱，则此三棱柱体积的最大值为（）A．4 B． C．8 D．【解答】解：如图：正三棱柱ABC﹣DEF，上下底面三角形的中心为P、Q，连续的中点为O是球的球心，设三棱柱底面边长为a，高为2b，由题意可得：AQ=，OQ=b，则OA=，表面积为16π的球可得4πOA2=16π，可得a2+3b2=12，三棱柱的体积为：V====，V′=，令V′=0，可得b=±，由b∈（0，）时，V′＞0，b时，V′＜0，所以函数在b=时，V取得最大值：=8．故选：C．二．填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最小值为﹣2．【解答】解：画出可行域如图阴影区域：目标函数z=2x﹣y可化为y=2x﹣z，即斜率为2，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（0，2）∴目标函数z=2x﹣y的最小值为z=2×0﹣2=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）函数f（x）=cos2x+sinx+1的最小值为﹣1，最大值为．【解答】解：f（x）=cos2x+sinx+1=1﹣2sin2x+sinx+1=﹣2sin2x+sinx+2=﹣2（sinx﹣）2+；sinx=时，f（x）max=；当sinx=﹣1时，f（x）min=﹣1；故答案为：﹣1；．15．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∩β=m，n∥α，n∥β，则n∥m；③若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的是②④．（填上所有正确的序号）【解答】解：对于①，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则这样的直线由无数条，n与α，n与β位置关系不能确定，故错；对于②，若α∩β=m，n∥α，n∥β，则n∥m，正确；对于③，若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于α内的无数条相互平行的直线，故错；对于④，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．正确．故答案为：②④16．（5分）已知平面向量的夹角余弦值为，，若平面向量满足，则．【解答】解：由向量的夹角余弦值为，可知向量的夹角为钝角，设为θ，又，可知与、成等角，设向量，所成角为α，则，夹角为（θ﹣α），由，得到=，即cosα=3cos（θ﹣α），∴cosα=3cosθcosα+3sinθsinα，∴cosα=﹣2cosα+sinα，即sinα=cosα．代入sin2α+cos2α=1得到cosα=，||===．故答案为：．三．解答题：（共六道大题，满分70分）17．（10分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣1．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）求f（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣1=+sin2x﹣1=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣；…（3分）由得：，所以f（x）的对称轴方程为：；…（6分）（2）由，解得f（x）的递减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）．…（10分）18．（12分）在数列{a n}中，a1=4，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：由已知…（2分）又a1﹣3=1故：…（4分）所以数列为等比数列…（5分）（2）由（1）知：，∴∴…（6分）∵∴…（8分）∴…（9分）=3+2×﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣2（n﹣1）•3n+1﹣6…（11分）∴…（12分）19．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，若数列{b n}是递增数列，求λ的取值范围．【解答】解：（1）由已知：=S n+1+1，∴2a n+1﹣2a n=a n+1，两式作差可得：2a n+1即：a n=2a n（（n≥1），…（3分）+1又由2a1=a1+1得：a1=1…（4分）所以…（6分）（2）由（1）知：依题意：b n＞b n对n∈N*恒成立…（8分）+1即：λ•2n+3n+1＞λ•2n﹣1+3n整理得：λ＞﹣4，n∈N•…（10分）∵当n=1时：取最大值﹣6…（11分）故：λ＞﹣6…（12分）20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C⊥底面ABC，∠ACB=120°，A1C=AC=BC=2，D为AB中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求A1D与平面A1C1B所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连AC1交A1C于M点，则M为AC1中点，连MD，在△ABC1中，D，M分别为AB，AC1中点，故DM∥BC1∵BC1⊄平面A1CD，DM⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD，…（5分）（2）在△ABC中，AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB以D为原点，如图建立空间直角坐标系，由已知：D（0，0，0），A（0，，0），B（0，﹣，0），C（1，0，0），A1（1，0，2）…（7分）设为平面AC1B的法向量，则：取即：…（9分）又，∴…（11分）∴A1D与平面A1C1B所成角的正弦值为21．（12分）四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，平面PDA⊥平面ABCD，平面PDC ⊥平面ABCD．（1）求证：PD⊥AC；（2）若，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）在矩形ABCD中，AB⊥AD，又∵平面PDA⊥平面ABCD，平面PDA∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PDA，∴AB⊥PD，同理：BC⊥PD，又AB∩BC=B，∴PD⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC．…（6分）解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设=1，则A（1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，1），C（0，2，0），=（1，0，﹣1），=（1，2，﹣1），=（0，2，﹣1），设平面PAB的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），cos＜＞===．结合图形得二面角A﹣PB﹣C的平面角是钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．…（12分）22．（12分）已知函数．（1）求f（x）的极值点；（2）当a=2时，函数f（x）在[1，t]（t＞1）上的最大值是f（t），求t的最小整数值．【解答】解：（1）由已知：=…（1分）当0＜a＜1时：由f′（x）=0得：x=a或x=1∴f （x ）的极大值点为a ，极小值点为1…（3分） 当a=1时：由f′（x ）=0得：x=1∴f （x ）没有极值点…（5分）当a ＞1时：由f′（x ）=0得：x=a 或x=1∴f （x ）的极大值点为1，极小值点为a…（6分） （2）当a=2时：由f′（x ）=0得：x=2或x=1当1＜t ≤2时：f （x ）在[1，t ]上为减函数，f （x ）在[1，t ]上最大值为f （1）…（8分）当t ＞2时：f （x ）在[1，2]上为减函数，f （x ）在[2，t ]上为增函数 故f （x ）在[1，t ]上最大值为f （1）和f （t ）中较大者…（9分） 设g （t ）=f （t ）﹣f （1）=，（t ＞2）则g （t ）在（2，+∞）上为增函数，又故t 的最小整数值为3…（12分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=第21页（共21页）③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数。