【理数】哈师大附中2020年高三四模拟试卷+答案!(高清版)

2024年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学四模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，x，，则()A.2B.3C.4D.52.若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则()A.0B.2C.D.3.某种酸奶每罐净重单位：服从正态分布随机抽取1罐，其净重在179g与之间的概率为()注：若，，，A. B. C. D.4.等差数列的前n项和记为，若，，则()A.51B.102C.119D.2385.过点作圆的切线PA，A为切点，，则的最大值是()A. B. C. D.6.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，I为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.37.某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是()A.该校2023年与2022年的本科达线人数比为6：5B.该校2023年与2022年的专科达线人数比为6：7C.2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了D.2023年该校不上线的人数有所减少8.如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线与直线的夹角为，则点Q的轨迹长度为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，内角A，B，C分别对应边a，b，c则下列命题中正确的是()A.若，则为钝角三角形B.若，，，则的面积为C.在锐角中，不等式恒成立D.若，，且有两解，则b的取值范围是10.已知函数，则下列说法正确的是()A.的极值点为B.的极值点为1C.直线是曲线的一条切线D.有两个零点11.已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是()A.4为的一个周期B.8为的一个周期C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|log2x≥1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，4）D．（0，2]2．（5分）已知复数z=1−i+2a1−i（i为虚数单位，a∈R），z在复平面上对应的点在第四象限，则a的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，2）3．（5分）近年来，某市立足本地丰厚的文化旅游资源，以建设文化旅游强市，创建国家全域旅游示范市为引领，坚持以农为本，以乡为魂，以旅促农，多元化推动产业化发展，文化和旅游扶贪工作卓有成效，精准扶贫稳步推进．该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况，绘制了如图所示的柱状图．则下列说法错误的是（）A．乡村游人数逐年上升B．相比于前一年，2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率C．近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数D．从2016年开始，乡村游人数明显增多4．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝2，a5＝8a2，则数列{a n}前7项的和S7＝（）A．253B．254C．255D．2565．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出x的值为（）A ．123B ．125C ．127D ．1296．（5分）已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，①若n ⊥β，α∥β，m ⊥α，则m ∥n ；②若m ∥α，α⊥β，n ⊥β，则m ∥n ；③若n ⊥β，α∥β，m ∥α，则m ⊥n ；④若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ⊥n ．在上述四个命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．（5分）已知函数f(x)=2x cosx 4x +a是偶函数，则函数f （x ）的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．12D ．3 8．（5分）已知α为锐角，若cos(α+π4)=35，则tan2α＝（ ）A ．710B ．310C ．13D ．7249．（5分）已知双曲线C.x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，圆O ：x 2+y 2﹣a 2﹣b 2＝0与双曲线的一个交点为P ，若|PF 1|=√3|PF 2|，则双曲线的离心率为（ ）A ．√2B ．√3+12C ．2D ．√3+110．（5分）把函数f(z)=cos(ωx +π3)(ω＞0)的图象向左平移π6个单位后得到函数g （x ）的图象，函数g （x ）图象的一条对称轴为直线x =π6，若函数f （x ）在(π3，2π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A ．2或5B ．2或3C ．2D ．511．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC （记△ABC 所在的平面为底面）内接于球O ，P A ：PB ：PC＝1：2：3，当三棱锥P ﹣ABC 侧面积最大时，球O 的体积为56√143π．则此时△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15 12．（5分）若不等式mxe mx 2≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[1e 2，+∞)B ．[12e ，+∞)C ．(1e ，+∞)D ．[√e +∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知x ，y 满足{x −y ≥0x +y −2≥0x ≤2，则z ＝2x +y 的最小值为 ．14．（5分）已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=√3，若a →⊥(3a →−4b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为 ．15．（5分）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中只有S 7最小，则S 15﹣2S 130．（填“＞”或“＝”或“＜”）16．（5分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 与抛物线的准线分别相交于点P ，Q ，则|PQ |的最小值为 ．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17\～2117．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知√3b ＝（a cos C +c cos A ）tan A ．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积为√3，且a =√6，求b ，c ．18．（12分）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，O 为AB 的中点，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点，DC ＝AC ＝BC =√2，AB ＝2，DO ⊥平面ABC ．（1）求证：平面OEF ∥平面BCD ；（2）求二面角D ﹣OE ﹣F 的余弦值．19．（12分）“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币100元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金20元，两个红球奖金40元，三个全为红球奖金200元．（1）求一位献爱心参与者不能获奖的概率；（2）若该次募捐有300位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为B ，∠OBF ＝30°，点A （−√2，√62）在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，与x 轴相交于点M ，与y 轴的正半轴相交于点N ，T 为线段PQ 的中点，若7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →为定值n ，请判断直线l 是否过定点，求实数n 的值，并说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）＝2xe x ﹣ax ﹣alnx （a ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线l 过点（0，﹣2e ﹣1），求实数a 的值；（2）若函数f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：{x =√3cosβ，y =sinβ，（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方。

2020年高考数学四模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|log2x≥1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，4）D．（0，2]2．已知复数z=1−i+2a1−i（i为虚数单位，a∈R），z在复平面上对应的点在第四象限，则a的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，2）3．近年来，某市立足本地丰厚的文化旅游资源，以建设文化旅游强市，创建国家全域旅游示范市为引领，坚持以农为本，以乡为魂，以旅促农，多元化推动产业化发展，文化和旅游扶贪工作卓有成效，精准扶贫稳步推进．该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况，绘制了如图所示的柱状图．则下列说法错误的是（）A．乡村游人数逐年上升B．相比于前一年，2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率C．近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数D．从2016年开始，乡村游人数明显增多4．在等比数列{a n}中，a1＝2，a5＝8a2，则数列{a n}前7项的和S7＝（）A．253B．254C．255D．2565．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出x的值为（）A．123B．125C．127D．129 6．已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，①若n⊥β，α∥β，m⊥α，则m∥n；②若m∥α，α⊥β，n⊥β，则m∥n；③若n⊥β，α∥β，m∥α，则m⊥n；④若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m⊥n．在上述四个命题中，真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．47．已知函数f(x)=2x cosx4x+a是偶函数，则函数f（x）的最大值为（）A．1B．2C．12D．38．已知α为锐角，若cos(α+π4)=35，则tan2α＝（）A．710B．310C．13D．7249．已知双曲线C.x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，圆O：x2+y2﹣a2﹣b2＝0与双曲线的一个交点为P，若|PF1|=√3|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．√2B．√3+12C．2D．√3+110．把函数f(z)=cos(ωx +π3)(ω＞0)的图象向左平移π6个单位后得到函数g （x ）的图象，函数g （x ）图象的一条对称轴为直线x =π6，若函数f （x ）在(π3，2π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．2或5B ．2或3C ．2D ．511．已知三棱锥P ﹣ABC （记△ABC 所在的平面为底面）内接于球O ，PA ：PB ：PC ＝1：2：3，当三棱锥P ﹣ABC 侧面积最大时，球O 的体积为56√143π．则此时△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1512．若不等式mxe mx 2≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[1e 2，+∞) B ．[12e，+∞) C ．(1e，+∞)D ．[√e+∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知x ，y 满足{x −y ≥0x +y −2≥0x ≤2，则z ＝2x +y 的最小值为 ．14．已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=√3，若a →⊥(3a →−4b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为 ．15．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中只有S 7最小，则S 15﹣2S 13 0．（填“＞”或“＝”或“＜”）16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 与抛物线的准线分别相交于点P ，Q ，则|PQ |的最小值为 ． 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17\～2117．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知√3b ＝（a cos C +c cos A ）tan A ． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积为√3，且a =√6，求b ，c ．18．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，O 为AB 的中点，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点，DC ＝AC ＝BC =√2，AB ＝2，DO ⊥平面ABC ． （1）求证：平面OEF ∥平面BCD ； （2）求二面角D ﹣OE ﹣F 的余弦值．19．“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币100元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金20元，两个红球奖金40元，三个全为红球奖金200元．（1）求一位献爱心参与者不能获奖的概率；（2）若该次募捐有300位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望． 20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为B ，∠OBF ＝30°，点A （−√2，√62）在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，与x 轴相交于点M ，与y 轴的正半轴相交于点N ，T 为线段PQ 的中点，若7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →为定值n ，请判断直线l 是否过定点，求实数n 的值，并说明理由． 21．已知函数f （x ）＝2xe x ﹣ax ﹣alnx （a ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线l 过点（0，﹣2e ﹣1），求实数a 的值；（2）若函数f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：{x =√3cosβ，y =sinβ，（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin（θ−π4）=3√22．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C上，且点P到直线l的距离最小，求点P的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若x∈[﹣2，2]时，f（x）≥mx恒成立，求实数m的值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|log2x≥1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，4）D．（0，2]【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x≥2}，∴A∪B＝（0，+∞）．故选：A．2．已知复数z=1−i+2a1−i（i为虚数单位，a∈R），z在复平面上对应的点在第四象限，则a的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，2）【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．解：因为z=1−i+2a1−i=1﹣i+2a(1+i)(1−i)(1+i)=1﹣i+a（1+i）＝1+a+（a﹣1）i；由题意可得：1+a＞0且a﹣1＜0；即﹣1＜a＜1；故选：B．3．近年来，某市立足本地丰厚的文化旅游资源，以建设文化旅游强市，创建国家全域旅游示范市为引领，坚持以农为本，以乡为魂，以旅促农，多元化推动产业化发展，文化和旅游扶贪工作卓有成效，精准扶贫稳步推进．该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况，绘制了如图所示的柱状图．则下列说法错误的是（）A ．乡村游人数逐年上升B ．相比于前一年，2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率C ．近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数D ．从2016年开始，乡村游人数明显增多 【分析】根据所给柱状图，逐一对照分析即可解：从柱状图可看出，乡村游人数逐年上升，故A 正确；2015年乡村游增长人数为250﹣180＝70万人，2014年乡村游增长人数为180﹣150＝30万人，由70180＞30150，故B 正确；近8年乡村游人数平均数为110+150+180+250+330+510+720+9508=400＞330，即近8年乡村游人数的平均数大于2016年乡村游人数，故C 错误； 从2016年开始，乡村游人数增长速度明显加快，故D 正确． 故选：C ．4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝8a 2，则数列{a n }前7项的和S 7＝（ ） A ．253B ．254C ．255D ．256【分析】根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝8a 2，变形分析可得q 的值，进而计算可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ， 又由a 5＝8a 2，变形可得a 5a 2=8，即a 5a 2=q 3=a5a 2=8，变形可得q ＝2；则数列{a n }前7项的和S 7=a 1(1−q 7)1−q=254；故选：B ．5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出x 的值为（ ）A．123B．125C．127D．129【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得x＝2执行循环体，x＝3不满足判断框内的条件x＞100，执行循环体，x＝7不满足判断框内的条件x＞100，执行循环体，x＝127此时，满足判断框内的条件x＞100，退出循环，输出x的值为127．故选：C．6．已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，①若n⊥β，α∥β，m⊥α，则m∥n；②若m∥α，α⊥β，n⊥β，则m∥n；③若n⊥β，α∥β，m∥α，则m⊥n；④若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m⊥n．在上述四个命题中，真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐个判断即可得到答案． 解：①若n ⊥β，α∥β，则n ⊥α， 而m ⊥α，则m ∥n ； 故①正确；②若m ∥α，α⊥β，n ⊥β，则m ∥n 或m ⊥n ； 故②错误；③若n ⊥β，α∥β，m ∥α，则m ⊥n ； 故③正确；④若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ∥n ， 故④错误； 故选：B ．7．已知函数f(x)=2xcosx4x +a是偶函数，则函数f （x ）的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3【分析】根据题意，由偶函数的定义可得2−x cos(−x)4−x +a=2x cosx 4x +a，变形可得a 的值，即可得f （x ）的解析式，据此分析可得答案．解：根据题意，函数f(x)=2x cosx4x +a 是偶函数，则有2−x cos(−x)4−x +a =2x cosx 4x+a， 变形可得：a （4x ﹣1）＝4x ﹣1，分析可得a ＝1；则f （x ）=2xcosx 4x +a =cosx2x +2−x ，又由当x ＝0时，cos x 取得最大值为1，同时2x +2﹣x 取得最小值2， 则此时f （x ）取得最大值12；故选：C ．8．已知α为锐角，若cos(α+π4)=35，则tan2α＝（ ）A ．710B ．310C ．13D ．724【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求sin （α+π4）的值，从而利用sin α＝sin[（α+π4）−π4]，可求sin α，cos α，即可得解tan α的值，利用二倍角的正切函数公式即可求解tan2α的值．解：∵a 为锐角，且cos （α+π4）=35，α+π4∈（π4，3π4），∴sin （α+π4）=45，∴sin α＝sin[（α+π4）−π4]＝sin （α+π4）cos π4−cos （α+π4）sin π4=45×√22−35×√22=√210，cos α=√1−sin 2α=7√210∴tan α=sinαcosα=17， ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×171−(17)2=724． 故选：D ．9．已知双曲线C.x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，圆O ：x 2+y 2﹣a 2﹣b 2＝0与双曲线的一个交点为P ，若|PF 1|=√3|PF 2|，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3+12C ．2D ．√3+1【分析】设|PF 2|＝x ，则|PF 1|=√3x ，由于圆O ：x 2+y 2﹣a 2﹣b 2＝0可化简为x 2+y 2＝c 2，是以O 为圆心，c 为半径的圆，所以PF 1⊥PF 2，由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，即3x 2+x 2＝4c 2，解得c ＝x ；由双曲线的定义知，|PF 1|﹣|PF 2|＝2a =(√3−1)x ，解得a =√3−12x ，最后由离心率e =ca 代入化简即可得解．解：设|PF 2|＝x ，则|PF 1|=√3x ，∵圆O ：x 2+y 2﹣a 2﹣b 2＝0，即x 2+y 2＝a 2+b 2＝c 2，是以O 为圆心，c 为半径的圆， ∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，即3x 2+x 2＝4c 2， ∴c ＝x ，由双曲线的定义知，|PF 1|﹣|PF 2|＝2a =(√3−1)x ，∴a =√3−12x ，∴离心率e =c a =√3−12x =√3+1．故选：D ．10．把函数f(z)=cos(ωx +π3)(ω＞0)的图象向左平移π6个单位后得到函数g （x ）的图象，函数g （x ）图象的一条对称轴为直线x =π6，若函数f （x ）在(π3，2π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．2或5B ．2或3C ．2D ．5【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论．解：把函数f(z)=cos(ωx +π3)(ω＞0)的图象向左平移π6个单位后，得到函数g （x ）＝cos （ωx +ωπ6+π3）的图象， ∵函数g （x ）图象的一条对称轴为直线x =π6， ∴ω•π6+ω•π6+π3=k π，即ω＝3k ﹣1，k ∈Z ①．若函数f （x ）在(π3，2π3)上单调递增，则12⋅2πω≥2π3−π3，∴ω≤3②． 根据①②，综合所给的选项，可得ω的取值范围是ω＝2， 故选：C ．11．已知三棱锥P ﹣ABC （记△ABC 所在的平面为底面）内接于球O ，PA ：PB ：PC ＝1：2：3，当三棱锥P ﹣ABC 侧面积最大时，球O 的体积为56√143π．则此时△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】设PA ＝x ，PB ＝2x ，PC ＝3x ，可知当三棱锥P ﹣ABC 三个侧面的面积之和最大时，PA ，PB ，PC 两两垂直，由球的体积求出外接球的半径，再由长方体对角线长与棱长的关系求得x ，则三条侧棱长可求，进一步求得△ABC 的面积． 解：设PA ＝x ，PB ＝2x ，PC ＝3x ，当三棱锥P ﹣ABC 三个侧面的面积之和最大时，PA ，PB ，PC 两两垂直， 有43πR 3=56√143，得R =√14． 又由PA 2+PB 2+PC 2＝4R 2，有14x 2=4×(√14)2，得x ＝2． 此时AB =2√5，AC =2√10，BC =2√13． 由cos ∠BAC =2×25×210=√210，sin ∠BAC =7√210．∴△ABC 的面积为12×2√5×2√10×7√210=14．故选：C ．12．若不等式mxe mx 2≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A．[1e2，+∞)B．[12e，+∞)C．(1e，+∞)D．[√e+∞)【分析】当x＝e时，me•e me2≥1，可得m＞0，①当0＜x≤1时，不等式显然成立，②当x≥1时，问题可转化为mx2e mx2≥xlnx，两边取对数有ln（mx2）+mx2≥lnx+ln （lnx），令g（x）＝x+lnx，可得g（mx2）≥g（lnx），由函数g（x）单调递增，有mx2≥lnx，得m≥lnx2，令h（x）=lnx2，只需要m大于等于h（x）的最大值即可．解：当x＝e时，me•e me2≥1，可得m＞0，①当0＜x≤1时，lnx＜0，mxe mx2＞0，不等式显然成立，②当x≥1时，不等式mxe mx2≥lnx，可化为mx2e mx2≥xlnx，两边取对数有ln（mx2）+mx2≥lnx+ln（lnx），令g（x）＝x+lnx，可得g（mx2）≥g（lnx），又由函数g（x）单调递增，有mx2≥lnx，得m≥lnx x2，令h（x）=lnxx2，有h′（x）=x−2xlnxx4=1−2lnxx3（x≥1），由h′（x）＞0，有1＜x＜√e，可得函数h（x）的递增区间为（1，√e），减区间为（√e，+∞），有h（x）max＝h（√e）=ln√e(√e)2=12e，故实数m的取值范围为[12e，+∞）．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知x，y满足{x−y≥0x+y−2≥0x≤2，则z＝2x+y的最小值为3．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝2x+y对应的直线进行平移，可得当x＝y＝1时，z＝2x+y取得最小值为3．解：作出不等式组{x−y≥0x+y−2≥0x≤2表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（2，2），C（2，0）设z＝F（x，y）＝2x+y，将直线l：z＝2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z 最小值＝F （1，1）＝3 故答案为：314．已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=√3，若a →⊥(3a →−4b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为π6．【分析】根据a →⊥(3a →−4b →)可得出a →⋅(3a →−4b →)=0，进行数量积的运算即可求出a →⋅b →=3，从而可得出cos ＜a →，b →＞的值，进而得出a →与b →的夹角． 解：∵|a →|=2，|b →|=√3，a →⊥(3a →−4b →)，∴a →⋅(3a →−4b →)=3a →2−4a →⋅b →=12−4a →⋅b →=0， ∴a →⋅b →=3，∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=32√3=√32，且0≤＜a →，b →＞≤π，∴a →与b →的夹角为π6．故答案为：π6．15．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中只有S 7最小，则S 15﹣2S 13 ＞ 0．（填“＞”或“＝”或“＜”）【分析】由题意可知a 7＜0，a 8＞0，由等差数列的前n 项和公式结合等差数列的性质可得S 15＞0，S 13＜0，则答案可求．解：由题意，S 6＞S 7＜S 8，则a 7＜0，a 8＞0．S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7＜0，S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8＞0． ∴S 15﹣2S 13＞0． 故答案为：＞．16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 与抛物线的准线分别相交于点P ，Q ，则|PQ |的最小值为 4 ． 【分析】设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），直线l 的方程为x ＝my +1，将其与抛物线的方程联立，消去x ，写出韦达定理可得{y 1+y 2=4m y 1y 2=−4，x 1x 2=y 12y 2216=1；写出直线OA 的方程为y =y 1x 1x ，从而得点P （﹣1，−y 1x 1），同理可得点Q （﹣1，−y2x 2），记抛物线的准线与x 轴的交点为D ，则有|PD |•|QD |=|y 1y2x 1x 2|=41=4，然后根据均值不等式有，|PQ |＝|PD |+|QD |≥2√|PD|⋅|QD|=4，故而得解． 解：根据题意，作出如下所示的图形，由题可知，焦点F （1，0），设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），直线l 的方程为x ＝my +1，联立{x =my +1y 2=4x ，得y 2﹣4my ﹣4＝0，∴{y 1+y 2=4my 1y 2=−4，x 1x 2=y 12y 2216=1，∵直线OA 的方程为y =y1x 1x ，∴令x ＝﹣1，则y =−y 1x 1，∴P （﹣1，−y1x 1），同理可得，Q （﹣1，−y2x 2），记抛物线的准线与x 轴的交点为D ，则有|PD |•|QD |=|y 1y2x 1x 2|=41=4，由|PQ |＝|PD |+|QD |≥2√|PD|⋅|QD|=4，可知|PQ |的最小值为4．故答案为：4．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17\～2117．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知√3b ＝（a cos C +c cos A ）tan A ． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积为√3，且a =√6，求b ，c ．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan A ，进而可求A ； （2）由已知结合三角形的面积公式可求bc ，然后结合余弦定理即可求解． 解：（1）∵√3b ＝（a cos C +c cos A ）tan A ，由正弦定理可得，√3sin B ＝（sin A cos C +sin C cos A ）tan A ＝sin （A +C ）tan A ＝sin B tan A ， 因为sin B ≠0， 故tan A =√3， 因为A ∈（0，π）， 故A =π3，（2）S △ABC =12bcsinA =√34bc =√3，∴bc ＝4，因为cos A =b 2+c 2−a 22bc =12，∴b 2+c 2＝10，∴（b +c ）2＝10+2×4＝18， 则b +c ＝3√2， 由{b +c =3√2bc =4， 解可得{b =√2c =2√2或{b =2√2c =√2．18．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，O 为AB 的中点，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点，DC ＝AC ＝BC =√2，AB ＝2，DO ⊥平面ABC ． （1）求证：平面OEF ∥平面BCD ； （2）求二面角D ﹣OE ﹣F 的余弦值．【分析】（1）先证明OE ∥平面BCD 及EF ∥平面BCD ，进而可证平面OEF ∥平面BCD ； （2）建立空间直角坐标系，求得平面ODE 及平面OEF 的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可．解：（1）证明：∵AO ＝OB ，AE ＝EC ，AF ＝FD ， ∴OE ∥BC ，EF ∥CD ，∵OE 不在平面BCD 内，BC 在平面BCD 内， ∴OE ∥平面BCD ；∵EF 不在平面BCD 内，CD 在平面BCD 内， ∴EF ∥平面BCD ；又EF ∩OE ＝E ，且都在平面OEF 内， ∴平面OEF ∥平面BCD ；（2）如图，连接CO ，由AC ＝BC ，AO ＝OB ，有CO ⊥AB ，在△AOC 中，OC =√AC 2−AO 2=√2−1=1，可得AO ＝OB ＝OC ＝OD ＝1， ∵OD ⊥平面ABC ，可得OB ，OC ，OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0，0，0)，B(1，0，0)，A(−1，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，1)，E(−12，12，0)，F(−12，0，12)， 设平面OED 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，OE →=(−12，12，0)，OD →=(0，0，1)，有{OE →⋅m →=−12a +12b =0OD →⋅m →=c =0，则可取m →=(1，1，0)，同理可求得平面OEF 的一个法向量为n →=(1，1，1)，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n→|m →||n →|=√63，∴二面角D ﹣OE ﹣F 的余弦值为√63．19．“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币100元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金20元，两个红球奖金40元，三个全为红球奖金200元．（1）求一位献爱心参与者不能获奖的概率；（2）若该次募捐有300位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望． 【分析】（1）设“献爱心参与者中奖”为事件A ，求出献爱心参与者中奖的概率． （2）设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X ，则X ＝100，80，60，﹣100，由此能求出X 学校所得善款的数学期望，由此能求出募捐所得善款的数学期望． 解：（1）“一位献爱心参与者不能获奖”记为事件A ， 则P （A ）=C 63C 93=521；（2）设一位献爱心参与者参加活动，企业所得善款为X 元， 则X ＝100，80，60，﹣100， 则P （X ＝100）=C 63C 93=521，P （X ＝80）=C 31C 62C 93=1528，P （X ＝60）=C 32C 61C 93=314， P （X ＝﹣100）=C 33C 93=184，故若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为E （X ）＝100×521+80×1528+60×314+100×184=2353，故此次募捐所得善款的数学期望为2353×300＝23500（元）．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为B ，∠OBF ＝30°，点A （−√2，√62）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，与x 轴相交于点M ，与y 轴的正半轴相交于点N ，T 为线段PQ 的中点，若7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →为定值n ，请判断直线l 是否过定点，求实数n 的值，并说明理由．【分析】（1）由题意可知a ＝2c ，b =√3c ，所以椭圆C 的标准方程为x 24c 2+y 23c 2=1，把点A 的坐标代入求出c 的值，进而求出a ，b 的值，即可得到椭圆C 的坐标方程； （2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得x 1x 2+y 1y 2，和点T ，点M ，点N 的坐标，代入7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →化简整理得7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →=−21[4k 2+(4−m 2)]4k 2+3，若7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →为定值，则必有4﹣m 2＝3，可得m ＝1，故直线l 过定点（0，1），实数n 的值为﹣21．解：（1）设点F 的坐标为（c ，0），由|OF |＝c ，|OB |＝b ，|BF |＝a ，∠OBF ＝30°，有a ＝2c ，b =√3c ，可得椭圆C 的标准方程为x 24c 2+y 23c 2=1，代入点A 的坐标有12c 2+12c 2=1，解得c ＝1， ∴椭圆C 的坐标方程为x 24+y 23=1；（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ＞0），联立方程{x 24+y 23=1y =kx +m，消去y 后整理得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，∴x 1+x 2=−8km 4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，由△＝64k 2m 2﹣4（4k 2+3）（4m 2﹣12）＞0，得4k 2﹣m 2+3＞0， ∴y 1+y 2＝（kx 1+m ）+（kx 2+m ）＝k （x 1+x 2）+2m =−8k 2m 4k 2+3+2m =6m4k 2+3，y 1y 2＝（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=k 2(4m 2−12)4k 2+3−8k 2m 24k 2+3+m 2=3m 2−12k 24k 2+3，∴x 1x 2+y 1y 2=7m 2−12k 2−124k 2+3，点T 的坐标为（−4km 4k 2+3，3m 4k +3），点M 的坐标为（−mk ，0），点N 的坐标为（0，m ），∴OM →+ON →=(−mk ，m)，∴OT →⋅(OM →+ON →)=4m 24k 2+3+3m 24k 2+3=7m 24k 2+3， ∴7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →＝7OP →⋅OQ →−4OT →⋅(OM →+ON →) ＝7（x 1x 2+y 1y 2）−28m 24k 2+3=7(7m 2−12k 2−12)4k 2+3−28m 24k 2+3=7(3m 2−12k 2−12)4k 2+3=7[−12k 2+(3m 2−12)]4k 2+3=−21[4k 2+(4−m 2)]4k 2+3，若7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →为定值，必有4﹣m 2＝3，解得m ＝±1，由m ＞0可得m ＝1，故直线l 过定点（0，1），实数n 的值为﹣21． 21．已知函数f （x ）＝2xe x ﹣ax ﹣alnx （a ∈一、选择题）．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线l 过点（0，﹣2e ﹣1），求实数a 的值；（2）若函数f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f ′（1）＝4e ﹣2a ，再求出f （1）＝2e ﹣a ，由直线方程点斜式写出切线方程，代入已知点的坐标求解a 值； （2）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝2（x +1）e x ﹣a −ax=(x+1)(2xe x −a)x．当a≤0时，f （x ）单调递增，最多只有一个零点；当a ＞0时，令g （x ）＝2xe x ﹣a （x ≥0），利用导数可知存在x 0∈（0，a ），使得g （x 0）＝0，有x 0e x 0=a2，函数f （x ）的减区间为（0，x 0），增区间为（x 0，+∞）．由f （x 0）＜0，得a ＞2e ．然后证明当x ＞lna 时，f （x ）＞0．即可说明函数f （x ）有两个零点．由此可得实数a 的取值范围． 解：（1）由f ′（x ）＝2（x +1）e x ﹣a −ax ，得f ′（1）＝4e ﹣2a ， 又f （1）＝2e ﹣a ，∴切线l 的方程为y ﹣（2e ﹣a ）＝（4e ﹣2a ）（x ﹣1），代入点（0，﹣2e ﹣1）， 有﹣2e ﹣1﹣（2e ﹣a ）＝﹣（4e ﹣2a ），解得a ＝﹣1． 故实数a 的值为﹣1；（2）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）．由f ′（x ）＝2（x +1）e x ﹣a −ax =（x +1）（2e x −ax ）=(x+1)(2xe x −a)x．①当a ≤0时，f ′（x ）＞0，此时f （x ）单调递增，最多只有一个零点； ②当a ＞0时，令g （x ）＝2xe x ﹣a （x ≥0）．由g ′（x ）＝2（x +1）e x ＞0，可知函数g （x ）单调递增，又g （0）＝﹣a ＜0， g （a ）＝2ae a ﹣a ＝a （2e a ﹣1）＞0，可得存在x 0∈（0，a ），使得g （x 0）＝0， 有x 0e x 0=a2，可知函数f （x ）的减区间为（0，x 0），增区间为（x 0，+∞）． 若函数f （x ）有两个零点，必有f （x 0）=2x 0e x 0−ax 0−alnx 0 ＝a ﹣a （x 0+lnx 0）=a −aln(x 0e x 0)=a −aln a2＜0，得a ＞2e ． 又由f （e ﹣a ）＞﹣ae ﹣a ﹣alne ﹣a =a 2−a e a =a(ae a −1)e a ＞0． 令h （x ）＝x ﹣lnx ，有h ′（x ）＝1−1x=x−1x，令h ′（x ）＞0， 可得x ＞1，故函数h （x ）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），有h （x ）≥h （1）＝1．当x ＞lna 时，e x ＞a ，f （x ）＝x （2e x ﹣a ）﹣alnx ＞ax ﹣alnx ＝a （x ﹣lnx ）≥a ＞0． 可得此时函数f （x ）有两个零点．由上可知，若函数f （x ）有两个零点，则实数a 的取值范围是（2e ，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：{x =√3cosβ，y =sinβ，（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin（θ−π4）=3√22．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 上，且点P 到直线l 的距离最小，求点P 的坐标．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换，及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为：{x =√3cosβ，y =sinβ，（β为参数），转换为直角坐标方程为x 23+y 2=1．直线l 的极坐标方程为ρsin （θ−π4）=3√22．根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x ﹣y +3＝0．（2）设点P （√3cosα，sinα）为曲线上一点，所以点P 到直线的距离d =√3cosα−sinα+3|√1+1=|2cos(α+π6)+3|2，当cos （α+π6）＝﹣1时，即α=5π6时， 点P 到直线l 的距离的最小值为√22，且P （−32，12）． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|﹣|x |． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若x ∈[﹣2，2]时，f （x ）≥mx 恒成立，求实数m 的值．【分析】（1）由题意可得|x ﹣2|﹣|x |≥1，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）可得f （﹣2）＝2，f （2）＝﹣2，结合不等式f （x ）≥mx 恒成立，可得m 的值，检验即可得到结论．解：（1）不等式|x ﹣2|﹣|x |≥1等价为{x ≥2x −2−x ≥1或{0＜x ＜22−x −x ≥1或{x ≤02−x +x ≥1， 解得x ∈∅或0＜x ≤12或x ≤0，则原不等式的解集为{x |x ≤12}；（2）x ∈[﹣2，2]时，f （x ）≥mx 恒成立，由f （﹣2）＝2，f （2）＝﹣2，可得{f(2)≥2m f(−2)≥−2m ，即{−2≥2m 2≥−2m， 解得﹣1≤m ≤﹣1，故m ＝﹣1，当m ＝﹣1时，且﹣2≤x ≤2时，f （x ）+x ＝|x ﹣2|+x ﹣|x |＝2﹣x +x ﹣|x |＝2﹣|x |≥0， 故实数m 的值为﹣1．。

2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学四模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知复数为虚数单位，，z在复平面上对应的点在第四象限，则a的取值范围是A. B. C. D.3.近年来，某市立足本地丰厚的文化旅游资源，以建设文化旅游强市，创建国家全域旅游示范市为引领，坚持以农为本，以乡为魂，以旅促农，多元化推动产业化发展，文化和旅游扶贪工作卓有成效，精准扶贫稳步推进．该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况，绘制了如图所示的柱状图．则下列说法错误的是A. 乡村游人数逐年上升B. 相比于前一年，2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率C. 近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数D. 从2016年开始，乡村游人数明显增多4.在等比数列中，，，则数列前7项的和A. 253B. 254C. 255D. 2565.执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出x的值为A. 123B. 125C. 127D. 1296.已知，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，若，，，则；若，，，则；若，，，则；若，，，则．在上述四个命题中，真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 47.已知函数是偶函数，则函数的最大值为A. 1B. 2C.D. 38.已知为锐角，若，则A. B. C. D.9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆O：与双曲线的一个交点为P，若，则双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.10.把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，函数图象的一条对称轴为直线，若函数在上单调递增，则的取值范围是A. 2或5B. 2或3C. 2D. 511.已知三棱锥记所在的平面为底面内接于球O，PA：PB：：2：3，当三棱锥侧面积最大时，球O的体积为则此时的面积为A. 12B. 13C. 14D. 1512.若不等式恒成立，则实数m的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足，则的最小值为______．14.已知平面向量，若，则向量与的夹角的大小为______．15.设为等差数列的前n项和，已知在中只有最小，则______填“”或“”或“”16.已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB与抛物线的准线分别相交于点P，Q，则的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知．求角A的大小；若的面积为，且，求b，c．18.如图，在三棱锥中，O为AB的中点，E为AC的中点，F为AD的中点，，，平面ABC．求证：平面平面BCD；求二面角的余弦值．19.“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币100元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个摸完球后将球放回，若有一个红球，奖金20元，两个红球奖金40元，三个全为红球奖金200元．求一位献爱心参与者不能获奖的概率；若该次募捐有300位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望．20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的右焦点为F，上顶点为B，，点在椭圆C上．求椭圆C的标准方程；动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，与x轴相交于点M，与y轴的正半轴相交于点N，T 为线段PQ的中点，若为定值n，请判断直线l是否过定点，求实数n的值，并说明理由．21.已知函数．若曲线在点处的切线l过点，求实数a的值；若函数有两个零点，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为：，为参数，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求曲线C和直线l的直角坐标方程；若点P在曲线C上，且点P到直线l的距离最小，求点P的坐标．23.已知函数．求不等式的解集；若时，恒成立，求实数m的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：因为；由题意可得：且；即；故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：从柱状图可看出，乡村游人数逐年上升，故A正确；2015年乡村游增长人数为万人，2014年乡村游增长人数为万人，由，故B正确；近8年乡村游人数平均数为，即近8年乡村游人数的平均数大于2016年乡村游人数，故C错误；从2016年开始，乡村游人数增长速度明显加快，故D正确．故选：C．根据所给柱状图，逐一对照分析即可本题考查学生合情推理的能力，考查统计图的使用，属于中档题4.答案：B解析：解：根据题意，设等比数列的公比为q，又由，变形可得，即，变形可得；则数列前7项的和；故选：B．根据题意，设等比数列的公比为q，由，变形分析可得q的值，进而计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式，注意求出公比q的值，属于基础题．5.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得执行循环体，不满足判断框内的条件，执行循环体，不满足判断框内的条件，执行循环体，此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出x的值为127．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：B解析：解：若，，则，而，则；故正确；若，，，则或；故错误；若，，，则；故正确；若，，，则，故错误；故选：B．利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐个判断即可得到答案．本题考查空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，着重考查线面垂直与线面平行的判定与性质及面面平行与垂直判定与性质，属于中档题．7.答案：C解析：解：根据题意，函数是偶函数，则有，变形可得：，分析可得；则，又由当时，cos x取得最大值为1，同时取得最小值2，则此时取得最大值；故选：C．根据题意，由偶函数的定义可得，变形可得a的值，即可得的解析式，据此分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，关键是求出a的值，属于基础题．8.答案：D解析：解：为锐角，且，，，，，．故选：D．由已知利用同角三角函数关系式可求的值，从而利用，可求，，即可得解的值，利用二倍角的正切函数公式即可求解的值．本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系的运用，考查了两角差的正弦函数公式的应用，属于基础题．9.答案：D解析：解：设，则，圆O：，即，是以O为圆心，c为半径的圆，，，即，，由双曲线的定义知，，，离心率．故选：D．设，则，由于圆O：可化简为，是以O为圆心，c为半径的圆，所以，由勾股定理得，即，解得；由双曲线的定义知，，解得，最后由离心率代入化简即可得解．本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：把函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，函数图象的一条对称轴为直线，，即，．若函数在上单调递增，则，．根据，综合所给的选项，可得的取值范围是，故选：C．由题意利用函数的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，属于基础题．11.答案：C解析：解：设，，，当三棱锥三个侧面的面积之和最大时，PA，PB，PC两两垂直，有，得．又由，有，得．此时，，．由，．的面积为．故选：C．设，，，可知当三棱锥三个侧面的面积之和最大时，PA，PB，PC两两垂直，由球的体积求出外接球的半径，再由长方体对角线长与棱长的关系求得x，则三条侧棱长可求，进一步求得的面积．本题考查多面体外接球的体积，考查多面体表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.答案：B解析：解：当时，，可得，当时，，，不等式显然成立，当时，不等式，可化为，两边取对数有，令，可得，又由函数单调递增，有，得，令，有，由，有，可得函数的递增区间为，减区间为，有，故实数m的取值范围为．故选：B．当时，，可得，当时，不等式显然成立，当时，问题可转化为，两边取对数有，令，可得，由函数单调递增，有，得，令，只需要m大于等于的最大值即可．本题考查导数的综合应用，恒成立问题，属于中档题．13.答案：3解析：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，设，将直线l：进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值故答案为：3作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当时，取得最小值为3．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.答案：解析：解：，，，，且，与的夹角为．故答案为：．根据可得出，进行数量积的运算即可求出，从而可得出的值，进而得出与的夹角．本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：由题意，，则，．，．．故答案为：．由题意可知，，由等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质可得，，则答案可求．本题考查数列的函数特性，考查等差数列的前n项和，考查分析问题与解决问题的能力，是基础题．16.答案：4解析：解：根据题意，作出如下所示的图形，由题可知，焦点，设点A、B的坐标分别为，，直线l的方程为，联立，得，，，直线OA的方程为，令，则，，同理可得，，记抛物线的准线与x轴的交点为D，则有，由，可知的最小值为4．故答案为：4．设点A、B的坐标分别为，，直线l的方程为，将其与抛物线的方程联立，消去x，写出韦达定理可得，；写出直线OA的方程为，从而得点，同理可得点，记抛物线的准线与x轴的交点为D，则有，然后根据均值不等式有，，故而得解．本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及曲线与直线联立，还利用了均值不等式解决最值问题，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．17.答案：解：，由正弦定理可得，，因为，故，因为，故A，，，因为，，，则，由，解可得或．解析：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan A，进而可求A；由已知结合三角形的面积公式可求bc，然后结合余弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18.答案：解：证明：，，，，，不在平面BCD内，BC在平面BCD内，平面BCD；不在平面BCD内，CD在平面BCD内，平面BCD；又，且都在平面OEF内，平面平面BCD；如图，连接CO，由，，有，在中，，可得，平面ABC，可得OB，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，OB，OC，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面OED的一个法向量为，，有，则可取，同理可求得平面OEF的一个法向量为，，二面角的余弦值为．解析：先证明平面BCD及平面BCD，进而可证平面平面BCD；建立空间直角坐标系，求得平面ODE及平面OEF的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可．本题考查面面平行的判定定理以及利用空间向量求解二面角问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．19.答案：解：“一位献爱心参与者不能获奖”记为事件A，则；设一位献爱心参与者参加活动，企业所得善款为X元，则，80，60，，则，，，，故若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为，故此次募捐所得善款的数学期望为元．解析：设“献爱心参与者中奖”为事件A，求出献爱心参与者中奖的概率．设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X，则，80，60，，由此能求出X学校所得善款的数学期望，由此能求出募捐所得善款的数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算、互斥事件概率计算公式求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20.答案：解：设点F的坐标为，由，，，，有，，可得椭圆C的标准方程为，代入点A的坐标有，解得，椭圆C的坐标方程为；由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，联立方程，消去y后整理得，，，由，得，，，，点T的坐标为，点M的坐标为，点N的坐标为，，，，若为定值，必有，解得，由可得，故直线l过定点，实数n的值为．解析：由题意可知，，所以椭圆C的标准方程为，把点A的坐标代入求出c的值，进而求出a，b的值，即可得到椭圆C的坐标方程；由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，和点T，点M，点N的坐标，代入化简整理得，若为定值，则必有，可得，故直线l过定点，实数n的值为．本题主要考查了椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：由，得，又，切线l的方程为，代入点，有，解得．故实数a的值为；函数的定义域为．由．当时，，此时单调递增，最多只有一个零点；当时，令．由，可知函数单调递增，又，，可得存在，使得，有，可知函数的减区间为，增区间为．若函数有两个零点，必有，得．又由．令，有，令，可得，故函数的增区间为，减区间为，有．当时，，．可得此时函数有两个零点．由上可知，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是．解析：求出原函数的导函数，得到，再求出，由直线方程点斜式写出切线方程，代入已知点的坐标求解a值；函数的定义域为，当时，单调递增，最多只有一个零点；当时，令，利用导数可知存在，使得，有，函数的减区间为，增区间为由，得然后证明当时，即可说明函数有两个零点．由此可得实数a的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定，训练了利用导数求最值，考查转化思想方法，考查推理论证能力及运算求解能力，属难题．22.答案：解：曲线C的参数方程为：，为参数，转换为直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为根据转换为直角坐标方程为．设点为曲线上一点，所以点P到直线的距离，当时，即时，点P到直线l的距离的最小值为，且解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换，及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：不等式等价为或或，解得或或，则原不等式的解集为；时，恒成立，由，，可得，即，解得，故，当时，且时，，故实数m的值为．解析：由题意可得，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；可得，，结合不等式恒成立，可得m的值，检验即可得到结论．本题考查绝对值不等式的解法和函数恒成立问题解法，注意运用特值法和检验法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

三中2021届高三年级第四次模拟考试数学〔理科〕才能测试一、选择题〔在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1.假设复数1z ii=+〔i 为虚数单位〕，那么z z ⋅=〔 〕 A.12i B. 14- C. 14D.12【答案】D 【解析】 【分析】易知2||z z z ⋅=，结合复数模的运算法那么求解其值即可.【详解】由题意可得：2221|12|i z z z i ⎛⎫⋅====⎪ ⎪+⎝⎭. 此题选择D 选项.【点睛】此题主要考察复数的运算法那么及其应用，属于中等题.2.集合{1,0,1,2}M =-，2{|30}N x x x =-<．那么MN =〔 〕A. {0,1}B. {1,0}-C. {1,2}D. {1,2}-【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式求出N ，再求M N ⋂即可.【详解】由230x x -<，解得03x <<，那么{|03}N x x =<<. 又{1,0,1,2}M =-，所以{}1,2M N ⋂=. 应选C ．【点睛】此题考察列举法、描绘法表示集合，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．3.设x ∈R ，那么“12x <<〞是“21x -<〞的〔 〕 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】21121,13x x x -<∴-<-<<<,又1,2()1,3，所以“12x <<〞是“21x -<〞的充分不必要条件，选A. 【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“假设p 那么q 〞、“假设q 那么p 〞的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q 〞为真，那么p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或者结论是否认式的命题，一般运用等价法．3．集合法：假设A ⊆B ，那么A 是B 的充分条件或者B 是A 的必要条件；假设A ＝B ，那么A 是B 的充要条件．4.某城为理解游客人数的变化规律，进步旅游效劳质量，搜集并整理了2021年1月至2021年12月期间月接待游客量〔单位：万人〕的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，以下结论错误的选项是〔〕A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量顶峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比拟平稳【答案】A【解析】【分析】根据折线图的数据，依次判断各个选项所描绘的数据特点，得到正确结果。

东北师范大学附属中学2021届高三数学第四次模拟考试试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出四个选项里面，只有一项符合题目要求.{}0,1,2,3,4A =，{}2,B x x k k Z ==∈，那么A B ⋂=〔 〕A. {}4,2B. {}0,2,4C. {}2,0D. {}0,4【答案】B 【解析】 【分析】由k Z ∈可知B 是偶数集，再根据集合的交运算得到最后结果。

【详解】因为集合B 是偶数集，所以{}0,2,4A B ⋂=，应选B. 【点睛】此题考察了集合的运算，属于根底题。

i z a b =+〔a ，b ∈R ，i 是虚数单位〕，且22i z =-，那么有〔 〕 A. 1a b +=-B. 1a b -=-C. 0=-b aD.0=+b a【答案】D 【解析】 【分析】将22()z a bi =+,再和2i -的实部和虚部比照，得出结果.【详解】因为2222()()22z a bi a b abi i =+=-+=-，所以220a b -=，22ab =-，解得11a b =⎧⎨=-⎩或者11a b =-⎧⎨=⎩，所以0=+b a ，应选D.【点睛】此题考察了复数的乘法运算，属于根底题。

1a =，1(,)2b m =，假设()()a b a b +⊥-，那么实数m 的值是〔 〕A. 12±B.32C.12D. 23±【答案】D 【解析】 【分析】由向量的几何意义，因为()()a b a b +⊥-，所以()()0a b a b +⋅-=，再运用向量积的运算得到参数m 的值.【详解】因为()()a b a b +⊥-，所以()()0a b a b +⋅-=，所以220a b-=，将1a =和2221()2b m =+代入，得出234m =，所以32m =±，应选D.【点睛】此题考察了向量的数量积运算，属于根底题。

黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2016届高三数学第四次模拟考试试卷 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集R U =，{}{}12,)1ln()2(<=-==-x x x N x y x M ，则=N M C U I )(（ ） A ．{}1≥x x B ．{}21<≤x x C ．{}10<≤x x D ．{}10≤<x x 【答案】B考点：集合的运算. 2.若54cos -=α，α是第三象限的角，则=+)4sin(πα（ ） A ．102-B ．102C ．1027- D ．1027 【答案】C 【解析】试题分析：因为54cos -=α，α是第三象限的角，3sin 5α=-，所以22sin()sin 422πααα+=+24232()()252510=-+-=-，故选C. 考点：三角函数的化简求值. 3.复数=+---+iii i 32233223（ ）A ．0B ．2C ．i 2-D ．i 2 【答案】D 【解析】 试题分析：()()()()()()322332233232131322323232313i i i i i i i ii i i i i ++---+-+-===-+-+，故选D. 考点：复数的运算.4.已知R x ∈，命题“若02>x ，则0>x ”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C考点：四种命题；四种命题的关系. 5.由直线0,0==y x 与])4,0[(2cos π∈=x x y 所围成的封闭图形的面积是（ ）A ．2B ．1C ．22D ．21 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，直线0,0==y x 与])4,0[(2cos π∈=x x y 所围成的封闭图形的面积为40111sin 2|(sin sin 0)2222x ππ==-=，故选D. 考点：定积分的应用.6.某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（ ）A ．29B ．539+C ．18D ．5312+【答案】D考点：三视图及几何体的表面积.【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面为上底边为1，下底边为2，高为1的等腰梯形、侧棱长为3直四棱柱是解得本题的关键.7.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，BC BE AB AD 32,21==，若2121(λλλλ，+=为实数），则21λλ+的值为（ ） A ．1 B ．21 C ．31D ．41【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，结合向量的运算可得1212()2323DE DB BE AB BC AB BA AC =+=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1221223363AB AB AC AB AC =-+=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，又由题意可知，若1212(DE AB AC λλλλ=+u u u r u u u r u u u r ，为实数），故可得1212,63λλ=-=，所以1212λλ+=，故选B.考点：平面向量的运算.8.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则=++87109a a a a （ ）A ．21+B ．21-C ．223+D ．223- 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，2312,21,a a a 成等差数列，所以3122a a a =+，所以21112a q a a q =+，即2210q q --=，解得21q =+，所以2291078(21)322a a q a a +==+=++，故选C.考点：等差数列与等比数列的性质.9.已知函数)(x f y =为定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，)1(log )(3+=x x f ，若)2()(t f t f ->，则实数t 的取值范围是（ ）A ．)1,(-∞B ．),1(+∞C ．)2,32( D ．),2(+∞ 【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性的应用.10.已知双曲线)0,0(122>>=-n m ny mx 的离心率为2，则椭圆122=+ny mx 的离心率为（ ） A ．33 B ． 332 C ．36D ．31 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，双曲线的标准方程为22111x y m n-=，因为)0,0(122>>=-n m ny mx 的离心率为2，所以1141m n m+=，解得3m n =，所以椭圆的标准方程为22111x y m n +=，所以其离心率为211213n m e n-==，所以6e =，故选A.考点：椭圆与双曲线的标准方程及其简单的几何性质.11.函数),0()0,(,sin ππY -∈=x xxy 的图象可能是下列图形中的（ ）【答案】C考点：函数的奇偶性与函数的图象.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性的判定与应用、由函数的解析式选择函数的图象等知识知识灵活应用，本题的解答中，根据的解析式，利用函数奇偶性的判定方法，可得函数为偶函数，即函数的图象关于y 轴对称，再根据特殊点的函数值，即可选出函数的解析式对应的图象，着重考查了分析问题和解答问题的能力及数形结合思想的应用，属于中档试题. 12.在平行四边形ABCD 中，0=⋅BD AB ，沿BD 将四边形折起成直二面角C BD A --，且 42=+BD AB ，则三棱锥BCD A -的外接球的半径为（ ）A ．1B ．22C ．42 D ．41【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，在平行四边形ABCD 中，0=⋅，沿BD 将四边形折起成直二面角C BD A --，所以平面ABD ⊥平面BDC ，三棱锥BCD A -的外接球的的直径为AC ，所以2222AC AB BD CD =++2224AB BD =+=，即2AC =，所以外接球的半径为1R =，故选A.考点：球内接多面体和平面向量的数量积.【方法点晴】本题主要考查了球的内接多面体的结构特征、平面向量的数量积的运算等知识点的应用，解答中根据已知，确定所以平面ABD ⊥平面BDC ，三棱锥BCD A -的外接球的的直径为AC 是解答本题的关键，着重考查了学生的空间想象能力和分析问题、解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.根据如图所示的程序语句，若输入的x 值为3，则输出的y 值为_______.【答案】2考点：条件分支机构的程序框图.14.观察下列各式：,,11,7,4,3,155443322⋅⋅⋅=+=+=+=+=+n m n m n m n m n m 则=+1111n m ____.【答案】199 【解析】试题分析：因为,,11,7,4,3,155443322⋅⋅⋅=+=+=+=+=+n m n m n m n m n m 可得134+=，347+=，4711,71118,111829,+=+=+=L ,可以发现从第三项开始，右边的数字等于前两项的右边的数字之和，依次即可算得1111199m n +=. 考点：归纳推理.15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积⨯=121V （底面的圆周长的平方×高），则该问题中圆周率π的取值为_______.【答案】3考点：圆柱的体积公式.【方法点晴】本题主要考查了圆柱的体积公式的应用、以实际问题为背景的新定义、创新题型的考查，其中解答中正确理解题意，根据题设的新定义，紧扣新定义，列出相应的关系式是解答此类问题的关键，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，充分考查学生的自我学习和理解能力，属于中档试题.16.ABC ∆中，点D 是边BC 上的一点，72,2,3===∠=∠AD BD DAC B π，则CD 的长为______. 【答案】7 【解析】试题分析：在ABD ∆中，设AB x =，由余弦定理，得2222cos AD BD AB BD AB ABD =+-⋅∠，即222(27)222cos3x x π=+-⨯⋅，解得6x =，所以2222227)cos 22227BD AD AB ADB BD AD +-∠==⋅⨯⨯ 27=，所以cos 27ADC ∠=，则33cos 27ADC ∠=，在ACD ∆中，sin sin[()]3C ADC ππ=-+∠23121sin()sin 327ADC ADC ADC π=-∠=∠-∠=，所以由正弦定理得sin sin 3CD AD C π=，所以3sin32277sin217CD ADCπ=⨯=⨯=.考点：正弦定理；余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了解三角形中的正弦定理与余弦定理的综合应用，解答中先在ABD∆中，利用余弦定理，解得AB的长，再利用余弦定理求解cos ADB∠，进而得到cos ADC∠和cos ADC∠的值，在ACD∆中，利用两角和的正弦函数求解sin C的值，最后利用正弦定理，即可求解CD的长，着重考查了正弦定理和余弦定理灵活运用以及推理与运算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a的前n项和n S满足)(22*∈+=NnnnSn.（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）设)(3*∈⋅=Nnab n ann，求数列{}n b的前n项和n T.【答案】(I) nan=；(II) 13)412(43+⋅-+=nnnT.考点：数列的通项和与前n 和的关系；数列求和. 18.（本小题满分12分）调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如下表：推销员 A B C D E 工作年限x （万元） 2 3 5 7 8 年推销金额y （万元）33.546.58（Ⅰ）画出年推销金额y 关于工作年限x 的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的 一般规律；（Ⅱ）利用最小二乘法求年推销金额y 关于工作年限x 的回归直线方程； （Ⅲ）利用（Ⅱ）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额.附：x b y a x x y yx x b ni ini ii∧∧==∧-=---=∑∑,)())((121.【答案】(I)散点图见解析，工作年限与年推销金额之间成正相关，即工作年限越多，年推销金额越大；(II) 26252621+=∧x y ；（III ）26235.考点：回归直线方程的求解及应用.19.（本小题满分12分）长方体1111D C B A ABCD -中，P BC AA AB ,,2,3,41===为11B A 中点,Q N M ,,分别为棱 11,,CC AA AB 上的点，且CQ CC AN AA MB AB 3,3,411===.（Ⅰ）求证：⊥PQ 平面N PD 1；（Ⅱ）求二面角N M D P --1的余弦值.【答案】(I)证明见解析；(II)193-. 【解析】试题分析：(I)以D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的运算，证得N D PQ P D PQ 11,⊥⊥，即可证明⊥PQ 平面N PD 1；(II)求出平面M PD 1的一个法向量为)1,3,3(--=n ，平面MN D 1的一个法向量为)3,1,3(=m ，利用法向量所成的角，即可求解二面角N M D P --1的余弦值.（Ⅱ）)2,0,2(),0,2,2(),3,3,2(111-==-=N D P D M D ， 设平面M PD 1的法向量为),,(111z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=-+=⋅022,03321111111y x D z y x D 可取平面M PD 1的一个法向量为)1,3,3(--=， 设平面MN D 1的法向量为),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=-+=⋅022,03321212221z x D z y x D 可取平面MN D 1的一个法向量为)3,1,3(=， ∴193,cos =⋅<n m ， ∴二面角N M D P --1的余弦值为193-. 考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解；空间向量的应用.20.（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆)1(1:2221>=+a y a x C 的长轴长为22，抛物线)0(2:22>=p px y C 的焦点F 是椭圆1C 的右焦点.（Ⅰ）求椭圆1C 与抛物线2C 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线l 交抛物线2C 于B A ,两点，射线OB OA ,与椭圆1C 的交点分别为D C ,，若OD OC OB OA ⋅=⋅62，求直线l 的方程.【答案】(I)2212x y +=，24y x =；(II)3018x y =±+.（Ⅱ）设),(),,(),,4(),,4(,1:4433222121y x D y x C y y B y y A my x l +=， ⎩⎨⎧=+=xy my x 4,12得,4,4,04421212-==+∴=--y y m y y my y016162>-=∆m ，∴y y x l y yy k OA OA 4:,4411211=∴==， ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=0224221y x y y x 得32322162,2)216(212123221+=+==+y y y y y Θ，同理32322224+=y y ，考点：椭圆的标准方程；抛物线的标准方程；直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、抛物线的标准方程、直线与椭圆的位置关系的综合应用，此类问题的解答中熟记圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质和把直线方程与圆锥曲线方程联立，利用判别式和根据系数的关系是解答此类问题的关键，着重考查学生分析问题和解答问题的能力及推理、运算能力，试题有一定的难度，属于难题.21.（本小题满分12分）已知函数))(1()(,ln )1()(R a x a x g x x x f ∈-=+=.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)()(x g x f ≥对任意的),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：),2()1(2ln 3ln 2ln *∈≥+>⋅⋅⋅⋅⋅⋅N n n n n n n. 【答案】(I)递增区间为),0(+∞，无递减区间；(II)2≤a ；（III ）证明见解析.【解析】试题分析：(I)求出函数的导数，11ln )(++='x x x f ，令11ln )()(++='=x x x f x g ，求出()g x '，利用()g x 的单调与最值，即可判定()f x '的符号，得到函数)(x f 的单调区间；(II)设a ax x x x h +--=ln )1()(，求出()h x '，分2≤a 和2>a 两种情况分类讨论，设出()x ϕ，确定()x ϕ的单调性与最值，即可实数a 的取值范围；（III ）由（Ⅱ）知，令2=a ，(1)ln 2(1)x x x +≥-，令x n =，证得1)1(2ln +->n n n ，即可通过叠加，作出证明.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，令2=a ，1)1(2ln ,1),1(2ln )1(+-≥≥∴-≥+x x x x x x x （当且仅当x=1取“=”），令),2(*∈≥=N n n n x 得1)1(2ln +->n n n ， 即1)1(2ln ,)2(2)1ln(,1)3(2)2ln(,,5324ln ,4223ln ,3122ln +->->--->-⋅⋅⋅⋅>⋅>⋅>n n n n n n n n n 将上述1-n 个式子相乘得：)1(2)1(22ln 3ln 2ln 1+=+⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n n n n n nn . ∴原命题得证.考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值、最值；函数的恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、最值、函数的恒成立问题等知识点的综合应用，解答中准确求出函数导数，熟记函数的导数与函数的性质之间的关系，转化为利用导数研究出函数的单调性与极值、最值是解答此类问题的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，试题有一定的难度，属于难题. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，其中CBD ABD AC AB ∠=∠=,，AC 与BD 交于点F ，直线BC 与AD 交于点E .（Ⅰ）证明：CE AC =；（Ⅱ）若4,2==BF DF ，求AD 的长.【答案】(I)证明见解析；(II)23考点：相似三角形；与圆有关的比例线段.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，将曲线为参数）ααα(sin ,cos :1⎩⎨⎧==y x C 上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线2C ，将曲线1C 向上平移一个单位得到曲线3C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线2C 的普通方程及曲线3C 的极坐标方程； （Ⅱ）若点P 是曲线2C 上任意一点，点Q 是曲线3C 上任意一点，求PQ 的最大值.【答案】(I)2214x y +=；(II)θρsin 2=.考点：参数方程与极坐标方程、普通方程的互化.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知b a ,为实数.（Ⅰ）若0,0>>b a ，求证：9)11)(1(22≥++++a b a a b a ； （Ⅱ）若1,1<<b a ，求证：b a ab ->-1.【答案】(I)证明见解析；(II)证明见解析.考点：不等式的证明.。

2020年高考模拟高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则∁R（A∪B）＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a﹣2b＝0D．a+2b＝03．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β4．大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n＝13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A．9B．10C．11D．125．已知a＝ln3，b＝log3e，c＝logπe（注：e为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c6．已知在边长为3的等边△ABC的中，，则＝（）A．6B．9C．12D．﹣67．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体A﹣BEF的体积为（）A．B．C．1D．8．已知函数的图象向右平移个单位后，其图象关于y轴对称，则φ＝（）A．B．C．D．9．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线x ＝上存在一点P满足＝0，则椭圆的离心率取值范围为（）A．B．C．D．10．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝，则函数f（x）的图象与函数g（x）＝的图象在区间[﹣5，7]上所有交点的横坐标之和为（）A．5B．6C．7D．911．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记b n为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共n2个数的和，则数列的前2020项和为（）A．B．C．D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|＝（）A．B．C．D．二、填空题13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为．14．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x在[0，1]上不单调，则实数a的取值范围为．15．数列{a n}满足a1＝1，a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），则a n＝．16．已知函数f（x）＝（x2﹣a）2﹣3|x2﹣1|﹣b，当时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）①a≤﹣②＜a＜③a＝1，﹣2＜b＜0④a＝1，或b＝0⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C＝2a+c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a＝2，D为AC的中点，且BD＝，求c．18．如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面C1BA1；（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求二面角F﹣BA1﹣A的余弦值．19．为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B症状：醒的太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含AB症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠不失眠合计患心脑血管疾病不患心脑血管疾病合计参考数据如表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.10 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：．20．已知以动点P为圆心的⊙P与直线l：x＝﹣相切，与定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝相外切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M、N（MN不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记△AMM1、△AMN、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，且S22＝4S1S3，证明：直线MN过定点．21．已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣﹣x（a∈R）．（Ⅰ）设f'（x）为函数f（x）的导函数，求函数f'（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，十∞）上有最大值，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x）＞9的解集；（Ⅱ）过关于x的不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则∁R（A∪B）＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）解：集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），＝（0，1），A∪B＝B，则∁R（A∪B）＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）故选：B．2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a﹣2b＝0D．a+2b＝0解：由z＝a+bi（a，b∈R），得＝，由题意，b﹣a＝0．故选：B．3．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β解：对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．对于选项D，直线m⊂α，m⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．故选：D．4．大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n＝13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A．9B．10C．11D．12解：由题意任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，第一步：n＝13为奇数，则n＝13×3+1＝40，第二步，n＝40为偶数，则n＝，第三步，n＝20为偶数，则n＝＝10，第四步，n＝10为偶数，则n＝＝5，第五步，n＝5为奇数，则n＝5×3+1＝16，第六步，n＝16为偶数，则n＝，第七步，n＝8为偶数，则n＝＝4，第八步，n＝4为偶数，则n＝＝2，第九步，n＝2为偶数，则n＝＝1．∴取n＝13，要想算出结果1，共需要经过的运算步数是9．故选：A．5．已知a＝ln3，b＝log3e，c＝logπe（注：e为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c解：a＝ln3＞1＞b＝log3e＞c＝logπe，∴a＞b＞c，故选：B．6．已知在边长为3的等边△ABC的中，，则＝（）A．6B．9C．12D．﹣6解：∵＝（）＝（+）•＝＝32+×3×3×cos120°＝6；故选：A．7．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体A﹣BEF的体积为（）A．B．C．1D．解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，0，2），F（0，2，1），＝（0，﹣2，0），＝（﹣2，0，1），＝（﹣2，﹣2，2），＝0，∴S△ABF＝＝＝，设平面ABF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，2），∴E到平面ABF的距离d＝＝，∴四面体A﹣BEF的体积为：V A﹣BEF＝V E﹣ABF＝＝＝．故选：B．8．已知函数的图象向右平移个单位后，其图象关于y轴对称，则φ＝（）A．B．C．D．解：把函数＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位后，可得y＝2sin（2x﹣2φ+）的图象，根据所得图象关于y轴对称，可得﹣2φ+＝kπ+，k∈Z．即φ＝﹣﹣，再令k＝﹣1，可得φ＝，故选：D．9．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线x ＝上存在一点P满足＝0，则椭圆的离心率取值范围为（）A．B．C．D．解：设P（，y），由＝0，则＝（﹣c，y）+（﹣c，b）＝（﹣2c，y+b），＝（，y﹣b），所以由＝0，可得：（﹣2c）+（y+b）（y﹣b）＝0，可得：﹣2a2﹣b2＝﹣y2≤0，整理可得：a4﹣2a2c2﹣（a2﹣c2）c2≤0，即e4﹣3e2+1≤0，解得：≤e2，即≤e≤，由于椭圆的离心率小于1，所以≤e＜1，故选：C．10．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝，则函数f（x）的图象与函数g（x）＝的图象在区间[﹣5，7]上所有交点的横坐标之和为（）A．5B．6C．7D．9解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（x）的图象关于直线x＝1对称，而函数g（x）＝的图象也关于直线x＝1对称，作出函数f（x）和g（x）图象如图：由图可知，所以交点横坐标之和＝3×2+1＝7，故选：C．11．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记b n为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共n2个数的和，则数列的前2020项和为（）A．B．C．D．解：由题意，设数列{a n}的前n项和为S n．∵数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，∴数列{a n}是以4为首项，2为公差的等差数列．∴第1行的所有项的和即为：a1+a2+…+a n＝S n＝4n+•2＝n2+3n．则第2行的所有项的和为：a2+a3+…+a n+1＝（a1+d）+（a2+d）+…+（a n+d）＝S n+nd；第3行的所有项的和为：a3+a4+…+a n+2＝（a1+2d）+（a2+2d）+…+（a n+2d）＝S n+2nd；•••第n行的所有项的和为：a n+a n+1+…+a2n﹣1＝[a1+（n﹣1）d]+[a2++（n﹣1）d]+…+[a n+（n﹣1）d]＝S n+（n﹣1）nd；∴b n＝（a1+a2+…+a n）+（a2+a3+…+a n+1）+（a3+a4+…+a n+2）+…+（a n+a n+1+…+a2n﹣1）＝S n+（S n+nd）+（S n+2nd）+…+[S n+（n﹣1）nd]＝nS n+[1+2+…+（n﹣1）]•nd＝n（n2+3n）+•n•2＝2n2（n+1）．＝＝＝（﹣）．∴数列的前2020项和为++…+＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．故选：D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|＝（）A．B．C．D．解：由题意可得a2＝1，b2＝3，在三角形PF1F2中，设P在右支上，由余弦定理可得F1F22＝PF12+PF22﹣2PF1•PF2•cos120°＝（PF1﹣PF2）2+2PF1•PF2+PF1PF2，即4c2＝4a2+3PF1PF2，所以可得PF1PF2＝＝＝＝4，PF1﹣PF2＝2a＝2，可得PF1＝+1，PF2＝﹣1，所以S＝•sin120°＝＝，因为PA为角平分线，所以∠F1PA＝∠F2PA＝60°，而S＝S+S＝（PF1•PA sin60°+PF2•PA•sin60°）＝PA •（PF1+PF2）＝PA（+1+﹣1）＝PA，所以＝PA，所以PA＝，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为．解：设事件A：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次，事件B：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次，则P（A）＝，P（AB）＝，所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为P（A|B）＝＝＝，故答案为：．14．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x在[0，1]上不单调，则实数a的取值范围为（1，e2）．解：由题意可得，＝0在[0，1]上有变号零点，故a＝e2x在[0，1]上有变号零点，因为y＝e2x在[0，1]上单调，e2x∈[1，e2]，故1＜a＜e2，故答案为：（1，e2）15．数列{a n}满足a1＝1，a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），则a n＝．解：∵a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）＝2S n2，整理得：S n﹣S n﹣1＝﹣2S n•S n﹣1（n≥2，n∈N*），∴﹣＝2（n≥2，n∈N*）∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，∴S n＝，∴当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝，∴a n＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝（x2﹣a）2﹣3|x2﹣1|﹣b，当③a＝1，﹣2＜b＜0时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有⑦6个零点．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）①a≤﹣②＜a＜③a＝1，﹣2＜b＜0④a＝1，或b＝0⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点解：可选③a＝1，﹣2＜b＜0，由f（x）＝（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|﹣b，令f（x）＝0，可得b＝（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|，即b＝|x2﹣1|2﹣3|x2﹣1|，可令t＝|x2﹣1|，可得b＝t2﹣3t，可设g（t）＝t2﹣3t，分别画出y＝g（t）和t＝|x2﹣1|的图象，由﹣2＜t2﹣3t＜0，即．可得0＜t＜1或2＜t＜3，当0＜t＜1时，t＝|x2﹣1|有4个零点；2＜t＜3时，t＝|x2﹣1|有2个零点，则函数f（x）共有6个零点．故答案为：③a＝1，﹣2＜b＜0，⑦6个零点．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C＝2a+c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a＝2，D为AC的中点，且BD＝，求c．解：（I）由已知以及正弦定理，可得：2sin B cos C＝2sin A+sin C＝2sin（B+C）+sin C＝2sin BcoC+2cos B sin C+sin C，所以：2cos B sin C+sin C＝0，由于：0＜C＜π，sin C≠0，cos B＝﹣，因为B∈（0，π），解得：B＝；（Ⅱ）如图所示：，∵D为AC的中点，∴，两边平方得：，∴，∴，整理得：c2﹣2c﹣8＝0，解得：c＝4．18．如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面C1BA1；（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求二面角F﹣BA1﹣A的余弦值．解：（Ⅰ）取AA₁的中点G，连接DG，EG，则DG∥A₁C₁，E，G为中点，所以EG∥BA₁，DG⊄平面BA₁C₁，A₁C₁⊂平面BA₁C₁，故DG∥平面BA₁C₁，同理EG∥平面BA₁C₁，又DG∩EG＝G，故平面DEG∥平面BA₁C₁，DE⊂平面EDG，所以DE∥BA₁C₁；（II）以B为原点，BA，BB₁，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，B₁（0，3，0），A₁（2，3，0），C（0，0，1），C₁（0，3，1），设F（0，a，1），A（2，0，0），，平面ABB1A1所的法向量为，由cos＜＞＝，a＝2，故F（0，2，1），＝（0，2，1），＝（2，3，0），设平面FBA₁的法向量为，由，得，由cos＜＞＝，由于二面角为钝角，故所求二面角余弦值为．19．为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B症状：醒的太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含AB症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠不失眠合计患心脑血管疾病不患心脑血管疾病合计参考数据如表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.10 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：．解：（Ⅰ）设A＝{出现A症状的人}，B＝{出现B症状的人}，C＝{出现C症状的人}，card表示有限集合元素的个数，根据数据1，可知card（A∩B）＝1.8万，card（A∩C）＝1万，card（B∩C）＝2万，card（A∩B∩C）＝0.5万，所以card（A∪B∪C）＝cardA+cardB+cardC﹣[card（A∩B）+card（A∩C）+card（B ∩C）]+card（A∩B∩C）＝8.5+9.3+6.5﹣（1.8+1+2）+0.5＝20万，所以55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约为20%；（Ⅱ）根据题意，2×2列联表如下：失眠不失眠合计患心脑血管疾病5712不患心脑血管疾病157388合计2080100所以＞3.841，故有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”．20．已知以动点P为圆心的⊙P与直线l：x＝﹣相切，与定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝相外切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M、N（MN不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记△AMM1、△AMN、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，且S22＝4S1S3，证明：直线MN过定点．解：（Ⅰ）定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝，圆心F（1，0），半径为，设点P（x，y），由动圆P既与直线l：x＝﹣相切，又与定圆F相外切，知x＞﹣，∴，化简得：y2＝4x，∴动圆圆心P的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为：y＝kx+m（k ≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，联立方程，消去y得，k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0，∴，，∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝＝，∵S1＝，S3＝，∴4S1S3＝﹣（y1y2）（x1）（）＝﹣×＝﹣×＝，∵直线MN的方程为：y＝kx+m，设直线MN与x轴的交点为点B，令y＝0得，x＝﹣，∴B（﹣，0），∴S2＝，∴＝（﹣+）2（y1﹣y2）2＝××＝××[4（x2+x1）﹣2y1y2]＝××＝，∵S22＝4S1S3，∴4k2﹣4k3m+16m2﹣16km3﹣16mk+16k2m2＝﹣16km3﹣32km+16k2m2﹣4k3m，∴4k2+16m2+16mk＝0，即k2+4m2+4km＝0，∴（k+2m）2＝0，∴k＝﹣2m，∴直线MN的方程为：y＝﹣2mx+m＝﹣2m（x﹣），∴直线MN过定点（，0）．21．已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣﹣x（a∈R）．（Ⅰ）设f'（x）为函数f（x）的导函数，求函数f'（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，十∞）上有最大值，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）f′（x）＝ln（x+1）﹣ax＝g（x），（x∈（﹣1，+∞））．g′（x）＝﹣a，a≤0时，g′（x）＞0，函数f′（x）在（0，+∞）上单调递增．a＞0时，g′（x）＝，∴f'（x）在上单调递增；在上单调递减；（Ⅱ）函数f（x）在（0，+∞）上有最大值，可得f（x）在（0，+∞）上不单调，有极大值点．由（I）可得：a＞0，f′（0）＝0．令ln（x+1）﹣ax＝0，化为：a＝＝h（x），h′（x）＝．令u（x）＝x﹣（x+1）ln（x+1），x∈（0，+∞）．u（0）＝0．u′（x）＝1﹣ln（x+1）﹣1＝﹣ln（x+1）＜0．∴u（x）＜u（0）＝0．∴h′（x）＜0，函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．x→0+时，h（x）→＝1．x→+∞时，h（x）→0．∴0＜a＜1．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值．解：（Ⅰ）参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C：；曲线D的极坐标方程为．转化为直角坐标方程为：；（Ⅱ）设点P（2cosθ，sinθ）到直线x+y﹣3＝0的距离d＝＝，当sin（θ+α）＝1时，d min＝．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x）＞9的解集；（Ⅱ）过关于x的不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝．∵f（x）＞9，∴或，∴x＞5或x＜﹣4，∴不等式的解集为{x|x＞5或x＜﹣4}（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）min＝5．∵不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，∴|3m﹣2|≥f（x）min＝5，∴3m﹣2≥5或3m﹣2≤﹣5，∴，∴m的取值范围为．。